Solución numérica de la ecuación de Schrödinger lineal mediante el método de elementos finitos 1 D

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER LINEAL MEDIANTE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 1-D. Autor: Edgar Edison Rodrı́guez Horna. B. IB. LI. O. T. E. Trabajo de tesis para obtar el tı́tulo de licenciado en matemáticas. Asesor: Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez. Trujillo - Perú 2018. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER LINEAL MEDIANTE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS. E. 1-D. Autor: Edgar Edison Rodrı́guez Horna. B. IB. LI. O. T. Trabajo de tesis para obtar el tı́tulo de licenciado en matemáticas. Asesor: Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez. Trujillo - Perú 2018. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Jurado. Dr. Franco Rubio López. Dr. Luis Lara Romero Secretario. B. IB. LI. O. T. E. Presidente. Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Dedicatoria. Dedicado a. Dios, a mis padres y a. B. IB. LI. O. T. E. mi amada esposa por su apoyo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Agradecimiento. Agradezco a Dios quien me ha regalado el don de la vida y las oportunidades de crecer y mejorar constantemente.. A mis padres, por haberme proporcionado la mejor educación y lecciones de vida para formarme como persona.. Al Dr. Wilson Maco Vásquez, quien me brindo su orientación y apoyo en el desarrollo de este trabajo.. A todos los profesores y personal del Departamento de Matemáticas por su. B. IB. LI. O. T. E. enseñanza académica.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Presentación. Señores miembros del jurado:. En cumplimiento con lo dispuesto por el reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de Trujillo, pongo a su consideración la Tesis titulada: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER LINEAL MEDIANTE EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS 1-D. Br. Edgar Edison Rodrı́guez Horna. B. IB. LI. O. T. E. con el propósito de obtener el tı́tulo profesional de licenciatura en Matemáticas.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. *. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Lista de Sı́mbolos. :. convergencia débil. :. convergencia débil ∗. :. soporte de la función f. :. Laplaciano de u. Ω ⊂ Rn. :. conjunto abierto de Rn. ∂Ω. :. frontera de Ω. :. espacio de funciones continuas con soporte. ∗. *. sop f N X ∂ 2u ∆u = ∂x2i i=1. Cc (Ω). compacto en Ω. :. T. E. C k (Ω). O. D(Ω). diferenciables en Ω, k ≥ 0. :. B. IB. LI. W m.p (Ω), H01 (Ω), H m (Ω) : Ψ. |Ψ|2. espacio de funciones k veces continuamente. espacio de funciones test. espacios de Sobolev. : función de onda. : densidad de probabilidad.. h. : constante de Planck.. ~. : constante reducida de Planck.. λ. : longitud de onda.. c. : velocidad de la luz.. E. : energı́a.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Resumen Abstract Introducción. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Índice general. 1. Preliminares. X. XII. XIII. 1 1. 1.2. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2.1. Convegencia en Lp y el dual de Lp . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.3. Espacios Lp (I; X) y distribuciones vectoriales . . . . . . . . . . . . .. 6. E. 1.1. Espacios de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. O. T. 1.3.1. Espacios de Lebesgue vectoriales. LI. 2. Mecánica Cuántica. . . . . . . . . . . . . . . . .. 6 10. IB. 2.1. Postulados de la Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. B. 2.2. Hipótesis de De Broglie. Onda piloto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3. La ecuación de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. 2.3.1. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . . . . . . . . 14 2.3.2. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo . . . . . . . 15 2.4. Soluciones analı́ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.1. Partı́cula libre unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4.2. Partı́cula en una caja de potencial unidimensional . . . . . . . 16. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. ix. 2.5. Interpretación del cuadrado de la función de onda . . . . . . . . . . . 18 2.6. Principio de incertidumbre de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.7. Paquete de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 25. S. 3. Problema parabólico tipo Schrödinger. A. 3.1. Existencia de soluciónes aproximadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27. IC. 3.2. Estimativas sobre las soluciones aproximadas . . . . . . . . . . . . . . 27. S. 3.2.1. Estimativa I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 3.2.2. Estimativa II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3. Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4. Solución numérica de la ecuación de Schrödinger. 34. 4.1. Formulación variacional para la ecuación de Schrödinger . . . . . . . 34 4.2. Método de Faedo-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3. Método de los elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.1. Discretización del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3.2. Ensamblaje de las matrices A, B y C . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.3. Discretización temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43. E. 4.4. Algoritmo para la ecuación de Schroding̈er . . . . . . . . . . . . . . . 46. T. 4.5. Resultados numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. O. 4.5.1. Ejemplo 1: Barrera de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 47. IB. LI. 4.5.2. Ejemplo 2: Barreras de potencial . . . . . . . . . . . . . . . . 50 55. B. Conclusiones Referencias Bibliográficas. 56. Anexos. 58. A. Desigualdades. 59. B. Forma bilineal. 62. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. x. C. Solución de sistemas lineales con entradas complejas. 64. D. Programa. 67. B. IB. LI. O. T. E. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. 4.0.1. Schrodinger.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Resumen. En el presente trabajo de investigacion se determinó la solución numérica de la ecuación de Schrödinger lineal,  ~2 ∂ 2 Ψ(x, t) ∂Ψ(x, t)   + − V Ψ(x, t) = 0, i~   ∂t 2m ∂x2  . ∀t ∈ [0, T ],. Ψ(a, t) = Ψ(b, t) = 0,      Ψ(x, 0) = Ψ (x), 0. . E. Ψ(x, 0) =. (1). ∀x ∈ (a, b),. donde Ψ ∈ H01 (Ω), V ∈ L2 (Ω), ~ = la partı́cula y. ∀(x, t) ∈ (a, b) × [0, T ],. h (h = 6,62606869 × 10−34 J.s), m : masa de 2π. 1 2πσ 2. 1/4σ2. −1. 2. eik0 x e 4σ2 (x−x0 ) .. O. T. Para hallar la solución numerica se llevó la ecuación (1) asu forma débil. Usando. LI. el método de Faedo-Galerkin se obtuvo el problema aproximado (Pm ).Se utilizó el. IB. método de los elementos finitos en la parte espacial de (Pm ), donde se obtuvo un. B. sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Para resolver este sistema se usó el método de Cranck-Nicolson en la parte temporal, obteniendo la solución numérica de (1) y su simulación numérica, la cual es contrastable con el fenómeno fı́sico que fue modelado.. Palabras claves: Ecuación diferencial parcial parabólica, método de los elementos finitos, ecuación de Schrödinger lineal, método de Crank-Nicolson.