Las Operaciones con Números Naturales en el Primer Ciclo
¿Qué enseñar sobre las operaciones?
La enseñanza de las operaciones ha ido, sin duda, “creciendo” a lo largo de los años: hace algunos siglos la necesidad era que los alumnos aprendieran las cuatro cuentas, mientras que actualmente es compartida la idea acerca de la insuficiencia del dominio de las cuentas para que los alumnos reconozcan la gama de problemas para los cuales una operación es una vía de solución. Es necesario que los niños aprendan a resolver diferentes clases de problemas y que adquieran una gran variedad de estrategias de cálculo para resolverlos. Esta “ampliación” del objeto de estudio que se ha venido desplegando en los últimos años, exige asumir que se requiere un largo proceso de construcción de conocimientos por parte de los alumnos a lo largo de toda la escolaridad primaria.
La variedad de problemas y de cálculos no son contenidos independientes, será necesario establecer permanentemente relaciones entre ellos. Por ejemplo, los problemas cuyos sentidos son más complejos se presentan luego de haber propuesto que los alumnos se apropien de algunos recursos de cálculo. A la vez, se comunica qué estrategias son esperables en cada año para resolver cada clase de problemas propuestos.
¿Por qué proponer muchos problemas para una misma operación?
Habitualmente se asocian las operaciones a algunas acciones: “sumar es agregar”, “restar es quitar”, “multiplicar es sumar reiteradamente un mismo número” y “dividir es repartir”. Ahora bien, esta asociación entre una operación y una acción presenta algunas dificultades. Por ejemplo, el problema “A Sofi le regalaron 12 piedras para agregar a su colección, ahora tiene 41, ¿cuántas piedras tenía antes de recibir el regalo?” implica agregar pero no se resuelve con una suma, o el problema “Carlos gastó $19 y su hermano gastó $ 34, ¿cuánto dinero gastaron?” incluye una acción vinculada a la resta –gastar-, pero se resuelve sumando ambas cantidades. También es cierto que muchos problemas de división involucran un reparto. Pero es posible pensar problemas de “repartir” que se resuelven con una suma, por ejemplo: “Se reparten 25 chupetines en un grupo de chicos y 25 chupetines en otro grupo, ¿cuántos se repartieron entre los dos grupos?). Por otro lado, existen clases de problemas que pueden resolverse a través de una división, pero no resulta tan evidente que se trata de un reparto, por ejemplo: “Tengo $ 213 para viáticos, si todos los días gasto $7, ¿para cuántos días me alcanza?”.
Tanto en los problemas que se resuelven con sumas o restas, como en aquellos que se pueden resolver también con multiplicaciones y divisiones, existen “clases” de problemas que revisten variados niveles de complejidad para los alumnos. Por ejemplo, para la multiplicación, se proponen problemas que involucran series proporcionales, organizaciones rectangulares, combinatorias, etc. Cada tipo de problemas favorece la utilización de procedimientos distintos. La diversidad de problemas de cada operación se constituye, desde esta perspectiva, en objeto de trabajo y para ello será necesario que el docente promueva un trabajo colectivo de reflexión sobre las similitudes y diferencias entre ellos.
Considerando este análisis, ya no es posible destinar sólo los primeros años de escolaridad al estudio de la suma y la resta, dado que algunos problemas que se resuelven con estas operaciones son reconocidos por los niños como tales recién en segundo ciclo y luego de un trabajo sistemático. Incluso, los alumnos pueden resolver algunas clases de problemas desde antes de reconocer la operación que los involucra. Por ejemplo, al plantear “¿cuántas ruedas hay en cinco triciclos?”, los alumnos de primer año podrán desplegar diversidad de procedimientos de resolución, aunque aún no utilicen la multiplicación.
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casos que se abandone la estrategia de conteo y se reconozca una operación más económica. Para el problema “Estoy leyendo un libro de 12 páginas y voy por la página 5, ¿cuántas me falta leer?” la mayor parte de los niños contará desde 5 hasta 12, o reconocerá directamente que 5 + 7 = 12. Pero el mismo enunciado con los números 23 y 156 promoverá usar la resta como un cálculo que permite averiguar la distancia o diferencia entre dos números. El tamaño y la redondez de los números constituyen, entonces, variables que el docente puede comandar intencionalmente.
