TASA EFECTIVA DE INTERÉS O TASA DE INTERÉS

(1)

1

INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

Supongamos que alguien que dispone de un cierto capital de

C

_{unidades monetarias (}

C

_{puede estar expresado en pesos uruguayos,} dólares, euros, etc) lo presta a otro por un cierto intervalo de tiempo. Al finalizar ese período, este recibe como consecuencia de dicho préstamo su capital

C

_{más una remuneración de}

I

_{unidades monetarias. Esta remuneración}

I

_{es llamada interés.}

El interés es la ganancia o beneficio que recibe una de las partes por haber dado en préstamo a la otra una determinada suma de dinero durante un cierto tiempo.

Si

C

_e

I

_{están expresadas en las mismas unidades monetarias, la suma}

C

+

I

_{se llama monto y se representa con la letra}

M

_. Es decir,

M

=

C

+

I

_.

El capital

C

es un valor al momento cero, es decir, hoy, por tal motivo es también llamado valor presente. El monto es un valor futuro, es decir, luego de transcurrido un determinado intervalo de tiempo. La diferencia entre el monto y el capital es lo que llamamos interés en dicho período.

Por ejemplo, si hoy depositamos en un banco

$15.000

y al cabo de un mes tenemos

$15.750

, entonces el capital o valor presente es

$15.000

, el monto al mes es

$15.750

y el interés es

$750

.

Es sencillo verificar que el monto es

5%

más que el capital inicial. Por cada

$1

que deposité en el banco, generé un interés de

$0,05

.

Este hecho, se expresa diciendo que la tasa efectiva de interés en ese mes fue del

5% .

TASA EFECTIVA DE INTERÉS O TASA DE INTERÉS

La tasa efectiva de interés o simplemente, tasa de interés se define como el interés generado por una unidad monetaria en un período.

Es decir, si

r

_{es la tasa efectiva de interés, entonces}

C

I

r

=

_.

r

_{siempre está referida al intervalo de tiempo que dura la operación.}

Lo habitual es expresar la tasa de interés en porcentaje, para ello bastará multiplicar

r

_por

100

_.

Por ejemplo: Supongamos que se invierte en un banco un capital de

1000

dólares y pasado un año el monto es de

1120

dólares, es decir el interés generado por dicho capital es de

120

dólares y por lo tanto la tasa de interés es 1201000=0,12 anual , que expresada

en porcentaje es del

12

% anual. La tasa de interés es el interés generado por una unidad monetaria (en este caso un dólar) en una unidad de tiempo (en este caso un año).

Ejercicio 1

Una persona pidió un préstamo de

100

dólares y luego de tres meses pagó por dicho préstamo

132

dólares. Calcular la tasa de interés del trimestre.

Observación

Es importante tener en cuenta que el valor de un capital depende de la época al cual está referido. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, cantidades diferentes como

100

dólares y

132

dólares, referidas a épocas diferentes, tienen el mismo valor.

(2)

2 INTERÉS SIMPLE

Un capital se dice que está colocado a interés simple cuando lo único que genera interés durante una unidad de tiempo es dicho capital. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica pagada no es reinvertida, por cuanto, el interés es siempre calculado sobre el capital inicial.

En régimen de interés simple, la tasa de interés incide únicamente sobre el capital inicial.

EJEMPLO

Supongamos que se coloca un capital de

130 .

000

pesos a interés simple durante dos años al

7

% semestral. Calculemos el monto al final de esos dos años.

El interés generado por esos

130 .

000

al

7

% semestral es: I =130000⋅0,07=9100_pesos.

Dado que cada semestre se genera un interés de

9100

pesos, el monto al final de los dos años es:

166400

9100

4 130000

9100

130000

+

=

+

⋅

=

M

_pesos.

Ejercicio 2 Calcular:

1) el interés simple que producen $

40 .

000

que se colocan durante

3

meses al

2

% mensual.

2) el interés simple que produce un capital de $

40 .

000

que se colocan durante

6

meses al

2

% trimestral.

3) el monto que produce un capital de $

250 .

