Guia08 Farith int sust trig y Frac S pdf

Cálculo Diferencial e Integral - Dos métodos de integración.

Prof. Farith J. Briceño N.

Objetivos a cubrir

Código : MAT-CDI.8

Integración : Integrales por sustitución trigonométrica.

Integración : Integrales por descomposición en fracciones simples.

Ejercicios resueltos

Ejemplo 1

: Integre

Z

_dx

p

x

2

₅

Solución :H acem os el cambio trigonom étrico

x=p5 sect; dx=p5 sect tant dt

la integral se transform a en

Z _dx

p

x2 ₅ =

Z p

5 sect tant dt

r

p

5 sect 2 5 =

Z p

5 sect tant dt

p

5 sec2_{t 5} =

Z p

5 sect tant dt

p

5 (sec2_{t 1)} =

Z p

5 secttant dt

p

5 tant =

Z

sect dt= lnjsect+ tantj+C;

com o

x=p5 sect =) sect=px

5 =) cost=

p

5

x = c:a: hip

Para calcular tant en funciónxnos p o dem os ayudar con el triángulo rectangular, con a=p5

x=asect =) sect=x

a

Por Pitágoras c:o:=px2 _a2

así,

tant= c:o:

c:a:=

p

x2 ₅

p

5 :

Luego

Z _dx

p

x2 ₅= ln

x

p

5+

p

x2 ₅

p

5 +C1= ln

x+px2 ₅

p

5 +C1= ln x+ p

x2 _{5 +C;}

donde,

C=C1 ln

p

5:

F

Ejemplo 2

: Integre

Z

_p

4

x

2

_dx

Solución :H acem os el cambio trigonom étrico

x= 2 sent; dx= 2 cost dt

la integral se transform a en

Z _p

4 x2_dx=Z q_{4 (2 sent)}2_{2 cost dt= 2}

Z _p

4 4 sen2_{t cost dt}

= 2Z p4 (1 sen2_{t) cost dt= 4}

Z _p

cos2_{tcost dt= 4}

Z

cos2t dt;

donde, _Z

cos2t dt= Z

1 + cos 2t

2 dt=

t

2+ 1

4sen 2t+C1=

t

2+ 1

2sentcost+C1;

así,

Z p

4 x2_{dx= 4} t

2+ 1

2sentcost+C1 = 2t+ 2 sentcost+C;

com o

x= 2 sent =) sent= x 2 =

c:o:

hip =) t= arcsen

x

Para calcular cost en funciónxnos p o dem os ayudar con el triángulo rectangular, con a= 2

x=asent =) sent=x

a

Por Pitágoras c:a:=pa2 _x2

así,

cost=c:o:

hip =

p

4 x2

2 ;

es decir,

Z p

4 x2_{dx= 2 arcsen} x

2 + 2

x

2

p

4 x2

2 +C= 2 arcsen

x

2 +

xp4 x2

2 +C:

Luego

Z p

4 x2_{dx= 2 arcsen} x

2 +

xp4 x2

2 +C:

F

Ejemplo 3

: Integre

Z

dx

x

p

x

2

_{+ 3}

Solución :H acem os el cambio trigonom étrico

x=p3 tant; dx=p3 sec2t dt

la integral se transform a en

Z _dx

xpx2_{+ 3}=

Z p

3 sec2t dt

p

3 tant

r

p

3 tant 2+ 3 =

Z _sec2

t dt

tantp3 tan2_{t+ 3}=

Z _sec2

t dt

tantp3 sec2_t=

Z _sec2

t dt

tantp3 sect=

1

p

3 Z _sect

tantdt;

donde,

Z _sect

tantdt=

Z 1 cost

sent

cost dt=

Z ₁

sent dt=

Z

csct dt= lnjcsct cottj+C;

así, _Z

dx xpx2_{+ 3}=

1

p

3lnjcsct cottj+C;

com o

x=p3 tant =) tant=px

3=

c:o: c:a:

Para calcular csct en funciónxnos p o dem os ayudar con el triángulo rectangular, con a=p3

x=atant =) tant= x

a

Por Pitágoras hip=px2_+a2

así,

csct= hip

c:o: =

p

3 +x2

x y cott=

1 tant=

p

3

x :

Luego

Z _dx

xpx2_{+ 3}=

1

p

3ln

p

3 +x2

x

p

3

x +C:

F

Ejemplo 4

: Integre

Z

₂

_x

2

₆

_x

_{+ 7}

(

x

1)

2

(

x

+ 2)

dx

Solución : O bservem os que el grado del p olinom io del num erador,2, es m enor que el grado del p olinom io del denom inador,3, p or lo tanto, no se

Escribim os las fracciones sim ples corresp ondientes

2x2 6x+ 7 (x 1)2_{(x+ 2)}=

A x 1+

B

(x 1)2 +

C x+ 2:

Buscam os los valores de las constantesA,ByC,

2x2 _{6x+ 7}

(x 1)2_{(x+ 2)}=

A x 1+

B

(x 1)2 +

C x+ 2=

A(x 1) (x+ 2) +B(x+ 2) +C(x 1)2

(x 1)2_{(x+ 2)} ;

de aquí,

2x2 6x+ 7 =A(x 1) (x+ 2) +B(x+ 2) +C(x 1)2:

Para obtener los valores de las constantes le dam os valores arbitrarios ax

Si x= 1, entonces

2 (1)2 6 (1) + 7 =A((1) 1) ((1) + 2) +B((1) + 2) +C((1) 1)2 =) 3 = 3B =) B= 1

Si x= 2, entonces

2 ( 2)2 6 ( 2) + 7 =A(( 2) 1) (( 2) + 2) +B(( 2) + 2) +C(( 2) 1)2 =) 27 = 9C =) C= 3

Si x= 0, entonces

2 (0)2 6 (0) + 7 =A((0) 1) ((0) + 2) +B((0) + 2) +C((0) 1)2 =) 7 = 2A+ 2B+C;

com o B= 1 y C= 3, se tiene que 7 = 2A+ 2 (1) + (3), de aquí, A= 1:

Entonces

2x2 6x+ 7 (x 1)2_{(x+ 2)}=

A x 1+

B

(x 1)2 +

C x+ 2;

p or lo tanto,

Z

2x2 6x+ 7 (x 1)2_{(x+ 2)}dx=

Z 1

x 1 dx+ Z

1 (x 1)2 dx+

Z 3

x+ 2dx:

La prim era integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

u=x 1; du=dx;

así, _Z

1

x 1dx= Z _du

u = lnjuj+C1= lnjx 1j+C1:

La segunda integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el m ism o cambio de variable

u=x 1; du=dx;

y la integral se transform a en _Z

1 (x 1)2 dx=

Z

du u2 =

1

u+C2=

1

x 1+C2:

La tercera y últim a integral del lado derecho de la igualdad la resolvem os haciendo el cambio de variable

u=x+ 2; du=dx;

se obtiene _Z

3

x+ 2dx= 3 Z _du

u = 3 lnjuj+C3= 3 lnjx+ 2j+C3:

Finalm ente _Z

2x2 _{6x+ 7}

(x 1)2_{(x+ 2)}dx= lnjx 1j

1

x 1+ 3 lnjx+ 2j+C:

F

Ejemplo 5

: Integre

Z

_x

2

_{+ 8}

_x

_{+ 14}

(2

x

+ 4) (

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 2)}

dx

Solución : O bservem os que el grado del p olinom io del num erador,2, es m enor que el grado del p olinom io del denom inador,3, p or lo tanto, no se

dividen los p olinom ios. A dem ás, el denom inador ya está factorizado, puesto que, el p olinom io p(x) =x2_{+ 2x+ 2 no es factorizable en los núm eros}

Escribim os las fracciones sim ples corresp ondientes

x2+ 8x+ 14 (2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)}=

A

2x+ 4+

Bx+C x2_{+ 2x+ 2}:

Buscam os los valores de las constantesA,ByC,

x2_{+ 8x+ 14}

(2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)}=

A

2x+ 4+

Bx+C x2_{+ 2x+ 2}=

A x2_{+ 2x+ 2 + (Bx+C) (2x+ 4)}

(2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)} ;

de aquí,

x2+ 8x+ 14 =A x2+ 2x+ 2 + (Bx+C) (2x+ 4):

Para obtener los valores de las constantes le dam os valores arbitrarios ax

Si x= 2, entonces

( 2)2+ 8 ( 2) + 14 =A ( 2)2+ 2 ( 2) + 2 + (B( 2) +C) (2 ( 2) + 4) =) 2 = 2A =) A= 1

Si x= 0, entonces

(0)2+ 8 (0) + 14 =A (0)2+ 2 (0) + 2 + (B(0) +C) (2 (0) + 4) =) 14 = 2A+ 4C;

com o A= 1, se tiene que 14 = 2 (1) + 4C, de aquí, C= 3

Si x= 1, entonces

(1)2+ 8 (1) + 14 =A (1)2+ 2 (1) + 2 + (B(1) +C) (2 (1) + 4) =) 23 = 5A+ 6B+ 6C;

com o A= 1 y C= 3, se tiene que 23 = 5 (1) + 6B+ 6 (3), de aquí, B= 0:

Entonces

x2_{+ 8x+ 14}

(2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)}=

1 2x+ 4+

3

x2_{+ 2x+ 2};

p or lo tanto,

Z _x2_{+ 8x+ 14}

(2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)}dx=

Z ₁

2x+ 4dx+

Z ₃

x2_{+ 2x+ 2} dx=

1 2

Z _dx

x+ 2+ 3

Z _dx

x2_{+ 2x+ 2}:

La prim era integral del lado derecho de la igualdad se resuelve haciendo el cambio de variable

u=x+ 2; du=dx;

así, _Z

dx x+ 2=

Z _du

u = lnjuj+C1= lnjx+ 2j+C1:

Para la segunda integral del lado derecho de la igualdad com pletam os cuadrado

x2+ 2x+ 2 = (x+ 1)2+ 1 =)

Z _dx

x2_{+ 2x+ 2}=

Z _dx

(x+ 1)2_{+ 1};

hacem os el cambio de variable

u=x+ 1; du=dx;

y la integral se transform a en _Z

dx x2_{+ 2x+ 2}=

Z

du

u2_{+ 1}= arctanu+C2= arctan (x+ 1) +C2:

Luego

Z

x2+ 8x+ 14

(2x+ 4) (x2_{+ 2x+ 2)}dx=

1

2lnjx+ 2j+ 3 arctan (x+ 1) +C:

F

Ejercicios

1. Calcular las siguientes integrales haciendo la sustitución trigonométrica apropiada.

1

:

Z

dx

p

16

x

2

2

:

Z

dx

p

4

3

x

2

3

:

Z

dt

7 + 2

t

2

4

:

Z

d

p

9 +

2

5

:

Z

dx

p

6

:

Z

_dx

p

ax

2

_b

7

:

Z

_{y dy}

(

y

2

_{+ 4)}

5=2

8

:

Z

_y

2

_dy

(

y

2

_{+ 4)}

5=2

9

:

Z

_dx

p

a

bx

2

10

:

Z

5

t

p

1 +

t

2

_dt

11

:

Z

dx

(4

x

2

₂₅₎

3=2

12

:

Z

cos

x dx

sen

2

_x

_{6 sen}

_x

_{+ 12}

13

:

Z

dx

(1 +

x

2

₎

2

14

:

Z

_p

2

t

t

2

_dt

15

:

Z

e

t

p

₉

_e

2t

_dt

₁₆

_:

Z

_p

5

4

t

t

2

_dt

₁₇

_:

Z

_x

2

p

5

x

2

dx

18

:

Z

_dx

p

x

2

_{+ 4}

_x

_{+ 5}

19

:

Z

dx

x

4

p

_x

2

₂

20

:

Z

3

x

p

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 5}

dx

21

:

Z

p

9

x

2

₄

x

dx

22

:

Z

dx

p

4

x

x

2

23

:

Z

_e

x

_dx

p

1 +

e

x

₊

_e

2x

24

:

Z

_dx

p

16 + 6

x

x

2

25

:

Z

_{t dt}

p

a

4

_t

4

26

:

Z

_{x dx}

p

4

x

x

2

27

:

Z

₂

_x

_{+ 1}

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 2}

dx

28

:

Z

₂

_x

₁

x

2

₆

_x

_{+ 18}

dx

29

:

Z

_p

e

2t

₉

_dt

₃₀

_:

Z

_sen

_t

_cos

_t

9 + cos

4

_t

dt

31

:

Z

sec

2

2

x

9 + tan

2

₂

_x

dx

32

:

Z

ln

x dx

x

p

1

4 ln

x

ln

2

x

33

:

Z

3

x

2

2

x

2

_{+ 5}

dx

34

:

Z

x

3

p

7 +

x

2

dx

35

:

Z

p

x

(

x

+ 6)

2

dx

36

:

Z

tan

7

x

+ tan

5

x

tan

4

₍

₌

_{4) + tan}

4

_x

dx

37

:

Z

dx

x

2

p

_x

2

₅

38

:

Z

p

e

3x

_dx

(

e

x

₊

_e

x

₎

5=2

39

:

Z

_e

3x

_dx

(

e

2x

₉₎

3=2

40

:

Z

_x

2

_dx

p

8

x

3

_x

6

₁₃

41

:

Z

_dx

p

9

x

2

42

:

Z

_dx

p

3

x

2

43

:

Z

_dx

p

x

2

₄

44

:

Z

_dx

p

x

2

₅

45

:

Z

_dx

16 +

x

2

46

:

Z

_dx

2 +

x

2

47

:

Z

_dx

x

p

x

2

_{+ 3}

48

:

Z

_dx

p

9

x

2

_{+ 6}

_x

₈

49

:

Z

_dx

x

2

p

₁

_x

2

50

:

Z

p

1

x

2

x

dx

51

:

Z

_dx

p

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 5}

52

:

Z

x

2

(

a

2

_x

2

₎

3=2

dx

53

:

Z

dx

x

p

x

2

_{+ 9}

54

:

Z

p

x

2

_a

2

x

4

dx

55

:

Z

dx

x

3

p

_x

2

₁₆

56

:

Z

_dx

(5

4

x

x

2

₎

5=2

57

:

Z

_p

1

4

r

2

_dr

₅₈

_:

Z

t

p

4

t

2

_dt

₅₉

_:

Z

x

2

p

₄

₉

_x

2

_dx

60

:

Z

₂

_x

₁

p

x

2

₄

_x

_{+ 5}

dx

61

:

Z

_t

3

_dt

p

t

2

_{+ 4}

62

:

Z

_{x dx}

p

1

x

2

63

:

Z

x

2

p

₉

_x

2

_dx

64

:

Z

_e

2x

_dx

p

1 +

e

2x

₊

_e

4x

65

:

Z

_dx

x

2

p

₁₆

_x

2

₉

66

:

Z

_dx

x

2

p

_x

2

_{+ 9}

67

:

Z

_dx

p

x

2

_{+ 4}

_x

_{+ 8}

68

:

Z

sen

x dx

p

cos

2

_x

_{+ 4 cos}

_x

_{+ 1}

69

:

Z

4

x

2

7 + 5

x

2

dx

70

:

Z

x dx

p

x

2

_{+ 6}

_x

71

:

Z

dx

p

x

2

_{+ 6}

_x

72

:

Z

_{sen 2}

_x

_sen

_x

sen

2

_x

_{+ 5}

dx

73

:

Z

p

_x

(

x

4)

2

dx

74

:

Z

_dx

x

(1

x

2

₎

3=2

75

:

Z

_dx

p

x

2

₈

_x

_{+ 19}

76

:

Z

_{x dx}

p

x

4

₈

_x

2

_{+ 3}

77

:

Z

_x

₁

x

3=2

₊

p

_x

dx

78

:

Z

_e

2x

_dx

6

e

x

₆

_e

x

79

:

Z

x

2

₁

5=2

_dx

80

:

Z

_dx

p

x

+

x

+ 2

81

:

Z

_dx

p

x

x

2

82

:

Z

_dx

3

x

2

_x

_{+ 1}

83

:

Z

_{x dx}

x

4

₄

_x

2

_{+ 3}

84

:

Z

x

3

p

₄

₉

_x

2

_dx

₈₅

_:

Z

_dx

x

2

_{+ 2}

_x

86

:

Z

_dx

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 5}

87

:

Z

_dx

(

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 2)}

2

88

:

Z

_dx

p

2 + 3

x

2

x

2

89

:

Z

_p

t

t

2

_dt

₉₀

_:

Z

_sec

2

_{x dx}

p

tan

2

_x

₂

91

:

Z

_x

2

_dx

92

:

Z

_p

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 5}

_dx

₉₃

_:

Z

_p

t

2

_{+ 1}

_dt

₉₄

_:

Z

p

t

2

₄

t

2

dt

95

:

Z

_dx

p

x

2

₊

_px

₊

_q

96

:

Z

_dt

(

t

+ 1)

p

t

2

_{+ 2}

_t

97

:

Z

_x

2

_dx

p

9

x

2

98

:

Z

_sen

_{x dx}

16 + cos

2

_x

99

:

Z

₂

_y

_{+ 1}

p

y

2

_{+ 9}

dy

100

:

Z

_p

1

2

t

t

2

_dt

₁₀₁

_:

Z

_a

x

_dx

1 +

a

2x

102

:

Z

_y

3

_dy

(

y

2

_{+ 4)}

3=2

103

:

Z

_dx

p

1

6

x

x

2

104

:

Z

₃

_x

₆

p

x

2

₄

_x

_{+ 5}

dx

105

:

Z

_x

2

_dx

p

4

x

x

2

106

:

Z

_{y dy}

p

16

9

y

4

107

:

Z

₍₂

_x

_{+ 1)}

_dx

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 2}

108

:

Z

₂

_x

₁

x

2

₆

_x

_{+ 18}

dx

109

:

Z

_t

2

_dt

(

t

2

_{+ 1)}

2

110

:

Z

₂

_x

₃

p

4

x

2

dx

111

:

Z

₃

_{x dx}

p

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 5}

112

:

Z

2

x

1

p

x

2

₄

_x

_{+ 5}

dx

113

:

Z

dz

z

p

1

z

2

114

:

Z

y

2

dy

(9

y

2

₎

5=2

115

:

Z

(2

x

8)

dx

p

1

x

x

2

116

:

Z

_p

2

x

x

2

_dx

₁₁₇

_:

Z

_dt

p

t

2

₂

_t

_{+ 26}

118

:

Z

_{sen 2}

_x

_{+ cos}

_x

sen

2

_x

_{+ sen}

_x

₂

dx

119

:

Z

dt

p

16 + 6

t

t

2

120

:

Z

dt

p

16 + 4

t

2

t

2

121

:

Z

2

t dt

p

t

2

₂

_t

_{+ 26}

2. Calcular las siguientes integrales utilizando descomposición en fracciones simples.

1

:

Z

_x

2

_{+ 1}

x

2

_x

dx

2

:

Z

_dx

x

2

_x

₂

3

:

Z

₂

_dx

x

2

_{+ 2}

_x

4

:

Z

₃

_t

2

₆

_t

_{+ 2}

2

t

3

₃

_t

2

₊

_t

dt

5

:

Z

₅

_t

_{+ 3}

t

2

₉

dt

6

:

Z

₃

_x

3

_dx

x

2

₊

_x

₂

7

:

Z

₂

_dx

x

2

₁

8

:

Z

_x

4

_{+ 8}

_x

2

_{+ 8}

x

3

₄

_x

dx

9

:

Z

_x

2

_dx

(

x

+ 1)

3

10

:

Z

_dx

x

2

₍

_x

₁₎

2

11

:

Z

x

3

+

x

(

x

3)

2

dx

12

:

Z

₅

_x

2

_{+ 6}

_x

_{+ 9}

_dx

(

x

3)

2

(

x

+ 1)

2

13

:

Z

dt

t

2

₍

_t

_{+ 1)}

2

14

:

Z

x

3

4

x

(

x

2

₁₎

2

dx

15

:

Z

_x

3

_{+ 1}

_dx

(

x

2

₄

_x

_{+ 5)}

2

16

:

Z

_x

2

_{+ 19}

_x

_{+ 10}

(

x

3)

2

(2

x

+ 1)

2

dx

17

:

Z

_dx

9

x

4

₊

_x

2

18

:

Z

_dx

x

4

₊

_x

2

_{+ 1}

19

:

Z

_x

4

_{+ 1}

_dx

x

4

₊

_x

2

20

:

Z

_x

2

₂

_x

₁

(

x

2

_{+ 3) (}

_x

2

_{+ 1)}

dx

21

:

Z

_x

3

_dx

(1 +

x

2

₎

2

22

:

Z

_x

2

_dx

(

x

3

_{+ 4}

_x

₎

2

23

:

Z

_dx

(

x

4

₊

_x

2

_{+ 1)}

2

24

:

Z

₄

_x

2

_{+ 3}

_x

_{+ 6}

(

x

2

_{+ 2)}

2

₍

_x

2

_{+ 3)}

2

dx

25

:

Z

_x

4

_dx

x

4

₁

26

:

Z

_x

_{+ 1}

x

3

₁

dx

27

:

Z

_x

_{+ 4}

x

(

x

2

_{+ 4)}

dx

28

:

Z

_dx

(

x

+ 1) (

x

2

₊

_x

_{+ 1)}

2

29

:

Z

_dx

x

3

_{+ 3}

_x

_`2

30

:

Z

₍

_x

₆₎

_dx

x

2

₂

_x

31

:

Z

_x

3

₊

_x

_{+ 1}

x

(

x

2

_{+ 1)}

dx

32

:

Z

_dx

(

x

1) (

x

+ 2) (

x

+ 3)

33

:

Z

₉

_dx

8

x

3

_{+ 1}

34

:

Z

_t

2

_{+ 2}

_dt

t

(

t

2

_{+ 1)}

35

:

Z

₂

_x

3

_x

x

4

_x

2

_{+ 1}

dx

36

:

Z

_x

2

₃

x

3

_{+ 4}

_x

2

_{+ 5}

_x

_{+ 2}

dx

37

:

Z

_dx

x

3

₁

38

:

Z

_dx

x

3

₊

_x

2

₊

_x

39

:

Z

₅

_x

3

_{+ 2}

_dx

x

3

₅

_x

2

_{+ 4}

_x

40

:

Z

₍₂₀

_x

₁₁₎

_dx

(3

x

+ 2) (

x

2

₄

_x

_{+ 5)}

41

:

Z

_dt

(

t

2

_{+ 1)}

3

42

:

Z

₍

_x

_{+ 2)}

_dx

x

2

₍

_x

2

₁₎

43

:

Z

₍

_x

₁₁₎

_dx

x

2

_{+ 3}

_x

₄

44

:

Z

_x

3

₈

_x

2

₁

_dx

(

x

+ 3) (

x

2) (

x

2

_{+ 1)}

45

:

Z

_dx

2

x

3

₊

_x

46

:

Z

₅

_x

₂

x

2

₄

dx

47

:

Z

_dt

(

t

+ 2)

2

(

t

+ 1)

48

:

Z

_x

2

_dx

2

x

3

_{+ 9}

_x

2

_{+ 12}

_x

_{+ 4}

49

:

Z

_dx

16

x

4

₁

50

:

Z

₁₈

_dx

51

:

Z

(17

x

3)

dx

3

x

2

₊

_x

₂

52

:

Z

x

2

4

x

4

x

3

₂

_x

2

_{+ 4}

_x

₈

dx

53

:

Z

dx

x

3

_{+ 1}

54

:

Z

4 + 5

x

2

x

3

_{+ 4}

_x

dx

55

:

Z

₍

_t

_{+ 3)}

_dt

4

t

4

_{+ 4}

_t

3

₊

_t

2

56

:

Z

₂

_x

2

_{+ 41}

_x

₉₁

_dx

(

x

1) (

x

+ 3) (

x

4)

57

:

Z

_e

x

_dx

e

4x

₁

58

:

Z

_e

5x

_dx

(

e

2x

_{+ 1)}

2

59

:

Z

₍₄

_x

₂₎

_dx

x

3

_x

2

₂

_x

60

:

Z

₂

_x

2

₃

_x

₃₆

(2

x

1) (

x

2

_{+ 9)}

dx

61

:

Z

_dx

x

2

₄

62

:

Z

_t

2

_{+ 2}

_dt

t

(

t

2

₁₎

63

:

Z

_dt

(

t

+

a

) (

t

+

b

)

64

:

Z

₂

_x

3

_{+ 5}

_x

2

_{+ 16}

_x

x

5

_{+ 8}

_x

3

_{+ 16}

_x

dx

65

:

Z

_x

6

_dx

x

2

₁₆

66

:

Z

_x

2

_dx

x

2

₊

_x

₆

67

:

Z

₅

_x

3

₄

_x

x

4

₁₆

dx

68

:

Z

_dx

x

(3

ln

x

) (1

ln

x

)

69

:

Z

_t

3

_dt

t

3

₈

70

:

Z

_t

3

₁

4

t

3

_t

dt

71

:

Z

_cos

_{x dx}

sen

x

+ sen

3

_x

72

:

Z

_x

2

_{+ 3}

_x

_{+ 3}

x

3

₊

_x

2

₊

_x

_{+ 1}

dx

73

:

Z

_t

2

_dt

t

4

₈

_t

74

:

Z

_x

₃

x

3

₊

_x

2

dx

75

:

Z

₍₅

_x

_{+ 7)}

_dx

x

2

_{+ 4}

_x

_{+ 4}

76

:

Z

₃

_x

2

_{+ 7}

_x

_dx

x

3

_{+ 6}

_x

2

_{+ 11}

_x

_{+ 6}

77

:

Z

₃₀

_x

2

_{+ 52}

_x

_{+ 17}

₂₄

_x

3

9

x

4

₆

_x

3

₁₁

_x

2

_{+ 4}

_x

_{+ 4}

dx

78

:

Z

_x

4

_{+ 1}

_dx

x

(

x

2

_{+ 1)}

2

79

:

Z

x

2

3

x

7

(2

x

+ 3) (

x

+ 1)

dx

80

:

Z

x

4

+ 3

x

3

5

x

2

4

x

+ 17

x

3

₊

_x

2

₅

_x

_{+ 3}

dx

81

:

Z

(3

x

13)

dx

x

2

_{+ 3}

_x

₁₀

82

:

Z

₂

_x

3

_{+ 9}

_x

_dx

(

x

2

_{+ 3) (}

_x

2

₂

_x

_{+ 3)}

83

:

Z

x

2

5

x

+ 9

x

2

₅

_x

_{+ 6}

dx

84

:

Z

x

2

8

x

+ 7

(

x

2

₃

_x

₁₀₎

2

dx

85

:

Z

5

x

2

11

x

+ 5

x

3

₄

_x

2

_{+ 5}

_x

₂

dx

86

:

Z

x

2

+

x

+ 2

x

2

₁

dx

87

:

Z

₂

_x

₃

(

x

2

₃

_x

_{+ 2)}

2

dx

88

:

Z

_x

4

₆

_x

3

₁₂

_x

2

_{+ 6}

x

3

₆

_x

2

_{+ 12}

_x

₈

dx

89

:

Z

₂

_x

2

₊

_x

₈

x

3

_{+ 4}

_x

dx

90

:

Z

₅

_x

2

_{+ 3}

_x

₂

x

3

_{+ 2}

_x

2

dx

91

:

Z

₆

_x

2

_{+ 22}

_x

₂₃

(2

x

1) (

x

2

₊

_x

₆₎

dx

92

:

Z

_x

2

_{+ 2}

_x

₁

27

x

3

₁

dx

93

:

Z

₂

_x

2

_x

_{+ 2}

x

5

₂

_x

3

₊

_x

dx

94

:

Z

_sec

2

_x

_{+ 1 sec}

2

_x

1 + tan

3

x

dx

95

:

Z

_x

2

₄

_x

_{+ 3}

x

(

x

+ 1)

2

dx

96

:

Z

₆

_x

2

₂

_x

₁

4

x

3

_x

dx

97

:

Z

₂

_x

2

_{+ 3}

_x

_{+ 2}

x

3

_{+ 4}

_x

2

_{+ 6}

_x

_{+ 4}

dx

98

:

Z

₍

_x

₂₎

_dx

2

x

2

_{+ 7}

_x

_{+ 3}

99

:

Z

₃

_x

_{+ 5}

(

x

2

_{+ 2}

_x

_{+ 2)}

2

dx

100

:

Z

_dx

(

x

2

₄

_x

_{+ 3) (}

_x

2

_{+ 4}

_x

_{+ 5)}

101

:

Z

₍₂

_x

_{+ 21)}

_dx

2

x

2

_{+ 9}

_x

₅

102

:

Z

x

2

+ 19

x

+ 10

2

x

4

_{+ 5}

_x

3

dx

103

:

Z

3

x

2

21

x

+ 32

x

3

₈

_x

2

_{+ 16}

_x

dx

104

:

Z

3

x

2

x

+ 1

x

3

_x

2

dx

105

:

Z

₂

_x

4

₂

_x

_{+ 1}

2

x

5

_x

4

dx

106

:

Z

₂

_x

2

_{+ 13}

_x

_{+ 18}

x

3

_{+ 6}

_x

2

_{+ 9}

_x

dx

107

:

Z

₂

_t

2

₊

_t

₄

t

3

_t

2

₂

_t

dt

108

:

Z

_x

2

₊

_x

_dx

x

3

_x

2

₊

_x

₁

109

:

Z

₅

_x

2

₃

_x

_{+ 18}

9

x

x

3

dx

110

:

Z

_x

3

x

4

_{+ 2}

_x

2

dx

111

:

Z

x

2

+ 3

x

3

₊

_x

2

₂

_x

dx

112

:

Z

x dx

x

3

_{+ 2}

_x

2

₊

_x

_{+ 2}

113

:

Z

2

x

2

x

+ 2

x

5

_{+ 2}

_x

3

₊

_x

dx

Respuestas: Ejercicios

1:1: arcsen1

4x+C; 1:2: arcsen

p

3

2 x+C; 1:3:

p

14 14 arctan

p

14

7 t+C; 1:4: ln +

p ₂

+ 9 +C;

1:5:

p

3 3 ln

p

3x+p3x2 _{2 +C; 1:6:} pb b ln

p

ax+pax2 _{b +C; 1:7:} 1 24 y

2

+ 4 3=2+C; 1:8: 1 12

y3

(y2 +4)3=2+C;

1:9: arcsen

p b

p_ax +C; 1:10: 5 3 1 +t

2 3=2

+C; 1:11: 1

25p_4xx2 25+C; 1:12:

p

3 3 arctan

senx 3

p

1:13: 1

2arctanx+ 1 2

x

x2 +1+C; 1:14: 12arcsen (t 1) + 1 2(t 1)

p

2t t2_{+C; 1:15:} 9 2arcsen

et

3 + 1 2e

tp_{9 e}2t_+C;

