Cap´ıtulo 1 L´ımites de funciones de R en R

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(1)

Cap´ıtulo 1

L´ımites de funciones de

R

en

R

En el desarrollo de aplicaciones se analizan la forma que var´ıan ciertas cantidades y si estas tienden a valores espec´ıficos bajo ciertas condiciones, estas cantidades a menudo involucran valores de ciertas funciones. Para hacer al an´alisis de estas cantidades se hace uso del concepto de derivada, que se vera posteriormente, o de integral definida.

Para entender entender la noci´on de derivada se tiene que comprender previamente el concepto de l´ımite de una funci´on , para lo cual iniciaremos con el concepto intuitivo, y posteriormente se dar´a la definici´on formal.

En la segunda parte haciendo uso del mismo concepto (l´ımite) se hace la caracteri-zaci´on de funciones cont´ınuas.

1.1.

L´ımites

En esta secci´on estudiaremos con un poco m´as de detalle a los l´ımites, para lo cual introduciremos la siguiente notaci´on.

Entre las definiciones necesarias en el c´aculo tenemos la definci´on de vecindad, ve-cindad reducida, punto de acumulaci´on, etc.

Definici´on 1.1 Se llama Vecindad[Ven97] de centro x0 y radio δ > 0, (en R) al intervalo abierto de centro x0 y de extremos x0−δ, x0+δ cuya notaci´on es:

Vδ(x0) = hx0−δ, x0+δi

Esta definici‘on al ser generalizada para R2 se convierte un la representaci´on de un

c´ırculo de centor en x y radio δ. para el caso de Rn tendremos una vecindad que

toma el nombre bola abierta.

Definici´on 1.2 Se llama vecindad reducida de centro x0 y radio δ > 0 a aquella

vecindad Vδ(x0) que resulta de quitarle el centro x0 y se denota por Vδ(x0)0 i.e.

(2)

Definici´on 1.3 Un punto x0,1 se llama punto de acumulaci´on de A si cualquier

vecindad Vδ(x0) de x0 contiene al menos un punto x1 de A y distinto de x0.

Notaci´on de L´ımite:

En lo sucesivo usaremos la siguiente notaci´on:

l´ım

x→af(x) = L

Para cuando f(x) tiende a alg´un n´umero cuando x tiende a a pero el n´umero no se conoce, entonces se dice que el l´ımite de f(x)cuando x tiende a aexiste y ese valor es L.

Definici´on 1.4 (Informal) Sea a un intervalo abierto I, y sea funa funci´on defi-nida en todo el intervalo excepto posiblemente en a, y L un n´umero real. Entonces

l´ım

x→af(x) = L

significa que f(x) puede acercarse arbitrariamente a L si x se elige suficientemente cercano a a.[Swo89]

Definici´on 1.5 Seafuna funci´on que esta definida en todo punto de alg´un intervalo abierto I que contenga a a, excepto posiblemente en el mismo n´umero a. el l´ımite de f(x) cuando x se aproxima a a es L, denotado por

l´ım

x→af(x) = L (1.1)

si para cualquier ² > 0, no importando que tan peque˜no sea, existe δ > 0 tal que

|f(x) −L|< ² siempre que 0 < |x−a|< δ (1.2)

La interpretaci´on geom´etrica de la definci´on de l´ımite se da en la figura (1.1) en la que muestra que para cualquier valor de la funci´on f(x) en el intervalo |f(x) −L| siempre la preimagen caer´a en el intervalo |x−a|.

Observaci´on 1.1.1 En la definci´on de l´ımite no se habla para nada de x0, esto

quiere decir que la funci´on ni siquiera puede estar definida para dicho punto.

Ejemplo 1.1 Usando la definci´on formal de l´ımite demostrar quel´ımx→3(4x−1) = 11

Soluci´on:

Debemos demostrar que para cualquier² > 0existe unδ > 0tal que|(4x−1)−11|< ² siempre que 0 < |x−2|< δ

De lo que se observa: |(4x−1) −11|=|4x−12|=4|x−3|

1el puntox

(3)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 −50

0 50 100 150 200 250 300 350 400

( )

x o L−e −

L+e

L

x f(x)

Interpretación Geométrica de la Definición de Límite

X Y

Figura 1.1:Interpretaci´on gr´afica de la defincici´on de l´ımite.

