Consumidor

(1)

Instituto de Filosof´ıa Facultad de Econom´ıa Universidad Veracruzana asienrag@gmail.com

1. Introducci´on

La teor´ıa del consumidor es uno de los cap´ıtulos más completa y elegan-temente desarrollados de la econom´ıa neoclásica. Se puede ver como una especialización de la teor´ıa de la elección individual, por lo que es natural presentar su estructura lógica en términos de esta última. La meta de la teor´ıa de la demanda walrasiana, sin embargo, no es meramente teorizar sobre la conducta observada del consumidor individual, sino constituir un ladrillo en el edificio de la teor´ıa del equilibrio general.

El primer objetivo de este texto es discutir la cuestión lógica relativa al papel del concepto de utilidad en la teor´ıa de la demanda walrasiana. ¿Es prescindible el concepto de utilidad? ¿Hay alguna ganancia cognitiva en la “racionalización” de la demanda mediante una relación de preferencia representable (mediante una función de utilidad)? ¿Por qué no restringir el análisis de la demanda a la mera elaboración de la función de demanda walrasiana?

Otro objetivo de este trabajo es precisamente el de discutir los proble-mas metodólogicos relativos a la determinación de funciones de utilidad que racionalicen la función de demanda walrasiana. Se verá, sin embargo, que la función de demanda walrasiana no es precisamente un mero repor-te de observaciones emp´ıricas, sino que involucra ya un gran esfuerzo de “teorización”. Esto plantea un problema adicional: ¿cómo se transita de una estructura de datos emp´ıricos a una función de demanda walrasiana, la cual debe ser matemáticamente “bien comportada”?

(2)

Empezaré por hacer una presentación completa y sistemática del con-cepto de demanda walrasiana para proceder a discutir, inmediatamente, el problema de construir funciones de demanda a partir de estructuras de datos emp´ıricos. Llamaré al problema de construir funciones de de-manda a partir de las estructuras de datos “el problema de la inducción”. Después de esto procederé a discutir el problema del papel de la utilidad y el significado de la racionalización de la demanda. Finalmente, discu-tiré el problema de la determinación de la función de utilidad. Veremos que este problema está estrechamente relacionado con lo que Paul Sa-muelson popularizó como “el problema de la integrabilidad”.1

2. La teor´ıa cl´asica de la demanda

La teor´ıa clásica de la demanda pretende explicar el comportamiento del consumidor, caracterizado por el aparato conceptual de la teor´ıa de la elección, mediante el concepto de preferencia: la aserción es que el con-sumidor demanda lo que demanda precisamente porque posee un cierto ordenamiento de preferencias que de hecho puede ser representado por una cierta función de utilidad. Latcdgenera, a partir de una estructura de preferencia, una serie de funciones. Dada una cierta clase de estruc-turas de preferencia —que aqu´ı llamaré ‘clásicas’— se procede a generar las funciones de demanda walrasiana, indirecta de utilidad, de demanda hicksiana y de gasto. El concepto de estructura de preferencia clásica es introducida en la siguiente definición.

Definici´on1. Ces unaestructura de preferencia cl´asicasyss existe≿tal que (0) C= ⟨Ω,≿⟩;

(1) Ces una estructura de preferencia regular; (2) ≿es estrictamente convexa;

(3) ≿es localmente insaciada;

1_{En “The Problem of Integrability in Utility Theory”. El problema ya hab´ıa sido notado}

(3)

(4) ≿es suave.

Teorema1. SeaC= ⟨Ω,≿⟩una estructura de preferencia cl´asica. Entonces exis-te una funci´on de utilidad u∶Ω→Rque representaCy tiene las siguientes propie-dades:

(1) u es estrictamente cuasic´oncava; (2) u es continuamente diferenciable; (3) u(0) =0y u(x) >0para todox≠0.

Demostraci´on:Los argumentos dados en el cap´ıtulo anterior establecen la existencia de una funci´on de utilidad continuamente diferenciable. Para demostrar (1), sean x,x′

elementos arbitrarios de Ωcon u(x) ≥ u(x′)

y x≠x′

, y seaα∈ (0, 1). Tenemos quex≿x′

yx≠x′

lo cual implica, por la estricta convexidad de≿, queαx+(1−α)x′≻

x′

; luego,u[αx+(1−α)x′] >

u(x′)

. ◻

Llamaremos normal a una funci´on de utilidad que represente una es-tructura de preferencia cl´asica y que posea las propiedades enunciadas en el Teorema 1..

El problema de calcular el máximo de u para un (p,w) dado es lla-mado el problema del consumidor (pc) o el problema de la maximización de la utilidad (pmu). El problema de calcular el m´ınimo costo de alcanzar un determinado nivel de utilidad para un sistema de precios p dado es lla-madoel problema de la minimización del gasto(pmg). De hecho cada uno de estos problemas es dual del otro. Estos problemas usualmente se atacan mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.

Teorema2. SeaC= ⟨Ω,@,µ⟩la estructura de elección inducida por la estruc-tura de preferencia clásica⟨Ω,≿⟩y u∶Ω→Runa función de utilidad normal que representa⟨Ω,≿⟩. Para cada(p,w) ∈ Ω○×

R+, la funci´on de utilidad u alcanza

un m´aximo global en un ´unico puntoµ(x)de Bp,w.

(4)

asume el m´aximo, tiene que ser ´unico. Pues de lo contrario, comoBp,w es convexo, six∗

fuera otra punto deBp,w conu(x

∗) =

u(xˆ), la combinaci´on convexaαxˆ+ (1−α)x∗

estar´ıa enBp,wy ser´ıa estrictamente más preferida que ˆx, debido a la convexidad estricta de≿, lo cual es imposible. ◻ Definición2. La función µ∶Ω○×R+ → Ω, que asigna a cada (p,w) ∈ Ω○×

R+ el ´unico punto de Bp,w en el que u asume el m´aximo valor, es

llamada lafunci´on de demanda walrasiana.