000

colocado a interés simple durante un año y medio al

12

% semestral. 4) el monto que produce un capital de $

14 .

000

colocado a interés simple durante un año y dos meses al

8

% bimestral. 5) el monto y el interés simple que genera un capital de

$200.000

durante cuatro meses al

50%

anual.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL MONTO A INTERÉS SIMPLE

Supongamos que un capital de

C

_{unidades monetarias es colocado a interés simple a una tasa efectiva}r durante

n

períodos

(pueden ser

n

_{meses ,}

n

_{años ,}

n

_{semestres , etc) y}

n

_yr están expresados en una misma unidad de tiempo, es decir si la tasa

es bimestral, los períodos son bimestres, si la tasa es semestral, los periodos son semestres, etc.

Buscamos calcular el monto

M

n generado por el capital

C

finalizados esos

n

períodos.

Si

I

₁_{es el interés generado por}

C

_{durante la primera unidad de tiempo, entonces}

I

=

C

⋅

r

1 , por lo tanto el monto

M

1 generado en esta etapa es

M

₁

=

C

+

I

₁

=

C

+

C

⋅

r

=

C

⋅

(

1 +

r

)

Si

I

₂_{es el interés generado por}

C

durante la segunda unidad de tiempo, entonces

I

=

C

⋅

r

M

2 generado en estas dos unidades de tiempo es:

M

₂

=

C

+

I

₁

+

I

₂

=

C

+

C

⋅

r

+

C

⋅

r

=

C

+

2 C

⋅

r

=

C

⋅

(

1 +

2 r

)

Razonando de la misma forma, llegamos a que si

I

n es el interés generado por

C

durante la

n

- ésima unidad de tiempo, entonces

r

C

I

_n

=

⋅

y por lo tanto el monto

M

n generado en estas

n

unidades de tiempo es:

)

1 (

...

2

1

I

C

r

C

r

C

r

C

r

n

C

n

r

I

C

M

_n

=

+

_n

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

+

⋅

Resumiendo lo anterior tenemos que: M =C⋅(1+n⋅r)

Además, si llamamos

I

al interés simple generado por el capital

C

al final de los

n

períodos, dado que

I

=

M

−

C

tenemos que

r

n

C

r

n

C

r

n

C

M

I

=

−

=

⋅

(

1 +

⋅

)

−

=

+

⋅

−

=

⋅

_{por lo tanto:}

I

=

C

⋅

n

⋅

r

OBSERVACIONES

1) El interés simple depende del capital, del tiempo que dura la transacción realizada y de la tasa de interés al cual fue sometido dicho capital y es directamente proporcional a cada uno de ellos.

2) Si bien el razonamiento que permitió deducir las fórmulas para el monto e interés simple fue realizado considerando

n

_como

un número natural, las fórmulas anteriormente recuadradas son válidas también cuando

n

_{es un número real positivo.}

(3)

3

Ejercicio 3

a) Calcular el monto que produce un capital de

1500

dólares durante

15

años colocado a interés simple al

9

% anual. b) Hallar el interés y el monto que produce un capital de $

10 .

000

a interés simple al

17

% anual durante seis meses. c) Hallar el interés y el monto que produce un capital de $

10 .

000

a interés simple al

9

% trimestral durante diez meses.

Con frecuencia en la práctica financiera se considera el año con

360

_{días (llamado}año comercial), debido aque este número tiene más divisores que

365

_{y facilita los cálculos cuando se consideran fracciones del año. De esta manera, un semestre tiene}

180

_días, un cuatrimestre tiene

120

días, un trimestre

90

días y un mes

30

días.

Ejercicio 4

a) Calcular el capital que colocado a interés simple produce

36

dólares de interés al

12

% anual durante cuatro meses.

b) Calcular cuánto tiempo debe ser colocado un capital de

3 .

000

pesos a interés simple, al

40

% anual para generar un interés de

1200

pesos.

c) Una empresa A presta a otra B un capital de

20 .

000

dólares a régimen de interés simple. Al cabo de cuatro meses la empresa B debe a la empresa A

21 .

