CDI EXTRA A y B Matutino 2016a (pdf)

13  16  Descargar (0)

Texto completo

(1)

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

EXAMEN EXTRAORDINARIO TURNO MATUTINO – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: MIERCOLES 08-06-2016, 11:30 – 13:30 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. Calculadora NO GRAFICADORA Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.

Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________

A

Problema 1 (4 puntos) Para la función

 

2 2 10 5 x f x x  

 determine:

a) Dominio de la función. b) Rango de la función. c) Simetría.

d) Intersecciones con los ejes de coordenadas de existir. e) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas si es que existen. f) Puntos críticos y de existir clasifícalos en máximos o mínimos. g) Intervalos de monotonía.

h) Puntos de inflexión de existir. i) Sentido de las concavidades. j) Grafica de la función.

Respuestas

a) Dominio de la función.

 

1 2

b) Rango de la función.

0.2,0.4

 

c) Simetría.

ASIMETRICA

d) Intersecciones con los ejes de coordenadas de existir. NO EXIXTEN EN

e) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas si es que existen.

1 2

. .

AV x ; A H NO TIENE. . ;

 

1 1

1 10 20

. .

AO f xx f) Puntos críticos y de existir clasifícalos en máximos o mínimos.

 

1 5 2 5 1, 2, Máximo Mínimo   g) Intervalos de monotonía.

1 2 1 2 , 1 1, , 2 2, Creciente Decreciente Decreciente Creciente    

(2)

No existen en

i) Sentido de las concavidades.

1 2

1 2

, ,

Negativa Positiva



(3)

A

Problema 2 (2 puntos) Dos carreteras se cruzan perpendicularmente, y un auto se encuentra a 10Km al Este del cruce, alejándose del mismo a 100Km/hr. Otro auto se encuentra a 5Km al Sur del cruce y se aleja del mismo a 80Km/hr. Determina a) la razón de cambio de la hipotenusa del triángulo rectángulo formado en sus vértices por el cruce de carreteras y los dos autos, b) la razón de cambio del área de ese mismo triángulo.

Respuesta:

𝑥 = 10𝑘𝑚, 𝑑𝑥

𝑑𝑡 = 100 𝑘𝑚

ℎ , 𝑦 = 5𝑘𝑚,

𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 80

𝑘𝑚 ℎ

a)

𝐻 = √𝑥2+ 𝑦2

𝑑𝐻 𝑑𝑡 =

1

2√𝑥2+ 𝑦2(2𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 2𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡) =

1

√𝑥2 + 𝑦2(𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡)

𝑑𝐻 𝑑𝑡 =

1

√102+ 52(10(100) + 5(80)) = 56√5 = 125.2 𝑘𝑚/ℎ

b)

𝑆 = 𝑥𝑦

2 →

𝑑𝑆 𝑑𝑡 =

1 2(𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑡+ 𝑦

𝑑𝑥 𝑑𝑡) =

1

2(10(80) + 5(100)) = 650 𝑘𝑚

(4)

Problema 3 (2 puntos) Resuelva la siguiente integral por partes

∫(𝑥 + 5)

2

sen (3𝑥) 𝑑𝑥

GPL

Solución:

𝑢 = (𝑥 + 5)2 → 𝑑𝑢 = 2(𝑥 + 5)𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = sen (3𝑥)𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫ sen(3𝑥) 𝑑𝑥 = −1

3𝑐𝑜𝑠(3𝑥)

𝐼 = −1

3(𝑥 + 5)

2𝑐𝑜𝑠(3𝑥) +1

3∫ 2(𝑥 + 5)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼1+ 𝐼2

𝐼2 = +

2

3∫(𝑥 + 5)𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥 + 5 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫ 𝑐𝑜𝑠(3𝑥)𝑑𝑥 =1

3sen (3𝑥)

𝐼2 = +2

9(𝑥 + 5) sen(3𝑥) − 2

9∫ sen(3𝑥) 𝑑𝑥 = 2

9(𝑥 + 5) sen(3𝑥) + 2

27𝑐𝑜𝑠(3𝑥) + 𝐶

∫(𝑥 + 5)

2

sen (3𝑥) 𝑑𝑥

= −

1

3

(𝑥 + 5)

2

𝑐𝑜𝑠(3𝑥) +

2

9

(𝑥 + 5) sen(3𝑥) +

2

(5)

A

Problema 4 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫ 𝑡

3

(𝑡

2

− 2)

5/2

𝑑𝑡

RRL Respuesta:

𝑡 = √2𝑠𝑒𝑐𝜃 → 𝑑𝑡 = √2𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 → √𝑡

2

− 2 = √2𝑡𝑎𝑛𝜃

𝐼(𝜃) = (√2)

9

∫ 𝑠𝑒𝑐

3

𝜃𝑡𝑎𝑛

5

𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃𝑡𝑎𝑛𝜃𝑑𝜃 = 16√2 ∫ 𝑠𝑒𝑐

4

𝜃𝑡𝑎𝑛

6

𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = 16√2 ∫ 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑠𝑒𝑐

