2) Un individuo cuya utilidad sobre la riqueza es U(W) = W β se enfrenta a un juego en el que puede

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CURSO: Acosta, Alan (290-1)

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UÍA DE

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JERCICIOS

E

LECCIÓN

B

AJO

R

IESGO1

1) La función ln(W) representa la utilidad de la riqueza para Abelardo. Responda los siguientes interrogantes:

a. ¿Prefiere un juego en el que puede ganar $50 con probabilidad 0,8 ó $300 con probabilidad 0,2; ó un monto cierto de $100? ¿Puedo responder a esta pregunta sin calcular las utilidades de cada opción?

b. ¿Prefiere un juego en el que puede ganar $10 con probabilidad 0,9 ó $80 con probabilidad 0,1, o un monto cierto de $15? ¿Puedo responder a esta pregunta sin calcular las utilidades de cada opción?

c. ¿Prefiere un juego en el que puede ganar $46 con probabilidad 0,6 ó $56 con probabilidad 0,4, ó un monto cierto de $48? ¿Puedo responder a esta pregunta sin calcular las utilidades de cada opción?

d. Si se le ofrece un juego en el que puede ganar $500 con probabilidad 0,7 ó $800 con probabilidad 0,3, ¿qué monto cierto lo haría indiferente entre el juego y la certeza?

e. Si está indiferente entre un monto cierto de $20 y un juego en el que puede ganar $10 ó $30, ¿cuál es la probabilidad de ocurrencia de cada escenario? ¿Puedo saber si es más probable que gane $10 o que gane $30 sin hacer los cálculos?

f. ¿Cuáles de estas funciones representan correctamente las preferencias de Abelardo?

I) ln(W)–100 ; II) ln(W–100) ; III) ln(10W) ; IV) [ln(W)]2 ; V) ln(W2) ; VI) –ln(W) ; VII) 10*ln

(W).

2) Un individuo cuya utilidad sobre la riqueza es U(W) = W β se enfrenta a un juego en el que puede

ganar un monto A con probabilidad 1/A (con A > 1) y 0 en cualquier otro caso. ¿Para qué valores de β...

a. … prefiere el juego a su respectivo valor esperado?

b. … prefiere el valor esperado del juego al juego mismo?

c. … está indiferente entre el juego y su valor esperado? Relacionar con la aversión al riesgo. Comentar.

3) Un individuo tiene una función de utilidad sobre su riqueza igual a

W

a. ¿Prefiere un monto cierto de $16 ó un juego en el que puede ganar $81 con prob. 0,1 ó $9 con prob. 0,9?

b. ¿Es más o menos averso al riesgo que otro individuo con función de utilidad

5W

?

c. ¿Cuál es la renta equivalente cierta correspondiente a un juego en el que pueda ganar $25 ó $49, ambos con probabilidad 0,5?

4) Responda por Verdadero o Falso las siguientes afirmaciones, justifique brevemente:

a. Un amante del riesgo preferirá siempre un juego en el que pueda ganar $5 con probabilidad 0,75 ó $25 con probabilidad 0,25 a un monto cierto de $15.

b. La utilidad sobre su riqueza de un individuo neutral al riesgo no varía al incrementarse su renta.

c. La tasa de un seguro actuarialmente justo depende positivamente de la probabilidad de ocurrencia del escenario favorable.

(2)

d. Asegurarse totalmente implica eliminar la incertidumbre con respecto a la riqueza que se poseerá.

e. Una aseguradora maximiza su beneficio esperado ofreciendo a los asegurados la tasa actuarialmente justa.

f. Tanto aversos al riesgo como amantes y neutrales verifican la igualdad entre la utilidad de la renta equivalente cierta y la utilidad esperada del juego respectivo.

5) El señor Kappa posee un vehículo valuado en 10 u.m.; si sufre un choque, lo cual ocurre con probabilidad 1/5, su valor se reduce a 2,5 u.m. Su función de utilidad sobre su riqueza es ln(W).

a. ¿Cómo varía su aversión al riesgo relativa al incrementarse su riqueza?

b. Calcular su renta equivalente cierta. Compararla con el valor esperado de la riqueza y sacar conclusiones.

c. Se le ofrece un seguro en el que puede contratar la cantidad que desee a una tasa . Hallar la cantidad s que maximiza su utilidad esperada. Verificar que depende positivamente de .

d. Suponiendo que la empresa aseguradora conoce la cantidad obtenida en el inciso anterior, hallar la tasa  que maximiza sus beneficios esperados. Compararla con la tasa actuarialmente justa y concluir.

6) Un individuo averso al riesgo se enfrenta a dos escenarios mutuamente excluyentes exhaustivos y equiprobables, en uno de los cuales obtiene una riqueza WB y en el otro una riqueza WM, verificándose

que WB > WM. Se le ofrece un seguro a una tasa actuarialmente justa, pudiendo contratar la cantidad s

que maximice su utilidad esperada.

a. Hallar la cantidad s mencionada.

b. Completar la frase justificando analíticamente: "El valor esperado de la riqueza antes de contratar este seguro es... I) mayor II) menor III) igual...al valor esperado de la riqueza después de contratar este seguro".

