FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

1

I.P.A Fundamentos de la Matemática Curso 2018 Prof: Adrián Milano

NÚMERO COMPLEJO (Segunda parte)

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Decimos que

f

es una función de variable compleja si, y solo si,

f D

:

→

ℂ

_{es una función, donde}

_D

⊂

ℂ

_.

Si

f D

:

→

ℂ

_{es una función y}

_z

= +

_{x iy}

_{es un elemento que pertenece a}

_D

_{, podemos expresar}

_{f z}

_{( )}

_{de la}

siguiente forma:

f z

( )

=

u x y

( , )

+

iv x y

( , )

donde

u

y

v

son funciones de dos variables reales, llamadas respectivamente, funciónparte real y función parte imaginaria de

f

.

Por ejemplo, para la función

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

_z

2

+ +

_z

₁

_{tenemos que si}

_z

= +

_{x iy}

_{, entonces}

2 2 2

( )

(

)

1 (

1

)

(2

)

f z

= +

x iy

+ + + =

x iy

x

+ + −

x

y

+

i

xy

+

y

y por lo tanto las funciones

u

y

v

están definidas de la siguiente manera:

u

:

ℝ

2

→

ℝ

_y

_v

_:

ℝ

2

→

ℝ

_{tal que}

_{u x y}

_{( , )}

=

_x

2

+ + −

_x

₁

_y

2 _y

_{v x y}

_{( , )}

=

₂

_xy

+

_y

Las funciones de variable compleja más elementales son las funciones polinómicas. Llamamos función polinómica compleja a las funciones de la forma:

:

f

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

1 2 2

1 2 2 1 0

0

( )

...

k n

k n n n

k n n n

k

f z

a z

a z

a

z

a

z

a z

a z

a

=

− −

− −

=

=



=

+

+

+ +

+

+

donde

1 2 2 1 0

,

,

,...,

,

,

n n n

a

a

₋

a

₋

a a a

son números complejos cualesquiera, llamados

coeficientes de la función. Si

a

_n

≠

0

decimos que

f

es una función polinómica de grado

n

y escribimos

gr f

( )

=

n

Decimos que el número complejo

α

es raíz de la función polinómica

f

:

ℂ

→

ℂ

_{si, y solo si,}

_f

_{( )}

α

=

₀

Ejercicio 1

1) Hallar las funciones parte real y parte imaginaria de las siguientes funciones:

a)

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

₃

_z

2

−

₁

b)

f

:

ℂ

−

{ }

0

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

z

z

=

2) Expresar en función de

z

,

z

= +

x iy

, las siguientes funciones: a)

f

:

ℝ

2

−

{

(0, 0)

}

→

ℂ

tal que

f x y

( , )

x iy

x iy

_{2 2}

x

y

+

= + +

+

b)

f

:

ℝ

2

→

ℂ

_{tal que}

_{f x y}

_{( , )}

=

_x

2

+

_y

2

+

_{i x}

₍

2

−

_y

2

₎

2 Ejercicio 2

a) Se considera la función

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_f

₍

_z

₎

=

α

_z

+

β

_donde

α

_y

β

_{son números complejos dados.}

En cada caso, asociar la función

f

con una traslación, una rotación, una homotecia o una rotohomotecia. i)

α

=

1

ii)

β

=

0

y

α

es un número real fijo distinto de cero.

iii)

β

=

0

y

α

es un complejo fijo de módulo

1

y

α

≠

1

(En algún momento puede ser útil usar polares) iv)

β

=

0

y

α

es un número complejo no real y fijo.

v)

α

y

β

son números complejos fijos cualesquiera.

b) Reconocer las siguientes funciones y hallar en cada caso la imagen del eje real y del eje imaginario. i)

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

_iz

ii)

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

₂₁

_z

+ −

_{1 2}

_i

Ejercicio 3 (

FUNCIONES POLINÓMICAS

)

Sea

f

:

ℂ

→

ℂ

_{una función polinómica de coeficientes reales.}

a) Demostrar que

f z

( )

