Tema 13: INTEGRALES DEFINIDAS
REFLEXIONALas ganancias de la compañía RAMSES S.L. durante los 12 meses de un año, en decenas de miles de euros, se dan en la siguiente gráfica:
5
4
3
2
1
ENE FEB MAR ABR MAY JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC
Si queremos saber las ganancias acumuladas al final del mes de marzo, es claro que solo tenemos que sumar las alturas de las tres primeras columnas o, lo que es lo mismo, calcular el área bajo la curva de ganancias en los tres prime- ros meses:
4,5 + 3,5 + 2,5 = 10,5 decenas de miles de euros = 105 000 euros
La siguiente gráfica representa la velocidad media de un ciclista, en km/h, en cada uno de los siete días de la VUELTA CICLISTA A ESPAÑA. Cada día se señalan solo las horas que está pedaleando.
VELOCIDAD (km/h)
40
35
30
25
20
15
10
5
LUN MAR MIE JUE VIE SAB DOM TIEMPO (horas)
¿Cuántos kilómetros ha recorrido hasta el jueves? El área rayada bajo la curva de velocidades nos proporciona esta información:
La gráfica siguiente representa la potencia, en kW, que se está empleando en cada momento en un local, a lo largo de un día. (A juzgar por las horas de máximo consumo, bien podría ser una gran discoteca).
POTENCIA (kW)
14
12
10
8
6
4
2
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
TIEMPO (horas)
¿Cómo calcular el consumo de energía entre las 0 y las 5:30 de la mañana? La energía, en kWh, es el área bajo la cur- va de potencia, que viene a ser, aproximadamente:
(10,5 kW) · (5,5 horas) = 57,75 kWh
Hemos visto tres ejemplos en los que el área bajo la gráfica de una función tiene un significado especial:
• El área bajo la curva de ganancias nos proporciona un dato interesante: el de las
ganancias acumuladas.
• El área bajo la curva velocidad nos proporciona el espacio total recorrido.
• El área bajo la curva potencia funcionando en cada instante nos proporciona la
energía consumida.
Interpreta lo que significa el área bajo la curva en cada uno de los siguientes casos:
VELOCIDAD (km/h) CAUDAL (litros/min)
CAUDAL DE UN GRIFO QUE
100 20 VIERTE SOBRE UNA BAÑERA
50 10
TIEMPO (h)
6 7 8 9 10 11
VELOCIDAD (litros/min)
150
ACELERACIÓN (m/s2 )
100
50
VELOCIDAD DE DESAGÜE DE UNA
PISCINA
TIEMPO
(min) 10 20 30 40 50 60
ACELERACIÓN DE UNA GOTA DE AGUA DESDE QUE SE FORMA HASTA
QUE CAE AL SUELO
ESPACIO (m)
CAUDAL (hm3/día)
1
AGUA CAÍDA EN UN PANTANO (LLUVIA Y RÍOS)
DESDE SU INAUGURACIÓN
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
1. INTEGRAL DEFINIDA.
Sea f x( ) una función continua y positiva en el intervalo
a b, . Llamamos b ( )a f x dx
y lo leemos como integral definida entre a y b de f(x), al valor del área comprendida entre la gráfica de f(x), el eje X y las rectas verticales x=a y x=b.2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
1
0 )
(
aa f x dx 2
Si f(x)0 x
a,b , entonces
( ) 0. ba
dx x
f
Si f(x)0 x
a,b , entonces
( ) 0. ba
dx x f
3
Si acb y f es continua en
a,b, entonces
bc c
a b
a
dx x f dx x f dx x
f( ) ( ) ( )
4 Si permutamos los límites de integración, la integral cambia de signo:
a b b
a
dx x f dx
x
f( ) ( )
5 Dadas las funciones f(x) y g(x)continuas en el intervalo [a,b], se cumple que:
b a b
a b
a
dx x g dx x f dx x g x
f( ) ( ) ( ) ( )
6
b a b
a
dx x f K dx x f
K ( ) ( )
7 Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo
a,b, tales que f(x) g(x)para todo punto x de
a,b, entonces:
b a b
a
dx x g dx x
f( ) ( )
a b
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
5
3. TEOREMAS Y REGLA DE BARROW 3.1.Teorema del valor medio para la integral.
Si f es una función continua en
a,b,entonces existe un número c
a,b,tal que:) ( ) ( )
(x dx f c b a
f
b
a
3.2.Teorema fundamental del cálculo integral
Si f es una función continua en
a,b, la función
xa
dt t f x
F( ) ( ) definida para cada x
a,b, esderivable y se verifica que F' (x) f(x). (F es una primitiva de f).
3.3.Regla de Barrow
Si f(x) es continua en
a,b y G(x) es una primitiva de f(x), entonces) ( ) ( )
(x dx G b G a
f
b
a
Para aplicar la regla de Barrow al cálculo de la integral definida de una función f(x) continua en
[a,b], b ( )
a f x dx
, se siguen estos pasos: Determinamos una primitiva de f(x): F x'( ) f x( )
Calculamos los valores de esta función en a y b: F a( ) y F b( )
Hallamos su diferencia para calcular la integral definida:
( ) ( ) ( ) ( )
b b
a
a f x dx F x F b F a
(2 3)
3
13 (32 3 3) (12 3 1) (9 9) (1 3) 0 ( 2) 22 3
1
x dx x x
11
1
1 1 0 1 e
e
dx Lx Le L
x
3
4 2
1
.( ) dx
x Lx
Calculamos primeramente una primitiva:
3 3
4 4
) ( 3
1 3
) ( )
( 1 )
.( 1
Lx Lx
dx Lx x dx Lx
x
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
3 3
4 3 3 3 3 3
2
2
1 1 1 1 1 1 1
.( ) dx 3( ) 3( 3) 3( 2) 3 ( 3) ( 2)
x Lx Lx L L L L
4. ÁREAS
b
a f x dx
R
A( ) ( ).
b
a b
a
dx x f dx
x f R
A R
A( ( )) ( ( )) ( )( ). ( ).
