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Peraza Garate Silvano U1

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Academic year: 2018

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(1)

Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección académica

Departamento de sistemas y computación

Agosto-Diciembre 2013

Tecnologías de la Información y Comunicaciones

Álgebra Lineal

Serie: 6TI3A

Investigación unidad 1

Peraza Garate Silvano 12211515

Bermúdez Jimenez María Eugenia

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Índice

1.1 Definición y origen de los números complejos……….1

1.2 Operaciones con números complejos………...2

1.3 Potencias de i, módulo de un número complejo……….4

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo……….6

1.5 Teorema de moivre potencias y raíces de un numero complejo……….8

1.6 Ecuaciones polinómicas………13

Aplicaciones……….15

(3)

Números complejos

1.1 Definición y origen de los números complejos

Cardano (siglo XVI) fue el primero que reconoció la importancia de las raíces negativas de una ecuación, hecho muy importante para el desarrollo del algebra; pero utilizo el termino de raíz ficticia que, consistente o no, provocó un obstáculo para la formalización de los números negativos. Por ejemplo, matemáticos posteriores le llamaron raíces falsas o raíces sordas. Esto de alguna manera nos muestra que el estatus que se les daba a estas raíces no era el mismo que se le otorgaba a las raíces positivas. [1]

Las raíces negativas de las ecuaciones son raíces positivas de la transformada en –x. Es decir, si -2 es raíz de una ecuación , esto significa que +2 en raíz de

, lo cual es cierto, pero las dos ecuaciones en general son diferentes. [1] Podemos definir los números complejos como:

El sistema de los números complejos C es el conjunto de todas las parejas ordenadas (x, y) de números reales con dos operaciones binarias, adición, +, y multiplicación. [1] Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar. [1]

Leyes de algebra sobre números complejos:

z1 + z2= z2 + z1 (Ley conmutativa para la suma)

z1 + (z2 + z3)= (z1 + z2) + z3 (Ley asociativa para la suma)

z1 * z2= z2* z1 (Ley conmutativa para el producto)

z1 (z2 * z3)= (z1 * z2) z3 (Ley asociativa para el producto)

z1 (z2 + z3)= z1 * z2 + z1 * z3 (Ley distributiva)

z1 + 0= z1 (Elemento neutro suma)

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Representación geométrica de los números complejos

1.2 Operaciones con números complejos

El conjugado de un número completo z= (x, y)=x + yi, está dado por =(x, -y)= x-yi. [1]

Ejemplo:

Si z= 3-2i, el conjugado de z es = 3 + 2i Sumas con números complejos:

La suma con números complejos se realiza de la misma manera que con números reales algunos ejemplos son los siguientes. [1]

(5)

Multiplicación con números complejos:

En la multiplicación se sigue las mismas reglas algebraicas que con números reales solo que con números complejos, llegaremos a un resultado donde encontraremos donde le vamos asignar el valor de = -1. A continuación se muestran algunos ejemplos: [1]

Ejemplo 1:

Reducimos términos… Sustituimos en el término el valor de

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

División con números complejos:

En la división hacemos uso del conjugado del denominador a continuación un ejemplo:

Como se observa se hace uso del conjugado del denominador, este lo multiplicas por la división principal.

(6)

Reducimos los términos semejantes

Sustituimos en la el -1 como en una multiplicación normal

Reducimos los términos haciendo la división correspondiente

1.3 Potencias de i, módulo de un número complejo Potencias de i:

Y así se continúa hasta la potencia que se quiera llegar. [1]

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la potencia equivalente a la dada. [1]

(7)

Módulo de un número complejo

El módulo permite trabajar con distancias en el plano cartesiano. Propiedades del módulo. Sean z, z1 y z2 números complejos. [1] (1) |z| = 0 si, y solo si, z = 0.

(2) |z| = |z|.

(3) |z1z2| = |z1| |z2|.

(4) |Re (z)| ≤ |z|, |Im (z)| ≤ |z|.

El módulo de un número complejo denotado como se define como

Si b=0 Z es un número real, ejemplo: Z=4+0i

Ejemplo 1 encontrar el módulo de z.

Ejemplo 2:

(8)

1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo Forma polar:

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como. [1]

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos. [1]

Para convertir de forma polar a rectangular:

Utilizaremos las fórmulas:

Entonces el resultado de z sería:

(9)

Forma exponencial

La ecuación

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el símbolo e, o exp (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar. [1]

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial: [1] z = re

– Expresión rectangular - Forma polar Fórmulas:

(10)

Ejemplo:

Convertir de rectangular a forma polar Sacamos el módulo de z

Después de tener el modulo sacamos teta

El resultado de la operación es -45 pero el punto (5, -5) se encuentra en el cuarto cuadrante, al encontrarse ahí significa que a el valor de teta le vamos a restar 360 grados. El valor de teta entonces sería: [1]

Para su representación en polar solo se sustituye en la fórmula:

1.5 Teorema de moivre potencias y raíces de un número complejo

Uno de los problemas más importantes en álgebra es resolver ecuaciones del tipo y en algunos casos esto se reduce a resolver ecuaciones de la forma . Por ejemplo esto ocurre si n<=4. Con esto en mente es útil tener en mente métodos para resolver la ecuación . A las raíces de esta ecuación les llamamos raíces k-+ésimas de A. [1]

El número complejo i tiene módulo de 1 y argumento de de modo que el producto iz tiene el mismo módulo de z pero su argumento es 90 grados mayor que el de z. [1] La multiplicación de z por i, hace rotar z un ángulo de 90 grados en sentido contrario a las manecillas del reloj. [1]

Si n es entero positivo y entonces y . [1]

(11)

Fórmula de moivre .

