TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN.-

1

DERIVADAS.-APLICACIONES

TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN.-

Si y= f

( )

x es una función y ,

[ ]

a,b ⊂D

( )

f , se define su “tasa de variación media en

[ ]

a,b ” , y se nota: T.V.M.

[ ]

a,b , al cociente siguiente:

[ ]

( ) ( )

a b

a f b f x de variación

f de variación b

a M V T

− − =

=

, . . .

Ejemplo: La T.V.M. en

[ ]

2,4 de f(x)=x2 −2x

es:

[ ]

( ) ( )

6

2 4 16 2

4 2 4 4

, 2 . .

. = − =

− −

= f f

M V T

Gráficamente: “Coincide con la pendiente de la recta secante a y= f

( )

x que pasa por los puntos:

( )

)

, (a f a

A y B(b,f

( )

b )” Demostración:

[ ]

( ) ( )

tag m pendientedela ante

a contiguo cateto

a opuesto cateto

a b

a f b f b a M V

T. . . , = = = _s = sec

− −

= α

α α

• Con frecuencia se utiliza la notación:

Si h=amplitud del intervalo

[ ]

a,b =b−a⇒b=a+h.

[ ]

(

) ( )

(

) ( )

h a f h a f a

h a

a f h a f b a M V

T = + −

− +

− + =

, . . .

• Si la función y= f

( )

x es creciente en I =

[ ]

a,b ⇒T.V.M.

( )

I >0.

2

No tiene porqué cumplirse al contrario, por ejemplo: Podemos buscar la T.V.M.

( )

I , siendo I un intervalo en el que la función tenga una parte donde crece y otra parte donde decrece; y como para buscar la tasa solo interviene el valor de la función en los extremos de dicho intervalo, la tasa siempre será positiva o negativa en I.

Observa que la

[ ]

( ) ( )

0

3 1 3 2 1 0 3 0 3 3 , 0 . .

. = − =− <

− −

= f f

M V

T , y sin embargo, en

[ ]

0,1 crece y en

[ ]

1,3 decrece

• Aplicación importante: velocidad media.-

Si e=e

( )

t es la función que nos da el espacio recorrido por un móvil en un tiempo t :

[ ]

( ) ( )

[ ]

1 2

1 2

1 2 2

1, ,

. .

. v t t

t t t e t e t t M V

T = _m

− − =

“La T.V.M.

[ ]

t₁,t₂ es la velocidad media que lleva el móvil en el intervalo

[ ]

t₁,t₂ ”.

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.-

Sea y= f

( )

x una función definida en I ⊂D

( )

f , y sean a,a+h∈I. Se define la derivada de f en a, y se nota con f '

( )

a , a la “tasa de variación instantánea en a” , T.V.I.

( )

a , definida como:

( )

a TV M

[

a a h

]

I V T h + = → . . . , lim . . .

0 , es decir:

( )

( )

[

]

(

) ( )

h a f h a f h a a M V T a I V T a f h h − + = + = = → →0 . . . , lim0

lim .

. . '

Luego:

( )

(

) ( )

h a f h a f a f h − + = →0 lim

' _{cuando existe y es un número real.}

Ejemplo: Si f

( )

x =30x−5x2

( )

=

(

+

) ( )

− =

[

⋅

(

+

) (

− ⋅ +

)

]

− =

→ → _h h h h f h f f h h 40 2 5 2 30 lim 2 2 lim 2 ' 2 0 0

(

)

h h h h h 40 4 4 5 30 60 lim 2 0 − + + ⋅ − + = → _h h h h h 40 5 20 20 30 60 lim 2 0 − − − − + = → = + − = → _h h h h 10 5 lim 2 0

(

5 10

)

10 '

( )

2 10 lim 0 = ⇒ = + − =

→ h f

3

Ejemplos para entrenar: Calcula: a) f'

( )

3 si f

( )

x =2x2 −5x+7

b) f'

( )

2 si

( )

x x f =1

c) f'

( )

4 si f

( )

x = x

Gráficamente: “ f '

( )

a coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en x=a”

Como T.V.M.

