Grafica una recta en R³

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UNIDAD III. GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ecuaciones de una recta en R³

La recta l en R³, viene definida por un punto Po(xo, yo, zo), de la

recta, y un vector v a,b,c , paralelo a la misma. El vector v se le

denomina vector director de la recta.

Ecuación Paramétrica de la recta

El vector , es paralelo al vector v, por lo que se debe cumplir

, donde t es el parámetro, de esta forma:

, si los vectores son iguales sus componentes también lo son y se tiene:

Representa la ecuación paramétrica de la recta l, que pasa por el punto Po(xo, yo, zo) y tiene a v  a,b,c , como

vector director.

Ecuación Simétrica de la recta

Si despejamos de la forma paramétrica de la recta, el parámetro t, e igualamos las tres ecuaciones obtenemos la forma simétrica de la recta l, que pasa por el punto Po(xo, yo, zo) y tiene a v  a,b,c , como

vector director.

Grafica una recta en R³

Para graficar una recta, solo basta con graficar dos puntos pertenecientes a la recta y luego trazar una línea continua que pase por ambos. La determinación de los puntos, parte del principio

Po(xo,yo,zo)

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Leonardo Hernández i. Si la ecuación esta en la forma paramétrica, basta con asumir un valor arbitrario a t, y se obtienen las componentes del punto, luego se repite el procedimiento. ii. Si la ecuación esta en la forma simetrica, se debe asumir

un valor arbitrario de x, y o z; luego resolver las dos ecuaciones resultantes, para obtener las componentes del punto; luego repetir el procedimiento.

Las rectas en el espacio se pueden relacionar por su posición y el angulo que forman entre ellas, de lo cual se tiene:

Rectas oblicuas

Dos rectas l1 y l2, son oblicuas si el ángulo que forman es

distinto de {0 y /2}, y no poseen al menos un punto en común.

Rectas que se interceptan

Dos rectas l1 y l2, se interceptan si existe un punto P(x0,y0,z0)

que pertenece a ambas rectas.

Rectas paralelas

Dos rectas l1 y l2, son paralelas si sus vectores directores son

paralelos.

Rectas perpendiculares

Dos rectas l1 y l2, son perpendiculares, si los vectores directores

son perpendiculares.

Angulo entre dos rectas

El ángulo formado entre dos rectas l1 y l2, es equivalente al

ángulo formado por sus vectores directores.

Distancia entre dos rectas paralelas

Sean r y s, dos rectas paralelas, la distancia d, entre ambas viene dada por la longitud del segmento de recta perpendicular a ambas que las une.

z

y

x

z

y

x

z

y

x

P

z

y

x

Paralelas Perpendiculares Oblicuas Interceptan

P

Q

d

r

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La distancia entre dos rectas paralelas, viene definida por el vector director de cualquiera de las rectas y un vector que una ambas rectas, tal que:

La distancia de un punto a una recta

La distancia d, entre una recta a un punto Q, es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.

Del triangulo rectángulo PAQ, donde , representa el ángulo

entre y . Se tiene ques , ahora si multiplicamos por , se , entonces por la propiedad del producto vectorial nos queda:

Ecuaciones de un plano en R³

Un plano en el espacio está determinado por un vector

normal al plano y un punto P0 del

plano. Analíticamente lo definen al menos tres puntos no colineales. De esta forma se pueden formar dos vectores del plano y con ellos

determinar el vector normal, luego por la condición de perpendicularidad se obtiene la ecuación canoníca del plano :

a(x-x0)+ b(y-y0)+ c(z-z0)=0 donde y P0:(x0,y0,z0)

Si resolvemos y sustituimos d=(ax0+by0+cz0), se tiene la forma

general del plano : ax+by+cz+d=0.

Manipulando también podemos determinar la forma simétrica del plano, donde A, B y C, representan los cortes con los ejes coordenados y facilitan el proceso de graficación:

Existen algunos planos característicos que debemos tener en cuenta:

i. Plano xy, su ecuación es z=0. ii. Plano xz, su ecuación es y=0. iii. Plano yz, su ecuación es x=0.

P

Q

d

s 



P0

Q

A

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Leonardo Hernández

Grafica de un plano en R³

Para graficar un plano, se recomienda utilizar la forma simétrica del plano, y conceptos de proyección.

