1. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento. - UNIDAD 7 apliquemos elementos de geometria analitica.

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(1)

UNIDAD 7: APLIQUEMOS ELEMENTOS DE GEOMETRIA

ANALITICA.

Elementos de geometría analítica

Introducción

En esta unidad última nos ocuparemos del estudio de los conceptos más fundamentales de la geometría analítica plana y haremos un recorrido pos los lugares geométricos más conocidos.

En concreto, se pretende que l@s estudiantes se familiaricen con los conceptos de distancia entre dos puntos, pendiente de una recta, punto medio de un segmento, ángulo entre rectas. A su vez, se busca que l@s estudiantes logren un conocimiento claro de las ecuaciones de una línea recta, de una circunferencia y de una parábola.

Por otro lado, será importante visualizar la aplicación de estos conceptos y ecuaciones, en el análisis de situaciones geométricas.

Objetivos:

Que el alumno o la alumna pueda:

1. Explicar los conceptos matemáticos de distancia entre dos puntos, inclinación y pendiente de una recta, ángulo entre rectas y punto medio de un segmento.

2. Aplicar las fórmulas para calcular: la distancia entre dos puntos, la pendiente de una recta, el ángulo entre rectas y el punto medio de un segmento..

3. Utilizar los conceptos elementales estudiados, para realizar demostraciones geométricas.

4. Definir los lugares geométricos siguientes: línea recta, circunferencia y parábola.

5. Identificar el lugar geométrico (línea recta, circunferencia y parábola) correspondiente a una determinada ecuación.

6. Determinar los elementos característicos de un lugar geométrico a partir de su ecuación y trazar el gráfico.

7. Encontrar la ecuación de un lugar geométrico a partir de ciertos elementos que lo caracterizan.

1

.

Conceptos fundamentales

.

1.1 Coordenadas rectangulares

El plano cartesiano ya se ha estudiado en años anteriores. Aquí haremos un breve recordatorio.

En la página siguiente se muestra el plano cartesiano. Allí podemos observar los 2 ejes cartesianos:

X

y

y

.

Observamos también los 4 cuadrantes y 2 pares ordenados.

Objetivos conceptuales. Entender los conceptos: coordenadas rectangulares, distancia entre dos puntos, iInclinación y pendiente de una recta, ángulo entre 2 rectas y punto medio de un segmento de recta.

Objetivos procedimentales.Ubicar un punto en el plano cartesano, calcular la distancia entre 2 puntos y la inclinación y la pendiente de una recta, calcular el ángulo entre 2 rectas y el punto medio de un segmento de recta.

(2)

Actividad 1

. Coloquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (2,5), (3,4), (5,1), (-4,2), (-3,-4), (-1,-4), y (1,-3)

Actividad 1b

.Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: 2,5), 3,4), (-5,1), (4,2), (3,-4), (1,-4), y (-1,-3)

Actividad 1c

.Ubiquen en el plano cartesiano los puntos siguientes: (-2,-5), (-3,-4), (-5,-1), (4,-2), (3,4), (1,4), y (-1,3)

Podemos observar las características siguientes:

1. Los valores positivos de

X

están a la derecha del origen

2. Los valores positivos de

y

están hacia arriba del origen

3. Los valores negativos de

X

están a la izquierda del origen

4. Los valores negativos de

y

están hacia abajo del origen

5. Todo valor a la izquierda es menor que todo valor a la derecha (en

X

)

6. Todo valor de abajo es menor que todo valor de arriba (en

y

)

1.2 Distancia entre dos puntos

En La gráfica siguiente tenemos 2 rectas: una horizontal que pasa por

y

= 5, y una vertical que para por

X

= 9. sobre cada recta hay dos puntos. Sobre la recta que pasa por 9 tenemos los puntos (9,-1) y (9,6) ¿Cuál es la distancia entre los dos puntos? Si medimos con una regla, encontramos que esa distancia es 7 cm. Pero 7 = 6 – (-1) = 6 + 1 = 7. Pero 6 y –1 son las coordenadas en

y

.

Eje

X

Cuadrante I

Cuadrante II

Cuadrante III

Cuadrante IV

Eje

y

(-2, 3)

(4, -1)

1

2

3

4

5

-5

-4

-3

-2

-1

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

Origen (0, 0)

(3)

En general se tiene que, para 2 puntos sobre una recta vertical, la distancia es

y

2

y

1, siendo

y

2 el mayor.

De igual forma tenemos que, para 2 puntos sobre una recta horizontal, la distancia es

X

2

X

1, siendo

X

2 el mayor.