[

a,a+h

]

=msh y sh t h→0 =

lim

( )

(

) ( )

s t

h

h _h m m

a f h a f a

f

h =

= −

+ =

→

→0 lim0

lim

' ⇒ f'

( )

a =mt

Por eso la recta tangente, t, a y= f

( )

x en x=a, tiene de ecuación punto-pendiente:

( )

a m

(

x a

)

t y f

( )

a f

( ) (

a x a

)

f y

t≡ − = t⋅ − ⇔ ≡ − = ' ⋅ − Y la recta normal, n, a y= f

( )

x en x=a, tiene de ecuación:

( )

(

)

( )

_{( ) (}

x a

)

a f a f y n a x m a f y n

t

− ⋅ − = − ≡ ⇔ − ⋅ − = − ≡

' 1 1

Ejemplo: Calcula la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la curva y=2x2 −5x+7 en el punto de abscisa 3.

• Aplicación importante: velocidad instantánea:

Si e=e

( )

t es la función que nos da el espacio recorrido por un móvil en función del tiempo t empleado, sabemos que la velocidad media que lleva en

[

t₁,t₁+h

]

es:

[

]

(

) ( )

h t e h t e h t t

v_m 1 1

1 1,

− + =

+ .

4

( )

[

]

(

) ( ) ( )

1

1 1 0 1 1 0

1 lim , lim e' t

h t e h t e h t t v t v h m h = − + = + = → →

De ahí que se diga que: “la velocidad instantánea que lleva un móvil es la derivada del espacio respecto del tiempo”.

• Con frecuencia se utiliza la notación:

( )

( ) ( )

a x a f x f a f a x − − = → lim '

RELACIÓN ENTRE CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD.-

Si y= f

( )

x es derivable en a ⇒ y= f

( )

x es continua en a.

Demostración:

Si y= f

( )

x es derivable en a ⇒

( )

( ) ( )

R a x a f x f a f a

x − ∈

− =

→ lim

' . Como cuando x→a⇒

(

x−a

)

→0,

para que la expresión:

( ) ( )

a x a f x f − −

tenga límite real, debe quedar 0 0

, así que se debe cumplir que:

( ) ( )

[

f x f a

]

f

( )

x f

( )

a _{( )} f

( ) ( )

x f a f escontinuaena a x te cons a f a x a x a x ⇒ = ⇒ = − ⇒ = − → → →

→ 0 lim lim 0 lim

lim

tan .

Al contrario no tiene porqué cumplirse:

Puede ocurrir que y= f

( )

x sea continua en x=a y no sea derivable en él. Ejemplo: y= x en x=0.

Observa que la función es continua en 0, pero la tangente por la izquierda de 0 (y=−x)y por la derecha de 0 (y=x), no coinciden. La función presenta en x=0 un “punto anguloso”

Mediante la fórmula:

( )

   > ≤ − = = 0 0 x si x x si x x x f

( )

( ) ( )

( ) ( )

_{( )}

( ) ( )

_{( )}

      = = − = − − = − = − − = − = − = → → → → → → → + − 1 1 lim 0 lim 0 lim 1 1 lim 0 lim 0 lim 0 lim 0 ' 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h f h f h h h f h f h f h f f

Observa que los límites laterales son distintos, luego no existe el

(

) ( )

h a f h a f h − + →0

lim , con lo que la

5

FUNCIÓN DERIVADA.-

Si y= f

( )

x es derivable en todos los valores de I⊂D

( )

f , la función que asocia a cada valor x∈I, su derivada en él: f '

( )

x , se llama función derivada de f , y se nota con 'f .

