Ap
un
tes
Ap
un
tes
D.2
Genius, el secreto de los mejores.
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Ximo Beneyto
XB
Genius
D2
Como ya hemos cogido un poco de práctica en la técnica de la derivación, a partir de ahora
trabajaremos en un nivel medio-superior con unas funciones que, en principio, no tienes por qué conocer.
Insisto en la idea de una cierta mecanización inicial del proceso :
))))))))))))))))))))))))))))))))
FUNCIÓN
Y
FUNCIÓN DERIVADA))))))))))))))))))))))))))))))))
Sigamos pues, con nuevas fórmulas de derivación, y te recuerdo que la letra "u", sigue
representando a una función cualquiera.
FUNCIÓN DERIVADA
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y = tg x
Y
y = tg u
Y
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
Ya que se trata de una igualdad trigonométrica, puedes expresar la derivada de la tangente de
cualquiera de las dos formas que hemos planteado en la fórmula de derivación.
EJEMPLOS.
y = tg x
Y
y' = 1 + tg²x ó ( En lo sucesivo no lo indicaremos )y = tg x3
Y
y' = ( 1 + tg²x3)A
3x2y = tg (lnx)
Y
y' = ( 1 + tg² (lnx) )A
y = tg
Y
y = tg 2t
Y
y' = ( 1 + tg²(2t) )A
2 ¡ Comprendes, aquí la variable de derivación es "t" ! [Variable “t”Y
Y
Y
XB
Genius
D2
Obtener las funciones derivadas de las siguientes funciones
1. y = tg x
Y
y' =2. y = tg x3
Y
y' =3. y = tg t2
Y
y' =4. y = tg an
Y
y' =5. y = tg p1/3
Y
y' = 6. y = tg (cos ß)Y
y' =7. y = tg 2x
Y
y' =8. y = tg (sen x)
Y
y' =9. y = tg 4x3
Y
y' =Recuerda:
FUNCIÓN DERIVADA
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y = tg x
Y
y = tg u
Y
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
10. y = tg 5x
Y
y' =11. y = tg (ax)
Y
y' =12. y = tg (tx)
Y
y' =13. y = tg (tx)
Y
y' = ( 1 + tg²(tx))A
x( Variable "t" )
14. y = tg (2-x)
Y
y' =15. y = tg (3-x)
Y
y' = 16. y = tg (cos p2)Y
y' =17. y = tg (at) (Variable "t" )
Y
y' =18. y = tg (at) (Variable "a" ) ¡¡¡¡Uffff, qué lío!!!!
Y
y' =19. y = tg (xt)
Y
y' =20. y = tg (xt) (Variable "t" )
Y
y' =XB
Genius
D2
22. y = tg (sen a2)
Y
y' =23. y = tg (zt) (Variable "z" )
Y
y' =24. y = tg (
2
3) (Variable “x”)Y
y' =25. y = tg (
2
3) (Variable "2
" )Y
y' = ¡ Subiendo como la espuma !Y ahora vamos a trabajar sobre las funciones INVERSAS de las funciones trigonométricas. Sus fórmulas
son:
FUNCIÓN DERIVADA
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y = arc tg x
Y
( arco tangente de x )
y = arc tg u
Y
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
EJEMPLOS
Y
y = arc tg x3Y
y = arc tg ln(x)
Y
y = arc tg
Y
y = arc tg (2r)
Y
A partir de ahora, comenzamos a simplificar y a ordenar los resultados.
Ejercicios. Hallar la derivada de las siguientes funciones:
26. y = arc tg x
Y
y' =27. y = arc tg t3
Y
y' =28. y = arc tg x2
Y
y' =29. y = arc tg zn
Y
y' =30. y = arc tg x1/p
XB
Genius
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31. y =
32. y = arc tg (2x)
Y
y' =33. y = arc tg (ax)
Y
y' =[Variable “x”]
34. y = arc tg (tx)
Y
y' =[Variable “x”]
Recuerda simplificar un poco el resultado obtenido ( desarrolla cuadrados, etc )
35. y = arc tg (3x4)
Y
y' =36. y = arc tg (-x)
Y
y' =37. y = arc tg (7r)
Y
y' =38. y = arc tg (3t)
Y
y' =39. y = arc tg (sen t)
Y
y' =40. y = arc tg (er)
Y
y' =41. y = arc tg (pt3) (Variable "t")
Y
y' =42. y = arc tg (1)
Y
y' =43. y = arc tg (-ax) (Variable "a")
Y
y' =44. y = arc tg (te)
Y
y' =45. y = arc tg (e-r/2)
Y
y' =¿¿ Va bien ??... Espero que sí.
Y ahora, una nueva fórmula :
FUNCIÓN DERIVADA
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
y = arc sen x
Y
y = arc sen u
Y
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
arc sen x, es la función arco seno de 'x'. ( Arco cuyo seno vale 'x').