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Abstract. In the present research work the numerical solution of the linear Schrödinger equation was determined,. ∂Ψ ~2 ∂ 2 Ψ + V (x)Ψ = i~ (1) 2 2m ∂x ∂t h where ψ ∈ H01 (Ω), V ∈ L2 (Ω), ~ = (h = 6,62606869 × 10−34 J.s), m : particle 2π mass and √ Z 2 a − a4 (k−k0 )2 ikx ψ(x, 0) = e e dk. 3 (2π) 4 −. R. This equation appears in many physical phenomena modeling with applications in different fields such as semiconductor physics, quantum mechanics, biomolecular. E. dynamics, among others.. T. To find the numerical solution the equation (1) was taken in its weak form. Using. LI. O. the Faedo-Galerkin method we will obtain the approximate problem (Pm ). The finite. IB. element method was used in the spatial part and the Cranck-Nicolson method in the temporal part, obtaining the numerical solution of (1) and its numerical simulation,. B. which is verstable with the physical phenomenon that it was modeled.. Key words: Parabolic partial differential equation, finite element method, linear Schrödinger equation, Crank-Nicolson method.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. Introducción. La mecánica clásica formulada por Newton en el siglo XVII, habia alcanzado su máximo explendor y proporcionaba, evidentemente, un marco totalmente válido para el tratamiento de la dinámica de los cuerpos materiales. Complementando la mecánica clásica se tenı́a la electrodinámica clásica, finalizada por James Clerk Maxwell en la segunda mitad del siglo XIX, la cual describı́a todas las propiedades del campo electromagnético y que daba, en particular, una explicación inteligible de la naturaleza ondulatoria de la luz.. En el primer cuarto del siglo XX, cuando los fı́sicos pasaron de su tratamiento satisfactorio del mundo macroscópico a examinar el mundo microscópico, surgieron. E. algunas dificultades inesperadas, es decir descubrieron en la naturaleza ejemplos. T. en los que ciertas variables fı́sicas sólo tomaban valores cuantizados o discretos, en. O. contraste con la continuidad de valores que se desprendı́an de la fı́sica clásica.. LI. En 1926, el fı́sico austrı́aco Erwin Schrödinger derivó una ecuación de ondas desde. IB. el principio variacional de Hamilton inspirándose en la analogı́a existente entre la. B. Mecánica y la Óptica. Esta ecuación, cuya formulación se puede ver en el artı́culo An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules de la revista Physical Review, explicaba mucha de la fenomenologı́a cuántica que se conocı́a en aquel momento. La ecuación de Schrödinger tiene una gran importancia en la mecánica cuántica, porque describe la evolución temporal de una partı́cula masiva no relativista. Esto es, representa para las partı́culas microscópicas un papel análogo, si bien no equivalente,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. xiv. al de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. −. ~2 ∂ 2 Ψ ∂Ψ + V (x)Ψ = i~ 2 2m ∂x ∂t. (1). La ecuación de Schrodinger (1) describe el movimiento de partı́culas con masa a. S. través de analizarlas a partir de sus caracterı́sticas ondulatorias y solo funciona. IC. A. cuando las velocidades de las partı́culas son tales que no alcanzan valores relativistas, esto es que la velocidad de la partı́cula es muy pequeña en comparación con. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. la velocidad de la luz. La ecuación (1) puede resolverse en forma exacta solo en un determinado número de casos, en los cuales la función de la energı́a potencial V (x) del campo de fuerza en el que esta inmersa la partı́cula estudiada tiene cierta forma. Tal limitación es intrı́nseca al hecho de que no existe método general de resolver ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden (tal como la ecuación de Schrödinger).. La resolución de la ecuación para funciones distintas a las conocidas no puede hallarse [8], solo para casos en los cuales la función dada es una perturbación de los casos conocidos anteriores [8],[19], [16].. Sehra [17], en su trabajo de tesis, lleva a la ecuacion la ecuación de Schrödinger su forma variacional para luego aplicar el método de elementos finitos y el método. T. E. de diferencias finitas para solucionar numéricamente. Becerrila, Guzman, Rendon y. O. Valdez [1], solucionan la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo en una y. LI. dos dimensiones usando diferencias finitas.. IB. Valbuena y Racedo [20], solucionan una variante de la ecuación de Schrödinger, a. B. través del método de Numerov, obteniendo que dicho método es más preciso para ese tipo de ecuación, al compararlo con otros métodos como Runge-Kutta de cuarto orden. Devkota y Ramı́rez [5], utilizaron el método de disparo y Runge-Kutta de cuarto orden para resolver (1), comparando los resultados con la solución analı́tica, percatandose de que al variar demasiado el número nodos las aproximaciones se alejaban de la solución analı́tica. king y Dhakal [10], analizan la convergencia de los métodos de diferencias finitas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Introducción. xv. al solucionar (1). Comparando los métodos de: diferencias centrales cinco puntos para la segunda derivada, diferencias hacia adelante cinco puntos para la segunda derivada, diferencias hacia atrás cinco puntos para la segunda derivada, diferencias centrales en tres puntos para la primera derivada, diferencias hacia adelante tres. S. puntos para la primera derivada, diferencias hacia atrás tres puntos para la primera. de diferencias finitas de orden superior.. IC. A. derivada. Concluyendo que los resultados más precisos se obtienen con los métodos. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Por tal motivo, en el presente trabajo se resolvió numéricamente la ecuación de Schrödinger utilizando el método de elementos finitos, como dicho método no es aplicable directamente a la ecuación de Schrödinger esta se escribio primero en su forma débil, luego se uso el método de Faedo-Galerkin para hallar soluciones aproximadas. Para la derivada temporal se utilizó el método de Cranck-Nicolson, que es implı́cito e incondicionalmente estable. obteniendo la solución numérica de (1) y su simulación numérica, la cual es contrastable con el fenómeno fı́sico que fue. B. IB. LI. O. T. E. modelado.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. S. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Preliminares. IC. A. 1. S. Capı́tulo. Se citan algunas definiciones y resultados que se empleará en el desarrollo del presente trabajo.. Definición 1.1 (Convergencia débil) Sea E un espacio de Banach y (un )n∈N una sucesión de E. Se dice que un convergen débilmente a u si se cumple: hϕ, un i → hϕ, ui,. ∀ϕ ∈ E 0 ,. T. E. y se denota: un * u.. O. Definición 1.2 (Convergencia débil estrella) Sea E un espacio de Banach,. LI. ϕ ∈ E 0 y (ϕn )n∈N una sucesión de E 0 . Se dice que ϕn converge débilmente * a ϕ si. B. IB. cumple,. hϕn , ui → hϕ, ui, ∀u ∈ E, ∗. y se denota: ϕn * ϕ.. 1.1.. Espacios de distribuciones. Definición 1.3 Dada una función contı́nua, ϕ : Ω ⊂ Rn → R, donde Ω es un abierto, se denomina soporte de ϕ al conjunto cerrado en Ω, conjunto de puntos. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Espacios de distribuciones. 2. x tales que ϕ(x) 6= 0. sopϕ = {x ∈ Ω : ϕ(x) 6= 0} Se representa por C0∞ (Ω) al espacio de las funciones contı́nuas e infinitamente dife-. S. renciables en Ω, con soporte compacto en Ω.. A. Definición 1.4 (Convergencia en C∞ 0 (Ω)) Dado Ω, como en la definición ante-. IC. rior, considerando el espacio vectorial topológico C0∞ (Ω), una sucesión (ϕn )n∈N de. ciones:. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. funciones en C0∞ (Ω) converge a ϕ en C0∞ (Ω) cuando satisface las siguientes condi-. i) Existe un conjunto compacto K ⊂ Ω tal que. sop(ϕ) ⊂ K y sop(ϕn ) ⊂ K, ∀n ∈ N.. ii) Dα ϕn → Dα ϕ uniformemente en K para todo multi-ı́ndice α, donde: Dα ϕ :=. ∂ |α| ϕ ∂xα1 1 · · · ∂xαnn. El espacio vectorial C0∞ (Ω) con el tipo de convergencia definina anteriormente, será. E. representado por D(Ω) y se denomina espacio de las funciones test.. O. T. Definición 1.5 Se denomina distribución escalar sobre Ω a toda forma lineal. LI. T : D(Ω) → R contı́nua con respecto a la topologı́a de D(Ω). Es decir, que si una. B. IB. sucesión (ϕn )n∈N converge en D(Ω) a ϕ, entonces, T (ϕn ) → T (ϕ) en R.. El valor de la distribución T en la función de test ϕ se denota por hT, ϕi. Definición 1.6 El conjunto de distribuciones escalares sobre Ω es un espacio vectorial, denotado por D0 (Ω), denominado espacio de las distribuciones escalares sobre Ω.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.1 Espacios de distribuciones. 3. Definición 1.7 Sea p ∈ [1, ∞]. Se denota por Lp (Ω) el conjunto de las (clases de equivalencia de) funciones medibles u : Ω → R tales que |u|p es integrable en el. sup ess |u(x)|. si p = ∞. S. x∈Ω. ;. A. Ω.     . IC. kukLp (Ω) =.  1/p Z      |u(x)|p dt si p ∈ [1, ∞). S. sentido de Lebesgue en Ω. Para u ∈ Lp (Ω), definimos. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. donde:. sup ess ku(x)k = ı́nf{M > 0 : ku(t)k ≤ M p.c.t. x ∈ Ω} x∈Ω. El espacio Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, con sus respectivas normas, es un espacio de Banach. En particular, cuando p = 2, L2 (Ω) es un espacio de Hilbert cuya norma y producto interno son definidos y denotados, respectivamente, por 1/2. . Z. kukL2 (Ω) = . 2. |u(x)| dt. Ω. Z. u(x)v(x)dx.. y (u, v)L2 (Ω). Ω. Definición 1.8 Una sucesión de distribuciones escalares (Tn )n∈N converge a una. hTn , ϕi −→ hT, ϕi en R, ∀ϕ ∈ D(Ω).. O. T. E. distribución escalar T en D0 (Ω) cuando. LI. Con la noción de convergencia, D0 (Ω) es un espacio vectorial topológico y tiene las. B. IB. siguientes cadenas de inmersiones y densas D(Ω) ,→ Lp (Ω) ,→ L1Loc (Ω) ,→ D0 (Ω) para 1 ≤ p < ∞.. Definición 1.9 Dada una distribución T en D0 (Ω) y dado un multi-ı́ndice α ∈ Nn se tiene la derivada distribucional de orden α de T como la forma lineal y contı́nua Dα T : D(Ω) → R dada por hDα T, ϕi = (−1)|α| hT, Dα ϕi ∀ϕ ∈ D(Ω), donde |α| = α1 + α2 + · · · + αn .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Espacios de Sobolev. 1.2.. 4. Espacios de Sobolev. 1.2.1.. Convegencia en Lp y el dual de Lp. IC. 1 p. + 1q = 1 con 1 ≤ p < ∞, entonces el dual. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Si p y q son ı́ndices conjugados, es decir,. para 1 ≤ p ≤ ∞.. S. kϕn − ϕkLp (Ω) −→ 0,. A. S. Una sucesión (ϕn ) convergen a ϕ en Lp (Ω) si. topológico de Lp (Ω), que será denotado por [Lp (Ω)]0 , es el espacio Lq (Ω). En el caso de 1 ≤ p < ∞ el espacio vectorial Lp (Ω) es separable y para 1 < p < ∞ es reflexivo [2].. Teorema 1.1 Sean (fn )n∈N ⊂ Lp (Ω) y f ∈ Lp (Ω), tales que kfn − f kLp (Ω) −→ 0.. Entonces, existe una subsucesión (fnk )k∈N de (fn )n∈N que converge casi siempre a f en Ω, y existe h ∈ Lp (Ω) tal que |fnk (x)| ≤ h(x), ∀k ∈ N casi siempre en Ω.. E. Demostración: [2].. O. T. Definición 1.10 Sea H un espacio de Hilbert. Se llama base Hilbertiana de H. LI. a una sucesión de elementos (ωn ) de H tales que. IB. i) kωn k = 1 ∀n.. (ωn , ωm ) = 0 ∀n, m, m 6= n;. B. ii) El espacio generado por (ωn ) es denso en H.. Definición 1.11 Sea m > 0, un número entero positivo y 1 ≤ p ≤ ∞. El espacio de Sobolev de orden m sobre Lp (Ω), denotado por W m,p (Ω), es por definición el espacio vectorial de las (clases de) funciones de Lp (Ω) para las cuales sus derivadas hasta el orden α, en sentido de distribuciones, pertenecen a Lp (Ω), para todo multi-ı́ndice α, con |α| ≤ m.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Espacios de Sobolev. 5. El espacio W m,p (Ω) posee la norma  1/p   X    kDα ukpLp (Ω)  si p ∈ [1, ∞)  |α|≤m kukW m,p (Ω) =  X    kDα ukLp (Ω) si p = ∞  . ;. S. |α|≤m. (1.1). IC. A. Proposición 1.1 Los espacios lineales W m,p (Ω) equipados con sus respectivas nor-. S. mas de (1.1) son espacio de Banach.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Demostración: [14].. El espacio W m,p (Ω) es un espacio reflexivo si 1 < p < ∞ y es separable si 1 ≤ p < ∞. En el caso particular en que p = 2, el espacio W m,2 (Ω) es un espacio de Hilbert, que es denotado por H m (Ω) (ver [14, pág. 33]). Simbólicamente. H m (Ω) = {u ∈ L2 (Ω) : Dα u ∈ L2 (Ω), ∀α, |α| ≤ m}, cuya norma y producto interno son dados respectivamente, por  1/2 X X kukH m (Ω) =  kDα uk2L2 (Ω)  y ((u, v)) = (Dα u, Dα v)L2 (Ω) . |α|≤m. |α|≤m. El espacio H m (Ω) con la estructura topológica anterior, es un espacio de Hilbert,. E. inmerso en L2 (Ω).. T. El dual topológico del espacio W0m,p (Ω) es representado por W −m,p (Ω) si 1 ≤ p < ∞. O. con p y q ı́ndices conjugados. Si ϕ ∈ W −m,p (Ω) entonces ϕ|D(Ω) pertenece a D(Ω).. LI. Cuando p = 2, W0m,2 (Ω) es denotado como H0m (Ω), cuyo dual es el espacio denotado. B. IB. por H −m (Ω). La caracterización de W −m,p (Ω) es dada por:. Teorema 1.2 Sea T ∈ D0 (Ω). Entonces T ∈ W −m,p (Ω) si y solo si, existe X gα ∈ Lq (Ω) tal que T = Dα gα . |α|≤m. Demostración: [14]. Lema 1.1 (Desigualdad de Poincaré) Sea Ω ⊂ Rn un abierto acotado. Si u ∈ H01 (Ω), entonces existe una constante C > 0 tal que kuk2L2 (Ω) ≤ C|∇u|2L2 (Ω) .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Espacios Lp (I; X) y distribuciones vectoriales. 6. Demostración: [2].. Espacios Lp(I; X) y distribuciones vectoriales Espacios de Lebesgue vectoriales. A. 1.3.1.. S. 1.3.. S. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. C 0 (I; X) es el espacio vectorial de las funciones. IC. Sea I ⊂ R un intervalo abierto y X un espacio de Banach con norma k · k.. u:I⊂R→X. t 7−→ u(t). son continuas en I. Si k ≥ 1,. C k (I; X) = {ϕ ∈ C 0 (I; X) : ∃ dn ϕ/dtn ∈ C 0 (I; X), ∀n ≤ k}. y. C ∞ (I, X) =. \. C k (I; X).. k≥1. Los espacios anteriores son espacios vectoriales para la suma de funciones y producto. T. E. por escalares.. O. Definición 1.12 Sea una función continua ϕ : I ⊂ R → X, donde Ω es un abierto.. IB. LI. El conjunto. sop ϕ = {x ∈ I : ϕ(x) 6= 0 en X},. B. es llamado conjunto soporte de ϕ. Definición 1.13 Al espacio de las funciones infinitamente derivables en I y de so-. porte compacto contenido en I, se le denomina espacio de funciones tests vectoriales y se denota por D(I; X) := C0∞ (I; X).