Para el caso de la recta horizontal mostrada, la distancia es: 7 – (-1) = 7 + 1 = 8 cm.

Supongamos ahora que queremos medir la distancia entre los puntos (1,1) y el punto (5,4) Si medimos con una regla encontramos que es 5 cm. Pero a esta respuesta también se llega aplicando Pitágoras, pues se tiene un triángulo rectángulo.

Para el cateto horizontal se tiene una distancia de:

X

2

X

1 = 5 – 1 = 4 cm

Para el cateto vertical se tiene una distancia de:

y

2

y

1 = 4 – 1 = 3 cm

Al aplicar Pitágoras, se tiene que la distancia es: d = 4

2

+ 3

2

= 25 = 5 cm

Por lo tanto se tiene que la distancia, d, entre 2 puntos es:

d

= (

X

2

X

1)2 + (

y

2

y

1)2

En esta ecuación no importa si

X

2 es mayor o menor que X1.

Actividad 2

. Encuentren la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1. (2,8) y (5,8) ____

2. (3,8) y (5,8) ____ 3. (4,8) y (5,8) ____ 4. (-2,8) y (5,8) ____ 5. (-4,8) y (5,8) ____

6

5

4

3

2

1

-1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

(4)

6. (3,-8) y (5,-8) ____ 7. (4,-8) y (5,-8) ____ 8. (-2,-8) y (5,-8) ____ 9. (-4,-8) y (5,-8) ____

10. (3,8) y (3,6) ____ 11. (3,8) y (3,7) ____ 12. (3,8) y (3,1) ____ 13. (5,-8) y (5,1) ____

14. (3,7) y (6,-5) ____ 15. (3,5) y (12,-4) ____ 16. (-5,8) y (3,-2) ____ 17. (5,12) y (-1,8) ____

18. (12,-7) y (10,-1) ____ 19. (15,10) y (14,9) ____20. (100,-20) y (101,-21) 21. (100,-20) y (-100,0) ____

discusión 1

.1. Encuentren gráfica y analíticamente el perímetro de los triángulos siguientes:

6

5

4

3

2

1

-1

-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

A

B

C

(5)

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

D

E

F

G

H

(6)

2

. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada caso

la coordenada q.

a

. (2, q) y (20, 12) d = 373 ___

b

. (5, 8) y (10, q) d = 13 ___

c

. (-2, 6) y (q, -4) d = ___

d

. (q,5) y (10,4) d = ___

e

. (q,8) y (10,12)

d = ___

f

. (8,3) y (10,

q) d = ___

g

. (5,

q) y (7,12) ___

h

. (2,10) y (q,7)

___

i

. (10,q) y (20,10) d = ___

j

. (q,10) y (5,12) d = ____

k

. (1,5) y (5,q)

____

l

. (q,5) y (14,12) ____

m

. (q,20) y (20,30) ____

2b

. En los casos siguientes se da la distancia entre los 2 puntos. Encuentren en cada

caso la coordenada q.

a

.(q, 4) y (-10,-5) ____

b

. (q, -8) y (-10,-8) d = 400

c

. (10, -20) y (-15,q) d = 25 ____

d

. (10, -20) y (-15,q) d = 25 ____

e

. (10, -20) y (-15,

q) d = 25 ____

f

. (-5, -8) y (q,-12) ____

g

. (-5,

q) y (14,-10) ____

h

. (q, 12) y (12,-14) ____

i

. (10, -12) y (q,15) ____

j

. (q, 10) y (20,-5) ____

2c

. Trazar y encontrar el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos

siguientes:

a

. (3,8); (5,8) y (6,7) ______

b

. (3,10); (2,8) y (6,-7) ______

c

. (3,-10); (2,-8) y

(4,-7) ______

d

. (3,-12); (2,-10) y (-4,-7) ______

e

. (-3,-12); (2,-10) y (5,-7) ______

discusión 2

.

a

. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B

al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,2); el punto B es (2,10); el punto C es (6,4); el punto D es (8,-2) y el punto E es (5,-7) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____

b

. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3); el punto B es (-2,10); el punto C es (6,5); el punto D es (5,-2) y el punto E es (5,-6) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____

c

. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B

al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-4,3); el punto B es (-2,8); el punto C es (6,7); el punto D es (5,-4) y el punto E es (5,-5) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____

d

. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-2,3); el punto B es (-2,7); el punto C es (5,7); el punto D es (2,-4) y el punto E es (7,-5) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera

82

244

41

13

d =

8

d =

45

136

13

d =

32

d =

85

d =

85

d =

200

d =

85

d = 641

d = 685

d = 932

(7)

movido en línea recta de A a E _____

e

. Un cuerpo se mueve del punto A, al B, del B

al C, del C al D, del D al E. Encuentren la distancia total recorrida si se sabe que: el punto A es (-5,3); el punto B es (-2,5); el punto C es (2,7); el punto D es (2,10) y el punto E es (7,-8) ______ Además grafiquen los puntos y encuentren la distancia que habría recorrido el cuerpo si se hubiera movido en línea recta de A a E _____

discusión 3

.

a

. Encuentren 4 puntos que estén a 5 unidades del punto (2,5)

b

. Encuentren 4 puntos que estén a 4 unidades del punto (3,5)

c

. Encuentren 4 puntos que estén a 6 unidades del punto (4,5)

d

. Encuentren 4 puntos que estén a 7 unidades del punto (2,4)

e

. Encuentren 4 puntos que estén a 2 unidades del punto (3,5)

f

. Encuentren 4 puntos que estén a 6 unidades del punto (3,3)

g

. Encuentren 4 puntos que estén a 7

unidades del punto (2,2)

discusión 3b

. La circunferencia mostrada tiene un radio de 4 cm. Calcular las distancias entre los puntos:

a

. A y B ______

b

. A y C ______

c

. A y D

______

d

. B y C ______

e

. B y D ______

f

.

C y D ______

1.3 Inclinación y pendiente de una recta

Inclinación

. La inclinación de una recta es el ángulo que forma con la horizontal

Pendiente

. La pendiente m de una recta es la tangente del ángulo de inclinación.

l

En el plano cartesiano anterior, la recta

l

tiene una inclinación de 63.43º Esto significa que su pendiente es: Tan (63.43º) = 2

63.43º

45°

60°

30°

75°

A

B

C

D

Un punto en el plano

se rige por

coordenadas. En la

vida encontrarás

coordenadas que te

señalarán el camino

adecuado.

(8)

Lo anterior nos lleva a la conclusión que la inclinación de una recta es la tangente inversa de la pendiente.

Para el caso anterior, como la pendiente es 2, entonces la inclinación es: Tan-1(2) =

63.43º

Para una recta que pasa por 2 puntos conocidos, su pendiente viene dada por la fórmula:

Ejemplo

. Calcular la pendiente y la inclinación de las rectas siguientes: 1. La que pasa por los puntos (2,10) y (4,16) 2. La que pasa por los puntos (2,-3) y (4,-7)

Los puntos son (2,10) y (4,16)

La pendiente es: m = (16 – 10) / (4 – 2) = 6/2 = 3 El ángulo de inclinación es: Tan-1 (3) = 71.6º

Los puntos son (2,-3) y (4,-7)

La pendiente es: m = (-7 – (-3)) / (4 – 2) = (-7 + 3) / 2 = -4/2 = -2

El ángulo de inclinación es: Tan-1 (-2) = -63.43º

Observemos que la pendiente y la inclinación son negativas. –63.43 nos indica que es un ángulo medido hacia abajo del eje

X

positivo. Esta recta es la siguiente:

Surge la pregunta: ¿qué ángulo forma hacia arriba del eje

X

? La respuesta es sencilla. Se tiene que 63.43º + θ = 180º Por lo tanto θ = 180º - 63.43º = 116.57

No olvidemos que Tan –63.43 = Tan 116.57º

El ángulo puede expresarse como 116.57º ó -63.43º

Se concluye que de 0º a 90º, la pendiente es POSITIVA. De más de 90º a menos de 180º, la pendiente es NEGATIVA.

m

= (

y2

y1

) / (

X2

X1

)

-63.43º

θ

(9)

Además, una recta horizontal tiene pendiente CERO; y una vertical tiene pendiente INFINITA.

Actividad 3

. En cada par de puntos, encuentra la pendiente y la inclinación.