2

𝜃 𝑡𝑎𝑛

6

𝜃𝑑𝜃 = 16√2 ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛

2

𝜃)𝑠𝑒𝑐

2

𝜃 𝑡𝑎𝑛

6

𝜃𝑑𝜃 =

𝐼(𝜃) = 16√2 ∫(𝑡𝑎𝑛

6

𝜃 + 𝑡𝑎𝑛

8

𝜃) 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑑𝜃

= 16√2 ∫(𝑡𝑎𝑛

6

𝜃) 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑑𝜃 + 16√2 ∫(𝑡𝑎𝑛

8

𝜃) 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑑𝜃

𝐼(𝜃) = 16√2 [

𝑡𝑎𝑛

7

𝜃

7

+

𝑡𝑎𝑛

9

𝜃

9

] + 𝐶

𝐼(𝑥) = 16√2 (

(√𝑡

2

− 1)

7

7

+

(√𝑡

2

− 1)

9

(6)

A

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

𝑥

2

+ 9𝑥 + 21

(𝑥 + 4)

3

𝑑𝑥

Respuesta:

𝑥

2

+ 9𝑥 + 21

(𝑥 + 4)

3

=

𝐴

(𝑥 + 4)

3

+

𝐵

(𝑥 + 4)

2

+

𝐶

𝑥 + 4

𝑥

2

+ 9𝑥 + 21 = 𝐴 + 𝐵(𝑥 + 4) + 𝐶(𝑥 + 4)

2

𝑥

2

+ 9𝑥 + 21 = 𝐶𝑥

2

+ (𝐵 + 8𝐶)𝑥 + 𝐴 + 4𝐵 + 16𝐶

𝐶 = 1

𝐵 + 8𝐶 = 9

𝐴 + 4𝐵 + 16𝐶 = 21

𝐴 = 1,

𝐵 = 1,

𝐶 = 1

𝐼 = ∫ (

1

(𝑥 + 4)

3

+

1

(𝑥 + 4)

2

+

1

𝑥 + 4

) 𝑑𝑥

𝐼 = −

1

2(𝑥 + 4)

2

1

(7)

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

EXAMEN EXTRAORDINARIO TURNO MATUTINO – CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL FECHA: MIERCOLES 08-06-2016, 11:30 – 13:30 hrs.

ACADEMIA DE MATEMATICAS

Instrucciones: 15 minutos de tolerancia. Duración 120 min. Presenta tu identificación. Apaga tu celular. Calculadora NO GRAFICADORA Formulario de la academia de matemáticas. Indique claramente sus resultados con los procedimientos correspondientes.

Regresar esta hoja con tu cuadernillo, resuelve para 10 puntos.

Alumno:_________________________________________________ Grupo_________ Boleta:_____________________ Profesor: ____________________

B

Problema 1 (4 puntos) Para la función

 

2 2 10 5 x f x x  

  determine:

a) Dominio de la función. b) Rango de la función. c) Simetría.

d) Intersecciones con los ejes de coordenadas de existir. e) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas si es que existen. f) Puntos críticos y de existir clasifícalos en máximos o mínimos. g) Intervalos de monotonía.

h) Puntos de inflexión de existir. i) Sentido de las concavidades. j) Grafica de la función.

Respuestas

a) Dominio de la función.

 

1 2

 

b) Rango de la función.

0.2,0.4

 

c) Simetría.

ASIMETRICA

d) Intersecciones con los ejes de coordenadas de existir. NO EXIXTEN EN

e) Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas si es que existen.

1 2

. .

AV x  ; A H NO TIENE. . ;

 

1 1

1 10 20

. .

AO f x   x f) Puntos críticos y de existir clasifícalos en máximos o mínimos.

1 5 2 5 1, 2, Máximo Mínimo  

(8)

1 2

1 2

, 2 2,

,1 1,

Decreciente Creciente Creciente Decreciente

    

h) Puntos de inflexión de existir. No existen en

i) Sentido de las concavidades.

1 2

1 2

, ,

Positiva Negativa

 

 

(9)

B

Problema 2 (2 puntos) Se sabe que la intensidad de radiación que llega de un reactor nuclear es directamente proporcional a la intensidad de la fuente (B) e inversamente proporcional a la distancia de ésta. Por desgracia un individuo se ve obligado a vivir en cierto lugar situado sobre la línea recta que une esas dos fuentes de radiación (reactores) separadas por 10 km. Si una fuente es cuatro veces más radiactiva que la otra, ¿dónde debería vivir el hombre para exponerse a la menor radiación posible?

