ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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(1)

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones. pág. 1

ECUACIONES

Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra llamada incógnita. La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene. Las ecuaciones que tienen solución son compatibles. Las ecuaciones que no tienen solución son incompatibles. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general: a·x2+b·x+c=0.

(El primer sumando del primer miembro no puede ser nunca nulo, pues entonces no se trataría de una ecuación de segundo grado).

Para resolver una ecuación de segundo grado, cuya expresión general es, como ya hemos visto: a·x2+b·x+c=0, hay que despejar la x. Esto se consigue mediante un largo proceso cuya expresión final es la siguiente:

a

ac

b

b

x

2

4

2

Posibles formas de la ecuación de segundo grado.

Todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver con la ecuación general de la solución que hemos visto. Pero hay algunas ecuaciones de segundo grado que, por su forma, se pueden resolver mas fácilmente por otros métodos. Veremos algunos casos a continuación.

Ecuaciones sin término en x: son de la forma ax2+c=0. En estas ecuaciones se despeja x, y se obtienen los valores de x, si los hay.

Ejemplos: a) 3x2-75=0 b) 7x2-40=0 c) 2x2+10=0

Ecuaciones que son producto de varios factores: son de la forma: k·(x-p)·(x-q)=0. Teniendo en cuenta que para que el producto de varios factores sea cero es necesario que alguno de los factores valga cero, en estas ecuaciones hay que igualar todos los factores a cero para encontrar las soluciones.

Ejemplos: a) 3(x-5)(4x+3)=0 b) 7(2x+11)(3x-1)=0

Ecuaciones sin término independiente: son de la forma: ax2+bx=0. Estas ecuaciones se pueden factorizar sacando x factor común. Una solución es x=0 y la otra solución se obtiene resolviendo la ecuación ax+b=0.

Ejemplos: a) 7x2-5x=0 b) 2x2+40x=0

Número de soluciones.

(2)

- Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. - Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene una solución única, que se llama solución real doble.

- Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación no tiene solución real.

Interpretación gráfica de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

La interpretación gráfica de las ecuaciones de segundo grado y de las soluciones de la ecuación de segundo grado se realiza a partir de la función cuadrática,

y

ax

2

bx

c

, que se representa mediante una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

El vértice de una parábola se calcula encontrando su coordenada ‘x’ mediante la expresión:

a

b

x

v

2

,

y su coordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la ecuación de la parábola, es decir:







a

b

f

a

b

V

2

,

2

Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia abajo.

Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

 Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.

 Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c  el punto es (0,c).

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación

ax

2

bx

c

0

, que tendrá dos,

una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando)

b

2

4

ac

. Dos

soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.

RELACIONES DE CARDANO

Las soluciones

x

1 y

x

2 de la ecuación de segundo grado:

ax

2

bx

c

0

verifican las relaciones:

- Suma:

a

b

x

x

S

1

2

- Producto:

(3)

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones. pág. 3

Ejemplo: La ecuación de 2º grado cuyas soluciones son:

x

1

3

y

x

2

2

es:

3

2

  

3

·

2

0

6

0

0

2 2

2

x

x

x

x

P

Sz

x

ECUACIONES BICUADRADAS

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de cuarto grado que carecen de términos de grado impar, es decir, de la forma:

a·x4+b·x2+c=0 con a > 0

Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio: x2 = z, obteniéndose la ecuación de 2º grado: a·z2+b·z+c=0

Una vez calculados los valores de z, se calculan los valores de x extrayendo la raíz cuadrada. Según el signo de las soluciones de z, se pueden obtener hasta cuatro soluciones.

