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Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales cerrados en espacios de Banach

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Academic year: 2020

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. IC AS. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales cerrados en espacios de Banach. TESIS. IO. Para optar el Tı́tulo Profesional de Licenciado en Matemáticas. BI. BL. Autor: Maravı́ Alvarado, Ingrit Gretha. Asesor: Mg. Rodrı́guez Escobedo, Roxana. Trujillo - Perú 2019. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Dedicado a mis queridos padres y hermanos. BI. BL. IO. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Dedicatoria. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. i Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. BI. BL. IO. “Al hombre se le puede arrebatar todo, salvo una cosa: la última de las libertades humanas -la elección de la actitud personal que debe adoptar frente al destino- para decidir su propio camino.” Viktor Frankl. ii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Agradecimiento. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ante todo, primero agradecer a Dios por las oportunidades presentadas a lo largo de toda mi vida, por darme salud y fuerza suficiente para superar las dificultades que surgieron en el camino.. En primer lugar, agradezco a mis padres y hermanos que a pesar de las circunstancias, están siempre conmigo apoyándome en tiempos difı́ciles. Agradezco a mis padres, Gloria Alvarado y Guiener Maravı́, por todas las enseñanzas y consejos, por la paciencia y el apoyo incondicional en todas las decisiones que tomé. A mis queridos hermanos, Melissa, Julissa y Marlon, por la gran amistad, porque crecimos juntos y siempre nos apoyamos sin vacilación. A mi prima Karina, por su gran amistad a lo largo de todos estos años. Los amo mucho.. Agradezco a mi asesora, profesora Roxana, por su amistad, confianza, paciencia y gran disponibilidad para ayudarme en las dificultades que tuve a lo largo de toda mi carrera de estudios.. A los miembros del jurado, Msc. Nelson Aragonés y Msc. Ronald León Navarro por aceptar prontamente la invitación para la evaluación de este trabajo.. IO. Finalmente, agradezco a todos los que contribuyeron, directa o indirectamente. BI. BL. para la realización de este trabajo.. iii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. u.,**,ffio*rrurrür.r#. T}NT ESCUELA PROFESIONAL DE II'IATEIñANCAS Acta de Sustentación de Tesis. AcrApEglr_gllFlllAcrlgNiAE+!r!'I=+EFL=ríruLoDE. IC AS. LToENCTADA{O} EN rrrATqilAT.lCAS. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. En la cirdad de Trujilb, en ql ambiente ..ff .:..?0.l.de la Frct¡ltad de Ciencias Fle¡cs y Matemátlcas, siendó b¿ ..O.nrA,'. ho¡as, deldla 30 de dbbmbra de 20l9,se reunió á Jurndü rünf$ffitadü por: ilqHtS$H ARAü$HÉ$ SALAUAR Presidente{a}: RONALD LEÓN NAVARRO Secretario (a): ROXANA RODRÍEUEZ E$COBEDO hllismbro; Pa¡a el ado de: (Marcar eI que conesponde) 1. Sustentación de Tesis intitulada:. (X1. "tNvERso cEltERALtzADo DE'. LA pgRruRglcÉH DÉ. OPERADORES LINEALES CERRADOS EN ESPAGIOS DE BANACH.". Gon el fin de optar elTftr.rlo Profeslonal de Licendado en Matemáticas por la graduada: Br. INGRIT GRETHA. UINNVI ALVARADO. Despuée de concluldo el ac{o de sustentackln y luego de que la(s) mencbnada(s} han dado respuesta a lae preguntas respectivas, el Jurado Evaluador, declara: 1. Aprobado,-con mencilin honrosa. La cualameri&a su publicaclón 2. Aprobadü, por unsnirnidad \ 3. Apobado, por -. ( { ( l( ¿.i. ) } ) i. \.. mayorfa Dbeaprobado ,. de acuerdo Reglamento de Gradoo. ¡r. Tftulos de. h Universidd. -'. Nacional de Trujilb.. (. Por b tanto el Graduado se encuentra expedito (X ), ¡mpedidos ) para realizar los trámites conespondientee para la obter¡ción del Tllulo Profesional de Licenciada en Matemátlcas.. BL. IO. $iendo lss Í.#}.Sffse dio por terTninado el acts de sustentaclún.. $lsül. iFl,fiH. lu. RONALT} LHÓ}¡ üIAVARRO. BI. NELSON ARAGONÉS SALAUIR. moxAf.f A RütlR*guHe. t$cogHtl$. F-[rsl01,ü3.ffippy¡p6*ü$ * {Rev. 1}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Dedicatoria. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Índice general. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. i. Agradecimiento. iii. Lista de Sı́mbolos. vi. Presentación Resumen Abstract. vii viii ix. Introducción. 1. 1. Preliminares. 6 7. 1.2. Inversos de operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12. 1.3. Operadores cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 1.4. Perturbación de operadores lineales. Operadores relativamente acotados. 19. 1.5. Suma directa. Operadores proyección . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. BL. IO. 1.1. Operadores lineales acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. BI. 2. Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales acotados en espacios de Banach 2.1. Inverso generalizado algebraico. 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 2.2. Inverso generalizado de operadores acotados . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 2.3. Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales acotados. 41. iv Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3. Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales cerra49. 3.1. Inverso generalizado de operadores cerrados . . . . . . . . . . . . . . .. 50. 3.2. Perturbación de operadores lineales cerrados . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.3. Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales cerrados. 58. 3.4. Aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Conclusiones. IC AS. dos en espacios de Banach. 80. BI. BL. IO. Referencias Bibliográficas. 78. v Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) D(T ) N (T ) R(T ) K T+ δT T := T + δT L(X, Y ) B(X, Y ) C(X, Y ). BI. V. BL. ⊕. :. Dominio del operador T. :. Núcleo del operador T. :. Rango del operador T. :. Campo o cuerpo de los números reales o complejos. :. Inverso generalizado del operador T. :. Operador perturbador de T. :. Operador perturbación de T. :. Espacio de operadores lineales de X a Y. :. Espacio de operadores lineales acotados de X a Y. :. Espacio de operadores lineales cerrados de X a Y. :. Suma directa algebraica. :. Suma directa topológica. :. Clausura del conjunto V. :. Soporte de la función f. IO. u. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Lista de Sı́mbolos. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. suppf. vi Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Presentación. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. Presento ante ustedes el trabajo de tesis “Inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales cerrados en espacios de Banach”, con el propósito de obtener el Tı́tulo Profesional de Licenciado en Matemáticas. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación.. Agradezco anticipadamente sus opiniones y crı́ticas, pues me servirán como estı́mulo para continuar mejorando.. Ingrit Gretha Maravı́ Alvarado. BI. BL. IO. Trujillo, 12 de diciembre de 2019. vii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Resumen. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En este trabajo se analiza la existencia del inverso generalizado de la perturbación de un operador lineal cerrado en espacios de Banach. Mediante perturbaciones relativamente acotadas se obtienen condiciones que garantizan la existencia del inverso generalizado de la perturbación de un operador lineal cerrado. Además, se establece una expresión explı́cita para el inverso generalizado de la perturbación de un operador lineal cerrado.. Palabras claves: Perturbación de operadores, inverso generalizado, operadores cerra-. BI. BL. IO. dos, operadores relativamente acotados.. viii Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Abstract. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. This paper analyzes the existence of the generalized inverse of the perturbation of a closed linear operator in Banach spaces. By relatively bounded perturbations we obtained conditions that guarantee the existence of the generalized inverse of the perturbation of a closed linear operator.. Moreover, we established an explicit expression for the generalized inverse of the perturbation of a closed linear operator.. Keywords: Perturbation of operator, generalized inverse operator, closed operator,. BI. BL. IO. relatively bounded operator.. ix Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. IC AS. Introducción. La teorı́a de inversos generalizados tiene sus raı́ces en el contexto de los llamados “problemas lineales mal puestos”. Muchos problemas de la realidad, mediante la modelación matemática, pueden ser escritos en la forma T x = y,. (1). donde T es una matriz o un operador lineal. Si T es invertible entonces la ecuación (1) siempre tiene solución única, dada por x = T −1 y. Por otro lado, en muchos casos existe la solución aún cuando no existe el inverso de T . En general, tal ecuación puede tener más de una solución (N (T ) 6= {0}) o puede no tenerla (y 6∈ R(T )). Cuando (1) no tiene solución, es posible asignar en cierto sentido una solución “mejor posible” para el problema. Estos problemas, entre otros, surgen en álgebra lineal numérica, optimización y control, estadı́stica y otras áreas del análisis y matemática aplicada. Esto puede ser manejado a través del inverso generalizado de una matriz o de un operador lineal. La noción de inverso generalizado fue introducido por Fredholm et al. (1903), me-. IO. diante una publicación donde formuló un inverso generalizado de un operador integral lineal que no era invertible en el sentido ordinario y lo denominó “pseudoinverso”.. BL. Moore (1920) llamó la atención sobre una extensión útil de la noción clásica del. BI. “recı́proco de una matriz cuadrada no singular”. Según Moore, para una matriz Am×n , A+ es la pseudoinversa de A si AA+ = PR(A) , A+ A = PR(A+ ) ;. (2). donde PR(A) es una proyección ortogonal sobre R(A). Moore estableció la existencia de A+ para cualquier A, y dio una forma explı́cita de A+ . Sin conocer los resultados de Moore, Penrose (1955) demostró que la inversa de 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Moore de una matriz Am×n es la única matriz X que satisface: AXA = A,. XAX = X,. (AX)∗ = AX,. (XA)∗ = XA,. IC AS. donde A∗ es la transpuesta conjugada de A. Estas condiciones son equivalentes a las condiciones dada por Moore (2), y actualmente es denominada la inversa de MoorePenrose, denotada por A† .. Después del estudio de Penrose hasta la actualidad, se tienen muchos textos dedi-. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. cados al estudio e investigación de inversos generalizados de matrices y de operadores lineales, a destacar: Ben-Israel and Greville (2003), Campbell and Meyer (2009), Cline (1979), Groetsch (1977), Nashed (1976), Wang et al. (2018), etc. Existen ası́, varios tipos de inversos generalizados, como los inversos generalizados de matrices, los inversos generalizados algebraicos, los inversos generalizados de los operadores lineales acotados y de operadores cerrados con dominio denso, los inversos generalizados métricos, los inversos generalizados de Moore-Penrose, entre otros. En este trabajo se estudia el inverso generalizado de operadores lineales acotados y cerrados. Se tienen las siguientes definiciones: un operador T ∈ B(X, Y ), con X e Y espacios de Banach, tiene un inverso generalizado si existe un operador T + ∈ B(Y, X) tal que: (i) T T + T x = T x, ∀x ∈ X,. (ii) T + T T + y = T + y, ∀y ∈ Y .. Un operador T ∈ C(X, Y ) con dominio denso, tiene inverso generalizado si existe un operador T + ∈ B(Y, X) tal que R(T + ) ⊂ D(T ), T + T es continuo y cumple (i) y (ii). Una de las aplicaciones más importantes del análisis funcional es la teorı́a de. IO. perturbación de operadores lineales. Por ejemplo, en la investigación de soluciones aproximadas de ecuaciones lineales se tienen problemas donde una ecuación no puede. BL. ser resuelta explı́citamente, aún sabiendo que existe una única solución. Un método para resolver este tipo de problemas es simplificar la ecuación de algún modo y resolver la. BI. ecuación aproximada. Esta nueva solución puede ser tomada como una aproximación a la solución de la ecuación original. Concretamente, considerando la ecuación (1), donde T ∈ B(X, Y ), X e Y son espacios de Banach; es razonable pensar que alguna ecuación alternativa T x̃ = ỹ,. (3). será una solución aproximada de (1) siempre que, T ∈ B(X, Y ) y ỹ pueda ser elegido tal que kT −T k y ky−ỹk sean lo suficientemente pequeños. Por supuesto, se deberı́a esperar 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. que la elección de T y ỹ, en cierto modo, haga más fácil resolver (3) para x̃, que (1) para x. De este modo, se tienen que dar condiciones al operador δT := T −T de manera que la ecuación (3), tenga una única solución x̃ para cada ỹ ∈ R(T ). Recı́procamente, se estudia también el problema de un sistema que se desvı́a ligeramente de un sistema. IC AS. ideal simple, para el cual se conoce la solución completa del problema en cuestión y se desea conocer la solución del sistema perturbado. En general, estos problemas surgen en la “teorı́a de perturbación” de un operador lineal.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. La teorı́a de perturbación tuvo sus orı́genes en el comportamiento de las propiedades espectrales cuando los operadores se someten o sufren pequeños cambios, y fue desarrollada por Rayleigh y Schrödinger (Kato, 1980).. La estabilidad en la teorı́a de perturbación se refiere a que la adición de un “pequeño” operador lineal a otro operador lineal preserva las propiedades del operador inicial. En este trabajo se determina el operador perturbador adecuado que preserve la existencia de los inversos generalizados de operadores cerrados con dominio denso. Es decir, se determinan condiciones sobre el operador perturbador δT que aseguren la existencia del inverso generalizado de la perturbación T = T + δT de un operador +. lineal cerrado T con dominio denso; ası́ como también, una expresión explı́cita de T . Para lograr esto, se extienden los resultados obtenidos para el inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales acotados en espacios de Banach. En el devenir de los años, muchos autores han venido estudiando el problema del inverso generalizado de la perturbación de operadores lineales acotados: Chen and Xue (1997), Huang and Ma (2005), Ma (2008a), Nashed (1976), Ding (2003); puesto que, éstos son importantes en aplicaciones de diversas ramas de las matemáticas tales como: teorı́a de aproximación (Nashed and Chen, 1993), teorı́a frame (Cazassa and