Otro factor a considerar en los problemas es la forma en que se presenta la información. Puede consistir en un enunciado, dibujos, cuadros, diagramas, etc.; cada una de estas formas supone un desafío diferente para los niños. Al analizar los enunciados en lenguaje natural, se encuentran otras variables que intervienen: el orden en que se presentan las informaciones, el lugar de la pregunta, la pertinencia de la información para responder a la pregunta -datos innecesarios o insuficientes-, etc.
Comprender las variables que intervienen en el grado de dificultad permite al docente diversificar el tipo de problemas que se plantea a los alumnos en cada año y anticipar cuáles podrían ser los procedimientos a ser utilizados en cada situación. Será necesario proponer numerosas oportunidades a lo largo de cada año de la escolaridad para que los niños puedan interactuar con diversos tipos de problemas de complejidad creciente y progresivamente poder identificarlos, compararlos y analizar los recursos posibles para resolverlos.
Para cada año, entonces, se explicitan las clases de problemas a abordar incluyendo ejemplos, con la intención de comunicar el grado de complejidad a proponer y el tipo de números a tratar. En muchos casos, para el mismo año se proponen tamaños de números muy diferentes. Por ejemplo, en 3º año los alumnos podrán resolver problemas de organizaciones rectangulares con números mayores que los presentados para problemas de combinatoria, dado el nivel de complejidad de estos últimos. Se comunican también algunas maneras esperables de resolver que desplegarán los alumnos.
¿Qué condiciones favorecen la aparición de variados procedimientos de resolución para un mismo problema?
Los niños pueden resolver problemas mucho antes de conocer el cálculo más económico o un procedimiento experto a utilizar. En las primeras exploraciones de los problemas, los niños de 1º año probarán y ensayarán a partir de los conocimientos que tienen disponibles y producirán estrategias diversas –dibujos, rayitas, contar con los dedos, escribir números, etc.-.
Será responsabilidad del docente hacer evolucionar estos procedimientos hacia los recursos de cálculo. Luego de una fase de trabajo individual o en pequeños grupos, propiciará momentos de trabajo colectivo en los que los niños comuniquen sus estrategias al grupo, interpreten las de otros alumnos, comparen y analicen los procedimientos y argumenten sobre su validez. Elaborar y registrar conclusiones permitirá sistematizar en forma provisoria el intercambio de ideas, registro que podrá ser consultado para seguir produciendo avances en las formas de resolución.
Progresivamente, los alumnos producirán representaciones más próximas al cálculo que irán ajustándose a medida que avancen en el trabajo con el cálculo mental, la estimación, el control de los resultados y el uso de la calculadora. En la clase convivirán estrategias variadas -ya que un mismo problema puede resolverse con muchas operaciones- que serán analizadas en el momento de trabajo colectivo, para decidir cuáles resultan más pertinentes.
resto, y se espera que los alumnos reconozcan la división como herramienta de resolución en algunos de ellos. Esto será posible para los niños de tercer año porque, simultáneamente, se propone abordar otros contenidos que permiten avanzar en las estrategias de cálculo de división1.
¿Qué estrategias de cálculo se consideran objeto de enseñanza?
En el transcurso del primer ciclo -como parte del proceso de construcción de sentido de las operaciones-, es deseable que los alumnos logren desplegar estrategias variadas al resolver un cálculo -teniendo en cuenta la situación y los números involucrados- y puedan controlar los resultados obtenidos. Entre las estrategias propuestas para cada una de las cuatro operaciones se incluye prioritariamente el cálculo mental, considerado como cálculo reflexionado. Esta clase de cálculo no implica necesariamente hacer cálculos “no escritos” sino que supone que existen maneras de calcular diferentes y que se puede elegir la forma más adecuada a cada situación y a los números que están en juego. Desde esta concepción, cada cálculo representa un problema por resolver. Para trabajar con cálculos mentales, el maestro favorecerá la evolución de las estrategias de conteo utilizadas por los niños hacia el desarrollo de recursos de cálculo. Será necesario que, a través del uso, propicie la construcción de un repertorio de cálculos en memoria que sirva de apoyo para resolver nuevos cálculos y, a su vez, promueva la utilización de composiciones y descomposiciones basadas en los conocimientos que van construyendo sobre el sistema de numeración decimal. Resultará indispensable, además, un trabajo de reflexión colectiva sobre los cálculos, considerándolos como objeto de estudio en sí mismos, para permitir la validación de recursos propios, la incorporación de estrategias de otros y el análisis de relaciones y propiedades del sistema de numeración y las operaciones -aunque en primer ciclo no sean aún formuladas como tales-. Este trabajo supone un interjuego permanente entre las ideas que los niños van construyendo sobre los cálculos y sobre el sistema de numeración: aprender más sobre los cálculos permite aprender más sobre los números y viceversa.
