El sistema equivalente se muestra en la figura 2. r1 yr2 son las trayectorias de haces provenientes de I1 ’ e

Interferómetro de Michelson

Todas las ondas conocidas por los científicos del siglo XIX requerían de un medio para propagarse. Es

entonces natural que los científicos de esos tiempos esperaran algún tipo de material por el cual la luz se

propagase (éter), además de esperar que el movimiento absoluto de la tierra a través del éter pudiera ser

detectado. En 1887 el físico Albert Abraham Michelson diseñó un instrumento capaz de medir v2/c2 (v/c=velocidad de la tierra relativa al “’eter”, comparada con la velocidad de la luz en el éter) con una

técnica muy sensible que utiliza el fenómeno de interferencia. Este aparato se conoce como el interferómetro

de Michelson y se utilizó para medir la velocidad de la luz relativa al interferómetro (fijo a la tierra),

detectando el movimiento de la tierra a través del éter con el objeto de mostrar la existencia del mismo.

El interferómetro de Michelson es un dispositivo que utiliza un espejo semitransparente (ST) para dividir

amplitudes, las cuales son reflejadas por sendos espejos (M1 y M2). Un esquema del mismo puede verse en

la figura 1. Para simplificar los análisis se trabaja con las imágenes generadas por los espejos.

Figura 1: Interferómetro de Michelson. La luz proveniente de la fuente F es dividida por el espejo semitransparente ST y cada brazo es reflejado nuevamente por sendos espejos M1 y M2. Visto desde la pantalla la luz parece provenir de las imágenes I2’ e I1’.

Figura 2: Interferencia en una pantalla colocada perpendicular al eje que une las fuentes en aproximación paraxial con la pantalla lejos de las fuentes.

p a n t a l l a

i

∆

i

El sistema equivalente se muestra en la figura 2. r1 y r2 son las trayectorias de haces provenientes de I1’ e

I2’ impactando en un mismo punto en la pantalla (notar que existe una diferencia de camino entre ambos).

Dada la simetría del problema, esperamos que el patrón de interferencia tenga simetría de revolución si se

observa en una pantalla perpendicular al eje que une las fuentes.

La suma de los campos en todo el espacio, considerando a cada fuente como puntual, será:

1 2

( ) ( )

1 2

1 2

i kr t i kr t

A

A

E

E

E

e

e

r

r

ω ω

− −

=

+

=

+

_(1.1)

La intensidad en cualquier punto del espacio será proporcional a:

2 2 2

1 2

(

1 2 2 1

)

E

=

EE

∗

=

E

+

E

+

E E

∗

+

E E

∗ _(1.2)

Remplazando y suponiendo que

R

>> ∆

_i (ver figura 2) se obtiene:

2 2

2 1 2

2

(1 cos( (

)))

A

E

k r

r

R

=

+

−

(1.3)

(Nota: solo si hemos despreciado la contribución de la diferencia de caminos

∆

_i en el término de la

amplitud dado que da una variación mucho más lenta que el término del coseno.)

Donde además se utilizó la identidad:

cos( )

2

iu iu

e

e

u

−

+

=

(1.4)

Habrá máximos de interferencia en las zonas del espacio donde:

2 1

(

)

2

k r

−

r

=

n

π

(1.5)

Y mínimos para:

2 1

(

)

(2

1)

k r

−

r

=

n

+

π

(1.6)

Para continuar, pongamos el sistema de coordenadas sobre la fuente I1’ y evaluemos en la posición de la

pantalla. De esta forma:

2 2 2

1

r

=

x

+

y

+

R

;

r

₂

=

x

2

+

y

2

+

(

R

+ ∆

_i

)

2 (1.7)

Aquí podemos realizar la aproximación paraxial, esto es, miraremos la intensidad muy cerca del eje que

une las fuentes. Entonces tendremos que:

x

≪

R y

,

≪

R

, de esta forma realizando un desarrollo de

2 2 2 2

1 2 2

1

1

1

2

x

y

x

y

r

R

R

R

R





+

+

=

+



+







≃

(1.8) (1.9)

Donde en esta última expresión se ha despreciado el término

∆

i en el denominador por ser esta una

corrección de orden superior.

Finalmente se obtiene:

2 2

2 1 2

2

i i

x

y

r

r

R

∆

+

− =

+ ∆

(1.10)

Juntando la ecuación (1.10) con la ecuación (1.5) podemos observar que los máximos de intensidad serán

anillos de radio:

,

2

-1 con

i n i

i

n

R

λ

n

ρ

λ





_∆

=





∈ ≥

∆





ℕ

_(1.11)

La figura 3 muestra un dibujo del experimento de Michelson montado sobre una mesa.