Christen-. IO. sen, 1997; Christensen, 1999) y análisis no lineal (Ma, 2008b, 1999). Sin embargo, aún ası́ existe un gran número de operadores que surgen en diferentes aplicaciones (por. BL. ejemplo, en fı́sica matemática, mecánica cuántica y ecuaciones diferenciales parciales), que son no acotados y muchos de ellos tienen inversos acotados o inversos generaliza-. BI. dos acotados. Ası́, es necessario extender los resultados sobre el inverso generalizado de la perturbación de operadores acotados al caso de operadores cerrados no acotados. Cabe señalar, que los operadores diferenciales u operadores diferenciales parciales son siempre operadores lineales cerrados no acotados con dominio denso. Por tanto, este trabajo está dedicado al estudio del inverso generalizado de la pertubación de operadores lineales cerrados con dominio denso en espacios de Banach. En base al trabajo realizado por Huang et al. (2012), se tiene el siguiente problema: 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (P) Sea T ∈ C(X, Y ) con dominio denso, donde X e Y son espacios de Banach, e inverso generalizado T + ∈ B(Y, X). Considere el operador lineal δT de X a Y y defina T := T +δT , se buscan condiciones sobre el perturbador δT que garantizen +. IC AS. que el inverso generalizado, T , del operador perturbación T exista. Este problema ha sido estudiado para el caso de operadores acotados y se han obtenido caracterizaciones para la existencia del inverso generalizado de la perturbación de. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. operadores lineales acotados con la expresión T. +. = T + (I + δT T + )−1 = (I + T + δT )−1 T + ,. (4). bajo ciertas condiciones (Nashed, 1976; Chen and Xue, 1997; Huang and Ma, 2005; Ma, 2008a; Ding, 2003; Ding et al., 2003). En base a estos resultados, se hace el análisis para determinar el perturbador δT de manera que resuelva el problema (P) para la expresión (4).. Por tanto, lo primero que se observa es que el perturbador δT debe preservar la cerradura de T . En primera instancia, se tienen que perturbadores acotados preservan la cerradura del operador; sin embargo, lo que se desea es extender esta idea a perturbadores no necesariamente acotados. Es ası́, que con la idea de Kato (1980), perturbaciones relativamente acotadas con cotas relativas menores a 1, preservan también la cerradura del operador.. El segundo lugar, se debe notar que el operador perturbador debe de determinarse de manera que exista el inverso del operador I + δT T + y que sea acotado. Para el caso acotado, es suficiente tener la condición kδT kkT + k menor a 1; a través del Teorema de la serie de Neumann. En este nuevo contexto, la clave para resolver el problema. IO. (P) es cómo probar que el operador I + δT T + sea invertible y su operador inverso (I + δT T + )−1 sea acotado. Es ası́, que se recurre al teorema generalizado de la serie de. BL. Neumann (Lema 1.2.1).. BI. Una vez que se tiene asegurada la existencia del inverso (I + δT T + )−1 acota-. do, para demostrar que la expresión (4) es un inverso generalizado de T , se usan las caracterizaciones dadas en el caso acotado, como por ejemplo, la dada por Nashed (1976): (I + δT T + )−1 T N (T ) ⊆ R(T ); o las dadas en Chen and Xue (1997); Huang and Ma (2005); Ma (2008a); Nashed (1976); Ding (2003), donde se establecen otras condiciones equivalentes de existencia 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. del inverso generalizado de la perturbación, que han tenido la expresión T + (I+δT T + )−1 en el caso de operadores lineales acotados. Ası́, para el problema planteado (P), bajo las hipótesis que el operador perturbador δT sea T -acotado con T -cota menor a 1 y que existan constantes λ1 , λ2 ∈ [0, 1) tales. IC AS. que kδT T + yk ≤ λ1 kyk + λ2 k(I + δT T + )yk, ∀ y ∈ Y y que (I + δT T + )−1 R(T ) = R(T ) +. ó que (I + T + δT )−1 N (T ) = N (T ) se garantiza la existencia de T , con la expresión +. (4), como también de una estimación para kT − T + k.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. El presente trabajo está estructurado en 3 capı́tulos. En el capı́tulo 1, se dan los conceptos y resultados más importantes sobre operadores acotados, inversos de operadores acotados, operadores cerrados, operadores relativamente acotados, perturbación y suma directa topológica, los cuales son la base para el desarrollo de los siguientes capı́tulos.. En el capı́tulo 2, se establecen condiciones suficientes para la existencia del inverso generalizado de un operador lineal acotado y se dan algunos resultados sobre la existencia del inverso generalizado de la perturbación de un operador lineal acotado. En el capı́tulo 3, es la parte central del trabajo, se analiza la existencia del inverso generalizado de la perturbación de un operador lineal cerrado. Se extienden los resultados de perturbación del caso acotado al caso de operadores cerrados densamente definidos, ası́ se establecen las condiciones que garantizan la existencia del inverso generalizado de la perturbación del operador lineal cerrado, y también, de una expresión. BI. BL. IO. para éste. Al final del capı́tulo, se da una aplicación de los resultados obtenidos.. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Capı́tulo 1. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Preliminares. IC AS. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En este capı́tulo, se establece una base para el desarrollo del trabajo presentando definiciones y principales resultados de los operadores acotados y cerrados; ası́ como también, de sus inversos usuales. Del mismo modo, se introducen los operadores relativamente acotados, ası́ mismo, se hace un estudio de la suma directa vectorial y topológica. Estos dos conceptos son las herramientas más importantes usadas en la teorı́a de perturbación de operadores lineales cerrados y en la teorı́a de los inversos generalizados, respectivamente.. En la Sección 1.1, se hace una revisión de los operadores acotados, enunciando sus principales resultados y algunos ejemplos. En la Sección 1.2, se dan caracterizaciones para que el inverso de un operador acotado sea acotado, entre ellos, el Teorema de la Serie de Neumann y su generalización (éste es el eje central de los resultados sobre perturbación de operadores). En la Sección 1.3, se estudian a los operadores cerrados, se enuncia uno de los teoremas principales del análisis funcional, el Teorema del grafo. IO. cerrado; y también, se dan condiciones para que un operador cerrado tenga inverso acotado. En la Sección 1.4, se hace un estudio de la perturbación de operadores li-. BL. neales y se presentan a los operadores relativamente acotados, los cuales extienden el concepto de operadores acotados; y al final, se dan algunos ejemplos de este tipo de. BI. operadores. Finalmente, en la Sección 1.5, se hace un estudio de la suma directa, ası́ mismo, de su relación con los operadores proyección vista desde la estructura vectorial y topológica. Se proporcionan los resultados más importantes, como también ejemplos; y para terminar, se da una relación entre el inverso de un operador y los complementos de sus espacios núcleo y rango.. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1.. Operadores lineales acotados. La principal referencia para esta sección es Kreyszig (1978). Considere X e Y espacios vectoriales sobre un campo K.. IC AS. Definición 1.1.1 Una aplicación T : D(T ) ⊂ X −→ Y es un operador lineal si D(T ) es un subespacio de X y. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. T (αx + y) = αT (x) + T (y), ∀ α ∈ K, ∀ x, y ∈ D(T ). Proposición 1.1.1 Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal.. (a) La imagen de T , denotado por R(T ), es un subespacio vectorial de Y . (b) El núcleo de T , denotado y descrito por N (T ) = {x ∈ D(T ) : T x = 0}, es un subespacio vectorial de X.. Demostración: (Kreyszig, 1978).. . En lo que resta de la sección, X e Y serán espacios normados sobre un campo K. Definición 1.1.2 Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal. El operador T es acotado si existe un número real c > 0 tal que para todo x ∈ D(T ), kT xk ≤ ckxk.. A continuación, se presenta el concepto de continuidad de un operador.. IO. Definición 1.1.3 El operador lineal T : D(T ) ⊂ X −→ Y es continuo en x0 ∈. BL. D(T ) si para todo  > 0 existe un δ > 0 tal que. BI. kT x − T x0 k <  ∀ x ∈ D(T ), siempre que kx − x0 k < δ.. T es continuo si T es continuo en todo x ∈ D(T ). Enseguida, se tiene una relación directa entre el acotamiento y continuidad de un operador (cuando es lineal); además de, una simplificación del concepto de continuidad. Teorema 1.1.1 Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal, entonces (a) T es continuo si y solo si T es acotado. 7 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. (b) Si T es continuo en un punto, entonces T es continuo (en todo punto). Demostración: Ver Kreyszig (1978).. . IC AS. Algunos ejemplos de operadores lineales acotados. Ejemplo 1.1.1. 1. Operador identidad. El operador I : X −→ X definido sobre cualquier espacio. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. normado X 6= {0} es acotado.. 2. Operador left shift y right shift. El espacio `2 está formado por aquellas sucesiones s = {an : n ∈ N} ⊂ K tales que. ∞ X ksk2 = ( |an |2 )1/2 < ∞. n=1. La función k·k2 es una norma en `2 y bajo ella, `2 es un espacio de Banach. Se define el operador left shift, TL : `2 → `2 , por. TL (a1 , a2 , a3 , · · · ) = (a2 , a3 , · · · ), (an )n∈N ∈ `2. y el operador right shift, TR : `2 → `2 , por. TR (a1 , a2 , a3 , · · · ) = (0, a1 , a2 , · · · ), (an )n∈N ∈ `2 .. Se verifica que los operadores left shift y right shift son acotados.. IO. 3. Operador integral. Sean a, b ∈ R; k : [a, b] × [a, b] −→ C una función continua y sea. BL. M = sup{|k(s, t)| : (s, t) ∈ [a, b] × [a, b]}.. BI. Se define el operador lineal K : C([a, b]) −→ C([a, b]) por Z (Kg)s =. b. k(s, t)g(t)dt, a. entonces K es acotado y kK(g)k ≤ M (b − a)kgk, ∀g ∈ C([a, b]).. 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En efecto: Para todo s ∈ [a, b] y g ∈ C([a, b]), Z. b. Z. b. M kgkdt = M (b − a)kgk.. |k(s, t)g(t)|dt ≤. |(Kg)s| ≤. a. a. kK(g)k ≤ M (b − a)kgk y ası́ K es acotado.. IC AS. De ahı́,. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. El siguiente ejemplo muestra un operador lineal que no es acotado.. Ejemplo 1.1.2 (Operador diferenciación). Considere el operador diferenciación T : D(T ) ⊂ X −→ X definido por (T x)t = x0 (t), t ∈ [0, 1], x ∈ D(T ), donde D(T ) = C 1 ([0, 1]) y X = C([0, 1]). Se demuestra que T no es acotado con la norma del supremo (k·k∞ ).. En efecto: Por el absurdo, suponer que T es acotado, luego por definición existe c > 0 tal que para todo x ∈ C([0, 1]),. kT xk = kx0 k ≤ ckxk.. En particular, si x = tn (n ∈ N) entonces. kxk = ktn k = 1,. kx0 k = kntn−1 k = nktn−1 k = n;. y ası́, kT xk = kx0 k = n ≤ ckxk = c · 1, esto es, n ≤ c, para todo n ∈ N, lo cual no es. IO. verdadero. Por tanto, T no es acotado.. BL. En la Sección 1.4 será abordado este tipo de operadores. A partir de aquı́, se adoptan las siguientes notaciones:. BI. L(X, Y ) = {T : X −→ Y ; T es lineal}. L(X) = L(X, X). B(X, Y ) = {T ∈ L(X, Y ); T es acotado.} B(X) = B(X, X).. Observación 1.1.1 Al escribir T : X −→ Y se está asumiendo que D(T ) = X. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Proposición 1.1.2 Siguiendo las notaciones anteriores se tiene (a) (L(X, Y ), +, ·) es un espacio vectorial, donde las operaciones de adición y multiplicación de un escalar por un operador son las usuales.. IC AS. (b) B(X, Y ) es un subespacio de vectorial de L(X, Y ). (c) (B(X, Y ), k·k) es un espacio normado, con la norma kT xkY . x∈D(T ) kxkX. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. kT k = sup. (1.1). x6=0. Demostración: Para la prueba de (a) y (c) ver Şuhubi (2003) y para (b) ver Sasane (2017).. . Proposición 1.1.3 Si T ∈ B(X, Y ), entonces. (a) kT k = ı́nf{k ∈ R : kT xk ≤ kkxk, ∀ x ∈ D(T )}. (b) kT k = sup kT xk. x∈D(T ) kxk≤1. (c) kT k = sup kT xk. x∈D(T ) kxk=1. Demostración: (Ver Şuhubi, 2003).. . Enunciamos a continuación una serie de propiedades de los operadores acotados. La demostración de estos teoremas pueden ser encontrados en Kreyszig (1978).. IO. Teorema 1.1.2 Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal acotado. (a) Si {xn } ⊂ D(T ) es una sucesión tal que xn −→ x, donde x ∈ D(T ), entonces. BL. T xn −→ T x.. BI. (b) El espacio nulo N (T ) es cerrado en X. Observación 1.1.2 Como una observación referente al teorema anterior se tiene. que R(T ) no necesariamente es un subespacio cerrado. Contraejemplo. Sea S = S(K) el espacio vectorial formado por las sucesiones (an ) ⊂ K, con sus operaciones usuales de suma y multiplicación por escalares. Defina el operador T : D(T ) ⊂ S −→ S tal que para s = (an ) ⊂ D(T ), T (s) = (a1 , a22 , a33 , · · · ) y donde D(T ) = `2 . 10 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. T está bien definido, pues de 2. ≤. ∞ X. |an |2. (1.2). n=1. sigue que, si s = (an ) ∈ `2 entonces T s ∈ `2 .. IC AS. ∞ X an n n=1. T es acotado, pues de (1.2) se verifica que para s ∈ `2 , kT sk ≤ ksk.. R(T ) no es cerrado. En efecto, sea σ = (1, 21 , 13 , · · · ), puesto que la serie. 1 n=1 n2. <. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. 2. P∞. ∞, entonces σ ∈ ` . Suponer que existe s = (an )n∈N tal que T s = σ, luego por la definición de T , an = 1, ∀n ∈ N; ası́ s ∈ / `2 . De ahı́, σ ∈ / R(T ). Para ver que σ ∈ R(T ), construı́mos una sucesión (sk ) ⊂ `2 tal que T sk → σ. Ası́ pues, dado k ∈ N, tomar la sucesión sk cuyos primeros k términos son 1 y los demás son 0.  P∞ 1 1/2 → 0, cuando k → ∞. Por tanto, existe Entonces, kσ − T sk k = 2 n=k+1 n σ ∈ R(T ) y σ ∈ / R(T ).. En el teorema siguiente se tienen algunas propiedades de la composición de operadores acotados.. Teorema 1.1.3 Sean T ∈ B(X, Y ) y S ∈ B(Y, Z) operadores lineales acotados, entonces. (a) ST ∈ B(X, Z) y kST k ≤ kSkkT k.. (b) Si X = Y entonces kT n k ≤ kT kn , ∀ n ∈ N.. Definición 1.1.4 Un operador lineal T : D(T ) ⊂ X −→ Y es densamente definido. IO. si D(T ) = X.. Definición 1.1.5 Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal. La restricción. BL. del operador T a un subconjunto B ⊂ D(T ), denotado por T |B , es el operador. BI. definido por. T |B x = T x, ∀ x ∈ B.. Una extensión de T a un subconjunto M ⊃ D(T ) es un operador Te : M −→ Y, tal que Te|D(T ) = T. Entre las extensiones de un operador son más importantes las que conservan las propiedades básicas de partida como la linealidad y acotamiento. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 1.1.4 (Teorema de extensión acotada). IC AS. Sea T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal acotado, donde Y es un espacio de Banach. Entonces, T tiene una extensión Te : D(T ) ⊂ X −→ Y tal que es lineal, acotada y kTek = kT k. Observación 1.1.3 Del Teorema de extensión acotada, en particular si T es un operador acotado de domimio denso, se puede extender a todo el espacio X.. Inversos de operadores acotados. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. 1.2.. La referencia básica correspondiente y las demostraciones de los teoremas de esta sección son encontrados en Kreyszig (1978) y en Nashed (1976).. Definición 1.2.1 Sean X e Y espacios vectoriales sobre el mismo campo. El operador lineal T : D(T ) ⊂ X −→ Y es invertible, si existe un operador lineal S : R(T ) −→ D(T ) tal que:. ST x = x, ∀x ∈ D(T ); T Sy = y, ∀y ∈ R(T ).. S es el inverso de T y es denotado por S = T −1 .. A continuación, se tiene una caracterización para determinar si un operador lineal es invertible.. Teorema 1.2.1 Sea T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal, donde X y Y son. IO. espacios vectoriales. El operador inverso T −1 : R(T ) −→ D(T ) existe si y solo si. BL. N (T ) = {0}.. . BI. Demostración: La prueba véase en Kreyszig (1978).. Teorema 1.2.2 Sean T : X −→ Y y S : Y −→ Z operadores lineales biyectivos,. donde X, Y e Z son espacios vectoriales. Entonces el inverso (ST )−1 : Z −→ X de la composición ST existe, y (ST )−1 = T −1 S −1 . Demostración: La prueba véase en Kreyszig (1978).. . 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. La importancia de que el inverso de un operador sea acotado radica en muchas aplicaciones, como por ejemplo, en la estabilidad de un problema. Considere lo siguiente, suponer que la ecuación T x = y tiene solución única en X para cada y ∈ Y . Es posible que esta ecuación sea difı́cil de resolver, mientras que T x = ye se puede resolver. IC AS. con facilidad para algún ye “cercano” a y. En este caso, la solución x e de esta nueva ecuación es “cercana” a la solución x de la ecuación original si T −1 es acotado, pues. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. kx − x ek = kT −1 y − T −1 yek ≤ kT −1 k · ky − yek.. Esto quiere decir que el comportamiento de la solución cambia continuamente con las condiciones iniciales.. Ası́, se tiene el siguiente resultado conocido como teorema del inverso acotado o Teorema inverso de Banach, y es una consecuencia inmediata del Teorema de la aplicación abierta.. Teorema 1.2.3 (Teorema Inverso Acotado) Sean X e Y espacios de Banach y T : X → Y un operador lineal acotado. Si T es invertible, entonces T −1 también es acotado.. Demostración: La demostración puede ser revisada en Kreyszig (1978).. . Observación 1.2.1 La completitud de los espacios X e Y son necesarios para que el inverso sea acotado.. Bajo ciertas condiciones, el inverso acotado de un operador lineal acotado se puede construir de una manera completamente sistemática. Este algoritmo fue descubierto. IO. hacia fines del siglo XIX por el matemático alemán Carl Gottfried Neumann (1832-. BL. 1925), en el contexto de la teorı́a de potencias. Teorema 1.2.4 (Serie de Neumann) Sea T ∈ B(X), donde X es un espacio de. BI. Banach. Si kT k < 1, entonces (I − T )−1 existe, es un operador lineal acotado sobre X y. −1. (I − T ). =. ∞ X. Tj = I + T + T2 + ··· ,. j=0. donde la serie es convergente en la norma sobre B(X). Además, k(I − T )−1 k ≤. 1 . 1 − kT k. (1.3) 13. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Demostración: La prueba se puede encontrar en Kreyszig (1978).. . Como una aplicación se muestra cómo obtener una solución para una ecuación integral.. k(x, y) = α sin(x − y).. IC AS. Ejemplo 1.2.1 Sea α ∈ C y k : [0, 1] × [0, 1] −→ R, definido por. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Demostrar que si |α| < 1, entonces para cualquier f ∈ C([0, 1]) existe g ∈ C([0, 1]) tal que. 1. Z. k(x, y)g(y)dy.. g(x) = f (x) +. 0. Solución: En el Ejemplo 1.1.1 (b) se demostró que el operador lineal K : C([0, 1] −→ C([0, 1])) definido por. Z. (Kg)s =. 1. k(s, t)g(t)dt. 0. es acotado y kK(g)k ≤ |α|kgk. De ahı́ kKk ≤ |A|. Puesto que la ecuación integral puede ser escrita como. (I − K)g = f. e I −K es invertible por el Teorema 1.2.4, la ecuación integral tiene la solución (única) g = (I − K)−1 f.. En el Teorema 1.2.4, se vió que un operador U sobre un espacio de Banach es invertible si es lo suficientemente cercano al operador identidad I, en el sentido que. IO. kI − U k < 1. Se verá a continuación que U es invertible bajo una condición más débil.. BL. Lema 1.2.1 (Lema generalizado de Neumann) Sea X un espacio de Banach. BI. y U : X → X un operador lineal, si existen constantes λ1 , λ2 ∈ [0, 1) tales que kU x − xk ≤ λ1 kxk + λ2 kU xk, ∀x ∈ X,. entonces U es un operador acotado e invertible; y además para todo x ∈ X, 1 − λ1 1 + λ1 kxk ≤ kU xk ≤ kxk, 1 + λ2 1 − λ2 1 − λ2 1 + λ2 kxk ≤ kU −1 xk ≤ kxk. 1 + λ1 1 − λ1 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Demostración: Para la prueba véase Cazassa and Christensen (1997).. Operadores cerrados. IC AS. 1.3.. . En el Ejemplo 1.1.2, se observó que cuando se trata de operadores diferenciales, se descubre la necesidad de considerar también operadores lineales no acotados. De especial interés son los operadores con dominio denso en X. Cuando T es acotado con. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. dominio denso, se extiende por continuidad a un operador en B(X, Y ); sin embargo, cuando T no es acotado, no existe tal extensión. Para estos operadores, otra propiedad de interés es la propiedad de ser cerrado.. Para una mejor discusión y mayor detalle sobre operadores lineales cerrados las correspondientes referencias son Kreyszig (1978) y Kato (1980).. Definición 1.3.1 Sean X e Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal. El operador lineal T es cerrado si su grafo. G(T ) = {(x, y) : x ∈ D(T ), y = T x}. es cerrado en el espacio normado X × Y , donde las operaciones algebraicas del espacio vectorial X × Y son definidas de forma usual, esto es,. (x1 , y1 ) + (x2 , y2 ) =(x1 + x2 , y1 + y2 ), α(x, y) =(αx, αy),. k(x, y)k = kxk + kyk, ∀x ∈ X, y ∈ Y.. BL. IO. α es un escalar y la norma sobre X × Y es definida por. BI. Notación: El conjunto de todos los operadores lineales cerrados de X a Y es. denotado por C(X, Y ), es decir, C(X, Y ) = {T : D(T ) ⊂ X −→ Y ; T es un operador lineal cerrado.} Observación 1.3.1 Por definición, G(T ) es cerrado si y solo si para todo z = (x, y) ∈ G(T ) se tiene que z ∈ G(T ). Es decir, z ∈ G(T ) si y solo si existe. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. zn = (xn , T xn ) ∈ G(T ) tal que zn −→ z. Luego, xn −→ x,. T xn −→ y;. IC AS. y z = (x, y) ∈ G(T ) si y solo si x ∈ D(T ) y y = T x. Ası́, por la Observación 1.3.1 y la Definición 1.3.1 se tiene la siguiente caracterización de operadores lineales cerrados.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Teorema 1.3.1 Sean X e Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal. Entonces, T es cerrado si y solo si tiene la siguiente propiedad: dada (xn ) ⊂ D(T ), si xn −→ x y T xn −→ y, entonces x ∈ D(T ) y T x = y. Demostración: Ver Kreyszig (1978).. . Enseguida algunos ejemplos de operadores cerrados.. Ejemplo 1.3.1 Si T : R −→ R es continuo, entonces G(T ) es cerrado. Ejemplo 1.3.2 (Operador diferencial). Sea X = C([0, 1]) y T : D(T ) ⊂ X −→ X x 7−→ x0. donde D(T ) = C 1 ([0, 1]). El operador T es no acotado, pero es cerrado. En efecto: del Ejemplo 1.1.2 se tiene que T es no acotado. Se demostrará que T es cerrado aplicando el Teorema 1.3.1.. BL. IO. Sea (xn ) en D(T ) tal que (xn ) y (T xn ) convergen, es decir, xn −→ x. T xn = x0n −→ y.. y. BI. Puesto que la convergencia en la norma de C([0, 1]) es convergencia uniforme sobre [0, 1], de x0n −→ y se tiene Z. t. Z y(τ )dτ =. 