Luis Felipe Prieto Mart´ınez

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LAS CURVAS C ´

ONICAS

Luis Felipe Prieto Mart´ınez

Resumen

En estas notas se introducen los fundamentos de las curvas cónicas (su definición como lugares geométricos y sus elementos y propiedades más importantes), las ecuaciones más sencillas de las mismas (cónicas alineadas con los ejes) y unos breves comentarios sobre el problema de identificar a que curva cónica corresponde una ecuación dada de segundo grado. Están pensadas para estudiantes de 1o _{de Bachillerato, por lo que no aparecen “‘derivadas e integrales”.}

1. Introducci´

on

Las curvas c´onicas son de los objetos m´as fascinantes de la Geometr´ıa Fueron estudiadas desde tiempos de los antiguos Griegos: se atribuye uno de los primeros estudios sobre ellas a Apolonio de Perga (262-190 a.C.).

Una manera muy general de definirlas (y a la que deben el nombre) es que son las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano. Son por tanto (sin contar otros casos especiales que llamamos degenerados) 4:

Circunferencia

Elipse

Par´abola.

Hip´erbola

Además, al realizar un estudio anal´ıtico (usando coordenadas) de las mismas, nos encontramos con que todas ellas están descritas por una ecuación polinómica de segundo grado enforma general, esto es, del tipo:

ax2+by2+cxy+dx+ey+f = 0

Y viceversa: toda ecuación polinómica de grado 2 en las variables x e y se corresponde con una cónica (quizás de las degeneradas, eso s´ı).

Además de lo anterior, parte de su encanto se sigue de que tienen una definición muy sencilla como lugar geométrico

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2. La Circunferencia

Definici´

on como Lugar Geom´

etrico

Sea C un punto del plano yr un número real positivo, la circunferencia de centroC y radio r es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a distanciar deC.

Ecuaciones

De la definición anterior podemos concluir que los puntos (x, y) del plano que están en la circunferencia de centroC= (a, b) y radiorson los que cumplen la ecuación:

p

(x−a)2_{+ (}_y₋_b₎2₌_r

o equivalentemente:

(x−a)2+ (y−b)2=r2 (Ec. Can´onica)

Desarrollando los paréntesis y pasandor2al otro miembro, podemos hallar una ecuación en forma general, que será siempre del tipo:

Ax2+By2+Cx+Dy+E= 0

Si tenemos la ecuación de una circunferencia en forma general, es conveniente pasarla a forma canónica para identificar el centro y el radio. Para hacer esto secompletan cuadradosen la ecuación general.

Algunas Propiedades

Dados tres puntos no alineadosA,ByCen el plano, existe una ´unica circunferencia que pasa por ellos (la circunferencia queda determinada por 3 puntos no alineados). Demostrar esta propiedad es uno de los ejercicios interesantes. Es tambi´en importante conocer las posibles posiciones relativas de dos circunferencias y de una circunferencia y una recta.

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3. La Elipse

Definici´

on como Lugar Geom´

etrico

SeanF1yF2dos puntos del plano y kun n´umero positivo, laelipsede focosF1yF2y distanciakes el lugar geom´etrico de los puntos del plano cuya suma de distancias aF1 y F2 es igual a k.

Un caso particular es aquel en el queF1=F2en el que la curva obtenida es entonces una circunferencia:la circunferencia

es un tipo particular de elipse.

Elementos de la Elipse

Antes de tratar las ecuaciones de la elipse, hablaremos de suselementos: los elementos de una c´onica, son puntos, rectas o distancias notables de la misma. En el caso de la elipse tenemos:

rectas o segmentos: dos ejes de simetr´ıa: eleje mayory eleje menor (si los dos ejes fueran iguales, tendr´ıamos una circunferencia, no una elipse).

puntos: los dosfocos(contenidos en el eje mayor) y losv´ertices(los puntos de la elipse donde esta corta a los ejes de simetr´ıa) y elcentro(el punto donde se cortan los ejes de simetr´ıa).

y distancias: laconstante de la elipsek, ladistancia focal(distancia entre los focos) que se suele denotar por 2c,

longitud del semieje mayor(segmento del centro a uno de los v´ertices del eje mayor), que se suele denotar poray

longitud del semieje menor(distancia del centro a uno de los v´ertices del eje menor), que se suele denotar porb.

Nótese que las distancias anteriores están ligadas por las fórmulas:

( _k 2

2

=b2+c2 k= 2a

Por otro lado, un valor de inter´es para el estudio de la elipse es laexcentricidad, que es unamedida del achatamiento

de la misma. Se define como:

e= c

a

Nótese en primer lugar que 0 < e < 1: una circunferencia tiene excentricidad 0 y por otro lado cuánto mas achatada sea nuestra elipse, mayor será el valor dee(siempre sin superar 1, ya quea > c).

Ecuaciones

Usándo las dos ecuaciones anteriores y la definición de la elipse como lugar geométrico, podemos fácilmente obtener la ecuación de cualquier elipse cuyo eje mayor sea paralelo al ejeOX y cuyo eje menor sea paralelo al ejeOY:

(x−x0)2

a2 +

(y−y0)2

b2 = 1 (Ec. Can´onica Elipse “Horizontal”)

dondea > b son los correspondientes valores de las longitudes de los semiejes mayor y menor respectivamente y (x0, y0) son las coordenadas del centro.