7) La función U (W) = W 3/2 representa la utilidad de la riqueza para Matías

a. ¿Prefiere un juego en el que puede ganar 1 peso con probabilidad 0,7 ó 9 pesos con probabilidad 0,3; o un monto cierto de 4 pesos? ¿Cuál sería el monto equivalente cierto para el juego expuesto? Comente los resultados obtenidos.

b. Hallar los coeficientes de Arrow-Pratt (absoluto y relativo). ¿Es más o menos averso que Alejandro, cuya función de utilidad es U (W) = W 4/3?

c. Se sabe que está indiferente entre un juego en el que puede ganar 16 ó 64 pesos, y un monto cierto de 36 pesos. ¿Cuál es la probabilidad asociada a cada evento del juego expuesto?

8) Ani posee la siguiente función de utilidad sobre su riqueza: U(W) = W3/4

a. ¿Cómo varía su aversión absoluta al riesgo al incrementarse su riqueza?

b. Para una situación incierta en la cual posee 10.000 u.m. con probabilidad p ó 625 u.m. con probabilidad (1-p), la renta equivalente cierta de Ani es 1.296 u.m. Halle las probabilidades de ocurrencia de cada escenario. Compare la renta equivalente cierta con el valor esperado de la situación incierta e interprete.

c. Considere que para una situación incierta en la cual posee una riqueza WB en un escenario y una

riqueza WM en el otro (siendo estos escenarios mutuamente excluyentes exhaustivos y

equiprobables, y verificándose que WB > WM) se le ofrece contratar la cantidad de seguro que

desee a una tasa  = 1,5. Encuentre la relación que debe verificarse entre WB y WM para que

contrate una cantidad positiva de seguro. Interprete.

9) Un individuo tiene una función de utilidad sobre su riqueza U(W) = W0,5.

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II) Se enfrenta a dos escenarios mutuamente excluyentes exhaustivos y equiprobables: uno favorable, en el cual posee un monto WB, y uno desfavorable, en el cual no posee nada. Tiene, sin embargo, la

posibilidad de contratar la cantidad de seguro que desee a una tasa  > 1.

a. ¿Cómo varía la cantidad óptima de seguro al variar WB? Interpretar. b. ¿Cómo varía la cantidad óptima de seguro al variar la tasa? Interpretar.

c. Analice la veracidad de esta afirmación, justificando la respuesta: “si  = 2, lo que posee el individuo es independiente del estado de la naturaleza que se verifique”.

d. Para  = 20,5, los beneficios esperados de la aseguradora se maximizan (no necesita verificarlo).

Explique intuitivamente porqué tanto una tasa menor como una mayor reducen dichos beneficios esperados.

10) El coeficiente de aversión relativa al riesgo de un individuo es 0,75.

a. ¿Cómo varía su aversión absoluta al riesgo al incrementarse su riqueza?

b. ¿Prefiere el valor esperado de un juego o la renta equivalente cierta correspondiente al mismo? Comente.

c. Se enfrenta a una situación incierta en la cual posee $100 con probabilidad 0,2 ó $45 (escenarios mutuamente excluyentes exhaustivos); y se le ofrece un seguro que le paga $1,25 por cada peso contratado. Hallar la cantidad de seguro que maximiza su utilidad esperada.

d. Comparar el valor esperado de la riqueza con y sin el seguro. ¿Por qué se beneficia contratándolo?

11) La función de utilidad sobre su riqueza de Ben es UB(W) = ln(W). Ben se enfrenta a una situación

incierta, con dos escenarios posibles: uno favorable y el otro desfavorable (no existen otros escenarios). La probabilidad de ocurrencia del escenario favorable es el triple de la probabilidad de ocurrencia del escenario desfavorable. La riqueza que posee Ben en el escenario favorable es la riqueza que tiene en el escenario desfavorable, multiplicada por siete. Se le ofrece un seguro que, por cada peso contratado, le paga dos pesos en caso de ocurrencia del escenario desfavorable.

a. Hallar la cantidad de seguro que contratará Ben.

b. Hallar el valor esperado de la riqueza con y sin el seguro. Interpretar la elección de Ben.

c. ¿Por qué no se asegura totalmente? ¿A qué tasa se aseguraría totalmente? ¿Qué lograría?

