RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS DEL TEMA 2
1) Al colocar el cuerpo de m8Kg sobre el muelle, lo comprime l20cm. Con este dato, podemos determinar la constante elástica del muelle. Puesto que el cuerpo está en equilibrio, la suma de todas las fuerzas que actúen sobre él, es cero. Sobre este cuerpo actúa la fuerza peso, y la fuerza elástica del muelle.
m N l
mg k mg kl P
Fe peso 392
20 . 0
8 . 9 · 8
a) Conociendo la constante elástica, podemos determinar la frecuencia angular natural del movimiento armónico simple.
s rad m
k m
k 7
8 392
2
También sabemos que,
Hz f
f 1.11
2 7 2
2
Al desplazar 40 cm. el cuerpo hacia debajo de la posición de equilibrio, estamos marcando cuál va a ser la amplitud del movimiento, A0.40m.
b) Determinar la posición en cada instante, significa hallar la ecuación del MAS. Podemos escribirla utilizando la función seno o la función coseno, la diferencia que existirá entre las dos formas de expresar el MAS estará en la fase inicial.
Utilicemos la función seno. Entonces, la ecuación será de la forma, )
sin( A t y
Con lo que ya conocemos podemos escribir,
) 7 sin( 40 .
0
t
y
Únicamente nos queda por determinar la fase inicial . Para ello necesitamos conocer la posición del cuerpo en algún instante. Conocemos la posición en el instante inicial, que es de 40 cm. hacia abajo con respecto a la posición de equilibrio. Si tomamos distancias positivas hacia arriba y distancias negativas hacia abajo, tenemos que en el instante inicial (t0), la posición es de y0.40m. Así,
rad 2 3 1
sin sin
40 . 0 40 .
0
Entonces tenemos,
peso
P
e
m t
y )
2 3 7 sin( 40 .
0
Para obtener la ecuación de la velocidad, sólo tenemos que derivar la ecuación de la posición.
s m t
t dt
dy
v )
2 3 7 cos( 80 . 2 ) 2 3 7 cos( 7 · 40 .
0
2) a) Para determinar la posición del punto material en cualquier instante, necesitamos encontrar la ecuación del MAS.
Sabemos que,
m cm
A10 0.10 y que describe dos oscilaciones cada segundo;
s rad f
Hz
f 2 2 4 Así que,
) 4 sin( 10 .
0
t
y
Vamos a determinar la fase inicial. El enunciado no nos dice nada de la fase inicial. Vamos a considerar que inicialmente está en el máximo. Pero podríamos haber tomado otra. Por tanto, vamos a considerar que,
2 1
sin sin
10 . 0 10 . 0 ) 0
( y
La ecuación nos queda,
) 2 4 sin( 10 .
0
t
y
Ya podemos determinar la posición en el instante que nos dicen simplemente haciendo s
t 12
1 ,
cm m
y ) 0.05 5
2 12
1 4 sin( 10 .
0
b) Acudiendo a la relación 2 m k ,
m N m
k 2 0.5·(4)2 78.96 c) Para la velocidad de oscilación tenemos,
) 2 4 cos( 26 . 1 ) 2 4 cos( 4 · 10 .
0
t t
dt dy v
Al pasar por el punto centrar, la velocidad que lleva, es la máxima, es decir, m
A
Luego la energía cinética que tiene en le punto central, será también máxima. J
mv
Ec 0.5·1.26 0.395 2
1 2
1 2 2
0
0
En el instante t s 12
1 ,
s m
v 1.09
3 2 cos 26 . 1 ) 2 12
1 4 cos( 26 . 1 12
1
Así que,
J mv
Ec 0.5·( 1.09) 0.298 2
1 12
1 2 1 12
1 2
2
3) Sabiendo que la frecuencia es el nº de oscilaciones que se producen en una unidad de tiempo,
Hz f 0.6
20 12
La velocidad de propagación de la onda es,
s m
V 2
6 12
Luego la longitud de onda es,
m f
V
VT 3.33
6 . 0
1 · 2 1
4) a) La velocidad de propagación es,
s m t
S
V 25
2 50
b) Utilizando las expresiones que conocemos,
s f
T 100
10 1 1
2
m VT 25·1002500
5) La ecuación de onda es de la forma,
) sin( t kx A
y
considerando la fase inicial en el origen cero. Averiguamos las distintas variables.
s rad
f
2 2 ·60120
m f
V VT
12 1 60
5
1
24 12 · 2
2
k m
) 24 120 sin( 2 .