880

dólares. Calcular la tasa de interés mensual aplicada en el préstamo.

d) Se coloca cierta suma de dinero a interés simple al

7%

semestral y al cabo de dos meses y diez días se retira el total de dinero que asciende a

$18.490

. Calcular el dinero colocado.

Ejercicio 5

Determinar el tiempo necesario para triplicar un capital colocado a interés simple del 1,25% mensual.

Ejercicio 6

Dos capitales que suman U$

9400

son colocados a régimen de interés simple. El primero de ellos se coloca al

57

% anual durante

18

meses y el segundo por

9

meses a la misma tasa de interés. ¿Cuáles son esos capitales si la suma de los intereses que ambos producen es U$

5836

,

75

?

Ejercicio 7

Cierta suma de dinero produce U$

2280

de interés simple en un año y tres meses. Otro capital, menor que el anterior en U$

250

, colocado a interés simple produce U$

3834

de interés en dos años y tres meses. Siendo la tasa de interés igual en ambas

colocaciones, calcular su valor.

INTERÉS COMPUESTO

Supongamos que Ana, coloca en un banco

100

dólares y por dicha colocación se le paga un interés del

10

% mensual. Al mes el monto de Ana es de

110

dólares. Si Ana decide mantener estos

110

dólares por otro mes más al

10

% mensual, al cabo de dicho meses el monto de Ana será de

121

dólares, ya que los intereses generados en este segundo mes son

11

dólares.

En este caso el interés generado en un mes se suma al capital original y se calcula el interés generado por dicha suma. Estos intereses así calculados se llaman intereses compuestos y son los utilizados en actividades bancarias.

En régimen de interés compuesto, los intereses en cada período son calculados sobre el capital al inicio del período.

Los intereses que se van generando en cada período pasan a formar parte del capital que genera interés, a este proceso se le conoce como capitalización de intereses. Es decir, la capitalización es un proceso financiero por el cual se modifica una cierta suma de dinero debido a la acción del tiempo y de la tasa de interés.

Ejercicio 8

(4)

4

OBSERVACIÓN

En régimen de interés compuesto un capital colocado al

10

% mensual no genera el mismo interés que

20

% bimensual, es decir el

10

% mensual no es equivalente al

20

% bimensual, sino que es equivalente al

21

% bimensual.

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DEL MONTO A INTERÉS COMPUESTO

Supongamos que un capital de

C

_{unidades monetarias es colocado a interés compuesto a una tasa efectiva de interés}r_durante

n

períodos (

n

_yr en la misma unidad de tiempo).

Buscamos calcular el monto

M

n generado por el capital

C

finalizados esos

n

períodos.

Si

I

₁_{es el interés generado por}

C

_{durante la primera unidad de tiempo, entonces}

I

=

C

⋅

r

M

1 generado en esta etapa es

M

₁

=

C

+

I

₁

=

C

+

C

⋅

r

=

C

⋅

(

1 +

r

)

Lo que genera interés en la segunda unidad de tiempo es el capital al comienzo de la unidad, es decir lo que genera interés es

M

₁_. Si

I

₂_{es el interés generado en la segunda unidad de tiempo, entonces}

I

=

M

⋅

r

1

M

2 finalizada estas dos unidades de tiempo es:

M

₂

=

M

₁

+

I

₂

=

C

⋅

(

1 +

r

)

+

C

⋅

(

1 +

r

)

⋅

r

=

C

⋅

(

1 +

r

)

2

Aplicando el mismo razonamiento, el interés en la tercera unidad de tiempo es

I

₃

=

M

₂

⋅

r

y por tanto el monto en este período es 3

2 2

3 2

3

M

I

C

(

1 r

)

C

(

1 r

)

r

C

(

1 r

)

M

=

+

=

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

+

Generalizando lo anterior, llegamos a que si

I

n es el interés generado por

C

finalizada la

n

- ésima unidad de tiempo, entonces

r

M

I

_n

=

_n₋₁

⋅

y por lo tanto el monto

M

n generado al final de

n

unidades de tiempo es:

n n

C

r

M

=

⋅

(

1 +

)

(Fórmula sencilla de demostrar por inducción completa sobre

n

₎

Resumiendo, decimos que el monto

M

n que produce un capital

C

colocado a interés compuesto a una tasa de interés r , durante

n

_{unidades de tiempo se calcula como:} n

n

C

r

M

=

⋅

(

1 +

)

.