1:16: 9 2arcsen t+2 3 + t+2 2 p

5 4t t2_{+C; 1:17:} 5 2arcsen

p

5 5 x 12x

p

5 x2_{+C; 1:18: ln} p_x2_{+ 4x+ 5 +x+ 2 +C;}

1:19: 1 4

p x2 2

x 12

x2 2 3=2

x3 +C; 1:20: 3

p

x2_{+ 2x+ 5 3 ln} p_x2_{+ 2x+ 5 +x+ 1 +C; 1:21:} p_9x2 _{4 2 arccos} 2 3x +C;

1:22: arcsen x22 +C; 1:23: ln 1 + 2e

x

+ 2p1 +ex_+e2x _{+C; 1:24: arcsen} x 3

5 +C; 1:25: 12arcsen t 2

a2 +C;

1:26: 2 arcsen x 2 2

p

4x x2_{+C; 1:27: arctan (x+ 1) + ln x}2_{+ 2x+ 2 +C; 1:28: ln x}2 _{6x+ 18 +}5 3arctan

x 3 3 +C;

1:29: 3pe2t _{9 3 arccos e}t _{+C; 1:30:} 1

6arctan cos23 t +C; 1:31: 16arctan tan 23x +C;

1:32: 2 arcsen 2+lnp x

5

p

1 ln2_{x 4 lnx+C; 1:33:} 3 2x 3

p

10 4 arctan

p

10

5 x+C; 1:34: 13

p

x2_{+ 7 x}2

14 +C;

1:35: p6 6 arctan

px

6

p_x

x+6+C; 1:36: 1 2tan

2_x 1

2arctan tan

2_{x +C; 1:37:} 1 5x

p

x2 _{5 +C;}

1:38: 1 3

1

q (e2x+1)3

1

p

e2x+1+C; 1:39: 1 2187

q

e2x 9

e2x

3 1 729

q

e2x e2x 9

2 729

q

e2x 9

e2x +C; 1:40: 13arcsen

p

3 3 4 x

3 _+C;

1:41: arcsenx

3+C; 1:42: arcsen

p

3

3 x+C; 1:43: ln x+

p

x2 _{4 +C; 1:44: ln x+}p_x2 _{5 +C; 1:45:} 1

4arctanx4+C;

1:46: p2 2 arctan

p

2

2 x+C; 1:47:

p

3 3 ln

p x2 +3

x p

3

x +C; 1:48:

1

3ln 3x+ 1 +

p

9x2_{+ 6x 8 +C; 1:49:} 1

x p

1 x2_+C;

1:50: p1 x2_{+ ln} 1

x p

1 x2

x +C; 1:51: ln x+ 1 + p

x2_{+ 2x+ 5 +C; 1:52: p} x

a2 x2 arcsen

x a+C;

1:53: 1 3ln

p

9+x2

x

3

x +C; 1:54:

1 3a2 x

2 _a2

x2 3=2

+C; 1:55: 1 128arccos 4 x + 1 32 p x2 16

x2 +C;

1:56: 1 243

(x+2)3

(5 4x x2₎3=2+ 1 81

x+2

p

5 4x x2 +C; 1:57: 1

4arcsen (2r) +12r

p

1 4r2_{+C; 1:58:} 1 3

p

4 t2 _t2

4 +C;

1:59: 2

27arcsen 32x 72x 4 9x 2 3=2

+x3

2

p

4 9x2_{+C; 1:60: 2}p_x2 _{4x+ 5 + 3 ln x 2 +}p_x2 _{4x+ 5 +C;}

1:61: 1 3

p

t2_{+ 4 t}2

8 +C; 1:62: p1 x2_{+C; 1:63:} 81 8 arcsen

x

3

x

8 9 x 2 3=2

+x3

8

p

9 x2_+C;

1:64: 1 2ln 2e

2x_{+ 1 + 2}p_e4x_+e2x_{+ 1 +C; 1:65:} 1 9x

p

16x2 _{9 +C; 1:66:} 1 9x

p

x2_{+ 9 +C;}

1:67: ln x+ 2 +px2_{+ 4x+ 8 +C; 1:68: ln cosx+ 2 +}p_cos2_{x+ 4 cosx+ 1 +C; 1:69:} 4 5x

2p35 25 arctan

p

35 7 x +C;

1:70: px2_{+ 6x 3 ln x+ 3 +}p_x2_{+ 6x +C; 1:71: ln x+ 3 +}p_x2_{+ 6x +C; 1:72: 2 senx 2}p_{5 arctan} p5

5 senx +C;

1:73: 1 4ln

p_{x 2} p

x+2

p_x

x 4+C; 1:74: 1

p

1 x2+ ln

1 p1 x2

x +C; 1:75: ln x 4

3 +

p

x2 _{8x+ 19 +C;}

1:76: 1 2ln x

2

4 +px4 _8x2_{+ 3 +C; 1:77: 2}p_{x 4 arctan}p_{x+C; 1:78:} 1 12ln

ex+1

ex 1 16e

x

+C;

1:79: x

48

p

x2 _{1 8x}4 _26x2_{+ 33} 5 16ln x+

p

x2 _{1 +C; 1:80: ln} p_{x+x+ 2} 2p7 7 arctan

p

7 7 2

p

x+ 1 +C;

1:81: arcsen (2x 1) +C; 1:82: 2p11 11 arctan

p

11

11 (6x 1) +C; 1:83: 1 4ln

x2 3

x2 1 +C;

1:84: p4 9x2 1 5x

4 4 135x

2 32

1215 +C; 1:85: 1 2lnjxj

1

2lnjx+ 2j+C; 1:86: 1 2arctan

x+1 2 +C;

1:87: 1

2arctan (x+ 1) +

x+1

4x+2x2 +4+C; 1:88:

p

2 2 arcsen

4x 3

5 +C; 1:89: 18arcsen (2t 1) + 2t 1

4

p

t t2_+C;

1:90: ln tanx+ptan2_{x 2 +C; 1:91: x+ 8 arctan (x 3) + 3 ln x}2

6x+ 10 +C;

1:92: 2 ln x+ 1 +px2_{+ 2x+ 5 +}1 2(x+ 1)

p

2x+x2_{+ 5 +C; 1:93:} 1 2t

p

t2_{+ 1 +}1 2ln t+

p

t2_{+ 1 +C;}

1:94: ln t+pt2 ₄

p t2 4

t +C; 1:95: ln 2x+p+ 2

p

x2_{+px+q +C; 1:96: arccos} 1

t+1 +C;

