UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA CÁLCULO I – SEMESTRE 3/2016
INFORMACIÓN GENERAL
I. INFORMACIÓN CURRICULAR
Código: 0251 Unidades: 5 Horas semanales: 6
II. PRESENTACIÓN
El propósito de esta asignatura es suministrar al estudiante, las bases fundamentales para la comprensión analítica de procesos que usará como herramienta para el modelado y solución de problemas durante su formación y a lo largo de su ejercicio profesional. La formación matemática, además de proveer a los estudiantes con los conceptos y herramientas propios de la disciplina, contribuye a desarrollar la capacidad de entender y explicar un amplio rango de problemas y situaciones problemáticas, que abarcan desde los ejercicios de aplicación hasta los problemas abiertos y situaciones de exploración, ayudando a desarrollar “un punto de vista matemático”, caracterizado por la habilidad de analizar, comprender, percibir estructuras y relaciones estructurales, permitiéndole además expresarse oralmente y por escrito mediante el uso de argumentos claros y coherentes.
III. COORDINADORES DE CÁTEDRA: Prof. Luis Vivas y Profa. Gabbriella
González
IV. PROFESORES DE LA ASIGNATURA:
Eduardo Sarabia (Sección 1).
José Labori (Sección 2).
Gerardo Dos Ramos (Secciones 3 y 13).
Vladimir Travieso (Sección 4).
Ángela Tocco (Secciones 5 y 8).
Gabbriella González (Secciones 6 y 10).
Angélica Martínez (Sección 7).
Bachir Sayes (Sección 9).
Daniel Guarate (Sección 11).
Farith Briceño (Sección 12).
V. OBJETIVOS
Este primer curso de Cálculo tiene como finalidad familiarizar al estudiante con los conceptos fundamentales del Cálculo diferencial así como también desarrollar en él la capacidad de emplear las funciones para modelar fenómenos relacionados con su actividad profesional y utilizar la derivada en la solución de problemas sencillos de optimización y de razón instantánea de cambio. Igualmente se pretende que el estudiante utilice las herramientas y técnicas desarrolladas durante el curso, para obtener información relevante acerca de la gráfica de una función, que utilizará para construir dicha gráfica.
VI. PROGRAMA SINÓPTICO
Números Reales. Geometría Analítica. Funciones Reales de Variable Real. Límites y Continuidad. La Derivada de una Función. Aplicaciones de la derivada.
VII. PROGRAMA DETALLADO
1. NÚMEROS REALES. GEOMETRÍA ANALÍTICA
1.1. Números reales, propiedades generales. Inecuaciones.
Propiedades. Valor absoluto. Propiedades del valor absoluto. Inecuaciones polinómicas y racionales.
Inecuaciones con valor absoluto.
1.2. Plano cartesiano. Coordenadas de un punto en el plano. Distancia entre dos puntos en R2.
1.3. La recta: inclinación y pendiente. Formas de la ecuación de la recta punto pendiente, dos puntos, pendiente-ordenada en el origen, canónica (conocida las coordenadas en el origen), general.
1.4. Posición relativa de dos rectas en el plano. Rectas paralelas.
1.5. Distancia de un punto a una recta. Recta bisectriz. Distancia entre dos rectas paralelas.
1.6. Generalidades sobre triángulos. Mediatrices y circuncentro.
Medianas y baricentro. Alturas y ortocentro. Bisectrices e incentro.
1.7. Lugar geométrico. Circunferencia, elipse, parábola e hipérbola. Definición, ecuaciones, principales elementos y gráfica.
1.8. Posición relativa entre una recta y una circunferencia.
1.9. Regiones en el plano.
2.1. Noción de función. Ejemplos. Notación.
2.2. Dominio, rango y gráfica de una función. Igualdad de funciones.
2.3. Función par, impar, periódica, acotada.
2.4. Estudio y representación de funciones elementales:
constante, afín, cuadrática, polinómica, racional, función a trozos, valor absoluto, funciones que se derivan de las cónicas.
2.5. Álgebra de funciones: suma, producto, cociente, composición.
2.6. Funciones trascendentes: trigonométricas, exponencial,
logarítmica. Identidades trigonométricas. Funciones Hiperbólicas.
