EXAMEN DE ADMISIÓN 2014-II UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

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(1)

MATEMÁTICA PARTE 1

01. Una editorial ha realizado un estudio y concluye que si regala x libros a docentes universitarios, el número de ventas de estos libros es de

2 000 - 1 000e-0,001x

Indique la secuencia correcta después de determinar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:

I. La venta de libros aumenta si se

regalan más libros.

II. Si no se regalan libros, se venden 1 000 libros.

III. El máximo número de libros a vender es 2 000.

A) VVV B) FVV C) FVF

D) VFV E) FFV

02. Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Si A = AT donde A es triangular superior, entonces A es matriz nula.

II. Si A = -AT donde A es triangular inferior, entonces A es matriz diagonal.

III. Si A es una matriz rectangular de

orden m×n, entonces AAT es una

matriz cuadrada de orden m×m y todos los elementos de su diagonal son no negativos.

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FFV E) FFF

03. Sea A, B y C matrices:

, ,

A' 1 8

7 3 B'

&2 4

5 3 C'

1 &6

&2 &4 Si se tiene que:

5X = 3(A - 4(B + C)- X) + A halle el determinante de X.

A) 11 B) 12 C) 13

D) 14 E) 15

04. Halle los valores de x e y, respectivamente, tales que:

αx + βy = -1 (β - 1)x + (α + 1)y = 3 además se cumple que:

α+3β+1 = 3α+β+x = α2+α-β2+β…0

A) 0 y 1 B) 1 y 0C) 1 y -1

D) -1 y 1 E) 1 y 1

05. Si cada una de las series que se suman es convergente, halle:

S' '

α

K'0

(&1)K 1

2K% '

α

K'0

1 2

K

A) S = 0 B) S = 2/3 C) S = 1

D) S = 2 E) S = 8/3

06. Halle la suma de la serie:

1% 1

3

2 %31

4 %31

8 %31

16 %...

A) 1 B) 1 + 32 C) 32

D) E)

3

2

3

2&1

3

2

3

2%1

07. Considere a > b > 0, determine el cociente entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x.

1

x%

1

a%

1

b'

1 x%a%b

A) a B) C) ab

b

b a

D) a + b E) 1

08. Si S es el conjunto solución de la

inecuación , entonces

/002x1&&3x1/00< 1

SC = [a, b]. Determine el valor de

3a + 5b , donde SC es el complemento

de S.

A) -2 B) -1 C) 0

D) 2 E) 3

09. Sea la función f que satisface la ecuación f(x)2 + 2f(x) = x + 1. Si f toma valores positivos en su dominio, halle tal dominio.

A) <-1; +4> B) [0; +4> C) <-4; 0>

D) ú E) <-1; 1>

10. Sean los conjuntos:

A = {(x; y) 0ú2/x - 1 # y # x + 1} B = {(x; y) 0ú2/1 # x # 3}

Después de graficar A 1 B se obtiene

los vértices:

(a; b), (c; d), (e; f), (g; h) Calcule: a + b + c + d + e + f + g + h

A) 8 B) 2 C) 16

D) 20 E) 24

11. Sea f: ú ! ú una función, tal que

cumple f(ax + by) = af(x) + bf(y) para cualquier a, b, x, y 0ú, donde f(1) = 1. Si yf(2) + 6y + f(9) = n2. Halle un valor de y.

A) 3 - n B) n - 3 C) n - 2 D) 2 - n E) n - 1

12. Señale el gráfico de R11 R2, donde:

R1' (x, y)0 ú2/ y$(x

%1)Log(x%1)(x)

R2' (x, y)0 ú2/ y#1

%Log(x%2)

13. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado:

I. Sean A, B, C eventos, entonces

P(AcBcC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A1B)+

+P(B1C)+P(A1C)-P(A1B1C)

II. Sean S={(x, y)/x, y 0 {1, 2, 3, 4, 5, 6}} B = {(x, y) 0 S /1 + y < x}

entonces P(B) = 5

12

III. Si BdA, entonces P(A\B)=P(A)-P(B)

donde P(x) representa la probabilidad del evento x.

