21.- SOL:
a) Tangentes en x=2
⇒
f
(
2
)
=
g
(
2
)
⇒
4
−
4
+
3
=
4
a
+
b
⇒
b
=
3
−
4
a
(
1
*)
Si son tangentes el sistema formado por f(x) y g(x) tendrá solución única:
(
a
)
x
x
(
b
)
solución
única
b
ax
x
x
x
x
y
b
ax
y
0
3
2
1
3
2
3
2
2 2
2 2
2
=
−
+
−
−
⇒
+
=
+
−
⇒
+
−
=
+
=
(
a
)(
b
)
(
)
.
ante
min
discri
=
0
⇒
4
−
4
1
−
3
−
=
0
2
* Formamos un sistema entre (1* ) y (2* )(
)(
)
(
)(
)
1
2
1
1
2
4
3
2
1
0
4
16
16
0
4
4
4
4
0
4
3
3
1
4
4
0
3
1
4
4
4
3
2
2
+
=
⇒
=
−
=
=
=
+
−
⇒
=
−
−
⇒
=
+
−
−
−
⇒
=
−
−
−
−
=
x
)
x
(
g
luego
/
b
;
a
a
a
a
)
a
(
a
a
.
b
a
.
a
b
b)
Recta tangente común en
)
x
(
y
)
´(
f
x
)
x
´(
f
)
´(
f
m
pendiente
)
,
(
punto
y
;
x
3
2
2
2
2
2
2
2
3
2
3
2
⇒
−
=
−
=
−
=
=
=
=
Gráficas:
c) La superficie será:
(
)
∫
=
∫
−
+
=
+
−
+
−
2
0
2
0
2 2
2 2
3
4
2
4
2
1
1
2
1
3
2
x
(
x
)
dx
x
x
dx
u
x
22. Sol: t
e
)
t
(
f
+
=
a) Se puede resolver la integral de igual modo que la del ejercicio nº 13 con cambio de variable: llamando t
e
u
=
1
+
… etc.Pero tanto en la integral del ejercicio nº 13 como en esta podemos resolverla multiplicando numerador y denominador por “ t
e
− ” y nos queda:∫
∫
⇒
=
−
=
−
=
−
+
+
−
=
+
=
⇒
/
=
+
− −
−
− −
C
e
ln
u
ln
u
du
I
dt
e
du
e
u
I
dt
e
e
tt t t
t
1
1
1
b) Sabemos que:
g
(
x
)
f
(
t
)
dt
g
´(
t
)
f
(
t
)
g
´(
x
)
f
(
x
).
f
(
x
)
x=
=
⇒
=
⇒
=
∫
1
0
por lo
tanto:
2
1
1
1
1
0
1
0 0 0 0
0
0
=
→=
→=
=
+
=
→
∫
)
(
f
)
x
(
f
lim
x
dt
)
t
(
f
lim
x
)
x
(
g
lim
x Hopital ´ L x
x x
23. Sol:
a)
P
(
x
)
=
ax
4+
bx
2+
c
por ser función par.6
1
5
5
25
5
5
0
5
25
0
5
0
5
1
−
=
=
⇒
−
=
+
−
=
+
⇒
=
=
+
+
=
+
+
⇒
⇒
⇒
=
−
=
=
b
a
b
a
b
a
c
c
b
a
c
b
a
)
(
P
si
x
si
x
si
Luego:
P
(
x
)
=
x
4−
6
x
2+
5
Puntos de inflexión: dominio :
ℜ
;P
´(
x
)
=
4
x
3−
12
x
;P
´´(
x
)
=
12
x
2−
12
;
−
=
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
1
1
1
0
12
12
0
2 2x
x
x
x
)
x
´´(
P
(
−
∞
−
1
)
⇒
−
8
>
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
Cóncava(
−
1
1
)
⇒
0
<
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
Convexa(
1
+∞
)
⇒
8
>
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
CóncavaPuntos de inflexión en: (-1,0) y (1,0)
24. Sol:
Sabemos que: x=r>0
Punto de tangencia
x
=
r
,
y
=
4
−
r
2⇒
P
(
r
,
4
−
r
2)
Recta tangente en
P
(
r
,
4
−
r
2)
a la curva:
−
−
=
−
−
−
=
−
=
⇒
=
)
r
x
(
r
)
r
(
y
r
m
x
)
x
´(
f
)
r
´(
f
m
2
4
2
2
2
4
2
+
2+
−
=
rx
r
y
Corte con OX de la recta tangente:
A:
+
⇒
+
=
⇒
=
+
+
−
+
+
−
=
=
0
2
4
2
4
0
4
2
4
2
0
2 22
2
r
,
r
A
r
r
x
r
rx
r
rx
y
y
Corte con OY de la recta tangente: B:
4
0
(
0
4
)
4
2
0
2 22
=
+
=
⇒
+
+
+
−
=
=
r
,
B
r
y
r
rx
y
x
Superficie del triángulo 0AB:
(
)
r
r
S
r
:
altura
r
r
base
4
4
4
2
4
2 22 2
+
=
⇒
+
+
=
Mínimo de
S:
*
Dominio de S:
ℜ
−
{
0
}
(
)
(
)
( )
(
)(
) (
)(
)
2 2 2
2 2 2 2
2
2 2 2
4
4
3
4
16
4
4
4
4
4
4
4
2
4
2
4
r
r
r
r
r
r
r
.
