Lo g ari
T
me s
1.
Definició de logaritme. Logaritme decimal. Logaritme neperià.Càlcul de logaritmes amb la calculadora.
2.
Propietats dels logaritmes:Logaritme de la unitat Logaritme de la base. Logaritme del producte. Logaritme de la divisió. Logaritme d’una potència. Logaritme d’un arrel.
3.
Transformació de expressions aplicant las propietats dels logaritmes.4.
Resolució de equacions exponencials. Factoritzant.Prenent logaritmes. Deducció de la fórmula de canvi de base.
5.
Resolució de equacions logarítmiques. Aplicant la definicióAgrupant i llevant els logaritmes
• • •
• • • • • •
• •
LOGARITMES
En aquest tema anem a definir uns nous objectes matemàtics, uns operadors que anomenarem logaritmes. Els definirem, estudiarem les seues propietats i els utilitzarem per a resoldre un tipus d’equació que fins ara no sabíe dre.
1. Definició de logaritme.
Per a introduir la definició de logaritme començarem recordant que equacions sabem resoldre, o millor dit, quan sabem aïllar la indeterminada d’una equació:
A l’equació , aïllem , resultant la solució
A l’equació , aïllem , resultant la solució
A l’equació , aïllem , resultant les solucions i
A l’equació , aïllem , resultant la solució
I si la indeterminada estiguera a l’exponent?
Com aïllarem en una expressió com ?
És cert que per a resoldre aquesta equació, no és precís aïllar , si no
conèixer les potències de . Fàcilment podem adonar-nos que i per tant la solució d’aquesta equació és . Tan mateix, si volguerem aïllar , com ho fariem?
Si tenim , aleshores segons hem vist abans . Això és cert, però
no és aïllar , és aïllar . Es a dir, no sabem aïllar .
L’expressió
Podríem traduir-la com:
A quin exponent s’ha d’elevar per a que done 81? a 4
Aquesta pregunta es resumeix amb una nova terminologia:
A quin exponent s’ha d’elevar per a que done 81?
I com la resposta és 4, direm
Exemples.-a)A quin exponent s’ha d’elevar el 2 per a que done 8? L’exponent buscat és 3
o o o o
7
3
7
3
4
20
4
4
20
5
25
2
25
15
25
32
5 5
32
2
81
3
3
43
81
4
81
3
3
81
3
4
81
3
3
3
log
381
4
81
log
38
log
23
2
2
2
2
8
log
28
3
=
+
=
−
=
=
=
=
=
=
±
=
=
−
=
=
=
=
=
=
=
=
=
⇒
=
⇔
=
=
=
⋅
⋅
=
⇒
=
x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
b)
A quin exponent s’ha d’elevar el 2 per a que done 8? L’exponent buscat és 2
Definició de
logaritme.-On , són nombres reals, i és un nombre real positiu, que s’anomena la base del logaritme.
En moltes ocasions, treballarem amb dos tipus de logaritmes que es denoten amb certes peculiaritats:
Logaritme decimal.
Quan la base dels logaritmes amb els que treballem és 10, estos logaritmes s’anomenen logaritmes decimals, i aleshores no és precís indicar que la base és 10:
Logaritme neperià.
En aquest punt presentem el número . És un nombre irracional, que ix de manera natural en multitud de situacions, i al igual que el número , com té infinits decimals no periòdics a la seua expressió decimal, se li assigna un símbol per a identificar-ho. En aquest cas el símbol és la lletra .
Be, doncs quan la base dels logaritmes amb els que treballem és el número , estos logaritmes s’anomenen logaritmes neperians. Es denoten de forma diferent:
Càlcul de logaritmes amb la calculadora.
En les calculadores científiques normalment sols es po calcular logaritmes decimals i neperians. Es calculen directament amb les tecles:
Amb les funcions inverses de estes tecles, podem respectivament calcular potències de ( ) i de ( ). Podem per exemple veure en pantalla el valor de fent amb la calculadora
2. Propietats dels logaritmes:
Existència:
Existeix el logaritme de qualsevol valor real?, la resposta podem deduir-la ràpidament d’alguns exemples:
a)
Però cap potencia de 2 pot ser mai 0.
log
ln
=
=
⇒
=
=
⇔
=
[ ]
=
[ ]
=
[ ] [ ]
=
•
=
⇔
=
25
log
52
5
25
log
525
2
log
log
log
10527...