A) VVV B) VFV C) FVV

D) FFV E) FFF

14. Sea N = 111111(3). Calcule la suma de dígitos al multiplicar en base 3, N consigo mismo.

(2)

15. Indique la alternativa correcta después de determinar si cada proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado.

I. Si y 0 Q\{0}, x 0 Q, entonces x y

0Q

II. Si a, b son irracionales, entonces a + b y a. b son racionales. III. Si a 0 Q y b es irracional, entonces

a. b es un número irracional.

A) VVV B) VFV C) VFF

D) FVV E) FFF

16. Sea:

donde a, b, c, d y e corresponden a un

solo dígito y t puede tomar diferentes

valores de un dígito. Determine el valor de:

E = e + d - c + b - a

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

17. Las magnitudes x e y son tales que (y - 4) y (x2 - 4) son inversamente proporcionales. Si el par (-1, -2) satisface esa relación, determine la ecuación de proporcionalidad.

A) y' 18

x2

&4% 4

B) y' &18 x2

%4& 4

C) y' 18

x2

&4& 4

D) y' 18

x2&4%6

E) y' &18 x2

&4% 12

18. Si la diferencia entre la media aritmética y la media armónica de dos números naturales a y b es 1.

Determine el menor valor de a2

%b2

asumiendo que a > b.

A) 10 B) 13 C) 2 10

D) 2 13 E) 6 5

19. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo; el primero al 6% y el segundo al 10%. El primero ha producido S/. 825 y el segundo ha producido S/. 1 850, sabiendo que el segundo capital excede al primero en S/. 7 125. Calcule la suma de los montos obtenidos. (en nuevos soles)

A) 48 375 B) 51 050 C) 52 110

D) 53 030 E) 54 100

20. Una encuesta realizada en la ciudad de Lima muestra la tabla siguiente:

N° de hijos N° de familias

0 - 2 1 200

3 - 6 400

7 - 9 150

10 - 12 30

13 - 15 15

Calcule el número de familias que tiene de 4 hasta 11 hijos.

A) 380 B) 470 C) 480

D) 570 E) 580

MATEMÁTICA PARTE 2

21. En la circunferencia de radio R de la figura, determine el ángulo α de modo que R = R.

A) 15° B) 18° C) 30°

D) 36° E) 45°

22. Determine la cónica que representa la ecuación polar:

r = 8

4%3Cosθ

A) Hipérbola B) Parábola

C) Elipse D) Circunferencia

E) Un punto

23. Sea θ un ángulo en el III cuadrante

que satisface:

(Ctgθ)2Tgθ = 8 27 Determine el valor de:

E = 3Cosθ+2Senθ

A) 9 B) C)

12

8

13

&3 13

D) &12 E) 13

&13 12

24. Determine a cuál de los siguientes intervalos pertenece la solución de la ecuación trigonométrica:

Cos2x - Cosx-1=0

A) π<x< B) <x<

4 π 3

π 3

π 2

C) π<x< D) <x<

2 5π

6

3π 4

5π 6

E) 5π<x<π 6

25. La figura adjunta representa sectores circulares en el triángulo rectángulo isósceles ABC. Calcule (en cm) la suma de las longitudes de los arcos

y si AC = 1 cm.

DE

Ò

EF

Ò

A) π B) C) π

4

π 2

D) 3π E) 2π

(3)

26. Calcule M = Sen4θ+Sen42θ+Sen43θ; si θ = π/7

A) 21/13 B) 21/14 C) 21/15 D) 21/16 E) 21/17

27. Calcule el número de vueltas que da una rueda de radio r = 0,5 cm, al rodar

(sin resbalar) en un arco circular ABÒ

de radio R = 6 cm y ángulo central 60° (ver figura)

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

28. Calcule el valor de x para que el ángulo θ sea máximo.

A) 2 B) 3 C) 5

D) 7 E) 11

29. Se tiene el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide 12 m. Por el vértice C

se traza CD perpendicular al plano

que contiene dicho triángulo. Si el ángulo entre los planos determinados por ABD y ABC es 60°, entonces la distancia de C al plano ABD, en metros, es:

A) 6 B) 7 C) 8

D) 9 E) 10

30. Se tiene la siguiente figura formada por

dos círculos de radios R y r r'R . 2 Determine la longitud de arco de

circunferencia AC.