( )

x f x f

f ' :

'

'

→ y= f'

( )

x ó y'

REGLAS DE DERIVACIÓN.-

• Operaciones con las derivadas:

1. Suma y resta de funciones: s

( ) ( ) ( )

x = f x ±g x ⇒s'

( )

x = f'

( ) ( )

x ±g' x

2. Multiplicación de funciones: p

( ) ( ) ( )

x = f x ⋅g x ⇒ p'

( )

x = f'

( ) ( ) ( ) ( )

x ⋅g x + f x ⋅g' x

3. Producto de constante por función: h

( )

x =k⋅f

( )

x ⇒h'

( )

x =k⋅f'

( )

x

4. División de funciones:

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

( )

2

' '

'

x g

x g x f x g x f x c x g

x f x

c = ⇒ = ⋅ − ⋅

5. Inversa respecto del producto:

( ) ( ) ( )

( )

( )

[ ]

2

' '

1

x g

x g x

q x g x

q = ⇒ =−

6. Composición de funciones: Regla de la cadena: f

( )

x =u

[ ]

v

( )

x ⇒ f'

( )

x =u'

[ ]

v

( )

x ⋅v'

( )

x

7. Recíproca respecto de la composición:

( )

( )

( )

( )

( )

x f x g x f x g x f y

' 1 '

1 _⇒ =

= →

= −

• Derivadas de las funciones elementales:

Libro S.M. página: 286 ó tabla final.

• Derivada de la función potencial-exponencial: Derivación logarítmica:

Dada la función: f

( ) ( )

x =

[ ]

u x v( )x (función potencial-exponencial). Su función derivada se calcula con el siguiente procedimiento:

-Tomamos ln en ambos miembros: Lnf

( )

x =Ln

[ ]

u

( )

x v( )x

-Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia: Lnf

( ) ( )

x =v x ⋅Ln

[ ]

u

( )

x

-Derivamos ambos miembros (a la vez) :

( ) ( ) ( )

[ ]

( )

( ) ( ) ( )

u x x

u x v x u Ln x v x f x

f '

1 '

'

1 _{⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅}

-Operamos:

( )

( )

( )

[ ]

( )

( ) ( )

u

( )

x x u x v x u Ln x v x f

x

f '

'

' ⋅

+ ⋅

6

-Despejamos f '

( )

x :

( ) ( ) ( )

[ ]

( )

( ) ( )

( )

   



 _⋅

+ ⋅

⋅ =

x u

x u x v x u Ln x v x f x

f' ' '

-Sustituimos f

( )

x por su valor:

[ ]

u

( )

x v( )x

( ) ( )

[ ]

( )

( )

[ ]

( )

( ) ( )

_{( )}

   



 _⋅

+ ⋅

⋅ =

x u

x u x v x u Ln x v x

u x

f' vx ' ' _.

Observación:

Una de las ventajas que presenta el conocimiento de la función derivada es:

El cálculo de la derivada de la función en varios puntos: sin más que calcular la función derivada y sustituir en ella la x por cada uno de dichos puntos (sin necesidad de utilizar la definición de derivada de una función en un punto con el cálculo del límite), con lo que se agiliza el cálculo de la derivada en cualquier punto.

El cálculo de la abscisa del punto en el que la derivada toma un cierto valor k ( f'

( )

x =k), sin más que calcular la función derivada igualarla a k y resolver la ecuación: f'

( )

x =k.

RELACIÓN DEL CRECIMIENTO-DECRECIMIENTO-EXTREMOS CON LA DERIVADA.-

El estudio del signo de la derivada de una función y= f

( )

x en el punto de abscisa x=a, f '

( )

a , nos permite conocer qué variación tiene la función al pasar por a.

Si observamos la gráfica:

-Si f'

( )

a >0⇒m_t >0⇒ f escrecienteena.

-Si f'

( )

a <0⇒mt <0⇒ f esdecrecienteena.

-Si f'

( )

a =0⇒m_t =0⇒ x=aesun puntode tangencia horizontal (punto crítico). En este caso se cumple que:

Si la función crece a la izquierda de a y decrece a la derecha de a, entonces hay un máximo relativo en x=a o en el punto M

(

a,f

( )

a

)

.Ejemplo: x1.