La unión de los cortes con los ejes y prolongaciones van a formar un rectángulo o un triangulo. Pueden presentarse de tres, dos o un solo corte, con los ejes, cada uno representa un caso distinto que con algo de práctica se hace muy sencillo.

Planos paralelos y Perpendiculares

i. Dos planos 1 y 2, son paralelos si y solo si, sus vectores

normales son paralelos, entonces:

ii. Dos planos 1 y 2, son perpendiculares si y solo si, sus

vectores normales son perpendiculares, entonces:

z

y

x

xy

yz

xz

C

B

A

z

y

x

yz

xz

C

B

A

xy

z

y

x

xz

xy B

yz

z

y

x

yz

xz

B

A

xy

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Recta de intercepción de planos

Sean 1 y 2 planos no paralelos,

con vectores normales

respectivamente, la recta de intercepción l viene dada por:

, donde y Po(xo,yo,zo) es un punto que pertenece

a ambos planos.

Distancia entre planos paralelos

Sean 1 y 2 planos paralelos, con vectores normales

respectivamente. Y sean P y Q, puntos pertenecientes a los planos 1 y 2, la distancia entre los planos viene dada por la

proyección escalar del vector sobre el ortogonal unitario al plano , tal que: ó .

Si , la ecuación se puede simplificar de la forma: ,

donde d2 y d1 son los términos d, de la forma general de los planos 2 y 1.

Distancia entre un Punto y un Plano

Sean el plano , con vector normal . Y sea P un punto del plano. La distancia del plano a un punto Q, viene dado por:

Distancia entre dos rectas oblicuas

Sean l1 y l2 dos rectas oblicuas, con vectores directores

respectivamente. Sea además P y Q puntos pertenecientes a las rectas l1 y l2. La distancia d,

entre las rectas viene dada por

, donde , entonces

también puede expresarse:

l

Po



P

d





P

d

Q l1

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Leonardo Hernández

Sistema de Coordenadas cilíndricas (S.C.C)

Es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o acimutal.

En un sistema de coordenadas cilíndricas un punto P en el espacio se representa por medio de una terna ordenada (r,,z):

i. (r,) es una representación polar de la proyección de P en el plano xy.

ii. z, es la distancia dirigida de (r, θ) a P.

iii. r, es la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la

proyección del radiovector sobre el plano xy, (r0).

iv. θ: Es el ángulo que forma con el semi-eje x+, con la proyección

del radiovector sobre el plano xy.

Coordenadas esféricas (S.C.E)

En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada (,,).

 representa la distancia del origen al punto.

es el ángulo que forma con el semi-eje x+, con la proyección

del radiovector sobre el plano xy, 0≤≤2

, es el ángulo que forma el semi-eje z+, con el radio vector .

Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar la longitud de la tierra.

i.  es la distancia entre P y el origen, ≥0.

ii. θ es el mismo ángulo utilizado en coordenadas cilíndricas, 0≤≤2.

iii.  es el ángulo entre el eje z positivo y el radiovector , 0≤≤.

r 

r0 rz

y z

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Relación entre S.C.R, S.C.C y S.C.E

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente le posición de cualquier punto de un espacio euclideo.

Se han definido tres sistemas de coordenadas en el espacio, el Rectangular, Cilíndrico y Esférico, a partir de sus definiciones podemos relacionar los sistemas entre si, con las siguientes ecuaciones:

De Coordenadas Cilíndricas y Rectangulares:

De Coordenadas Esféricas y Rectangulares:

De Coordenadas Cilíndricas y Esféricas

SUPERFICIES CILÍNDRICAS Y CUÁDRICAS

Una superficie está representada por una ecuación en tres variables si las coordenadas de cada punto de la superficie satisfacen la ecuación. Cada punto que pertenece a la superficie debe satisfacer su ecuación.

Superficies Cilíndricas

La superficie Cilíndrica está generada por una recta (recta generatriz) que se mueve manteniéndose paralela a sí misma, apoyada en una curva (curva directriz) dada. En el espacio tridimensional, la gráfica de una ecuación en dos de tres variables es un cilindro cuyas generatrices son paralelas al plano asociado con la variable faltante y cuya directriz es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación.