Teorema3. La función de demanda walrasianaµes homogénea de grado cero. Demostración:Esto se sigue del hecho de que

px≤w⇔αpx≤αw.

paraα>0. Es decir,Bp,w=Bαp,αw.◻

Teorema4. (Ley de Walras) La funci´on de demanda walrasianaµsatisface la Ley de Walras.

Demostraci´on: Se requiere demostrar que el punto ˆx en el que u asume el valor m´aximo en Bp,w pertenece al hiperplano {x ∈ Ω∣px = w}. Si ˆ

x∉ {x∈Ω∣px =w}hay una bola abierta V de ˆxy un punto x′ ∈

V∩Bp,w tal quex′≻

ˆ

x. Pero ello es imposible porque ˆxes ´optimo enBp,w.◻ Lema1. La funci´on de demanda walrasianaµes continua.

Demostraci´on:Es menester mostrar que, para cualquier sistema(p,w), vec-tor infinitesimalε∈*Ω○

y n´umero infinitesimal positivoε,

µ(p+ε,w+ε) ≃µ(p,w).

Para ello proceder´e del siguiente modo. Siendo p′ =

p+ε y w′ =

w+ε, mostrar´e primeramente que hay puntos (no est´andar) sobre el hiperplano presupuestal deBp′_,_w′ infinitamente cerca de ˆx=µ(p,w). En segundo

lu-gar, y de manera análoga, mostraré que hay puntos (estándar) sobre el hiperplano presupuestal deBp,w infinitamente cerca de ˆx

′ =µ(

p′

,w′)

(5)

continuidad deu implicar´a que ˆx′∈

hal(xˆ), pues de lo contrario habr´ıan men´us x (est´andar) en el hiperplano de Bp,w yx

′

(no est´andar) en el de Bp′_,_w′ tales que x

′ ≃

ˆ

x y x ≃ xˆ′

, en cuyo caso tendr´ıamos que la diferen-cia u(xˆ) −u(x) es positiva y apreciable (porque ˆx ≻ x), de modo que la diferenciau(x′) −

u(ˆx′)

tambi´en lo es, lo cual es imposible porque ˆx′≻

x′

.

Teorema5. La funci´on de demanda walrasianaµes continuamente diferencia-ble.

Definición3. Lafunción indirecta de utilidades la aplicaciónv∶Ω○×R+→R

que asigna a cada(p,w)el m´aximou(ˆx)deuenBp,w.

Teorema6. La funci´on indirecta de utilidad v tiene las siguientes propiedades: (1) v es homog´enea de grado cero;

(2) v es estrictamente creciente en w y no creciente en pl para todo l; (3) v es cuasiconvexa;

(4) v es continuamente diferenciable enpy w.

Demostración:(1) Si αes un número real positivo, la desigualdad ‘px≤w’ es equivalente a ‘αpx ≤ αw’, de modo que el conjunto presupuestal Bp,w es idéntico a Bαp,αw y el óptimo de Bp,w es idéntico al de Bαp,αw. Pero esto significa quev(p,w) =v(αp,αw).

(2) Si w′ >

w,Bp,w es un subconjunto propio de Bp,w′ y sus

correspon-dientes hiperplanos presupuestales no se intersectan, de modo que el ´

optimo de Bp,w′ es estrictamente preferido al de Bp,_w; pero esto

signifi-ca quev(p,w) >v(p,w′)

. Sipl>p

′

l,Bp′_,_wes un subconjunto propio deBp,_w,

dondep′

es id´entico apexcepto posiblemente en la coordenadal, donde aparece el precio p′

l. Como el hiperplano deBp′_,_w puede tener elementos

en común con el deBp,w, el óptimo puede ser el mismo en ambos conjun-tos pero también es posible que el óptimo del segundo sea estrictamente preferido al del primero, lo cual significa quev(p′

(6)

(3) Es menester demostrar que siv(p,w) ≤˜v,v(p′

,w′) ≤

˜

v yα∈ [0, 1] entonces

v[α(p,w) + (1−α)(p′

,w′

)] ≤˜v.

Para cualquier menú x ∈ Ω, si x no está en ninguno de los conjuntos presupuestales Bp,w y Bp′_,_w′, tampoco está en el conjunto B_α(p,w)+(1−α)(p′_,_w′).

En efecto,px>wyp′

x>w′

implican [αp+ (1−α)p′]

x=αpx+ (1−α)p′

x>αw+ (1−α)w′

.

Luego, el ´optimo de Bα(p,w)+(1−α)(p′_,_w′) tiene que pertenecer aBp,w o aBp′_,_w′.

En el primer caso,

v[α(p,w) + (1−α)(p′

,w′

)] ≤v(p,w) ≤v;˜ en el segundo,

v[α(p,w) + (1−α)(p′

,w′

)] ≤v(p′

,w′

) ≤˜v.