7

Si la función no cambia su monotonía en x=a, entonces hay un punto de inflexión en él:

( )

(

a f a

)

P , . Ejemplo: x3.

DERIVADAS SUCESIVAS.-

Dada y= f

( )

x es derivable en todos los valores de I⊂D

( )

f , sabemos que se puede definir 'f como

la función que asocia a cada valor x∈I, su derivada en él: f '

( )

x , se llama función derivada de f , 'f , o primera derivada de f: f x f

( )

x

f ' :

'

'

→ (y= f'

( )

x )

Si y= f'

( )

x es derivable en I ⊂D

( )

f , se puede definir f '' como la función que asocia a cada valor de x, la derivada de 'f en él:

( )( )

f '' x , que se llama derivada segunda de f y se nota con f '':

( )( )

f x x

f

f ' ' :

''

''

→ f ''

( ) ( )( )

x = f'' x

Y así sucesivamente: f'''

( ) ( )( )

x = f ''' x , fIV

( ) ( )( )

x = f' ''' x , etc. A las funciones: 'f , f '', f' '' , f IV , etc, se les llama derivadas sucesivas de f.

RELACIÓN DE CONCAVIDAD-CONVEXIDAD-PUNTOS DE INFLEXIÓN Y DERIVADA.-

Si y= f

( )

x es derivable dos veces en I⊂D

( )

f , se cumple que:

- Si f ''

( )

a >0 ∀a∈I⇒ f escóncavahaciaarribaoconvexaena.

- Si f ''

( )

a <0 ∀a∈I ⇒ f escóncavahaciaabajoocóncavaena.

- Si f ''

( )

a =0 y enacambialaconcavidad⇒enx=ahayun puntode inflexión: P ,

(

a f

( )

a

)

.

ESTUDIO YREPRESENTACIÓN DE FUNCIONES.-

• Dominio:

8 - Cocientes : D = R – {puntos que anulan el denominador} - Raíces de índice par : D = {valores del radicando ≥ 0} - Raíces de índice impar : D = R

- Logaritmos : D = {valores que hacen el argumento > 0} - Exponenciales : D = R

- Trigonométricas : Seno y coseno D = R ; El resto se estudia como un cociente. - Arcos : D = {-1 ≤ Lo del arco ≤ 1}

• Puntos de corte

- Con el eje OX : y = 0 ⇒x = a ⇒P(a,0) - Con el eje OY : x = 0 ⇒ y = b ⇒ P(0,b)

• Simetrías o paridad:

- Simétrica respecto del OY o par: f

( ) ( )

−x = f x

- Simétrica respecto del Origen o impar : f

( )

−x =−f

( )

x

• Signo de la función:

- Se consideran los puntos que no pertenecen al dominio: x = a, ....

- Se consideran las abscisas de todos los puntos de corte con el eje de abscisas: x = x0, x = x1,...

- El conjunto de todos estos valores dividen la recta real en zonas, en las que se estudia el signo que toma y= f

( )

x , y dando como solución: I₊ e I₋

• Asíntotas:

•

⋅ Asíntotas verticales: Valores de x en los que la función se va al infinito: x=a,siendo

( )

=±∞ →a f x x

lim .

- Cocientes: x=valores que anulan el denominador - Logaritmos : x=valores que anulan al argumento.

Posición relativa respecto de la asíntota : Calcular límites laterales.

•

⋅ Asíntotas horizontales : y=b, siendo: b f

( )

x R

x=→lim±∞ ∈

Posición relativa respecto de la asíntota:

( )

( )

  

⇒

− − − = =

>

⇒

− − = =

<

asíntota la

de encima por

va función la

x ó x

para b x f Si

asíntota la

de debajo por

va función la

x ó x

para b x f Si

,... 1000 , 100 , 10 ,...

1000 , 100 , 10

,... 100 , 10 ...

