• No se han encontrado resultados

Apunts de logaritmes.PDF

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2019

Share "Apunts de logaritmes.PDF"

Copied!
12
0
0

Texto completo

(1)

Lo g ari

T

me s

1.

Definició de logaritme. Logaritme decimal. Logaritme neperià.

Càlcul de logaritmes amb la calculadora.

2.

Propietats dels logaritmes:

Logaritme de la unitat Logaritme de la base. Logaritme del producte. Logaritme de la divisió. Logaritme d’una potència. Logaritme d’un arrel.

3.

Transformació de expressions aplicant las propietats dels logaritmes.

4.

Resolució de equacions exponencials. Factoritzant.

Prenent logaritmes. Deducció de la fórmula de canvi de base.

5.

Resolució de equacions logarítmiques. Aplicant la definició

Agrupant i llevant els logaritmes

• • •

• • • • • •

• •

(2)

LOGARITMES

En aquest tema anem a definir uns nous objectes matemàtics, uns operadors que anomenarem logaritmes. Els definirem, estudiarem les seues propietats i els utilitzarem per a resoldre un tipus d’equació que fins ara no sabíe dre.

1. Definició de logaritme.

Per a introduir la definició de logaritme començarem recordant que equacions sabem resoldre, o millor dit, quan sabem aïllar la indeterminada d’una equació:

A l’equació , aïllem , resultant la solució

A l’equació , aïllem , resultant la solució

A l’equació , aïllem , resultant les solucions i

A l’equació , aïllem , resultant la solució

I si la indeterminada estiguera a l’exponent?

Com aïllarem en una expressió com ?

És cert que per a resoldre aquesta equació, no és precís aïllar , si no

conèixer les potències de . Fàcilment podem adonar-nos que i per tant la solució d’aquesta equació és . Tan mateix, si volguerem aïllar , com ho fariem?

Si tenim , aleshores segons hem vist abans . Això és cert, però

no és aïllar , és aïllar . Es a dir, no sabem aïllar .

L’expressió

Podríem traduir-la com:

A quin exponent s’ha d’elevar per a que done 81? a 4

Aquesta pregunta es resumeix amb una nova terminologia:

A quin exponent s’ha d’elevar per a que done 81?

I com la resposta és 4, direm

Exemples.-a)

A quin exponent s’ha d’elevar el 2 per a que done 8? L’exponent buscat és 3

o o o o

7

3

7

3

4

20

4

4

20

5

25

2

25

1

5

2

5

32

5 5

32

2

81

3

3

4

3

81

4

81

3

3

81

3

4

81

3

3

3

log

3

81

4

81

log

3

8

log

2

3

2

2

2

2

8

log

2

8

3

=

+

=

=

=

=

=

=

=

±

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

x x x

x x x

x x x x

x x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x

(3)

b)

A quin exponent s’ha d’elevar el 2 per a que done 8? L’exponent buscat és 2

Definició de

logaritme.-On , són nombres reals, i és un nombre real positiu, que s’anomena la base del logaritme.

En moltes ocasions, treballarem amb dos tipus de logaritmes que es denoten amb certes peculiaritats:

Logaritme decimal.

Quan la base dels logaritmes amb els que treballem és 10, estos logaritmes s’anomenen logaritmes decimals, i aleshores no és precís indicar que la base és 10:

Logaritme neperià.

En aquest punt presentem el número . És un nombre irracional, que ix de manera natural en multitud de situacions, i al igual que el número , com té infinits decimals no periòdics a la seua expressió decimal, se li assigna un símbol per a identificar-ho. En aquest cas el símbol és la lletra .

Be, doncs quan la base dels logaritmes amb els que treballem és el número , estos logaritmes s’anomenen logaritmes neperians. Es denoten de forma diferent:

Càlcul de logaritmes amb la calculadora.

En les calculadores científiques normalment sols es po calcular logaritmes decimals i neperians. Es calculen directament amb les tecles:

Amb les funcions inverses de estes tecles, podem respectivament calcular potències de ( ) i de ( ). Podem per exemple veure en pantalla el valor de fent amb la calculadora

2. Propietats dels logaritmes:

Existència:

Existeix el logaritme de qualsevol valor real?, la resposta podem deduir-la ràpidament d’alguns exemples:

a)

Però cap potencia de 2 pot ser mai 0.

log

ln

=

=

=

=

=

[ ]

=

[ ]

=

[ ] [ ]

=

=

=

25

log

5

2

5

25

log

5

25

2

log

log

log

10

527...

