Integrales de línea y de superficie

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(1)

Ampliación de Matemáticas. Grado en

Ingeniería Civil

(2)

Motivación:

muchas ecuaciones y propiedades

fundamentales de la Física (y, en consecuencia, de

aplicación en Ingeniería) se derivan a partir de integrales

de campos escalares y vectoriales sobre líneas,

superficies y volúmenes.

Ejemplos:

1

Mecánica de Fluidos:

Ecuación de continuidad.

2

Termodinámica:

Ecuación de conducción del calor.

3

Mecánica:

Campos de fuerza conservativos.

(3)

Integral de línea:va a generalizar el concepto de integral de Riemann en una variable. El dominio de integración será ahora una

curva enRn(n=2,3 en las aplicaciones que consideremos).

Curva enRn

Es una funciónC:R→Rntal que existen las derivadas de sus

componentes y son continuas (es decir, que es de claseC1, a lo cual

nos referiremos diciendo que la curva es suave).

En particular, unacurva enR2es una función:

C:D⊂RR2

t → (x(t),y(t))

siendotel parámetro, que al ser variado va generando los puntos

(4)

Integral de línea de una función escalar (para curvas enR2)

Sea una curva enR2que une los puntosAyBdada en forma

paramétricat→(x(t),y(t)), definimos la integral de línea de una

función continuaf(x,y)sobre la curvaCentreA= (x(a),y(a))y

B= (x(b),y(b))como:

Z

CAB f dl =

Z b

a

f(x(t),y(t))

q

x0(t)2+y0(t)2dt.

Casos particulares:

1 Si el parámetro de la curva esx, es decir,t =x, entonces

R

CABf dl =

Rb

a f(x,y(x))

p

1+y0(x)2dx.

2 Si sobre la curvaf una de las variables fuera constante (por ej.

y) entonces:

R

CABf dl =

Rb

a f(x(t),k)

p

x0(t)2dt =±Rxb

xa f(x,k)dxque es la

conocida integral de Riemann en una variable.

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La definición puede, por supuesto, extenderse a fácilmente a curvas

enR3o sin más aRn:

Sea la curva

C:D⊂R → Rn

t → x(t) = (x1(t), ...,xn(t))

Consideremosx0(t) = (x0

1(t), ...,xn0(t))y sea||x0(t)||el módulo de este vector. Entonces

Integral de línea de una función escalar (para curvas enRn)

Z

CAB fdl=

Z b

a

f(x(t))||x0(t)||dt (1)

Comentario:x0(t

(6)

Comentario:

en los cálculos consideraremos siempre que

las curvas son

suaves

y

simples

(o la unión de curvas

suaves y simples).

simple y cerrada

suave y simple suave pero no simple

(7)

En las definiciones anteriores asumimos quef era una función escalar(es decir, los valores de la función eran números reales). Es posible extender la definición de integral de línea a funciones (campos, por su aplicación en Física) vectoriales (es decir, los valores de la función son elementos deRn).

Integral de línea de una función vectorial (para curvas enRn)

Sear :D⊂R→Rnuna curva suave que une los puntosAyB.

Denotamos porCABel lugar de los puntos de la curva desdeAaB.

SeaF :Rn

Rnuna función continua. Definimos la integral de línea

deF sobre la curvarentre los puntosAyBdeRncomo:

Z

CAB

F.dr =

Z

CAB

(F.T)dl

representandoT el vector unitario (variable) tangente a la curva. Es

decir, que la integral deF sobre la curvar(t)es la integral de línea

de la función escalarF.T (proyección deF sobre la tangente) sobre

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Comentario:Asumiendo quer0(t)6=0, es claro que el vector

unitario tangente a la curva ent =t0esT(t0) =r0(t0)/||r0(t0)||y por

lo tanto, podemos escribir:

Z

CAB

F.dr=

Z b

a

F(r(t)).r0(t)dt

donder(a) =Ayr(b) =B.

Ejemplo:SeaF(x,y,z) = (z,y,x). Calcular la integral de línea de

F a lo largo de la curvay =x2,z =x entre(0,0,0)y(1,1,1). Solución:

Escogemos como parámetrot=x de forma quer0(t) = (1,2t,1),

F(r(t)) = (t,t2,t)yr(0) = (0,0,0),r(1) = (1,1,1). Luego

F.r0=t+2t3+ty entonces

Z

C F dr =

Z 1

0

(2t+2t3)dt =3/2.