Ejemplo: Calcula las soluciones de la ecuación: x4-13x2+36=0

2

2

4

3

3

9

4

,

9

0

36

13

2 1 2

2 1 2

2 1 2

x

x

x

x

x

x

z

z

z

z

EJERCICIOS

1º.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 1)

x

4

29

x

2

100

0

2)

x

4

21

x

2

100

0

3)

1

0

4

17

2

4

x

x

4)

x

2

5



·

x

2

3

1

5)

x

4

169

x

2

3600

0

6)

4

x

4

17

x

2

4

0

7)

x

2

16



·

x

2

81

0

8)

64

x

4

244

x

2

225

0

Soluciones: 1) x = 5, 2 2) x = 2, 5 3) x = 2, 1/2 4) x = 2

5) x = 12, 5 6) x = 2, 1/2 7) x = 4, 9 8) x = 3/2, 5/4

REPASO DE POLINOMIOS

El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números determinados y operar:

11

3

2

)

2

(

3

)

(

x

x

3

P

3

P

Al dividir dos polinomios P(x):Q(x), obtenemos otros dos polinomios C(x), polinomio cociente, y Q(x), polinomio resto, que verifican:

P(x) = Q(x) : C(x) + R(x)

La regla de Ruffini es un procedimiento para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma (x-a), siendo a un número entero.

(4)

5x4 -3x3 -4x2 +6x -1 ! x-2

-5x4 +10x3 !________________

_______________

7x3 5x3+7x2+10x+26

-7x3 +14x2 __________

10x2 -10x2+20x _________

26x -26x +52 ________

51

Esta división se puede realizar de la siguiente forma:

5 -3 -4 6 -1

2 10 14 20 52

___________________________ 5 7 10 26 51=resto

Teorema del resto.

El resto de dividir un polinomio P(x) entre (x-a) es igual al valor numérico del polinomio P(x) para x=a; es decir, R=P(a).

Teorema del factor.

Un polinomio P(x) tiene como factor (x-a) si el valor numérico del polinomio para x=a es cero.

Raíces de un polinomio.

Las raíces de un polinomio P(x) son las soluciones de la ecuación P(x)=0.

Teorema fundamental del álgebra.

Un polinomio de grado n tiene como máximo n raíces reales.

Criterio de divisibilidad por x-a (para valores enteros de a)

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, para que sea divisible por x-a es necesario que su término independiente sea múltiplo de a.

Dicho de otra forma: para buscar expresiones x-a que sean divisores del polinomio, probaremos con los valores de a que sean divisores del término independiente.

Factorización.

Factorizar un polinomio es descomponerlo en 2 ó más polinomios de forma que su producto sea igual al polinomio dado.

ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS

Las ecuaciones de tercer grado en las que falta el término independiente,

ax

3

bx

2

cx

0

, y las de

cuarto grado en las que faltan los dos últimos términos,

ax

4

bx

3

cx

2

0

, se pueden resolver

(5)

el blog de mate de aida: Matemáticas I. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones. pág. 5

Para ello se opera del siguiente modo:

0

0

0

0

2 2 2 3

c

bx

ax

x

c

bx

ax

x

cx

bx

ax

La ecuación tiene como soluciones x=0 y las que se obtengan al resolver la ecuación de segundo grado resultante.

Ejemplo: Resuelve la ecuación: x3+12 x2 –64 x = 0

16

4

0

64

12

0

0

64

12

64

12

2 2 2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Resolución de ecuaciones por factorización

La expresión (x-1)(x+2)(x-4)=0 es una ecuación de tercer grado que podemos resolver aplicando una técnica que ya conocemos: igualando cada factor a cero:





4

0

4

2

0

2

1

0

1

0

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

En general, si en una ecuación de cualquier grado, escrita en la forma P(x)=0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta con igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones resultantes. Para ello, las ecuaciones de tercer grado o grado superior deben tener raíces enteras, que siempre se encuentran entre los divisores del término independiente. (Las podemos encontrar aplicando el teorema del resto o el teorema del factor).

Si se conoce una solución r de la ecuación polinómica P(x)=0, entonces se puede factorizar así: P(x)=(x-r)·q(x)=0

Las posibles soluciones enteras de una ecuación polinómica son divisores del término independiente, si es que lo tiene.