Si r=1,

(12)

Determinación de raíces n-esimas

La "raíz n-ésima" de un valor dado, cuando se multiplica n veces da el valor inicial " n-ésima " . [1]

1ª, 2ª, 3ª, 10ª (décima), 20ª (vigésima),... n-ésima ...

En vez de hablar de la "4ª (cuarta)", "16ª (decimosexta)", etc., si queremos hablar en general decimos la "n-ésima". [1]

Así como la raíz cuadrada es lo que se

multiplica dos veces para tener el valor original...[1] ... y la raíz cúbica es lo que se multiplica tres veces para tener el valor original...[1]

... la raíz n-ésima es lo que se multiplica n veces para tener el valor original. [1]

El símbolo de la raíz n-ésima

Este es el símbolo especial que significa "raíz n-ésima", es el símbolo “radical" (el de las raíces cuadradas) con una n pequeña para indicar la raíz n-ésima. [1]

Uso

Se podría usar la raíz n-ésima en una pregunta así:

Pregunta: , ¿cuánto es "n"?

Respuesta: 5 × 5 × 5 × 5 = 625, así que n=4 (es decir 5 se usa 4 en la multiplicación). [1]

O podríamos usar "n" porque queremos hablar de algo en general:

Ejemplo: Si n es impar entonces . [1]

(13)

Propiedades

Multiplicación y división

Puedes "separar" así multiplicaciones dentro de la raíz:

(Suponemos que a y b son ≥ 0)

Esto te ayudará a simplificar ecuaciones en álgebra, y también algunos cálculos:

Ejemplo:

También funciona con la división:

(a≥0 y b>0)

(b no puede ser cero porque no se puede dividir entre cero)

Ejemplo:

Suma y restas

¡Pero no se puede hacer lo mismo con sumas y restas!

Es fácil caer en la trampa, así que ten cuidado. También quiere decir que

desgraciadamente las sumas y restas son más difíciles cuando están dentro de una raíz. [1]

(14)

Ejercicio:

Encontrar las raíces cuartas de. Z=1 n=4

Primero sacamos el módulo

Para calcular las raíces hacemos uso de la fórmula del teorema de moivre.

En esta fórmula solo vamos a sustituir valores. Para K=0, K=1, K=2, K=3.

K=0

K=1

K=2

(15)

K=3

Entonces nuestras raíces serían: 1, i, -1, -i 1.6 Ecuaciones polinómicas

Los números complejos surgen ante la imposibilidad de hallar todas las soluciones de las ecuaciones polinómicas de tipo. [2]

Dados los valores apropiados de los coeficientes an a a0 , esta ecuación tendrá n soluciones reales si que permitirán reescribir el polinomio de la siguiente forma: [2]

Sin embargo, ecuaciones incluso tan sencillas como x2 + 1 = 0 desafían esta regla, ya que su solución, que teóricamente vendría dada por: [2]

Que no existe en el campo de los reales ya que la raíz cuadrada no está definida para argumentos negativos. [2]

Los números complejos sin embargo permiten ampliar aún más el concepto de

"número", definiendo la unidad imaginaria o i como i = raíz de -1, lo que significaría que la ecuación anterior sí tendría dos soluciones, que serían x1= i y x2= - i. [2]

La introducción de los números complejos permite probar el teorema fundamental del álgebra, que dice que cualquier ecuación polinómica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. [2]

De esta manera, se define genéricamente un número complejo como un número compuesto por dos partes, una parte real a y una parte imaginaria b, escribiéndose como sigue: z = a + bi. [2]

Por ejemplo, 2-3i, 4+8i, 3-πi, etc.

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Con los números complejos se opera como se operaría con productos de sumas

ordinarios, teniendo en cuenta siempre que i2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac +adi +bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad+bc)i. [2]

La división es un poco más sofisticada debido a la necesidad de eliminar la unidad imaginaria del denominador de la fracción:

Número de soluciones de una ecuación polinóminal.

1er grado X-2=0 X=2

2do grado X2 -6X+9=0 (X-3) (X-3)= X=3 X=3

3er grado X3+4X=0 X(X+2)(X-2)=0 X=0 X=-2i X=2i 4to grado X4-1=0 (X-1) (X+1) (X-1) (X+i)=0

X=1 X=-1 X=1 X=-i

Encontrar los valores de x X4- X2- 20= 0

(X2- 5) (X2+4)=0

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Aplicaciones de números complejos

En la ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas.

El número i aparece explícitamente en la ecuación de onda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo.

El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.

Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En si podemos concluir que los números complejos poseen muchas aplicaciones en el áreas de la ingeniería en particular en la ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (Análisis de Fourier). En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente. Pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad espacial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

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Bibliografía

[1]:

Álgebra lineal, Fernando Hitt Espinosa

Departamento de matemática educativa, Centro de investigación y

estudios avanzados, Instituto Politécnico Nacional.

[2]: Álgebra Lineal para estudiantes de ingeniería y ciencias.

Juan Carlos Del valle Soleto, Instituto tecnológico y de estudios

superiores de monterrey, Campus Estado de México.

[3]: Álgebra Lineal, Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Matemáticas básicas

para ciencia e ingeniería.

Referencias

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