2.7. Función inyectiva. Función inversa.
2.8. Modificaciones a la gráfica de una función: traslaciones y cambios de escala.
3. LÍMITES Y CONTINUIDAD
3.1. Motivación al concepto de límite.
Definición del límite de función real de variable real.
3.2. Límites laterales.
3.3. Propiedades generales de los límites. Teorema del Sandwich.
3.4. Límites infinitos y límites al infinito.
3.5. Indeterminaciones: 0/0, , 0., ,1. Límites notables.
3.6. Definición de función continua en un punto y en un intervalo.
Tipos de discontinuidad.
3.7. Teoremas sobre funciones continuas.
4. LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
4.1. Motivación al concepto de derivada.
Recta tangente a una curva en un punto de ella.
Definición de derivada. Derivadas de funciones elementales.
4.2. Reglas de derivación.
4.3. Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena.
4.4. Derivadas de funciones trascendentes.
4.5. Función definida en forma ímplicita y su derivada.
Derivación logarítmica. Derivada de la función inversa.
4.6. Derivada de funciones trigonométricas inversas.
4.7. Función definida en forma paramétrica y su derivada.
4.8. Derivadas de orden superior.
5. APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1. Aplicaciones geométricas: Recta tangente y normal a una función
en un punto. Ángulo entre curvas.
5.3. Diferencial de una función. Aplicaciones.
5.4. Teorema de Rolle. Teorema del Valor Medio.
5.5. Regla de L’Hospital. Indeterminaciones.
5.6. Funciones crecientes y decrecientes.
Criterio de la primera derivada para crecimiento.
5.7. Valores extremos de una función. Máximos y mínimos.
Criterio de la primera derivada.
5.8. Asíntotas al gráfico de una función.
5.9. Concavidad de la gráfica de una función. Puntos de inflexión.
5.10. Criterio de la segunda derivada.
5.11. Estudio completo de una función para construir su gráfica.
5.12. Razones de cambio relacionadas.
5.13. Problemas de optimización.
VIII. EVALUACIÓN
Exámenes parciales teórico-prácticos. Se realizarán cuatro (4)
exámenes parciales teórico-prácticos departamentales, en las semanas indicadas en el cronograma estimado de actividades. La ponderación de cada parcial, el contenido a evaluar y la fecha de aplicación se describen a continuación:
Primer Parcial 20% Tema 1 Sem. 5
Segundo Parcial 20% Tema 2 Sem. 8
Tercer Parcial 30% Temas 3 y 4 Sem. 12
Cuarto Parcial 30% Tema 5 Sem. 16
IMPORTANTE: La inasistencia a por lo menos (2) parciales traerá como
consecuencia la pérdida de la asignatura y se obtendrá una calificación definitiva de 00 con la observacion NA (no asistió).
Examen de Recuperación: Este examen se realiza para dar al
estudiante la oportunidad de recuperar el parcial en el cual obtuvo la menor nota (en caso de no haber asistido a un parcial por cualquier causa, este examen le permitirá recuperar el parcial perdido). La nota obtenida en este examen de recuperación sustituirá la del parcial correspondiente. Este examen se efectuará al final del semestre en la fecha y hora fijada por la División de Control de Estudios de la Facultad y el contenido temático del mismo será el correspondiente al examen parcial a recuperar.
Examen de reparación. Solo tendrán derecho a presentar el examen de
Revisión de exámenes: Cada profesor debe entregar las notas de cada examen en DIEZ (10) DÍAS HÁBILES DESPUÉS DE HABER PRESENTADO LA EVALUACIÓN y debe fijar dos períodos para su revisión, indicando la fecha, hora y lugar de la revisión; los cuales deben
ser publicados junto con las calificaciones en la cartelera de Cálculo I,
en el site de la materia y/o grupos de redes sociales (como whatsapp, facebook, etc) creados para mantener comunicación virtual. Todo estudiante tiene derecho a revisar su examen en las fechas pautadas para ello; fuera de este período debe pedir por escrito, ante el departamento de matemáticas, una revisión por cátedra.
La asistencia a clases es de carácter obligatorio. El estudiante que
tenga al menos 25% de inasistencias obtendrá una calificación definitiva de 00 y perderá el derecho a presentar el Examen de Reparación.