=

f z

( ) ,

∀ ∈

z

ℂ

.

b) Deducir que una función polinómica de coeficientes reales si tiene una raíz compleja tiene como raíz su conjugada, es decir, si

f

( )

α

=

0

, entonces

f

( )

α

=

0

c) Mostrar con un ejemplo que lo enunciado en la parte b) no es válido si los coeficientes de

f

no son reales. d) Concluir que si

a bi

+

es raíz de

f

(

a

∈

ℝ

,

b

∈

ℝ

,

b

≠

0

_{), entonces existe una función polinómica}

g

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

₍

_z

2

−

₂

_az

+

_a

2

+

_{b g z}

2

_{) ( )}

_{(Es decir,}

_f

_{es divisible entre}

_z

2

−

₂

_az

+ +

_a

2

_b

2₎

e) Sabiendo que

3

+

i

2

es raíz de la función polinómica

f

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

_z

4

−

₈

_z

3

+

₂₁

_z

2

−

₁₀

_z

−

₂₂

hallar todas las raíces de

f

.

Ejercicio 4

a) Si

f

:

ℂ

→

ℂ

_{es una función polinómica de coeficientes reales y}

_f

_{(1 2 )}

−

_i

= +

_{2 5}

_i

_{, hallar}

_f

_{(1 2 )}

+

_i

_.

b) Hallar una función polinómica de segundo grado con coeficientes reales que admita raíz

1−

3

i

. ¿Es única? c) Una de las raíces de la ecuación

x

4

+

bx

2

+

c

=

0

,

b

∈

R

,

c

∈

R

es

1−

3

i

. Hallar las restantes raíces. d) Hallar todas las raíces de la función

T

:

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{T z}

_{( )}

= + −

_z

3

_{(2 2 )}

_{i z}

2

+ −

_{(5 4 )}

_{i z}

−

₁₀

_i

_sabiendo

que admite una raíz imaginaria pura.

Cualquier función polinómica de coeficientes reales se puede expresar como el producto de funciones polinómicas de coeficientes reales cuyo grado sea uno o dos. Por ejemplo,

f

:

ℝ

→

ℝ

_{tal que}

_{f x}

_{( )}

= + = +

_x

3

_{1 (}

_x

₁₎₍

_x

2

+ +

_x

₁₎

_.

El siguiente teorema, llamado teorema fundamental del álgebra, establece que toda función polinómica de coeficientes reales o complejos se puede expresar como el producto de funciones polinómicas de primer grado.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Toda función polinómica no constante de coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja.

La demostración de este teorema se debe al matemático Carl Friedrich Gauss (1755 – 1855) y escapa a las posibilidades de este curso.

3

RADICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

Ejercicio 5

Hallar en cada caso los números complejos

z

que cumplan: 1)

z

2

= −

3 4

i

2)

z

3

=

8

DEFINICIÓN DE RAÍZ N-ÉSIMA

Dado el número complejo

z

y el número natural

n

≥

2

, decimos que el número complejo

w

es una raíz n-ésima de

z

si, y solo si,

w

n

=

z

. Basados en el ejercicio 5:

2

−

i

y

− +

2

i

son raíces cuadradas de

3 4

−

i

y

2

,

− +

1

i

3

y

− −

1

i

3

son raíces terceras de

8

.

Dado el número complejo

z

y el natural

n

≥

2

, nos proponemos hallar los números complejos

w

tales que

w

n

=

z

Trabajaremos en forma polar. Dado el número complejo

z

=

r



ϕ

, los complejos

w

=

p



λ

tales que

w

n

=

z

deben verificar:

( )

p



λ

n

=

r



ϕ

.

( )

p



λ

n

=

r



ϕ

⇔

p

n

<

n

λ

⇔

p

n

=

r

y

n

λ

=

ϕ

+

2

k

π

,

k

∈ ⇔

ℤ

p

=

n

r

y

n

k

π

ϕ

λ

=

+

2

,

k

∈

ℤ

Concluimos así que, dado el número complejo

z

=

r



ϕ

y un número natural

n

≥

2

, existen números complejos

w

tales que

w

n

=

z

. Dichos números son de la forma:

n

k

r

w

=

n



ϕ

+

2

π

donde

k

∈

ℤ

_.

