Apuntes docente

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1-1-2016. . APUNTES ALGEBRA. SUPERIOR Apuntes del Docente. Esp. Pedro Alberto Arias Quintero. Departamento De Ciencias Básicas, Unidades Tecnológicas de Santander.. Contenido MATRICES Y DETERMINANTES ................................................................................................................... 2. ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: ................................................................................................................... 3. Explicaciones generales ...................................................................................................................................... 3. Tipos de Matrices. ............................................................................................................................................... 4. Matriz columna: .............................................................................................................................................. 4. Matriz fila: ...................................................................................................................................................... 4. Matriz cuadrada: ............................................................................................................................................. 4. Matriz rectangular: .......................................................................................................................................... 5. Matriz traspuesta: ............................................................................................................................................ 5. Matriz Simétrica: ............................................................................................................................................ 5. Matriz Asimétrica: .......................................................................................................................................... 5. Matriz nula: ..................................................................................................................................................... 6. Matriz opuesta:................................................................................................................................................ 6. Matriz Diagonal: ............................................................................................................................................. 6. Matriz escalar: ................................................................................................................................................. 6. Matriz Triangular: ........................................................................................................................................... 6. OPERACIONES CON MATRICES .................................................................................................................. 7. Suma y resta de matrices................................................................................................................................. 7. Producto de matrices ....................................................................................................................................... 7. Producto por un escalar ................................................................................................................................... 8. División de matrices ....................................................................................................................................... 9. DETERMINANTES ......................................................................................................................................... 14. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES .................................................................................................. 18. MENORES Y COFACTORES. ......................................................................................................................... 21. Teorema ................................................................................................................................................................ 23. MATRIZ ADJUNTA ........................................................................................................................................ 26. Operaciones en renglones de matrices .............................................................................................................. 26. Cambio de renglones..................................................................................................................................... 26. Multiplicar un renglón por un número .......................................................................................................... 27. Sumar renglones............................................................................................................................................ 