En esta fórmula el tiempo y la tasa de interés deben estar expresados en unidades iguales al período de capitalización, es decir si la capitalización es semestral, tanto el tiempo como la tasa de interés deben ser semestrales.

EJEMPLO

Calculemos el monto que genera un capital de 10.000 pesos colocado durante

3

años al 6% anual a interés compuesto con capitalizaciones semestrales.

Dado que las capitalizaciones son semestrales, transformamos el tiempo y la tasa en semestres y tenemos que:

La tasa efectiva de interés es:

0 ,

03

2

06 ,

0 =

=

r

_semestral.

El tiempo que está colocado el capital es:

n

=

6

_semestres. Por lo tanto:

=

10 .

000 ⋅

(

1 +

0 ,

03 )

6

≅

11 .

940 ,

5 M

Concluimos entonces, que el monto generado por dicho capital es de

11 .

940 ,

5

pesos.

Ejercicio 9

Se le propone a una persona entregarle hoy 100.000 pesos o

140 .

000

pesos dentro de seis años.

Si hoy se coloca en un banco una determinada cantidad de dinero, este ofrece un interés compuesto del 0,5% efectivo mensual. ¿Qué será lo más conveniente, recibir hoy 100.000 pesos o

140 .

000

pesos dentro de seis años?

OBSERVACIÓN

Como ya aclaramos, desde el punto de vista financiero, el valor de un determinado capital depende de la época al cual está referido,

000 .

(5)

5

Ejercicio 10

a) Una persona deposita

1500

dólares a interés compuesto al

12

% mensual. Calcular el monto a los tres meses.

b) Se invierte un capital a interés compuesto al

8

% mensual. Pasados seis meses el monto producido por dicho capital es de

1480

dólares. Calcular el capital invertido.

Ejercicio 11 (COMPARACIÓN ENTRE MONTOS A INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO) Se coloca un capital

C

_{en una entidad financiera durante}

n

_{unidades de tiempo a una tasa efectiva de interés}

r

_.

Teniendo la posibilidad de hacer la colocación a interés simple o a interés compuesto, decidir cuál es la opción más conveniente en cada uno de los siguientes casos:

1)

n

=

0

2)

n

=

1

3) la tasa efectiva de interés es del

40%

anual y el capital permanece colocado un semestre. 4) la tasa efectiva de interés es del

40%

anual y el capital permanece colocado un trimestre. 5) la tasa efectiva de interés es del

40%

anual y el capital permanece colocado dos año. 6) la tasa efectiva de interés es del

40%

anual y el capital permanece colocado tres años.

Con los datos anteriores, en un mismo sistema cartesiano, bosquejar el gráfico de las funciones

M

S (monto a interés simple)y

C

M

_{(monto a interés compuesto) definidas por:}

( )

(1 0, 4 )

S

M

n

=

C

+

n

y

M

_C

( )

n

=

C

(1 0, 4)

+

n _{para un valor de}

C

cualquiera.

OBSERVACIÓN

En general, si

C

_{es un capital que se coloca durante}

n

_{unidades de tiempo a una tasa efectiva de interés}

r

_{, expresada en la misma} unidad que

n

,

_y

S

M

y

M

C son respectivamente el monto a interés simple y el monto a interés compuesto generado por el capital

C

_{, entonces:} 1) Para

n

=

0

_,

S C

M

=

M

_. 2) Para

0 < <

n

1

_,

S C

M

>

M

. 3) Para

n

=

1

_,

S C

M

=

M

_. 4) Para

n

>

1

_,

S C

M

<

M

.

Ejercicio 12

Suponiendo que le han ofrecido la oportunidad de invertir $

1000

al

7

% anual de interés simple durante

3

años, o los mismos $

1000

al

6

% anual de interés compuesto durante el mismo tiempo. ¿Qué inversión le es más conveniente económicamente?