r
.
r
r
.
r
.
r
´
S
=
+
−
+
=
+
−
−
=
+
−
(
)(
)
3
3
2
0
3
3
2
3
3
2
0
4
3
0
4
3
4
0
2 2 2⇒
>
⇒
=
−
=
=
⇒
=
−
⇒
=
−
+
⇒
=
como
r
r
r
r
r
r
r
0
3
3
2
0
⇒
<
∈
∀
x
,
S
´(
x
)
decreciente
0
3
3
2
>
⇒
+∞
∈
∀
x
,
S
´(
x
)
creciente
hay superficie mínima para
3
3
2
=
r
b)
Recta tangente enP
(
1
,
3
)
a la curva:
−
−
=
−
−
=
−
=
⇒
=
)
x
(
y
m
x
)
x
´(
f
)
´(
f
m
1
2
3
2
2
1
5
2
+
−
=
x
y
Área:
(
)
(
)
21
0 2 3 1
0
1
0 2 2
3
1
3
1
2
4
5
2
x
x
dx
x
x
dx
x
x
x
=
u
+
−
=
+
+
−
=
+
−
+
−
∫
∫
25. Sol:
a) Estudio completo dey=x.e3x
A) Dominio de f(x): D[f(x)]=ℜ B) Simetrías:
x x
e x e
x x
f(− )=− . −3 = −3
No existen simetrías. C) Asíntotas:
*A.V. : No tiene, la función existe ℜ
∈ ∀x
*AH. :
A) Se calcula el f
( )
xxlim→+∞
(
)
=+∞ +∞ = +∞ +∞→ xe e
x
xlim . .
3 Luego no hay asíntota horizontal.
B) Se calcula el f
( )
xxlim→−∞
(
)
(
)
1 0. 3
1 lim lim
. lim 0 . .
. lim
3 ´
3 3
3 =−
∞ − = −
= =
⇒
−∞ = −∞
= −
−∞ → ∞
∞ − − −∞ → −∞
→ ∞
− −∞
→ x x
Hopital L x x
x x
x
x e e
x e
x e
e
x
Asíntota horizontal “y=0” en el -∞; la curva se encuentra por debajo de la asíntota. *A.O. : y= m x+n
Sólo podrá existir en el +∞ A) Cuando x→+∞
1º Se calcula “m”: = = =+∞
= +∞
+∞ → +∞
→ x e e
e x
m x
x x
x
3 3
lim .
Por lo tanto no existe una asíntota oblicua en el +∞. : curvatura D) Corte con OX: ( ¿?, 0)
ℜ ∈ ∀ >
=
⇒
=
x e
x e
x x x
0 0 .
0 3 3 (0,0) punto de corte con OX
E) Corte con OY: ( 0, ¿?)
(
0,0)
0 . 0 ) 0
( = e0= ⇒
f punto de corte con OY
F) Monotonía, Máximos y mínimos relativos: Calculamos y´=0 para estudiar el cambio de monotonía
(
x)
e e x e
y´= 3x+ .3. 3x = 3x1+3
3 1 3
1 0 0
´= ⇒ = + x⇒ x=−
y
0 ) 4 ´( 3
1
, − <
−
∞ − ∈
∀x y decreciente
0 ) 4 ´( ,
3 1
>
⇒
+∞ − ∈
∀x y creciente
− −
⇒
− ≈ − = −
= − −
=
−
e e
e f
x
3 1 , 3
1 01226
3 1 .
3 1 ) 3
1 ( ; 3
1 3
1 . 3
En
− −
e
3 1 , 3
1
existe un mínimo relativo.
G) Curvatura, puntos de inflexión.