(4) Para demostrar queves continuamente diferenciable enpyw, ob-servemos que ves la composici´onu○µ de las funciones de utilidad y de demanda walrasiana. Como ambas funciones son continuamente diferen-ciables, la regla de la cadena implica quev es continuamente diferencia-ble. En efecto,

Jv,(p,w)= Ju,µ(p,w)⋅Jµ,(p,w). ◻

Teorema7. Para cada(˜p, ˜u) ∈Ω○×u(Ω), la funci´onψ∶Ω→Rtal queψ(x) = ˜

pxtiene un m´ınimo w precisamente en un punto de K˜ = {x∈Ω∣u(x) ≥˜u}. Demostraci´on:Seacun nivel de precios tal que ˜px=cpara alg´unx∈K. Si c≤ψ(x)para todox∈X,˜ ces el m´ınimo buscado. Si no, el conjunto

C= {x∈K∣ψ(x) ≤c} =B˜p,c∩K

(7)

Cualquier punto de K que minimice la funciónψ tiene utilidad ˜u. En efecto, por definición, ˜p˜x = w˜ y la utilidad de ˜x tiene que ser ˜u. Pues supóngase queu(x˜) >˜uy considérese el segmento ˜X= {x∈Ω∣x=αx, 0˜ ≤

α≤1}. Como ˜Xes compacto yues continua,u(X˜)es un intervalo cerrado, con extremosu(0)yu(x˜), esto es,u(X˜) = [u(0),u(x˜)]. Por lo tanto, existe un punto x0∈ X˜ tal queu(x0) =˜u; esto es, existe unα∈ [0,u(x˜))tal que u(αx˜) =˜u. Pero entonces ˜px0=αp˜˜x<w, contradiciendo el hecho de que˜ ˜

px˜≤pxpara todox∈K.

Se sigue que hay un ´unico punto ˜x∈Kque minimizaψ. Pues, si ˜x′

fuera otro punto tal, la combinaci´on convexaαx˜+ (1−α)x˜′

tambi´en lo ser´ıa, lo cual implica que u[αx˜+ (1−α)x˜′] =

˜

u, contradiciendo el hecho de que u[αx˜+ (1−α)x˜′] >

u(x˜). ◻

Definición4. La función de gasto es la aplicación e∶Ω○×u(Ω) → R que asigna a cada(p,u)el m´ınimo deψ en{x∈Ω∣u(x) ≥u}.

Teorema8. La funci´on de gasto e tiene las siguientes propiedades: (1) e es homog´enea de grado uno enp;

(2) e estrictamente creciente en u y no decreciente en pl para todo l; (3) e es c´oncava enp;

(4) e es continuamente diferenciable enpy u.

Definición5. La función de demanda hicksiana es la aplicación h∶Ω○×

u(Ω) →3(R)que asigna a cada(p,u)el vector ´optimo del PMG.

Teorema9. La funci´on de demanda hicksiana h tiene las siguientes propiedades para todo(p,u) ∈Ω○×

u(Ω):

(1) h es homog´enea de grado cero enp;

(8)

Teorema10. La funci´on de demanda hicksiana satisface la ley compensada de la demanda; e.e.

(p′′

−p′

) ⋅ [h(p′′

,u) −h(p′

,u)] ≤0.

Teorema11. Para cada(p,u), la funci´on de demanda hicksiana es el vector de derivadas de la funci´on de gasto con respecto a los precios

h(p,u) = ∇pe(p,u).

Demostración: SeaK el conjunto {x∈ Ω∣u(x) ≥ u˜}. ComoK es convexo y cerrado, y hemos demostrado (Teorema 7.) que y la función soporte de K,e(p,u), es diferenciable con respecto ap, existe un único punto ˆx∈K tal quepla caracter´ıstica de que∇e(p,u) =x, donde es el ´ˆ unico punto tal que

Esto es una consecuencia del teorema de dualidad, donde

Teorema12. La funci´on de demanda hicksiana h(⋅,u) satisface las siguientes identidades:

(1) Dph(p,u) =D2

pe(p,u);

(2) Dph(p,u)es semidefinida negativa; (3) Dph(p,u)es sim´etrica;

(4) Dph(p,u)p=0.

Teorema13. (Ecuaci´on de Slutsky) Para todo(p,w)y u=v(p,w):

∂hl(p,u) ∂pk

= ∂µl(p,w) ∂pk

+∂µl(p,w)

∂w µk(p,w). De manera compacta,

Dph(p,u) =Dpµ(p,w) +Dwµ(p,w)µ(p,w) t

. Teorema14. (Identidad de Roy)

x(p,w) = − 1 ∇wv(p,w)

(9)

3. El modelo Cobb-Douglas

Si adoptamos la función de utilidad Cobb-Douglas sobre el ortante de un espacio espec´ıfico obtenemos un modelo espec´ıfico de laTCD. Aqu´ı desa-rrollaremos el modelo paraL=2. Es interesante observar que la función Cobb-Douglas satisface las propiedades enunciadas en el Teorema 1. y por lo tanto representa una relación de preferencia clásica. En la cons-trucción de cualquier modelo se requiere obtener las siguientes funcio-nes:

(1) La funci´on µ de demanda walrasiana, la cual asigna a cada siste-ma de precios-riqueza (p1,p2,w) el men´u de consumo (ˆx1, ˆx2) =

µ(p1,p2,w) que maximiza la utilidad del agente bajo ese sistema. Esta funci´on se obtiene resolviendo elPMU.

(2) La función indirecta de utilidadv, la cual asigna a cada(p1,p2,w) la utilidad máxima que el consumidor puede alcanzar en esa si-tuación; es decir, la utilidad que le brinda su consumo óptimo: v(p1,p2,w) =u[µ(p1,p2,w)].

(3) La función de demanda hicksiana h, la cual asigna a cada vec-tor (p1,p2, ˜u), donde ˜u es un nivel de utilidad determinado, el menú de consumo (ˇx1, ˇx2) que minimiza el costo de alcanzar el nivel de utilidad ˜u: h(p1,p2, ˜u) = (ˇx, ˇy). Esta función se obtiene resolviendo elpmg.

(4) La funci´on de gastoe, la cual asigna a cada(p1,p2, ˜u), donde ˜ues un nivel de utilidad determinado, el costo m´ınimo de alcanzar el nivel de utilidad ˜u: e(p1,p2, ˜u) = p1ˇx1+p2ˇx2 = ph(p1,p2, ˜u). Debe verificarse quee(p1,p2,µ(p1,p2,w)) =w.