1:97: 9 2arcsen x 3 x 2 p

9 x2_{+C; 1:98:} 1 4arctan

1

4cosx +C; 1:99: 2

p

y2_{+ 9 + ln y+}p_y2_{+ 9 +C;}

1:100: arcsen t_p+1 2 +

t_p+1 2

p

1 2t t2_{+C; 1:101:} arctanax

lna +C; 1:102: y2 +8 p

y2 +4+C; 1:103: arcsen

p

10

10 (x+ 3) +C;

1:104: 3px2 _{4x+ 5 +C; 1:105: 6 arcsen} x 1 2 12

p

4x x2_{(6 +x) +C; 1:106:} 1

6arcsen 34y 2

+C;

1:107: arctan ( x 1) + ln x2_{+ 2x+ 2 +C; 1:108: ln x}2 _{6x+ 18 +}5 3arctan

x 1

3 +C; 1:109: 1 2arctant

t

2t2 +2+C;

1:110: 3 arcsenx

2 2

p

4 x2_{+C; 1:111: 3}p_2x+x2_{+ 5 3 ln x+ 1 +}p_x2_{+ 2x+ 5 +C;}

1:112: 2px2 _{4x+ 5 + 3 ln x 2 +}p_x2 _{4x+ 5 +C; 1:113: ln} 1

z

q

1 z2

z2 +C; 1:114: 271

y p

9 y2 3

+C;

1:115: 9 arcsen p5

5 (2x+ 1) 2

p

1 x2 _{x+C; 1:116:} 9 8arcsen

2x+1

3 +14(2x+ 1)

p

2 x x2_+C;

1:117: ln t 1 +pt2 _{2t+ 26 +C; 1:118: ln sen}2

x+ senx 2 +C; 1:119: arcsen t53 +C;

1:120: p2 2 arcsen

t 1

3 +C; 1:121: 2

p

2:2: 1 3ln

x 2

x+1 +C; 2:3: ln

x

x+2 +C; 2:4: 2 lnjtj lnjt 1j+ 1

2lnj2t 1j+C; 2:5: 3 lnjt 3j+ 2 lnjt+ 3j+C;

2:6: 3 2x

2 _{3x+ ln}

jx 1j+ 8 lnjx+ 2j+C; 2:7: ln x 1

x+1 +C; 2:8: 12x 2 _{2 ln}

jxj+ 7 ln x2 _{4 +C;}

2:9: lnjx+ 1j+_{2x2 +4}4x+3_x+2+C; 2:10: 2 ln x x 1 +

1 2x

x2 x+C; 2:11: 6x+

1 2x

2

+ 28 lnjx 3j 30

x 3+C;

2:12: 5x 3

x2 2x 3+C; 2:13: 2 ln

t+1

t

2t+1

t2 +t+C; 2:14:

1 2ln x

2 _{1 +} 3 2x2 2+C;

2:15: 15

2 arctan (x 2) +12ln x

2 _{4x+ 5 +} 3x 17

2x2 8x+10+C; 2:16: 129 343ln

2x+1

x 3

307x+143 196x2 490x 294+C;

2:17: 1

x 3 arctan 3x+C; 2:18: 14ln x 2

+x+ 1 1 4ln x

2

x+ 1 +

p

3 6 arctan

p

3

3 (2x 1) +

p

3 6 arctan

p

3

3 (2x+ 1) +C;

2:19: x 2 arctanx 1

x+C; 2:20: 12ln

x2 +3 x2 +1 +

2p3 3 arctan

p

3

3 x arctanx+C; 2:21: 12ln x 2

+ 1 + 1 2x2 +2+C;

2:22: x

8x2 +32+

1 16arctan

1

2x+C; 2:23: 1 6

x x3 x4 +x2 +1+

1 4ln

x2 +x+1

x2 x+1 +

p

3 9 arctan

p

3

3 (2x 1) +

p

3 9 arctan

p

3

3 (2x+ 1) +C;

2:24: 3 ln x2 +3 x2 +2 3

p

3 arctan p3 3 x +

15 4

p

2 arctan p2 2x

3x3 +6x2 +7x+15

2(x2 +2)(x2 +3) +C; 2:25: x

1

2arctanx+ 1 4ln

x 1

x+1 +C;

2:26: 2

3lnjx 1j 13ln x

2_{+x+ 1 +C; 2:27: ln}

jxj 1 2ln x

2_{+ 4 +}1

2arctan 12x +C;

2:28: lnjx+ 1j+1 3

x+2

x2 +x+1 1 2ln x

2

+x+ 1 +5

p

3 9 arctan

p

3

3 (2x+ 1) +C; 2:29: 19ln

x+3

x 31x+C;

2:30: 3 lnjxj 2 lnjx 2j+C; 2:31: x+ lnjxj 1 2ln x

2_{+ 1 +C; 2:32:} 1

12lnjx 1j 1

3lnjx+ 2j+ 1

4lnjx+ 3j+C;

2:33: 3

2lnj2x+ 1j 34ln 4x

2 _{2x+ 1 +}3p3 2 arctan

p

3

3 (4x 1) +C; 2:34: 2 lnjtj 12ln t

2_{+ 1 +C;}

2:35: 1 2ln x

4

x2+ 1 +C; 2:36: lnjx+ 2j+ 2

x+1+C; 2:37: 1

3lnjx 1j 1 6ln x

2

+x+ 1

p

3 3 arctan

p

3

3 (2x+ 1) +C;

2:38: lnjxj 1 2ln x

2_{+x+ 1} p3 3 arctan

p

3

3 (2x+ 1) +C; 2:39: 5x+ 1 2lnjxj

7

3lnjx 1j+ 161

6 lnjx 4j+C;

2:40: 4 arctan (x 2) +1 2ln x

2

4x+ 5 lnj3x+ 2j+C; 2:41: 3

8arctant+18 3t3 +5t

(t2 +1)2+C; 2:42: 2x lnjxj+32ln (x 1)3

x+1 +C;

2:43: 3 lnjx+ 4j 2 lnjx 1j+C; 2:44: arctanx lnjx 2j+ 2 lnjx+ 3j+C; 2:45: lnjxj 1 2ln 2x

2_{+ 1 +C;}

2:46: 2 lnjx 2j+ 3 lnjx+ 2j+C; 2:47: ln tt+1+2 +t+21 +C; 2:48: 49lnjx+ 2j+3x4+6+181 lnj2x+ 1j+C;