(
x)
e e(
x)
e
y´´=3. 3x+ 1+3 3. 3x= 3x 6+9 0 ) 4 ´´( 3
2
, − <
−
∞ − ∈
∀x y convexa
0 ) 4 ´( ,
3 2
>
⇒
+∞ − ∈
∀x y cóncava
− −
⇒
− ≈ − = −
= − −
=
−
2 2
3 2 . 3
3 2 , 3
2 09
, 0 3
2 .
3 2 ) 3
2 ( ; 3
2
e e
e f
x
Punto de inflexión.
− −
2
3 2 , 3
2
e
b)
(
)
20 3
9
1
u
dx
e
.
x
px
=
∫
∫
∫
∫
−
=
−
=
⇒
=
=
=
=
=
x x x xx x
x
e
x
dx
e
e
x
dx
xe
e
dx
e
v
dx
du
dx
e
dv
x
u
3 3 3 33 3
3
9
1
3
3
1
3
3
1
Por lo tanto:3
1
0
9
1
3
0
9
1
3
9
1
9
1
0
9
1
3
9
1
9
1
3
3 0
3
0 3
=
=
−
⇒
=
−
⇒
=
−
−
−
⇒
=
−
p
p
e
p
e
e
p
e
x
p pp x
26. Sol:
a)
recta tangente en el punto de inflexión de abscisa positiva:
Dominio de f(x):
D[f(x)]=ℜPuntos de inflexión:
(
2)
23
2
+
−
=
x
x
´
y
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
(
)
(
2)
3 2 42
2 2
2 4
2
2 2
2
3
1
6
3
8
6
2
3
3
2
3
2
2
3
2
+
−
=
+
+
−
−
+
=
+
+
−
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
.
x
.
.
x
x
´´
y
−
=
>
=
=
⇒
1
0
1
0
x
x
si
)
x
´´(
y
(
−
1
1
)
0
<
0
∈
∀
x
,
y
´´(
)
convexa∀
x
∈
(
1
,
+∞
)
⇒
y
´(
4
)
>
0
cóncavaLuego en
,
P
.
I
4
1
1
su recta tangente será:
+
−
=
⇒
−
−
=
−
−
=
−
=
=
8
3
8
1
1
8
1
4
1
8
1
16
2
1
x
y
)
x
(
y
b)
2 1 0 1 0 2 2 218
3
16
5
0
6
3
3
16
5
3
3
3
8
3
16
3
1
8
3
8
1
u
.
x
arctg
x
x
dx
x
x
−
=
−
−
=
−
+
−
=
+
−
+
−
∫
π
π
π
π
π
π
π
π
27. Sol: a)1
1
1
2
1
3
2−
<
−
≥
−
+
+
=
x
x
si
si
x
x
x
x
x
)
x
(
f
Dominio :(
)
(
1
)
1
1
2
0
1
0
1
3
2−
∞
−
∉
=
ℜ
∉
−
−
∈
=
ℜ
∉
+
+
,
x
si
x
x
,
x
si
x
x
x
{ }
0
−
ℜ
=
)]
x
(
f
[
D
Puede tener problemas de continuidad en x=0 y en x=-1 En x=-1 es continua porque:
A)
1
1
1
3
1
1
=
−
+
−
=
−
)
(
f
B)
1
1
1
1
3
1
1
2
1
2 1 1 1 1 1=
⇒
=
+
+
=
=
−
=
=
+ + − − − → − → − → − → − →x
x
x
lim
)
x
(
f
lim
x
x
lim
)
x
(
f
lim
)
x
(
f
lim
x x x x xC)
1
1
1
1
1
=
⇒
=
=
−
− →f
(
x
)
lim
)
(
f
x
En x=0 es discontinua de límites laterales infinitos o asintótica: A)
=
∉
ℜ
0
1
0
)
(
f
B)
⇒
−∞
≠
+∞
+∞
=
+
+
=
−∞
=
+
+
=
+ + − − → → − → → →x
x
x
lim
)
x
(
f
lim
x
x
x
lim
)
x
(
f
lim
existe
no
)
x
(
f
lim
x x x xx
3
1
1
3
2 0 0 2 0 0 0 b) Asíntotas:*A.V. :
D
[
f
(
x
)]
=
ℜ
−
{
0
}
Luego tiene asíntota vertical: x=0, justificado en el estudio de la continuidad. *AH. :
A) Se calcula el f
( )
xxlim→+∞
+∞
=
=
+
+
+∞ → ∞ ∞ +∞ →x
x
lim
x
x
x
lim
x x 2 21
3
No hay.2
2
1
1
2
=
=
−
+
−∞ → ∞ ∞ −∞
→
x
x
lim
x
x
lim
x
x y=2 A.H.