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Espacios Lp (I; X) y distribuciones vectoriales. 7. Definición 1.14 Sea p ∈ [1, ∞]. Denotamos mediante Lp (I; X) el conjunto de las (clases de equivalencia de) funciones medibles u : I → X tales que la función. sup esku(t)kX. si p = ∞. S. t∈I. ;. A. I.     . IC. kukLp (I;X) =.  1/p Z      ku(t)kpX dt si p ∈ [1, ∞). S. t ∈ I → ku(t)k ∈ R pertenece a Lp (I). Para u ∈ Lp (I; X), definimos. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. donde. sup esku(t)k = ı́nf{M > 0 : ku(t)k ≤ M p.c.t. t ∈ I} t∈I. Cuando p = 2 y X = H es un espacio de Hilbert, el espacio L2 (I, H) es también un espacio de Hilbert cuyo producto interno es dado por Z (u, v)L2 (I,H) = (u(s), v(s))H ds. I. Cuando X es reflexivo y separable y 1 < p < ∞, entonces Lp (I, X) es un espacio reflexivo (ver [11, pág. 19]) y separable, cuyo dual topológico se identifica al espacio 0. de Banach Lp (I; X 0 ), donde p y p0 son ı́ndices conjugados, es decir,. 1 p. + p10 = 1. Más. 0. I. LI. O. T. E. precisamente, se muestra que para cada u ∈ [Lp (I; X)]0 , existe u e ∈ Lp (I; X 0 ) tal que Z hu, ϕi[Lp (I;X)]0 ×Lp (I;X) = he u(t), ϕ(t)iX 0 ×X dt.. IB. En el caso, p = 1, el dual topológico del espacio L1 (I; X) se identifica al espacio. B. L∞ (I; X). El espacio de las aplicaciones lineales y continuas de D(I) en X es denominado. espacio de distribuciones vectoriales sobre I con valores en X, el cual será denotado por D0 (I; X). Definición 1.15 Sea T ∈ D0 (I; X). La derivada de orden n es definida como la distribución vectorial sobre I con valores en X dado por     n dn T d T n , ϕ = (−1) ϕ, n , ∀ϕ ∈ D0 (I). n dt dt. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Espacios Lp (I; X) y distribuciones vectoriales. 8. Definición 1.16 Por C 0 (I; X), 0 < T < ∞, se representa el espacio de Banach de las funciones contı́nuas u : I → X con la norma de convergencia uniforme kukC 0 (I;X) = max ku(t)kX . t∈I. S. Definición 1.17 Por Cw0 (I; X), 0 < T < ∞, se denota al espacio de las funciones. IC. A. u : I → X débilmente continuas; es decir, la aplicación t → (v, u(t))X 0 ,X es contı́nua. S. en I, ∀v ∈ X 0 .. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Cuando X = H es un espacio de Hilbert, la continuidad débil de u es equivalente a la continuidad de la aplicación t → (u(t), v)H ∀v ∈ H.. Teorema 1.3 (Aubin-Lions) Sean los espacios de Banach B0 , B y B1 con inmersión compacta entre B0 y B e inmersión continua entre B y B1 . Dada una sucesión que satisface las condiciones:. um ∈ Lp (0, T ; B0 ). y. dum ∈ Lp (0, T ; B1 ). dt. Entonces existe una subsucesión umk de um que converge fuertemente en Lp (0, T ; B). Demostración: [12].. T. E. Lema 1.2 Sean V, H, V 0 tres espacios de Hilbert tales que V ⊂ H ⊂ V 0 , donde. O. V 0 es el dual de V. Suponga que u ∈ L2 (0, T, V ) y u0 ∈ L2 (0, T, V 0 ), entonces. LI. u ∈ C([0, T ], H) es integrable en t y satisface. B. IB. d 2 |u| = 2hu0 , ui, dt. donde u(t) ∈ V, u0 (t) ∈ V 0 y h·, ·i es la aplicación de dualidad entre V 0 y V . Demostración: [18]. Definición 1.18 Sea a, b ∈ R = R ∪ {−∞, +∞}. Se denota por W (a, b, V, V 0 ) al espacio: W (a, b, V, V 0 ) = {u : u ∈ L2 (a, b; V ), u0 ∈ L2 (a, b; V 0 )}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Espacios Lp (I; X) y distribuciones vectoriales. 9. Teorema 1.4 (Integración por partes) Sea [a, b] ⊂ R. Sean, u, v ∈ W (a, b; V, V 0 ), u ∈ V , entonces Zt. Zt. 0. hu (t), v(t)idt + a. S. a. hu(t), v 0 (t)idt = (u(b, v(b))) − (u(a), v(a). IC. A. Demostración: [4].. S. Lema 1.3 (Desigualdad de Gronwall-Forma integral) Sean u, φ, w funcio-. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. nes reales no negativas en [0, T ] satisfaciendo Zt. u(t) ≤ φ(t) +. w(σ)u(σ)dσ. (1.2). 0. para todo t ∈ [0, T ]. Entonces, para todo t ∈ [0, T ] se tiene  t  Zt Z u(t) ≤ φ(t) + w(s)φ(s) exp  w(r)dr ds 0. s. Demostración: Anexo A.. Corolario 1.1 (Desigualdad de Gronwall) Si φ(t) = C, con C ∈ R+ , la de-. LI. O. T. E. sigualdad anterior se reduce a:. . Zt. u(t) ≤ C exp . . w(r)dr .. 0. B. IB. Demostración: Anexo A.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. 2. S. Capı́tulo. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Mecánica Cuántica. En este capı́tulo se analizará la ecuación de Schrödinger, que cumple en la mecánica cuántica , el papel similar al de la segunda ley de Newton en la mecánica clásica.. 2.1.. Postulados de la Mecánica Cuántica. Postulado 1: Todas las propiedades observables1 de un sistema fı́sico están contenidas en su función de onda, ψ(x, t), dependiente de las coordenadas de posición. E. x de las partı́culas que componen el sistema, y del tiempo t. Esta función debe ser. O. T. univaluada, contı́nua, con derivadas contı́nuas, y de cuadrado integrable.. LI. Postulado 2:(Principio de superposición) Sean dos funciones de onda cuales-. IB. quiera, ψ1 (x, t) y ψ2 (x, t), que representan sendos estados de un mismo sistema, y. B. sean dos números complejos arbitrarios c1 y c2 . La combinación lineal ψ = c1 ψ1 +c2 ψ2 es la función de onda de un estado válido del sistema, y este estado se dice que es una superposición de los representados por ψ1 y ψ2 . 1. Un observable es algo que podemos medir experimentalmente con algún instrumento o aparato,. y una vez efectuada la medición podemos asignarle una cifra numérica bajo algún sistema de medición. Por ejemplo, en el caso de una masa en el eje x, los observables son la posición, la cantidad de movimiento y funciones de la posición y de la cantidad de movimiento.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Hipótesis de De Broglie. Onda piloto. 11. Postulado 3: Cada observable fı́sico, A, se representa mediante un operador lineal b y hermı́tico A. Postulado 4: Una medida única, individual, de la propiedad asociada al operador b debe dar como resultado uno de los valores propios del operador. Decimos que n A. A. S. b con valor propio an si es una función propia del operador A,. IC. b n = an ψ n . Aψ. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Postulado 5: El conjunto de todas las funciones propias independientes forma un conjunto completo, de modo que la función de onda de un estado cualesquiera del sistema se puede escribir siempre como una combinación lineal de las funciones propias independientes:. ψ(x, t) =. X. ψn (x, t)cn .. n. b en un estado Postulado 6: La medición del observable asociado a un operador A P mezcla ψ = n ψn cn transforma el estado del sistema al estado propio ψn y da como resultado el valor propio an con una probabilidad proporcional a |cn |2 . En b en el mismo consecuencia, el valor promedio de una colección de medidas de A estado es. E. Z. n. T. hAi = R Z. ,. ψ ∗ ψdx. Rn. LI. O. b ψ ∗ Aψdx. IB. donde el denominador es la unidad si ψ está normalizada.. B. Postulado 7: La función de onda del sistema varı́a en el tiempo siguiendo la ecuación de ondas de Schrödinger:   ∂ψ ~2 ∂ 2 ψ i~ + V ψ. = − ∂t 2m ∂x2. 