Por tanto

4|x−3|< ² siempre que 0 < |x−3|< δ

equivalentemente podemos escribirlo como:

|x−3|< 1

4² siempre que 0 < |x−3|< δ

Ahora si escogemos δ= 1

4²tendremos que:

4|x−3|< 4δ siempre que 0 <|x−3|< δ

´o

4|x−3|< 4.1

4²siempre que 0 <|x−3|< δ

de lo que podemos deducir que

|4(x−1) −11|< ² siempre que 0 <|x−3|< δ

adem´as como estimamos que δ= 1

4², esto demuestra que l´ımx3(4x−1) =11

Para alg´un caso particular por ejemplo si tomamos para ² = 0,01 tendremos que

δ=0,01/4=0,0025.

Ejemplo 1.2 Usando la definci´on demostrar que l´ım

(4)

Soluci´on:

Debemos demostrar que para cualquier ² > 0 existe un δ > 0 tal que

¯ ¯ ¯

¯t83 −2 ¯ ¯ ¯ ¯< ²

siempre que 0 <|t−7|< δ ¯ ¯ 8

t−3 −2 ¯

¯ = ¯¯¯8−2(t−3)

t−3 ¯ ¯ ¯

= ¯¯14−2t t−3

¯ ¯

= 2|7|t3|t|

= |t−7|. 2 |t−3|

Lo que deseamos demostrar es que ¯¯ 8 t−3 −2

¯

¯ es peque˜no cuandot esta cercano a 7.

Entonces haciendo uso de un concepto adicional procedemos a encontrar una cota superior2 para la fracci´on 2

|t−3|.

Asumimos que δ que buscamos es menor que 1 podemos decir que siempre que |t−7|< δ entonces podremos afirmar que |t−7| < 1 ⇒ −1 < t−7 < 1 ⇒

3 < t−3 < 5

que adem´as podemos escribirla como:

3 < |t−3|< 5

Por tanto siempre que |t−7|< 1, tendremos que|t−3|> 3y como ya sabemos que:

¯ ¯ ¯

¯t83 −2 ¯ ¯ ¯

¯=|t−7|.|t23|

entonces tenemos que:

¯ ¯ ¯

¯t83 −2 ¯ ¯ ¯

¯=|t−7|.|t23| <|t−7|.23 siempre que |t−7|< 1

Entonces queremos que |t−7|.2

3 < ² es decir |t−7|< 3 2²

Como consecuencia tenemos que podemos tomar aδcomom´ın{1,3

2²}por tanto

que-da demostrado que

l´ım

t→7 8 t−3 =2

Lista de Ejercicios 1.1 :

En cada uno de los ejercicios siguientes determine el l´ımite usando la deficnici´on formal de l´ımite: esto es, para cualquier ² > 0, encontrar una δ > 0, tal que|f(x) −

L|< ², siempre que 0 < |x−a|< δ, para:

2Se entiende por cota dexa un n´umero cualquiera que tenga la propiedad de ser mayor o igual

(5)

1. l´ım

x→1(5x−3) =2

2. l´ım

x→−4(7−2x) = 11

3. l´ım

x→2 x29

x−3 =6

4. l´ım

x→4

x−2 x−4 = 14

5. l´ım

x→1(x 2) =1

6. l´ım

x→−3(x 2) = 9

7. l´ım

x→2 4 x−1 =2

8. l´ım

x→4 x x−3 =2

9. l´ım

x→5 2 x−4 =2

10. l´ım

x→−4 1

x+3 = −1

11. l´ım

x→3(x

23x) = 10

12. l´ım

x→2(x

2+2x1) =7

13. l´ım

x→−2(5−x−x

2) = −1

14. l´ım

x→1/2 3+2x

5−x = 89

1.1.1.

