Los apuntes que ellos no quieren que sepas de

Texto completo

(1)

Un Resumen Teórico

De

Matemática I

WhittiLeaks

(2)

Notación:

0

Derivable veces con continuidad Es continua

n

C n

C

DadofC1, se debería leer de la siguiente manera:

“La función f pertenece a las funciones derivables con continuidad.” Que sería lo mismo que decir: “La función

f es derivable” Como se suele decir en Matemática I Nota del editor: Creo que les será útil pensarlo de esta

manera ya que es común que en los parciales les pidan probar que una función es derivable en un punto. Esto se hace probando que la derivada de la función(es) es continua en dado punto o por definición de la derivada.

0

( , ] en

fC a b : “ f es continua en el intervalo abierto de a hasta b, y continua en b

Puntos Finales

Esta versión no incluye temas considerados demasiado demandantes visualmente como solidos de revolución y suma de Riemann.

Este resumen es puramente teórico, faltara

complementar el estudio con la memorización de las tablas de integrales inmediatas, Taylor famosos, reglas de operaciones con integrales definidas/limites, etc.

Agradecimientos a Fede por prestarme apuntes recientes.

 Y (And)

 O (Or)

 Es idéntico a

 Pertenece a/Es un elemento de

Por lo tanto/Por ende Porque/Debido a que

 Igual material/ “es lo mismo

que decir”

 Entonces

[ , ]a b Intervalo cerrado ( , )a b Intervalo abierto

Df Dominio de f

(3)

Cotas

; ,

Sea y

Si es

A A k

k x x A k

   

    cota superior

,

Si k   x x A k es cota inferior

El Supremo es la menor de las cotas superiores Si el supremo Ase llama también Máximo El Ínfimo es la mayor de las cotas inferiores Si el ínfimo Ase llama también Mínimo

Entorno * ; ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) { }

un entorno de centro y radio se puede escribir:

Un Entorno Reducido es aquel que no incluye el centro:

a a

E a

a a E a

E a E a a

                 Limite Finito

Definición: lim ( ) L

xc f x  El límite de la función

( )

f x es Lcuando x tiende a c.

*

(1) lim ( ) 0 ( ) 0

(2) lim ( ) L

(3)

lim ( ). ( ) 0

(4) ( ) ( )

Si es infinitesimo (inf) en

Si esta acotada en algun entorno

Si es inf en esta acotada en un entorno

Sean en

x a

x a

x a

f x f x x

f x f f a g f x g x

f x h x E

             * 0 ( ) ( ) ( ) ( )

lim ( ) lim ( ) L lim ( ) L ( )

en

Si T.Sandwich

x a x a x a

x g x h x E a f x g x h x

  

 

   

Limites Indeterminados

0 0

 

0

1

0

0.

0

   

    

    

   

    

   

   

Continuidad

( ) es continua en lim ( ) ( )

x a

f x x a f x f a

   

lim ( ) L L ( )

Si pero tiene

discontinuidad evitable en

x a f x f a f

x a

    

lim ( ) lim ( ) tiene discontinuidad esencial en

xaf x xa f x f x a

     

Discontinuidades Esenciales

(1) lim ( ) lim ( ) (2)

tiene un salto infinito en

Si uno o ambos limites laterales tienden a infinito, tiene una asintota vertical en

x a x a

f x f x f x a

f x a

 

    

Definición

[ , ]

(1) ( , ) ( , )

(2) ,

lim ( ) ( )

(3) ,

lim ( ) ( )

es continua en un intervalo cerrado continua en

es continua por izquierda de osea

es continua por derecha de osea

x a

x b

f a b

f a b x a b

f a

f x f a

f b

f x f b

          

[ , ) (1) (2),

(3)

De una forma similar podemos decir que es continua en un intervalo mencionando los puntos y

sin necesidad de ver el limite por la derecha de b en

f a b

Teorema de Weierstrass

0 0

1 1

( ) [ , ]

[ , ] / ( ) [ , ]

[ , ] / ( ) [ , ]

Sea continua en

es minimo absoluto en y es maximo absoluto en

f x a b

x a b f x a b

x a b f x a b

  

 

Teorema de Bolzano

( ) [ , ] / ( ) 0 ( ) 0

( , ) / ( ) 0

( , ) Sea continua en

Decimos que tiene una raiz en

f x a b f a f b

c a b f c

f a b

   

  

al menos

Corolario del Teorema de Bolzano

( ) [ , ] / ( ) 0 ( , )

( , ) Sea continua en

mantiene el signo en

f x a b f x x a b

f a b

   

Teorema del Valor Medio de Continuidad

( ) [ , ]

( ), ( ) ( ), ( )

( , ) / ( )

Sea f x continua en a b d f a f b d f b f a

c a b f c d

   

(4)

Derivada en un Punto

Derivada en un punto

0 1 * 0 0 0 0 ( ) ( )

'( ) lim

Dado que en el punto

x x

f C x

f x f x f x x x       1

Alternativamente se hace una sustitución y tenemos:

0 0

0 0

0

( ) ( )

: '( ) lim

x

f x x f x

x x x f x

x  

  

   

Esta última puede resultar más útil que la primera para

obtener la derivada de ciertas funciones de forma más fácil.