1. (2,4) y (4,6) __ ____ 2. (2,5) y (4,7) __ ____ 3. (2,3) y (4,6) __ ____ 4. (2,5) y (4,10) __ ____

5. (2,0) y (4,-2) __ ____ 6. (2,1) y (4,-1) __ ____ 7. (2,-3) y (4,-6) __ ____ 8. (2,-5) y (4,-10) __ ____

9. (2,3) y (3,-2) __ ____ 10. (2,2) y (3,-1) __ ____ 11. (4,-3) y (5,-6) __ ____ 12. (2,5) y (5,-12) __ ____

13. (2,1) y (4,-2) __ ____ 14. (2,1) y (6,-1) __ ____ 15. (4,-3) y (4,-6) __ ____ 16. (2,-5) y (4,-10) __ ____

17. (2,2) y (3,-2) __ ____ 18. (1,1) y (5,-1) __ ____ 19. (-4,-3) y (4,-6) __ ____ 20. (-2,-5) y (4,-10) __ ____

1.4 Angulo entre dos rectas

Observa el gráfico siguiente:

Se tiene también que para

l

1 su pendiente es m1; y para

l

2 la pendiente es m2.

Ocurre que para θ:

Significa que el ángulo entre las rectas es:

Para el caso que estamos estudiando, las pendientes son: Para

l

1: Tan 45º = 1

Para

l

2: Tan 116.57º = -2

Por lo tanto, el ángulo entre las rectas es: θ = Tan-1 ((-2 – 1) / (1 + (1)(-2))) = Tan-1 (-3/

(1 - 2))

m

2 –

m

1

1 +

m

1

m

2

Tan θ =

θ

= Tan

-1

(

m

2 –

m

1)

/

(1 +

m

1

m

2)

45º

63.43º

θ

-63.43º

116.57º

l

1

l

2

En el gráfico, las rectas

l

1 y

l

2 forman un

(10)

= Tan-1 -3/-1

= Tan-1 3 =

71.57º

Ejemplo

. Encontrar el ángulo que forman 2 rectas. La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8): y la segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12)

La primera pasa por los puntos (2,4) y (4,8) Encontremos la pendiente.

m = (4 - 8) / (2 - 4) = -4/-2 = 2  Aquí hemos partido del primer punto.

La segunda pasa por los puntos (2,-6) y (4,-12) Encontremos la pendiente.

m = (-6 – (-12)) / (2 - 4) = (-6 + 12) / -2 = 6/-2 = -3

θ = Tan

-1 ((-3 – 2) / (1 + (2)(-3))) = Tan-1 (-5/(1 - 6)) = Tan-1 (–5/-5) = Tan-1 1 = 45º

θ

= 45º

El ángulo que formen las 2 rectas será siempre POSITIVO y menor

de 180º

Actividad 4

. Encontrar en cada caso el ángulo que forman las 2 rectas. 1. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,-4) y (5,-10) _____ 2. La primera pasa por (2,4) y (5,10) y la segunda pasa por (2,6) y (3,9) _____ 3. La primera pasa por (1,1) y (2,2) y la segunda pasa por (2,-4) y (3,-6) _____ 4. La primera pasa por (2,-4) y (3,-6) y la segunda pasa por (2,-8) y (3,-12) _____ 5 La primera pasa por (2,-5) y (3,-7) y la segunda pasa por (2,-5) y (3,-10) _____

Actividad 4b

. Se tiene una recta que pasa por los puntos (0,0) y (2,7). Encontrar el ángulo que forma esta recta con la recta que pasa por los puntos (10,0) y (3,q) si q toma toma los valores de:

a

. q = 12

θ =

_______

b

. q = 11

θ =

_______

c

. q = 10

θ =

_______

d

. q = 9

θ =

_______

e

. q = 8

θ =

_______

f

. q = 7

θ =

_______

g

. q = 6

θ =

_______

h

. q = 5

θ =

_______

i

. q = 4

θ =

_______

j

q = 3

θ =

_______

k

. q = 2

θ =

_______

l

. q = 1

θ

=

_______

m

. q = 0

θ =

_______

n

q = -1

θ =

_______

ñ

. q = -2

θ =

_______

o

. q = -3

θ =

_______

Actividad 4c

. Para cada recta que pasa por los puntos indicados, encontrar el menor ángulo que forma con los 2 ejes del plano cartesiano

a

. (2,4) y (5,10)

θ

X= ______

θ

Y= ______

b

. (2,-4) y (5,-10)

θ

X= ______

θ

Y= ______

c

. (2,4) y (5,10)

θ

X= ______

θ

Y= ______

d

. (2,6) y (3,9)

θ

X= ______

θ

Y= ______

e

. (1,1) y (2,2)

θ

X= ______

θ

Y= ______

f

. (2,-4) y (3,-6)

θ

X= ______

θ

Y= ______

g

. (2,-4) y (3,-6)

θ

X= ______

θ

Y= ______

h

. (2,-8) y (3,-12)

θ

X= ______

θ

Y= ______

(11)

1.5 Punto medio de un segmento de recta

En la gráfica aparece un segmento de recta. El segmento se inicia en P1 y termina en

P2.