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4. La Hip´

erbola

Definici´

on como Lugar Geom´

etrico

SeanF1 yF2 dos puntos del plano ykun n´umero positivo, laelipsede focosF1 yF2 y distanciak es el lugar geom´etrico

de los puntos del plano cuya diferencia de distancias aF1 y F2 es igual ak.

A diferencia de la circunferencia y la elipse, la hipérbola no es una curva acotada: hay puntos tan lejanos a los focos como se quiera. La hipérbola tiene dosramas(dos componentes que no se conectan entre s´ı) y que, a medida que se alejan del centro, se aproximan cada vez más a dos rectas (as´ıntotas).

Elementos de la Hip´

erbola

Rectas o Segmentos: la elipse presenta dosejes de simetr´ıa, uno que pasa por los dos focos y otro perpendicular a ´el. Presenta tambi´en dosas´ıntotas(que se cortan en el centro).

Puntos: los dos focos, los v´ertices (los puntos de la hip´erbola que se encuentran donde esta corta a los ejes) y el

centro(el punto donde se cortan los ejes de simetr´ıa).

y Distancias: la constante de la hip´erbolak, ladistancia focal2c(siendo entonces c la distancia de cada foco al centro) y ladistancia entre los v´ertices2a(siendoala distancia de cada foco al centro).

Nótese que las distancias anteriores están ligadas por la siguiente fórmula:

2a=k

De nuevo, un valor de inter´es para el estudio de la hip´erbola es la excentricidad:

e= c

a

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Ecuaciones

Usando la definición como lugar geométrico, podemos hallar la ecuación de una hipérbola tal que el eje que pasa por los focos es paralelo al ejeOX y su otro eje paralelo a OY y de centro (x0, y0):

(x−x0)2

a2 −

(y−y0)2

b2 = 1 (Ec. Can´onica Hip´erbola “Horizontal”)

Para cualquier elipse (horizontal o no) se defineb como la soluci´on positiva de la f´ormulaa2₊_b2₌_c2 _{(¡Cuidado! ¡se}

parece pero no es como en la elipse!). A estab a veces se le llama, por analog´ıa a la elipse,eje menor, aunque esta vez no es un eje ni es nada. A aquellas hip´erbolas en las quea=b, se llamanequil´ateras.

La ecuación de una hipérbola con el eje que pasa por los focos paralelo al eje OY y su otro eje paralelo al eje OX se obtendrá por tanto, simplemente cambiando laay laby el signo en la ecuación anterior:

(y−y0)2

a2 −

(x−x0)2

b2 = 1 (Ec. Can´onica Hip´erbola “Vertical”)

Una hip´erbola muy importante, que no es ni horizontal ni vertical es la hip´erbola de proporcionalidad inversa:

y= k

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5. La par´

abola

Definici´

on como Lugar Geom´

etrico

Sea una recta d, que llamaremosdirectrizy un punto F que llamaremosfoco, la par´abola es el lugar geom´etrico de los puntos que equidistan de la directriz y el foco.

Elementos de la Par´

abola

Rectas o Segmentos: la par´abola tiene unadirectrizy un ´unico eje de simetr´ıa(perpendicular a la directriz y que pasa por el foco).

Puntos: el focoy elv´erticepunto de corte del eje de simetr´ıa con la par´abola.

y Distancias: laconstante de la par´abolak, la distancia del foco a la rectap(siendop/2 la distancia del foco o de la recta al v´ertice).

Ecuaciones

De la definición, se puede obtener la ecuación de una parábola cuya directriz es paralela al eje OY y su vértice esté en (x0, y0):

(y−y0)2= 2p(x−x0) (Ec. Can´onica Par´abola “Horizontal”)

o la de una ecuaci´on cuya directriz sea paralela aOX:

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6. ¿A qu´

e c´

onica corresponde esta ecuaci´

on?

Como dijimos en la introducci´on, cualquier ecuaci´on de segundo grado, del tipo:

P(x, y) = 0

donde P(x, y) es un polinomio de segundo grado, corresponde a una cónica. Pero es en general complicado saber a cual. Démonos cuenta de que, para empezar, ni si quiera hemos estudiado las ecuaciones de una elipse, hipérbola o parábola cuyos ejes no estén en posiciones muy especiales.

Por tanto, si nos dan una ecuación de segundo grado en forma general, y nos aseguran que se corresponde con alguna de las cónicas cuya ecuación s´ı conocemos, lo único que podemos hacer es:

Primero fijarnos si tenemos una hip´erbola de proporcionalidad inversa.

Si no estamos en el caso anterior, nos fijamos en el exponente de las variables. Si alguna de ellas, no aparece elevada al cuadrado, se trata de una par´abola (horizontal o vertical).

Si no estamos en el caso anterior, nos fijamos en el signo de los t´erminos conx2_e_y2_{: si son diferentes, se trata de una}

hip´erbola (horizontal o vertical).

Si no estamos en el caso anterior, nos fijamos en los coeficientes de dichos t´erminos: si son iguales, se trata de una circunferencia y en caso contrario, de una elipse (horizontal o vertical).