Si

r

≠

0

, estos complejos

w

tienen todos módulo n

r

por lo tanto, sus afijos pertenecen a la circunferencia de centro

O

=

(

0

,

0

)

y radio n

r

.

Dado que k es un número entero cualquiera, la pregunta que surge es la siguiente: ¿Cuántos son los números complejos

w

que verifican la igualdad

w

n

=

z

?. ¿Son infinitos? Analicemos la situación.

Sabemos que al efectuar la división entera de un número entero k entre

n

, se obtienen dos números enteros q y

s

(cociente y resto respectivamente) tales que

k

=

nq

+

s

donde 0≤s≤n−1.

De esta manera:

ϕ

π

ϕ

π

ϕ

π

q

π

n

s

n

s

nq

n

k

2

2

)

(

2

2

+

+

=

+

+

=

+

De esto último se concluye que los números complejos

n

k

r

n

_

ϕ

+

2

π

y

n

s

r

n

_

ϕ

+

2

π

son iguales ya que sus argumentos difieren en

2

q

π

. Por tal motivo, podemos restringir k a los enteros desde 0 a n−1 , es decir,

1

0

≤

k

≤

n

−

.

Mostraremos ahora que dados dos números enteros distintos

j

y

k

con

0

≤

k

≤

n

−

1

y

0

≤

j

≤

n

−

1

, los números complejos

n

k

r

n

_

ϕ

+

2

π

y

n

j

r

n

_

ϕ

+

2

π

son distintos.

Si

n

k

r

n

_

ϕ

+

2

π

n

j

r

n

_

ϕ

+

2

π

=

, entonces

m

m

Z

n

j

n

k

∈

+

+

=

+

con

,

2

2

2

π

π

ϕ

π

ϕ

mn

k

j

k

mn

j

m

n

j

n

k

=

−

⇔

+

=

⇔

+

+

=

+

π

ϕ

π

_π

ϕ

2

2

2

⇔

j

−

k

es divisible entre

n

.

Como

0

≤

k

≤

n

−

1

y

0

≤

j

≤

n

−

1

, entonces

−

1

≤

1

−

≤

−

≤

−

1

≤

1

n

n

n

k

j

n

n

4 Todo lo anterior es la demostración del siguiente teorema: TEOREMA

Si

z

es un número complejo distinto de cero,

z

=

r



ϕ

y

n

es un número natural con

n

≥

2

, entonces existen exactamente

n

números complejos distintos entre sí:

z

₀

,

z

₁

,...,

z

_n−1 , cada uno de los cuales llamamos

raíz n-ésima de

z

, que verifican:

z

_kn

=

z

para cada

k

∈

ℤ

_,

₀

≤ ≤ −

_k

_n

₁

_.

Además,

n

k

r

z

n

k

π

ϕ

+

2



=

con

k

∈

ℤ

_,

₀

≤ ≤ −

_k

_n

₁

Según este último teorema, cada número complejo

z

tiene

n

raíces n-ésimas distintas entre sí, todas con el mismo módulo y cuyos argumentos difieren en múltiplos de

n

π

2

.

Los afijos de las

n

raíces n-ésimas de un número complejo, son vértices de un polígono regular de

n

_{vértices y centro} en

(

0

,

0

)

. (

n

>

2

)

Teniendo en cuenta que el símbolo n

z

representa el conjunto de todas las raíces n-ésimas del complejo

z

, tenemos

que: n

z

w

_k

/

w

_k n

r

2

k

,

k

, 0

k

n

1

n

ϕ

+

π





=



∈

=

<

∈

≤ ≤ −





ℂ

ℕ



donde

n

_r

es la raíz n-ésima real del real positivo

r

.