0 t x
y
6) a) Necesitamos determinar la velocidad de propagación de la onda, para calcular la frecuencia y el periodo.
s m t
S
V 1
10 10
s V
T
VT 0.75
1 75 . 0
Hz T
f 1.33
3 4 75 . 0
1
1
b) La ecuación de la onda es,
) sin( A t kx y
La fase inicial en el origen no es cero, ya que cuando la piedra cae en el agua, arrastra el agua con ella hasta el punto en que ya se hunde, y la superficie del agua empieza a oscilar desde el punto más bajo, que vamos a considerarlo de coordenada negativa, mientras que cuando la perturbación suba por encima del nivel de reposo del agua tendrá coordenada positiva.
s rad
f
3 8 3 4 2
2
1 3 8
4 3 2
2
m
k
Entonces,
A t x y
3 8 3 8 sin
Hemos dicho que en el instante inicial y en el origen se cumple que,
2 1
sin sin
) 0 , 0
( A A y
Así, tenemos,
2 1 3 8 3 8
sin t x A
y
Con la información que nos dan en el instante 0.25 s, podemos encontrar ya la amplitud. m
A A
A A
y 4·10 2
2 1 6
1 sin 2
1 3 2 sin 2
1 25 . 0 3 8 sin )
25 . 0
(
Despejando, tenemos que,
cm m A8·102 8
2 1 3 8 3 8 sin 08 . 0 ) ,
(t x t x
y c) Se trata simplemente de sustituir.
cm m
y 0.08 8
2 1 sin 08 . 0 2 1 16 sin 08 . 0 2 1 6 3 8 12 3 8 sin 08 . 0 ) 6 , 12 (
d) Puesto que en ese mismo punto, la perturbación está en el punto más bajo posible, tiene una velocidad de cero. Aún así, vamos a comprobarlo hallando la ecuación de la velocidad. 2 1 3 8 3 8 cos 3 64 . 0 2 1 3 8 3 8 cos 3 8 · 08 .
0 t x t x
dt dy v 0 2 1 cos 3 64 . 0 2 1 16 cos 3 64 . 0 2 1 6 3 8 12 3 8 cos 3 64 . 0 ) 6 , 12 ( v
e) La aceleración, será la máxima positiva, puesto que está dirigida hacia arriba.
2 2
2
0 5.61
3 8 · 08 . 0 s m A
a
También, podíamos haber determinado la ecuación de la aceleración, y sustituir el instante y la posición, pero no es necesario, puesto que sabemos que está en un extremo. 7) Suponemos que el movimiento periódico es armónico, que el enunciado del problema no lo dice pero nos imaginamos que es así.
Para responder a todas estas preguntas, es necesario que determinemos la ecuación de la onda.
Puesto que no nos dice nada de la fase inicial del foco, la suponemos cero, si no fuese cero, nos tendrían que dar datos para determinarla. De todas formas, el hecho de tomar la fase inicial del foco como cero, es tomar la referencia de fase en dicho foco. Es decir, si en otro punto determináramos que la fase es 30º quiere decir con respecto al foco. Si la fase inicial no fuese cero, sino 10º, entonces la fase de este punto sería 40º (30º más). Por tanto, la ecuación es de la forma,
) sin( t kx A
y
Determinemos las tres variables que necesitamos. m cm
A4 0.04
s rad T
f
2 2 2 2 1 2 2 · 50 . 0 2 2
2
m
VT
k
Por tanto, ) 2 sin( 04 . 0 ) ,
(t x t x
y
0 2 sin 04 . 0 ) 0 , 2 ( y
y 0.04m
2 3 sin 04 . 0 ) 25 . 0 2 2 sin( 04 . 0 ) 25 . 0 , 2 (
y 0.04m
2 sin 04 . 0 ) 75 . 0 2 2 sin( 04 . 0 ) 75 . 0 , 2 (
y(2,1.00)0.04sin(2 2)0.04sin00 b) Sustituyamos valores.
