CAPÍTULO I: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Cátedra: Complementos de Algebra Lineal

HOMOMORFISMOS.

EL CASO PARTICULAR DE

LAS TRANSFORMACIONES

LINEALES

Esp. Prof. Liliana Noemí Caputo

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INTRODUCCION

Esta monografía ha sido redactada con el objetivo de introducir a los alumnos en el estudio de los contenidos incluidos en el programa vigente de la asignatura Complementos de Algebra Lineal.

Para ello, en los capítulos I y II se recuerdan los conceptos, definiciones y propiedades más importantes estudiadas en Algebra II y en Algebra Lineal y Geometría, tales como estructuras algebraicas (grupos, anillos, cuerpos y espacios vectoriales), dependencia e independencia lineal de vectores, cápsula lineal, bases y dimensión de un espacio vectorial, homomorfismos de grupos y de anillos. Por tal motivo, es esperable que este texto sirva también como material de apoyo a los alumnos que cursan estas dos asignaturas.

También en el capítulo II se presentan a las transformaciones lineales como casos particulares de homomorfismos (homomorfismos de espacios vectoriales) y, en el capítulo siguiente, además de presentar ejemplos y propiedades de las transformaciones lineales, se introduce el concepto de espacio dual.

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CAPÍTULO I: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1. OPERACIONES BINARIAS

Empecemos por recordar que llamamos “operación” a una función que, según sea su dominio, será unitaria o binaria.

1.1. Cuando el dominio de la operación es un producto cartesiano, la operación es binaria; en caso contrario es unitaria.

Recordemos, como ejemplo de operación unitaria, la función que a cada conjunto le asigna su complemento: Sean A un conjunto y P(A) su conjunto de partes. Definimos la siguiente operación en P(A):

‘: P(A)  P(A) / X  P(A): X’ = {x  A / x X}.

En cambio, la unión de conjuntos es un ejemplo de operación binaria en P(A): : [P(A)]2 _{ P(A) / (X, Y) = X  Y = {x  A / x X  x  Y}.}

1.2. Entre las operaciones binarias, nos interesa en este capítulo, diferenciar las que son internas de las que son externas:

Diremos que la operación * es interna en A, si su dominio es A2 (coloquialmente podríamos decir que * es interna cuando mediante ella se operan dos elementos del mismo conjunto); en cambio, cuando el dominio de * es el producto cartesiano A x B, con A  B, diremos que * es una operación externa.

Ejemplos de operaciones binarias internas son la suma y multiplicación usuales en los conjuntos de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos.

Por ejemplo: +: 2  / +(m, n) = m + n y .:  / .(z, w) = z.w. Ejemplos de operaciones externas son el producto usual de matrices rectangulares o el producto de un número real por una matriz cuadrada de orden n: x: mxnx nxp  mxp / x( (aij),(bjt) ) = (aij) x (bjt) = ( ) y también

.: x nxn  nxn / .(a, (aij)) = (a.aij).

4 2. GRUPOS

2.1. Definiciones: Sea un conjunto no vacío en el que se ha definido una operación interna * (esto, a partir de ahora se denotará ( , *)). Decimos que ( , *) tiene estructura de grupo (o, simplemente, que es un grupo) si, y solo sí, se cumplen los siguientes axiomas:

G1. a, b  : a * b  .

G2. a, b, c  : (a * b) * c = a * (b * c). G3. e  / a  : a * e = e * a = a. G4. a  , a’  / a * a’ = a’ * a = e.

Además, si ( , *) es un grupo y se cumple un quinto axioma: G5.a, b  : a * b = b * a

diremos que ( , *) tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abeliano.

2.1.1. Observaciones:

2.1.1.1. El axioma G1 enuncia la denominada ley de cierre de * en , lo cual equivale a afirmar que *: 2  /*(a, b) = a*b es función.

2.1.1.2. Cuando se cumple G2 diremos que * es asociativa en . 2.1.1.3. El elemento e cuya existencia se asegura en el axioma G3 se denomina elemento neutro de * en . Es usual que, cuando la operación interna definida en G es una suma, se denote a su elemento neutro con “0”. Cabe señalar que esto no significa que el elemento neutro sea 0  ; se trata sólo de una notación, ya que por ejemplo en el caso de la suma de matrices el elemento neutro es la matriz nula. Análogamente, cuando la operación interna definida en es la multiplicación, se denota a su elemento neutro con “1”. Vale un señalamiento similar al hecho respecto al carácter notacional del cero, para lo cual es suficiente pensar en que en el producto de matrices cuadradas de orden n  , el elemento neutro es la correspondiente matriz identidad.