Es importante destacar que la correspondencia en

ℂ

_,

_z

→

n

_z

_,

no es una función

_{como lo es en}

ℝ

_{, ya que}

para cada

z

∈

ℂ

_,

_z

≠

₀

_, n

_z

_{es un conjunto que tiene}

_n

_{elementos distintos.}

Hallar o calcular n

z

, significa escribir el conjunto n

z

por extensión. EJEMPLO

Por lo tanto: 5

1

=

{

z

₀

,

z z

₁

,

₂

,

z

₃

,

z

₄

}

Hallaremos el conjunto 5

1

formado por las raíces quintas de

1

y representaremos en el plano de Argand – Gauss las soluciones.

λ



=



=

5

p

5

0

1

1

⇔

1



0

=

(

p



λ

)

5

⇔

1



0

=

p

5



5

λ

5

1

=

p

⇔

y

5

λ

=

2

k

π

,

k

∈

ℤ

_,

₀

≤ ≤

_k

₄

p

=

⇔

1

y

5

2

π

λ

=

k

,

k

∈

ℤ

_,

₀

≤ ≤

_k

₄

Luego los elementos del conjunto 5

1

son:

1

0

1

0

=



=

z

(para

k

=

0

)

1

2

1

5

z

= <

π

(para

k

=

1

)

₂

1

4

5

z

= <

π

(para

k

=

2

)

₃

1

6

1

4

5

5

z

= <

π

= < −

π

(para

k

=

3

)

₄

1

8

1

2

5

5

z

= <

π

= < −

π

(para

k

=

4

)

5 Ejercicio 6

1) Hallar en cada caso y representar en el plano de Argand – Gauss las soluciones:

a) 3

−

1

b)

−

a

(

a

∈

ℝ

+_{) c)} 3

−

₂

+

₂

_i

_d) 5

_i

_e) 6

₁

+

_i

2) Resolver en

( , , )

ℂ

+ ⋅

_{las siguientes ecuaciones:}

a)

x

4

+

81

=

0

b)

x

6

=

ix

Ejercicio 7

Hallar en forma binómica: a)

5

−

12

i

b)

3 4

+

i

Ejercicio 8

1) Demostrar la fórmula que permite resolver la ecuación:

az

2

+

bz

+

c

=

0

_donde

a

,

b

y

c

_{son números} complejos conocidos y

a

≠

0

_.

Deducir que si

z

₁ y

z

₂ son raíces de la ecuación

az

2

+

bz

+

c

=

0

, entonces

z

₁

a

b

z

=

−

+

₂ y

a

c

z

z

_{1 2}

=

2) Resolver en

( , , )

ℂ

+ ⋅

_{las siguientes ecuaciones.}

a)

_x

2

+

_x

+

1

=

0

b)

_x

4

−

3

_x

2

+

4

=

0

c)

x

2

−

(2

i

+

4)

x

+

10

i

− =

5

0

d)

x

4

+

(

1

+

i

)

x

2

+

5

i

=

0

3) Demostrar que si

z

+

w

y

zw

son números reales negativos, entonces

z

y

w

son números reales. ¿Es cierto el resultado si

z

+

w

y

zw

son números reales positivos?

Ejercicio 9

Los números complejos

z

₁ y

z

₂ son las raíces de la ecuación

z

2

−

(

8

+

5

i

)

z

+

8

+

26

i

=

0

6

EXPONENCIAL COMPLEJA

El concepto de exponencial compleja extiende al de exponencial real y comparte con ella algunas propiedades, pero difiere en un aspecto importante. Mientras la función

f

:

ℝ

→

ℝ

_{tal que}

_{f x}

_{( )}

=

_e

x _{es inyectiva, la función}

:

f

ℂ

→

ℂ

_{tal que}

_{f z}

_{( )}

=

_e

z _{no solo que no es inyectiva, sino que es periódica.}

Intentando dar una justificación de los motivos que llevan a definir la exponencial compleja, es que hacemos la

siguiente introducción. En ella se recurre a conceptos que quizás el lector no conozca. Por tal motivo una opción posible es saltear esta introducción e ir directamente a la definición de exponencial compleja.