0 0 sin 04 . 0 2 sin 04 . 0 ) 2 4 sin( 04 . 0 ) 00 . 1 , 4 ( y
y 0.04m
2 sin 04 . 0 5 . 2 sin 04 . 0 ) 2 5 . 4 sin( 04 . 0 ) 00 . 1 , 5 . 4 (
y(5,1.00)0.04sin(5 2)0.04sin3 0.04sin 0 8) Nos dicen que,
) 200 4 sin( 10 ) 100 2 ( 2 sin
10 x t x t
y
Es una onda que se propaga en el eje positivo del eje x. Fijándonos en la ecuación de la onda, tenemos que,
m
A10 , k 4 m1,
s rad 200
m k 4 0.5
2 2
; f 100Hz
2 200
2
; s m f T
V 0.5·10050
9) Nos dicen que,
) 90 55 . 0 sin( 5 . 1 ) 90 55 . 0 ( sin 5 .
1 x t x t
y
donde las distancias están en cm. Se trata de una onda que se propaga en el sentido negativo del eje x.
Tenemos que, 1 55 . 0 cm
k , y que
s rad 90
Entonces,
cm k 0.55 3.64
2
2
; f 45Hz
2 90
2
; ms s f
T 22.2·10 22.2
45 1
1 3
;
s cm k
T
V 163.6
55 . 0 90
10) Nos dicen que,
) 25 . 1 4 . 0 sin(
25 t x
donde las distancias están en cm. Tenemos que,
s rad 4 . 0
, y que 1
25 .
1
cm k
a) La velocidad de fase es la velocidad de propagación de la onda.
s cm k
V 0.32
25 8 25 . 1
4 . 0
; f 6.4·10 2 Hz
5 1 2
4 . 0 2
;
cm
k 5 5.03
8 25 . 1
2 2
b) El punto que está a 100 cm del foco, se mueve con un MAS que viene dado por la ecuación,
) 125 4 . 0 sin( 25 ) 100 ,
(t t
y
Tiene como fase 0.4t125. Estarán en fase con este punto, todos aquellos que tengan como fase 0.4t125 más o menos múltiplos de 2 . Es decir,
n t
x
t 1.25 0.4 125 2 4
.
0
donde n es cualquier número entero. Si despejamos x, se nos va la dependencia con el tiempo, como es normal, y obtenemos,
n n
x
5 8 100 25
. 1
2 125
expresado en cm. Lógicamente el resultado que hemos hallado es que están en fase todos los puntos que distan múltiplos de longitudes de onda del punto x100cm.
Los puntos que están en oposición de fase son aquellos que están en medio de dos puntos que están en fase. Matemáticamente, podemos decir que los puntos que están en oposición de fase son aquellos cuya fase es 0.4t125 más o menos múltiplos impares de
. Es decir,
) 1 2 ( 125 4 . 0 25 . 1 4 .
0 t x t n donde n es cualquier número entero. Despejando x, tenemos,
) 1 2 ( 5 8 2 1 100 25
. 1
) 1 2 ( 125
n n
x
expresado en cm. Hemos obtenido, que están en oposición de fase, todos aquellos puntos que distan múltiplos impares de media longitud de onda desde x100cm.
c) En el instante inicial, el punto situado a x5cm del foco se encuentra con una elongación de,
cm y(0,5)25sin(0.4·01.25·5)0.83
Cuando tiene velocidad máxima, es cuando pasa por el origen, luego su fase debe ser 0 o múltiplos de rad. La fase de este punto es 0.4t6.25 radianes, donde para t0, la fase es 6.25 rad. Hay que ver conforme aumenta el tiempo, cuando se alcanza un múltiplo impar de .