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: 1) x3+2x2-x-2=0 2) 2x3+3x2-4x-1=0

Soluciones: 1) x=1,-1,-2 2) x=1,

4

17

5

,

4

17

5

EJERCICIOS

2º.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1)

6

x

4

5

x

3

15

x

2

4

0

2)

x

3

7

x

2

7

x

15

0

3)

x

3

3

x

2

4

0

4)

x

4

x

3

7

x

2

x

6

0

5)

x

3

7

x

6

0

6)

x

3

3

x

2

0

7)

2

x

3

5

x

2

4

x

3

0

8)

2

x

4

5

x

3

5

x

2

0

9)

4

x

3

12

x

2

11

x

3

0

10)

x

4

2

x

3

10

x

2

4

x

16

0

Soluciones: 1) x = 1, -2, 2/3, -1/2 2) x = 5, 3, -1 3) x = 1, -2 4) x = -3, 2, -1, 1 5) x = 1, 2, -3 6) x = 1, -2 7) x = 1, -1/2, -3

(6)

ECUACIONES RACIONALES

Una ecuación con denominadores algebraicos se llama ecuación racional. Para resolverla hay que transformarla en una ecuación entera (sin denominadores), multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Como esta operación no conduce a una ecuación equivalente, tenemos que comprobar si se han producido soluciones extrañas, es decir, que las soluciones que obtenemos no sean raíz de ningún denominador.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

1

2

2

1

3

1

1

2

2

x

x

x

x

.

El m.c.m. de los denominadores es

x

1

 

2

·

x

1

. Entonces:

 

 

1



·

1

 

3

·

1

2

·

1

1

2

2

·

1

·

1

1

3

1

1

·

1

·

1

2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

3

2

5

1

2

24

1

1

0

6

2

2

3

3

1

2 1 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

Ambas soluciones son válidas.

EJERCICIOS

3º.- Resuelve las siguientes ecuaciones racionales:

1)

3

2

4

x

x

2)

2

2

1

2

3

x

x

x

x

3)



1

2

2

1

·

4

1

5

4

2

3

4

x

x

x

x

x

x

x

x

4)

0

5

20

5

30

x

x

5)

8

5

4

5

30

x

x

x

6)

x

x

x

x

x

x

1

1

1

1

1

1

2 3 2 7)

x

x

x

x

x

x

x

2

1

10

1

1

8)

1

12

1

4

1

8

2

x

x

x

x

x

x

9)



2

·

3

7

2

2

3

1

x

x

x

x

10)

1

2

2

2

1

2

x

x

x

x

11)

4

3

1

1

x

x

x

x

12)

1

1

2

2

1

2

1

x

x

x

x

x

x

Soluciones: 1) x=1/2 2) x=3 3) x =

2

217

13

4) x=1 5) x = -5/4, 5 6) x =

1

3

7) x=4, x=0 no 8) x=½ 9) x = 5 10) sin solución 11) x = 3, -1/3 12) x = 0, -4

ECUACIONES IRRACIONALES

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita aparece en alguno de sus términos, bajo el signo radical. Resolveremos ecuaciones con radicales cuadráticos. Para resolverlas, basta seguir los siguientes pasos:

1º. Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos, radicales y no radicales, al otro miembro.

2º. Se elevan al cuadrado los dos términos. (Si queda todavía algún radical, se repiten los dos pasos anteriores).

(7)

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4º. Se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas son válidas, sustituyéndolas en la ecuación dada. Al elevar al cuadrado los dos miembros de la ecuación aparecen las soluciones de la ecuación dada más las de otra ecuación; por eso es fundamental comprobar las soluciones, descartando las que no sean válidas.

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones:

a)



)

(

1

)

(

4

0

4

5

2

2

2

2 2

vale

si

x

vale

no

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b)

x

5

x

5

x

5

5

x

x

5

25

x

10

x

x

2

x

4

(

si

vale

)

EJERCICIOS Y PROBLEMAS

4º.- Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:

1)

x

2

13

2)

6

x

1

7

3)

7

x

4

2

x

1

4)

x

10

x

6

9

5)

5

x

5

x

1

6)

7

x

3

6

x

1

7)

28

2

x

4

x

8)

2

x

1

x

4

6

9)

x

7

3

x

1

10

10)

13

x

3

x

1

4

11)

1

2

x

3

12)