3602874713
8459045235
2,71828182
ln
log
10 10
1
0
2
¿?
0
log
2 ¿?x
a
y
x
y
a
x y
a
e
e
e
e
e
x
e
e
xe
e
n o mé s e xis teixe n els lo g aritme s de n o mbre s po s itiu s
b)
No se deixeu enganyar, no és , és .
No hi ha cap potència de 7 que done negatiu.
Com aquestes conclusions no depenen de la base del logaritme, podem concloure que
, es a dir no existeix el logaritme de cero, ni de cap nombre negatiu en qualsevol base.
Logaritme de la unitat
És evident, donat que essent
Logaritme de la base.
És evident, donat que essent
Logaritme del producte.
Aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es multipliquen potències de igual base
:
Logaritme de la divisió.
Com abans, aquesta propietat no és més que l’expressió amb la terminologia dels logaritmes, de cóm es divideixen potències de igual base
:
49
7
¿?
)
49
(
log
7 ¿?2
7
49
49
1
0
1
log
1
0
0
1
log
1
0
)
(
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
log
log
log
log
)
(
log
)
(
log
)
(
log
−
=
⇔
=
−
−
−
•
=
=
>
•
=
=
>
•
+
=
⋅
•
−
=
⋅
=
=
(
⋅
)
=
+
+
=
⋅
+
=
⋅
a
a
a
a
a
a
a
a
Y
X
Y
X
a aa
Y
X
Y
X
a a
a
Y
X
X
Y
n
X
a
m
Y
a
m
n
Y X
a
m n m n
a
a
a
Y
X
Y
X
a aa
(p e r a m u ltip lic a r p o tè nc ie s d e igu a l b as e , e s de ix a la m a te ix a b as e i e s s u me n e ls e x po ne n ts )
Logaritme d’una potència.
Aquesta propietat ve de la potència d’un altra potència (
)
Logaritme d’un arrel.
En aquest cas, només és precís adonar-nos de que un arrel no és més que una potència de exponent fraccionari, i com ja tenim la propietat del logaritme d’una potència:
•
( )
=
⋅
•
( )
=
⋅
=
( )
=
⋅
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
( )
=
⋅( )
=
( )
=
⋅
( )
=
⋅
)
(
log
log
)
(
log
)
(
log
1
log
)
(
log
)
(
log
1
log
log
1
log
log
log
)
(
log
)
(
log
log
log
log
)
(
log
log
X
n
X
n aa
n
X
X
n
X
aa n
a
n
X
X
n
X
X
n a aa n
a
Y
X
Y
X
n
X
a
m
Y
a
m
n
Y X
a
m
n
m
n
a
a
a
Y
X
Y
X
a a
a
n
m
n
m
a
a
X
X
nm
X
a
X
m
n
n a
X
n
X
n aa
La conclusió final que podem extraure de aquestes quatre últimes propietats, és que el logaritmes redueixen en un grau les operacions,
transformant potències i arrels en multiplicacions i divisions, i del multiplicacions i divisions en sumes i restes.
3. Transformació de expressions aplicant las propietats dels
logaritmes.