OBSERVACIÓN

El interés simple, es en general utilizado en transacciones entre particulares, en el cálculo de intereses de bonos y en el interés para el pago de obligaciones que surgen de un proceso judicial. Sin embargo, el interés compuesto es utilizado por instituciones financieras y bancos para depósitos y préstamos. Por tal motivo, en cada uno de los siguientes ejercicios en donde intervengan este tipo de

entidades, se realizarán los cálculos utilizando interés compuesto.

OBSERVACIÓN

La fórmula n

n

C

r

M

=

⋅

(

1 +

)

_{viene a decir que un capital}

C

_{, colocado a interés compuesto a una tasa efectiva de interés}

r

_{, se}

transforma después de

n

_{períodos en} n

r

C

⋅

(

1 +

)

_{, es decir un capital cuyo valor actual es}

C

_{, equivale a futuro, después de}

n

períodos al capital n

r

C

⋅

(

1 +

)

. Podemos decir entonces que:

1) para obtener el valor a futuro de un capital

C

_{, basta multiplicar}

C

_por

(

1 +

r

)

n 2) para obtener el valor actual de un capital, basta dividir el valor futuro por n

(6)

6

Ejercicio 13

Una tienda de ropa ofrece las siguientes opciones de pago al adquirir una prenda cuyo valor es de

100

dólares: 1)

30

% de descuento del precio de vidriera por pago al contado o

2) a crédito, en dos pagos mensuales e iguales, sin descuento, pagando la primera cuota en el momento de adquirir la prenda y la segunda al mes siguiente.

Calcular la tasa de interés mensual que cobra la tienda al comprar a crédito.

Ejercicio 14

Una tienda ofrece las siguientes opciones de pago para adquirir una prenda que cuesta

90

dólares. 1)

30

% de descuento del precio de vidriera por pago al contado o

2) a crédito, en tres pagos mensuales e iguales, sin descuento, pagando la primera cuota en el momento de adquirir la prenda y las otras en los meses siguientes.

Calcular la tasa de interés mensual que cobra la tienda al comprar a crédito.

Ejercicio 15

Pedro tomó en una financiera un préstamo de

300

dólares con intereses del

15 %

mensual. Dos meses después Pedro pagó

150

dólares y un mes después de ese pago Pedro liquidó el saldo con la financiera. ¿Cuál es el valor del último pago que hizo Pedro?

TASAS DE INTERÉS

TASAS EQUIVALENTES

Dos tasas de interés (ambas de interés simple o de interés compuesto) expresadas en distintas unidades de tiempo, son equivalentes cuando aplicadas a un mismo capital inicial durante iguales cantidades de tiempo producen el mismo interés o monto.

Es incorrecto afirmar que una tasa del

10

% mensual, es equivalente al

20

% bimestral, o a

30

% trimestral, bajo régimen de interés compuesto. Esto se puede ver en la siguiente tabla que muestra la evolución de un capital de $

100

colocado al

10

% mensual.

Mes 0 1 2 3 Capital 100 110 121 133,1

Observar que la tasa del

10

% mensual, equivale a

21

% bimestral, o a 33,1% trimestral.

Si la tasa de interés relativa a un determinado período de tiempo es igual a r_{, entonces la tasa}

R

_{equivalente a}

n

_{períodos de}

tiempo es tal que

=

(

1 +

)

n

−

1 r

R

Esto se debe a que si tenemos un capital

C

_{colocado a interés compuesto a una tasa}r , después de

n

períodos de tiempo se

transforma en n

r

C

⋅

(

1 +

)

. Usando la tasa

R

_{, el capital}

C

_{se transforma en}C⋅(1+R).

Dado que las tasas r y

R

_{son equivalentes, al final de los}

n

_{períodos debemos tener montos iguales, es decir, se debe verificar:}

)

1 (

)

1 (

r

C

R

C

⋅

+

n

=

⋅

+

_{, de donde}

R

=

(

1 +

r

)

n

−

1

Ejercicio 16

1) Hallar la tasa anual de interés equivalente al

12

% mensual.

2) Hallar las tasas mensual, bimensual y semestral de interés equivalente a

40

% anual.