2.2.. Hipótesis de De Broglie. Onda piloto. El hecho de que la luz posee algunas propiedades de las partı́culas ordinarias indujo a Louis De Broglie en 1924 a construir una teorı́a con la proposición de que los fotones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.2 Hipótesis de De Broglie. Onda piloto. 12. son partı́culas. En un artı́culo titulado “A Tentative Theory of Light Quanta”, De Broglie desarrolló las consecuencias de la combinación de la ecuación de PlanckEinstein para fotones, E = hv, con la expresión generalizada de la equivalencia masa-energia, E = mc2 , de la relatividad especial. A partir de este análisis especuló. S. con la idea de que esta teorı́a podı́a aplicarse a todas las partı́culas, en cuyo caso el. IC. A. comportamiento ondulatorio serı́a una propiedad universal de todos los objetos en movimiento. El trabajo de De Broglie fue altamente especulativo, pues no existı́a. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. evidencia en aquella época de algún aspecto ondulatorio de la materia.. Su idea era francamente revolucionaria, pues implicaba extender la concepción dual onda-partı́cula, válida para la luz, a las hasta entonces consideradas partı́culas matetiales, como el electrón.. ¿Pero qué tipo de movimiento ondulatorio estaba relacionado con los electrones? Despues de analizar similitudes de la óptica geométrica y la mecánica clásica, De Broglie conluyó que el movimiento de las partı́culas materiales debı́a estar guiado por una onda asociada, que denominó onda piloto.. La cantidad de movimiento, p, de la partı́cula y la longitud de onda, λ, de la onda piloto estarı́an relacionadas por una ecuación identica a la de la luz, es decir, de acuerdo con Planck, la energı́a E de una onda de frecuencia v viene dada por E = hv,. T. E. donde h es la constante de Planck (h = 6,6206896 × 10−34 J.s).. O. Por otra parte, según el primer principio de la relatividad la energı́a asociada a una. IB. LI. partı́cula material de masa m es E = mc2. B. siendo c la velocidad de la luz (c ≈ 3 × 108 m.s−1 ). En el caso del electrón, su energı́a será la misma tanto si es considerado como partı́cula (E = mc2 ) o como onda material (E = hv). en consecuencia se cumplirá que: mc2 = hv. (2.1). y como λ = cT =. c v. (2.2). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 La ecuación de Schrödinger. 13. de donde c λ al sustituir en (2.1) el valor de v en (2.3) y despejar λ resulta que:. (2.3). v=. h mc. S. λ=. IC. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. h mv donde v es la velocidad del electrón. Entonces λ=. A. y en general. h p. (2.4). LI. O. T. E. λ=. B. IB. Figura 2.1: Representación de una función de onda y su partı́cula asociada. 2.3.. La ecuación de Schrödinger. Erwin Schrödinger fue el primero en emplear la idea de las ondas piloto de De Broglie junto con una ecuación para el movimiento ondulatorio. Análogamente a la ecuación de onda clásica, la ecuación de Schrödinger es una ecuación en derivadas parciales en el espacio y el tiempo. Cumple el mismo papel que las leyes del movimiento de Newton.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.3 La ecuación de Schrödinger. 2.3.1.. 14. Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. La función de onda de una partı́cula de energı́a fija E, puede ser escrita más naturalmente, como una combinación lineal de funciones de onda de la forma Ψ(x, t) = Aei(kx−ωt). A. S. (2.5). IC. que representa una onda que viaja en la dirección x positiva, y una onda correspon-. S. diente viajando en la dirección opuesta, por lo que da lugar a una onda estacionaria,. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. siendo esto necesario con el fin de satisfacer las condiciones de contorno. Esto corresponde intuitivamente a nuestra clásica noción de una partı́cula rebotando entre las paredes del pozo de potencial, lo que sugiere que adoptemos la función de onda (2.5) como la función de onda apropiada para una partı́cula libre de momento p = ~k y energı́a E = ~ω . Con esto en mente, podemos notar que ∂Ψ = −k 2 Ψ ∂x2. (2.6). que puede ser escrito, usando E = p2 /2m = ~k 2 /2m: −. similarmente. ~2 ∂ 2 Ψ p2 = Ψ. 2m ∂x2 2m. (2.8). LI. O. T. E. ∂Ψ = −iωΨ. ∂t que puede ser escrito, usando E = ~ω. (2.7). i~. ∂Ψ = ~ωΨ = EΨ. ∂t. (2.9). IB. Generalizando esto a la situación en la que hay tanto una energı́a cinética como una. B. energı́a potencial presente, E = p2 /2m + V (x) es tal que EΨ =. p2 ψ + V (x)Ψ 2m. (2.10). donde ψ es ahora la función de onda de una partı́cula que se mueve en la presencia de un potencial V (x). Pero si se asume que los resultados de la ecuación (2.7) y la ecuación (2.9) todavı́a se aplican en este caso, se tiene ~2 ∂ 2 Ψ ∂Ψ + V (x)Ψ = i~ − 2m ∂x2 ∂t. (2.11). que es la ecuación de onda de Schrödinger dependiente del tiempo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Soluciones analı́ticas. 2.3.2.. 15. Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. La dependencia del tiempo entró en la función de onda a través de un factor exponencial complejo exp(−iEt/~). Esto sugiere que una solución de la ecuación de. A. S. onda de Schrödinger es de la forma (2.12). IC. Ψ(x, t) = ψ(x)e−iEt/~ ;. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. es decir, es el producto de dos funciones que dependen de la variable espacial y temporal respectivamente. La idea ahora es ver si esta suposición nos permite derivar una ecuación para ψ(x), la parte espacial de la función de onda.. Si sustituimos esta solución de prueba en la ecuación de onda de Schrödinger, y hacer uso de el significado de derivadas parciales, obtenemos: −.  ~2 d2 ψ(x) −iEt/~ −iEt/~ −iEt/~ e + V (x)ψ(x)e = i~ −iE/~e ψ(x) 2m dx2 = Eψ(x)e. −iEt/~. (2.13). .. Ahora cancelando el factor exp(−iEt/~) de ambos lados de la ecuación, se obtiene −. ~2 d2 ψ(x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x) 2m dx2. (2.14). LI. O. T. E. reordenamos los términos,. ~2 d2 ψ(x) − + (E − V (x)) ψ(x) = 0 2m dx2. (2.15). B. IB. que es la ecuación de Schrödinger independiente tiempo.. 2.4. 2.4.1.. Soluciones analı́ticas Partı́cula libre unidimensional. Sea un partı́cula, de masa m, que se mueve libremente a lo largo del eje x. Dado que no se desea que se ejerza sobre la partı́cula ningún tipo de interacción, consideremos que la energı́a potencia en cualquier punto del eje vale cero V (x) = 0.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.4 Soluciones analı́ticas. 16. La ecuación de Schrödinger toma la forma:   ~2 d2 ψ(x) − = Eψ(x) = 0 2m dx2. (2.16). Rearreglando (2.16), obtenemos ψ(x). y tiene por solución √. ψ2 = Ae−i. 2.4.2.. (2.17). 2mEx/~. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. ψ1 = Aei. S. . A. 2m ~2. IC. . S. d2 ψ(x) = dx2. √ 2mEx/~. Partı́cula en una caja de potencial unidimensional. Restringiendo el movimiento de la partı́cula del punto anterior. Las consecuencias de estas restricción serán sorprendentes, como se verá.. El sistema consiste ahora en un electrón, o cualquier partı́cula, de masa m, que se encuentra en el eje x, pero restringida a moverse en el intervalo (0, a). Allı́ la energı́a potencial vale cero (no iteracción), mientras que fuera de este intervalo se supone que existe un potencial totalmente repulsivo (V = ∞), de tal manera que se asegura. IB. LI. O. T. E. que la partı́cula se encuentre restringida en (0, a). Resumiendo, V (x) toma la forma:    0 , si 0 ≤ x ≤ a (2.18) V (x) =  ∞ , si 0 < x ó x > a. B. Se observa que la energı́a potencial tiene una discontinuidad inconmensurable para x = 0 y x = a. Este salto de V (x) hacia el infinito se representa, como vemos en la. Figura (2.2), como una “pared” que no permite la salida de la partı́cula del segmento (0, a). Para obtener la función de onda debemos resolver la ecuacion de Schrödinger, −. ~2 d2 ψ + V (x)ψ = Eψ 2m dx2. (2.19). siendo V (x) la funcion en (2.18).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 17. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. 2.4 Soluciones analı́ticas. Figura 2.2: Gráfica de la energı́a potencial para el objeto modelo en el intervalo (0, a).. La solucion de (2.19) no es sencilla, debido a la naturaleza discontinua de V (x) y a que toma un valor infinito fuera de (0, a). Sin embargo allı́ está la clave. Como el operador hamiltoniano debe dejar a ψ inalterada salvo su multiplicación por la constante E, es claro que ψ debe valer cero fuera de la caja. De otra forma, la multiplicación de ψ por ı́nfinito nunca darı́a una constante por ψ. Además, eso es lo que deseábamos desde un principio, pues si ψ = 0 fuera de la caja, no existe. O. T. E. probabilidad de encontrar a la partı́cula allı́:. ψ(x) = 0 si x < 0 ó x > a. LI. y como la función de onda debe ser continua, univaluada y cuadrado integrable.. IB. Como fuera de la caja vale cero, en los extremos x = 0 y x = a debe también valer. B. cero, para que sea continua, es decir, ψ(0) = 0 (2.20) ψ(a) = 0 Estas ecuaciones, llamadas condiciones a la frontera, deberán tomarse en cuenta al resolver la ecuacion de Schrödinger dentro de la caja, que es lo que nos resta. Como allı́ V (x) = 0, entonces de (2.19) se obtiene: −. ~2 d2 ψ + V (x)ψ = Eψ 8π 2 m dx2. (2.21). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.5 Interpretación del cuadrado de la función de onda. 18. donde ~ = h/2π. El problema no se reduce simplemente a buscar soluciones posibles para la ecuacion diferencial (2.21), sino, además, seleccionar entre ellas a las que satisfagan las condiciones a la frontera (2.20). Por ellos, aunque (2.21) es identica a la ecuación para. S. la partı́cula libre, su solución es más elaborada por las condiciones (2.20).. IC. A. Se puede observar que ni ψ1 ni ψ2 de la partı́cula libre son ahora soluciones adecua-. 2.5.. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. Luego las soluciones de (2.21) son     0 ,   ψn (x) = 1/2 2 nπ   sin x,  a a. S. das, por no satisfacer la primera condicón a la frontera, pues e0 = 1.. para x > a, x < 0. para 0 ≤ x ≤ a con n = 1, 2, 3, . . .. Interpretación del cuadrado de la función de onda. En 1927, Max Born propuso que el cuadrado de la función de onda se le diera un significado fı́sico-estadı́stico, el cual presentamos en esta sección.. E. La interpretación de Born ha sido criticada o replanteada en otros términos, pero. T. resulta de uso común en mecánica cuántica.. LI. O. Si ψ representa la función de onda de un sistema que contiene una partı́cula, en-. IB. tonces |ψ|2 debe interpretarse como la densidad de la probabilidad para la posición de la partı́cula.. B. Esta expresión significa la probabilidad de que, al medir la coordenada x de la. partı́cula, el resultado de la medición se encuentra entre x y x+dx. Este enuncionado puede abreviarse diciendo que |ψ|2 dx es la probabilidad de observar al electrón en el intervalo comprendido entre x y x + dx. Como toda función de probabilidad, debe estar normalizada, Z−∞ |ψ|2 dx = 1 +∞. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 19. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. 2.5 Interpretación del cuadrado de la función de onda. Figura 2.3: Representación de la evolución de la función de onda y de la partı́cula. O. T. E. en la dirección x.. IB. LI. Figura 2.4: La curva de la probabilidad de localizar la partı́cula entre x y x + dx.. B. ya que la probabilidad de encontrar la partı́cula en algún punto del eje x debe. ser igual a la unidad. (La normalización se realiza multiplicando la solución de la ecuación de Schrödinger por un factor de normalización apropiado, que es una constante) Si |ψ|2 es una densidad de la probabilidad, ¿cuál es la interpretación de la funcion de onda ψ misma? la respuesta es que ψ no tiene interpretación directa, es decir ψ no tiene significado fı́sico, sino que sólo |ψ|2 lo tiene.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.6 Principio de incertidumbre de Heisenberg. 2.6.. 20. Principio de incertidumbre de Heisenberg. Heisenberg demostró que para dos variables fı́sicas conjugadas, como lo son, por ejemplo, la coordenada x y la cantidad de movimiento en x, px , se cumple la siguiente. S. desigualdad entre sus desviaciones estándar [19], [16]:. IC S. Paquete de ondas. (2.22). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. 2.7.. A. 1 ∆x∆px ≥ ~ 2. La función de onda de una partı́cula libre [19], representada por la ecuación (2.5), tiene una cantidad de movimiento definida p en la dirección de x. Para tal estado, no hay incertidumbre en la cantidad de movimiento: ∆px = 0. El principio de incertidumbre de Heisenberg, ecuación (2.22), indica que ∆x∆px ≥ ~. Si ∆px es cero, entonces ∆x debe ser infinita. El precio que se paga por conocer con precisión la cantidad de movimiento de la partı́cula es que ¡no tenemos idea de dónde está la partı́cula! Esto se puede resolver calculando la función de densidad de probabilidad |ψ(x, t)|2 :. O. T. E. |Ψ(x, t)|2 = Ψ∗ (x, t)Ψ(x, t) = (A ∗ e−ikx e+iωx )(Ae−ikx e+iωx ) = A∗ Ae0 = |A|2 .. LI. La función de distribución de probabilidad no depende del tiempo, como se esperarı́a,. IB. porque es un estado estacionario (un estado de energı́a definida). Tampoco depende. B. de la posición, lo que indica que es igualmente probable encontrar la partı́cula ¡en cualquier lugar del espacio! Matemáticamente, este caso se presenta porque la función de onda espacial ψ(x) = Aeikx = A cos kx + iA sin kx es una función senoideal. que abaca desde x = −∞ hasta x = +∞ con la misma amplitud A. (Esto también quiere decir que no se puede normalizar la función de onda: la integral de |ψ(x, t)|2 sobre todo el espacio serı́a infinita para cualquier valor de A.) En los casos prácticos, siempre se tiene cierta idea de dónde está una partı́cula. Para describir este caso, necesitamos una función de onda que esté más localizada. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.7 Paquete de ondas. 