Exemple.-Sabent que , i , calcula sense fer cap
logaritme amb la calculadora y fent ús de las propietats dels logaritmes: a)
b)
Exemple.-Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:
a) b)
⇒
=
=
=
( )
=
+
+
=
⋅
⋅
=
=
⋅
+
+
⋅
=
+
+
=
⋅
⋅
(
⋅
) (
−
⋅
)
=
=
⋅
⋅
( )
( )
=
−
+
−
+
=
⋅
−
⋅
=
−(
+
)
−
[
−
+
]
=
+
−
=
(
+
⋅
)
−
[
−
+
⋅
]
=
+
⋅
−
=
=
+
(
⋅
)
=
( )
⇔
⋅
=
⇔
=
+
−
=
+
( )
⇔
−
=
+
⇔
−
=
+
(
)
⇔
=
=
⇔
divisió
producteresta
suma
LOGARITME arrel potènciaquocient
producteC
B AC
B AC
B AC
B AC
B AC
B AC
B AC
B AC
B A30
,
0
2
log
log
3
0
,
48
log
5
0
,
70
600
log
)
5
log(
)
3
log(
)
2
log(
)
5
3
2
log(
)
600
log(
3 2 3 278
,
2
70
,
0
2
48
,
0
30
,
0
3
)
5
log(
2
)
3
log(
)
2
log(
3
51024
0001
'
0
98
25
'
0
log
5 51024
log
0
'
25
50
log
0
'
0001
1024
0001
'
0
50
25
'
0
log
2
log
5
10
10
log
4
50
log
2
1
4
1
log
2
10
log
50
4
1
log
5 10 4 2 12
log
2
4
5
log
2
2
log
2
1
2
log
2
1
log
65
,
3
30
,
0
2
4
70
,
0
2
30
,
0
2
1
30
,
0
2
0
log
5
log
log
5 5log
log
log
5
log
log
log
2
log
log
2
2log
log
log
100
log
log
2
log
log
2
2 2100
log
100
log
4. Resolució de equacions exponencials.
Són equacions, la incògnita de les quals es troba en un exponent. Veurem dues formes de “baixar-la” de l’exponent, per a poder resoldre aquestes equacions:
Factoritzant:
Exemple.-En primes lloc, aïllem la potència on es troba la incògnita:
A continuació expressarem com a potència de , el segon membre:
Si dues potències són iguals, i tenen la mateixa base, aleshores els seus exponent també han de ser iguals
Donant lloc a una equació lineal que sabem resoldre
Prenent logaritmes.
Exemple.-Si al aïllar la potència com acabem de fer, ens haguera quedat una
expressió com , en lloc de , no hauríem pogut continuar
perquè el no és cap potència de . En aquestos casos podem gastar la eina algebraica que hem descobert aquest tema: els logaritmes.
El problema en , realment no és el , és que la es troba a on
no podem aïllar-la, a un exponent. Si recordem les propietats del logaritmes, trobarem una manera de transformar potències en multiplicacions, i d’aquesta manera fer desaparèixer els exponents:
Prenem logaritmes als dos membres de l’equació, per exemple en base decimal, que està a la calculadora:
Apliquem les propietats dels logaritmes:
Obtenint una equació lineal, on i són dos nombres reals, que
en qualsevol moment podem obtenir amb la calculadora.
Fórmula de canvi de base:
Aquest mètode ens serveix per a deduir l’anomenada fórmula de canvi de base.
a
X
X
b b a
x
x x x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
X
a
Y X
a
X
a
Y
X Y b Y b b b
a
a
X Y
b b
log
log
log
19
5
2
3
4 124
5
19
2
3
4 13
24
2
4 12
4 18
2
3 1 4
2
2
3
1
4
1
4
4
4
1
3
4
3
1
4
9
2
4 18
2
4 19
2
9
2
4 19
9
2
4 19
log
2
log
4 19
log
2
log
1
4
2
log
log
9
2
log
9
log
1
4
1,0425
4
1
2
log
9
log
log
log
log
log
log
log
log
=
•
=
−
⋅
−⇒
=
+
=
⋅
− −=
⇒
−=
=
−
=
−
=
⇒
=
⇒
=
+
=
⇒
=
−
•
=
− −
=
=
−
=
−
( )
−=
( )
(
−
)
=
⇒
=
−
=
+
=
( )
=
( )
⇒
⋅
=
⇒
=
⇒
=
⇒
=
Amb aquesta fórmula podem, en particular, calcular amb la
calculadora logaritmes en qualsevol base, i no només en base i ,
per exemple:
6.
Resolució de equacions logarítmiques.
