Ejercicio 2 Dada las funciones, f : U → , siguientes: (a)(

Texto completo

(1)

Matemática para Economistas

Curso 6

Práctica 6: Funciones cóncavas y cuasicóncavas

Ejercicio 1 Considere las funciones, f : U→ , siguientes:

(a) f

(

x x1, 2

)

= ⋅2

( )

x1 2− ⋅ +x x1 2

( )

x2 2 U= 2

(b) f

(

x x1, 2

) ( ) (

= x1 4+ x x12

) ( )

2+ x2 4 U= 2

(c) f

(

x x1, 2

)

=x x12 2

{

(

)

2

}

1 2 1 2

U= ++ = x x, ∈ : x > ∧0 x >0

(d) f

(

x x1, 2

)

=x x1⋅ + ⋅ + ⋅2 2 x1 5 x2 U 2 ++

=

(e) f

(

x x1, 2

)

= x x1⋅ 2 U= 2++

(f) f

(

x x1, 2

) (

= x x12

)

1/4 U 2 ++

=

(g) f

(

x x1, 2

) ( )

= x1 1/4⋅

( )

x2 1/8 U 2 ++

=

(h) f

(

x x1, 2

)

=x1+x2 U= 2

(i) f

(

x x1, 2

) ( ) ( )

= x1 4+ x2 4 U= 2

(j) f

(

x x1, , ,2xn

)

=ln

(

a x1⋅ + + ⋅1a xn n

)

, siendo

(

a x1⋅ + + ⋅1a xn n

)

>0

(k) f

(

x x1, 2

)

= x1 + x2

Clasifíquelas entre las siguientes clases: cóncavas (convexas), estrictamente cóncavas (estrictamente convexas) o ninguna de las anteriores.

Respuestas:

(a) Estrictamente convexa, (b) Convexa, (c) Ninguna, (d) Ninguna, (e) Cóncava, (f) Estrictamente cóncava, (g) Estrictamente cóncava, (h) Cóncava y convexa, (i) Convexa, (j) Cóncava. (k) Convexa.

Ejercicio 2 Dada las funciones, f : U→ , siguientes:

(a)

(

)

1

1 2 2

f x x, =x ex U= 2

(b)

(

)

1

1 2 2

f x x, =x ex 2

{

(

)

2

}

1 2 1 2

U= + = x x, ∈ : x ≥ ∧0 x ≥0

(c)f

(

x x1, 2

)

=x x12 U 2 ++

=

(d)

(

)

1

( )

4

1 2 3 2 3

f x x x, , = ex + ⋅5 x + x U= 3

(e) f

(

x x1, 2

)

=x x1⋅ + ⋅ + ⋅2 2 x1 5 x2 U 2 ++

=

(f) f

(

x x1, 2

)

=x2−ln

( )

x1 U 2 ++

(2)

(g) f

( )

x = ⋅k ex A xT⋅ ⋅ , donde k>0, A es una matriz definida positiva y U= n

(h) f

(

x x1, 2

)

=x1x2 U= 2

(i) f

(

x x1, 2

)

= − ⋅x x1 2 U 2 ++

=

Clasifíquelas entre las siguientes clases: estrictamente cuasicóncavas (estrictamente cuasiconvexa) y cuasicóncavas (cuasiconvexas). Justifique.

Respuestas:

(a) No pertenece a ninguna de las clases, (b) Cuasicóncava estricta, (c) Cuasicóncava estricta, (d) Cuasiconvexa, (e) Cuasicóncava estricta, (f) Cuasiconvexa, (g) Cuasiconvexa estricta, (h) Cuasicóncava y cuasiconvexa, (i) Cuasiconvexa estricta.

Ejercicio 3 Interprete geométricamente los resultados en los casos (a), (b), (c) e (i) del punto anterior.

Ejercicio 4 (Función Cobb-Douglas) Sea la función u : U→ definida por:

(

1 2

) ( ) ( )

1 2

u x x, = x α⋅ x β,

siendo 0α > , β >0 y definida sobre el conjunto U 2 ++

= .

(a) Determine valores para y α β tal que la función sea: estrictamente cóncava,

cóncava. Justifique.

(b) ¿Para qué valores de y α β la función es estrictamente cuasicóncava? Justifique.

(c) Clasifique la función que se obtiene luego de aplicar la transformación monótona

(

1 2

)

( )

h x x, : ln u= .

Respuestas:

(a) Estrictamente cóncava si

α β

+ <1, cóncava si

α β

+ ≤1 y cuasicóncava estricta siempre.

Ejercicio 5 Dada la función u : U→ :

(

)

(

)

2

u , x y = α⋅ x+ ⋅β y , α >0, β >0 y 2

{

(

)

2

}

1 2 1 2

U= + = x x, ∈ : x ≥ ∧0 x ≥0

Clasifíquela entre las clases de funciones que siguen: (cuasi) cóncavas, estrictamente (cuasi) cóncavas, (cuasi) convexas, estrictamente (cuasi) convexas ó ninguna las anteriores. Justifique.

Respuesta: Cóncava y por lo tanto también cuasicóncava.