1000 , 100 , 10

•

⋅ Asíntotas oblicuas: y=mx+n con:

( )

( )

(

)

    

∈ − =

∈ =

±∞ →

±∞ →

R mx x f n

R x

x f m

x x lim

9

Posición relativa respecto de la asíntota:

(

)

(

)

(

)

(

)

  

⇒

± >

± ±

=

⇒

± <

± ±

=

asíntota la

de encima por

va función la

y f

x para Si

asíntota la

de debajo por

va función la

y f

x para Si

asíntota asíntota

100 100

: 100

100 100

: 100

• Dominio de continuidad:

- Se estudia el dominio de continuidad de la función, clasificando sus discontinuidades.

• Monotonía y puntos críticos:

- Se consideran los valores que no pertenecen al dominio x = a, ....

- Se consideran los valores que anulan a f '

( )

x : resolviendo la ecuación: f'

( )

x =0, que son los posibles extremos relativos.

- El conjunto de todos estos valores dividen la recta real en zonas, en las que se estudia el signo que toma y= f'

( )

x , y dando como solución: I , C ID y los extremos relativos.

Si f'

( )

x >0en IC ⇒ y= f

( )

x es creciente en dicho intervalo. Si f'

( )

x <0enI_D ⇒ y= f

( )

x es decreciente en dicho intervalo.

Máximo relativo : M

(

a,f

( )

a

)

: Si x=a es el punto del D

( )

f donde la función pasa de creciente a decreciente.

Mínimo relativo : M'

(

a,f

( )

a

)

: Si x=a es el punto del D

( )

f donde la función pasa de decreciente a creciente.

• Curvatura y puntos de inflexión:

- Se consideran los valores que no pertenecen al dominio x = a, ....

- Se consideran los valores que anulan a f ''

( )

x : resolviendo la ecuación: f´''

( )

x =0, que son los posibles puntos de inflexión.

- El conjunto de todos estos valores dividen la recta real en zonas, en las que se estudia el signo que toma f ''

( )

x , y dando como solución: I_∪ , I_∩ y los puntos de inflexión.

Si f ''

( )

x >0enI_∪ ⇒ y= f

( )

x es convexa en dicho intervalo. Si f'

( )

x <0enI_∩⇒ y= f

( )

x es cóncava en dicho intervalo.

10

• Tabla auxiliar de valores:

Dando valores a la “x” en una parte del dominio, se calculan los correspondientes de la “y” sustituyendo en la fórmula de la función.

• Representación gráfica:

Una vez estudiadas las propiedades de la función, se encajan los resultados llevándolos sobre el sistema de ejes coordenados en el siguiente orden:

1) Se dibujan todas las asíntotas y se tiene en cuenta la posición relativa de la curva respecto de ellas.

2) Se tiene en cuenta el D

( )

f y el DC

( )

f .

3) Se representan los puntos notables de la función: de corte con los ejes, extremos relativos y puntos

de inflexión.

4) Se encaja el estudio del signo.

5) Se tiene en cuenta el estudio de la paridad de la función.

6) Se esboza la gráfica

7) Se utilizan los intervalos de variación y los de curvatura de la función asegurándonos de que el

esbozo está bien hecho.

8) Se afina el esbozo con la tabla de valores, formada por todos los valores que sean necesarios.

PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES.-

Con mucha frecuencia aparecen problemas físicos, económicos, biológicos, etc…, en los que se trata de optimizar una función.

Ejemplos: Hacer máximo un volumen, unos beneficios, una población; o hacer mínimos unos costes,

un área, etc…

En todos estos problemas, debemos determinar el valor de x, que hace que una función sometida a algunas condiciones, sea máxima o mínima (óptima).

Para ello seguiremos el siguiente procedimiento:

1. Determinar la función que se quiere optimizar: F

( )

x,y

2. Las condiciones a las que la función está sometida dan lugar a una ecuación que relaciona a x e y, y

que permite poner F

( )

x,y en función de una sola variable (x ó y): f

( )

x o f

( )

y .

3. Se calculan los posibles extremos de la función ( f

( )

x o f

( )

y ), haciendo f'

( )

x =0 (o f'

( )

y =0). Y se especifica el tipo de extremo: máximo o mínimo.