Una equació logarítmica és una equació on hi ha logaritmes. Per a resoldre equacions logarítmiques el que farem és llevar-los. Podem llevar els logaritmes principalment de dues formes:
Aplicant la definició
Exemple:
a)
b)
Agrupant i llevant els logaritmes
Exemple:
10
8614
,
2
5
log
100
log
100
log
54
1
3
log
21
3
16
1
3
2
4
1
3
log
2 416
1
3
3
17
2
1
log
42
4
4
2
1
log
22 1 4
6
log
3
log
log
2 2 26
log
3
log
6
log
3
log
log
2 2 2 2 26
3
6
3
6
2
3
e
x
x x
x
x
x
x
x x
x
x x
x x
x x
x x x x
x x
( )
=
=
•
(
−
)
=
(
−
)
=
⇒
=
−
⇒
=
−
−
−
=
−
=
=
( )
=
⇒
=
=
⇒
=
•
( )
+
( )
=
(
+
)
( )
+
( )
=
(
+
)
⇒
( )
⋅
=
(
+
)
+
=
=
−
Exercicis
1.- Calcula utilitzant la definició de logaritme y las propietats de las potències, los següents logaritmes:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
p) q) r)
s) t) u)
v) w) x)
y) z)
2.- Sabent que log 2 = 0’30, log 3 = 0’47, log 5 = 0’70 y log 7 = 0’86, calcula sense fer cap logaritme amb la calculadora y fent ús de las propietats dels logaritmes:
a) b) c)
d) e) f)
g) h)
i)
3.- Sigan x, y, z, tres nombres reals dels quals sabem el valor dels seus logaritmes en base 10: log(x)=0.5, log(y)=-1, log(z)=2. Calcula el logaritme de les següents expressions:
64
log
2log
381
log
5625
1000
log
ln
38
1
log
227
1
log
3125
1
log
51000
1
log
0001
,
0
log
ln
1
4 log 162 1
49 log
7
1 4
2
2
log
log
3427
5
10000000
log
3 2ln
32
1
log
25 7
49
1
log
56
1296
1
log
ln
41
3001
'
0
1
log
2
1
log
4log
0
,
25
2
5
1
ln
2 3
0
,
001
1
log
800
log
27
25
log
2
49
1
25
log
5 4
2 5
7
5
3
2
log
3
10
27
8
log
8
15
14
75
log
427
35
50
125
log
55
1024
0001
'
0
98
25
'
0
log
37
14
7
59049
10000
3
25
log
( )
( )
( )
−−
( )
⋅
− −
⋅
⋅
⋅
( )
⋅
⋅
( )
⋅
⋅
⋅
⋅
( )
⋅
e
e
e
e
a) b) c)
d) e) f)
4.- Troba l’expressió algebraica equivalent a cadascuna de les següents:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
5.- Resol les següents equacions exponencials:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
6.- Resol les següents equacions logarítmiques:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
x z
y x
y z
y x
x z
y xy
y z
x
y z
x
y x
C
B
A A B
C
B A
C
B
A A B
C
B A
A B
A A B
C
C
B A
C
B
A A B A B A B
x x x
x x x
x x
x
x
x x x
x x x x
x x x x
⋅
⋅
⋅
⋅
−
−
−
⋅
⋅
⋅
⋅
−=
+
+
=
−
⋅
=
+
+
+
=
+
(
+
)
−
=
−
+
=
−
(
+
−
)
=
(
+
−
)
(
+
) (
+
−
)
=
(
−
)
=
=
−=
=
− +
=
( )
−=
=
+
−
=
=
−
(
−
)
=
−
(
)
=
+
(
)
=
−
=
=
−
=
−
=
+
+
=
=
(
+
)
−
−
23
2 3 2
1
'
0
100
2 12 2
)
10
(
)
(
10
3
2 4
3
10
3
1 2
1
log
5
log
log
ln
2
1
ln
3
ln
2
)
log(
)
log(
2
)
log(
)
3
log(
2
log
log
log
log
2
log
3
log
log
log
2
3
log
2log
22
log
22
3
log
log
2
log
3
log
3
2
4 4
4 4
2 2
ln
ln
ln
27
3
2125
1
5
12
3 235
8
3
·
2
3 4 2 1 39
2
·
3
3
,
15
7 218
,
36
27
1
3
2 24 3
5
1
125
7
49
2
2
3
log
4log
50
.