2

x

5

13

x

13)

3

x

1

x

4

1

14)

3

x

1

1

x

15)

2

x

1

x

1

16)

x

2

x

1

2

x

17)

3

x

1

1

3

x

18)

x

4

x

1

3

19)

2

x

4

5

x

4

20)

2

x

5

x

x

21)

1

2

x

5

x

Soluciones: 1) x=167 si vale 2) x=8 si 3) x=3 si; -1/4 no 4) x=25 no; 3 si 5) x=4 si; -1 si 6) x=4 si 7) x=4 si; 36 si 8) x=5 si; 221 no 9) x=16 si; 176 no; 10) x=3 si; 7/9 no 11) x=3844 si 12) x=14 no; 9 si 13) x=5 si; 0 no 14) x=0 no; 5 si 15) x=0 no; 4 si 16) x=1 si 17) x=0 no; x=1 si 18) x=13/9 si 19) x=12 si 20) x=4 si 21) no tiene solución entera.

5º.- Descompón el número 133 en dos partes tales que al dividir la parte mayor entre la menor resulte 4 como cociente y 8 como resto.

Solución: 25 y 108

6º.- Calcula un número que sumado con el doble de su raíz cuadrada resulte 24. Solución: x = 36 no vale y x = 16 si vale

(8)

8º.- Se tienen tres segmentos de longitudes 8, 22 y 24 cm respectivamente, con los cuáles es claro que no se puede formar un triángulo rectángulo.

a) ¿Qué misma longitud hay que añadir a los tres para que sí se pueda construir? b) ¿Cuánto medirán entonces los catetos y la hipotenusa?

Solución: a) x = 2 cm b) 10, 24 y 26 cm.

9º.- Encuentra tres números impares consecutivos cuyos cuadrados sumen 5051. Solución: 39, 41 y 43 ó -43, -41 y -39.

10º.- El billete de un museo cuesta 2 euros para niños y 5 euros para adultos. Cierto día, 50 personas, entre niños y adultos, pagaron 160 euros. ¿Cuántos adultos visitaron el museo ese día?

Solución: 20 adultos y 30 niños.

LOGARITMOS

Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparece el logaritmo de la incógnita, o de una expresión que la contenga.

Recordamos la definición de logaritmo.

El logaritmo en base a (a > 0 y a  1) de un número N (positivo) es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.

LogaN = x  ax = N

En cualquier base se tiene:

Loga 1 = 0  a0 = 1

Loga a = 1  a1 = a

Propiedades de los logaritmos: I.

log

b

M

·

N

log

b

M

log

b

N

II.

M

N

N

M

b b

b

log

log

log

III.

log

b

 

M

n

n

·log

b

M

IV.

 

b

M

M

a a b

log

log

log

Demostración:

I.

M

N

b

b

b

x

y

M

N

y

N

x

M

b y

x y x

b b

·

log

·

·

log

log

II. Se demuestra igual que I.

III.

 

n

b n

x n x n x

b

M

x

b

M

M

b

b

x

·

n

log

M

log

·

IV.

x

M

x

M

b

x

M

b

M

b

x

M

a a a

a a

x a x

b

log

log

log

·log

log

log

(9)

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ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Para resolver una ecuación logarítmica se deben aplicar las propiedades de los logaritmos hasta conseguir expresarla en la forma:

log

a

A

log

a

B

, siendo A y B expresiones algebraicas. Por tratarse de logaritmos iguales con igual base se deduce que: A = B.

Ejemplo: 2·logx-4·log2=3·log3 

3

12

3

2

3

log

2

log

3

log

2

log

log

3

4 2 3 4

2 3

4

2

x

x

x

x

Como

log

12

3

no se puede calcular, sólo es válida la solución

x

12

3

.

 Así que es imprescindible comprobar las soluciones, porque aunque satisfagan la ecuación A = B, pueden no satisfacer la ecuación inicial, debido a que algún logaritmo carezca de sentido.

 Algunas ecuaciones exponenciales sólo se pueden resolver tomando logaritmos, puesto que no se reducen a potencias de igual base.