INTRODUCCIÓN A LA DEFINICIÓN DE EXPONENCIAL COMPLEJA

Buscamos definir la exponencial compleja

e

zcon

z

∈

ℂ

_{, de manera que tenga propiedades similares a la exponencial}

real

e

x_.

Sabemos que para cada

x

∈

ℝ

_{se verifican las siguientes igualdades:}

...

.

!

4

!

3

!

2

!

1

1

4 3 2

+

+

+

+

+

=

x

x

x

x

e

x 0

!

n n

z

n

+∞ =

=

_

...

.

!

9

!

7

!

5

!

3

9 7 5 3

+

+

−

+

−

=

x

x

x

x

x

senx

...

.

!

8

!

6

!

4

!

2

1

cos

8 6 4 2

+

+

−

+

−

=

x

x

x

x

x

Si extendemos estas igualdades para el caso que

z

sea un número complejo, tenemos que:

...

.

!

4

!

3

!

2

!

1

1

4 3 2

+

+

+

+

+

=

z

z

z

z

e

z

...

.

!

9

!

7

!

5

!

3

9 7 5 3

+

+

−

+

−

=

z

z

z

z

z

senz

...

.

!

8

!

6

!

4

!

2

1

cos

8 6 4 2

+

+

−

+

−

=

z

z

z

z

z

De esta manera, si

b

∈

ℝ

_{, vale lo siguiente:}

=

+

+

+

+

+

+

=

+

−

−

+

+

+

...

=

!

5

!

4

!

3

!

2

1

..

...

!

5

)

(

!

4

)

(

!

3

)

(

!

2

)

(

!

1

1

5 4 3 2 5 4 3 2

ib

b

ib

b

bi

bi

bi

bi

bi

bi

e

bi

b

b

b

b

b

_

i

=

b

+

isenb











−

+

−

+













−

+

−

=

...

cos

!

5

!

3

.

...

!

4

!

2

1

5 3 4 2

Es decir,

e

bi

=

cos

b

+

isenb

y por lo tanto debe ser

e

a+bi

=

e

a

(cos

b

+

isenb

)

para todo

a

∈

ℝ

,

b

∈

ℝ

_.

Todo esto lleva a definir

e

z con

z

∈

ℂ

_{de la siguiente manera:}

DEFINICIÓN DE EXPONENCIAL COMPLEJA

Dado el número complejo

z

= +

a bi

,

a

∈

ℝ

,

b

∈

ℝ

_{, llamamos exponencial compleja de}

_z

_{, al número}

complejo que anotaremos:

exp(z

)

o

e

z definido de la siguiente forma:

exp(

z

)

=

e

z

=

e

a+bi

=

e

a

(cos

b

+

isenb

)

Por ejemplo: 2 0

_cos

_{1(0 1 )}

2

2

i

e

e

isen

i

i

π

_π

_π





=

_

+

_

=

+

=

7

Esta forma de definir

e

z permite que se cumplan propiedades, tales como:

e

z+w

=

e

z

e

w

Ejercicio 10

Demostrar que cualesquiera sean los complejos

z

y

w

se cumplen las siguientes propiedades:

1)

e

0

=

1

₂₎

e

z

≠

0

₃₎

e

iπ

+

1

=

0

4)

e

z

=

e

z+2kπi _,

∀

k

∈

Z

₅₎

e

z

=

e

z ₆₎

e

z+w

=

e

z

e

w

7) z _z

e

e

−

=

1

8) _w

z w z

e

e

e

−

=

9)

(

e

z

)

n

=

e

zn ,

∀

n

∈

N

(Sugerencia: Para la demostración de algunas de las igualdades se sugiere utilizar las siguientes igualdades:

R

b

R

a

a

senb

b

sena

b

a

sen

senasenb

b

a

b

a

+

)

=

cos

cos

−

,

(

+

)

=

cos

+

cos

,

∀

∈

,

∀

∈

cos(

)

FORMA EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO

Es sencillo verificar que cualquiera sea el número complejo

z

,

z

≠

0

_{, si}

z

=

r



ϕ

, entonces

z

=

re

iϕ y recíprocamente, si

z

=

re

iϕ donde

r

y

ϕ

son números reales cualesquiera con

r

>

0

, entonces

r

=

z

y

)

arg(z

∈

ϕ

.