El estudio de cilindros se limitará a aquellos que tengan una directriz en uno de los planos coordenados y la recta generatriz es perpendicular a ese plano. Si la recta generatriz de un cilindro es perpendicular al plano de la directriz, se dice que el cilindro es perpendicular al plano.

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Leonardo Hernández faltante en la ecuación. Se denominan Cilindro de base “directriz”, o similar como muestran los tres ejemplos.

Cilindro Circular Recto o Cilindro de Base Circular

Es aquel cuya directriz es una circunferencia y cuya recta generatriz es paralela al eje del cilindro.

La superficie , es un cilindro circular, cuya base es la

circunferencia sobre el plano xy y la recta generatriz es paralela al eje z.

Cilindro parabólico o Cilindro de base Parabólica

La ecuación implícita del cilindro parabólico de vértice

a lo largo del eje es:

, Como se puede ver esa ecuación es la ecuación de una parábola de vértice en . Colocando parábolas con el vértice a lo largo del eje construimos cilindros parabólicos. Donde podemos observar que la curva directriz es la parábola , y la recta generatriz es paralela al eje z.

Para representar el cilindro parabólico con vértice en

restamos cada una de las coordenadas del centro a y

respectivamente. La ecuación queda así: .

Si queremos representar el cilindro parabólico a lo largo de otro eje simplemente dejamos libre la coordenada correspondiente a ese eje.

z

y

x

Recta Generatriz

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Cilindro hiperbólico o Cilindro de base hiperbólica

La ecuación implícita del cilindro hiperbólico centrado

es: Como se puede ver esa ecuación es de una hiperbola con centro en La curva generatriz es la hipérbola en el plano xy, y la recta generatriz es paralela al eje z.

Para representar el cilindro

hiperbólico con centro restamos cada una de las coordenadas al centro y respectivamente. La ecuación queda así:

Superficies Cuádricas

Una superficie cuádrica, es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables x, y, z. La forma general de la ecuación es:

Donde A, B, C,…, son constantes. Su ecuación es de la forma:

Trazas de una superficie cuadrática

Son las curvas de intercepción entre una superficie y un plano.

Trazas principales

a. Trazas con el plano xy: es intercepción de la superficie con el plano xy, es decir, z=0.

b. Traza con el plano yz: de forma análoga se hace x=0. c. Traza con el plano xz: de forma análoga se hace y=0.

Las trazas paralelas.

Son las intercepciones con los planos z=k, x=k, y=k; de esta forma se puede caracterizar y bosquejar la superficie.

Las superficies cuadráticas a estudiar:  Esfera

 Elipsoide

 Hiperboloide de una hoja  Hiperboloide de dos hoja

 Cono elíptico

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Leonardo Hernández

Esfera

Una esfera con centro en ( , ) y radio r se define como el conjunto de puntos

cuya distancia a es r.

La ecuación canoníca viene definida de la forma: , r representa el radio de la esfera y su centro es el punto , sus tres trazas son circunferencias de radio r.

Si tomamos como centro el origen, la

ecuación se reduce a la forma: . En la grafica se observan las tres trazas principales diferenciadas por colores.

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (0,0,r) y (0,0,-r).

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (0,r,0) y (0,-r,0).

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), son familias de circunferencias , de radio , si k(-r,r). si k=r, se forman los puntos extremos (r,0,0) y (-r,0,0).

Elipsoide

Superficie cuádrica de la forma:

representa un elipsoide con centro en ( , ). Donde a, b y c, representan las medidas desde el centro hasta las superficies en cada eje respectivo.

Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: , tal como se observa en la grafica. Sus trazas son tres elipses, o una circunferencia y dos elipses de acuerdo a los valores de a, b y c.

En el plano xy: , Elipse o circunferencia si a=b

En el plano xz: , Elipse o circunferencia si a=c

x

y z

x

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En el plano yz: , Elipse o circunferencia si b=c

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k(-c,c). Si k=c, se forman los puntos extremos (0,0,c) y (0,0,-c).

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=c), , si k(-b,b). Si k=b, se forman los puntos extremos (0,b,0) y (0,-b,0).

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando b=c), , si k(-a,a). Si k=a, se forman los puntos extremos (a,0,0) y (-a,0,0).