2:49: 1

4arctan 2x+ 1 8ln

2x 1

2x+1 +C; 2:50:

x

4x2 +9+16arctan 2

3x+C; 2:51: 4 lnjx+ 1j+ 5

3lnj3x 2j+C;

2:52: ln x2_{+ 4 ln}

jx 2j+C; 2:53: 1 3lnjx+ 1j

1 6ln x

2_{+x+ 1 +}p3 3 arctan

p

3

3 (2x 1) +C;

2:54: lnjxj+ 2 ln x2_{+ 4 +C; 2:55: 11 ln}

jtj+ 11 lnj2t+ 1j 11t+3

2t2 +t+C; 2:56: 4 lnjx 1j 7 lnjx+ 3j+ 5 lnjx 4j+C;

2:57: 1 4ln

ex 1

ex+1 1 2arctan (e

x_{) +C; 2:58: e}x 3 2arctan (e

x_{) +}1 2

ex

e2x+1+C; 2:59: ln x

2 _{2x 2 ln}

jx+ 1j+C;

2:60: 3 2ln x

2_{+ 9 2 ln}

j2x 1j+C; 2:61: 1 4ln

x 2

x+2 +C; 2:62: 32ln t

2 _{1 2 ln}

jtj+C; 2:63: 1

b aln t+a t+b +C;

2:64: x

x2 +4 52x2 +41 +32arctan12x+C; 2:65: 256x+163x 3

+1 5x

5

+ 512 ln xx+44 +C; 2:66: x+45lnjx 2j 95lnjx+ 3j+C;

2:67: ln x2 _{4 +}3 2ln x

2_{+ 4 +C; 2:68:} 1 2ln

lnx 3

lnx 1 +C; 2:69: t+ 2 3lnjt 2j

1 3ln t

2_{+ 2t+ 4} 2p3 3 arctan

p

3

3 (t+ 1) +C;

2:70: 1

4t+ lnjtj 167 lnj2t 1j 169 lnj2t+ 1j+C; 2:71: lnjsenxj 12ln sen 2

x+ 1 +C;

2:72: 5

2arctanx+ 1

2lnjx+ 1j+ 1 4ln x

2_{+ 1 +C; 2:73:} 1 6lnjt 2j

1 12ln t

2_{+ 2t+ 4 +}p3 6 arctan

p

3

3 (t+ 1) +C;

2:74: 4 ln x x+1 +

3

x+C; 2:75: 5 lnjx+ 2j+

3

x+2+C; 2:76: 2 lnjx+ 2j 2 lnjx+ 1j+ 3 lnjx+ 3j+C;

2:77: 1 3

28x+17 (3x+2)(x 1)

2

3lnj3x+ 2j 2 lnjx 1j+C; 2:78: lnjxj+ 1

x2 +1+C; 2:79: 12x 3 lnjx+ 1j+ 1

4lnj2x+ 3j+C;

2:80: 2x+1 2x

2 3

x 1 ln x

2_{+ 2x 3 +C; 2:81: 4 ln}

jx+ 5j lnjx 2j+C;

2:82: ln x2 2x+ 3

p

3 2 arctan

p

3 3 x +7

p

2 4 arctan

p

2

2 (x 1) +C; 2:83: x+ 3 ln

x 3

x 2 +C;

2:84: 30 343ln

x 5

x+2 +

151 19x

49(x+2)(x 5)+C; 2:85: 2 lnjx 1j+ 3 lnjx 2j 1

x 1+C; 2:86: x+ 2 lnjx 1j lnjx+ 1j+C;

2:87: 1

x2 3x+2+C; 2:88: 1 2x

2 _{24 ln}

jx 2j+88_(xx₂₎₂139+C; 2:89: 2 ln x2_{+ 4 2 ln}

jxj+1 2arctan

1 2x+C;

2:90: 2 lnjxj+1

x+ 3 lnjx+ 2j+C; 2:91: 3 lnjx 2j lnjx+ 3j+ lnj2x 1j+C;

2:92: 5 162ln 9x

2

+ 3x+ 1 2

81lnj3x 1j+5

p

3 27 arctan

p

3

3 (6x+ 1) +C; 2:93: 2 lnjxj 43lnjx 1j 54lnjx+ 1j+12

x 4

x2 1+C;

2:94: lnjtanx+ 1j+2p3 3 arctan

p

3

3 (2 tanx 1) +C; 2:95: ln x 3 (x+1)2 +

8

x+1+C; 2:96: lnjxj 14lnj2x 1j+34lnj2x+ 1j+C;

2:97: 2 lnjx+ 2j arctan (x+ 1) +C; 2:98: lnjx+ 3j 1

2lnj2x+ 1j+C; 2:99: arctan (x+ 1) +

x x2 +2x+2

1

2x2 +4x+4+C;

2:100: 1

52lnjx 3j 1

20lnjx 1j+ 7

130arctan (x+ 2) + 1 65ln x

2_{+ 4x+ 5 +C; 2:101: 2 ln}

j2x 1j lnjx+ 5j+C;

2:102: 3x+1

x2 lnjxj+ lnj2x+ 5j+C; 2:103: 2 lnjxj+ lnjx 4j+x14+C; 2:104: 1

x+ 3 lnjx 1j+C;

2:105: 1

3x3 + lnj2x 1j+C; 2:106: 2 lnjxj x+31 +C; 2:107: 2 lnjtj lnjt+ 1j+ lnjt 2j+C;

2:108: arctanx+ lnjx 1j+C; 2:109: 2 lnjxj 3 lnjx 3j 4 lnjx+ 3j+C; 2:110: 1 2ln x

2

2:111: 4

3lnjx 1j 3 2lnjxj+

7

6lnjx+ 2j+C; 2:112: 1 5arctanx

2

5lnjx+ 2j+ 1 5ln x

2_{+ 1 +C;}

2:113: 2 lnjxj 1

2arctanx ln x 2

+ 1 x

2x2 +2+C;

Bibliografía

1.

Purcell, E. - Varberg, D

: “Cálculo con Geometría Analítica". Novena Edición. Prentice Hall.

2.

Stewart, J.

: “Cálculo". Grupo Editorial Iberoamericano.

Cálculo Diferencial e Integral - Integración u-sustitución.

Prof. Farith Briceño