Recta tangente a una curva en un punto xc

'( ).

T

yf c x c

Recta normal a una curva en xc

1 . '( )

N

y x c

f c

 

1

( , ) es continua en ( , )

f  C x a bf a b

Teorema :

Derivada de Función Inversa

 

1 1 1 1 1

( ) ( ) . '( ) 1

1 ( ) '( ) ( ) 1 ( ) '( ) Derivamos Operas co

Usando algunas propiedades de funciones inversas podemos demostrar lo siguiente:

Para encontrar sustituimos arriba

f f x x f f x f x

f f x

f x

f y f x

f y f x                n esta parte

De acá operas con la derivada para que te quede el lado izquierdo de la igualdad totalmente en función de y.

* 1

C es una notación para indicar que la derivada es continua.

Derivadas Implícitas

Si derivas una función que contiene x, e yen función de x, la y se comporta como una función. Ver Reglas.

 

( ) '

d

y y y

dx

 

Aproximación Lineal por Diferencial

0 0 0 0 , ' ( ) '( ). ( ) Diferencial

Queremos aproximar en un punto conocemos el valor de y en un punto proximo a

Sea

f x

f f a x

x a x

f x f a x f a

  

  

Teorema de Rolle

[ , ]; ( , ) / ( ) ( )

( , ) / '( ) 0

continua en derivable en

f a b f a b f a f b c a b f c

 

  

Teorema del Valor Medio de Lagrange

[ , ] ( , )

( ) ( ) ( , ) / '( )

continua en derivable en

f a b f a b

f b f a c a b f c

b a

 

  

Teorema de Valor Medio de Cauchy

[ , ]

( , ) / '( ) 0 ( , ) '( ) ( ) ( )

( , ) /

'( ) ( ) ( ) continuas en

derivables en

f g a b

f g a b g x x a b

f c f b f a c a b

g c g b g a

   

   

Regla L’Hospital (l’Hôpital)

0 0

0

0

[ , ]

( , ) / '( ) 0 ( , ) lim ( ) lim ( ) 0

'( )

lim L (L )

'( ) ( ) lim L ( ) continuas en derivables en

finito o infinito

x x x x

x x

x x

f g a b

f g a b g x x a b

f x g x

(5)

La regla de L’Hospital puede ser aplicada sobre una discontinuidad evitable y en el caso 

tanto como

para el caso 0

0 mostrado. Asíntotas

Vertical

lim ( ) en

x a

x a f x

   

Horizontal

lim ( ) ,

Analizar Infinitos

Asintota Horizontal

x

y b f x b b



   

Oblicua

( )

lim ,

lim ( ) ,

Analizar Infinitos Asintota Oblicua x x f x

y mx b m m

x

b f x mx b





    

  

Crecimiento y Decrecimiento

1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

creciente en donde

estrictamente creciente en donde

f a b f x f x x x

f a b f x f x x x

  

  

1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

decreciente en donde

estrictamente decreciente en donde

f a b f x f x x x

f a b f x f x x x

  

  

Monotona Estrictamente

Teoremas

( , ) '( ) 0 , ( , )

estrictamente creciente en

f a bf x   x a b

( , ) '( ) 0 , ( , )

estrictamente decreciente en

f a bf x   x a b

( , ) '( ) 0 , ( , )

creciente en

f a bf x   x a b

( , ) '( ) 0 , ( , )

decreciente en

f a bf x   x a b

Extremos

*

0 0 0

*

0 0 0

( ) ( ), ( )

( ) ( ), ( )

es un Maximo Relativo es un Minimo Relativo

x f x f x x E x

x f x f x x E x

        Teorema 1 1 1 [ , ] ( , ), ( , )

'( ) 0

continua en y derivable en tiene un extremo relativo en

f a b a b x a b

f x

f x

 

'( ) 0 '( )

( ) 0 ( )

Se denominan puntos criticos donde se anula la derivada

Si es punto critico de

Si es punto de inflexion de

f a f a a f

f a f a a f

   

     

[ , ]; ( , )

''( ) 0 ( , )

( ) ( , )

continua en derivable en

Barriga para arriba es concava

f a b f a b

f x x a b

f x x a b

         [ , ]; ( , )