Teoremas Importantes para C´

alculo de L´ımites.

En esta subsecci´on daremos una serie de teoremas que permitir´n realizar el c´alculo num´erico de los l´ımites.

Teorema 1.1 Si c es una constante cualesquiera, entonces para cualquier n´umero

a

l´ım

x→ac=c

Teorema 1.2

l´ım

x→ax =a

Teorema 1.3 Si m y b son constantes cualesquiera, entonces

l´ım

x→a(mx+b) =ma+b

Teorema 1.4 Si l´ım

x→af(x) = L, y xl´ım→ag(x) =M entonces

l´ım

x→a[f(x)±g(x)] =L±M

Teorema 1.5 Si l´ım

x→af1(x) =L1, xl´ım→af2(x) =L2, . . xl´ım→afn(x) =Ln entonces

l´ım

x→a[f1(x)±f2(x)± · · · ±fn(x)] = L1±L2± · · · ±Ln

Teorema 1.6 Si l´ım

x→af(x) = L, y xl´ım→ag(x) =M entonces

l´ım

x→af(x).g(x) = L.M

Teorema 1.7 Si l´ım

x→af1(x) =L1, xl´ım→af2(x) =L2, . . xl´ım→afn(x) =Ln entonces

l´ım

(6)

Teorema 1.8 Si l´ım

x→af(x) = L, y n cualquier entero positivo, entonces

l´ım

x→a[f(x)]

n=Ln

Teorema 1.9 Si l´ım

x→af(x) = L, y xl´ım→ag(x) =M, M6=0 entonces

l´ım

x→a f(x)

g(x) =

L M

Teorema 1.10 Si l´ım

x→af(x) = L, entonces

l´ım

x→a

n

p

f(x) = n

L

Lista de Ejercicios 1.2 :

En cada uno de los ejercicios siguientes, aplicando los teoremas respectivos e indi-cando el uso de ellos para los c´alculos respectivos, muestre que el valor del l´ımite es:

1. l´ım

x→3(x

2+7x5) = 25

2. l´ım

x→2 q

x2+2x+3

x2+5 =

11 3

3. l´ım

x→3 x327

x−3 =27

4. l´ım

x→4f(x) = 1donde

f(x) =

±

x−3 si x6=4,

5 si x=4.

5. l´ım

x→−3 x3+27

x+3 =27

6. l´ım

x→0 x2+7x

x =7

7. l´ım

x→1

x23x+2

x24x+3 = 12

8. l´ım

x→4

2x+1−3

x−2−2 = 22

3

9. l´ım

x→8

3

x243x+4

(x−8)2 = 1441

10. l´ım

x→0

33x+1−2x+1−1 x = −

2 5

11. l´ım

x→8

3

x2+3x

4−(16/x) =2+3

3

12. l´ım

x→5

3

3x24x+9=4

(7)

1.2.

L´ımites Laterales

La considerar l´ımx →af(x) estamos interesados en los valores de de x en un in-tervalo abierto que contiene a a pero no necesariamente en el mismo a, esto es en valores dexcercanos aay mayores o menores quea, de lo que podemos inducir que podemos tomar los l´ımites de la funci´on tanto por la izquierda como por la derecha.

Definici´on 1.6 Sea f una funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo abierto (a, c). entonces el l´ımite de f(x) cuando x se aproxima a a por la derecha es L y se denota por

l´ım

x→a+f(x) =L

si para cualquier ² > 0,, no importando que tan peque˜na existe un δ > 0 tal que

|f(x) −L|< ² siempre que 0 < x−a < δ

Definici´on 1.7 Sea f una funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo abierto (d, a). entonces el l´ımite de f(x) cuando x se aproxima a a por la izquierda es L y se denota por

l´ım

x→a−f(x) =L

si para cualquier ² > 0,, no importando que tan peque˜na existe un δ > 0 tal que

|f(x) −L|< ² siempre que −δ < x−a < 0

Nota: Los ´l´ımites laterales se aplican por lo general cuando se tiene que analizar el l´ımite funciones definidas por tramos, o en su defecto para funciones que tiene discontinuidades en el dominio de definici´on.