Puesto que conforme aumenta el tiempo, le vamos a ir sumando un número positivo cada vez más grande, la fase inicial, que es negativa, se irá haciendo cada vez menos negativa, y el primer valor que va a alcanzar es el de . Por tanto, sólo nos queda averiguar cuánto tiempo tiene que pasar para que la fase tome este valor.
s t
t 7.77
4 . 0 25 . 6 25
. 6 4 .
0
11) El foco emisor se mueve con un MAS que viene descrito por, t
y2sin10 m
a) Las ondas que se forman son de la misma frecuencia que la del foco, puesto que,
s rad
10 , f 5Hz
2 10
2
La longitud de onda de las ondas que se forman, dependen de la velocidad a la que se propague la perturbación. Nos dicen que esta velocidad es de 12 m/s. Por tanto:
m f
V
4 . 2 5 12
b) Suponemos que la propagación se realiza en la del sentido positivo del eje x. Así, la ecuación de la onda es,
) 6 5 10 sin( 2 ) 2 10 sin( 2 ) 10
sin(
2 t kx t x t x
y
Para obtener el MAS que tiene un punto situado a 0.6 m del foco, simplemente tenemos que hacer x0.6m.
) 2 10 sin( 2 ) 6 . 0 6 5 10 sin( 2 ) 6 . 0 ,
(t t t x
y .
12) a) Una onda que se propaga en el sentido negativo del eje x, es de la forma, )
sin( t kx A
y
Tenemos:
m
A3 ; 1
5 10 2
2
m
k
;
s rad
Vk
20
5 · 100
Luego la ecuación nos queda,
) 5 20 sin(
3 t x
y b) La velocidad transversal máxima es,
s m A
2 2
2
0 3(20 ) 11843.5 s m A
a
13) a) Con la longitud de onda, y la velocidad a la que se propaga, podemos determinar la frecuencia de la onda.
Hz V
f 660
50 . 0
330
b) La potencia de la explosión es de,
w
P 500000
01 . 0 5000
Ésta, es la energía que por unidad de tiempo se propaga, puesto que lo hace en una esfera, si queremos averiguar cuánta energía por unidad de tiempo toca a cada unidad de superficie, debemos dividir entre la superficie que tiene una esfera de 50 m de radio, que es a la distancia que nos pregunta la intensidad. No olvidemos, que la intensidad es precisamente eso, la energía que por unidad de tiempo atraviesa una superficie unidad colocada perpendicularmente a la propagación de la onda.
2 2
2 15.92
50 4 500000
4 m
w R
P
I
c) Podemos determinar la intensidad a 100 m utilizando la misma expresión que en el apartado anterior. O podemos acordarnos de que la intensidad varía inversamente proporcional a cuadrado de la distancia cuando la onda se propaga en las tres dimensiones debido al efecto de la atenuación.
2 1
2 2 2 1
R R I I
2 2
2 2
2
98 . 3 100
50 92 . 15 100
50 ) 50 ( ) 100 (
m w I
I
Como vemos, al doble de distancia, la intensidad no es la mitad, sino la cuarta parte. 14) Nos dice que calculemos la intensidad sonora de una onda que a 1 m del foco tiene una intensidad de 10-2 w/m2. Según la magnitud definida para medir la intensidad en
decibelios, tenemos,
dB
100 10 · 10 10
10 log 10 ) 1
( 12
2
Vamos a ver ahora a una distancia de 1000 m. Debido al efecto de la atenuación, la intensidad será menor.
2 8 2 2 2 2
1 2 2 2 1 2 1
2 2 2
1 10
1000 1 10
m w R
R I I R R I
I
dB
40 4 · 10 10
10 log 10 ) 1000
( 12
8
15) Estamos en una situación de absorción de la onda por el medio. Hemos visto en teoría que la ley que se cumple es,
x
e I I 0
Nos dan el espesor de semiabsorción, es decir, el espesor del material necesario para que se absorba la mitad de la intensidad que incide, y por tanto sea la otra mitad la que atraviesa el material. Con este dato, podemos obtener el coeficiente de semiabsorción .