Ò

A) 2r.ArcSen 15

4

B) 2r.ArcSen 15

8

C) 4r.ArcSen 15

4

D) 4r.ArcSen 15

8

E) 6r.ArcSen 15

4

31. La figura representa un cubo de arista a cm. Calcule el ángulo que forman las rectas CS y BD.

A) 30° B) 45° C) 60°

D) 75° E) 90°

32. Una pirámide de base cuadrada y un cono tienen el vértice común “O”, la base de la pirámide está inscrita en la base del cono. Halle el volumen comprendido entre las caras de la pirámide y la superficie del cono, si el

lado del cuadrado mide 2 m y la

generatriz del cono 9 m.

A) 4 5(π-2) m3

3

B) 8 5(π-2) m3

3

C) 13 5(π-2) m3

3

D) 6 5(π-2) m3

5

E) 8 5(π-2) m3

5

33. Por el vértice B de un triángulo ABC se

traza BD perpendicular al plano ABC,

el punto D se une con los vértices A y

C. Además se traza BH perpendicular

a AC (H0AC). Si BH = 36, BD = 5

, entonces es:

36

5 3

SADC

SABC

A) 1 B) C) 2

2

3 2

D) 5 E) 3

2

34. En un cilindro circular recto, de radio 2 cm y altura 6 cm, se inscribe un paralelepípedo rectangular. El máximo

volumen (en cm3) que puede tener tal

paralelepípedo es:

A) 44 B) 45 C) 48

D) 49 E) 51

35. En un triángulo equilátero ABC, sobre

la altura AH (H0BC) se toma el punto

E y en la prolongación de AC se toma

el punto D (C0AD), tal que EC = CD y

AC = ED. Halle mËHED

A) 40° B) 45° C) 48°

D) 50° E) 52°

36. En un trapezoide dos ángulos interiores opuestos se diferencian en 24°. Calcule el ángulo formado por las bisectrices interiores de los otros dos ángulos.

A) 196° B) 186° C) 175°

D) 168° E) 123°

(4)

los triángulos. Si AB = K1r, R = K2r, entonces se cumple la relación:

A) K1%1<2 K2

B) K1%1<1 K2

C) K1%K2< K1

1 2

D) K1%K2<2 K1

E) K2%1< K1

1 2

38. En la figura mostrada, si AB = 4 2m.

Halle R (en metros)

A) 2 B) 2,5 C) 3

D) 3,5 E) 4

39. En la figura mostrada, se tiene que AB + CD = 30 m y BC + AD = 50 m, calcule EF.

A) 8 B) 10 C) 12

D) 14 E) 16

40. En el gráfico mostrado BD es paralelo

a AE y T es punto de tangencia.

Calcule AB (en cm), si CT = 5 cm y BC = 3 cm.

A) 2,6 B) 3,7 C) 4,8

D) 5,9 E) 6,5

RESOLUCIÓN

01. Graficando la función se obtiene:

Al observar la gráfica se responde: I. Verdadero

Cuando x aumenta, V(x) aumenta. II. Verdadero

Cuando x = 0, V(x) = 1 000 III. Verdadero

Cuando x !4, entonces:

V(x) ! 2 000

Rpta. A

02. I. Falso

Tomando una matriz de orden dos

A = a b ! b = 0

0 c

vAT

' a 0

b c

la matriz sería diagonal en general. II. Verdadero

Como la matriz es antisimétrica y triangular, ésta debe ser nula y ella es diagonal.

III. Verdadero

Sabemos que, siendo Am×n

Y tr(AAT)='(aij)2; œ i = 1,m, j = 1,n

Rpta. C

03. Primero se reduce la ecuación matricial:

5X = 3(A - 4(B+C) - X) + A

Y X' A&3B&3C 2

Reemplazando las matrices se

obtiene:

Y |X| = 13

X' 2 7

&1 3

Rpta. C

04. En el sistema:

αx + βy = -1 (β - 1)x + (α + 1)y = 3 y con los datos:

α + 3β + 1 = 3α + β + x = α2 + α - β2 + β

i. x = /000 /000 =

&1 β

3 α%1

/00

0 /000

α β

β&1 α%1

&α&1&3β α2

%α&β2

y como: α+3β+1 = α2+α-β2+β

Y x = -1

ii. y = /000 /000 =

α &1

β&1 3

/00

0 /000

α β

β&1 α%1

3α%β%1 α2

%α&β2

y como: 3α + β - 1 = α2 + α - β2 + β

Y y = 1

(5)

05. Desarrollando cada serie:

S = 1

20&

1

21%

1

22&...%

1

20%

1

21%

1

22%....