(9)

Un teorema fundamental es laregla de Barrow para integrales de línea.

Regla de Barrow

Seaφuna función escalar tal que la función∇φes continua y seaC

un camino suave que une los puntosAyB, entonces:

Z

CAB

∇φdr =φ(B)−φ(A)

Este Teorema nos garantiza quesi una función vectorial continua

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Campo conservativo: definición

Diremos que un campo vectorial esconservativosi se cumple

cualquiera de las siguientes condiciones (equivalentes entre sí).

1 F es el gradiente de un campo escalarφ, al que se le llama

función escalar del campo conservativoF.

2 Para cualesquiera caminos suavesC

AB,C¯ABque unan los

puntosAyB(desdeAaB, por ejemplo), se tiene que

R

CABFdr=

R

¯ CABFdr

3 SiCes una curva cerrada (que empieza y termina en un mismo

punto) entoncesR

CFdr

Z

C

Fdr(Integral de Circulación)=0.

Campo conservativo: propiedad 1

SiF es un campo conservativo con función potencialφ, entonces

φ+K, siendoK una constante, también es una función potencial del

mismo campoF.

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Campo conservativo: condición (necesaria) de Green para campos deR2

SiF = (Fx,Fy),F :D

R2→R2, es conservativo en el dominioD,

teniendoFx yFy derivadas parciales continuas enD, entonces

Fxy =Fyx.

Campo conservativo: condición (suficiente) de Green para campos deR2

SeaF :D⊂R2→R2un campo vectorial con dominioD

simplemente conexode tal forma que las derivadas parciales de

sus componentesFx,Fy tienen primeras derivadas parciales

continuas enDcumpliéndose queFxy =Fyx. EntoncesF es

conservativo.

(12)

Ejemplo: Estudiar si el campo vectorialF(x,y) = (2xy,x2)es un campo conservativo. Obtener su función potencial.

Solución:

F es un campoC∞en todo

R2y se cumple que Fxy =Fyx, luego es un

campo conservativo. Calculemos la función potencialφ(x,y): ComoF =∇φ(x,y), se verifica que

φx =Fx =2xy ⇒φ(x,y) =x2y +C(y)

y derivandoφy =x2+C0(y), peroφy =Fy =x2luego C0(y) =0y

C(y)es una constante (podemos tomarla cero), de modo que una función potencial es

φ(x,y) =x2y.

Comentario:Para campos vectoriales deR2la definición de los campos conservativos no cambia, aunque sí ligeramente la condición de Green: se deberá verificarFxy =Fyx,F

y z =Fyz,

Fz

x =Fzx simultáneamente. Estas condiciones se pueden escribir

de modo más simple introduciendo eloperador rotacional.

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Rotacional de un campo vectorial: definición

SeaF un campo vectorialF :R3→R3, que escribimos como

F =Fxi+Fyj+Fzk, siendo{i,j,k}la base canónica. Definimos el

campo rotacional deF como:

rotF =∇×F =

i j k

∂x ∂∂y ∂∂z Fx Fy Fz

= (Fyz−Fzy)i+(Fzx−Fxz)j+(F y x−Fyx)k

Un campo vectorialF es el gradiente de una función escalar←→

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Acabamos de generalizar el concepto de integral de Riemann “adaptándolo” a la integración sobre curvas en el espacio, no necesariamente rectas. Es de esperar que podamos también encontrar una generalización del concepto de integral doble que nos permita integrar sobre superficies curvadas en el espacio.

Un elemento esencial del cálculo será laparametrización de las superficies

Superficie parametrizada: definición

Una superficie parametrizada enR3es una funciónr:D⊂R2→R3.

La superficieScorrespondiente a la funciónres la imagenS=r(D).

Escribiremos

r(u,v) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v))

y sir es diferenciable se dirá queSes una superficie diferenciable.

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Dos ejemplos sencillos de parametrización de superficies son los siguientes:

1 Parametrización del plano en coordenadas polares. El plano

z =k se puede parametrizar utilizando coordenadas polares:

{(x,y,k), x,y ∈R}={(rcosφ,rsinφ,k), r ≥0,0≤φ <2π}.

2 Parametrización de una esfera mediante coordenadas esféricas. Una esfera de radioRse puede parametrizar utilizando dos ángulos:

x(θ, φ) =Rsinθcosφ y(θ, φ) =Rsinθsinφ z(θ, φ) =Rcosθ

De modo que la esferaSes:

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Observación: Consideraremos en todo momento superficies

diferenciablesS=S(u,v). Fijado uno de los parámetros, pongamos

quev, al variar el otro obtendríamos una curva enR3.

