Un Resumen Teórico
De
Matemática I
WhittiLeaks
Notación:
0
Derivable veces con continuidad Es continua
n
C n
C
DadofC1, se debería leer de la siguiente manera:
“La función f pertenece a las funciones derivables con continuidad.” Que sería lo mismo que decir: “La función
f es derivable” Como se suele decir en Matemática I Nota del editor: Creo que les será útil pensarlo de esta
manera ya que es común que en los parciales les pidan probar que una función es derivable en un punto. Esto se hace probando que la derivada de la función(es) es continua en dado punto o por definición de la derivada.
0
( , ] en
fC a b : “ f es continua en el intervalo abierto de a hasta b, y continua en b”
Puntos Finales
Esta versión no incluye temas considerados demasiado demandantes visualmente como solidos de revolución y suma de Riemann.
Este resumen es puramente teórico, faltara
complementar el estudio con la memorización de las tablas de integrales inmediatas, Taylor famosos, reglas de operaciones con integrales definidas/limites, etc.
Agradecimientos a Fede por prestarme apuntes recientes.
Y (And)
O (Or)
Es idéntico a
Pertenece a/Es un elemento de
Por lo tanto/Por ende Porque/Debido a que Igual material/ “es lo mismo
que decir”
Entonces
[ , ]a b Intervalo cerrado ( , )a b Intervalo abierto
Df Dominio de f
Cotas
; ,
Sea y
Si es
A A k
k x x A k
cota superior
,
Si k x x A k es cota inferior
El Supremo es la menor de las cotas superiores Si el supremo Ase llama también Máximo El Ínfimo es la mayor de las cotas inferiores Si el ínfimo Ase llama también Mínimo
Entorno * ; ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) { }
un entorno de centro y radio se puede escribir:
Un Entorno Reducido es aquel que no incluye el centro:
a a
E a
a a E a
E a E a a
Limite Finito
Definición: lim ( ) L
xc f x El límite de la función
( )
f x es Lcuando x tiende a c.
*
(1) lim ( ) 0 ( ) 0
(2) lim ( ) L
(3)
lim ( ). ( ) 0
(4) ( ) ( )
Si es infinitesimo (inf) en
Si esta acotada en algun entorno
Si es inf en esta acotada en un entorno
Sean en
x a
x a
x a
f x f x x
f x f f a g f x g x
f x h x E
* 0 ( ) ( ) ( ) ( )
lim ( ) lim ( ) L lim ( ) L ( )
en
Si T.Sandwich
x a x a x a
x g x h x E a f x g x h x
Limites Indeterminados
0 0
0
1
0
0.
0
Continuidad( ) es continua en lim ( ) ( )
x a
f x x a f x f a
lim ( ) L L ( )
Si pero tiene
discontinuidad evitable en
x a f x f a f
x a
lim ( ) lim ( ) tiene discontinuidad esencial en
xaf x xa f x f x a
Discontinuidades Esenciales
(1) lim ( ) lim ( ) (2)
tiene un salto infinito en
Si uno o ambos limites laterales tienden a infinito, tiene una asintota vertical en
x a x a
f x f x f x a
f x a
Definición
[ , ]
(1) ( , ) ( , )
(2) ,
lim ( ) ( )
(3) ,
lim ( ) ( )
es continua en un intervalo cerrado continua en
es continua por izquierda de osea
es continua por derecha de osea
x a
x b
f a b
f a b x a b
f a
f x f a
f b
f x f b
[ , ) (1) (2),
(3)
De una forma similar podemos decir que es continua en un intervalo mencionando los puntos y
sin necesidad de ver el limite por la derecha de b en
f a b
Teorema de Weierstrass
0 0
1 1
( ) [ , ]
[ , ] / ( ) [ , ]
[ , ] / ( ) [ , ]
Sea continua en
es minimo absoluto en y es maximo absoluto en
f x a b
x a b f x a b
x a b f x a b
Teorema de Bolzano
( ) [ , ] / ( ) 0 ( ) 0
( , ) / ( ) 0
( , ) Sea continua en
Decimos que tiene una raiz en
f x a b f a f b
c a b f c
f a b
al menos
Corolario del Teorema de Bolzano
( ) [ , ] / ( ) 0 ( , )
( , ) Sea continua en
mantiene el signo en
f x a b f x x a b
f a b
Teorema del Valor Medio de Continuidad
( ) [ , ]
( ), ( ) ( ), ( )
( , ) / ( )
Sea f x continua en a b d f a f b d f b f a
c a b f c d
Derivada en un Punto
Derivada en un punto
0 1 * 0 0 0 0 ( ) ( )
'( ) lim
Dado que en el punto
x x
f C x
f x f x f x x x 1
Alternativamente se hace una sustitución y tenemos:
0 0
0 0
0
( ) ( )
: '( ) lim
x
f x x f x
x x x f x
x
Esta última puede resultar más útil que la primera para
obtener la derivada de ciertas funciones de forma más fácil.