0. t. lı́m. 0 n→∞. x0n (τ )dτ. Z = lı́m. n→∞. t. x0n (τ )dτ = x(t) − x(0),. 0. es decir, Z x(t) = x(0) +. t. y(τ )dτ. 0. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Esto demuestra que x ∈ D(T ) y T x = x0 = y. Luego del Teorema 1.3.1 se sigue que T es cerrado.. . Ejemplo 1.3.3 Sea X = C([0, 1]) y Af = f 0 , con D(A) = Cc1 ((0, 1]), donde en (0, 1]. Este operador no es cerrado. En efecto: considere las funciones fn ∈ D(A) dadas por. IC AS. Cc1 ((0, 1]) es el espacio de funciones de clase C 1 sobre (0, 1] con soporte compacto. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S.   0 si 0 ≤ t < n1 , fn (t) =   t − 1 2 si 1 ≤ t ≤ 1, n n. para todo n ∈ N. Entonces, fn → f y fn0 → f 0 en X, cuando n → ∞, donde f (t) = t2 . Sin embargo, suppf = [0, 1] y f ∈ / D(A).. Observación 1.3.2 Del Ejemplo 1.3.2 se tiene que cerradura no implica acotamiento de un operador lineal.. De acuerdo a las consideraciones anteriores, ¿bajo qué condiciones un operador lineal cerrado será acotado? La respuesta está dada por el siguiente teorema. Teorema 1.3.2 (Teorema del grafo cerrado) Sean X e Y espacios de Banach y T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal cerrado. Si D(T ) es cerrado en X, entonces el operador T es acotado.. Demostración: Ver Kreyszig (1978).. . IO. Observación 1.3.3. En el Teorema del grafo cerrado, la completitud de los espacios X e Y son esen-. BL. ciales.. BI. El Teorema del grafo cerrado implica que, en espacios de Banach, para un operador T : D(T ) ⊂ X −→ Y cerrado; si D(T ) = X entonces T es acotado. En. consecuencia, para operadores lineales cerrados definidos densamente, D(T ) 6= X es equivalente a que T sea no acotado.. De ahı́, se obtiene el siguiente resultado. Teorema 1.3.3 Sean X e Y espacios de Banach y T un operador lineal acotado. Si T es cerrado, entonces D(T ) es cerrado en X. 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Demostración: Ver Kreyszig (1978).. . Ahora se tiene la pregunta recı́proca: ¿acotamiento implica cerradura? La respuesta es no.. IC AS. En efecto: sea T : D(T ) −→ D(T ) ⊂ X el operador identidad sobre D(T ), donde D(T ) es un subespacio propio denso de un espacio normado X. Entonces T es lineal y acotado, sin embargo, T no es cerrado. Esto se sigue inmediatamente del Teorema 1.3.1 si se toma un x ∈ X − D(T ) y una sucesión (xn ) en D(T ) que converge a x.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Enseguida se enuncian condiciones para que un operador acotado sea cerrado. Teorema 1.3.4 Sean X e Y espacios normados y T : D(T ) ⊂ X −→ Y un operador lineal acotado. Si D(T ) es un subconjunto cerrado de X, entonces T es cerrado. Demostración: Ver Kreyszig (1978).. . Observación 1.3.4 De los teoremas 1.3.2 y 1.3.4, se concluye que un operador acotado es cerrado si y solo si D(T ) es cerrado. En particular, todo operador T ∈ B(X, Y ) es cerrado: B(X, Y ) ⊂ C(X, Y ).. Teorema 1.3.5 Sea T ∈ C(X, Y ), entonces N (T ) es un subespacio cerrado en X. Demostración: Ver Xue (2012).. . Observación 1.3.5 El subespacio R(T ) de un operador cerrado no necesariamente es cerrado.. Teorema 1.3.6 Sean X, Y, Z espacios de Banach. Sea T ∈ C(Z, Y ) y S ∈ B(X, Z). IO. tal que D(T ) ⊂ Z, entonces T S ∈ C(X, Y ).. . BL. Demostración: Ver Xue (2012).. BI. Observación 1.3.6 En el Teorema 1.3.6, si D(T ) = Z entonces T S ∈ B(X, Y ). Con respecto al inverso de un operador cerrado se tienen algunos resultados.. Teorema 1.3.7 Sea T ∈ C(X, Y ). Si T es invertible, entonces T −1 es cerrado. Demostración: Ver Bachman and Narici (1966).. . A continuación algunas condiciones para que el inverso de un operador cerrado sea acotado. 18 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 1.3.8 Sea X un espacio de Banach, Y un espacio normado y T : D(T ) ⊂ X → Y un operador lineal cerrado. Si T −1 existe y es acotado, entonces R(T ) es cerrado. Demostración: Ver Bachman and Narici (1966).. IC AS. . Teorema 1.3.9 Sean X e Y espacios de Banach. Sea T ∈ C(X, Y ) con R(T ) = Y .. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Si T es invertible, entonces T −1 ∈ B(Y, X). Demostración: Ver Bachman and Narici (1966).. . Observación 1.3.7 En particular, de los Teoremas 1.3.8 y 1.3.9, con X e Y espacios de Banach. Si T ∈ C(X, Y ) e invertible, entonces T −1 ∈ B(Y, X) si y solo si R(T ) es cerrado.. 1.4.. Perturbación de operadores lineales. Operadores relativamente acotados. El análisis funcional tiene una aplicación muy importante en la investigación de soluciones aproximadas de ecuaciones lineales. Con frecuencia, se tienen problemas donde una ecuación no puede ser resuelta explı́citamente, aún sabiendo que existe una única solución. Un método para resolver este tipo de problema es simplificar de algún modo la ecuación y resolver la ecuación aproximada. Esta nueva solución puede ser tomada como una aproximación a la solución de la ecuación original. Considere la T x = y,. (1.4). BL. IO. ecuación. donde T ∈ B(X, Y ), X e Y son espacios de Banach. Es razonable pensar, que alguna. BI. ecuación alternativa T x̃ = ỹ. (1.5). será una solución aproximada de (1.4) si T ∈ B(X, Y ) e ỹ pueda ser elegido de manera que kT − T k y ky − ỹk sean lo suficientemente pequeños. Por supuesto, se deberı́a esperar que la elección de T e ỹ, en cierto modo, hagan más fácil resolver (1.5) para x̃ que (1.4) para x. El siguiente resultado resuelve el problema planteado. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 1.4.1 Sea T ∈ B(X, Y ), donde X e Y son espacios de Banach. Suponer que T es invertible y T −1 ∈ B(Y, X). Si un operador δT ∈ B(X, Y ) satisface kδT k · kT −1 k < 1,. −1. k≤. ∈ B(Y, X) y. kT −1 k , 1 − kT −1 k · kδT k. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. kT. −1. IC AS. entonces el operador T := T + δT tiene un inverso T. (1.6). kT. −1. − T −1 k ≤. kT −1 k · kδT k · kT −1 k . 1 − kT −1 k · kδT k. (1.7). (1.8). Demostración: Como existe T −1 , se puede escribir. T = T + δT = (I + δT T −1 )T = T (I + T −1 δT ),. luego de (1.6),. kδT T −1 k ≤ kT −1 kkδT k < 1.. Por consiguiente, del Teorema de la serie de Neumann se tiene que existe (I+δT T −1 )−1 ∈ B(X) (lo que implica que existe (I+T −1 δT )). Ası́, T −1 (I+δT T −1 )−1 = (I+T −1 δT )−1 T −1 es el operador inverso de T , además T. −1. ∈ B(Y, X). Para demostrar las desigualdades. (1.7) y (1.8), se usa la desigualdad (1.3) del Teorema de la serie de Neumann. En efecto, kT. −1. k = kT −1 (I + δT T −1 )−1 k. ≤ kT −1 k · k(I + δT T −1 )−1 k. IO. ≤. kT −1 k . 1 − kδT k · kT −1 k. BL. Por otro lado, −1. BI. kT. − T −1 k = kT −1 (I + δT T −1 )−1 − T −1 k ≤ kT −1 k · k(I + δT T −1 )−1 − Ik = kT −1 k · k(I + δT T −1 )−1 − (I + δT T −1 )(I + δT T −1 )−1 k ≤ kT −1 k · kδT T −1 k · k(I + δT T −1 )−1 k ≤. kT −1 k · kδT k · kT −1 k . 1 − kδT k · kT −1 k  20. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Observación 1.4.1 El Teorema 1.4.1 nos dice que cuando kT − T k es suficientemente pequeño, la ecuación alternativa (1.5), también tiene una solución única x̃ para cada ỹ ∈ Y . aproximación para x, ası́ se tiene kx − x̃k ≤ kT −1 y − T. −1. yk + kT. −1. y−T. k · kyk + kT. −1. −1. −T. ỹk. −1. k · ky − ỹk.