Ejercicio 17

El 1/2/2018 se abrió una cuenta en un banco y se depositó

$20.000

a interés compuesto al

40%

efectivo anual. a) Usando la tasa efectiva anual, calcular la cantidad de dinero que se tiene en la cuenta en las siguientes fechas: 1) 1/4/2018 2) 1/8/2018 3) 1/2/2019

(7)

7

Ejercicio 18

a) Si usted solicita prestado $

1500

hoy y debe pagar $

1800

_{dentro de}

2

_{años. ¿Cuál es la tasa efectiva anual de interés de su} crédito?

b) Se invierten a interés compuesto

450

dólares en una empresa y pasados tres meses se retiran

600

dólares. Calcular la tasa efectiva mensual de interés aplicada a la inversión.

Ejercicio 19

a) Calcular el tiempo que un capital de $

1400

_{genera un monto de $}

4490

a una tasa del

6

% efectivo mensual.

b) Calcular cuánto tarda en duplicarse un capital colocado a interés del

8

% efectivo mensual (considerar interés simple y luego interés compuesto).

c) Calcular cuántos meses debe permanecer depositado un capital de

$120.000

al

20%

efectivo anual de interés compuesto para obtener un importe de

$135.509

Ejercicio 20

Luis solicitó en un banco un préstamo de U$S

10 .

000

que canceló a los cinco meses, devolviendo U$S 10.510,1

Sabiendo que las capitalizaciones son mensuales, calcular la tasa efectiva anual aplicada por el banco a Luis.

TASAS PROPORCIONALES, TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

Un error bastante común es afirmar, por ejemplo, que

20

% mensual equivale a

60

% trimestral. Tasas del

20

% mensual y

60

% trimestral son llamadas tasas proporcionales. Dos tasas son proporcionales, cuando el cociente entre ellas es igual al cociente de los

períodos a las cuales ellas se refieren. En este ejemplo,

20

% mensual y

60

% trimestral son tasas proporcionales ya que

20

1

60 =

3

Es importante tener en cuenta que tasas proporcionales no son tasas equivalentes.

Es costumbre en el ámbito de la matemática financiera anunciar tasas proporcionales como si fueran equivalentes.

Una expresión como: “

24

% anual, con capitalizaciones mensuales” significa que la tasa usada en la operación no es la tasa del

24

% anual anunciada, sino una tasa mensual que le es proporcional. Por lo tanto la expresión “

24

% anual, con capitalizaciones mensuales” debe leerse “

2

% mensual”. Asimismo la expresión “

24

% anual, con capitalizaciones trimestrales” debe leerse “

6

% en un trimestre” y “

1

% mensual, con capitalizaciones trimestrales” significa

3

% en un trimestre.

Si una persona invierte su dinero a interés del

24

% anual con capitalizaciones mensuales, significa que está invirtiendo a una tasa del

2

% mensual. Pero la tasa anual equivalente

R

_{cumple que:}

1 +

R

=

(

1 +

0 ,

02 )

12_{. De ahí que}

R

_{es aproximadamente}₀_,₂₆₈_{, lo} que equivale a un 26,8% efectivo anual.

Esta falsa tasa del

24

% anual se llama tasa nominal, la verdadera tasa de 26,8% anual es la tasa efectiva anual.

La tasa nominal a interés compuesto está definida en un cierto período y tiene determinada cantidad de capitalizaciones en tal período.

EJEMPLO

Supongamos que un capital

C

_{se coloca a interés compuesto al}

6 %

_{anual durante ocho años con capitalizaciones semestrales.} Esta tasa del

6 %

anual es la tasa nominal anual, la tasa efectiva anual de interés es del

6 .

09 %

, la que se obtiene de despejar

R

_{de la igualdad}

₁

+

_R

=

₍

₁

+

₀

_,

₀₃

₎

2

y luego pasar a porcentaje.

Ejercicio 21

a) En régimen de interés compuesto, hallar en cada caso la tasa efectiva anual equivalente a : 1)

30

% nominal anual con capitalizaciones mensuales.