Ejemplo:

2

3x

11

. Aplicando logaritmos:

log

2

3x

log

11

3

x

·log

2

log

11

y despejando x, obtenemos

1

'

1533

2

·log

3

11

log

x

.

EJERCICIOS

11º.- Resuelve las siguientes ecuaciones:

1) logx7=-2 2) log42x=2 3) log3x=-2 4) log1/8x=1/3

5) 52x-1=32 6) 34x=27 7)

log

3

x

9

8) logx32=5/2

9) Lg25(1/5)=x 10) 25x=4

5

11) Lgx125=3/2 12) lgx25=-4

13) lg8 4

2

=x 14)

2

10

2

2

1

3

x

x 15) log(x-53)+log(x-5)=2+log(4-x)

Soluciones: 1)

x

1

/

7

2) x = 8 3) x = 1/9 4) x = ½ 5) x = 3 6) x = ¾ 7)

x

3

92 8) x = 4 9) x = -1/2 10) x = 1/8 11) x = 25 12)

x

1

/

5

13) x=1/12 14) x = 4 y x = 0 15) x = 3 y -45 no valen

12º.- Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

1) 4x-1+2x+2=48 2) 4log(x/3)+log(81/4)=2logx 3) (1/2)2x-1=32

4) lg3

x

+ lg3(9x) - 5 = lg3(x/3) 5) lg 5

x

- lg x2 = 9 6)

4·2

-

63

2

4

x 1

1

 

x

7) 10x+1=9 8) x 15 x-5 x-5 x 5

8

4

1

2

9) 3x

+32-x=10

10)

3

1

)

x

-log(35

x)

-log(5

3

11) 2

x+3

+22-x+2x-1=19 12) 43x=8x+3

(10)

19)

2

x)

-(5

log

)

x

-(11

log

2

log

2

20) 2·logx-log(x-16)-2=0

Soluciones: 1) x = 3 si vale; x = -24 no vale 2) x = 2 3) x = -2 4) x = 81 5) x = 5

10

 6) x = 3 si vale 7) x = lg 0,9 8) x = -7 9) x = 2; x = 0 10) sin sol.

11) x = 1; x =

17

4

lg

2 12) x =

3

2

13

1

lg

2

13) x=2; x=1 14) x = 4 15) x = 100

16) x = 3 y -45 no valen 17) x = -1 y -2 18) x = 1600/99 19) x = 3 y 1/3 20) x = 20 y 80

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

Para resolver ecuaciones exponenciales, además del cálculo mental, se utilizan distintos métodos según el tipo de ecuación.

Cuando los dos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencias de la misma base, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias:

a0=1, a-m= m

a

1

(m > 0)

1º. El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la suma de los exponentes: am·an=am+n.

2º. El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la resta de los exponentes: am:an=am-n.

3º. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente el producto de los exponentes: (am)n=am·n.

4º. El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo: am·bm=(a·b)m.

5º. El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo: am:bm=(a:b)m.

6º. La potencia de exponente negativo de un cociente es igual a la misma potencia con exponente positivo de la inversa del cociente: (a/b)-n=(b/a)n.

Ejemplo:

2

3x5

128

.

Descomponiendo 128 en factores primos, queda: 3 5 7

2

2

x

. Como son dos potencias de igual base, han de ser iguales los exponentes, por tanto: 3x – 5 = 7, que tiene por solución x = 4.

- Todos los términos con incógnita se pueden expresar en función de algún número elevado a dicha incógnita.

Ejemplo:

4

x2

2

x1

20

.

Como 2

2

4

, queda

 

2

2 x2

2

x1

20

; usando las propiedades de las potencias y quitando

denominadores, se tiene:

2

2x

32

·

2

x

320

0

. Llamando

y

2

x, será

y

2

2

2x. Sustituyendo en la ecuación queda:

y

2

32

y

320

0

, que tiene por soluciones 8 y –40. Como

y

2

x, queda

8

2

x o

bien x

2

40

. De x

2

8

resulta x = 3. De

40

2

x no se obtiene solución, ya que una potencia no

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