2.1.1.4. El axioma G4 asegura que cada elemento de posee, en , su simétrico. Cuando la operación interna es una suma, el simétrico de a  , se denomina opuesto de a y se denota con –a. Si la operación es un producto, en cambio, el simétrico se denomina inverso de a y se lo denota con a-1.

2.1.1.5. Cuando ( , *) es abeliano es decir, cuando se verifica G5, diremos que * cumple la propiedad conmutativa en .

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naturaleza de sus elementos, sino que está estrechamente vinculada con las operaciones que en él se han definido.

2.1.1.7. A partir de este momento, utilizaremos para enunciar las propiedades de los grupos la notación aditiva, dado que es la que usualmente se utiliza al trabajar con anillos, cuerpos y espacios vectoriales. Así pues, la definición dada, puede ser reescrita como sigue:

Sea , un conjunto no vacío en el que se ha definido una operación interna +. Decimos que ( , +) tiene estructura de grupo (o, simplemente, que es un grupo) si, y solo sí, se cumplen los siguientes axiomas:

G1. a, b  : a + b  .

G2. a, b, c  : (a +b)+ c = a + (b + c).

G3. 0  / a  : a + 0 = 0 + a = a.

G4. a  ,  -a  / a +(-a) = -a + a = 0.

Además, si ( , +) es un grupo y se cumple un quinto axioma:

G5. a, b  : a + b = b + a

diremos que (G, +) tiene estructura de grupo conmutativo o grupo abeliano. 2.1.1.8. Dados a, b  , denotaremos con a – b a la suma de a y el opuesto de b es decir, a la suma a + (-b).

2.1.1.9. Cualesquiera sean a  y n  , denotamos con na a la suma de n sumandos a y con –na a la de n sumandos –a; acordamos que 0 es la suma de 0 sumandos “a” o “-a”. Es decir:

, 0 = 0a = 0(-a)

2.2. Propiedades: Sean ( ,+) grupo, a, b, c  . Entonces:

2.2.1. a + b = a + c  b = c (Ley cancelativa a izquierda de la suma en G). 2.2.2. b + a = c + a  b = c (Ley cancelativa a derecha de la suma en G). 2.2.3. El elemento neutro de la suma en es único.

2.2.4. El opuesto de cada elemento de es único. 2.2.5. 0 = -0  -(-a) = a.

2.2.6. Las ecuaciones a + x = b y x + a = b, admiten solución única en . 2.2.7. –(a + b) = -b – a.

2.2.8. Si ( , +) es grupo abeliano, -(a + b) = -a – b.

2.3. Subgrupos

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2.3.2. Observaciones:

2.3.2.1. Si ( , +) es un grupo, entonces, resulta trivial que {0} y el propio son subgrupos de . Se denominan, precisamente, subgrupos triviales

de .

2.3.2.2. Todo subgrupo de un grupo abeliano es grupo abeliano. 2.3.3. Lemas de caracterización de subgrupos:

Sea ( , +) un grupo y H  . Entonces:

2.3.3.1. H es subgrupo de 

2.3.3.2. Si es finito, H es subgrupo de 

2.4. Ejemplos de grupos y subgrupos

2.4.1. En 2.3.2.1. se ha dicho que si ( , +) es grupo, y {0} subgrupos de . Es trivial que {0} es siempre un grupo abeliano, aún cuando no lo sea.

2.4.2. Abelianos

2.4.2.1. con la suma usual de números enteros.

2.4.2.2. Veamos que  n  : (n , +), con la suma usual de números enteros, siendo n = {n.x / x  } es un subgrupo de y, en consecuencia, un grupo abeliano. En efecto:

 n  : 0 = n.0  n .

Además, dados x, y  n ., existen a, b  / x = na  y = nb; - y = - (nb) = n(-b)  n , por ser –b el opuesto del número entero b. Luego: x - y = =na - nb = n(a - b), por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en . Ahora bien, por ley de cierre de la suma en , a - b  , de donde: x - y = =n(a + b)  n .