As´ı, para un consumidor con una funci´on Cobb-Douglas se requiere resolver el PMU, el PMG y determinar las funciones siguientes:

(10)

(4) la funci´on de gastoe(p1,p2, ˜u)

Una vez hecho esto, hay que hacer lo siguiente: (5) Demostrar que

e(p1,p2,v(p1,p2,w)) =w y v(p1,p2,e(p1,p2, ˜u)) =˜u. (6) Demostrar que

∇(p₁,p₂)e(p1,p2, ˜u) =h(p1,p2, ˜u).

(7) Demostrar que las funciones satisfacen la ecuaci´on de Slutsky: Dph(p,u) =Dpµ(p,w) + [µ1(p,w)Dwµ(p,w)⋯µL(p,w)Dwµ(p,w)]. (8) Demostrar que satisfacen la Identidad de Roy:

µ(p,w) = − 1 ∇wv(p,w)

∇pv(p,w).

Se procede primero a resolver el PMU:

Maximizarxα1x 1−α

2

sujeto a p1x1+p2x2=w

Para ello, comenzamos por formular el lagrangiano: L(x1,x2,λ) =xα₁x1−α

2 +λ[w−p1x1−p2x2].

Derivando L con respecto a x1, x2 y λ, e igualando las derivadas a cero, obtenemos las condiciones de primer orden:

αxα−1

1 x 1−α

2 −λp1=0 (1)

(1−α)xα1x

−α

2 −λp2=0 (2)

(11)

Despejandoλen (1) y (2), obtenemos

λ=p−1

1 αx α−1

1 x 1−α

2 (4)

y

λ=p−1

2 (1−α)x α 1x

−α

2 (5)

As´ı, p−1

1 αx α−1

1 x 1−α

2 =p

−1

2 (1−α)x α 1x

−α

2 . (6)

Para separar variables, multiplicamos ambos lados de (6) porxα₂ y obte-nemos

p−1

1 αx α−1

1 x2=p

−1

2 (1−α)x α

1. (7)

Multiplicando ahora ambos lados de (7) porx1−α

1 , p−1

1 αx2=p

−1

2 (1−α)x1. (8)

Despejandox2, obtenemos x2=p1α−1

p−1

2 (1−α)x1. (9)

Al sustituir la parte derecha de (9) porx2en la tercera condici´on, obtene-mos:

w=p1x1+p2p1α−1

p−1

2 (1−α)x1 =p1x1+p1α−1

(1−α)x1 =p1[x1+α−1(₁−_α)

x1] =p1[1+α−1(₁−_α)]

x1 =p1α−1

x1.

Luego, ˆx1=αp−1

1 wy, sustituyendo xcon ˆxen la ecuaci´on (9), obtenemos ˆ

x2=p1α−1

p−1

2 (1−α)αp

−1

1 w = (1−α)p−1

(12)

Por lo tanto, la funci´on de demanda walrasiana es

µ(p1,p2,w) = [ αp

−1

1 w (1−α)p−1

2 w

] (10)

La funci´on de utilidad indirecta se calcula as´ı: v(p1,p2,w) =u[µ(p1,p2,w)]

= [αp−1

1 w] α

[(1−α)p−1

2 w] 1−α

=αα_p−α

1 w

α₍₁₋_α₎1−α

pα−1 2 w

1−α

=αα₍₁₋_α₎1−α

p−α

1 p α−1 2 w

Procedemos ahora a resolver el PMG para determinar la funci´on de demanda hicksiana. El problema es

Minimizar(x₁,x₂)≧0 p1x1+p2x2

sujeto axα₁x1−α

2 =˜u

Nuevamente, procedemos a trav´es de la introducci´on de un lagran-giano.

L(x1,x2,λ) = −p1x1−p2x2+λ[˜u−xα1x 1−α

2 ]

con condiciones de primer orden

∂L

∂x1 = −p1−λαx α−1 1 x

1−α

2 =0 (11)

∂L

∂x2 = −p2−λ(1−α)x α 1x

−α

2 =0 (12)

∂L

∂λ =˜u−xα1x 1−α

2 =0. (13)

Despejandoλdos veces e igualando, −p1α−1

x1−α

1 x α−1

2 = −p2(1−α)

−1 x−α

(13)

Multiplicando por−xα1x 1−α

2

p1α−1_x1−α

1 x α 1x

α−1 2 x

1−α

2 =p2(1−α)

−1_x−α

1 x α 1x

α 2x

1−α

2 p1α−1

x1=p2(1−α)−1

x2

Despejando x2, x2=α−1

(1−α)p1p−1

2 x1.

Sustituyendo en la condici´on 3, xα1[α

−1

(1−α)p1p−1

2 x1] 1−α

=˜u, de donde

x1[α−1

(1−α)p1p−1

2 ] 1−α

=˜u y as´ı,

ˇ

x1= [p1p−1

2 (1−α)] α−1α1−α

˜ u.

Sustituyendo en (2), y haciendo algunas transformaciones algebraicas, ˇ

x2= [p1p−1

2 (1−α)] α_α−α

˜ u.