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. ≤ kT −1 − T. −1. IC AS. El número kx − x̃k es la medida del error que surge cuando x̃ es usado como una. (1.9). De (1.9), en combinación con (1.7) y (1.8), se tiene que para cualquier  > 0 dado, es posible elegir δ1 > 0 y δ2 > 0 de manera que, kx − x̃k <  siempre que T y ỹ satisfacen kT − T k < δ1 e ky − ỹk < δ2 . En consecuencia, el error puede hacerse tan pequeño como se desee.. Una vez que T y ỹ han sido elegidos para garantizar que kx − x̃k sea adecuadamente pequeño, es posible obtener una estimación más precisa del error. En la demostración del Teorema 1.4.1 se obtuvo una expresión para el inverso del operador T ,. T. −1. = T −1 (I + δT T −1 )−1 = (I + T −1 δT )−1 T −1 .. (1.10). En los próximos capı́tulos se va a notar cómo esta expresión es esencial para el desarrollo de los inversos generalizados de operadores lineales acotados y cerrados. En general, este tipo de problemas surgen en la “teorı́a de perturbación” de un ope-. IO. rador lineal. Esta teorı́a está basada en la idea de estudiar un sistema que se desvı́a. BL. ligeramente de un sistema ideal simple, para el cual se conoce la solución completa del problema en cuestión.. BI. Los teoremas de perturbación se refieren a la descripción de cómo la adición. de un “pequeño” operador lineal a otro operador lineal acotado o cerrado afecta a las propiedades del operador inicial. El objetivo es mostrar que pequeñas perturbaciones de operadores acotados o cerrados, bajo ciertas condiciones dadas al operador perturbador, preservan las mismas propiedades matemáticas del operador inicial, como por ejemplo, ser un operador acotado, cerrado, tener inverso, ser de rango cerrado, ser de dominio denso, etc.. 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Para evitar confusión, cuando se tenga un teorema de perturbación, al escribrir T := T + δT , T será llamado el operador perturbado, δT el operador perturbador y T el operador perturbación. Debido a que este trabajo es sobre operadores cerrados, en lo que resta de la. IC AS. sección se darán las herramientas necesarias para el estudio de la perturbación de operadores cerrados.. Teorema 1.4.2 Sea T ∈ C(X, Y ), con X e Y espacios normados. Si A es acotado. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. con D(A) ⊃ D(T ) entonces T + A es cerrado. Demostración: Ver Kato (1980).. . El Teorema 1.4.2 expresa el hecho de que la cerradura es estable bajo una “perturbación” acotada. En la Sección 3.2 se extenderá este teorema de estabilidad a perturbaciones no necesariamente acotadas. Ası́, surge la noción de perturbaciones relativamente acotadas.. Definición 1.4.1 Sean T y A operadores lineales sobre el espacio normado X. El operador A es relativamente acotado con respecto a T o simplemente T -acotado si D(T ) ⊂ D(A) y existen constantes no negativas a y b tales que kAuk ≤ akuk + bkT uk,. u ∈ D(T ).. (1.11). El ı́nfimo b0 de todas las posibles constantes b para la cual la desigualdad (1.11) se produce, es llamada la cota relativa de A con respecto a T o simplemente la T -cota de A.. IO. Observación 1.4.2 Un operador acotado A es T -acotado para cualquier T con. BL. D(T ) ⊂ D(A) y T -cota igual a cero.. BI. A continuación, se presentan los siguientes ejemplos. Ejemplo 1.4.1 Sea X = L1 [0, 1]. Defina los operadores A : D(A) ⊂ X −→ X y. B : D(B) ⊂ X −→ R con D(B) ⊃ D(A) = C([0, 1]) tales que Ax = x0 y B(x) = x(0). Entonces B es A-acotado. En efecto: Sea x ∈ C([0, 1]), por el Teorema de Valor Medio para integrales, existe t ∈ [0, 1] tal que Z |x(t)| =. 1. |x(t)|dt = kxkL1 , 0. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. de otro lado, 1. Z. 1. Z. 0. |x0 (t)|dt = kAxkL1 .. x (t)dt| ≤. |x(0) − x(t)| = |. 0. 0. IC AS. Por tanto, kBxk = |x(0)| ≤ |x(t)| + |x(0) − x(t)| ≤ kxk + kAxk, es decir, B es relativamente acotado con respecto a A.. Sea X = C((a, b)), donde a, b < ∞. Sean T : X −→ X y. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Ejemplo 1.4.2. A : X −→ X operadores definidos por. T u = −u00. Au = u0. y. Luego A es T -acotado con T -cota 0.. En efecto.- Para este fin se usa la identidad. u0 = Gu00 + Hu,. (1.12). donde G y H son operadores integrales con núcleos g(y, x) y h(y, x), respectivamente, dado por. g(y, x) =.  (x − a)n+1       (b − a)(y − a)n. si. a≤x<y≤b. −(b − x)n+1 (b − a)(b − y)n. si. a≤y<x≤b. IO.      . BL. h(y, x) =.  n(n + 1)(x − a)n−1    −   (b − a)(y − a)n . si. a≤x<y≤b.    n(n + 1)(b − x)n−1    (b − a)(b − y)n. si. a ≤ y < x ≤ b,. BI. donde n > 0. La expresión (1.12) puede ser verificada mediante integración por partes. Los operadores G y H son acotados, por Z a. Z a. b. b. b−a |g(y, x)|dx ≤ , n+2. 2(n + 1) |h(y, x)|dx ≤ , b−a. Z. b. |g(y, x)|dy ≤ a. Z. b. |h(y, x)|dy ≤ a. b−a . n−1. 2n(n + 1) , (n − 1)(b − a). 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. donde se asumió que n > 1 por simplicidad. Se sigue que kGk ≤. b−a , n−1. kHk ≤. 2n(n + 1) (n − 1)(b − a). ku0 kp ≤. IC AS. y de (1.12) se obtiene 2n(n + 1) b − a 00 ku kp + kukp , n > 1. n−1 (n − 1)(b − a). TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. El factor de ku00 kp se puede hacer arbitrariamente pequeño cuando n → ∞. En consecuencia, A es T -acotado con T cota 0.. . Ejemplo 1.4.3 Sea X = Lp (a, b) con a, b < ∞ y T u = u0 , Au = u(c), donde c ∈ [a, b]. A es un funcional lineal y es no acotado si p < ∞. Se demuestra que A es T -acotado con T -cota 0 si p > 1 y con T -cota mayor que 0 si p = 1. Demostración.- De la identidad. u(c) = hu0 , gi + hu, hi,. donde. g(x) =.  (x − a)n+1       (b − a)(c − a)n. si. a≤x≤c. −(b − x)n+1 (b − a)(b − c)n. si. c<x≤b.  (n + 1)(x − a)n      (b − a)(c − a)n. si. a≤x≤c.    (n + 1)(b − x)n   (b − a)(b − c)n. si. c < x ≤ b,.      . IO. h(x) =. (1.13). BL. donde n > 0. (1.13) puede ser verificado mediante integración por partes. Haciendo. BI. cálculos se obtiene la desigualdad  kgkq ≤. b−a nq + q + 1. 1/q ,. khkq ≤. n+1 (b −. a)1−1/q (nq. + 1)1/q. ,. para cualquier q ≥ 1. Luego, de (1.13) y de la desigualdad de Holder se tiene |u(c)| ≤ kgkq ku0 kp + khkq kukp  1/q b−a n+1 ≤ ku0 kp + kukp , 1/p nq + q + 1 (b − a) (nq + 1)1/q. (1.14). 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. donde p−1 + q −1 = 1. Si p > 1, entonces q < ∞ y los coeficientes de ku0 kp en la parte derecha de (1.14) pueden hacerse arbitrariamente pequeños cuando n → ∞; en consecuencia, A es T -acotado con T -cota 0.. |u(c)| ≤ ku0 k1 + kuk1 /(b − a).. IC AS. Si p = 1, entonces q = ∞ y haciendo n → 0 se tiene de (1.14) que. 1.5.. . TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Esto demuestra que A es T -acotado con T -cota menor que 1.. Suma directa. Operadores proyección. Para finalizar este primer capı́tulo, se abordará el concepto de suma directa desde dos puntos de vista: algebraico y topológico. Para una mejor discusión sobre suma directa y operadores proyección, las correspondientes referencias son Edwards (1995) y Ma (1995).. Suma directa algebraica. Definición 1.5.1 Sea X un espacio vectorial sobre K. Un operador lineal P en X, P : X −→ X, es un operador proyección o un proyector si P 2 = P . Definición 1.5.2 Sea X un espacio vectorial sobre K; L y M subespacios vectoriales de X, X es la suma directa algebraica de L y M si y solo si cada x ∈ X se puede expresar de manera única como:. IO. x = a + b, donde a ∈ L y b ∈ M.. L + M = X y L ∩ M = {0}.. BI. BL. Es equivalente, a decir que. El subespacio M es denominado complemento algebraico de L y viceversa. Notación: Para denotar que X es suma directa algebraica de los subespacios L y M , se escribe X = L u M . Ejemplo 1.5.1 Sean los subespacios X = C([−a, a]), M = {f ∈ X : f es par} y N = {f ∈ X : f es impar}, entonces X = M u N . 