El punto Pm es el punto medio. Es decir, la mitad del segmento. Si conocemos las coordenadas de los puntos extremos, cómo averiguamos las coordenadas del punto medio.

Se tiene que:

Ejemplo

. Los puntos extremos de un segmento de recta son (2,6) y (8,12) Encontrar el punto medio.

Apliquemos las ecuaciones respectivas:

X

=

(

X

1

+

X

2

)

/2 = (2 + 8)/2 = 10/2 = 5 

y

= (

y

1 +

y

2

)

/2 = (6 + 12)/2 =

18/2 = 9

El punto medio es Pm (5,9)

Actividad 5

. En cada caso, encuentra el punto medio del segmento de recta. Se dan los puntos extremos. 1. (2,3) y (8,6) _____ 2. (2,4) y (8,-2) _____ 3. (4,2) y (10,-4) _____ 4. (-2,-4) y (8,10) _____ 5. (2,3) y (8,7) _____ 6. (2,5) y (8,7) _____ 7. (2,5) y (8,7) _____ 8. (2,7) y (8,7) _____ 9. 2,5) y (8,7) _____ 10. (-2,5) y (-8,7) _____ 11. ((-2,5) y (-8,-7) _____ 12. (-(-2,5) y (-8,-7) _____ 13. (5,2) y (7,8) _____ 14. (5,2) y (7,8) _____ 15. (5,2) y (5,8) _____ 16. (5,4) y (5,8) _____ 17. (5,6) y (5,8) _____ 18. (-5,6) y (5,8) _____ 19. (5,6) y (-5,8) _____ 20. (5,8) y (-5,8) _____ 21. (5,8) y (-5,-8) _____ 22. (5,6) y (-5,-6) _____ 23. (5,2) y (-5,-2) _____ 24. (4,2) y (6,-2) _____ 25. (6,2) y (6,-2) _____ 26. (6,-2) y (6,2) _____ 27. (1,-2) y (9,2) _____ 28. (1,-2) y (9,4) _____ 29. (3,-2) y (9,-4) _____ 30. (-3,-2) y (9,-4) _____ 31. (-3,2) y (9,-4) _____ 32. (-3,2) y (-9,-4)

P1 (

X

1,

y

1)

P2 (

X

2,

y

2

)

Pm (

X

,

y

)

X

= (

X

1 +

X

2) / 2

y

=

(

y

1

+

y

2

)

/

2

(12)

_____ 33. (-3,-2) y (-9,-4) _____ 34. (-3,-2) y (-9,-6) _____ 35. (-3,-2) y (-9,-8) _____ 35. (-3,-2) y (-9,-10) _____ 35. (-5,-2) y (-9,-8) _____

En cada uno de los casos siguientes se da el punto inicial y el punto medio; calculen el punto final.

1. (2,4), Pm(6,8) _____ 2. (2,4), Pm(7,6) _____ 3. (4,6), Pm(9,6) _____ 4. (8,2), Pm(14,4) ___ 5. (4,8), Pm(4,9) ___ 6. (6,8), Pm(6,9) ___ 7. (6,8), Pm(6,10) ___ 8. (3,8), Pm(7,10) ___

9. 3,8), Pm(4,11) ___ 10. (3,-8), Pm(7,3) ___ 11. (3,10), Pm(7,4) ___ 12. 3,8), Pm4,11) ___ 13. 3,-2), Pm5,6) ___ 14. 5, 10), Pm5,6) ___ 15. (-7, 8), Pm(-6,6) ___ 16. (-3, -2), Pm(-5,-5) ___ 17. (10, -2), Pm(9,-5) ___

En los casos siguientes, deberán encontrar la distancia que hay de un extremo al punto medio del segmento de recta dado. 1. (2,4) y (-2,8) _____ 2. (-4,2) y (6,8) _____ 3. (9,8) y (4,-6) _____ 4. (-2,-10) y (4,8) _____ 5. (-4,6) y (8,12) _____ 6. (-4,6) y (8,14) _____ 7. (-4,8) y (8,10) _____ 8. (-2,8) y (10,10) _____ 9. (6,8) y (10,10) _____ 10. (6,2) y (10,18) _____ 11. (-6,4) y (-10,12) _____ 12. (-8,4) y (-8,10) _____

2

.

La línea recta

.