La resoluci´on del PMG establece que la funci´on de demanda hicksiana es

h(p1,p2, ˜u) = [α 1−α(

1−α)α−1_pα−1 1 p

1−α

2 u˜

α−α(

1−α)αpα1p

−α

2 u˜

] (14)

La funci´on de gasto es e(p1,p2, ˜u) =α−α

(1−α)α−1 pα1p

1−α

(14)

pues

α1−α

(1−α)α−1+_α−α

(1−α)α=α1−α

(1−α)α(1−α)−1 +α−α

(1−α)α = [α1−α

(1−α)−1

+α−α

] (1−α)α =α−α[α

(1−α)−1

+1] (1−α)α

=α−α[α(1−α)−1+ (1−α)(1−α)−1] (1−α)α

=α−α[α+ (

1−α)] (1−α)−1(

1−α)α =α−α

[α+ (1−α)] (1−α)α−1 =α−α

(1−α)α−1 Por lo tanto,

∂e

∂p1 =α

1−α(1−α)α−1

pα−1

1 p 1−α

2 ˜u (16)

∂e

∂p2 =α

−α

(1−α)αpα₁p−α

2 ˜u. (17)

Las ecuaciones (13) y (14) implican que

∇(p1,p2)e(p1,p2, ˜u) =h(p1,p2, ˜u) (18)

Para demostrar que la funci´on Cobb-Douglas satisface la Ecuaci´on de Slutsky, observemos que

D(p1,p2)h(p1,p2, ˜u) = [−

α1−α(1−α)α

p1α−2_p21−α

˜

u α1−α(1−α)α

p1α−1_p2−α

˜ u

α1−α(

1−α)αp1α−1

p2−α

˜

u −α1−α(

1−α)αp1αp2−(α+1)

˜ u]

donde ˜u es el m´aximo nivel de utilidad bajo la situaci´on (p1,p2,w); es decir, ˜u=v(p1,p2,w). Ahora bien,

−α1−α

(1−α)αp1α−2p21−α

˜

u= −α1−α

(1−α)αp1α−2

p21−α

⋅ ⋅αα₍₁₋_α₎1−α

p1−α

p2α−1

w =α(α−1)p1−2

(15)

α1−α

(1−α)αp1α−1 p2−α

˜ u=α1−α

(1−α)αp1α−1 p2−α

αα₍₁₋_α₎1−α

p1−α

p2α−1 w =α(1−α)p−1

1 p

−1

2 w

α1−α

(1−α)αp1α−1 p2−α

˜ u=α1−α

(1−α)αp1α−1 p2−α

αα₍₁₋_α₎1−α

p1−α

p2α−1 w =α(1−α)p−1

1 p

−1

2 w

−α1−α

(1−α)αp1αp2−(α+1)

˜

u= −α1−α

(1−α)αp1αp2−(α+1)

⋅ ⋅αα₍₁₋_α₎1−α

p1−α

p2α−1

w =α(α−1)p2−2

w

De manera que

D(p1,p2)h(p1,p2, ˜u) = [

α(α−1)p1−2_w α(₁−α)_p−1

1 p

−1

2 w

α(1−α)p−1

1 p

−1

2 w α(α−1)p2

−2

w ]. Por otra parte,

D(p1,p2)µ(p1,p2,w) = [−

αp1−2_w ₀

0 (α−1)p2−2

w]. Adem´as,

Dwµ(p,q,w) = [

αp−1

1 (1−α)p−1

2 ]. As´ı,

Dpµ(p,w) + [µ1(p,w)Dwµ(p,w) µ2(p,w)Dwµ(p,w)] = = [−αp1₀−2w ₍_α₋₁0₎

p2−2_w] + [

α2_p1−2

w α(1−α)p−1

1 p

−1

2 w

α(1−α)p−1 1 p

−1

2 w (1−α)

2_p2−2_w ] =

= [ α(α−1)p1−2w α(1−α)p−11p

−1

2 w

α(1−α)p−1 1 p

−1

2 w α(α−1)p2

−2

(16)

Finalmente, para verificar que la funci´on satisface la Identidad de Roy, notemos que

1 ∇wv(p1,p2,w)

=α−α

(1−α)α−1

p1αp21−α

Adem´as,

∇pv(p1,p2,w) = [−α α+1(

1−α)1−α

p1−(α+1)

p2α−1_w −αα₍₁₋_α₎2−α

p1−α

p2α−2

w ]

Una par de sencillas multiplicaciones muestra que

µ(p1,p2,w) = − 1 ∇wv(p1,p2,w)

∇(p1,p2)v(p1,p2,w).

4. Desarrollo de la teor´ıa

Suponiendo que hemos resuelto el problema del consumidor, y que con-tamos con las funciones de demanda walrasiana y hicksiana, podemos desarrollar ulteriormente la teor´ıa del consumidor haciendo uso de tales nociones. Empecemos con una definici´on.

Definici´on6. Sea µ∶Ω○×R+ → Ω una funci´on de demanda walrasiana.

Entonces

(1) Si ˆp es un vector de precios fijo, la funci´on Eˆp∶R+ → Ω, que

asigna a cada cantidad de dinero wel menú µ(p,ˆ w), es llamada lafunción de Engelotrayectoria de expansión de la riqueza.

(2) Elefecto riquezapara el bien len el punto(p,w)es

∂µl

∂w(p,w).

(3) Se dice quel es unbien normalen(p,w)syss[∂µl/∂w](p,w) ≥0; es decir, si el efecto riqueza paral es no negativo en(p,w). (4) Se dice quelesinferioren(p,w)syss no es normal en(p,w). (5) Se dice que la (funci´on de) demandaµ es normalsyss todo bien

(17)

(6) Elefecto precio sobre la demanda de l del precio pk del bien ken el punto(p,w)es

∂µl ∂pk

(p,w).

(7) Se dice queles unbien de Giffensyss[∂µl/∂pk](p,w) >0; es decir, si su efecto precio es positivo en todo(p,w).