IX. INFORMACIÓN ADICIONAL
Toda información que el estudiante deba conocer y que no se encuentre en este instructivo, será hecha de su conocimiento:
A través de su profesor en el aula de clases.
Publicada en la cartelera de Cálculo I, ubicada en el primer piso del edificio de aulas.
En el site de la materia (http://sites.google.com/site/calculoifiucv )
Se fijará y se publicará el horario de consultas y clases para los estudiantes de la asignatura, que ofrecen los preparadores de Cálculo I, así como el lugar de las mismas.
En los exámenes no se permitirá el uso de calculadoras, de tablas
ni teléfonos celulares.
Para presentar cualquier examen el estudiante debe identificarse con su cédula laminada y el carnet universitario.
X.BIBLIOGRAFÍA
1. Edwards, J. y Penney, David. Cálculo con Trascendentes Tempranas.
Séptima edición. Prentice Hall. 2008.
2. Guerreiro, Carlos. Cálculo I. Facultad de Ingeniería. UCV. 2004.
3. Leithold, Louis. El Cálculo. 7ma edición. Oxford University Press. 1999.
4. Saenz, Jorge. Cálculo diferencial con funciones trascendentes tempranas
para ciencias e ingeniería. Octava Edición. Hipotenusa. 2008
5. Stewart, James. Cálculo. Conceptos y contextos. 3era edición. Thomson.
XI.PLANIFICACION DE CONTENIDOS:
Lu Ma Mi Ju Vi No. Contenido Programático y Actividades
M
AR
ZO
05 06 07 08 09
1
TEMA 1. NÚMEROS REALES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA: Números Reales: Propiedades, Orden y Valor Absoluto. Propiedades del Valor Absoluto. Desigualdades. Intervalos en una Recta, Operaciones de Union e Interseccion. Inecuaciones: Inecuaciones de Primer Grado:
Lineales. Resolucion de Ejercicios.
Inecuaciones de Grado Superior:Inecuaciones Polinómicas: Descomposición de Factores, Estudio de los signos de los factores.Inecuaciones: Racionales, Irracionales.
Inecuaciones Con Valor Absoluto: Resolución de Problemas que impliquen Valores Absolutos con expresiones Polinómicas, Racionales, Irracionales, etc. Resolución de Inecuaciones por Definición y utilizando propiedades.
12 13 14 15 16
2
Resolución de Ejercicios.
Geometría Analítica del Plano: Generalidades, Eje de Coordenadas. Distancia entre dos puntos de un Eje de Coordenadas. Sistema de Coordenadas Rectangulares: Definición, Coordenadas de un Punto en el Plano. Distancia entre dos puntos del plano. Definición de Segmento. Coordenadas del Punto Medio de un Segmento. Pendiente de un Segmento.
Lugar Geométrico: Definición. La Recta: Definición como Lugar Geometrico, Inclinación y Pendiente. Formas de la ecuación de una recta: punto-pendiente, dados dos puntos, ordenada y abscisa en el origen, canónica. Ecuación General de la Recta.
M
AR
ZO 19 20 21 22 23
3
Posición relativa de dos rectas en el plano: Rectas Paralelas, Rectas Perpendiculares. Intersección entre dos Rectas. Condiciones de Paralelismo y Perpendicucularidad. Ángulo entre Rectas. Distancia entre: Punto Recta y dos rectas paralelas. Recta Bisectriz. Regiones en el plano que involucran rectas.
Secciones cónicas: Definición y Origen. Lugar Geométrico: Circunferencia: Definicion (ecuaciones canónica y general), elementos principales. Gráficas: completa, por ramas. Obtencion de la ecuación canónica desde la general. Otros Elementos: Cuerda, Diámetro. Intersección recta y circunferencia. Recta tangente a una circunferencia. Región en el plano que involucra circunferencia y rectas.
Lugar Geométrico: Elipse: Definicion (ecuaciones canónica y general), elementos principales. Gráficas: completa, por ramas. Excentricidad. Otros Elementos: Cuerda, lado recto. Obtencion de la ecuación canónica desde la general. Regiones en el plano que involucran rectas, circunferencias y elipses.