Hemos trabajado anteriormente con segmentos de línea recta. Esto debido a que no se puede trabajar completamente con la línea recta, pues ésta es infinita. Es decir, no tiene ni principio ni fin: viene de menos infinito y va hacia más infinito.

Se tiene también que por un punto pasan infinitas líneas rectas. Esto se muestra en el gráfico:

Sin embargo, por 2 puntos sólo puede pasar una línea recta.

Si por 2 puntos sólo pasa una recta, entonces la ecuación de dicha recta puede encontrarse a partir de tales puntos. Así es. Pero, ¿cuál es la ecuación de una recta?

Ecuación general de la recta

discusión 4

.

discusión 5

5, 7)

.

Objetivos conceptuales. Comprender con cierta profundidad lo que es una línea recta.

Objetivos procedimentales.Trazar una recta y expresar su ecuación conocidos 2 puntos de ella o un punto y su pendiente; y, conocida la ecuación, calcular si es paralela o no a otra, así como conocer su pendiente o algunos de sus puntos.

(13)

La ecuación general de la recta tiene la siguiente forma

Forma pendiente-intersecto de la recta

Si de la ecuación general despejamos

y

, obtenemos:

A

X

+ B

y

+ C = 0

B

y

= -A

X

- C

y

= (-A/B)

X

- C/ B

Ocurre en la última ecuación que el factor (-A/B) es la pendiente, m, de la recta; mientras que C/B es el punto donde la recta intersecta al eje

y

. Es decir que C/B es el

intersecto. Si al intersecto le llamamos

b, se tiene que:

La ecuación pendiente intersecto de una línea recta es:

Es evidente que toda recta que no es vertical, SIEMPRE tendrá intersecto, aunque éste puede valer CERO. Esto se da cuando la recta pasa por el origen. Además, en el intersecto,

X

= 0. Es decir que el punto intersecto es (0, b)

La ecuación, evidentemente, se aplica si se conoce la pendiente y el intersecto.

Forma intersecciones de la recta

Toda recta que no es vertical tiene intersecto en

y

, pero también tiene intersecto en

X

. Llamemósle

a

al intersecto en

X

. Ambos intersectos se muestran a continuación

Si se conocen los intersectos, la ecuación de la recta es:

y

= m

X

+ b

A

X

+ B

y

+ C = 0

Intersecto b

(14)

X

+

y

a

b

Forma dos puntos de la recta

Si se conocen 2 puntos de una recta, puede calcularse su pendiente m. Recordémoslo:

m =

La ecuación dos puntos de una recta es la siguiente:

La ecuación, evidentemente, se aplica si se conocen 2 puntos de la recta.

Forma punto y pendiente de la recta

En la ecuación anterior, al sustituir la pendiente m, se obtiene la ecuación punto pendiente de la recta:

Ejemplo

. Una recta pasa por los puntos (1, 4) y (2, 2) Encontremos la ecuación de la recta y los puntos donde la recta corta los ejes. Además, trazar la gráfica.

Lo primero que debemos hacer es encontrar la pendiente:

m = (

y

2y1)/(

X

2

X

1)= (4 – 2)/(1 – 2) = 2/(-1) = -2

Ahora tomemos un punto y apliquemos la ecuación punto pendiente. Tomemos el primer punto (1, 4); obtenemos:

yy1 = m (X-X1)

y–4 = -2 (X - 1)

y – 4 = -2X + 2

y = -2X + 2 + 4 = -2X + 6

y = -2

X

+ 6  Esta es la ecuación pendiente intersecto.

Ahora dispongámonos a encontrar los puntos donde la recta corta los ejes. El punto donde corta al eje y es el intersecto: (0,6)

Para encontrar donde la recta corta al eje

X

, hacemos y igual a CERO.

y

2

y

1

X

2

X

1

y

y

1 = m (

X

-

X

1)

= 1

+

y

2

y

1

X

2

X

1

y

y

1 =

(

X

-

X

1)

(15)

y

= -2

X

+ 6  0 = -2

X

+ 6  -2

X

= -6 

X

= -6/(-2)  X = 3

Tracemos la gráfica:

Para trazar la gráfica Bastan

2 puntos. Pueden ser los

puntos dados o los

intersectos. Usemos éstos.

Ejemplo

. Una recta pasa por el punto (-2,2) y se sabe que tiene la misma

pendiente que la recta 2y – 4X – 10 = 0 Encontremos la ecuación, los intersectos, la gráfica y 5 puntos más de la recta.