3602874713

8459045235

2,71828182

ln

log

10 10

1

0

2

¿?

0

log

2 ¿?

x

a

y

x

y

a

x y

a

e

e

e

e

e

x

e

e

x

e

e

(4)

n o mé s e xis teixe n els lo g aritme s de n o mbre s po s itiu s

b)

No se deixeu enganyar, no és , és .

No hi ha cap potència de 7 que done negatiu.

Com aquestes conclusions no depenen de la base del logaritme, podem concloure que

, es a dir no existeix el logaritme de cero, ni de cap nombre negatiu en qualsevol base.

Logaritme de la unitat

És evident, donat que essent

Logaritme de la base.

És evident, donat que essent

Logaritme del producte.

Aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es multipliquen potències de igual base

:

Logaritme de la divisió.

Com abans, aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es divideixen potències de igual base

:

49

7

¿?

)

49

(

log

7 ¿?

2

7

49

49

1

0

1

log

1

0

0

1

log

1

0

)

(

log

)

(

log

)

(

log

)

(

log

)

(

log

log

log

log

log

)

(

log

)

(

log

)

(

log

=

=

=

=

>

=

=

>

+

=

=

=

=

(

)

=

+

+

=

+

=

a

a

a

a

a

a

a

a

Y

X

Y

X

a a

a

Y

X

Y

X

a a

a

Y

X

X

Y

n

X

a

m

Y

a

m

n

Y X

a

m n m n

a

a

a

Y

X

Y

X

a a

a

(p e r a m u ltip lic a r p o tè nc ie s d e igu a l b as e , e s de ix a la m a te ix a b as e i e s s u me n e ls e x po ne n ts )

(5)

Logaritme d’una potència.

Aquesta propietat ve de la potència d’un altra potència (

)

Logaritme d’un arrel.

En aquest cas, només és precís adonar-nos de que un arrel no és més que una potència de exponent fraccionari, i com ja tenim la propietat del logaritme d’una potència:

( )

=

( )

=

=

( )

=

=





=

=

=

=

=

=

( )

=

( )

=

( )

=

( )

=

)

(

log

log

)

(

log

)

(

log

1

log

)

(

log

)

(

log

1

log

log

1

log

log

log

)

(

log

)

(

log

log

log

log

)

(

log

log

X

n

X

n a

a

n

X

X

n

X

a

a n

a

n

X

X

n

X

X

n a a

a n

a

Y

X

Y

X

n

X

a

m

Y

a

m

n

Y X

a

m

n

m

n

a

a

a

Y

X

Y

X

a a

a

n

m

n

m

a

a

X

X

n

m

X

a

X

m

n

n a

X

n

X

n a

a

(6)

La conclusió final que podem extraure de aquestes quatre últimes propietats, és que el logaritmes redueixen en un grau les operacions,

transformant potències i arrels en multiplicacions i divisions, i del multiplicacions i divisions en sumes i restes.

3. Transformació de expressions aplicant las propietats dels

logaritmes.

Exemple.-Sabent que , i , calcula sense fer cap

logaritme amb la calculadora y fent ús de las propietats dels logaritmes: a)

b)

Exemple.-Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:

a) b)

=

=

=

( )

=

+

+

=

=

=

+

+

=

+

+

=

(

) (

)

=

=

( )

( )

=





+

+

=





 ⋅

=

(

+

)

[

+

]

=

+

=

(

+

)

[

+

]

=

+

=

=

+

(

)

=

( )

=

=

+

=

+

( )

=

+

=

+

(

)

=

=

divisió

producte

resta

suma

LOGARITME arrel potència

quocient

producte

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

C

B A

30

,

0

2

log

log

3

0

,

48

log

5

0

,

70

600

log

)

5

log(

)

3

log(

)

2

log(

)

5

3

2

log(

)

600

log(

3 2 3 2

78

,

2

70

,

0

2

48

,

0

30

,

0

3

)

5

log(

2

)

3

log(

)

2

log(

3

5

1024

0001

'