El efecto riqueza para el bienl en el punto(p,w)es la tasa de cambio de la demanda de ese bien con respecto a la riqueza en el punto y expresa cuántas unidades del bien lestar´ıa dispuesto a adquirir el consumidor en la situación(p,w) si aumentase su riqueza en una unidad. Análogamen-te, el efecto del precio de k sobre l en (p,w) es la tasa de cambio de la demanda del bien l con respecto al precio del bienk y expresa cuántas unidades del bien lestar´ıa dispuesto a adquirir el consumidor si aumen-tase el precio de k en una unidad. Los efectos riqueza y precio pueden ser recogidos convenientemente en sendas matrices, la matriz de efectos riqueza

Dw(p,w) ≡ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ ∂µ1

∂w(p,w) ⋮

∂µL ∂w(p,w)

⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ y la matriz de efectos precio

Dp(p,w) ≡ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ∂µ1

∂p1(p,w) ⋯

∂µ1

∂pL (p,w)

⋮ ⋱ ⋮

∂µL

∂p1(p,w) ⋯

∂µL ∂pL

(p,w) ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦ Las expresiones ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ ∂µl ∂w(p,w)

⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎦⋅w

⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎣

∂µl ∂pk

(18)

expresan, respectivamente, la cantidad de bien l que el agente estar´ıa dispuesto a consumir si aplicara toda su riqueza ese bien, y la cantidad de bienl que estar´ıa dispuesto a consumir si el precio del bien l aumentara pk unidades. Por ejemplo, consid´erese la funci´on de demanda

⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ p1 p2 p3 w ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ z→ ⎡⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎣ p1 p1+p2+p3⋅

w p1

p3 p1+p2+p3⋅

w p2

p1 p1+p2+p3⋅

w p3 ⎤⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ (19)

donde los bienes 1, 2 y 3 son, respectivamente, frijoles, tortilla y chile. Si el salario del agente es de $800 mensuales, los precios unitarios de los bienes son de $3, $4 y $3 respectivamente, y (p,w) = (3, 4, 3, 800), obtenemos

∂µ2

∂w(p,w) = 3

40 (20)

(21)

∂µ2

∂p1(p,w) = −6 (22)

(23)

∂µ2

∂p2(p,w) = −21 (24)

(25)

∂µ2

∂p3(p,w) =14 (26)

(19)

p3 pesos su precio, el agente consumir´ıa 42 tortillas adicionales. Afortu-nadamente para su estado de salud, si los precios de las mismas tortillas y los frijoles aumentaran en la misma proporci´on, el agente consumir´ıa 102 tortillas menos, por lo que el aumento neto en el consumo de tortillas ¡terminar´ıa siendo nulo! En efecto,

[∂µ2

∂w(p,w)] ⋅w=60 [∂µ2

∂p1(p,w)] ⋅p1= −18 [∂µ2

∂p2(p,w)] ⋅p2= −84 [∂µ2

∂p3(p,w)] ⋅p3=42

Esta curiosa anulaci´on mutua de los cambios en los precios y la riqueza es un sobresaliente resultado que constituye nuestro primer teorema. Teorema15. ∀(p,w) ∈Ω○×R+:

L ∑

k=1

∂µl ∂pk

pk+ ∂µl

∂ww=0. De manera compacta,

Dp(p,w) ⋅x(p,w) ⋅p+Dw(p,w)x⋅ (p,w)w= [0⋯0] t_.

Otros teoremas interesantes que involucran los efectos riqueza y precio son los dos siguientes.

Teorema16. (Agregaci´on de Cournot) El gasto total no puede cambiar en respuesta a un cambio de precios; e.e. para todo bien k y todo(p,w) ∈Ω○×

R+:

L ∑

l=1 pl

∂µl ∂pk

(p,w) +µk(p,w) =0. De manera compacta,

(20)

Teorema17. (Agregaci´on de Engel) El gasto total debe cambiar en una cantidad igual a cualquier cambio de la riqueza; e.e. para todo(p,w) ∈Ω○×

R+:

L ∑

l=1 pl

∂µl

∂w(p,w) =1. De manera compacta,

pDwx(p,w) = [1⋯1] t_.

Consideremos nuevamente, para fijar ideas, el efecto riqueza sobre las tortillas, el cual vimos que era de 60. Si lo dividimos por la cantidad total de tortillas demandadas en(3, 4, 3, 800), a saberµ2(3, 4, 3, 800) =60, ob-tenemos la cifra de 1, debido a que el agente aumenta en 1 % el consumo de tortillas cuando aumenta su riqueza; se dice que la demanda de tor-tillas tiene elasticidad unitaria. En general, las elasticidades de demanda nos dan una medida de la reactividad de la demanda ante cambios en la riqueza o los precios; significan el porcentaje en que cambia la demanda por cada punto porcentual que cambia la riqueza o el precio. Se definen en general como sigue.

Definici´on7. Laelasticidad de la demanda del bien l con respecto a la riqueza es

εlw(p,w) = ∂µl

∂w(p,w) ⋅ w

µl(p,w) .

Laelasticidad de la demanda del bien l con respecto al precio del bien k es

εlk(p,w) = ∂µl ∂pk

(p,w) ⋅ pk

µl(p,w) .

Siεlw(p,w) ≥1, se dice que la demanda del bienl eselásticacon respecto a la riqueza; en caso distinto se dice que es inelástica. La definición de demanda elástica respecto del precio es análoga.

(21)

Teorema18. Para todo bien l y todo(p,w) ∈Ω○×R+:

L ∑ k=1

εlk(p,w) +εlw(p,w) =0.

Como veremos adelante, es ´util para efectos metodol´ogicos caracterizar las elasticidades mediante logaritmos.

Teorema19. Para las elasticidades tenemos:

εlw(p,w) =

∂logµl ∂logw(p,w) y

εlk(p,w) =

∂logµl ∂logpk

(p,w).

Demostraci´on:Seay=logw, de donde podemos escribirw=ey_{. Luego,} ∂logµl

∂logw =

∂logµl ∂y (p,e

y₎

= _µ1 l

⋅∂µl ∂y = _µ1

l ⋅∂µl

∂w ⋅

∂ey ∂y = _µ1

l ⋅∂µl

∂w ⋅e y

= _µ1 l

⋅∂µl ∂w ⋅w = ∂µl

∂w ⋅ w

µl =εlw.