2 0 0
I e
I
I L 0.1 1
93 . 6
2 ln 2 ln 2
1
cm
L
e L
Nos piden el espesor para que la intensidad saliente sea el 10%, es decir, la décima parte de la que entra.
cm x
I e
I
I x 23
1 . 0
10 ln 10
0
0
16) El espesor necesario para que la intensidad saliente sea un octavo de la que incide, se calcula imponiendo la ecuación de absorción.
cm x
I e
I
I x 4.16
5 . 0
8 ln 8 ln 8
0
0
Sabemos que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda. Por tanto,
0 0
0 0
2 0 1 0 1 2 0
2 1 0
1 0.35
8 1
8 A A
I I A I I A A A
A I
I
Luego la amplitud de la onda saliente es un 35% de la entrante, es decir, la amplitud se ha reducido en un 65%.
17) Hemos visto, que para que se forme una onda estacionaria, es necesario que interfieran dos ondas que se propagan en la misma dirección pero en sentidos opuestos, tal y como ocurre cuando una onda se refleja e invierte su sentido.
Hemos visto, que si las dos ondas tienen por ecuaciones, )
sin( t kx A
yd ; yr Asin(tkx)
La suma de las dos ecuaciones nos da la siguiente ecuación, t
kx A
y2 sin cos La ecuación que a nosotros nos dan es,
t x
y4cos0.5 sin20
Comparando las ecuaciones, vemos que es , por tanto . El número que va multiplicando a es , así que . Y por último, el número que va multiplicando a es , y en consecuencia .
En una onda estacionaria, cada punto del medio tiene un MAS cuya amplitud depende de su posición según la expresión,
kx A x
AT( )2 sin
Luego el efecto, es el de una vibración que está confinada en una región del espacio, y no se observa cómo las crestas de la onda se van desplazando por el medio, puesto que no lo hacen.
a) Como ya hemos visto, comparando la ecuación de la onda estacionaria con la ecuación que nos dan, vemos que,
cm A2
siendo la amplitud de las dos ondas que interfieren.
La velocidad a la que se mueven estas dos ondas, cada una en sentido opuesto a la otra, es,
s cm k
V 40
5 . 0
20
b) Los nodos, son aquellos puntos del medio que no oscilan, tienen amplitud cero. Estos puntos se encuentran distanciados media longitud de onda entre sí.
cm k 0.5 4
2 2
Por tanto, están separados cada,
cm 2 2 4 2
Podemos encontrar las posiciones de los nodos. Para que la amplitud sea cero, debe cumplirse que,
0 5 . 0 cos x
2 5 .
0
x x1cm
por ejemplo. También se podía haber igualado a 3/2, o a 5/2, etc. Pero nos hemos quedado con la más sencilla. Así que, en x1cm hay un nodo. Y sabemos que el resto de nodos se encuentran a cada 2 cm de este punto, es decir,
cm n nodo
x( )12 donde n es cualquier número entero.
c) Para determinar la ecuación de la velocidad de una partícula, tenemos que derivar la ecuación de la onda.
) 20 cos( ) 5 . 0 cos( 80 ) 20 cos( ) 5 . 0 cos( 20 ·
4 x t x t
dt dy
s cm t t
v(2)80cos()cos(20)80cos(20 )
18) Cualquier onda de la misma frecuencia y longitud de onda, que se mueva en sentido contrario a la onda dada, producirá una onda estacionaria. Por tanto, si la ecuación de la onda es,
) 57 . 0 2 5 . 0 ( 2 sin
60
x t
y
Una onda del tipo,
) 2 5 . 0 ( 2 sin 60
1
t
y
con cualquier valor, dará una onda estacionaria. Según el valor que tome , los nodos se encontrarán en unas posiciones u otras. Utilizando la relación trigonométrica
) 2 cos( ) 2 sin( 2 sin
sinA B AB AB vamos a determinar la onda estacionaria.