XB
Genius
D2
y = arc sen ln(t)
Y
y = arc sen (cos x)
Y
y = arc sen (2x)
Y
Ejercicios: Derivar las funciones:
46. y = arc sen x
Y
y' =47. y = arc sen x4
Y
y' = 48. y = arc sen tnY
y' =49. y = arc sen x1/p
Y
y' = 50. y = arc sen (ln t)Y
y' =51. y = arc sen (2
2
)Y
y' =52. y = arc sen (3ß)
Y
y' =53. y = arc sen (3x4)
Y
y' =54. y = arc sen (7x)
Y
y' = 55. y = arc sen e-xY
y' =56. y = arc sen tx
Y
y' = 57. y = arc sen xaY
y' =58. y = arc sen (-tx)
Y
y' =59. y = arc sen (-2z)
Y
y' =60. y = arc sen(7r)
Y
y' =61. y = arc sen(tx) (Variable "t")
Y
y' =62. y = arc sen(3t)
Y
y' =63. y = arc sen(x1/2)
Y
y' =64. y = arc sen(4a)
Y
y' =REGLAS DE DERIVACIÓN
Supongo que si ya has ojeado la tabla anterior, habrás comprobado que las reglas de derivación aparecen en la parte inferior de la misma. De todas formas, vamos a recordarlas brevemente :
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
XB
Genius
D2
y = k
A
uY
y' = kA
u' ( La derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función)y = u + v
Y
y' = u'+ v' ( La derivada de una SUMA es la suma de las derivadas )y = u
A
vY
y' = u'A
v + uA
v' ( Regla de derivación del PRODUCTO de funciones ).( Regla de derivación del COCIENTE )
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
EJEMPLOS + EJERCICIOS ( Debes tener delante la tabla anterior de derivadas )
Hallar la función derivada de la siguientes funciones, seguimos con la idea de simplificar el resultado:
Derivada de una constante
Consideraremos como una constante cualquier letra o número diferente de la variable de derivación.
65. y = 3
Y
y' = 066. y = 2
Y
y' =67. y = -2
Y
y' =68. y = 23
Y
y' =69. y =
Y
y' =70. y = a
Y
y' =71. y =
Y
y' =72. y =
Y
y' =73. y =
Y
y' =74. y = a²
Y
y' =75. y =
Y
y' =Ha sido sencillo, ¿verdad ?.
Derivada de una constante por una función
XB
Genius
D2
77. y = 5
A
cos xY
y' =78. y =
Y
y' =79. y = 5
A
tg 3x2Y
y' =80. y = - arc sen t
Y
y' =81. y =
Y
y' =82. y = 2
A
arc tg bY
y' =83. y = 6
A
ln (4t5)Y
y' =84. y = 2
A
ln (x3)Y
y' =85. y = 3
A
(x1/3)Y
y' =¡ Qué arte el de derivar !
Regla de derivación de la SUMA
86. y = x3 + x4
Y
y' = 3x2 + 4x387. y = senx + cosx
Y
y' = cosx - senx88. y = 1 + 2x
Y
y' = 0 + 2 = 289. y = 3t3 + 2t4
Y
y' =90. z = x3 + 2y2
Y
z' = 3x2 + 0 = 3x2[ Variable 'x' ]
91. y = 2x + 3
Y
y' =92. y = x2 + senx
Y
y' =93. y = ax + b
Y
y' =94. z = ln y + y
Y
z' =[ Variable 'y' ]
95. y = x + x3
Y
y' =96. y = ln x2 + x7
Y
y' =97. y = at + t3 + bt
Y
y' =XB
Genius
D2
99. y = az+sen z3+b
A
cos zY
y' =100. y = 5t4 + 3t + 2t
Y
y' =101. y = t + 2x (Variable 't')
Y
y' = 1 + 0 = 1102. y = -2x + 3
Y
y' =103. y = -ax
Y
y' =104. y = 1 - x
Y
y' =105. y = 3 - 2x
Y
y' =Regla de derivación del PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
'u' y 'v' representan funciones cualesquiera.
y = x2
A
senxY
y' = 2xA
senx + x2A
cosxy = x
A
e-xY
y' = 1A
e-x + xA
e-xA
(-1) = e-x(1 - x)y =
Y
y' = 1A
+ xA
A
(2x) = (1 + 2x²)106. y = p2
A
cos pY
y' =107. y = ex sen x
Y
y' = 108. y = cos xA
ln xY
y' =109. y = p2
A
tg pY
y' =110. z = x
A
yA
arc sen yY
z' =[ Variable x ']
111. z = x
A
yA
arc sen yY
z' =[ Variable 'y']
112. y = t
A
arc tg tY
y' =113. Aplicando la regla de derivación del producto de funciones, deduce : si y = k
AAAA
u ( Siendo k, una constante y u una función )Y
Y
Y
Y
y' = kAAAA
u'114. u = y2
A
sen yY
u' =115. y = cos a
A
tg aY
y' =116. f(x) = x2
A
arc tg xY
f'(x) =117. y =
2
A
arc tg2
Y
y' =XB
Genius
D2
119. y = es
A
snY
y' =120. y = 3n
A
ln 3Y
y' =Regla de derivación del COCIENTE
En esta primera ronda de derivadas no nos preocupará excesivamente simplificar el resultado.
121.
Y
122.
Y
123.
Y
124.
Y
125.
Y
126.
Y
127.
Y
XB
Genius
D2
129.
Y
130.
Y
131.
Y
132. Utilizando la Regla de derivación del cociente de funciones, deduce que la función derivada de y = es y' = .
[ Empezamos a desarrollar la idea de preparar una función antes de derivar, pues observa que derivando
como derivamos de una forma mucho más sencilla ]
133. Utilizando la Regla de derivación del cociente de funciones, deduce que la función derivada de y = x/4 es y' = 1/4.