26 27 28 29 30
SEMANA SANTA
AB
RIL
02 03 04 05 06
4
Lugar Geométrico: Hipérbola: Definicion (ecuaciones canónica y general), elementos principales. Gráficas: completa, por ramas. Excentricidad. Otros Elementos: Asíntotas, Cuerda, lado recto. Obtencion de la ecuación canónica desde la general. Hipérbola Equilátera, Hipérbolas Conjugadas. Regiones en el plano que involucran rectas, circunferencias, elipses e Hipérbolas. Lugar Geométrico: Parábola: Definicion (ecuaciones canónica y general), elementos principales. Gráficas: completa, por ramas. Lado Recto.
Regiones en el plano: regiones que involucran rectas, circunferencias, elipses, hipérbolas y parábolas.
– CLASE DE REPASO –
– CLASE DE REPASO –
09 10 11 12 13
5
TEMA 2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL: Función: Definición y Ejemplos. Gráfica de una Función. Dominio y Rango: Definición y Propiedades. Cálculo de Dominio y Rango, Ejemplos de Funciones que aparecen en problemas de aplicación. Resolución de Ejercicios de Cáculo de Dominio y Rango.
Propiedades de Funciones: Funciones Pares e Impares. Simetría. Funciones Creciente y Decreciente, Funciones Periódicas. Función Acotada. Estudio del Signo de una Función. Cortes con los Ejes Coordenados. Representación Gráfica de Funciones Básicas Elementales. Funciones que se derivan de las Cónicas. Resolución de Ejercicios.
– EXAMEN PARCIAL I –
16 17 18
19
206
Estudio y Representación Gráfica de Funciones Básicas Elementales: Constante, Identidad, Potencial, Lineal, Polinómica, Raíz n-ésima, Racional, , Funciones a Trozos, Signo, Parte Entera, Valor Absoluto. Operaciones Algebráicas con Funciones: Funciones: Suma, Producto y Cociente: Definicion y Propiedades. Composición de Funciones: Definición y Propiedades.
19 DE ABRIL. DECLARACIÓN DE LA INDEPENDENCIA
Resolución de Ejercicios.
Función Inyectiva: Definición y Propiedades, Criterio de la Recta Horizontal. Restriccion de Dominio. Función Sobreyectiva y Biyectiva. Resolución de Ejercicios. Función Inversa:
Definición y Propiedades. Dominio. Determinación de la Función Inversa. Gráfica de una función Inversa. Funcion Paramétrica. Resolución de Ejercicios.
AB
RIL
23 24 25 26 27
7
Funciones Exponenciales: Leyes de los Exponentes. Definición de Funciones Exponenciales. Propiedades y Gráficas. El Número e. Función Exponencial Natural. Función Logaritmica: Definición, Propiedades y Gráficas. Función Logaritmo Natural. Resolución de Ejercicios. Funciones Trigonométricas y sus Inversas: Círculo Trigonométrico. Funciones Trigonométricas Básicas: Seno, Coseno, Tangente, Cosecante, Secante y Cotangente. Funciones Trigonometricas Inversas: Arcoseno, Arcocoseno, Arcotangente, Arcocosecante, Arcosecante y Arcocotangente. Dominio y Rango. Propiedades. Representación Gráfica. Valores de las funciones trigonométricas de los ángulos que limitan los cuadrantes.
Representación Gráfica de Funciones: Criterios de Traslación, Reflexión, Estiramiento y Compresión. Ejercicios Varios de Graficación.
– CLASE DE REPASO –
30
01
02 03 048
01 DE MAYO. DIA DEL TRABAJADOR
Resolución de Ejercicios y Problemas de Aplicación.
– CLASE DE REPASO –
–
EXAMEN PARCIAL II
–
VIERNES 04-05-18 1-3 pm
M
AYO
07 08 09 10 11
9
TEMA 3. LIMITES Y CONTINUIDAD: Motivación al concepto de Límite. Límite: Definición. Límite de una función. Ejemplos Gráficos. Teoremas sobre Límites. Limites Laterales. Límites de Funciones que tienden al Infinito. Límites de Funciones Evaluadas en el infinito. Resolución de Ejercicios.