Ejemplo 1.3 Sea f definida por

f(x) = sgn(x) =

  

 

−1 six < 0, 0 six =0, 1 six > 0.

Determinar l´ımx→0+f(x) y luego l´ımx0−f(x)

Soluci´on:

l´ımx→0+f(x) = 1 ya que si x es cualquier n´umero mayor que cero, f(x) = 1. De

manera an´a loga se obtiene el l´ımite inferior teniendo que l´ımx→0−f(x) = −1

Teorema 1.11 l´ım

x→af(x) existe y es igual a L si y s´olo si xl´ım→a+f(x) y xl´ıma−f(x)

existen y son iguales a L.

(8)

1. Para cada una de las funciones dadas a continuaci´on evaluar los limites late-rales l´ım

x→a+f(x), l´ımxa−f(x)y el l´ımite l´ımxaf(x)de la funci´on en el puntoadado,

usando el criterio teorema par los l´ımites laterales dado.

a) f(x) =

±

|x| si x 6=0,

0 si x =0. para a=0

b) f(x) =

±

4−x2 si x 1,

2−x2 si 1 < x. para a=1

c) f(x) =

  

 

2 si x < 1,

−1 si x =1

−3 si x > 1.

para a=1

d) f(x) =

±

x+3 si x −2,

3−x si x >−2. para a=2

e) f(x) =

±

2x+1 si x < 3,

10−x si x 3. para a=2

f) f(x) =

±

x2 si x 2,

8−2x si 2 < x. para a=2

g) f(x) =

  

 

2x+3 si x < 1,

2 si x=1

7−2x si x > 1.

para a=1

h) f(x) =

  

 

3+x2 si x <2,

0 si x= −2

11−x2 si x >2.

para a= −2

i) f(x) = [[x]] + [[4−x]] para a=3

j) f(x) =

±

x2+3 si x 1,

x+1 si x > 1. para a=1

k) f(x) =

±

x2 si x1,

2 si x > 1. para a=1

(9)

1.3.

L´ımites al Infinito, L´ımites Infinitos.

1.3.1.

L´ımites al Infinito

Se entiende por l´ımites al infinito cuando la variable independiente esta creciendo o decreciendo de manera infinita sin l´ımite a trav´es de los valores reales. Simb´oli-camente se entienda como ”x → ∞” o ”x → −∞”, a partir de lo cual en general tenemos la siguientes definiciones.

Definici´on 1.8 Sea f un funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo (a,+∞). El l´ımite de f(x) cuando x crece sin l´ımite es L y se denota por

l´ım

x→+∞f(x) = L

para cualquier ² > 0 no importando que tan peque˜no, existe un n´umero N > 0 tal que

|f(x) −L|< ² siempre que x > N

Definici´on 1.9 Sea f un funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo (−∞, a). El l´ımite de f(x) cuando x crece sin l´ımite es L y se denota por

l´ım

x→−∞f(x) = L

para cualquier ² > 0 no importando que tan peque˜no, existe un n´umero N < 0 tal que

|f(x) −L|< ² siempre que x < N

Teorema 1.12 Si r es cualquier entero positivo, entonces

1. l´ım

x→+∞

1 xr =0

2. l´ım

x→−∞

1 xr =0

Ejemplo 1.4 Muestre que l´ım

x→+∞

4x−3 2x+5 =2

Sugerencia: Dividir el numerador y denominador entre x

Ejemplo 1.5 Muestre que l´ım

x→−∞

2x2x+5

4x34 =0

Sugerencia: Dividir el numerador y denominador entre x3

Ejemplo 1.6 Muestre que l´ım

x→+∞

3x+4

2x25 =

3 2

Sugerencia: Dividir el numerador y denominador entre x =x2

Ejemplo 1.7 Muestre que l´ım

x→−∞

3x+4

2x25 =

3 2

(10)

1.3.2.

L´ımites Infinitos.