27. Sumando múltiplos de renglones .................................................................................................................. 27. . MATRICES Y DETERMINANTES Que es una Matriz: . . Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos aij dispuesta en m líneas horizontales (filas) y n. verticales (columnas) de la forma:. Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones. diferenciales y de las derivadas parciales. Tienen también muchas aplicaciones en el campo de la física.. . MATRICES. Una matriz es una tabla ordenada de escalares ai j de la forma. La matriz anterior se denota también por (ai j ), i =1, ..., m, j =1, ..., n, o simplemente por (ai j).. Los términos horizontales son las filas de la matriz y los verticales son sus columnas. Una matriz con m. filas y n columnas se denomina matriz m por n, o matriz m x n.. Las matrices se denotarán usualmente por letras mayúsculas, A, B, ..., y los elementos de las mismas por. minúsculas, a, b, .... Ejemplo:. donde sus filas son (1, -3, 4) y (0, 5, -2) y sus . ELEMENTOS DE UNA MATRIZ: . Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:. Abreviadamente se puede expresar A = (aij ). Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices. El primero de ellos “i”,. indica la fila en la que se encuentra el elemento, y el segundo, “j”, la columna.. Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3. Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas.. Ejemplos: Son ejemplos de matrices los siguientes:. A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 2. Qué elemento es a21?.. B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. Qué elemento es b23?.. C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 4 x 3. Qué elemento es c42?.. En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m. x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.. Explicaciones generales. matriz 3 x 4 . . El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz.. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.. Ejemplo:.    . . .    . . . 1211109. 8765. 4321. fila columna. 3 filas. 4 columnas. La matriz es 3 x 4. Si la matriz es A las posiciones de cada número son ai j . i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz A.. Si la matriz es B las posiciones de cada número son bi j . i es la fila y j es la columna donde se encuentra posicionado el número en la matriz B.. Ejemplos:.   . . .   . . . . 333231. 232221. 131211. aaa. aaa. aaa. A .   . . .   . . . . 333231. 232221. 131211. bbb. bbb. bbb. B . En la siguiente matriz indica la posición del número circulado..    . . .    . . . . 16151413. 1211109. 8765. 4321. A . Tipos de Matrices. . Matriz columna: . Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1.. . Matriz fila:. Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1x n. Es decir, A= (a11 a12 ... a1n). . Matriz cuadrada:. Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada. es de orden n, y no n x n (aunque es lo mismo). Los elementos aij con i = j, o sea aij forman la llamada diagonal principal de. la matriz cuadrada, y los elementos aij con i + j = n +1 la diagonal secundaria. . 2 __________. 7 __________. 9 __________. 14 __________. Matriz rectangular:. La que tiene distinto número de filas que de columnas:. . Matriz traspuesta:. Dada una matriz A, su matriz se representa por At, la cual se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es. la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At y así sucesivamente. De la definición se deduce. que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m.. La traspuesta se representa con una t o T por índice de la letra que representa el nombre de la matriz.. Ejercicio #3. ¿Cuál es la matriz traspuesta de:. . . Respuesta:. Matriz Simétrica:. Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aj= aj. Matriz Asimétrica:. Una matriz cuadrada se dice que es anti simétrica si A = –At, es decir aij= -aji.. Matriz nula:. Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.. . Matriz opuesta:. Sabemos que el opuesto de 4 es – 4.. El opuesto de - 3 es 3. La matriz opuesta a otra es la que obtiene al cambiar de. signo a cada uno de sus elementos. Por supuesto, su. nombre aparecerá con el signo opuesto:. Matriz Diagonal:. Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal. principal son nulos. . Matriz escalar: . Es una matriz diagonal (y en consecuencia, una matriz cuadrada) con todos los elementos de la diagonal iguales.. Matriz Triangular: . Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices. triangulares pueden ser de dos tipos: . Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj =0, i < j. . Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aj = 0, j < i.. Ejemplos:. OPERACIONES CON MATRICES. . Suma y resta de matrices. Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de. orden 3 X 2 y otra de 3 X 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman. o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.. Ejemplo:. . . . Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas. tienen que ser cuadradas. . Ejemplo:. . . Producto de matrices. Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz. resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la. segunda.. Es decir, si tenemos una matriz 2 X 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 X 5, la matriz resultante será de orden 2 X 5.. (2 3) (3 5) = (2 5). Se puede observar que el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa, ya que en el ejemplo anterior, si. multiplicamos la segunda por la primera, no podríamos efectuar la operación.. 3 5 por 2 3, puesto que la primera matriz no tiene el mismo número de columnas que filas la segunda.. Supongamos que A = (ai j ) y B = (bi j ) son matrices tales que el número de columnas de A coincide con el número de. filas de B; es decir, A es una matriz m X p y B una matriz p X n. Entonces el producto AB es la matriz m X n cuya entrada. ij se obtiene multiplicando la fila i de A por la columna j de B.. Esto es,. . Ejemplo:. 1.. . 2.. . Producto por un escalar. El producto de un escalar k por la matriz A, escrito k·A o simplemente kA, es la matriz obtenida multiplicando cada entrada. de A por k:. . Ejemplo:. . Entonces:. . División de matrices. La división de matrices se define como el producto del numerador multiplicado por la matriz inversa del denominador. Es. decir, sean las matrices A y B tal que A/B = AB-1:. Si una matriz está dividida entre un escalar, todos los términos de la matriz quedarán divididos por ese escalar.. Ejemplo:. RESUMEN. Suma de matrices. Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número. de filas y columnas.. Definición de suma: Si A = (ai j) mxn y B = (bi j) mxn entonces su suma es A + B = (ai j + bi j) mxn.. Ejemplo:. Suma las matrices A + B. 75. 31 A . 84. 75 B . 6. 84. 75. 75. 31  Suma a1 1 + b1 1 . 1 + 5 = 6. 106. 84. 75. 75. 31  . 9. 106. 84. 75. 75. 31  . 159. 106. 84. 75. 75. 31  . Elemento neutro . 43. 21. 43. 21. 00. 00  . Producto de un escalar. 3 + 7 = 10. Suma a1 2 + b1 2 . 5 + 4 = 9. Suma a2 1 + b2 1 . 7 + 8 = 15. Suma a2 2 + b2 2 . Definición:. Si kA = k(ai j) mxn . Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar.. Ejemplo:. Opera 2A. 43. 51 A . 86. 102. 43. 51 22 A . Inverso aditivo (resta). 14. 32. .  A . 21. 54. .  B . Opera A – B. 35. 86. 21. 54. 14. 32. .  . .  . .   BA El orden es igual que en la suma pero debes fijarte muy bien en los signos.. Multiplicación de matrices:. Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas. Si tenemos que una matriz es 3 x 5 y la otra 5 x 2 se puede multiplicar si. Matriz A Matriz B. . 3 x 5 5 x 2. Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.. Matriz A. Matriz B. ¿se puede multiplicar?. Tamaño de respuesta. 3 x 4 4 x 5 . Debe ser igual entonces . si se puede multiplicar. Si los números centrales son. iguales entonces se puede. multiplicar y el tamaño de la. respuesta son los números de los. extremos 3 x 2. El tamaño de la. respuesta es 3 x 2. 5 x 6 6 x 2 . 5 x 3 4 x 6 . 7 x 8 8 x 2 . 4 x 2 3 x 4 . 5 x 7 7 x 2 . 3 x 1 1 x 4 . 4 x 3 4 x 3 . 2 x 5 5 x 4 . Ejemplo:.  .   .  . 33. 141312. 11109. 876. 543. 210 . Se opera asi:.      . 332490. 1229160. .  .  .   .  . 3633. 141312. 11109. 876. 543. 210.      . 3626100. 13210170. . .  .   .  . 393633. 141312. 11109. 876. 543. 210 .      . 3928110. 14211180. .  . 1) Reviso el tamaño de la matriz A = 2 x 3 B = 3 x 3. Como son iguales se puede. multiplicar.. El tamaño de la matriz de la. respuesta es 2 x 3. 2) Siempre se toma la primera matriz. con la fila 1 (horizontal) con la 1. columna (vertical) marcada en la. matriz.. .  .   .  . 114. 393633. 141312. 11109. 876. 543. 210.      . 114603618. 1259463. . .  .   .  . 126114. 393633. 141312. 11109. 876. 543. 210 .      . 126654021. 13510473. .  .  .   .  . 138126114. 393633. 141312. 11109. 876. 543. 210.      . 138704424. 14511483. . . Respuesta:. . 141312. 11109. 876. 543. 210. 138126114. 393633. DETERMINANTES. . A cada matriz n-cuadrada A = (ai j ) se le asigna un escalar particular denominado determinante de A,. denotado por det (A), | A | o. Una tabla ordenada n n de escalares situada entre dos líneas verticales, llamada determinante de orden. n, no es una matriz.. La función determinante apareció por primera vez en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales.. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de éstas.. . DETERMINANTES DE ORDEN UNO Y DOS. Los determinantes de orden uno y dos se definen como sigue:. = a11. Así, el determinante de una matriz 1 1 A = (a11) es el propio escalar a11, es decir, det (A) = |a11| =. a11.. Ejemplos:. a) Dado que el determinante de orden uno es el mismo escalar, tenemos det (24) = 24, det(-3) = -3, det. (3x+5) = 3x+5.. b) Determinante Orden dos. DETERMINANTES DE ORDEN TRES. Consideremos una matriz 3 3 arbitraria A = (ai j ). El determinante de A se define como sigue:. Obsérvese que hay seis productos, cada uno formado por tres elementos de la matriz. Tres de los. productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y tres con signo negativo (cambian su. signo).. Ejemplo:. Calcular el valor del determinante:. = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63. El determinante de la matriz 3 x 3 A = (ai j ) puede reescribirse como:. det (A) = a 11. (a 22. a 33. - a 23. a 32. ) - a 12. (a 21. a 33. - a 23. a 31. ) + a 13. (a 21. a 32. - a 22. a 31. ) =. . que es una combinación lineal de tres determinantes de orden dos, cuyos coeficientes (con signos. alternantes) constituyen la primera fila de la matriz dada. Esta combinación lineal puede indicarse de la. forma siguiente:. Nótese que cada matriz 2 2 se obtiene suprimiendo en la matriz inicial la fila y la columna que. contienen su coeficiente.. Ejemplo:. Para demostrar que la propiedad anterior se cumple, trabajaremos con :. . . . = 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Las propiedades de los determinantes, que enunciaremos a continuación, son válidas cualquiera que sea. su orden. No obstante, para facilitar su comprensión, utilizaremos determinantes de orden 2 y 3. Las. comprobaciones de las mismas se pueden hacer fácilmente desarrollando los determinantes.. 1ª El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta, es decir: Det ( A ) = Det ( At ). 2ª Si intercambiamos dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo aunque son iguales. en valor absoluto.. 3ª Si multiplicamos todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada por un número k, su determinante. queda multiplicado por dicho número.. Como generalización de esta propiedad, si multiplicamos todos los elementos de una matriz cuadrada de orden n por un. número k, su determinante queda multiplicado por kn, es decir: Det (k . A) = kn . Det ( A ).. 4ª El determinante del producto de dos matrices cuadradas del mismo orden es igual al producto de los determinantes de. dichas matrices: Det ( A . B ) = Det ( A ) . Det ( B ).. 5ª Si una matriz cuadrada tiene todos los elementos de una fila o columna nulos, su determinante es cero.. 6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero.. 7ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero.. 8ª Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su. determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando. respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial.. 9ª Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su. determinante es cero.. 10ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía.. 11ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número, su. determinante no varía.. El conocimiento de las propiedades de los determinantes nos permiten, por ejemplo, simplificar el cálculo de determinantes de orden mayor que 3, a los que no se puede aplicar directamente la regla de Sarrus. Como se comentó anteriormente, en la. página Determinantes de cualquier orden: "para calcular el determinante de una matriz de orden 4 es necesario. calcular 4 determinantes de orden 3. Y si la matriz fuera de orden 5, habría que calcular 20 determinantes de orden 3 (puesto. que al desarrollarlo por los adjuntos de una fila o columna cualquiera se obtendrían 5 determinantes de orden 4 y, cada uno de. éstos, a su vez, se puede descomponer en 4 determinantes de orden 3).". En las escenas siguientes se describe el proceso para. calcular un determinante de orden 4 o 5 buscando "ceros", hasta obtener un determinante de orden 3, que se puede calcular. directamente.. MENORES Y COFACTORES. . En esta sección se calcularán determinantes haciendo uso de dos conceptos, el de menor de un. determinante y el de cofactor de un elemento.. Se llama menor del elemento aik de un determinante D de al determinante Mik de. orden que se obtiene al eliminar el renglón i y la columna k de D.. . Ejemplo 1.. Obtener los menores M13 y M21 del determinante D de .. . Para M13 eliminamos el renglón 1 y la columna 3 para obtener. . De la misma forma, se elimina el renglón 2 y la columna 1 para tener. . . Se llama cofactor del elemento aik del determinante D, al menor Mik con el signo (-1) i+k y se. denota Aik, esto es. (1). . Ejemplo 2.. Obtenga los cofactores A13 y A21 del determinante D dado:. . . De acuerdo con la fórmula (1) el cofactor A13 está dado por. Y de la misma forma. . . Expansión por cofactores de un determinante.. Se puede probar el siguiente. . . Teorema. Todo determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de un renglón (o. columna) cualquiera por sus cofactores correspondientes.. . Esto es. (2). . es el desarrollo del determinante D por el renglón i, y similarmente. . (3). . es el desarrollo del determinante D por la columna k.. . . Las expresiones (2) y (3) son fórmulas completamente generales, cualquier determinante de. cualquier dimensión se puede evaluar usando