Cuando un número complejo

z

≠

0

, se expresa de la forma

z

=

re

iϕ donde

r

=

z

y

ϕ

es un argumento de

z

, decimos que esta expresado en su forma exponencial.

Usando la forma exponencial de un número complejo y las propiedades de exponencial compleja, es más sencillo realizar multiplicaciones y divisiones entre los números complejos.

Si

z

=

re

iϕ y

w

=

pe

iα entonces,

zw

=

(

re

iϕ

)(

pe

iα

)

=

rpe

i(ϕ α+ )

y

( ) i

i i

z

re

r

e

w

pe

p

ϕ

ϕ α

α −

=

=

Ejercicio 11

a) Expresar los números complejos

±

1

±

i

y

±

i

de la forma exponencial

re

iϕ con

−

π

<

ϕ

≤

π

. Hallar las raíces terceras de

±

1

±

i

y

±

i

expresándolas en forma exponencial.

b) Expresar los siguientes números complejos en forma binómica:

3

e

πi y

2

2

1

1

i

i

e

e

π

π

−

+

Ejercicio 12 Siendo

2 5

i

z

e

π

=

, verificar que

z

4

=

z

y calcular

1

+ + + +

z

z

4

z

9

z

16

Ejercicio 13

Expresar cada uno de los siguientes números complejos en forma binómica.

n

isen

p

z

_











+

=

ϕ

ϕ

cos

y

n

isen

p

isen

w

_











−

+

=

)

(cos

cos

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

8 Ejercicio 14

a) Usar el hecho que

(

e

z

)

n

=

e

zn ,

∀ ∈

z

ℂ

_y

∀ ∈

_n

ℕ

_{, para demostrar la fórmula de De Moivre:}

(

r

cos

ϕ

irsen

ϕ

)

r

(cos(

n

ϕ

)

isen

(

n

ϕ

))

n

n

₌

₊

+

,

∀ ∈

ϕ

ℝ

_,

∀ ∈

_r

ℝ

+ _y

∀ ∈

_n

ℕ

_.

b) Usar lo anterior para calcular

(

3

+

i

)

18 y

(

−

3

+

i

)

21.

Ejercicio 15

a) Demostrar que cualquiera sea el número complejo

z

se cumple:

e

z

=

e

Re(z)

b) Hallar todos los números complejos

z

tales que

e

z

∈

ℝ

_.

c) Demostrar que cualquiera sea el complejo

z

se cumple:

e

z

=

1

↔

z

=

2

k

π

i

con

k

∈

Z

.

d) Si

z

y

w

son dos números complejos cualesquiera, usar lo demostrado en c) para demostrar que:

e

z

=

e

w

↔

z

=

w

+

2

k

π

i

,

k

∈

Z

Ejercicio 16

Resolver: 1)

e

z

=

−

1

₂₎

x iy

+ =

xe

iy 3)

e

2z+1

=

−

e

−iπ/2 ₄₎

e

iz

<

1

Ejercicio 17 ( FÓRMULAS DE EULER , SENO Y COSENO DE UN NÚMERO COMPLEJO) a) Si

ϕ

es un número real cualquiera, demostrar las siguientes igualdades llamadas fórmulas de Euler:

2

cos

ϕ ϕ

ϕ

=

e

i

+

e

−i

i

e

e

sen

i i

2

ϕ ϕ

ϕ

=

−

−

b) Usando las fórmulas de Euler, demostrar:

2

2

cos

1

cos

2

ϕ

=

+

ϕ

y

2

2

cos

1

2

ϕ

₌

−

ϕ

sen

Una forma de definir seno y coseno de un número complejo es la siguiente: Dado un número complejo

z

, se llama seno de

z

y coseno de

z

a los números complejos

senz

y

cos

z

respectivamente definidos de la siguiente manera:

2

cos

iz iz

_e

e

z

−

+

=

y

i

e

e

senz

iz iz

2

−

−

=

Observar que si

z

es un número real, estas definiciones concuerdan con las fórmulas de Euler.

c) Demostrar que cualesquiera sean los números complejos

z

y

w

se cumplen las siguientes propiedades: 1)

sen

2

z

+

cos

2

z

=

1

2)

sen

(

z

+

w

)

=

sen

(

z

)

cos(

w

)

+

cos(

z

)

sen

(

w

)

3)

cos(

z

+

w

)

=

cos(

z

)

cos(

w

)

−

sen

(

z

)

sen

(

w

)

4)

sen

(

2

z

)

=

2

sen

(

z

)

cos(

z

)

5)

cos(

2

z

)

=

cos

2

(

z

)

−

sen

2

(

z

)

d) Las fórmulas de Euler permiten linealizar expresiones trigonométricas, es decir, transformar productos de la forma

sen z

n ,

cos

n

z

o

(

sen z

n

)(cos

n

z

)

en suma de términos de la forma

asen

(

α

z

)

y

bsen

(

β

z

)

.

9 Ejercicio 18

Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico en

ℝ

_{se definen de la siguiente manera:}

Seno hiperbólico:

sh

:

ℝ

→

ℝ

_{tal que}

_{( )}

2

x x

e

e

sh x

−

−

=

Coseno hiperbólico

:

ch

:

ℝ

→

ℝ

_{tal que}

_{( )}

2

x x

e

e

ch x

−

+

=

a) 1) Demostrar que

ch

2

x

−

sh

2

x

=

1

,

∀ ∈

x

ℝ

_.

2) Demostrar que si

a

y

b

son números reales cualesquiera, entonces se verifican las siguientes propiedades: a)

sen

(

a

+

bi

)

=

sen

(

a

)

ch

(

b

)

+

i

cos(

a

)

sh

(

b

)

b)

cos(

a

+

bi

)

=

cos

(

a

)

ch

(

b

)

−

isen

(

a

)

sh

(

b

)

3) Usando lo demostrado en la parte anterior, resolver en

ℂ

: a)

senz

=

0

b)

cos

z

=

0

b) 1) Si

a

y

b

son números reales, demostrar que:

sen

a

bi

sen

a

sh

b

2 2 2

)

(

+

=

+

y

a

bi

a

sh

b

2 2 2

cos

)

cos(

+

=

+

2) Deducir que en

ℂ

_,

_senz

_y

_cos

_z

_{no son funciones acotadas.}

LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO

DEFINICIÓN DE LOGARITMO DE UN COMPLEJO

Dado un número complejo

z

, diremos que el número complejo

w

es un logaritmo de

z

si y solo si

e

w

=

z

. Sabemos que

e

w

≠

0

para todo

w

∈

ℂ

_{, por lo tanto, no existe logaritmo de}

₀

_.

Si

z

∈

ℂ

_y

_z

≠

₀

_llamamos

_log

_{al conjunto cuyos elementos son todos los logaritmos de}

_z

_{, es decir,}

log z

=

{

w

∈

ℂ

/

e

w

=

z

}

Observar que:

log z

=

{

w

∈

ℂ

/

e

w

= =

z

}

{

L z

+

i

ϕ ϕ

,

∈

arg( )

z

}

_donde

_L

_z

_{es el logaritmo neperiano del} número real

z

.

El conjunto

log z

se suele escribir de la siguiente forma:

log z

=

L z

+

i

arg( )

z

Llamamos logaritmo principal de

z

al número complejo

L

og

z

=

L z

+

iArg z

( )

donde

L

z

es el logaritmo neperiano del número real

z

y

Arg

(z

)

es el argumento principal de

z

, es decir, el argumento que se encuentra en el intervalo

(

−

π π

;

]

(Observar que si

z

es un número real positivo, la definición de

Log

z

coincide con la definición de logaritmo de un real positivo).