Se entiende por l´ımites infinitos cuando la variable independiente se acerca a un determinado valor a en tanto que la funci´on crece o decrece de manera infinita es decir l´ım

x→a+f(x) =∞ o l´ımxa−f(x) = −∞

Definici´on 1.10 Sea f un funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo Ique contenga aa, excepto posiblemente en el mismo n´umeroa. A medida que x de aproxima a a, f(x) crece sin l´ımite lo cual se denota por:

l´ım

x→af(x) = +∞

si para cualquierN > 0, existe unδ > 0 tal quef(x)> N, siempre que0 <|x−a|< δ

Definici´on 1.11 Sea f un funci´on que est´a definida en todos los n´umeros de alg´un intervalo Ique contenga aa, excepto posiblemente en el mismo n´umeroa. A medida que x de aproxima a a, f(x) decrece sin cota, lo cual se denota por:

l´ım

x→af(x) = −∞

si para cualquierN < 0, existe unδ > 0 tal quef(x)< N, siempre que0 <|x−a|< δ

Teorema 1.13 Si r es cualquier entero positivo, entonces

1. l´ım

x→0 1 xr =∞

2. l´ım

x→0+

1

xr = +∞

3. l´ım

x→0−

1 xr =

±

−∞ sir es impar ,

+∞ sir es par.

Teorema 1.14 Si a es cualquier n´umero real, y si l´ım

x→0f(x) = 0 y l´ımx→0g(x) = c

donde c es una constante diferente de cero, entonces:

1. Si c > 0 y f(x)→0 a trav´es de valores positivos de f(x),

l´ım

x→a g(x)

f(x) = +∞

2. Si c > 0 y f(x)→0 a trav´es de valores negativos de f(x),

l´ım

x→a g(x)

f(x) = −∞

3. Si c < 0 y f(x)→0 a trav´es de valores positivos de f(x),

l´ım

x→a g(x)

(11)

4. Si c < 0 y f(x)→0 a trav´es de valores negativos de f(x),

l´ım

x→a g(x)

f(x) = +∞

El teorema (1.14) tanbi´en es v´alido si ”x → a”se sustituye por ”x → a+”, ”x

+∞” o ”x→−∞”.

Teorema 1.15 Si l´ım

x→af(x) = ∞ y xl´ım→ag(x) = c donde c es cualquier constante

entonces:

l´ım

x→a[f(x) +g(x)] = ∞

El teorema (1.15) tambi´en es v´alido si ∞ se sustituye por +∞ o por −∞. Adem´as si ”x→a.esreemplazado por ”x a+”, ”x+∞” o ”x∞”.

Teorema 1.16 Si l´ım

x→af(x) = +∞ y xl´ım→ag(x) = c donde c 6= 0 es cualquier

cons-tante entonces:

1. Si c > 0 l´ımx→af(x).g(x) = +∞

2. Si c < 0 l´ımx→af(x).g(x) = −∞

El teorema (1.16) es v´alido si ”x → a”se sustituye por ”x → a+”, ”x a”, ”x→+∞” o ”x→−∞”.

Teorema 1.17 Si l´ım

x→af(x) = −∞ y xl´ım→ag(x) = c donde c 6= 0 es cualquier

cons-tante entonces:

1. Si c > 0 l´ımx→af(x).g(x) = −∞

2. Si c < 0 l´ımx→af(x).g(x) = +∞

El teorema (1.17) es v´alido si ”x → a”se sustituye por ”x → a+”, ”x a”, ”x→+∞” o ”x→−∞”.