S = 1 Y S =

1%1

2

% 1

1&1 2

8 3

Rpta. E

06. Como:

S'1% 1

3

2 %31

4 %31

8 %...

es una serie geométrica.

Y

S' 1

1& 1

3

2

S'

3

2

3

2&1

Rpta. D

07. Resolviendo: 1

x%

1

a%

1

b'

1 x%a%b 1

a%

1

b'

1 x%a%b&

1 x a%b

ab '

x&x&a&b (x%a%b)x Se obtiene luego:

x2 + (a + b)x + ab = 0 (x + a)(x + b) = 0

x = -a w x = -b Como:

a > b > 0 Y -a < -b < 0 Luego:

x1

x2' & a &b'

a b

Rpta. A

08.

/002x1&&3x1/00< 1

Y |2x - 1| < |1 - 3x|; x … 1/3 Elevando al cuadrado:

4x2 - 4x + 1 < 1 - 6x + 9x2

Y 5x2 - 2x > 0 x(5x - 2) > 0

Luego el complemento del C.S = S, es:

SC =0; 2

5

Por dato: SC = [a; b], entonces:

a = 0 v b = 2/5

ˆ 3a + 5b = 2

Rpta. D

09. Completando cuadrados: (f(x) + 1)2 = x + 2 Como f toma valores positivos:

f(x) > 0 ! f(x) + 1 > 1 (f(x) + 1)2 > 1 Reemplazando:

x + 2 > 1 ! x > -1

ˆ Df = <-1; +4>

Rpta. A

10. Tenemos:

A = {(x; y) 0ú2 / x - 1 # y # x + 1} B = {(x; y) 0ú2 / 1 # x # 3}

Analicemos la fórmula que define a A: x - 1 # y # x + 1

Y y $ x - 1 v y # x + 1

Grafiquemos:

Veamos el conjunto B: 1 # x # 3

Intersectando A 1 B:

Los vértices son: (1; 0)

(1; 2) (3; 2) (3; 4) Piden suma:

1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 2 + 3 + 4 = 16

Rpta. C

11. Tenemos f: ú!ú, tal que:

f(ax+by) = af(x) + bf(y) œ a, b, x, y 0ú

f(1) = 1 Nos piden:

yf(2) + 6y + f(9) = n2 Calculemos: f(2) y f(9).

tf(2)=f(1.1+1.1)=1f(1)+1f(1)=1+1=2 t

Reemplazando: y2 + 6y + 9 = n2

Por lo tanto, una solución es: y = n -3

Rpta. B

12. Sean los conjuntos: R1' (x; y)0 ú2/ y$(x

%1)Log(x%1)(x)

Determinemos el dominio de R1:

x + 1 > 0 v x + 1 … 1 v x > 0 ! x > 0

Luego la regla de correspondencia quedaría así:

= x y$(x%1)Log(x%1)(x)

Y

También tenemos:

R2 = {(x; y) 0ú / y # 1 + Log(x + 2)}

(6)

x + 2 > 0 ! x > -2 Su regla de correspondencia es:

y # 1 + Log(x + 2)

Y

Intersectando tenemos:

Rpta. C

13. I. Falso

Por propiedad:

n(AcBcC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A1

B)-n(B1C)-n(A1C)+n(A1B1C)

! P(AcBc

C)=P(A)+P(B)+P(C)-P ( A 1 B ) - P ( B 1 C )

-P(A1C)+P(A1B1C) II. Falso

! P(B) = 10

36'

5 18

III. Verdadero

B d A ! n(A - B) = n(A) - n(B) ! P(A - B) = P(A) - P(B)

Rpta. D

14. N = 111111(3)

Piden N × N en base 3 Desarrollando:

ˆ Suma de cifras = 12 = 110(3)

Rpta. C

15. I. Verdadero

y 0 Q - {0} ! 1 0 Q - {0} y

(Inverso multiplicativo) x 0 Q

ˆ x × 1 0 Q y

II. Falso

a = 2v b = 3

a + b = 2+ 3

a × b = 6

III. Falso a = 0 v b = 2 a.b = 0

Rpta. C

16.