En este caso el área del recinto pedido será la suma de las áreas de cada uno de los recintos. No podemos calcular la integral definida entre a y b, sino que será necesario calcular las áreas de cada uno de los recintos R1,R2,R3, y sumarlas después.
Los puntos de corte con eje de ABCISAS se halla resolviendo la ecuación f(x)=0
b
a b
a b
a
dx x g x f dx x g dx x f
R Área R
Área R
Área
2 1
. ) ( ) ( ).
( ).
(
) ( )
( )
(
Los puntos a y b se obtienen resolviendo el sistema f(x)=g(x)
( ) ( )
)
(R Área R1 Área R2
Área
b
c c
a
dx x g x f dx x f x
g( ) ( ). ( ) ( ).
2
R g
a b
f
R 1 R
f
f
a b
f
a b
b
1
R
2
R
3
R
2
R
1 R
f
g
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
7
5. ÁREAS EJEMPLOS
Halla el área del recinto limitado por la parábola y x2, el eje OX, la recta
1
x y la recta x3.
Puesto que la función es positiva en todo su dominio, el área del recinto nos vendrá dada por:
u.s. 6 26 3 1 3 27 3 1 3 3 3
. )
(
3 3 3
1 3 3
1
2
x dx xR A
Halla el área del recinto limitado por la curva yx2, el eje OX, y las rectas
. 2 y
2
x
x
u.s. 3 16 3 8 3 8 3
) 2 ( 3 2 3
). ( ) (
3 3
2
2 3 2
2
2
xdx x R
A
Calcula el área limitada por la curva yx3 6x2 8x y el eje OX.
42
2 3 2
0
2 3 2
1) ( ) ( 6 8 ). ( 6 8 ).
( )
(R A R A R x x x dx x x x dx
A
u.s. 8 ) 4 ( 4 4
2 4 4
2 4
4
2 3
4 2
0 3
4
x x x x x x
Los puntos de corte de nuestra función con el eje
OX son: x0, x2, x4
El recinto cuya área queremos calcular se descompone en dos recintos: uno situado por encima del eje y el otro por debajo.
Por tanto:
1
R
2
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
Halla el área del recinto limitado por las parábolas y x2 e y2 x.
Dibujamos el recinto limitado por las curvas y calculamos los puntos de corte de ellas:
El área del recinto nos vendrá dada por:
10 2 2 1 1 0 2 1 0 2 1 0 ) ( ) ( )
(R x dx x dx x x dx x x dx
A u.s. 3 1 0 3 1 3 2 3 3 2 3 2 3 1 0 3 2 3 1 0 3 2 3
x x x x
El área de la región comprendida entre las gráficas de y x3 e y x (mira el dibujo) no se puede calcular mediante la integral
1 1 3 ).
(x x dx
u.s. 2 1 4 1 2 4 1 2 1 2 4 2 2 ). ( 2 ) ( 1 0 4 2 1 0
3
x x dx x xR A O también
0 2 4 101 2 4 1 0 3 0 1 3 4 2 2 4 ). ( ). ( )
(R x x dx x x dx x x x x
A u.s. 2 1 4 1 4 1 4 1 2 1 2 1 4 1
0
2 x y x
y
1 0 0 ) 1 ( 0 )
( 2 2 4 3
Tema 13: Integrales definidas Matemáticas 2º Bach
9
6. VOLUMEN DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
b a b a dx x f dx x f b a fV( , , ) 2( ). 2( )
EJEMPLO.
Calcular el volumen engendrado al girar la parábola y x alrededor del OX entre 0 y 4.
Utilizando el cálculo integral, determina el volumen de un cono circular recto de radio r y altura h.
h r h h r x h r dx x h r dx x h r V h h h 2 3 2 2 0 3 2 2 0 2 2 2 0 2 3 1 3
3
que es la fórmula del volumen del cono.
Utilizando el cálculo integral, determina el volumen de una esfera de radio r.
3 ) ( ) ( 3 3 ) ( 3 2 3 3 3 2 2 2 r r r r r x x r dx x r V r r r r 3 3 3 3 3 3 3 4 3 2 3 2 3 3 2 r r r r rr
x y 4 0 u.v. 8 0 2 4 2 ) ( 2 4 0 2 4 0 4 0 2
x dx
x dx xV
h
r
La ecuación de la recta que gira alrededor del eje
OX para generar en el intervalo
0,h un cono de radio r y altura h es xh r
y Por tanto, el volumen
del cono nos vendrá dado por x
h r y
r r 2 2 x r y
La esfera se engendra al girar una circunferencia de ecuación x2 y2 r2 alrededor del eje OX.
En consecuencia, el volumen de la esfera nos