Ejemplo 1.8 Encontrar:

a) l´ım

x→3+

x2+x+2

x22x3

b) l´ım

x→3−

x2+x+2

x22x3

c) l´ım

x→3

x2+x+2

x22x3

(12)

a) l´ım

x→3+

x2+x+2

x22x3 = l´ım

x→3+

x2+x+2

(x−3)(x+1) El l´ımite del numerador es 14. Luego

l´ım

x→3+(x−3)(x+1) = xl´ım3+(x−3).xl´ım3+(x+1) = 0,4=0

El l´ımite del denominador es 0, el denominador se esta aproximando a 0 a trav´es de valores positivos. Luego aplicando el teorema (1.14.1) obtenemos:

l´ım

x→3+(x−3)(x+1) = +∞

b) l´ım

x→3−

x2+x+2

x22x3 = l´ım

x→3−

x2+x+2

(x−3)(x+1) El l´ımite del numerador es 14. Luego

l´ım

x→3−(x−3)(x+1) =xl´ım3−(x−3).xl´ım3−(x+1) =0×4=0

El l´ımite del denominador es 0, el denominador se esta aproximando a 0 a trav´es de valores negativos. Luego aplicando el teorema (1.14.2) obtenemos:

l´ım

x→3+(x−3)(x+1) =∞

c) l´ım

x→3

x2+x+2

x22x3 @ pues se contradice con el teorema de los l´ımites laterales, la

gr´afica es como se muestra en la figura (1.2.a).

1 2 3 4 −300

−200 −100 0 100 200 300

a)

−4 −2 0 2 4 −20

−15 −10 −5 0 5 10 15

b)

Figura 1.2: a) Gr´afica def(x) = x3+x+2

x2−2x−3 y b) Gr´afica de la funci´onf(x) = x2 x+1

Ejemplo 1.9 Encontrar: l´ım

x→+∞

x2

x+1

Soluci´on:

(13)

l´ım

x→+∞

x2

x+1 =x→+∞l´ım

1 1/x+1/x2

Luego calculando el l´ımite del denominador tenemos

l´ım x→+∞ µ 1 x + 1 x2 ¶

=0+0=0

Por tanto, el l´ımite del denominador es 0, y ´este se aproxima a 0 a trav´es de valores positivos.

Como el l´ımite del numerador es 1, y por el teorema (1.14.1) se sigue que l´ım

x→+∞

x2

x+1 =

+∞

Ejemplo 1.10 Muestre que l´ım

x→+∞

2−x4

3x+5 = −∞

Sugerencia: Dividir el numerador y denominador entrex4 luego tratar el numerador

y denominador independientemente luego aplicar el teorema (1.14.3)

Lista de Ejercicios 1.4 Calcular cada uno de los siguientes l´ımites:

1. l´ım

x→+∞

2x+1 5x−2

2. l´ım

x→+∞

4x2+3

2x21

3. l´ım

x→+∞

x+4 3x25

4. l´ım

x→+∞

x22x+5

7x2+x+1

5. l´ım

x→+∞

x2+4

x+4

6. l´ım

x→−∞

x2+4

x+4

7. l´ım

x→−∞

4x3+2x25

8x2+x+2

8. l´ım

x→+∞

3x47x3+2

2x4+1

9. l´ım

x→+∞(

x3+1x)

10. l´ım

x→+∞(

x3+xx)

11. l´ım

x→−∞(

3

x3+x3

x3+1)

12. l´ım

x→+∞

q

x+x+x

x+1

13. l´ım

x→4 x x−4

14. l´ım

x→3 4x2

9−x2

15. l´ım

x→2+

x+2 x24

16. l´ım

x→20

x+2 x24

17. l´ım

x→2 x+2 x24

18. l´ım

x→o+

3+x2

x

19. l´ım

x→o−

3+x2

x

20. l´ım

x→o

3+x2

x

21. l´ım

x→3+

x29

x−3

22. l´ım

x→4−

16−x2

x−4

23. l´ım

x→+∞

2x24

5x+3

24. l´ım

x→−∞

5x212x+7

4x21

25. l´ım

x→3

(14)

26. l´ım

x→1−

[[x2]]−1

x21

27. l´ım

x→0 ¡1

x −x12

¢

28. l´ım

x→2( 1 x−2 −

1 x44)

1.3.3.

Aplicaci´

on - Gr´

aficas de Funciones

Una de las aplicaciones de los l´ımites de funciones es en el trazado de la gr´afica de estas a trav´es de la determinaci´on de las rectas as´ıntotas, por tanto daremos la siguientes definiciones.