008
7
4
log
1328561
1
2
1
log
2
log
3
log
100
log
10
2
ln
ln(
4
3
)
70
log
log
2
1
log
23
log
25
log
2
1
2
3
2
Exercicis per a entregar
1.- Calcula raonadament, utilitzant la definició de logaritme y les propietats de les potències, els següents logaritmes:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
2.- Calcula, utilitzant les propietats dels logaritmes, els següents:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
( )
3.- Resol les següents equacions:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
Solucions:
a) b) c) d) e) f) g) h)
Exercici 1 No
existeix
Exercici 2
Exercici 3
625
1
log
5log
28
log
27
3 1
3 5
25
1
log
2
1
ln
01
,
0
1
log
ln
log
749
3
100
1
,
0
log
43 2
ln
01
,
0
1
1000
log
ln
3 51
2
3
25
log
125
3
8
log
2
3
3
81
625
·
1000
log
900
1
3
01
,
0
log
70
,
0
5
log
47
.
0
3
log
30
,
0
2
log
1024
2
5 17
,
35
3105
,
46
5
4
7 2175
3
·
10
30
,
3
283
13
5
3
3 7log
3(
2
1
)
2
log
7(
13
)
5
4
log
(
4
2
)
1
4
2
3
3
3
2
2
1
1
1
2
3
4
5
16
77
,
0
2
,
15
2
,
43
3
,
72
5
11
33
,
5
0
,
08
3
1
27
,
3
4
1
,
06
3
4
( )
−
( )
−
⋅
−
⋅
−( )
−
⋅
=
=
=
=
−
( )
−=
⋅
+=
=
=
−
⋅
−+
=
=
−
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
e
e
e
e
e
e
x x x x
x
x x x x
e
Napie r pre dig ué e l fi de l mo n
n o mbre s artificials
El núme ro e
Curiositats matemàtiques
L’inventor dels logaritmes
John Napier, baró de Merchiston(1550 - 1617), matemàtic escocès inventor de los logaritmes.
A pesar de haver passat a la posteritat por les seues contribucions en el camp de las matemàtiques, per a Napier era aquesta una activitat de distracció essent la seua preocupació fonamental la exegesis del Apocalipsis a la que es consagrà des de la seua estància en el col·legi. Fruit d’aquesta labor fou la seva publicació.
.L’originalitat del seu estudi és l’aplicació del formalisme matemàtic en la argumentació, de manera que admetent certs
postulats, arriba a demostrar les seves proposicions.
Entre elles, per als anys 1668 a 1700; per
fortuna per a la seua glòria i per a la del curiós lector, la profecia no se complí.
En 1614 Napier publica su obra
,
en la que dona a conèixer los logaritmes que ell cridà . En eixa
obra promet una explicació que la mort l’impedí publicar, però que fou afegida pel seu fill Roberto en la segona edició publicada en 1619.
Mercè a estos nombres les multiplicacions poden substituir-se por sumes, las divisions por restes, les potencies por productes y els arrels por divisions, lo que no sòls simplificà enormement la realització manual dels càlculs matemàtics, si no que va permetre realitzar d’altres que sense la seua invenció no hagueren
segut possibles.
Es un nombre irracional i s’utilitza como base de los logaritmes neperians. Aquest nombre fou introduït por Leonhard Euler (1707-1783), matemàtic suís y un dels mes importants de la història de las matemàtiques (junt amb Arquímedes, Newton, Gauss y d’altres)
Pots acostarte al valor del número fent la suma:
De scobrim e nts de tots e ls se cre ts de l Apocalips is de S an Juan, por dos tractats : un que bus ca y prova la ve rdadera inte rpre tació, y altre que aplica al te xt aque s ta inte rpre tació parafràs ticam e nt e his tòricam e nt
Mirifici Logarithm orum Canonis De s criptio, e jus que us us in utroque
Trigonom e tria; ut e tiam in om ni logis tica m athe m atica, am plis s im i,
facillim i, et e xpe ditis s im i e xplicatio
e