Teorema del Sándwich. Cálculo de Indeterminaciones: 0 0,
,
,1 , 0 , 0 , 0 0 . Límites notables: Cálculo de Limites usando Límites
Notables. Resolución de Ejercicios.
Resolución de Ejercicios y Problemas de Aplicación.
14 15 16 17 18
10
Continuidad: Definición de función continua en un punto y en un intervalo. Tipos de discontinuidad. Teoremas sobre funciones continuas. Continuidad Lateral. Resolución de Ejercicios.
Resolución de Ejercicios y Problemas de Aplicación.
TEMA 4. DERIVADA DE UNA FUNCION: Introducción: El Problema de La Recta Tangente.
Derivada, Diferenciabilidad y Continuidad: Definición de Derivada, Interpretación Geométrica y Física. Cálculo de Derivadas por Definición. Reglas de Derivación:Derivadas de Sumas y Múltiplos Escalares, Regla del Producto, Regla del Cociente. Resolución de Ejercicios.
21 22 23 24 25
11
Derivada de Funciones Elementales. Notación de Leibniz. Derivadas Laterales. Resolución de Ejercicios y Problemas de Aplicación.
Derivada de Funciones Compuestas: Regla de la Cadena. Derivada de Funciones Logaritmicas, Exponenciales. Derivada de Funciones Trigonométricas.
Técnicas de Derivación: Derivacion Implicita, Derivada de la Función Inversa, Derivación Logaritmica. Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas.
28 29 30 31 01
12
Derivada de la Función Paramétrica. Derivada de Funciones Hiperbólicas y sus Inversas. Derivadas de Orden Superior. Resolución de Ejercicios y Problemas de Aplicación.
– EXAMEN PARCIAL III –
VIERNES 01-06-18 1-3 pm
JUN
IO
04 05 06 07 08
13
TEMA 5. APLICACIONES DE LA DERIVADA: Aplicaciones Geómetrica: Rectas Tangentes y Normal. Curvas Ortogonales. Ángulo entre Curvas. Otras Aplicaciones:
Velocidad y Aceleración. Teoremas de Valor Medio: Regla de L’Hopital. Resolución de Límites.
Resolución de Ejercicios.
Valores Extremos de una Función: Definición de Extremos de una Función. Definición de Punto Crítico. Máximos y Mínimos. Criterio de la Primera Derivada. Criterio de la Segunda Derivada. Extremos Relativos y Extremos Absolutos. Máximos y Mínimos en los Extremos de un Intervalo. Cálculo de Maximos y Mínimos de Funciónes.
JUN
IO
11 12 13 14 15
14
Resolución de Ejercicios: Cálculo de Máximos y Mínimos.
Trazado de Curvas: Estudio General de una Función identificando: Dominio, Simetría y Periodicidad, Cortes con los Ejes, Continuidad y Asíntotas, Signo de la Función. Estudio de la 1era Derivada: Puntos Críticos, Intervalos de Monotonía. Estudio de la 2da Derivada: Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión.
Resolución de Ejercicios: Trazado de Curvas.
18 19 20 21 22
15
Problemas de Razón de Cambio: Problemas Geométricos: Áreas, Perímetros y Volumenes. Problemas Fisicos, Químicos: Movimiento de Cuerpos y/o Partículas, Cargas Electricas, Intensidad de Corriente, Llenado y Vaciado de Tanques, La ley de Boyle, Ley de Enfriamiento de Newton. Velocidad de Reacción; etc. Otros Problemas: Oferta y Demanda, Crecimiento Poblacional, Crecimiento Bacteriano, Capacidad Calórica, etc.
Resolución de Ejercicios: Problemas Razon de Cambio.
Problemas de Optimización: Resolución de Problemas de diversas naturaleza: Geométricos, Fisicos, Potencial Electrico, Potencia Disipada, Movimiento de Proyectiles. Demanda y Oferta, Costo de Producción, etc.
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16
Resolución de Ejercicios: Problemas de Optimización.
– CLASE DE REPASO –
– EXAMEN PARCIAL IV –
VIERNES 29-06-18 1-3 pm
JULIO
02 03 04
05
0605 DE JULIO. DIA DE LA INDEPENDENCIA.
– SEMANA DE ESTUDIO –
09 10 11 12 13