0

98

25

'

0

log

5 5

1024

log

0

'

25

50

log

0

'

0001

1024

0001

'

0

50

25

'

0

log

2

log

5

10

10

log

4

50

log

2

1

4

1

log

2

10

log

50

4

1

log

5 10 4 2 1

2

log

2

4

5

log

2

2

log

2

1

2

log

2

1

log

65

,

3

30

,

0

2

4

70

,

0

2

30

,

0

2

1

30

,

0

2

0

log

5

log

log

5 5

log

log

log

5

log

log

log

2

log

log

2

2

log

log

log

100

log

log

2

log

log

2

2 2

100

log

100

log

(7)

4. Resolució de equacions exponencials.

Són equacions, la incògnita de les quals es troba en un exponent. Veurem dues formes de “baixar-la” de l’exponent, per a poder resoldre aquestes equacions:

Factoritzant:

Exemple.-En primes lloc, aïllem la potència on es troba la incògnita:

A continuació expressarem com a potència de , el segon membre:

Si dues potències són iguals, i tenen la mateixa base, aleshores els seus exponent també han de ser iguals

Donant lloc a una equació lineal que sabem resoldre

Prenent logaritmes.

Exemple.-Si al aïllar la potència com acabem de fer, ens haguera quedat una

expressió com , en lloc de , no hauríem pogut continuar

perquè el no és cap potència de . En aquestos casos podem gastar la eina algebraica que hem descobert aquest tema: els logaritmes.

El problema en , realment no és el , és que la es troba a on

no podem aïllar-la, a un exponent. Si recordem les propietats del logaritmes, trobarem una manera de transformar potències en multiplicacions, i d’aquesta manera fer desaparèixer els exponents:

Prenem logaritmes als dos membres de l’equació, per exemple en base decimal, que està a la calculadora:

Apliquem les propietats dels logaritmes:

Obtenint una equació lineal, on i són dos nombres reals, que

en qualsevol moment podem obtenir amb la calculadora.

Fórmula de canvi de base:

Aquest mètode ens serveix per a deduir l’anomenada fórmula de canvi de base.

a

X

X

b b a

x

x x x

x

x

x x

x x

x x

x

x

x

x

x

x x

X

a

Y X

a

X

a

Y

X Y b Y b b b

a

a

X Y

b b

log

log

log

19

5

2

3

4 1

24

5

19

2

3

4 1

3

24

2

4 1

2

4 1

8

2

3 1 4

2

2

3

1

4

1

4

4

4

1

3

4

3

1

4

9

2

4 1

8

2

4 1

9

2

9

2

4 1

9

9

2

4 1

9

log

2

log

4 1

9

log

2

log

1

4

2

log

log

9

2

log

9

log

1

4

1,0425

4

1

2

log

9

log

log

log

log

log

log

log

log

=

=

=

+

=

− −

=

=

=

=

=

=

=

+

=

=

=

− −

=

=

=

( )

=

( )

(

)

=

=

=

+

=

( )

=

( )

=

=

=

=

(8)

Amb aquesta fórmula podem, en particular, calcular amb la

calculadora logaritmes en qualsevol base, i no només en base i ,

per exemple:

6.

Resolució de equacions logarítmiques.

Una equació logarítmica és una equació on hi ha logaritmes. Per a resoldre equacions logarítmiques el que farem és llevar-los. Podem llevar els logaritmes principalment de dues formes:

Aplicant la definició

Exemple:

a)

b)

Agrupant i llevant els logaritmes

Exemple:

10

8614

,

2

5

log

100

log

100

log

5

4

1

3

log

2

1

3

16

1

3

2

4

1

3

log

2 4

16

1

3

3

17

2

1

log

4

2

4

4

2

1

log

2

2 1 4

6

log

3

log

log

2 2 2

6

log

3

log

6

log

3

log

log

2 2 2 2 2

6

3

6

3

6

2

3

e

x

x x

x

x

x

x

x x

x

x x

x x

x x

x x x x

x x

( )

=

=

(

)

=

(

)

=

=

=

=

=

=

( )

=

=

=

=

( )

+

( )

=

(

+

)

( )

+

( )

=

(

+

)

( )

=

(

+

)

+

=

=

(9)