La otra identidad se demuestra de manera completamente an´aloga, si hacemosy=logpk. ◻

(22)

2. La pregunta metodológica fundamental que surge ahora es la relativa al problema de la inducción de funciones de demanda a partir de datos emp´ıricos. A continuación procederemos a analizar este problema. 5. El problema de la inducción

Supongamos que queremos determinar la función de demanda de un agente individual a partir de una colección de datos observados, como los de la Tabla 1. ¿Existe algún procedimiento controlable mediante el cual esto sea posible? Nótese que no nos interesa aqu´ı discutir el problema de si el agente satisface la hipótesis de la maximización de la demanda: lo único que nos interesa es conocer su función de demanda, ya sea que ésta satisfaga o no dicha hipótesis. De hecho, en algún sentido, necesita-mos determinar la función de demanda walrasiana antes de plantearnos el problema de si es racionalizable o no por una relación de preferencia del tipo que sea. Esto debe ser posible en principio, precisamente por el hecho de que el lenguaje de la teor´ıa de la elección del consumidor no implica ningún uso de los conceptos de preferencia y utilidad.

La teor´ıa de la elección del consumidor es una teor´ıa de “bajo nivel”, en el sentido de que no hay una teor´ıa intermedia entre ésta y los da-tos emp´ıricos. En principio, debiera ser posible preguntarle a un agente individual qué har´ıa en cada una de una larga serie de situaciones precios-riqueza en las que pudiera concebiblemente encontrarse. Si la serie es su-ficientemente grande, la gráfica de las respuestas podr´ıa sugerirnos una cierta función que, al rellenar los huecos con curvas de pendiente sua-ve, nos dar´ıa una aproximación a la función de demanda requerida. Un procedimiento como éste ser´ıa análogo al de Kepler, quien se dio cuen-ta de que ciercuen-tas elipses eran buenas aproximaciones a los movimientos planetarios registrados por Brahe.

(23)

de esta funci´on sin recurrir a considerar las preferencias del agente. La pregunta es si es posible inducir la funci´on de demanda sin recurrir al aparato de la teor´ıa de la preferencia.

Para poder considerar la respuesta a esta pregunta, seaµ(p,w)un pun-to cualquiera de la funci´on de demanda. La cantidad de la riqueza w aplicada a la compra del bienµl(p,w)es precisamenteplµl(p,w), la cual constituye la fracci´on

wl=

plµl(p,w)

w (1)

de la riqueza.

Una ecuaci´on que ha sido muy utilizada para estimar las elasticidades ha sido la llamada especificaci´on del doble logaritmo, a saber,

logcl=αl+εlwlogw+ L ∑ k=1

εlklogpk+ηl. ((2))

Si bien se puede encontrar que las elasticidades calculadas con esta pro-puesta función de demanda satisfacen la condición del Teorema 4, y por ende que la misma es homogénea de grado 0, no es posible hacer que satisfaga la Ley de Walras, a menos que la elasticidad de la riqueza sea 1 para todos los bienes. Esto se observa2 _sustituyendo _c

l en la ecuaci´on logwl = logcl+logpl−logw (obtenida de la (1) con cl = µl(p,w)) con el lado derecho de la ecuaci´on (2), para obtener

logwl =αl+ (εlw−1)logw+ (εll+1)logpl+ L ∑ k=1

εlklogpk. ((3))

La primera funci´on de demanda que satisface la Ley de Walras fue pro-puesta por H. Working en 1943. Es una funci´on de Engel que relaciona linealmente las fracciones del presupuesto con el algoritmo de la riqueza:

wl=αl+βllogw. ((5))

Otra función que se usa con frecuencia es una versión de la del doble logaritmo (Ecuación (2)) que correlaciona no el logaritmo de las

(24)

des consumidas, sino la fracci´on de la riqueza, con las otras magnitudes: wl=αl+εlwlogw+

L ∑ k=1

εlklogpk. ((6))

En el libro de Deaton y Muellbauer arriba citado se dan los lineamientos generales para una estimación de los parámetros en las ecuaciones (5) y (6) mediante el método ordinario de cuadrados m´ınimos.

Podemos concluir, por lo tanto, que hay en efecto la posibilidad de obtener determinaciones paramétricas de la función de demanda walra-siana a partir de datos emp´ıricos concernientes a la demanda observada de un agente particular. Es as´ı como se transita de una estructura de da-tos emp´ıricos a una función de demanda walrasiana. Podemos comparar las funciones as´ı obtenidas con las órbitas keplerianas. La pregunta aho-ra es: Si podemos determinar las funciones de demanda walrasiana (con algún grado de aproximación a los datos emp´ıricos observados), ¿qué se obtiene con tra-tar de racionalizar la función de demanda walrasiana mediante una función de utilidad? Esta es la pregunta que abordaremos después de introducir el´ suficiente aparato conceptual en las siguientes secciones. Empezaremos por discutir la Teor´ıa Clásica de la Demanda antes de pasar al problema de la integración.

6. Integrabilidad

Tenemos, como punto de partida, una funci´on determinada de demanda, por ejemplo, la funci´on Cobb-Douglas:

µ(p,q,w) = [ αp

−1

1 w (1−α)p−1

2 w ].