Definici´on 1.12 Decimos que la recta x =a es una as´ıntota vertical de la gr´afica de la funci´on fsi al menos una de las siguientes proposiciones es cierta.

1. l´ım

x→a+f(x) = +∞

2. l´ım

x→a−f(x) = −∞

3. l´ım

x→a−f(x) = +∞

4. l´ım

x→a−f(x) = −∞

Definici´on 1.13 Decimos que la rectay=bes una as´ıntota horizontal de la gr´afica de la funci´on fsi al menos una de las siguientes proposiciones es cierta.

1. l´ım

x→+∞f(x) =b

2. l´ım

x→−∞f(x) =b

Ejemplo 1.11 Encontrar las as´ıntotas horizontales de la gr´afica de la funci´on:

f(x) = x x2+1

Soluci´on:

Lo primero que tenemos que hacer es calcular :

l´ım

x→+∞f(x) =x→+∞l´ım

x

x2+1

Para lo que hacemos x = x2 pues x > 0 ya que x + y luego dividimos al

numerador y denominador entre x2

l´ım

x→+∞f(x) = x→+∞l´ım

x

x2+1

= l´ım

x→+∞

q 1 1+1/x2

=

r 1 1+ l´ım

x→+∞(1/x2)

(15)

Luego de la definici´on 1.13.1, la recta y=1 es es una as´ıntota horizontal. Ahora consideremos que l´ım

x→−∞f(x)

l´ım

x→+∞f(x) =x→−∞l´ım

x

x2+1

Para lo que hacemos x = −x2 pues x < 0 ya que x y luego dividimos al

numerador y denominador entre x2

l´ım

x→−∞f(x) = x→−∞l´ım

x

x2+1

= l´ım

x→−∞−

q 1 1+1/x2

= −

r 1 1+xl´ım(1/x2)

= −1.

Luego de la definici´on 1.13.2, la recta y= −1 es es una as´ıntota horizontal.

Lista de Ejercicios 1.5 Calcular cada uno de las rectas as´ıntotas para loa ejerci-cios dados en el cap´ıtulo 1: lista (??)

a continuaci´on daremos algunos teoremas importantes en referidos a l´ımites.

Teorema 1.18 Si l´ım

x→af(x)existe y es positivo, entonces existe un intervalo abierto

que contiene a a tal que f(x)> 0 para toda x6=a en el intervalo.

Teorema 1.19 Si l´ım

x→af(x) existe y es negativo, hay un intervalo abierto que

con-tiene a a tal que f(x)< 0 para toda x 6=a en el intervalo.

Teorema 1.20 (Teorema del Sandwich) Si existe una vecindad reducida Vδ(a)0

tal que:

i) f(x)g(x)h(x), x Vδ(a)0

ii) l´ım

x→af(x) = L=xl´ım→ah(x)

entonces

l´ım

x→ag(x) = L

Ejemplo 1.12 Usar el teorema del Sandwich para mostrar que:

l´ım

x→0x 2sen1

(16)

Soluci´on:

Si tenemos en cuenta que la funci´on senxvar´ıa entre -1 y 1, entonces podemos partir de:

−1sen1

x 1

para todo x 6= 0. Ahora multiplicamos por x2 pues esto es un n´umero positivo

obtenemos:

−x2 x2sen 1 x x

2

Pero como sabemos que

l´ım

x→0(−x

2) = 0 y l´ım x→0(x

2) =0

luego por el teorema del sandwich teniendo en cuenta que f(x) = −x2 y g(x) =x2

se tiene que:

l´ım

x→0x 2sen1

x =0

1.3.4.

L´ımites de Funciones Trigonom´

etricas

En estas secci´on damos algunos resultados que permiten calcular el l´ımite con ex-presiones que involucran funciones trigonom´etricas.