* A.O.: Sólo cuando
x
→
+∞
puede existir y= m x+b Se calcula “m”:
-3
3
1
3
1
3
1
1
3
2
2 2 2
2
+
=
⇒
=
+
=
−
+
+
=
+
=
⇒
=
=
+
+
=
+∞ → +∞
→
+∞ → +∞
→
x
y
x
x
lim
x
x
x
x
lim
b
b
x
y
x
x
lim
x
x
x
lim
m
x x
x x
Por lo tanto existe una asíntota oblicua en el +∞.
c)
2 2
1 2
1
2
2
2
9
1
3
2
1
2
6
2
3
2
1
3
dx
x
x
ln
x
ln
ln
ln
u
x
x
+
=
−
−
−
+
+
=
+
+
=
+
+
∫
28. Sol:
1
2
+
=
x
x
)
x
(
f
a)
*Dominio de f(x):
D[f(x)]=ℜLa función no existe si
x
2+
1
=
0
⇒
x
2=
−
1
no
tiene
solucion
* Monotonía, Máximos y mínimos relativos:
(
)
( )
(
)
(
)
(
2)
22 2
2 2 2
2 2 2
1
1
1
2
1
1
2
1
1
+
+
−
=
+
−
+
=
+
−
+
=
x
x
x
x
x
x
x
.
x
.
x
´
y
−
=
=
⇒
=
+
−
⇒
=
1
1
0
1
0
2x
x
x
´
y
(
−
∞
−
1
)
⇒
−
4
<
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
decreciente
(
−
1
1
)
⇒
0
>
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
creciente
(
1
+∞
)
⇒
4
>
0
∈
∀
x
,
y
´(
)
decreciente
En (-1 ,-1/2) existe un máximo relativo y en (1,1/2) existe un mínimo relativo.
b)
a
>
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2 2
2 2
2 2
0 0
2 2
>
−
+
=
⇒
−
±
=
⇒
=
+
=
+
⇒
=
−
+
⇒
=
+
⇒
=
+
∫
e
a
e
a
e
a
a
ln
ln
a
ln
x
ln
dx
x
x
aa
29. Sol:
a) *Continuidad: Dominio de f(x): D[f(x)]=ℜ
Puede tener problemas de continuidad en x=2 por cambio de expresión algebraíca A) Si es continua en x=2 porque:
1º f(2)= 3
0
=
0
2º(
)
(
2
)
0
0
0
2
0
2
0
2 2
3 2 2
2
=
⇒
=
−
=
=
−
=
=
− −
+ +
→ →
→ →
→
lim
f
(
x
)
lim
x
x
lim
)
x
(
f
lim
x
(
f
lim
x x
x x
x
3º f(0)=
lim
f
(
x
)
x→0 si 0=0
Por lo tanto f(x) será continua en todo
ℜ
* Derivabilidad:
(
)
<
−
>
−
=
2
2
2
2
2
3
1
3 2
x
si
x
x
si
x
)
x
´(
f
Estudiaremos si es derivable en x=2
(
)
(
)
)
´(
f
)
´(
f
x
lim
)
´(
f
x
lim
)
´(
f
x
x + −
→ −
→ +
≠
=
−
=
+∞
=
−
=
− +
2
2
2
2
2
2
2
3
1
2
2
3 2
2
No es derivable. En x=2 b) Tangente en (3,1)
3
1
3
=
=
f
´(
)
m
luego la recta tangente seráy
(
x
)
y
x
3
1
3
3
1
1
=
−
⇒
=
30. Sol:
f(0)=1 f(1)=2 f´(0)=3 f´(1)=4
usaremos la derivada de la función compuesta: g(x)=f(u) →g´(x)=[f´(u)]. u´
a)
[
(
)
]
(
)
[
(
)
]
(
)
4
1
4
1
4
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
=
=
=
+
⋅
+
=
⇒
=
+
⋅
+
=
⇒
)
´(
f
.
´
f
)
´(
g
)
(
f
)
(
f
x
)
(
f
x
´
f
)
x
´(
g
)
´(
g
´
b)
( )
(
)
(
)
( )
(
) ( )
(
)
8
1
4
3
1
4
1
4
0
0
1
1
2
1
2
1
1
2
0
2
0
=
−
=
+
−
=
−
−
=
−
+
−
→ →
.
.
e
x
´
f
x
´
f
.
x
f
lim
Hopital
´
L
aplicamos
.
e
x
f
x
f
lim
x x