Figura 3: Dibujo del interferómetro de Michelson-Morley usado en 1887.

(

)

₍

2 2

₎

(

)

₍

2 2

₎

(

)

_{( )}

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1 1

2 2

i i i

i i

x y x y x y

r R R R

R R R

   

+ + +

= + ∆ + + ∆  +  + ∆  + 

   

La sensibilidad del instrumento requiere montajes mecánicos antivibracionales, capacidad de rotación de la mesa óptica. Los componentes ópticos del interferómetro de Michelson fueron montados en una mesa cuadrada de 1.5m de lado. Las longitudes de los brazos fueron extendidas por medio de reflexiones múltiples en espejos. Podían realizarse observaciones en todas las direcciones rotando el aparato en un plano horizontal.

Figura 4: Interferómetro de Michelson en movimiento respecto al éter. (a) velocidad perpendicular al eje de las fuentes. (b) velocidad paralela al eje de las fuentes.

Consideremos los dos casos representados en la figura 4 y veamos como se modifica el resultado de la

ecuación (1.11).

Debemos hallar la diferencia de caminos entre los haces reflejados en el espejo M1 y M2 en cada caso y

ver como eso afecta al patrón de interferencia. Una descripción clásica del problema, lleva a tener resultados

diferentes dependiendo de la orientación del dispositivo respecto de la v interferómetro/”éter”

Analizamos dos casos ortogonales:

Caso 1:

Figura 5: La fuente, el espejo y el observador se mueven con una velocidad v relativa al éter (normal al espejo). De acuerdo a la teoría clásica, la velocidad de la luz relativa al éter es c, por lo que la velocidad

v

1

∆

( )

a

2

∆

relativa al observador debería ser c-v para el haz yendo desde la fuente al espejo y c+v para el haz reflejado.

De esta forma el tiempo que tarda el haz en ir y volver será:

1 2 2

2

L

L

cL

t

c

v

c v

c

v

=

+

=

+

−

−

(1.12)

Caso 2:

Figura 6: La fuente, el espejo y el observador 1 se mueven con una velocidad v (paralela al espejo) relativa al éter (observador 2). De acuerdo a la teoría clásica, la velocidad de la luz relativa al éter es c, por lo que la velocidad relativa al observador 1 debería ser c2−v2 tanto para el haz yendo desde la fuente al espejo como para el haz reflejado.

En este caso el tiempo que tarda el haz en ir y volver será:

2

2 2 2 2 2 2

2

L

L

L

t

c

v

c

v

c

v

=

+

=

−

−

−

(1.13)

Teniendo en cuenta estos conceptos podremos ver que para el caso de la figura 4(a), la diferencia de

caminos esta dada por:

2

2 1

1 _{2 2} 2 2 0 2 1 2

2L

2cL

∆

_=c

_-

∆

_{+(L -2L )}

c -

c

c

-v

v

v













≃

_(1.14)

Donde hemos definido

∆

₀

=2(L -L )

_{2 1} y tomamos el límite

v

≪

c

-

Análogamente para el caso de la figura 4(b) la diferencia de caminos resulta:

2

2 1

2 2 2 _{2 2} 0 2 1 2

2cL

2L

∆

_=c

_-

∆

_{+(2L -L )}

c -

_{c -}

c

Para entender si es observable la variación en el radio de los anillos de interferencia primero debemos dar

algunos valores posibles para las distintas magnitudes. En el experimento original se utilizó una línea de

emisión de una lámpara de sodio con λ_{=590nm y se asumió v=30Km/s debido a la velocidad orbital de la}

tierra. Además el largo de los brazos logrado fue de aproximadamente L=11m.

Las figuras 7, 8 y 9 muestran simulaciones numéricas de los resultados para cada caso de estudio.

Consideremos que colocamos la pantalla a R=9m del interferómetro y que las longitudes de los brazos son

L1=11m y L2=11.1m. De esta forma utilizando los resultados obtenidos previamente para fuentes puntuales y

reemplazando la ecuación (1.10) en la ecuación (1.3) para los casos ∆_i=∆_{0 (reposo),} ∆_i=∆_{1 (v perpendicular),} ∆₁₌∆_{2 (v paralelo), podemos ver como se modificaría la figura de interferencia observada en la pantalla.} Como puede observarse, dichos gráficos muestran cambios en el radio de los anillos de interferencia que

debieron haber sido fácilmente identificables por los científicos del siglo XIX si la teoría de la existencia del

Figura 7: Simulación del perfil de intensidades observado en una pantalla a 9m del interferómetro para el caso en que el sistema se halla en reposo.

Figura 8: Simulación del perfil de intensidades observado en una pantalla a 9m del interferómetro para el caso en que el sistema se mueve con velocidad v perpendicular al eje que une las fuentes.