Ejercicio 6 Clasifique las siguientes funciones de utilidad: (a) (Función de aversión relativa al riesgo constante, CRRA):

(

) ( )

1 1

( )

2 1

1 2

1 1

u ,

1 1

c c

c c

δ δ

β

δ δ

− −

− −

= + ⋅

− − ,

2

(3)

(b) Calcule el límite de la función anterior cuando δ →1 y verifique que es igual a:

(

1 2

)

( )

1

( )

2

u c c, =ln c + ⋅β ln c , U 2 ++

= y 0< <

β

1

(c) (Funciones de aversión absoluta al riesgo constante, CARA):

(

1 2

)

(

1

)

(

2

)

u c c, = − ⋅γ exp −c γ − ⋅ ⋅β γ exp −c γ , U 2 ++

= , 0< <

β

1 y

γ

>0

(d) u

(

1, 2

)

1

( )

1 2 2

( )

2 2

2 2

a a

c c = − ⋅c c + ⋅β c − ⋅ c

 ,

2

U= ++, 0< <β 1 y a>0

(e)

(

)

( )

1

0 1

0

1

u , , ,

1 T

t t T

t

c

c c c

δ

β

δ

=

= ⋅

… , U T+1

++

= , 0< <β 1 y δ >0

(f) (Función de elasticidad de sustitución constante –CES-):

(

)

(

)

1

u , x y = αxρ + ⋅β yρ ρ U 2 ++

= , α >0, β >0, ρ<1

(g) U c l

( )

, =u

( )

c −v

( )

l , U=

{

( )

c l, 2: c> ∧ < ≤0 0 l 1

}

,

siendo: u

( )

⋅ estrictamente cóncava y v

( )

l estrictamente convexa.

(h) (Función de Leontief) u

(

x x1, 2

)

=min

{

x x1, 2

}

U= 2++

(i) u

(

x x1, 2

)

= ⋅ + ⋅a x1 b x2 U 2 ++

= , a>0, b>0

Ejercicio 7 (Mínimos cuadrados ordinarios) Demuestre que la función, J : 2 ,

definida por:

( )

(

)

2

1

J , n i i

i

a b y a b x

=

=

− − ⋅ es convexa en

( )

a b, .

Ejercicio 8 Demuestre que f : n , definida por f

( )

x := x es convexa. (sugerencia: utilizar la desigualdad triangular).

Ejercicio 9 (Desigualdad de Jensen) Sea u : U→ ( U⊂ ) una función diferenciable y

estrictamente cóncava. Demostrar que si x es una variable aleatoria con esperanza

finita, E

( )

x = ⋅ + ⋅p xa q xb, se verifica la siguiente desigualdad:

( )

(

)

(

( )

)

u E x >E u x

(4)

• Si u es una función de utilidad y x el consumo, interprete “económicamente” la desigualdad.

• ¿Cómo cambia la desigualdad anterior si u es convexa? Interprete.

Ejercicio 10 Sea u

(

x x1, 2

)

una función C2. Suponga que la ecuación

(

)

1 2

u x x, =u

define implícitamente a x2=φ

( )

x1 como función C2 de x. Demuestre que si

(

1 2

)

u x x, es cuasicóncava y estrictamente creciente en su segunda variable entonces

( )

φ x1 es convexa.

Propiedades de la función valor

Ejercicio 11 Considere el siguiente problema de maximización de la utilidad:

(

)

,

v x, ,y Max

x y

p p m = x y⋅ s.a: p x p y mx⋅ + y⋅ =

Demuestre que la función v

(

p p mx, ,y

)

es cuasiconvexa en las variables

(

p px, y

)

. Interprete geométricamente.

Respuesta: Probar que el conjunto de pares

(

p px, y

)

tal que

(

) (

2

)

v p p mx, ,y = m 4⋅ ⋅p px ya (a∈ ) es un conjunto convexo.

Ejercicio 12 Pruebe que la función valor, C

(

w r y A, , ,

)

, del problema:

(

)

,

C , , Min

K L

w r y = w L r K⋅ + ⋅ s.a: y= LK es cóncava en

(

w r,

)

.

Respuesta: C

(

w r y, ,

)

= w r y⋅ ⋅ .

Condiciones suficientes en programación no-lineal

Ejercicio 13 Considere el siguiente problema:

(

⋅ −

)

3+

,

Max 1 1

x y x y

s.a:  + ≤

≥ 

4

, 0

x y

x y

(a) Verifique que el punto

(

x y,

)

=

(

1,1

)

satisface las condiciones de Kuhn-Tucker.

(b) ¿Puede utilizar el teorema de programación cuasicóncava para asegurar que el

punto

( )

1,1 es solución del problema?

Ejercicio 14 Considere el siguiente problema de maximización de la utilidad:

( ) ( )

1

1 2

(5)

s.a:

1 1 2 2

1

2

0 0

p x p x m

x x

⋅ + ⋅ ≤

  ≥   ≥ 

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker,

¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 15 Se modifica la respuesta en el punto anterior si la función objetivo viene dada por u

(

x x1, 2

) ( ) ( )

= x1 α⋅ x2 β con α >0, 0β > y se mantiene igual todo lo restante.

Ejercicio 16 Considere el problema de una firma que determina sus demandas de factores a partir del problema de maximizar beneficios:

1 4 1 2 ,

Max

K L p K⋅ ⋅L − ⋅ − ⋅w L r K

s.a: 0

0 K L

≥   ≥ 

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker,

¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 17 Considere el mismo problema del ejercicio anterior pero con una función que exhibe rendimientos crecientes a escala:

,

Max

K L p K L w L r K

α β

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ , α β+ >1

s.a: 0

0 K L

≥   ≥ 

(a) Suponga que existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker,

¿puede asegurar que es solución del problema?

Ejercicio 18 Considere ahora el problema de minimización de costos:

,

Min

K L w L r K⋅ + ⋅ ,

(

w r,

)

0

s.a:

, 1

0 0

K L y

K L

α β α β

 ⋅ ≥ + >

 ≥   ≥ 

(a) Si existe un punto que verifica las condiciones de Kuhn-Tucker, ¿es solución del problema?

Figure

Actualización...

Referencias

Actualización...

Related subjects :