Nos dan la ecuación general de una recta paralela a la que buscamos. Son paralelas porque tienen la misma pendiente.

De la ecuación general sacamos la pendiente. ¿Cómo? Despejando

y

.

2

y

– 4

X

– 10 = 0  2

y

= 4

X

+ 10 

y

= 2

X

+ 5

La pendiente de la recta que buscamos es 2.

Con el punto que se tiene y la pendiente, encontramos la ecuación:

yy1 = m (X-X1)

y –2 = 2 (X – (-2))

y–2 = 2 (X + 2)

y–2 = 2X + 4

y = 2X + 6  Esta es la ecuación pendiente intersecto.

El intersecto en y es: (0,6)

Para encontrar donde la recta corta al eje X, hacemos y igual a CERO.

y = 2X + 6  0 = 2X + 6  2X = -6  X = -6/2  X = -3 El intersecto en X es: (-3,0)

El gráfico es el siguiente:

6

3

6

(0,6)

(3,0)

(16)

Para encontrar 5 puntos de la recta, le damos a X 5 valores.

Llenaremos una tabla de valores.

Los 5 puntos son: (1,8), (2,10), (3,12), (4,14) y (5,16)

Actividad 6

. En los casos siguientes se te dan 2 puntos. Deberás encontrar la ecuación de la recta, los intersectos, 3 puntos más de la recta y la gráfica.

1. (2,12) y (3,13) _________________ __________ ________ 2. (2,7) y (5,10) _________________ __________ ________ 3. (2,1) y (5,7) _________________ __________ ________ 4. (-3,-19) y (2,-4) _________________ __________ ________ 5. (-2,-10) y (5,11) _________________ __________ ________ 6. (2,-4) y (3,-6) _________________ __________ ________ 7. (5,-11) y (7,-17) _________________ __________ ________ 8. (3,15) y (-2,-5) _________________ __________ ________ 9. (3,-7) y (5,-15) _________________ __________ ________ 10. (3,6) y (6,8) _________________ __________ ________ 11. (2,2) y (4,7) _________________ __________ ________ 12. (2,1) y (6,-5) _________________ __________ ________

Actividad 6b

. En los casos siguientes se te da 1 punto y la inclinación. Deberás encontrar la ecuación de la recta, los intersectos, 3 puntos más de la recta y la gráfica. 1. (2, 12) La inclinación es de 45º _________________ __________ ________

2. (2, 7) La inclinación es de 45º _________________ __________ ________

3. (2, 1) La inclinación es de 63.435º _________________ __________ ________

4. (2, -4) La inclinación es de 71.565º _________________ __________ ________

5. (5, 11) La inclinación es de 71.565º _________________ __________ ________

-3

X

y

(17)

5

1

2

3

4

5

6

2

7

8

9

6. (2, 14) La inclinación es de 78.69º _________________ __________ ________

7. (2, 9) La inclinación es de 63.435º _________________ __________ ________

8. (1, 4) La inclinación es de 45º _________________ __________ ________

9. (2, 20) La inclinación es de 78.69º _________________ __________ ________

10. (2, 11) La inclinación es de 78.69º _________________ __________ ________

11. (2, -5) La inclinación es de 78.69º _________________ __________ ________

12. (1, 5) La inclinación es de -78.69º _________________ __________ ________

13. (1, 4) La inclinación es de -75.96º _________________ __________ ________

14. (2, 4) La inclinación es de -75.96º _________________ __________ ________

15. (2, 6) La inclinación es de -71.565º _________________ __________ ________

(18)

3

1

7

Discusión 7

eci escuchen sin alterarse.

.

10

11

12

2

13

14

15

2

-5

____________ ____________ ____________

____________ ____________ ____________

Encuentren la ecuación de la recta en los casos siguientes. La longitud del segmento de recta es d.

P

-1 4

discusión 6

eci escuchen sin alterarse.

.

1

. Se sabe que la distancia de P al punto (8,2) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

2

. Se sabe que la distancia de P al punto (3,4) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

3

. Se sabe que la distancia de P al punto (2,5) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

4

. Se sabe que la distancia de P al punto (2,9) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

5

. Se sabe que la distancia de P al punto (5,5) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

6

Se sabe que la distancia de P al punto (2,12) es de

251

Encuentren la ecuación de la recta

41

2

8

8

5

13

52

-7

-2

-6

-3

(19)

1

d =

2

d = d =

3

4

d = d =

5

3

1

9

3

1

11

89

3

1

5

3

1

8

136

(20)

A

B

C

D

E

G

F

H

En cada caso encuentra la ecuación de la recta

Discusión 7b

eci escuchen sin alterarse.