! a = 7, b = 1, c = 5, d = 6 v e = 8

ˆ E = 8+6-5+1-7= 3

Rpta. B

17. (y-4) I.P (x2-4) ] (y-4)(x2-4) = k El par (-1; -2) cumple la relación

Reemplazando:

(-2 - 4)[(-1)2-4] = k, de donde k = 18

Entonces: (y-4)(x2-4) = 18

Despejando:

ˆ y = 18 +4

x2

&4

Rpta. A

18. a; b 0ùv a > b MA - MH = 1

=1 a%b

2 & 2ab a%b'1

!(a%b)2&4ab 2(a%b) (a-b)2 = 2(a+b) .... (I)

Se cumple: a + b = 2Q2 Q0ù

Para: Q = 2 ! a + b = 8

En (I): a - b = 4

Resolviendo: a = 6; b = 2

Luego:

a2

%b2

' 40'2 10

Rpta. C

19. Sean los capitales C1 y C2:

También: C2 - C1 = 7 125

Reemplazando: t' 2

3 Nos piden:

+ 825 + 1 850 = 51 050

E' 32 250

2 3

Rpta. B

(7)

Tamaño de la muestra: n = 1 795. Como la variable número de hijos es discreta, realizamos un diagrama de bastones.

Tienen de 4 hasta 11 hijos: 1 795 - (1 300 + 25) = 470

Rpta. B

21.

Dato: AC = R = R Piden: α

Resolución:

Si: AC = R = R | mAC=60°

Ò

Por Ë inscrito

α =

mACÒ

2 '

60° 2

ˆ α = 30°

Rpta. C

22. Se tiene: r = 8

4%3Cosθ

Operando:

4r = 8 - 3rCosθ

Como: r = x2 v rCosθ= x

%y2

Reemplazando:

4 x2 = 8 - 3x

%y2

Elevando al cuadrado:

16(x2+y2) = 64 - 48x + 9x2 7x2 + 48x + 16y2 = 64

Completando cuadrados:

x%24 7

2

%16

7y

2

'64

7%

242

72

ˆ Representa una elipse

Rpta. C

23. Dato: θ 0 IIIC

(Ctgθ)2Tgθ = 8 27 Solución:

(Ctgθ)2Tgθ

' 2

3

3

(Ctgθ)2Tgθ

' 2

3

22 3 &1

(Ctgθ)2Ctgθ&1

' 2

3

22 3 &1

0 Ctgθ = 2

3

0

ˆ E = 3 & 2

13 %

2 & 3 13 ' &

12

13

Rpta. D

24. De la ecuación:

Cos2x - Cosx - 1 = 0

Completando cuadrados:

Cos2x

&Cosx%1

4'

5 4 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

Cosx&1 2

2

'5

4

Cosx&1

2'±

5 2

w Cosx =

Cosx' 5%1

2 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

x0Φ

& 5%1 2

Y Cosx = -0,618

Analizando en la C.T:

ˆπ < x < 2

5π 6

Rpta. C

25.

De la figura se tiene que: a + b = 1 cm

(8)

L1 = π L1+L2 = (a+b) 4.a

π 4 |

L2 = .b ˆ L

1+ L2 = cm π

4

π 4

Rpta. A

26. Recordar:

Sen4x = 3&4Cos2x%Cos4x 8

M = Sen4θ + Sen42θ + Sen43θ

M = 3&4Cos2θ%Cos4θ+ 8

3&4Cos4θ%Cos8θ + 8

3&4Cos6θ%Cos12θ 8

Como: θ = π, entonces:

7

M = 9 +

8& 1

2 Cos

7 %Cos

7 %Cos

6π 7 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ

-1 2

1

8 Cos

7%Cos

7 %Cos

12π 7 ÆÉÉÈÉÉÉÇ ÆÉÉÈÉÉÉÇ ÆÉÉÈÉÉÉÇ

+ 1

8 &Cos 3π

7 % &Cos π

7 % &Cos 5π

7

M = 9

8% 1 4%

1 8 &Cos

π 7&Cos

3π 7 &Cos

5π 7

M = 9

8% 1 4&

1

8 Cos

π

7%Cos

7 %Cos

5π 7 ÆÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÈÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÇ 1

2

M = 9

8% 1 4&

1 8

1

2 '

21 16

Rpta. D

27.