Exercicis

1.- Calcula utilitzant la definició de logaritme y las propietats de las potències, los següents logaritmes:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) r)

s) t) u)

v) w) x)

y) z)

2.- Sabent que log 2 = 0’30, log 3 = 0’47, log 5 = 0’70 y log 7 = 0’86, calcula sense fer cap logaritme amb la calculadora y fent ús de las propietats dels logaritmes:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i)

3.- Sigan x, y, z, tres nombres reals dels quals sabem el valor dels seus logaritmes en base 10: log(x)=0.5, log(y)=-1, log(z)=2. Calcula el logaritme de les següents expressions:

64

log

2

log

3

81

log

5

625

1000

log

ln

3

8

1

log

2

27

1

log

3

125

1

log

5

1000

1

log

0001

,

0

log

ln

1

4 log 16

2 1

49 log

7

1 4

2

2

log

log

34

27

5

10000000

log

3 2

ln

32

1

log

2

5 7

49

1

log

5

6

1296

1

log

ln

4

1

3

001

'

0

1

log

2

1

log

4

log

0

,

25

2

5

1

ln

2 3

0

,

001

1

log

800

log

27

25

log

2

49

1

25

log

5 4

2 5

7

5

3

2

log

3

10

27

8

log

8

15

14

75

log

4

27

35

50

125

log

5

5

1024

0001

'

0

98

25

'

0

log

3

7

14

7

59049

10000

3

25

log

( )

( )

( )





( )

− −

( )

( )

( )

e

e

e

e

(10)

a) b) c)

d) e) f)

4.- Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

5.- Resol les següents equacions exponencials:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

6.- Resol les següents equacions logarítmiques:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

x z

y x

y z

y x

x z

y xy

y z

x

y z

x

y x

C

B

A A B

C

B A

C

B

A A B

C

B A

A B

A A B

C

C

B A

C

B

A A B A B A B

x x x

x x x

x x

x

x

x x x

x x x x

x x x x

=

+

+

=

=

+

+

+

=

+

(

+

)

=

+

=

(

+

)

=

(

+

)

(

+

) (

+

)

=

(

)

=

=

=

=

− +

=

( )

=

=

+

=

=

(

)

=

(

)

=

+

(

)

=

=

=

=

=

+

+

=

=

(

+

)

 −

2

3

2 3 2

1

'

0

100

2 1

2 2

)

10

(

)

(

10

3

2 4

3

10

3

1 2

1

log

5

log

log

ln

2

1

ln

3

ln

2

)

log(

)

log(

2

)

log(

)

3

log(

2

log

log

log

log

2

log

3

log

log

log

2

3

log

2

log

2

2

log

2

2

3

log

log

2

log

3

log

3

2

4 4

4 4

2 2

ln

ln

ln

27

3

2

125

1

5

12

3 2

35

8

3

·

2

3 4 2 1 3

9

2

·

3

3

,

15

7 2

18

,

36

27

1

3

2 2

4 3

5

1

125

7

49

2

2

3

log

4

log

5

0

.

008

7

4

log

13

28561

1

2

1

log

2

log

3

log

100

log

10

2

ln

ln(

4

3

)

70

log

log

2

1

log

2

3

log

2

5

log

2

1

2

3

2

(11)

Exercicis per a entregar

1.- Calcula raonadament, utilitzant la definició de logaritme y les propietats de les potències, els següents logaritmes:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

2.- Calcula, utilitzant les propietats dels logaritmes, els següents:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

( )

3.- Resol les següents equacions:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

Solucions:

a) b) c) d) e) f) g) h)

Exercici 1 No

existeix

Exercici 2

Exercici 3

625

1

log

5

log

2

8

log

27

3 1

3 5

25

1

log

2

1

ln

01

,

0

1

log

ln

log

7

49

3

100

1

,

0

log

4

3 2

ln

01

,

0

1

1000

log

ln

3 5

1

2

3

25

log

125

3

8

log

2

3

3

81

625

·

1000

log

900

1

3

01

,

0

log

70

,

0

5

log

47

.