10 Ejercicio 19 (LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO) a) Calcular:

Log

(−

1

)

,

Log

i

y

Log

(

−

1

−

i

)

b) ¿Es válida la igualdad

Log zw

(

)

=

Logz

+

Logw

,

∀ ∈

z

ℂ

_y

∀ ∈

_w

ℂ

_{? Justificar su respuesta.}

b) Si

z

y

w

son dos números complejos y

z

≠

0

, definimos

z

w de la siguiente manera:

z

w

=

e

wLogz 1) Calcular

1

i ,

i

i ,

(−

1

)

i y

(1

−

i

)

1+i

2) Verificar que la igualdad

(

zw

)

u

=

z

u

w

u no se verifica para

z

=

w

=

−

1

y

u

=

i

EJERCICIOS COMBINADOS

Ejercicio 20

Resolver las siguientes ecuaciones en

( , , )

ℂ

+ ⋅

1)

e

z

= +

1

i

2)

2

2

1

2

1

=













−

+













+

i

x

i

x

3)

cos(

z

−

i

)

=

2

4)

e

z

= −

2 cos( )

iz

Ejercicio 21

Demostrar que cualquiera sea el número complejo

z

y el número natural

n

se cumple: inz

n

e

isenz

z

isenz

z

=













−

+

+

+

cos

1

cos

1

Ejercicio 22

Sean

z

₁

,

z

₂

,...,

z

_n las

n

raíces n-ésimas de un número complejo

z

. Hallar

z

sabiendo que:

z

₁

z

₂

...

z

_n

=

i

Ejercicio 23

a) Demostrar que la suma de las

n

raíces n-ésimas de la unidad es cero.

b) Demostrar que el producto de las

n

raíces n- ésimas de la unidad es

1

o

−

1

.

Ejercicio 24

11

ALGUNAS RESPUESTAS

Ejercicio 2 1) i) Si

α

=

1

,

f

es una traslación de vector

β

ii)

β

=

0

y

α

es un número real distinto de cero,

f

es una homotecia de centro el complejo

0

y razón

α

. iii)

β

=

0

y

α

es un complejo fijo de módulo

1

y distinto de

1

,

f

es una rotación de centro el complejo

0

y ángulo uno de los argumentos de

α

. iv)

β

=

0

y

α

es un número complejo no real,

f

es una rotohomotecia. v) El caso general, si

α

=

1

,

f

es una traslación de vector

β

y si

α

no es uno,

f

es una semejanza directa de centro

1

β

α

−

, composición de una rotohomotecia con una traslación.

Ejercicio 3 e) Raíces de

f

:

3

±

i

2

,

1

±

3

Ejercicio 5 1)

2

−

i

y

− +

2

i

2)

2

,

− +

1

i

3

y

− −

1

i

3

Ejercicio 6 b)

−

a

=

{

i

a

,

−

i

a

}

Ejercicio 9

8

+

2

3

−

4

3

i

y

8

−

2

3

+

4

3

i

Ejercicio 12

1 4 cos

2

5

π





+









Ejercicio 13

z

=

p

n

(cos(

n

ϕ

)

−

isen

(

n

ϕ

))

_,

w

=

p

−n

(cos(

2

n

ϕ

)

+

isen

(

2

n

ϕ

))

Ejercicio 16

1)

S

=

{

(2

k

+

1)

π

i k

,

∈

ℤ

}

3)

1

1

,

2

4

S

= − + +



_



_

k



_

π

i k

∈



_







ℤ



Ejercicio 19 a)

Log

( 1)

− =

π

i

,

2

Log i

=

π

i

y

( 1

)

2

3

2

4

L

Log

− − =

i

−

π

i

b)

i

i

e

2

π −

=

Ejercicio 20 1)

2

2

,

4

S

=



_

L

+

π

i

+

k i

π

k

∈



_



ℤ



2)

{

8

k

±

1

,

k

∈

Z

}