.

1

2

3

4

5

6

7

8

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

(21)

I

J

K

L

M

N

Tipos de recta

Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas si nunca se intersectan. Es decir, si tienen la misma

pendiente

Las parejas de rectas siguientes son paralelas.

Por ejemplo, las rectas y = 5

X

– 1 y 2y –10X – 4 = 0 son rectas paralelas. Despejemos y de la segunda ecuación para comprobarlo.

2y –10X – 4 = 0  2y = 10X + 4  y = 5X + 2

(22)

1

2

3

4

5

6

Rectas perpendiculares

Si 2 rectas no son paralelas, entonces son intersectantes. Es decir, se intersectan. Si esas rectas se intersectan formando un ángulo de 90º, entonces son perpendiculares

u ortogonales.

Si 2 rectas son ortogonales, entonces se cumple que el producto de sus pendientes es

–1. Por ejemplo, si

l

1 y

l

2 son 2 restas perpendiculares, y si

m

1 y

m

2 son sus

pendientes respectivas, entonces se cumple que:

Para el caso, si 3/4 es una pendiente; entonces la otra pendiente es –4/3. Encontremos el producto.

(3/4) x (-4/3) = -12/12 = -1

Actividad 7

. En cada caso, determina si las rectas son paralelas o si se intersectan. Si se intersectan, determina si son perpendiculares. 1. y - 3X – 2 = 0 y 2y - 6X = 2 ________ 2. y = 2X + 3 y 2y - X = -4 _______ 3. y = 2X + 3 y 2y

+ X = -4 ______ 4. y - 3X = 4 y 2y - 6X = 2 ________ 5. y = 5X + 2 y 5y + X

–15 = 0 ______ 6. y - 3X + 2 = 0 y y + 3X = 5 ______ 7. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la otra es 4y + 3X = 4 _______ 8. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la otra pasa por (4,-3) y (8,-6) _________ 9. Una recta pasa por (2,4) y (5,8) y la otra tiene una inclinación de 53.13º ________ 10. Una recta pasa por (3,5) y (8,10) y la otra tiene una inclinación de 135º __________

Encontrar la ecuación de la recta graficada si se sabe que es perpendicular a la recta cuya ecuación aparece.

90º

Estas rectas son perpendiculares, pues

al cortarse forman un ángulo de 90º

m

1

x m

2

= -1

2

y + 2X + 3 = 0

Discusión 8

eci escuchen sin alterarse.

.

3

y + 8 = -2X

1

y + 5 = -2X

y

=

X

/

2

+ 10

y

=

X

/

2

+ 100

y

=

X

/

2

+ 25

(23)

7

8

9

10

11

12

16

17

18

19

20

21

y

= -0.5

X

+ 2

-1

-2

y

= -0.5

X

+ 25

-3

y

= -0.5

X

+ 20

y

= -

X

/3 + 2

3

-2

y

= -

X

/3 + 20

1

y

= -

X

/3 + 20

y + 2X + 3 = 0

y + 8 = -2X

13

14

15

(4, 3)

y + 5 = -2X

(3, 5)

(-2, -5)

(3, 5)

y + 5 = -X

(6, 5)

(2, -5)

y + 7 = -X y + 5 = -X

(3, 5)

y + 5 = 4X/3 (6, 5)

(2, -5)

y + 7 = 4X/3

(24)

Construir 5 ecuaciones de rectas perpendiculares a otra cuya inclinación es de 26.365º.

Encontrar el área del triángulo que forma cada una de las rectas siguientes con los ejes del plano cartesiano (los puntos están en centímetros): 1. y = X + 2 ________ 2. y = X + 4 ________ 3. y = X + 6 ________ 4. y = X

+ 8 ________

5. y = 2X + 2 ________ 6. y = 2X + 4 ________ 7. y = 2X + 6 ________ 8. y = 2X + 8 ________

9. y = 3X - 3 ________ 10. y = 3X- 6 ________ 11. y = 3X- 9 ________ 12. y= 3X

- 12 ________

13. y = 0.5X- 4 ________ 14. y = 0.5X + 6 ________ 15. y = 0.5X - 3 ________

Discusión 9

eci escuchen sin alterarse.

.

Discusión 9b

eci escuchen sin alterarse.

.

(3, 5)

y + 5 = 4X/3 (6, 5)

(2, -5)

y + 7 = 4X/3

Figure

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Referencias

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