0

3

log

30

,

0

2

log

1024

2

5 1

7

,

35

3

105

,

46

5

4

7 2

175

3

·

10

3

0

,

3

283

13

5

3

3 7

log

3

(

2

1

)

2

log

7

(

13

)

5

4

log

(

4

2

)

1

4

2

3

3

3

2

2

1

1

1

2

3

4

5

16

77

,

0

2

,

15

2

,

43

3

,

72

5

11

33

,

5

0

,

08

3

1

27

,

3

4

1

,

06

3

4

( )

( )

















 ⋅

( )





=

=

=

=

( )

=

+

=

=

=

+

=

=

=

e

e

e

e

e

e

x x x x

x

x x x x

e

(12)

Napie r pre dig ué e l fi de l mo n

n o mbre s artificials

El núme ro e

Curiositats matemàtiques

L’inventor dels logaritmes

John Napier, baró de Merchiston(1550 - 1617), matemàtic escocès inventor de los logaritmes.

A pesar de haver passat a la posteritat por les seues contribucions en el camp de las matemàtiques, per a Napier era aquesta una activitat de distracció essent la seua preocupació fonamental la exegesis del Apocalipsis a la que es consagrà des de la seua estància en el col·legi. Fruit d’aquesta labor fou la seva publicació.

.L’originalitat del seu estudi és l’aplicació del formalisme matemàtic en la argumentació, de manera que admetent certs

postulats, arriba a demostrar les seves proposicions.

Entre elles, per als anys 1668 a 1700; per

fortuna per a la seua glòria i per a la del curiós lector, la profecia no se complí.

En 1614 Napier publica su obra

,

en la que dona a conèixer los logaritmes que ell cridà . En eixa

obra promet una explicació que la mort l’impedí publicar, però que fou afegida pel seu fill Roberto en la segona edició publicada en 1619.

Mercè a estos nombres les multiplicacions poden substituir-se por sumes, las divisions por restes, les potencies por productes y els arrels por divisions, lo que no sòls simplificà enormement la realització manual dels càlculs matemàtics, si no que va permetre realitzar d’altres que sense la seua invenció no hagueren

segut possibles.

Es un nombre irracional i s’utilitza como base de los logaritmes neperians. Aquest nombre fou introduït por Leonhard Euler (1707-1783), matemàtic suís y un dels mes importants de la història de las matemàtiques (junt amb Arquímedes, Newton, Gauss y d’altres)

Pots acostarte al valor del número fent la suma:

De scobrim e nts de tots e ls se cre ts de l Apocalips is de S an Juan, por dos tractats : un que bus ca y prova la ve rdadera inte rpre tació, y altre que aplica al te xt aque s ta inte rpre tació parafràs ticam e nt e his tòricam e nt

Mirifici Logarithm orum Canonis De s criptio, e jus que us us in utroque

Trigonom e tria; ut e tiam in om ni logis tica m athe m atica, am plis s im i,

facillim i, et e xpe ditis s im i e xplicatio

e

...

7

·

6

·

5

·

4

·

3

·

2

1

6

·

5

·

4

·

3

·

2

1

5

·

4

·

3

·

2

1

4

·

3

·

2

1

3

·

2

1

2

1

2

+

+

+

+

+

+

+

=

Referencias

Documento similar

Y tendiendo ellos la vista vieron cuanto en el mundo había y dieron las gracias al Criador diciendo: Repetidas gracias os damos porque nos habéis criado hombres, nos

E Clamades andaua sienpre sobre el caua- 11o de madera, y en poco tienpo fue tan lexos, que el no sabia en donde estaña; pero el tomo muy gran esfuergo en si, y pensó yendo assi

d) que haya «identidad de órgano» (con identidad de Sala y Sección); e) que haya alteridad, es decir, que las sentencias aportadas sean de persona distinta a la recurrente, e) que

Las manifestaciones musicales y su organización institucional a lo largo de los siglos XVI al XVIII son aspectos poco conocidos de la cultura alicantina. Analizar el alcance y

Proporcione esta nota de seguridad y las copias de la versión para pacientes junto con el documento Preguntas frecuentes sobre contraindicaciones y

[r]

Fuente de emisión secundaria que afecta a la estación: Combustión en sector residencial y comercial Distancia a la primera vía de tráfico: 3 metros (15 m de ancho)..

La campaña ha consistido en la revisión del etiquetado e instrucciones de uso de todos los ter- mómetros digitales comunicados, así como de la documentación técnica adicional de