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En efecto: las funciones f (x) + f (−x) , 2 f (x) − f (−x) f2 (x) = 2. f1 (x) =. (1.15). IC AS. (1.16). está bien definidas, f1 ∈ M , f2 ∈ N . Si f ∈ X, entonces f = f1 + f2 y además M ∩ N = {0}.. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. Teorema 1.5.1 Todo subespacio vectorial de X admite al menos un (y usualmente muchos) complemento(s) algebraico(s).. Demostración: La demostración puede ser encontrada en Baer (1952).. . Observación 1.5.1 En el Teorema 1.5.1, se afirma que siempre es posible encontrar al menos un complemento algebraico para cualquier subespacio vectorial. En general, el complemento no es único. En efecto: sea M = span{(1, 0)}, M es complementado en R2 por N = span{(0, 1)}, del mismo modo, es complementado por N = span{v}, donde v ∈ / span{(1, 0)}.. A continuación, véase la relación que existe entre los complementos algebraicos y los proyectores.. Teorema 1.5.2 Si P es un operador proyección sobre el espacio vectorial X, entonces los subespacios R(P ) y N (P ) son complementarios, es decir, P induce una. X = R(P ) u N (P ).. (1.17). BL. IO. descomposición en suma directa algebraica:. Recı́procamente, cada descomposición en suma directa algebraica de X determina dos. BI. proyectores: P e I − P . Demostración: La demostración puede ser encontrada en Edwards (1995).. . Observación 1.5.2 En el Teorema 1.5.2, si se tiene (1.17), P es llamado un proyector o un operador proyección de X sobre R(P ) paralelo a N (P ).. 26 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Suma directa topológica Si M es un subespacio lineal de un espacio vectorial X, entonces siempre existe un subespacio lineal N de X, de modo que X es la suma directa de M y N. Sin embargo, si X es un espacio de Banach y M es cerrado, ¿siempre habrá un subespacio cerrado. IC AS. N de X tal que X sea la suma directa de M y N ? Por supuesto, si X es un espacio de Hilbert, la respuesta es sı́; simplemente tomamos N para ser el complemento ortogonal de M . Sin embargo, se verá a continuación que la situación es muy diferente en un. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. espacio vectorial topológico.. Definición 1.5.3 Sea X un espacio vectorial topológico. Un operador lineal P en X, P : X −→ X, es un operador proyección o un proyector si P es continuo y P 2 = P . La siguiente definición está bien definida por el Teorema 1.5.2.. Definición 1.5.4 Sea X un espacio vectorial topológico, M y N subespacios vectoriales de X tales que X = M u N. Considere el operador lineal asociado P : X −→ X tal que P 2 = P , R(P ) = M y N (P ) = R(I − P ) = N . Si el proyector P es continuo, se dice que X es la suma directa topológica de M y N y se denota X = M ⊕ N.. Un subespacio M de X tiene un complemento topológico si y solo si existe un subespacio N tal que X = M ⊕N, en este caso se dice que M y N son complementos topológicos uno del otro.. Teorema 1.5.3 Sean M y N subespacios vectoriales de un espacio normado X. Si. IO. X = M ⊕ N , entonces M y N son cerrados.. . BL. Demostración: la demostración puede ser encontrada en Ma (1995).. BI. Observación 1.5.3 El recı́proco del Teorema 1.5.3 no es cierto. En el contexto de. espacios topológicos, si X es un espacio de Banach y M es un subespacio cerrado en X, es posible que no exista un subespacio cerrado que sea complemento topológico de M . Por ejemplo, en los espacios `p y Lp , con p 6= 2, existen subespacios cerrados que no tienen complementos topológicos (ver Murray, 1937; Sobczyk et al., 1941). Enseguida una caracterización para la suma directa topológica en espacios de Banach.. 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Teorema 1.5.4 Sea X un espacio de Banach, M y N subespacios de X. Suponga que X = M u N , si M y N son subespacios cerrados, entonces X = M ⊕ N , es decir, X es la suma directa topológica de M y N . . IC AS. Demostración: la demostración puede ser encontrada en Ma (1995). Análogo al Teorema 1.5.2 se tiene para el caso topológico.. Teorema 1.5.5 Sea X un espacio topológico. Sea P un operador proyección, enton-. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. ces P induce una descomposición de X en dos complementos topológicos P (X) = R(P ) e (I − P )X = R(I − P ) = N (P ).. Teorema 1.5.6 Todo subespacio cerrado M de un espacio de Banach X tiene un complemento topológico en X si y solo si existe un proyector continuo de X sobre M . Demostración: para la prueba revisar Goldberg (2006).. . A continuación, algunos ejemplos sobre proyecciones y subespacios complementarios.. Ejemplo 1.5.2 Sea X = C([−a, a]), a > 0. Sean M y N subconjuntos de X que consisten de las funciones pares e impares, respectivamente. Se verifica que M y N son subespacios cerrados. En el Ejemplo 1.5.1 se vió que X = M u N , luego por el Teorema 1.5.4 se tiene que X = M ⊕ N . Ası́, de las ecuaciones (1.15) y (1.16) se tiene que el operador proyección P de X sobre M paralelo a N es dado por. IO. 1 P f (x) = (f (x) + f (−x)), 2. BL. donde f ∈ X; y además, kP k = kI − P k = 1.. BI. Ejemplo 1.5.3 Sea X = C((−π, π)) y 1 P f (x) = π. Z. π.  cos xf (x)dx cos x,. −π. entonces P es un operador proyección.. 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En efecto: P es lineal, esto es inmediato. Vea que P es idempotente.. IC AS.  Z π 1 cos xP f (x)dx cos x P (P f (x)) = π −π Z π Z π   1 1 = cos x cos x cos xf (x)dx cos xdx π π −π −π Z π  Z π  1 2 = 2 cos x cos xf (x)dx cos (x)dx π −π −π. TE CA Y M DE AT C EM IEN ÁT CI IC AS AS FÍ S. = P f (x). Además, P es acotado, pues de 1 |P f (x)| = π se sigue que.  Z π  1 cos xf (x)dx cos x ≤ | cos x||f (x)|dx | cos x|, π −π −π. Z. π. kP f k∞ =. sup |P f (x)| ≤ 2kcos xk2∞ kf k∞ .. x∈(−π,π). Por tanto, P es un operador proyección.. Para un subespacio vectorial topológico, la existencia de un complemento topológico es importante para la construcción de inversos a la derecha o a izquierda de operadores lineales continuos.. Teorema 1.5.7 Sean X e Y espacios de Banach y T ∈ B(X, Y ) sobreyectivo. Existe S ∈ B(Y, X) tal que T S = IY si y solo si N (T ) tiene un complemento topológico en X.. Demostración: (⇒) Suponer que T es sobreyectivo, luego T tiene un inverso a derecha. IO. S ∈ L(Y, X), es decir, T S = IY . Demostremos que S es acotado.. BL. En efecto: como N (T ) es complementado topológicamente, existe M ⊂ X tal que. BI. X = N (T ) ⊕ M , luego del Teorema 1.5.3 se tiene que M es cerrado. Se define el operador Te = T |M y se verifica que es inyectivo sobre R(T ) = Y . De ahı́, existe Te−1 : Y −→ M . Puesto que T es acotado y M e Y son espacios de Banach, se sigue del Teorema de inverso acotado que Te−1 es acotado. Sea S := Te−1 , se verifica que S es un inverso a derecha de T . (⇒) Suponer que existe T tiene un inverso a derecha acotado. Demostrar que N (T ) tiene un complemento topológico. En efecto: sea P = ST , luego P es lineal idempotente y continuo, es decir, P es un. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

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