Del gráfico hallamos “R”:

R = π 3. 6&

1

2 '

11π 6 Luego reemplazamos en:

n = R = 1,83

2πr'

11π 6

2π.1

2 '11

6

ˆ Aproximadamente: n = 2

Rpta. B

28.

Condición: θ es máximo, entonces Tgθ

también es máximo. De la figura: Tgθ = Tg(A-B)

Tgθ = TgA&TgB

1%TgATgB

Reemplazando:

Luego: x = 2

x

x2 = 2 | x = 2

Rpta. A

29.

∆equil. ABC: CMzAB

CM =12 = 6

2 3 3

Diedro: CMD = 60

∆MHC: HC es opuesto a 60

x = 6 3

2 3

ˆ x = 9

Rpta. D

30.

Sea mËAOQ = θ, en radianes

| Piden: R = (2θ).r ... (I)

AC

Ò

En OHQ: Senθ = =

15

2 r

2r 15 4

| θ = ArcSen 15 .... (II)

4

(II) en (I):

= 2rArcSen

R AC

Ò 15

4

(9)

31.

Nos piden el ángulo que forman:

CS y BD

Resolución:

Trazamos la diagonal BP que es

paralela a CS.

El ángulo pedido es: ËPBD

El ∆BPD es equilátero.

ˆ x = 60

Rpta. C

32.

Datos:

1. Lado del cuadrado: 2 2. Generatriz del cono: 9 Piden: Vx = Vcono - Vpirámide

Resolución:

| Vx = 1π(1)2.4 - ( )2.4

3 5

1

3 2 5

ˆ Vx = 4 5(π-2) 3

Rpta. A

33.

Sea: AC = b

Piden:S∆ADC = 2

SABC' 1 2.b.

72 5

1 2.b

36 5

Rpta. C

34.

Nos dan: R = 2 h = 6 Nos piden:

Vmáx del paralelepípedo

Será máximo el volumen, si el área de la base es máxima.

Y ABCD: cuadrado.

Vmáx = SB × h Vmáx = (2 2)2. 6 ˆ Vmáx = 48

Rpta. C

35.

Datos:

1. AC = ED = 2a 2. EC = CD = b

Piden: mËHED = x

Resolución:

EHC – CQD

| EH = QC = n

| mËECH = mËQDC = θ

Luego 2θ + θ = 60

| θ = 20

Ahora, en EHC:

x + θ + θ = 90

ÆÈÇ

x + 40 = 90

ˆ x = 50

Rpta. D

(10)

Dato: α - β = 24 Por propiedad:

θ' α&β

2 '

24 2

Y θ = 12

Y x = 180 - 12

ˆ x = 168°

Rpta. D

37.

Piden la relación entre K1 y K2

Sea: AH = a, HM = b v BH = c

Por dato, M es punto medio de AC

| AM = MC = BM = a+b

Luego, por el teorema de Poncelet:

| 2c = 2r + K1r + 2rK2 .... (I)

También en ABH: c < K1r

| 2c < 2K1r ... (II)

(I) en (II):

2r + K1r + 2rK2 < 2K1r

| K2%1

K1 < 1 2

Rpta. E

38.

Nos piden R Resolución:

Por propiedad:

AB = 2 Rr

AB = 2 R.R

2'4 2

ˆ R = 4

Rpta. E

39.

Datos:

1. AB + CD = 30

2. BC + AD = 50

Piden: EF = x

Resolución:

Por teorema de Pitot:

Rpta. B

40.

Piden: AB = x

Sean: TD = m, DE = n Por el teorema de Tales:

... (I) m

n'

8 x

Por propiedad:

mTD = m = 2θ

Ò

TE

Ò

| mËTCD = mËTBE = θ

| CD//BE

|m .... (II)

n'

5 3 (II) en (I):

5 3'

8 x

ˆ x = 4,8

Figure

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