Las tangentes a esta curva en cada punto se pueden obtener por derivación respecto au:

Tu=

∂x ∂ui+

∂y ∂uj+

∂z ∂uk

y de similar forma podríamos obtener el vector tangente a la superficie a lo largo de la dirección dev:

Tv =

∂x ∂vi+

∂y ∂vj+

∂z ∂vk

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Dado un punto de la superficieS, como ambos vectoresTu yTv son

tangentes a dos curvas contenidas enS,ambos son ortogonales al

vector normal a la superficieen ese punto y por lo tanto, por las propiedades del producto vectorial,

N=TTv

es normal a las superficie, siempre, claro está, queTTv 6=0 en el

punto en cuestión (si esto es así, diríamos que la superficie parametrizada no es suave; consideraremos que esto no ocurre). Comentario: Esto nos permite obtener la ecuación del plano tangente en un punto(x0,y0,z0):

(x−x0,y−y0,z−z0)N=0

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Ejemplo:

Considerando la parametrización de la esfera antes considerada, tendríamos que

Tθ=R(cosφcosθ,sinφcosθ,−sinθ)

Tφ=R(−sinφsinθ,cosφsinθ,0)

yTθ×Tφ=Rsinθ(Rsinθcosφ,Rsinθsinφ,Rcosθ) =Rsinθr. Por lo tanto, sisinθ6=0, se trata de un vector proporcional al vector (x,y,z)que tiene la dirección radial, como cabría esperar del vector normal a la superificie de una esfera.

El casosinθ=0(θ=0, π) presenta un problema en la

parametrización: diríamos que la superficie parametrizada no es suave para esos valores deθ.

Ya estamos en condiciones de definir la integral de una función escalar sobre una superficie parametrizada ...

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Integral de una función escalar sobre una superficie parametrizada: definición

Sif(x,y,z)es una función escalar continua, definida sobre una

superficieS, estandoSparametrizada por el campo vectorialr(u,v),

conuyv variando en un dominioD, se define la integral def sobre

Scomo:

Z

S

f(x,y,z)dS=

Z Z

D

f(r(u,v))||TTv||dudv

Observaciones:

1 La integral doble de Riemann puede verse como un caso

particular de esta definición (yendo a una dimensión más, eso sí).

2 La fórmula de cambio de variable está, de algún modo,

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Integral de una función vectorial sobre una superficie parametrizada: definición

SiF(x,y,z)es un campo vectorial continuo, definido sobre una

superficieS, estandoSparametrizada por el campo vectorialr(u,v),

conuyv variando en un dominioD, se define la integral deF sobre

Scomo:

Z

S

F(x,y,z)dS=

Z Z

D

F(r(u,v)).(TTv)dudv

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Teorema de Green

SeaDuna región en el plano delimitada por una curvaCsuave a

trozos y cerrada y seaF(x,y) = (Fx(x,y),Fy(x,y))un campo

vectorialC1enD. Entonces

Z

C Fdr =

Z Z

D

Fy ∂x −

∂Fx ∂y

dxdy

donde la curvaCse recorre en el sentido tal que si nos moviéramos

sobre la curva en este sentido, el dominioDquedaría a nuestra

izquierda.

SiDestá delimitada por varias curvas suaves y cerradasC1, ...,Cn,

entonces n X i=1 Z Ci

Fdr=

Z Z

D

Fy ∂x −

∂Fx ∂y

dxdy

donde cada curva se recorre en el sentido tal que la regiónDquede

a la izquierda (diremos que éste es el sentido positivo).

(23)

Un dibujo sirve para aclarar qué entendemos porsentido positivo de recorrido...

Γ σU C= y

x

a b

σ

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Como vemos, el teorema de Green relaciona integrales dobles con

integrales de línea sobre curvas planas. En realidades un caso

particular del teorema de Stokes, que enunciaremos más adelante.

Una primera aplicación del Teorema de Green es elcálculo de

áreas planas.

Cálculo de áreas planas

Sea una regiónDpara la que se puede aplicar el teorema de Green,

delimitada por curvasC1,...Cn, entonces el área de la superficie, se

puede obtener de siguiente modo:

µ(D) =

Z Z

D

dxdy =1

2 n

X

i=1

Z

Ci

[xdy−ydx]

donde las integrales de línea se recorren en el sentido positivo (teorema de Green).