2)

30 %

nominal anual con capitalizaciones trimestrales. 3)

5%

_{efectivo mensual.}

4)

12 %

efectivo semestral.

b) En régimen de interés compuesto, hallar la tasa efectiva mensual equivalente a: 1)

1%

efectivo quincenal.

(8)

8

Ejercicio 22

a) Calcular el monto que produce un capital de U$S

1520

colocado durante tres años al 4,5% nominal anual con capitalización semestral. Calcular la tasa efectiva anual aplicada al capital colocado.

b) Calcular el monto que produce un capital de U$S

4000

colocado durante cuatro años y tres meses al 2,5%nominal anual con capitalización trimestral.

Ejercicio 23

El 1/02/16 el señor Armando Casas solicitó un préstamo en un banco por U$S

5000

. El banco le aplica las siguientes tasas de interés:

durante el año 2016: 12,06% nominal anual capitalizable bimestralmente. durante el año 2017: 24,4832% nominal anual capitalizable trimestralmente.

Calcular el monto que debió abonar Armando Casas al banco por el préstamo cuyo vencimiento era el 1/10/17.

Ejercicio 24

El 31/1/16 la Sra. P. Lada solicitó un préstamo en un banco de plaza por $

50 .

000

, a pagarse de la siguiente manera: $

10 .

000

al 31/12/16 y el saldo al 30/6/17.

El banco le cobra una tasa del 12,682503% efectivo anual durante el año 2016 y una tasa del

12

% nominal semestral capitalizable mensualmente durante el año 2017. Hallar cuánto debió abonar la Sra. P. Lada el 30/6/17.

EJERCICIOS COMBINADOS

Ejercicio 25

a) Calcular la tasa efectiva de interés anual equivalente a cada una de las siguientes tasas: 1) tasa de interés anual nominal del

30

% capitalizable cuatrimestralmente.

2) tasa de interés anual nominal del

30

% capitalizable mensualmente. 3) tasa de interés anual nominal del

30

% capitalizable bimestralmente.

b) ¿Cuál es, de las tres opciones planteadas en a) , la opción más conveniente para una persona que coloca su dinero en un banco que le presenta las tres opciones?

Ejercicio 26

Suponga que usted necesita solicitar un préstamo en pesos uruguayos que podrá devolver dentro de un año y se le presentan las siguientes alternativas respecto a la tasa de interés que le aplicarán:

1)

48

% nominal anual capitalizable semestralmente. 2)

48

% nominal anual capitalizable trimestralmente. 3)

24

% nominal semestral capitalizable mensualmente. 4)

9

% nominal trimestral capitalizable mensualmente. 5)

20

% nominal cuatrimestral capitalizable bimestralmente. 6)

18

% efectivo cuatrimestral.

Elija la alternativa más conveniente.

Ejercicio 27

Un capital de

40 .

000

pesos colocado por dos años a interés compuesto, capitalizando semestralmente, origina un interés de

616 .

47

_{pesos. Calcular la tasa efectiva anual de la colocación.}

Ejercicio 28

Pedro tiene tres opciones para el pago de una cocina cuyo precio es de

300

dólares. Opción 1: Al pagar al contado le realizan un

3

% de descuento.

(9)

9

Ejercicio 29

Una persona obtiene un préstamo de

$10.000

el 28/2/16 el cual cancelará en tres cuotas de la siguiente forma:

La primera cuota de

$ 2.000

se abona el 31/3/16, la segunda cuota de

$ 3.000

se abona el 30/4/16 y el saldo se paga el 31/5/17. Sabiendo que la tasa de interés aplicada al préstamo es del

24%

nominal semestral con capitalizaciones mensuales, se pide: 1) Calcular el valor de la tercera cuota.

2) Si en lugar de pagar la tercera cuota el 31/5/17 se paga el 31/7/17, determinar cuál sería el valor de la cuota.

RESPUESTAS

Ejercicio2 1) $

2 .

400

2) $

1 .

600

_{3) $}

340 .

000

4) $

21 .

840

5)

$33.333,3

Ejercicio 3 a)

3525

dólares b) M =10000(1+0,5⋅0,17)=10850

I

=

850

c)

13 .