Teorema 1.21

l´ım

t→0sent=0

Corolario 1.1

l´ım

t→0cost =1

Teorema 1.22

l´ım

t→0

sent t =1

Teorema 1.23

l´ım

t→0

1−cost

t =0

Prueba:

Partimos de la forma:

1−cost

t = 1−cost t.11++coscostt

= 1−cos2t

t(1+cost)

= sen2t

(17)

Luego aplicando l´ımites en ambos extremos se tiene:

l´ımx→0 1−cost t = l´ımx→0 ³

sent

t .(1+sencostt)

´

= ¡l´ımx→0 sentt ¢

. ³

l´ımx→0 (1+sencostt) ´

= 1¡ 0 1+1

¢

=1×0=0

Ejemplo 1.13 Calcular l´ım

x→0

sen5x 2x

Soluci´on:

l´ım

x→0

sen5x

2x = xl´ım0 1 2

sen5x x

= l´ım

x→0 5 2sen5x5x

= 5

2xl´ım0sen5x5x

= 5

2(1) = 52

Ejemplo 1.14 Calcular l´ım

t→0

tant 2t

Soluci´on:

l´ım

t→0

tant 2t =l´ımt→0

µ 1 2. sent t . 1 cost ¶ = 1 2

Ejemplo 1.15 Calcular l´ım

x→0

2x+1−cosx 3x

Soluci´on:

l´ım

x→0

2x+1−cosx

3x =xl´ım→0 µ

2x 3x +

1−cosx 3x

=l´ım

x→0 µ

2x 3x

+l´ım

x→0 1 3

µ

1−cosx 3x

=l´ım

x→0 2 3 +

1 3xl´ım→0

1−cosx x

= 2

3

Lista de Ejercicios 1.6 Calcule el l´ımite de cada una de las funciones siguientes, si es que existe.

1. l´ım

x→0 x

senx

2. l´ım

x→0

senx

3

x

3. l´ım

x→0

sen2x

(2x)3

4. l´ım

x→0

(18)

5. l´ım

x→0 2+senx

3+x

6. l´ım

x→0

1−cos3x x

7. l´ım

x→0

2cosx−2 3x

8. l´ım

x→0 x2+1

xcosx

9. l´ım

x→0

sen(−3x)

4x

10. l´ım

x→0 xsenx

x2+1

11. l´ım

x→0 1−cosx

x2/3

12. l´ım

x→0

1−2x22cosx+cos2x

x2

13. l´ım

x→0

4x2+3xsenx

x2

14. l´ım

x→0

cosx 1−senx

15. l´ım

x→0 1−cosx

senx

16. l´ım

x→0 x+tanx

senx

17. l´ım

x→0

xcosx−x2

2x

18. l´ım

x→0

senx 1+cosx

19. l´ım

x→0

sen1 2x

x

20. l´ım

x→0

sen22x

(19)

´Indice general

1. L´ımites de funciones de R en R 1

1.1. L´ımites . . . 1

1.1.1. Teoremas Importantes para C´alculo de L´ımites. . . 5

1.2. L´ımites Laterales . . . 7

1.3. L´ımites al Infinito, L´ımites Infinitos. . . 9

1.3.1. L´ımites al Infinito . . . 9

1.3.2. L´ımites Infinitos. . . 10

1.3.3. Aplicaci´on - Gr´aficas de Funciones . . . 14

(20)

´Indice de figuras

1.1. Interpretaci´on gr´afica de la defincici´on de l´ımite. . . 3

1.2. a) Gr´afica def(x) = x3+x+2

x2−2x−3 y b) Gr´afica de la funci´onf(x) = x2

(21)

Bibliograf´ıa

[Swo89] Earl W. Swokowski. C´alculo con Geometr´ıa Anal´ıtica. Grupo Editorial Iberoamericana, 1989.

(22)

´Indice alfab´etico

Discusi´on y Trazado de G´aficas de Luga-res Geom´etricos en R2, 7

Ecuaci´on

de la Circunferencia, 15 de la Hip´erbola, 27 de la Par´abola, 22 de la Recta, 13 de la Elipse, 24

Sistema de

Coordenadas, 3

Figure

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Referencias

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