(0.5 2 )
2 sin 60 ) 57 . 0 2 5 . 0 ( 2 sin 60
1
t x t
x y
y yT
) 2
57 . 0 2
( 2 cos ) 2
57 . 0 5
. 0 ( 2 sin
120
x t
19) a) Si el tubo está abierto por los dos extremos, tiene un antinodo en cada extremo. La longitud del tubo es de
m cm
L15 0.15
La onda que se va a producir es una onda de sonido, por tanto, tomaremos
s m V 340
La situación más simple, es la que nos da la frecuencia fundamental, la más baja. Como vemos, tiene un nodo en el centro.
En esta situación, se cumple que 0 2L. Donde 0 es la longitud de onda de la onda fundamental. Su frecuencia es,
Hz L
V V
f 1133
15 . 0 · 2
340 2
0
0 , que es perfectamente audible.
La siguiente situación en complejidad, tiene dos nodos, y según el dibujo, observamos que 1 L. Éste, es el primer armónico.
Hz L
V V
f 2267
15 . 0
340
1
1 , que es audible.
Ahora, tenemos tres nodos, y se cumple que 2 2L/3, para el segundo armónico, ya que .
Hz L
V V
f 3400
15 . 0 3 2
340
3 2 2
2 . Es audible también.
Para el tercer armónico, tenemos cuatro nodos. Se cumple que 3 L/2.
Hz L
V V
f 4533
15 . 0 2 1
340
2 1 3
3 . Audible.
Para el cuarto armónico, tenemos cinco nodos. Se verifica que 4 2L/5. Hz
L V V
f 5667
15 . 0 5 2
340
5 2 4
4 . Audible.
Si nos fijamos un poco, podemos encontrar una ecuación que es válida para la longitud de onda de cualquier armónico. La ecuación es,
1 2
n L
n
donde n toma valores en los números naturales. Podemos entonces, escribir la ecuación de la frecuencia para cualquier armónico,
L V n fn
2 ) 1 (
Esta ecuación la utilizaremos en el apartado c.
b) Si en este caso, el tubo está cerrado por un extremos tendrá ahí un nodo, y tendrá un antinodo en el otro extremo abierto.
Para la onda fundamental, tenemos que 0 4L. Y con esto, la frecuencia fundamental es,
Hz L
V V
f 567
15 . 0 · 4
340 4
0
0
Que está dentro del rango audible. Tiene un único nodo en un extremo. Para el primer armónico, tenemos que 1 4L/3. Con lo cual
Hz L
V V
f 1700
15 . 0 3 4
340
3 4 1
1 , que es audible. Tiene dos nodos.
Para el segundo armónico tenemos tres nodos, y se cumple que 2 4L/5.
Hz L
V V
f 2833
15 . 0 5 4
340
5 4 2
2 . Audible.
Hz L
V V
f 3967
15 . 0 7 4
340
7 4 3
3 , que es perfectamente audible.
Para el cuarto armónico, se cumple que 4 4L/9. Hay cinco nodos.
Hz L
V V
f 5100
15 . 0 9 4
340
9 4 4
4 , que es audible.
Si nos fijamos en cuáles son las longitudes de onda de los distintos armónicos, podemos deducir fácilmente la siguiente expresión general;
1 2
4
n L
n
Y una expresión general para las frecuencias que viene dada por;
L V n fn
4 ) 1 2 (
c) Para saber cuántos armónicos somos capaces de escuchar, debemos ver cuántos hay tal que su frecuencia sea menor de 20000 Hz.
Para el caso del tubo abierto por los dos extremos, tenemos que plantear, 20000
2 ) 1 (
L V n
fn , y despejar n
6 . 16 1 340
20000 · 15 . 0 · 2 1 20000 ·
2
V L n
Por tanto, el n máximo es 16. Luego se escuchan 16 armónicos aparte de la onda fundamental.
Para el tubo abierto por un extremo y cerrado por el otro, tiene que cumplirse que, 20000
4 ) 1 2 (
L V n
fn 17.1
2 1 340
20000 · 15 . 0 · 2 2 1 20000 · 2
V L n
Por tanto, el n máximo es 17. Luego se escuchan 17 armónicos más la onda fundamental.