000

pesos. Ejercicio 4 a)

900

dólares b)

1

año c) 2,35% d)

$18.000

Ejercicio 5

160

_{meses Ejercicio 6 Los capitales son de}

5146

,

78

y de

4253

,

22

dólares.

Ejercicio 7

4 %

mensual. Ejercicio 8 $

14641

. Ejercicio 9 Conviene recibir hoy 100.000 pesos y colocarlo en dicho banco, ya que pasados los seis meses se tendrá un capital de

100 .

000 (

1 +

0 ,

005 )

72

≅

143 .

204 ,

43

pesos. Ejercicio 10 a)

_M

₌

1500

(

1 ₊

0 ,

12 )

3

₌

2107

,

392

dólares b)

1480

₌

_C

(

1 ,

08 )

6

_

_C

₌

932 ,

65

Ejercicio 12 La del interés simple. Ejercicio 13 Igualando los valores en la época cero, tenemos

r

+

=

1

50

70

_{de donde}

5 , 1

=

r _{, es decir la tasa es del}

150

_{por ciento mensual. Ejercicio 14 Fijando el valor del bien en}

90

_{pesos e igualando los valores}

en la época cero tenemos ₂

)

1 (

30

1

30

63 r

r

+

=

_{de donde}r=0,5108_{, es decir la tasa es aproximadamente del}

51

_por

ciento. Ejercicio 15



+

=

₍

₁

₀

_,

₁₅

₎

2

₍

₁

₀

_,

₁₅

₎

3

150

300 P

P

≅

273 ,

86

_dólares

Ejercicio 16 1)

_R

=

(

1 +

0 ,

12 )

12

−

1 ≅

2 ,

90

por lo tanto la tasa anual es del

290

% 2)

0 ,

40 =

(

1 +

_r

)

12

−

1 _

_r

≅

0 ,

0284

Es decir que la tasa es aproximadamente 2,84% Ejercicio 17 a) 1)

$21.153, 62

2)

$23.664,32

3)

$28.000

b) Aproximadamente 2,84% Ejercicio 18 a)

9 ,

5 %

anual a)

600 ₌

450 (

1 ₊

_r

)

3

_

_r

₌

0 ,

1006

Ejercicio 19 a)

20

06 ,

1 log

)

1400

/

4490

log(

4490

)

06 ,

0

1 (

1400

+

n

=



n

=

≅

En aproximadamente 20 meses.

b)

9

08 ,

1 log

2 log

2 )

08 ,

0

1 (

+

=

C



n

=

≅

C

n

En aproximadamente 9 meses a interés compuesto y en doce meses y medio a interés simple. c) Ocho meses aproximadamente. Ejercicio 20 Aproximadamente 12,68%

Ejercicio 21 a) 1)

30

% al año con capitalizaciones mensuales significa 2,5% mensual,

R

=

(

1 +

0 ,

025 )

12

−

1 ≅

0 ,

3449

_. La tasa efectiva anual es aproximadamente 34,49% 2) 33,55% 3)

79,59

% 4)

25, 44 %

b) 1)

2, 01

% 2)

0,82

% 3)

0,95

% Ejercicio 22 a) U$S

1737

,

1

y 4,55% b) U$S

4446

,

93

. Ejercicio 23 U$S

6666

,

63

Ejercicio 24 $

51 .

559 ,

56

_{Ejercicio 25} a) U$S

5154

,

79

_{b) U$S}

42 .

462 ,

39

Ejercicio 25 a) 1) 0,331 2) 0,344889 3) 0,3400956 b) La opción 2) Ejercicio 26 Las respectivas tasas efectivas anuales son 1)0,5376 2) 0,5735194 3) 0,6010322 4) 0,4257609 5) 0,771561, por lo tanto la alternativa más conveniente es la 4). Ejercicio 27

47 ,

98

% anual. Ejercicio 28 La mejor opción es la 2 y la peor es la 3.

Ejercicio 29 1)

10.000 2000

3000

₂ ₃

$5.965, 44

(1 0, 04) (1 0, 04)

(1 0, 04)

c

=