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Ejemplo:Calcular el área de una elipse de semiejesayb. Solución:

Una parametrización conveniente para la elipse x2 a2 +

y2

b2 =1es la siguiente

x =acost →dx=−asint dt y =bsint →dy=bcost dt

variando t desde0hasta2πse recorre la elipse en el sentido positivo. Aplicando el anterior corolario:

S= 1

2

Z

[xdy−ydx] = 1

2 Z 2π

0

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Una consecuencia del teorema de Green es la fórmula de la integral

doble del Laplaciano. Antes,recordemos qué es un Laplaciano:

Seaf una función escalar dos veces derivable dependiente den variables, se define la actuación del Laplacianosobref como:

∆f =

n

X

i=1 ∂2f

∂xi2.

Integral doble del Laplaciano

SeaDuna región plana delimitada por una curva parametrizada

suaveCcon orientación positiva yf :D⊂R2

Rde claseC2

entonces

Z Z

D

∆fdxdy=

Z

Dnf dl

donde la integral de la derecha es la integral de línea de la función

escalarDnf (derivada direccional def según el vector unitario

normal a la curva en cada punto y apuntando hacia el exterior).

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El teorema de Gauss relaciona integrales en volumen con integrales de superficie. Para enunciarlo es conveniente recordar la definición dedivergencia de un campo vectorial:

SeaF un campo vectorial enRndependiente denvariables,

F = (Fx1, ...,Fxn). Se define su divergencia como:

div(F) =∇F =

n

X

i=1 ∂Fxi

∂xi ≡

n

X

i=1 Fxi

xi .

Teorema de Gauss o de la divergencia

Sea una regiónV enR3encerrada por una superficieS

parametrizada con parámetrosuyv, de tal modo que el vector

normalN=TTu apunta hacia el exterior del volumenV. Sea un

campo vectorialF que es de claseC1enV, entonces:

Z Z Z

V

FdV =

Z Z

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Comentario:La integral deF a la derecha de la expresión del

Teorema de Gauss recibe el nombre deflujo deF sobre la

superficieS.

Ejercicio:Verificar el teorema de la divergencia para el siguiente campo vectorial:F =x2i+y2j+z2k siendoSla superficie cilíndricax2+y2=4,0z 5junto con sus bases

{(x,y)|x2+y24,z =5}y{(x,y)|x2+y24,z =0}.

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Elteorema de Stokesva a relacionar integrales de superficie enR3

con integrales de línea enR2; el teorema de Green no será más que

un caso particular de este caso más general.

Antes de enunciar el teorema, necesitamos introducir el concepto de

superficie suave orientable:

1 De igual forma que decíamos que una curva era suave si

admitía tangente en todo punto de la curva, siendo la tangente

una función continua, diremos queuna superficie es suave si

existe la normal a la superficie en cada punto y esta varía de forma continua al movernos sobre la superficie.

2 Es evidente que dada una superficie ynel vector unitario

perpendicular a la superficie en un punto, también podríamos

escoger−ncomo vector normal; cada una de estas opciones

dará normales de sentido opuesto en cada punto.Escoger una

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Consideremos una superficieScuya frontera es una curva suave

simple y cerrada. Escogida la parametrización de la curvar(t)

diremos quela orientación de la curva es positiva respecto a la

orientación de la superficie(o que tiene el sentido inducido por la

superficie orientada)si los vectores normalesna la superficie

cercanos a esta curva son tales que dr

dt ×napunta alejándose de la superficieo, dicho de otra forma, sial caminar sobre la curva frontera de la superficie, el vector normal apunta hacia arriba y la superficie queda a la izquierda.

n

n

(31)

Teorema de Stokes

Sea una superficieSlimitada por una curva suave y cerradaΓyF un

campo vectorialC1enSentonces

Z Z

S

(∇×F)dS=

Z

Γ F dr

donde la orientación deΓes la inducida por la orientación de la

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Ejercicio:Utilizar el teorema de Stokes para evaluar la integral de línea

Z

C

(−y3dx+x3dyz3dz),

dondeCes la intersección del cilindrox2+y2=1y el plano x+y+z =1. La orientación deCes tal que gira en el sentido que lleva el eje X al eje Y. Verificar el resultado haciendo directamente la integral de línea.

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