21. en el espacio. Podemos crear una sobreponiendo dos o más funciones senoidales. En él sumamos dos funciones de onda con números de onda opuestos, k y −k; para obtener una función de onda localizada, debemos hacer una elección diferente. Para simplificar los cálculos, imaginaremos funciones de onda que sólo dependen. S. de una coordenada espacial (x), y las consideraremos en un instante en el tiempo. IC. A. (por ejemplo, t = 0). Entonces, nuestras funciones de onda sólo son funciones de x, por lo que las representaremos con ψ. Por ejemplo, sumemos dos funciones distintas. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. de función de onda de estado estacionario para una partı́cula libre como la de la ecuación (2.5); pero con valores del número de onda k1 y k2 un poco distintos. Cuando t = 0, los factores de tiempo e−iω1 t y e−iω2 t son ambos iguales a e0 = 1, por lo que la función de onda, cuando t = 0, es ψ(x) = A1 eik1 x + A2 eik2 x. = [A1 cos(k1 x) + iA1 sin(k1 x)] + [A2 cos(k2 x) + iA2 sin(k2 x)]. (2.23). = [A1 cos(k1 x) + A2 cos(k2 x)] + i[A1 sin(k1 x) + A2 sin(k2 x)] La Figura 2.5a es una gráfica de las partes reales de las funciones individuales de onda para el caso en que A2 = −A1 ; la Figura 2.5b representa la parte real de la función de onda ψ(x) combinada, definida por la ecuación (2.23). Una partı́cula representada. T. E. por la función de onda concentrada de la ecuación (2.23) es más probable que se. O. encuentre en alguna región que en otras; esto es, está localizada.. LI. Sin embargo, la cantidad de movimiento de esa partı́cula ya no tiene un valor defini-. IB. do, porque comenzamos con dos números distintos. Esto concuerda con el principio. B. de incertidumbre de Heisenberg: al disminuir la incertidumbre en la posición de la partı́cula, hemos aumentado la incertidumbre en su cantidad de movimiento. No es difı́cil imaginar la superposición de dos ondas senoidales adicionales con distintos números de onda y amplitudes, a modo de reforzar concentraciones alternas en la Figura 2.5b, y anularse en las intermedias. Por último, si sobreponemos ondas con una gran cantidad de números de onda distintos, construiremos una onda sólo con una concentración Figura 2.6. Entonces, finalmente, vemos algo que comienza a verse como una partı́cula y una. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 22. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. IC. A. S. 2.7 Paquete de ondas. Figura 2.5: a) Las partes reales de dos ondas senoidales mostradas en un instante en el tiempo. b) La superposición de esas ondas senoidales.. onda, al mismo tiempo. Es una partı́cula en el sentido de estar localizada en el espacio; si la vemos desde cierta distancia, parecerá un punto. Pero también tiene. B. IB. LI. O. T. E. una estructura periódica, que es la caracterı́stica de una onda.. Figura 2.6: Pulso ondulatorio con longitud de onda λprom = 2π/kprom localizado en una región del espacio de longitud ∆x. A ese pulso ondulatorio se le llama paquete de ondas. Esa superposición se puede. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.7 Paquete de ondas. 23. representar mediante una ecuación como la siguiente: Z∞ ψ(x) =. A(k)eikx dk.. (2.24). −∞. S. Esta integral representa la superposición de una cantidad muy grande de ondas,. A. cada una con un número de onda distinto y cada una con una amplitud A(k) que. IC. depende de k.. S. Hay una relación importante entre las dos funciones ψ(x) y A(k). Esta relación. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. se muestra en forma cualitativa en la Figura 2.7 Si la función A(k) tiene un pico agudo, como en la Figura 2.7a, sólo estamos superponiendo un intervalo angosto de números de onda. El pulso ondulatorio que resulta es entonces relativamente ancho (Figura 2.7b). Pero si usamos un intervalo más amplio de números de onda, para que la función de onda A(k) sea más ancha (Figura 2.7c), el pulso ondulatorio tiene. B. IB. LI. O. T. E. una localización más angosta (Figura 2.7d).. Figura 2.7: Cómo al variar la función A(k) en la expresión del paquete de ondas, ecuación (2.24), cambia el carácter de la función de onda ψ(x).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 2.7 Paquete de ondas. 24. Lo que vemos es el principio de incertidumbre en acción. Un intervalo angosto de k equivale a un intervalo angosto de px = ~k y, por lo tanto, una ∆px pequeña; el resultado es una ∆x relativamente grande. Un intervalo amplio de k corresponde a una ∆px grande, y la ∆x resultante es menor. Vemos entonces que el principio. S. de incertidumbre es una consecuencia inevitable de la relación de De Broglie, y. IC. A. de las propiedades de las integrales, como la ecuación (2.24). Esas integrales se llaman integrales de Fourier; son una generalización del concepto de las series de. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Fourier. En ambos casos, estamos representando una forma compleja de onda como una superposición de funciones senoidales. Con las series de Fourier usamos una sucesión de frecuencias (o valores de k) que son múltiplos enteros de algún valor básico; en tanto que con las integrales de Fourier superponemos funciones con una. B. IB. LI. O. T. E. distribución continua de valores de k.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. IC. A. 3. S. Capı́tulo. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Problema parabólico tipo Schrödinger. El objetivo de este capı́tulo es establecer la existencia y unicidad de las soluciones globales para el problema de valor inicial y de frontera asociado a una ecuación. ;. (3.1). O. T. E. diferencial parcial lineal tipo Schrödinger.     ut + iA(t)u = f, en Q    P u = 0 , sobre       u(x, 0) = u0 (x), en Q. LI. donde f : Q → C, u0 : Ω → R son dados y u : Q → C es la incógnita. En este tema. B. IB. Ω ⊂ Rn denota un abierto acotado con frontera suficientemente regular, T > 0 un P tiempo final, Q es el cilindro Q = Ω × (0, T ) y = ∂Ω × (0, T ) la superficie lateral de Q. Mediante A estamos designando el operador de segundo orden (dependiente de t)   N X ∂ ∂u A(t) := − aij (x, t) + c(x, t)u, ∂xj ∂xi i,j=1 con coeficientes aij y c que satisface la hipótesis: aij , c ∈ L∞ (Q),. ∀i, j 1 ≤ i, j ≤ N.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 26. Entonces, si fijamos v ∈ H01 (Ω), podemos multiplicar (3.1) por v e integrando por partes, obtenemos d (u(t), v) + ia(u(t), v) = (f (t), v) ∀v ∈ H01 (Ω), p.c.t. t ∈ (0, T ) dt. A. a(·, ·) : H01 (Ω) × H01 (Ω) → R. IC. a(·, ·) es la forma bilineal      . S. donde mediante (·, ·) estamos representando el producto escalar en L2 (Ω) y donde. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. Z N Z X ∂u ∂v   dx + c(·, t)uvdx. a(u(t), v) = aij (·, t)    ∂xi ∂xj i,j=1. (3.2). Ω. Ω. Consideremos dos espacios complejos Hilbert V y H tales que V está incluido y denso en H. A medida que los espacios son asumidos complejos, identificamos H con su antidual H 0 tal que V ,→ H ,→ V 0 donde V 0 es el antidual de V . Se nos ha dado los operadores A(t), t ∈ [0, T ], por la familia de formas sesquilineales continuas, a(u(t), v), t ∈ [0, T ], sobre V , satisfaciendo:  ∀u, v ∈ V, la función t → a(u(t), v) es una vez continuamente. (3.3). (3.4). O. T. E.  diferenciable en [0, T ], T < +∞.    