Introduzcamos lafunción de compensaciónµ∶Ω×Ω×R+→R, la cual está

de-finida por la condici´on

µ(p,q;p0,q0,w) =e(p,q,v(p0,q0,w))

(25)

A partir de las ecuaciones de integrabilidad

∂µ(p,q;p0,q0,w)

∂p =µ1(p,q,µ(p,q;p0,q0,w)) (27)

∂µ(p,q;p0,q0,w)

∂q =µ2(p,q,µ(p,q;p0,q0,w)) (28)

µ(p0,q0;p0,q0,w) =w (29)

podemos obtener una función de compensación —la cual contiene impl´ıci-tamente una función indirecta de utilidad —y a partir de ésta es posible obtener la función directa de utilidad, resolviendo el siguiente problema:

Minimizar(p,q)≧0v(p,q,w)

sujeto apx+qy=w

La función incógnita a determinar es precisamenteµ. Podemos norma-lizar los precios de tal manera que el precio del bien 2 seaq=1, siendop el precio del primer bien, de modo que es suficiente resolver la ecuación (1) para p. Sustituyendo en (1) obtenemos

dµ dp =αp

−1

1 µ (30)

o, de modo equivalente, dµ

dp −αp

−1

1 µ=0. (31)

La ecuaci´on (5) es de la forma dµ

dp +f(p)µ=0. (32)

donde f(p) = −αp−1

1 . El método general para resolver una ecuación de es-ta forma consiste en integrar la funciónf(p)y en observar que la ecuación es equivalente a

d dp(µe

F(p)) =

(26)

dondeF(p) = ∫p f(ξ)dξ. En el caso que nos ocupa, F(p) = ∫

p

(−α)ξ−1

dξ= −αlogp, de modo que

d dp(µe

F(p)) = d

dp(µe

−αlogp)

= dµ dpe

−αlogp

−αp−1

1 e

−αlogpµ

=e−αlogp(dµ dp −αp

−1

1 µ)

=0

Se sigue que existe una constantectal queµe−αlogp=_{c, o} µ=ceαlogp=

c(elogp)α₌_cpα ₍₃₄₎ Se comprueba que ésta es, efectivamente, una solución de la ecuación (4), pues,

dµ dp =αcp

α−1

=αp−1 1 cp

α

=αp−1 1 µ

Sustituyendo en la condici´on inicial (3) encontramos

µ(p′

, 1;p′

, 1,w) =c(p′

)α₌_w

o

c= (p′

)−α

w

As´ı obtenemos la expresi´on expl´ıcita deµ:

µ= (p′

)−α

(27)

Se comprueba que esta expresi´on es correcta, pues

µ(p, 1;p′

, 1,w) = (p′)−α

wpα

= [α+ (1−α)]pα(p′)−α

w = [α1−α

(1−α)α−1+_α−α

(1−α)α]pααα(1−α)1−α

(p′

)−α

w =e(p, 1,v(p′

, 1,w))

Si partimos de la función de demanda walrasiana obtenida a partir de la función de utilidad Cobb-Douglas, el problema es recuperar esta función a partir de la misma, es decir, la funciónu(x,y) =xα1x

1−α

2 .

Para esta funci´on de demanda, la soluci´on general al sistema (1)-(3) es

µ=cpαp21−α

. (36)

Se comprueba:

∂µ ∂p =αp

α−1

p21−α

=αp−1

1 p α_p21−α

=αp−1 1 µ;

∂µ

∂q = (1−α)p α_p2−α

= (1−α)p−1

2 qp α_p2−α

= (1−α)p−1

2 p α_p21−α

= (1−α)p−1

2 µ

Sustituyendo en la condici´on inicial obtenemos cpα0q 1−α

0 = w o c = p−α

0 qα

−1

0 w. Por lo tanto,

µ(p,q;p0,q0,w) =p−α

0 q α−1

0 wp α_p21−α

= (αα₍₁₋_α₎1−α

p−α

0 q α−1

0 w) (α

−α

(1−α)α−1

pαp21−α)

(28)

Vemos as´ı que, para cualquier sistema de precios(p0,q0), la funci´on de utilidad indirecta es

v(p0,q0,w) = µ(p,q;p0,q0,w) e(p1,p2, ˜u)u−1 =αα₍₁₋_α₎1−α

p−α

0 q α−1

0 w

Procedemos ahora a resolver el siguiente problema:

Minimizar(p,q)≧0αα(1−α)1 −α

p−α

p2α−1w

sujeto apx+qy=w

Construimos el lagrangiano: L(p,q,λ) = −αα(1−α)1−α

p−α

p2α−1

w+λ[w−px−qy], con condiciones de primer orden

∂L

∂p =α 1+α

(1−α)1−α

p−(1+α)

p2α−1

w−λx=0 (37)

∂L

∂q =α

α₍₁₋_α₎2−α

p−α

p2α−2

w−λy=0 (38)

∂L

∂λ =w−px−qy=0 (39)

Despejandoλen las condiciones (5) y (6) obtenemos

λ=α1+α

(1−α)1−α

p−(1+α)

p2α−1

wx−1

1 (40)

y

λ=αα₍₁₋_α₎2−α

p−α

p2α−2

wx−1

2 . (41)

Igualando los t´erminos derechos de las ecuaciones (8) y (9), y multiplican-do ambos porα−α(

1−α)α−1

,

αp−(1+α)

p2α−1

wx−1

1 = (1−α)p

−α

p2α−2

wx−1

2 (42)

Nuevamente, multiplicando ambos lados de (10) por p1+α

p22−α

xy, obtene-mos

(29)

Despejandoq, q=α−1(₁−_α)

pxx−1

2 . (44)

Sustituyendo este valor deqen la condici´on (7), px+α−1(

1−α)px=w. (45)

Como 1+α−1(1−α) =α−1_{, el valor ´}_{optimo de}_p_es ˆ

p=αx−1

1 w. (46)

Sustituyendo este valor de pen (12) obtenemos el valor ´optimo deq: ˆ

q= (1−α)x−1

2 w. (47)

Sustituyendo estos valores de pyqen la funci´on objetivo obtenemos v(ˆp, ˆq,w) =xα₁x1−α

2 , (48)