estas fórmulas.. . Ejemplo 3.. Desarrollar por cofactores del segundo renglón y calcular el valor del determinante D.. . Para expandir D, por cofactores del segundo renglón, calculamos primero los. cofactores A21, A22 y A23 de los elementos del segundo renglón.. . . . Entonces . . Ejemplo 4.. Desarrollar por cofactores de la primera columna y calcular el valor del determinante D del. ejemplo 3 para verificar que obtenemos el mismo valor.. . Para expandir por cofactores de la primera columna, primero evaluamos los. cofactores A11, A21, A31 de los elementos de la primera columna:. . . . Entonces. . Ejemplo 5.. Considere la matriz A y calcule su determinante det A. . . . Para evaluar el determinante de A usamos la fórmula (2) que permite desarrollar un determinante. por cofactores de una columna. Observe que la primera columna de A consta de tres ceros y un. 2. Desarrollando por la columna (1) se tiene. . . . Aún falta evaluar el determinante de 3x3, que desarrollamos por cofactores de la columna 3 porque. dos de sus elementos son ceros, entonces. . . Ejemplo 6. . El determinante de una matriz triangular.. Considere la matriz B triangular, calcule det B. . . . Entonces, desarrollando por cofactores de la primera columna, y desarrollando los menores. correspondientes de la misma forma, se tiene. . . . Así que, el determinante de una matriz triangular es el producto de sus elementos en la diagonal. principal.. MATRIZ ADJUNTA. L a m a t r i z a d j u n t a e s a q u e l l a e n l a q u e c a d a e l e me n t o s e s u s t i t u ye p o r s u a d j u n t o . . S e l l a ma a d j u n t o d e l e l e m e n t o a i j a l m e n o r c o m p l e m e n t a r i o a n t e p o n i e n d o : . E l s i g n o e s + s i i + j e s p a r . . E l s i g n o e s - s i i + j e s i m p a r . . E j e m p l o . Operaciones en renglones de matrices . Hay 3 operaciones básicas usadas en los renglones de una matriz cuando está usando la matriz para resolver un. sistema de ecuaciones lineales. El objetivo usualmente es conseguir que la parte izquierda de la matriz se parezca. a la matriz identidad. . Las tres operaciones son: .  Cambiar renglones.  Multiplicar un renglón por un número.  Sumar renglones. Cambio de renglones Puede cambiar los renglones de una matriz para obtener una matriz nueva. . http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/matrices.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/solving-systems-of-linear-equations-using-matrices.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/solving-systems-of-linear-equations-using-matrices.html http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/identity-matrix.html. En el ejemplo anterior mostrado, movimos el Renglón 1 al Renglón 2, el Renglón 2 al Renglón 3, y el Renglón 3 al. Renglón 1. (La razón para hacer esto es conseguir que el 1 esté en la esquina superior izquierda.). Multiplicar un renglón por un número Puede multiplicar cualquier renglón por un número. (Esto significa multiplicar cada entrada en el renglón por el mismo. número.). En este ejemplo, hemos multiplicado el Renglón 3 de la matriz por 1/3. (Esto nos arroja el 1 que necesitamos en el. Renglón 3, Columna 3.) . Sumar renglones También puede sumar dos renglones juntos, y reemplazar un renglón con el resultado.. Por ejemplo, en la matriz que resultó del último ejemplo, podemos sumar los renglones 2 y 3 juntos, entrada por entrada:. Luego, reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.. Sumando múltiplos de renglones Dijimos que únicamente hay tres operaciones, y así es. Pero usando la combinación de las dos últimas operaciones,. podemos sumar múltiplos enteros de renglones a otros renglones, para hacer que las cosas vayan más rápido.. Retrocediendo un paso, tenemos la matriz:. Ahora en lugar de solo sumar el Renglón 2 + Renglón 3, sume el Renglón 2 + (2 × Renglón 3):. Luego reemplace el Renglón 2 con el resultado.. De esta forma, obtenemos un 0 en el Renglón 2, Columna 3.. Podemos hacer esto nuevamente para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 1. Aquí, multiplicamos el Renglón 1 por –2,. sumamos al Renglón 2, y reemplazamos el Renglón 2 con el resultado.. Mostraremos unos pocos pasos más, para obtener la matriz identidad 3 × 3 en la izquierda (y así resolver el sistema).. El paso siguientes es sumar el Renglón 2 + (4 × Renglón 3) para tener un 0 en el Renglón 2, Columna 3.. Enseguida, necesitamos un cero en el Renglón 1, Columna 3.. El último paso es solo una aplicación de la segunda operación, multiplicar un renglón por un número.. Ahora tenemos la solución como una ordenada triple (1, 0, –2). . Nota importante: Si las ecuaciones representadas por su matriz original representan líneas idénticas o paralelas, no podrá. obtener una matriz identidad usando estas operaciones de renglones. En este caso, la solución o no existe o hay. infinitamente muchas soluciones al sistema.

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