Hiperboloide de una hoja

Superficie cuádrica de la forma: , representa un hiperboloide de una hoja orientado

en la dirección del eje z, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: . Las trazas del hiperboloide de una hoja son, dos hipérbolas y una elipse o circunferencia, tal como se puede observar en la figura. Sus trazas son:

En el plano xy: Elipse o circunferencia si a=b

En el plano xz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano yz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje y

El eje por donde se orienta el hiperboloide es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z).

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , son:

X

Z

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Leonardo Hernández eje x, si k(-b,b).

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje z, si k(-,-b)  (b,+).

(iii). Rectas , si k=b.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , son:

(i). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje y, si k(-a,a).

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje z, si k(-,-a)  (a,+).

(iii). Rectas , si k=a.

Hiperboloide de dos hojas

Superficie cuádrica de la forma: , representa un hiperboloide de una

hoja orientado en la dirección del eje x, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma:

. Las trazas del hiperboloide de dos hojas son, dos hipérbolas y la tercera traza no existe sino en planos paralelos donde se forma elipse o circunferencia, tal como se puede observar en la figura.

En el plano xy: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano xz: , Hipérbola con eje focal paralelo al eje x

En el plano yz: No existe traza.

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de hipérbolas, , si k.

X

Z

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 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de hipérbolas, , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , son familias de elipses (o circunferencias cuando b=c), si k(-,-a)  (a,+). Si k=a, se forman los puntos extremos (a,0,0) y (-a,0,0).

Cono Elíptico

Superficie cuádrica de la forma: , representa un Cono Elíptico orientado en la

dirección del eje z, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: .

Las trazas con los planos principales del cono elíptico, son un punto y Dos pares de rectas. Su estudio se fundamenta en las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de hipérbolas y una de elipses (o circunferencias). Si la tercera familia de trazas son circunferencias, se le denomina Cono Circular.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: el punto (0,0,0).

En el plano xz: las rectas . En el plano yz: las rectas .

El eje por donde se orienta el Cono elíptico, es por el eje cuya variable aparece en la ecuación negativa (en este caso eje z).

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , es una familia de hipérbolas con eje focal paralelo al eje z, si k-{0}. Si k=0, ya definimos anteriormente que se forman dos rectas

.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , es una familia de hipérbolas con eje focal paralelo al eje z, si

k-X

Z

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Leonardo Hernández

.

Paraboloide Elíptico

Superficie cuádrica de la forma: , representa un Paraboloide Elíptico orientado en la dirección del eje z, con vértice en ( , ). Si tomamos como vértice el origen, la ecuación se reduce a la forma: . El eje de

orientación lo define la variable que no se encuentra elevada al cuadrado (en este caso eje z).

Las trazas con los planos principales del paraboloide elíptico, vienen dado por dos parábolas y un punto. Su estudio se complementa con las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de parábolas y una de elipses (o circunferencias). Si la tercera familia de trazas son circunferencias, se le denomina Paraboloide Circular.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: el punto (0,0,0).

En el plano xz: la parábola En el plano yz: la parábola

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), son familias de elipses ( o circunferencias cuando a=b), , si k+. Si

k=0, el origen.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), , es una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z.

 Las trazas con planos paralelos al plano yz (x=k), , es una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z.

Paraboloide hiperbólico

Superficie cuádrica de la forma:

representa un Paraboloide hiperbólico orientado sobre el eje z, y hacia el eje y, con centro en ( , ). Si tomamos como centro el origen, la ecuación se reduce a la forma: , también es conocida como la silla de montar. El eje de orientación lo define la variable que no

X

Z

Y

X

Z

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está al cuadrado (eje z, en este caso), y hacia donde se prolonga la variable positiva (eje y, en este caso).

Las trazas con los planos principales vienen conformadas por dos parábolas y dos rectas. Su estudio se complementa con las trazas paralelas, donde aparecen las dos familias de parábolas y una de hipérbolas.

Sus trazas con los planos principales son: En el plano xy: Dos rectas

En el plano xz: la parábola En el plano yz: la parábola

 Las trazas con planos paralelos al plano xy (z=k), , son:

(i). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje y, si k+.

(ii). Familia de hipérbolas , con eje focal paralelo al eje x, si k.

(iii). Rectas , si k=0.

 Las trazas con planos paralelos al plano xz (y=k), son familias de parábolas .

Figure

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