Recta tangente a una curva en un punto xc
'( ).T
y f c x c
Recta normal a una curva en xc
1 . '( )
N
y x c
f c
1
( , ) es continua en ( , )
f C x a b f a b
Teorema :
Derivada de Función Inversa
1 1 1 1 1( ) ( ) . '( ) 1
1 ( ) '( ) ( ) 1 ( ) '( ) Derivamos Operas co
Usando algunas propiedades de funciones inversas podemos demostrar lo siguiente:
Para encontrar sustituimos arriba
f f x x f f x f x
f f x
f x
f y f x
f y f x n esta parte
De acá operas con la derivada para que te quede el lado izquierdo de la igualdad totalmente en función de y.
* 1
C es una notación para indicar que la derivada es continua.
Derivadas Implícitas
Si derivas una función que contiene x, e yen función de x, la y se comporta como una función. Ver Reglas.
( ) '
d
y y y
dx
Aproximación Lineal por Diferencial
0 0 0 0 , ' ( ) '( ). ( ) Diferencial
Queremos aproximar en un punto conocemos el valor de y en un punto proximo a
Sea
f x
f f a x
x a x
f x f a x f a
Teorema de Rolle
[ , ]; ( , ) / ( ) ( )
( , ) / '( ) 0
continua en derivable en
f a b f a b f a f b c a b f c
Teorema del Valor Medio de Lagrange
[ , ] ( , )
( ) ( ) ( , ) / '( )
continua en derivable en
f a b f a b
f b f a c a b f c
b a
Teorema de Valor Medio de Cauchy
[ , ]
( , ) / '( ) 0 ( , ) '( ) ( ) ( )
( , ) /
'( ) ( ) ( ) continuas en
derivables en
f g a b
f g a b g x x a b
f c f b f a c a b
g c g b g a
Regla L’Hospital (l’Hôpital)
0 0
0
0
[ , ]
( , ) / '( ) 0 ( , ) lim ( ) lim ( ) 0
'( )
lim L (L )
'( ) ( ) lim L ( ) continuas en derivables en
finito o infinito
x x x x
x x
x x
f g a b
f g a b g x x a b
f x g x
La regla de L’Hospital puede ser aplicada sobre una discontinuidad evitable y en el caso
tanto como
para el caso 0
0 mostrado. Asíntotas
Vertical
lim ( ) en
x a
x a f x
Horizontal
lim ( ) ,
Analizar Infinitos
Asintota Horizontal
x
y b f x b b
Oblicua
( )
lim ,
lim ( ) ,
Analizar Infinitos Asintota Oblicua x x f x
y mx b m m
x
b f x mx b
Crecimiento y Decrecimiento
1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( )
creciente en donde
estrictamente creciente en donde
f a b f x f x x x
f a b f x f x x x
1 2 1 2
1 2 1 2
( , ) ( ) ( )
( , ) ( ) ( )
decreciente en donde
estrictamente decreciente en donde
f a b f x f x x x
f a b f x f x x x
Monotona Estrictamente
Teoremas
( , ) '( ) 0 , ( , )
estrictamente creciente en
f a b f x x a b
( , ) '( ) 0 , ( , )
estrictamente decreciente en
f a b f x x a b
( , ) '( ) 0 , ( , )
creciente en
f a b f x x a b
( , ) '( ) 0 , ( , )
decreciente en
f a b f x x a b
Extremos
*
0 0 0
*
0 0 0
( ) ( ), ( )
( ) ( ), ( )
es un Maximo Relativo es un Minimo Relativo
x f x f x x E x
x f x f x x E x
Teorema 1 1 1 [ , ] ( , ), ( , )
'( ) 0
continua en y derivable en tiene un extremo relativo en
f a b a b x a b
f x
f x
'( ) 0 '( )
( ) 0 ( )
Se denominan puntos criticos donde se anula la derivada
Si es punto critico de
Si es punto de inflexion de
f a f a a f
f a f a a f
[ , ]; ( , )
''( ) 0 ( , )
( ) ( , )
continua en derivable en
Barriga para arriba es concava
f a b f a b
f x x a b
f x x a b
[ , ]; ( , )
''( ) 0 ( , )
( ) ( , )
continua en derivable en
Barriga para abajo es convexa
f a b f a b
f x x a b
f x x a b
1 1 ( ) ( )
Si f x f x x Df f tiene maximo absoluto en x
2 2
( ) ( )
Si f x f x x Df f tiene minimo absoluto en x
f puede tener extremos absolutos tanto en donde hay un extremo relativo como en los bordes de Df
Taylor
( ) ( )
( ) ( ) '( ) '( )
( ) ( )
Una funcion puede ser representada como un polinomio de orden en un punto si es derivable veces, tal que valga:
(derivado veces)
n n
f
P n a
n
f a P a
f a P a
f a P a n
Definición
( ) 0 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ), ( )! ''( ) ( ) ( ) '( ).( ) ( )(2)! ( )!