La construcción de estas estrategias de cálculo exigirá explorar propiedades de los números y de las operaciones. Por ejemplo, para sumar 34 + 45 se puede pensar el 34 como 30 + 4 y el 45 como 40 + 5 y luego sumar esos cuatro números en cualquier orden. O para multiplicar 120 x 3 pensar en 100 x 3 y 20 x 3. Las maneras en las que se pueden componer o descomponer los números para cada cálculo involucran propiedades que pueden ser explícitas (“primero se multiplica una parte y luego otra y se suma todo al final”), pero recién en el segundo ciclo los niños estarán en condiciones de identificar y nombrar las propiedades involucradas en los cálculos (asociativa, distributiva, conmutativa).
Otra estrategia de cálculo que se espera que los alumnos aprendan a usar desde primer año es optar por la calculadora. Cuando la situación o los números involucrados lo requieran, la calculadora podrá elegirse como un instrumento adecuado para resolver problemas o cálculos. En la vida cotidiana, un adulto no duda en calcular mentalmente el triple de 5.000 y le resulta obvio que para resolver 234.365 x 3.872 conviene usar la calculadora. Esta posibilidad de elección de la forma de calcular que mejor se adapta a los números también debe ser propiciada en la escuela. Para ello, será necesaria la investigación por parte de los niños sobre formas de utilizar la calculadora. También resultará interesante proponer su uso para la verificación de resultados obtenidos mediante otra estrategia.
Frente a los problemas que requieren solo una respuesta aproximada, será suficiente realizar cálculos estimativos. Además de la gama de situaciones que este tipo de cálculos permite resolver, otro propósito de proponerlos en la escuela consiste en que permite anticipar y controlar resultados obtenidos mediante otros recursos de cálculo. Si bien el trabajo en primer ciclo se focaliza en las
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demás estrategias, es necesario proponer problemas y cálculos de respuesta aproximada para que los niños tengan oportunidad de explorarlos e iniciarse en su estudio, para poder profundizarlo más adelante.
El tratamiento de los algoritmos de cálculo (cuentas) se propone recién cuando los alumnos ya han tratado con una amplia gama de problemas que les ha permitido construir diversos sentidos posibles de una operación, cuando ya dominan recursos de cálculo mental, cuando disponen de un repertorio de cálculos memorizados con números redondos y cuando pueden realizar cálculos estimativos. Utilizando estos recursos y sus conocimientos sobre el sistema de numeración, los niños podrán explorar y usar diversos algoritmos favoreciendo desde la enseñanza que puedan dejar registro escrito de los pasos intermedios – habitualmente ocultos en los algoritmos convencionales –. Se propone entonces analizar y usar algoritmos de suma y resta en 2º año y de multiplicación y división en 3º año.
Como ya ha sido mencionado, es objeto de enseñanza también el análisis de la conveniencia de utilizar uno u otro recurso de cálculo, según los números involucrados. Se espera que los alumnos puedan identificar, frente a problemas que exigen realizar un cálculo como 200 + 250, 1.500 x 4, 3.000: 3 ó 240 + 240, la innecesariedad de usar cálculos algorítmicos y desplegar directamente recursos de cálculo mental. La toma de decisiones y el análisis de la conveniencia de optar por diferentes recursos, son también contenidos que aparecen en cada año.
Bibliografía sobre la enseñanza de las operaciones en Primer Ciclo
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