''( ) 0 ( , )

( ) ( , )

continua en derivable en

Barriga para abajo es convexa

f a b f a b

f x x a b

f x x a b

         1 1 ( ) ( )

Si f xf x  x Dff tiene maximo absoluto en x

2 2

( ) ( )

Si f xf x  x Dff tiene minimo absoluto en x

f puede tener extremos absolutos tanto en donde hay un extremo relativo como en los bordes de Df

Taylor

( ) ( )

( ) ( ) '( ) '( )

( ) ( )

Una funcion puede ser representada como un polinomio de orden en un punto si es derivable veces, tal que valga:

(derivado veces)

n n

f

P n a

n

f a P a

f a P a

f a P a n

 

Definición

( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( )! ''( ) ( ) ( ) '( ).( ) ( )

(2)! ( )!

Denominamos el polinomio taylor de de orden centrado en , el cual esta definido de la siguiente manera:

n k n k n n k n n

P x f n

a

f a P x T f x a x a

k

f a f a f a f a x a x a x a

n

  

      

(6)

Error/Resto de la Aproximación por Taylor

Definición

0

( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )

n n n n

R xE xf xT f x xf xP x

Formula del Resto de Lagrange

( 1) 1 0 0 0 ( ) ( ) .( ) 1 ! ( , ) ( , ) ( ) Donde c

La gracia de la formula es acotar dentro cuales valores puede estar el error, trabajando con un modulo

n

n n

n

f c

R x x x

n

x x c x x

R x         

Para ver como acota la funcion, no se usa el modulo:

Si el error es negativo, la función acota en exceso

( ) n( )

f x P x

 

Si el error es positivo, la función acota por defecto

( ) n( )

f x P x

 

Primitivas

Definición

0

/ ( )

( ) '( ) es una primitiva de x f x C

f x F x F f

 

 

Propiedad

( ) ( ) /

primitivas de

tiene infinitas primitivas

f

f x dx F x c c

f    

Integral Definida 1

lim ( ) . ( )

diferencial

suma de Riemann

n b

i i a

n i

f x x f x dx



 

0

(1) (2) :

(1) [ , ]

(2)

Para que una funcion sea integrable o integrable por tramos

en el intervalo

Si no es continua, tiene que tener un numero finito de discontinuidades y sus limites en los bordes

f

f C a b f

de los tramos tienen que existir y no pueden ser infinitos.

Definición

( )

( )

b a

a

f x dx

 

b

f x dx

Propiedades

(1) ( ) 0

(2) ( ) ( ) [ , ]

( ) ( )

(3) ( , )

( ) ( ) ( )

c c

b b

a a

b c b

a a c

f x dx

f x g x x a b

f x dx g x dx

c a b

f x dx f x dx f x dx

        

Teorema del Valor Medio de Integrales

0 ( ) [ , ] ( , ) / ( ) ( ).( ) en b a

f x C a b

c a b f x dx f c b a

  

 

Teorema Fundamental del Calculo

0

[ , ]

[ , ] / ( ) ( )

'( ) ( ) ; [ , ]

Sea en un intervalo

Sea la funcion definida x

a

f C a b

H x a b H x f t dt

H x f x x a b

       

Corolario (Barrow) 0 [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( )

Sea en un intervalo Sea la primitiva de

b a

f C a b

F f x a b

f t dt H b H a

   

  Corolario 2

( ) / ( ) ( ) '( ) ( ) . '( )

Sea una funcion derivable cualquiera Sea la primitiva de h x

a

h

F f x F x f t dt

F x f h x h x

  

 

Operación importante

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . '( ) ( ) . '( )

h x a h x

g x g x a

g x h x

a a

x f t dt f t dt f t dt

x f t dt f t dt

(7)

Métodos de Integración

Método Sustitución

( ) . '( ) ( ); '( )

( ) . '( ) ( ) ( ) ( )

Si tien primitiva y se quiere calcular:f F f g x g x dx t g x dt g x dx

f g x g x dx f t dt F t F g x

  

   

Integración por Partes

udv

uv

vdu

n ia i na aca sin cola estida e niforme

u d v u v v d u

Longitud de Arco

1

2

[ , ]

1 '( ) en

Donde es la Longitud de Arco para de hasta

b a

f C a b

S f x dx

S f

a b

 

Biyectividad

Imagen

lim ( ) lim ( ) Im( ) ( , )

Sea una funcion monotona Si

x b x a

f

f x c f x d

f c d

    

 

Probar admisión de Inversa

0 1

[ , ] ( , )

:[ , ] [ , ]

[ , ]

en en

Sea una funcion monotona

es funcion Biyectiva y admite inversa en

f C a b f C a b

f a b c d f

f a b

  

Figure

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