Denominamos el polinomio taylor de de orden centrado en , el cual esta definido de la siguiente manera:
n k n k n n k n n
P x f n
a
f a P x T f x a x a
k
f a f a f a f a x a x a x a
n
Error/Resto de la Aproximación por Taylor
Definición
0
( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( )
n n n n
R x E x f x T f x x f x P x
Formula del Resto de Lagrange
( 1) 1 0 0 0 ( ) ( ) .( ) 1 ! ( , ) ( , ) ( ) Donde cLa gracia de la formula es acotar dentro cuales valores puede estar el error, trabajando con un modulo
n
n n
n
f c
R x x x
n
x x c x x
R x
Para ver como acota la funcion, no se usa el modulo:
Si el error es negativo, la función acota en exceso
( ) n( )
f x P x
Si el error es positivo, la función acota por defecto
( ) n( )
f x P x
Primitivas
Definición
0
/ ( )
( ) '( ) es una primitiva de x f x C
f x F x F f
Propiedad
( ) ( ) /
primitivas de
tiene infinitas primitivas
f
f x dx F x c c
f
Integral Definida 1lim ( ) . ( )
diferencial
suma de Riemann
n b
i i a
n i
f x x f x dx
0
(1) (2) :
(1) [ , ]
(2)
Para que una funcion sea integrable o integrable por tramos
en el intervalo
Si no es continua, tiene que tener un numero finito de discontinuidades y sus limites en los bordes
f
f C a b f
de los tramos tienen que existir y no pueden ser infinitos.
Definición
( )
( )
b a
a
f x dx
bf x dx
Propiedades
(1) ( ) 0
(2) ( ) ( ) [ , ]
( ) ( )
(3) ( , )
( ) ( ) ( )
c c
b b
a a
b c b
a a c
f x dx
f x g x x a b
f x dx g x dx
c a b
f x dx f x dx f x dx
Teorema del Valor Medio de Integrales
0 ( ) [ , ] ( , ) / ( ) ( ).( ) en b a
f x C a b
c a b f x dx f c b a
Teorema Fundamental del Calculo
0
[ , ]
[ , ] / ( ) ( )
'( ) ( ) ; [ , ]
Sea en un intervalo
Sea la funcion definida x
a
f C a b
H x a b H x f t dt
H x f x x a b
Corolario (Barrow) 0 [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( )Sea en un intervalo Sea la primitiva de
b a
f C a b
F f x a b
f t dt H b H a
Corolario 2
( ) / ( ) ( ) '( ) ( ) . '( )Sea una funcion derivable cualquiera Sea la primitiva de h x
a
h
F f x F x f t dt
F x f h x h x
Operación importante
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) . '( ) ( ) . '( )h x a h x
g x g x a
g x h x
a a
x f t dt f t dt f t dt
x f t dt f t dt
Métodos de Integración
Método Sustitución
( ) . '( ) ( ); '( )
( ) . '( ) ( ) ( ) ( )
Si tien primitiva y se quiere calcular:f F f g x g x dx t g x dt g x dx
f g x g x dx f t dt F t F g x
Integración por Partes
udv
uv
vdu
n ia i na aca sin cola estida e niforme
u d v u v v d u
Longitud de Arco
1
2
[ , ]
1 '( ) en
Donde es la Longitud de Arco para de hasta
b a
f C a b
S f x dx
S f
a b
Biyectividad
Imagen
lim ( ) lim ( ) Im( ) ( , )
Sea una funcion monotona Si
x b x a
f
f x c f x d
f c d
Probar admisión de Inversa
0 1
[ , ] ( , )
:[ , ] [ , ]
[ , ]
en en
Sea una funcion monotona
es funcion Biyectiva y admite inversa en
f C a b f C a b
f a b c d f
f a b