12)

a. Un individuo cuya función de utilidad sobre su riqueza es W0,25 se enfrenta a una situación

incierta en la cual posee $81 ó $625, ambos con idéntica probabilidad (no hay otros escenarios). Encuentre la renta equivalente cierta y compárela con el valor esperado, sacando conclusiones.

b. ¿Cómo varía el grado de aversión al riesgo relativa del individuo del inciso anterior al aumentar la riqueza?

c. Considerando dos escenarios mutuamente excluyentes y exhaustivos, y siendo la probabilidad de ocurrencia del escenario favorable igual a 0,95, una aseguradora ofrece a un individuo averso al riesgo un seguro en el que, en caso de ocurrencia del escenario desfavorable, le paga 20 pesos por cada peso contratado. ¿Qué hará el individuo? Compare la nueva situación con la existente sin un seguro.

d. Una comunidad goza de un presupuesto semanal W. Se enfrenta a una situación incierta en la cual posee su presupuesto más una fracción α del mismo (si obtiene un determinado logro), o su presupuesto menos una fracción α del mismo (si no obtiene el mencionado logro). No hay otros escenarios posibles. La comunidad elige la fracción que desea “apostar” (α). La función de utilidad de la comunidad sobre su riqueza semanal es el logaritmo natural de la misma. Sabiendo que la comunidad eligió apostar el 60% de su presupuesto, responda: ¿qué probabilidad asigna la comunidad a la obtención del mencionado logro?

13) Un individuo tiene un ingreso de $100 y debe decidir si pagar $20 de impuestos. Si decide no pagarlos y lo detectan (lo cual sucede con probabilidad 0,2) no sólo debe pagar los impuestos sino también una multa de $16. Su función de utilidad es u(x)

=

x

1/2.

a. ¿El individuo decide pagar los impuestos?

(4)

c. ¿Cuál es la probabilidad de detección mínima para que prefiera pagar los impuestos?

14) Considere las siguientes loterías:

L=

$400 con probabilidad 0,7

$0 con probabilidad 0,3

LL=

$4900 con probabilidad 0,1

$0 con probabilidad 0,9

¿Cuál es el pago esperado de cada una? Si Tomás tiene una función de utilidad esperada u(x)

=

x

1/2,

¿Cuál es la utilidad esperada para Tomás de cada lotería? ¿Cuál prefiere?

15) Filomena tiene una función de utilidad esperada u(x)

=

x

1/2. Posee $4 y un ticket de lotería que

vale $12 con probabilidad 0,5 y $0 con probabilidad 0,5. ¿Cuál es la utilidad esperada de Filomena? ¿Cuál es el menor precio al cual está dispuesta a vender el ticket de lotería?

R

ESPUESTAS

1) a) Prefiere el monto cierto de $100. Sí, puedo hacerlo, ya que $100 es el valor esperado de la riqueza (0,8·50+0,2·300=100), y el individuo es averso al riesgo (U´´(W) = -1 / W2 < 0). Un averso al

riesgo prefiere el valor esperado del juego a la utilidad esperada del mismo.

b) Prefiere el monto cierto de $15. No puedo hacerlo, ya que el monto cierto ofrecido es menor al valor esperado del juego (0,9·10+0,1·80=17).

c) Prefiere el juego. No puedo hacerlo.

d) Aproximadamente $575,71, ya que ln 575,71 ≈ 0,7·ln 500 + 0,3·ln 800

e) P ($10) ≈ 0,37; P ($30) ≈ 0,63, ya que ln 20 ≈ 0,37·ln 10 + 0,63·ln 30. Sí, puedo hacerlo, dado que si fueran equiprobables, el individuo preferiría el monto cierto, al igual que si P ($10) > P ($30). Ergo, forzosamente, P ($10) < P ($30).

f) I, III, V y VII. Recordar que ln (a·b) = ln a + ln b; y que ln (ab) = b·ln a

2) a) β > 1 (amante del riesgo); b) β < 1 (averso al riesgo); c) β = 1 (neutral al riesgo)

3) a) Prefiere el monto cierto. b) Es igual de averso. c) $ 36.

4) a) FALSO, en este caso no puede saberse sin conocer U(W).

b) FALSO, para todo individuo racional la utilidad de la riqueza aumenta al incrementarse la renta (no importa si es averso, amante o neutral).

c) VERDADERO. d) VERDADERO. e) FALSO. f) VERDADERO.

5) a) Su aversión al riesgo relativa no varía al incrementarse su riqueza. b) R.E.C.≈7,5786; E(W)=8,5. c) s* = 2 – [2 / (-1)]. d) * = 3; la tasa actuarialmente justa es = 5.

6) a) s*=(WB - WM)/2. b) Es igual.

7) a) Prefiere el juego. R.E.C. ≈ 4,26.

b) C = -[1/(2·W)] ; C.rel = -(1/2). Es menos averso que Alejandro. c) P($16) ≈ 0,66 ; P($64) ≈ 0,34.

(5)

9) I) R.E.C.=576. II) a) y b) Positivamente. c) Verdadera, es la tasa actuarialmente justa. d) Una tasa menor desalienta la compra de seguro por parte del individuo; una tasa mayor le genera un costo demasiado alto.

10) a) Cae (C´W=-0,75/W2<0). b) Prefiere el valor esperado. c) s*=44. d) El valor esperado es el

mismo; el individuo se beneficia porque reduce la variabilidad de su riqueza.

11) a) s*=Wm ; b) E[Ws/seg]=5,5·Wm>E[Wc/seg]=5·Wm (pero se reduce la variabilidad) ; c) α=2<αAJ=4.

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