20) a) Puesto que se trata de una cuerda con los dos extremos fijos, tiene un nodo en cada extremo. La onda estacionaria fundamental, es la más simple posible, y es aquella que cumple que,
2
0 L
donde L es la longitud de la cuerda. Por tanto,
m L 2·0.68 1.36 2
0
b) La velocidad a la que se propaga la onda por la cuerda es, m f
c) La vibración de la cuerda, se transmite al aire con la misma frecuencia. Hay que recordar, que cuando una onda pasa de un medio a otro, lo que se conserva, es la frecuencia. Por tanto, la frecuencia es 220Hz. La longitud de onda sí cambia, puesto que la onda se propaga a otra velocidad. En el aire la longitud de onda es,
m f
sonido V
55 . 1 220 340 ) (
Que es mayor que la de la cuerda puesto que la onda se mueve más rápida en el aire, y durante el tiempo de una oscilación le da tiempo a recorrer más espacio en el aire que en la cuerda.
d) Si queremos que la frecuencia sea f'0262Hz, quiere decir que,
m f
V
87 . 0 262
2 . 229 '
' 0
0
Y por consiguiente, la longitud de la cuerda debe ser, cm m
L 0.44 44
2 87 . 0 2
'
' 0
Luego debemos pisar la cuerda a 684424cm del extremo de la cuerda donde se digitaliza.
21) Determinemos la frecuencia angular y el número de ondas de las dos ondas que interfieren.
s rad
f
2 2 ·100200
1 17 10 340 200 2
2
2
m
V V
f f
V
k
Entonces, las dos ondas que interfieren son,
) 17 10 200 sin( 04 . 0
1 t x
y
) 17 10 200 sin( 04 . 0
2 t x
y
Las distancias a O1 la hemos llamado x1, y a O2 las hemos llamado x2.
Cuando , la fase es , es decir, están en fase. Hemos supuesto la fase inicial en el foco igual a cero. Se podría haber puesto otro valor, y el resultado no cambiaría.
En teoría, hemos visto que,
) sin(
2
1
y y A t y
Donde es la misma que la de las ondas que interfieren, O1 O2
1 x
) (
cos
2 1 2 1 2 2
2 2
1 A AA k x x
A
A , y
2 2 1 1 2 2 1 1 cos cos sin sin arctan kx A kx A kx A kx A cm m x x k A
A (87.5 75)) 0.042 4.2
17 10 cos 1 ( 04 . 0 · 2 )) ( cos 1 ( '
2 2 1 2 2
rad x k x k x k x k 755 . 0 75 17 10 cos 5 . 87 17 10 cos 75 17 10 sin 5 . 87 17 10 sin arctan cos cos sin sin arctan 2 1 2
1
Por tanto, m t
y0.042sin(200 0.755)
22) Se trata de la interferencia de dos ondas de igual frecuencia y amplitud, cuyos focos están en fase. Hemos visto, que en este caso, la onda total tiene como ecuación,
) sin(
2
1
y y A t y
donde,
) (
cos
2 1 2 1 2 2
2 2
1 A AA k x x
A
A , y
2 2 1 1 2 2 1 1 . cos . cos . sin . sin arctan x k A x k A x k A x k A .
a) Vamos a ver cuál es la amplitud del punto P. Para el punto P se ve que x1x2, y entonces,
1 ) (
cosk x1x2 y por lo tanto,
' 2 2 · ' 2 ) ) ( cos 1 ( '
2A2 k x1 x2 A2 A
A
Donde hemos representado A' como la amplitud de las dos ondas que interfieren.
Por tanto, al cumplirse que A2A', quiere decir que hay interferencia constructiva. Por consiguiente, todos los puntos que forman el eje, tienen interferencia constructiva.
b) Para el punto P1, vamos a determinar cosk(x1x2).
1 ) 1000 950 ( 5 . 0 2 cos ) ( 2
cos 1 2
x x
Luego también hay interferencia constructiva.
donde,
1 cos( )
'
2 2 1 2
2
A
A y
2 2 1 2
Determinemos y k.
s rad
f
2 2 200400
1 8 50
400
m
V k k
V
Un desfase de ¼ de ciclo es de /2rad, puesto que una vuelta, que es un ciclo, tiene rad
2 .