Solución:

La intensidad de radiación de la fuente se designa como B y la intensidad radiación total que recibe la persona en el punto x es:

𝐼(𝑥) =4𝐵

𝑥 +

𝐵 10 − 𝑥

La primera derivada es:

𝑑 𝐼(𝑥)

𝑑𝑡 =

𝑑 𝑑𝑥(

4𝐵

𝑥 +

𝐵

10 − 𝑥) = − 4𝐵 𝑥2 +

𝐵 (10 − 𝑥)2

Para encontrar los puntos críticos igualamos a cero la primera derivada

−4𝐵

𝑥2 + 𝐵

(10−𝑥)2 = 0 −4𝐵(100 − 20𝑥 + 𝑥

2) = −𝐵𝑥2

−400𝐵 + 800𝐵𝑥 − 3𝐵𝑥2 = 0 −400 + 80𝑥 − 3𝑥2 = 0

Resolviendo la ecuación anterior por formula general obtenemos:

𝑥 =−80 ± √(80)

2− 4(−3)(−400)

2(−3) =

−80 ± 40 −6

𝑥1 =−80 + 40

−6 = 6.66

𝑥2 =

−80 − 40

−6 = 20

Por lo cual el punto crítico sería

(10)

Calculando la segunda derivada y evaluando en el punto crítico obtenemos:

𝑑2 𝐼(𝑥)

𝑑𝑡2 =

𝑑 𝑑𝑥(−

4𝐵 𝑥2 +

𝐵

(10 − 𝑥)2) =

8𝐵 𝑥3 +

2𝐵 (10 − 𝑥)3

𝑑2 𝐼(6.66)

𝑑𝑡2 =

8𝐵 (6.66)3+

2𝐵

(10 − 6.66)3 = 0.0812𝐵 > 0

Por lo tanto la 𝐼(𝑥) recibida en 𝑥𝑐 = 6.66 es mínima. Por lo tanto el individuo debe de colocar

(11)

Problema 3 (2 puntos) Resuelva la siguiente integral por partes

∫(𝑥 + 4)

2

cos (2𝑥) 𝑑𝑥

GPL

Solución:

𝑢 = (𝑥 + 4)2 → 𝑑𝑢 = 2(𝑥 + 4)𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = cos (2𝑥)𝑑𝑥 → 𝑣 = ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥 = 1

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥)

𝐼 =1

2(𝑥 + 4)

2𝑠𝑒𝑛(2𝑥) −1

2∫ 2(𝑥 + 4)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼1+ 𝐼2

𝐼2 = − ∫(𝑥 + 4)𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 → 𝑢 = 𝑥 + 4 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 → 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 →

𝑣 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)𝑑𝑥 = −1

2cos (2𝑥)

𝐼2 = +1

2(𝑥 + 4) cos(2𝑥) − 1

2∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥 = 1

2(𝑥 + 4) cos(2𝑥) − 1

4𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶

∫(𝑥 + 4)

2

cos (2𝑥) 𝑑𝑥 =

1

2

(𝑥 + 4)

2

𝑠𝑒𝑛(2𝑥) +

1

2

(𝑥 + 4) cos(2𝑥) −

1

(12)

B

Problema 4 (2 puntos) Resolver por sustitución trigonométrica:

∫ 𝑡

−6

(𝑡

2

+ 4)

3/2

𝑑𝑡

RRL Respuesta:

𝑡 = 2𝑡𝑎𝑛𝜃 → 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑑𝜃 → √𝑡

2

+ 4 = 2𝑠𝑒𝑐𝜃

𝐼(𝜃) = ∫

(2𝑠𝑒𝑐𝜃)

3

2𝑠𝑒𝑐

2

𝜃𝑑𝜃

(2𝑡𝑎𝑛𝜃)

6

=

2

4

2

6

𝑠𝑒𝑐

5

𝜃𝑑𝜃

𝑡𝑎𝑛

6

𝜃

=

1

4

𝑐𝑜𝑠

6

𝜃𝑑𝜃

𝑐𝑜𝑠

5

𝜃𝑠𝑒𝑛

6

𝜃

𝐼(𝜃) =

1

4

𝑐𝑜𝑠𝜃𝑑𝜃

𝑠𝑒𝑛

6

𝜃

=

1

4

𝑠𝑒𝑛

−5

𝜃

−5

+ 𝐶 = −

1

20𝑠𝑒𝑛

5

𝜃

+ 𝐶

𝑠𝑒𝑛𝜃 =

𝑡

√𝑡

2

+ 4

𝐼(𝑥) = −

1

20

(

√𝑡

2

+ 4

𝑡

)

5

(13)

B

Problema 5 (2 puntos) Resolver por el método de fracciones parciales:

−2𝑥 + 4

𝑥

3

+ 2𝑥

𝑑𝑥

Respuesta:

−2𝑥 + 4

𝑥(𝑥

2

+ 2)

=

𝐴

𝑥

+

𝐵𝑥 + 𝐶

𝑥

2

+ 2

−2𝑥 + 4 = 𝐴(𝑥

2

+ 2) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥

−2𝑥 + 4 = (𝐴 + 𝐵)𝑥

2

+ 𝐶𝑥 + 2𝐴

𝐴 = 2,

𝐵 = −2,

𝐶 = −2

𝐼 = ∫ (

2

𝑥

+

−2𝑥 − 2

𝑥

2

+ 2

) 𝑑𝑥 = 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥

− ∫

2𝑥𝑑𝑥

𝑥

2

+ 2

− 2 ∫

𝑑𝑥

𝑥

2

+ 2

𝐼 = 2 ln(𝑥) − ln(𝑥

2

+ 2) −

2

√2

𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑥

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...