i) a(u(t), v) = a(v, u(t)) ∀u, v ∈ V, ∀t ∈ [0, T ]    ii) existe λ ∈ R y α > 0 independiente de t ∈ [0, T ] tal que      a(u(t), v) + λ|v|2 ≥ αkvk2 , para todo v ∈ V.. LI. Considerando:. B. IB. Problema (P). Encontrar u que satisfaga d (u(t), v) + ia(u(t), v) = (f (t), v) en el sentido de D0 (0, T ), ∀v ∈ V, dt u(0) = u0. (3.5) (3.6). Teorema 3.1 Supongamos que se satisfacen las hipótesis (3.3) - (3.4). Sea u0 y f dado u0 ∈ V , f ∈ L2 (0, T ; H). ,. (3.7) df = f 0 ∈ L2 (0, T ; V 0 ). dt. (3.8). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.1 Existencia de soluciónes aproximadas. 27. Entonces existe una unica solución del problema (P), satisfaciendo u ∈ W (V ) = {v; v ∈ L2 (V ), v 0 ∈ L2 (V 0 )}.. (3.9). Observación 1 Puesto que u satisface: u ∈ W (V ) entonces u ∈ C 0 ([0, T ]; H),. A. S. entonces (3.6) tiene sentido. Notar que u0 es dado en V.. IC. Observación 2 Si f ∈ L2 (H), f 0 ∈ L2 (V 0 ), entonces f ∈ C([0, T ]; V 0 ) [4] tal que. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. S. f (0) ∈ V 0 .. La demostración del Teorema 3.1 esta basado en el método de Faedo-Galerkin, la cual consta de las siguientes etapas:. 3.1.. Existencia de soluciónes aproximadas. La existencia de soluciones será mostrada usando el método de Faedo-Galerkin. Suponer que (Vm )m∈N es una familia de subespacios de dimensión finita (dim Vm = dm ) y forman una aproximacion de Faedo-Galerkin de V . Entonces, existe una sucesión en V,. E. u0m ∈ Vm , u0m → u0. O. T. y (wjm ), j = 1, . . . , dm denota la base de Vm .. LI. El problema aproximado de (3.1) es:. B. IB. Problema (Pm ). Encontrar um (t) =. dm X. gjm (t)wjm , que satisface. j=1.    d (um (t), wjm ) + ia(um (t), wjm ) = (f (t), wjm ), 1 ≤ j ≤ dm , ∀t ∈ (0, T ) dt  um (0) = u0m (3.10). 3.2.. Estimativas sobre las soluciones aproximadas. Se establecen dos tipos de una aproximación a priori.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Estimativas sobre las soluciones aproximadas. 3.2.1.. 28. Estimativa I. Multiplicando (3.10) por gjm (t) (u0m (t), gjm (t)wjm ) + ia(um (t), gjm (t)wjm ) = (f (t), gjm (t)wjm ). j=1. IC. !. gjm (t)wjm. j=1. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. entonces. j=1. f (t),. dm X. S. Sumando desde j = 1 hasta dm ! ! dm dm X X u0m (t), gjm (t)wjm + ia um (t), gjm (t)wjm =. A. S. donde 1 ≤ j ≤ dm , ∀t ∈ (0, T ).. (u0m (t), ujm (t)) + ia(um (t), ujm (t)) = (f (t), ujm (t)). por el Lema 1.2,. 1d |um (t)|2 + ia(t; um (t), um (t)) = (f (t), um (t)), 2 dt. (3.11). tomando la parte real de (4.23) y multiplicado por 2:. d |um (t)|2 = 2Re(f (t), um (t)); dt. integrando en (0, t). Zt. d |um (s)|2 ds = 2 ds. Zt. 0. Re(f (s), um (s))ds. 2. Zt. 2. |um (t)| − |um (0)| = 2Re. (f (s), um (s))ds. 0. LI. O. T. E. 0. IB. entonces. 2. Zt. 2. B. |um (t)| = |u0m | + 2Re. (f (s), um (s))ds,. (3.12). 0. usando la desigualdad 2ab ≤ a2 + b2 , el lado derecho de (3.12) puede ser acotado de la siguiente forma Zt. Zt (f (s), um (s))ds ≤. 2Re 0. 2. Zt. |f (s)| ds + 0. ZT. 0. 2. Zt. |f (s)| ds +. = 0. |um (s)|2 ds. |um (s)|2 ds. (3.13). 0. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Estimativas sobre las soluciones aproximadas. 29. y como (u0m ) es una sucesión convergente, |u0m | ≤ C|u0 |. (3.14). ZT. |um (t)| ≤ C|u0 | +. |f (s)| ds + 0 {z. |. Zt. 2. 0. }. S. cte. |um (s)|2 ds. A. 2. IC. 2. S. reemplazando (3.13) y (3.14) en (3.12). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. y por el lema de Gronwall,. . |um (t)|2 ≤ |u0 |2 +. ZT. . |f (s)|2 ds et ,. t ∈ [0, T ].. (3.15). 0. entonces. sup ess |um (t)| ≤ C t∈(0,T ). lo que demuestra el siguiente Lema:. Lema 3.1 La sucesión (un ) es acotada en L∞ (H).. De hecho, la estimativa anterior es insuficiente para pasar hasta el lı́mite en el. Estimativa II. LI. O. 3.2.2.. T. E. problema (Pm ) cuando m → ∞. Por tanto, debemos tener estimativas de um en V 0 .. B. IB. 0 (t) Multiplicando (3.10) por gjm 0 0 0 (u0m (t), gjm (t)wjm ) + ia(um (t), gjm (t)wjm ) = (f (t), gjm (t)wjm ). donde 1 ≤ j ≤ dm , ∀t ∈ (0, T ). Sumando desde j = 1 hasta dm ! ! dm dm X X 0 0 u0m (t), gjm (t)wjm + ia um (t), gjm (t)wjm = j=1. j=1. f (t),. dm X. ! 0 gjm (t)wjm. j=1. entonces (u0m (t), u0jm (t)) + ia(um (t), u0jm (t)) = (f (t), u0jm (t)). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Estimativas sobre las soluciones aproximadas. 30. Tomando la parte imaginaria de la expresión anterior y multiplicando por 2: 2a(um (t), u0m (t)) = 2Im(f (t), u0m (t)). (3.16). por el anexo B se obtiene. A. d [a(um (t), um (t))] − a0 (um (t), um (t)) dt. IC. =. S. 2a(um (t), u0m (t)) = a(um (t), u0m (t)) + a(u0m (t), um (t)). S. reemplazando en (3.16). C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. d [a(um (t), um (t))] − a0 (um (t), um (t)) = 2Im(f (t), u0m (t)) dt e integrando en (0, t) Zt Zt Zt d 0 [a(um (s), um (s))]ds = a (um (s), um (s))dt + 2Im (f (s), u0m (s))ds, dt 0. 0. 0. Zt. a(um (t), um (t)) = a(um (0), um (0)) +. a0 (um (s), um (s))dt + 2Im. 0. Zt. (f (s), u0m (s))ds.. 0. Usando la hipótesis (3.4),. αkum (t)k2 ≤ λ|u|2 + a(um (t), um (t)) Zt. 2. ≤ λ|u| + a(um (0), um (0)) +. E T. O. a (um (s), um (s))dt + 2Im. 0. ≤ λ|u|2 + kum (0)k2 +. LI. Zt. 0. Zt. (f (s), u0m (s))ds. 0. a0 (um (s), um (s))dt + 2Im. Zt. (f (s), u0m (s))ds. (3.17). 0. |0. {z. }. IB. (I). |. {z. }. (II). B. Utilizando la hipótesis (3.3) en (I),   Zt Zt X Z n Z ∂um ∂um  a0 (um (s), um (s))dt = a0ij (x, s) dx + c0 (x, s)um um dx ds ∂x ∂x i j i,j=1 0. 0. Zt ≤. . n Z X.  0. Ω. Ω.  |a0ij (x, s)|. i,j=1 Ω. ≤ sup |a0ij (x, t)|. ∂um ∂xi. ∂um dx + ∂xj. Z. |c0 (x, s)||um ||um |dx ds. Ω. Zt X n Z. (x,t) 0. i=1 Ω. ∂um ∂xi. 2. dxds + sup |c0 (x, t)|. Zt Z. |um |2 dxds. (x,t) 0. Ω. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 3.2 Estimativas sobre las soluciones aproximadas. (. 31. ). sea γ = máx sup |a0ij (x, t)|, sup |c0 (x, t)| , (x,t). ≤γ. . n Z X.  Zt. ≤γ. i=1 Ω. Z dxds +. |um |2 dx ds. Ω. S. 0. ∂um ∂xi. . 2. A. Zt. kum (s)k2 ds. S. 0. Zt. (f (s), u0m (s))ds = (f (t), um (t)) − (f (0), um (0)) −. 0. (f 0 (s), um (s))ds. 0. luego Zt. C Y A M D A E T C E IE M N Á C T I IC A A S S FÍ. y aplicando el Teorema 1.4 en (II) Zt. (3.18). IC. (x,t). (f (s), u0m (s))ds = (f (t), um (t)) − (f (0), um (0)) −. 0. Zt. (f 0 (s), um (s))ds. 0. Zt. ≤ |(f (t), um (t))| + |(f (0), um (0))| +. |(f 0 (s), um (s))|ds. 0. Zt. E. ≤ kf (t)k∗ · kum (t)k + kf (0)k∗ · kum (0)k +. (3.19). 0. T O. kf 0 (s)k∗ · kum (s)kds. IB. LI. reemplazando (3.18) y (3.19) en (3.17). αkum (t)k2 ≤ λ|u|2 + kum (0)k2 + γ. Zt. kum (s)k2 ds + 2kf (t)k∗ · kum (t)k+. B. 0. Zt + 2kf (0)k∗ · kum (0)k +. 2kf 0 (s)k∗ · kum (s)kds,. 0. por la desigualdad 2ab ≤ a2 + b2 , Zt. 0. Zt. 2kf (s)k∗ · kum (s)kds ≤ 0. kf 0. 0. (s)k2∗ ds. Zt +. kum (s)k2 ds.. (3.20). 0. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

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