Las ecuaciones de las ondas que interfieren son, )
8 400 sin( 02 . 0
1 t x
y ; )
2 8 400 sin( 02 . 0 2
t x
y
Para que estén desfasadas en rad 2
, hemos puesto,
0 1 y
2 2
Podríamos haber puesto otros valores que mantengan el mismo desfase. Y la amplitud es,
2 22 1 2
2
8 ) 2 0 cos( 1 ( 2 · 2 ) cos(
1 '
2A cm
A
Y la fase inicial en el foco es,
4 2
2 0
2
Por tanto,
m x
t
y )
4 8 400 sin( 10
8 2
24) a) Tenemos que f01000Hz, y que
s m
V 340 . Podemos determinar fácilmente la longitud de onda,
cm m
f V f
V 0.340 34.0
1000 340
0 0 0
0
b) Las expresiones que hemos visto en teoría para el efecto Doppler son,
0 f
V V F
, y f0
V V
V V f
F O
Donde V es la velocidad de la onda, VF es la velocidad del foco, y VO es la velocidad del observador. Para aplicar esta expresión correctamente, habrá que tener en cuenta que el observador siempre lo colocaremos a la derecha del foco. Y segundo, hay que tener en cuenta también, que si las velocidades son hacia la derecha son positivas, y si son hacia la izquierda son negativas, salvo V que siempre la tomaremos positiva.
Para calcular la longitud de onda delante del foco, disponemos los elementos de la siguiente manera.
En esta situación, VF es positiva. Entonces,
cm m
f V
V F
0 . 30 300
. 0 1000
40 340
0
1
Las ondas se acortan debido a que el foco comprime los frentes de ondas que tiene delante.
Para calcular la longitud de onda detrás del foco, colocamos así los distintos elementos.
En esta situación, VF es negativa. Por tanto,
cm m
f V
V F
0 . 38 380
. 0 1000
40 340
0
2
Los frentes de ondas, se ven alargados debido a que el foco se aleja.
Como vemos, la longitud de onda se acorta o se alarga en la misma cantidad, para este caso en 4 cm.
c) No ocurre así para el caso de la frecuencia, que para el primer caso el observador en reposo percibiría 1133.3 Hz, y para el segundo percibiría 894.7 Hz. En el primer caso se ha distanciado en 133.3 Hz, mientras que en el segundo 105.3 Hz. Veámoslo:
Hz f
V V
V V f
F
O 1000 1133.3
40 340
0 340 0
1
Hz f
V V
f O 340 0 1000 894.7
0
2
Y
X V
O
F
V F Y
X V
F
V
d) La situación, es la siguiente.
Entonces, VF es cero y VO es positiva.
Hz f
V V
V V f
F O
4 . 882 1000 0 340
40 340
0
Es curioso, pero no percibimos la misma frecuencia si el foco se aleja de nosotros o si somos nosotros los que nos alejamos del foco.
25) Pasemos al S.I.
s m h
Km
3 . 33 120
Vamos a determinar la frecuencia cuando se acerca el coche, y después cuando se aleja. Cuando se acerca tenemos los elementos así.
Luego VF es positiva y VO es cero.
Hz f f
f V V
V V f
F O
0 0
0
1 1.109
3 . 33 340
0
340
Cuando el coche se aleja, la situación es la siguiente.
F
V es negativa y VO es cero.
Hz f f
f V V
V V f
F O
0 0
0
2 0.911
3 . 33 340
0 340
Por tanto,
Y
X V
O
F
V F Y
X V
F
V
O F
Y
X V
O
O
0 0
1
2 f (0.911 1.109)f 0.198f f
f
El signo menos, indica que hay una disminución de frecuencias, y el 0.198 se puede poner como 19.8% de la frecuencia que emite el coche, que es casi un 20% o lo que es lo mismo 1/5 de la frecuencia que emite el coche.