Luego por 2.3.3., n es subgrupo de ( , +). 2.4.2.3. con la suma usual de números racionales.

2.4.2.4. – {0} con la multiplicación usual de números racionales. 2.4.2.5. con la suma usual de números reales.

2.4.2.6. + = {x  / x > 0} con la multiplicación usual de números reales.

2.4.2.7. – {0} con la multiplicación usual de números reales. 2.4.2.8. con la suma usual de números complejos.

2.4.2.9. – {0} con la multiplicación usual de números complejos. 2.4.2.10. con la suma usual de matrices.

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2.4.2.12. Si ( , +) es grupo y se define, para algún n  en n la suma:

(x1, …, xn), (y1, …, yn)  n: (x1, …, xn) + (y1, …, yn) = (x1+y1, …, xn+yn), (*)

( n, +) tiene estructura de grupo. Si ( , +) es abeliano, ( n, +) también lo es.

Demostración: Si ( , +) grupo abeliano, sean v, u  n / v = (x1,…, xn),

u = (y1,…, yn) (**), entonces:

i) Ley de cierre de la suma: v + u =(**) (x1,…, xn) + (y1,…, yn)

(x1 +y1,…, xn + yn)  n (por ley de cierre de la

suma en ).

ii) Ley asociativa de la suma: Si además w = (z1,…, zn)  n (***)

tenemos que: (u + v) + w =(**)y(***) [(x1,…, xn) + (y1,…, yn)] + (z1,…, zn) =

=(*) (x1 +y1,…, xn + yn) + (z1,…, zn) =(*) ((x1 +y1) + z1 ,…,(xn + yn) + zn) =

=(G3 en G) (x1 +(y1 + z1),…, xn + (yn + + zn)) =(*) (x1,…, xn) +(y1 + z1,…, yn + zn) =

= (**) v + (y1 + z1,…, yn + zn) =(*) v + [(y1,…, yn) + (z1,…, zn)] =(**)y(***) v + (u + w).

iii) Propiedad conmutativa de la suma:

v + u =(**) (x1,…, xn) + (y1,…, yn) =(*) (x1 +y1,…, xn + yn) = (G5 en ) (y1 +x1,…, yn+xn) =

=(*) (y1,…, yn) + (x1,…, xn) =(**) u + v.

iv) Existencia de elemento neutro:

Sea la n – upla 0 = (w1,…, wn) / wi = 0  , i  In = {x / x  n}.

Entonces, 0 n y v + 0 =(**) (x1,…, xn) + (0, …, 0) =(*) (x1 + 0,…, xn + 0) =(G3 en )

= (x1,…, xn) =(**) v.

v) Existencia de opuesto de cada elemento:

Como v = (x1,…, xn)  n, x1,…, xn  ; entonces, por G4, se tiene que

-x1,…, -xn . Luego, por definición de producto cartesiano, –v = (-x1,…, -xn)  n

y además: v – v = (x1,…, xn) + (-x1,…, -xn) =(*) (x1 -x1,…, xn -xn) = (0,…,0) = 0.

Por i, ii, iii, iv y v, n, +) es grupo abeliano.

En particular, puede afirmarse que n : ( , +), ( , +), ( , +) y ( , +) tienen estructura de grupo abeliano.

2.4.2.13. Sean ( , +) un grupo abeliano y a  . Se definen:

Ga = {x + a / x  } y la siguiente operación en Ga: x, y  Ga: x +a y = x + y – a.

Veamos que (Ga, +a) tiene estructura de grupo abeliano.

Como a = 0 + a, es trivial que a  Ga es decir, que Ga  . Nótese que si

x Ga,  h  / x = h + a  , por ser la suma cerrada en es decir, Ga  .

Sean x,y,z Ga. Entonces, h,k, g  / x = h + a  y = k + a  z = g + a.

Luego: x +a y = x + y – a = (h + a) + (k + a) – a, por definición de suma en Ga.

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Luego: (x +a y) +a z = (x +a y) + z – a = (x + y – a) + z – a. Entonces, por

propiedades conmutativa y asociativa de la suma en , tenemos que: (x +a y) +a z = (x + ( y + z – a)) - a = x + (y +a z) – a = x +a (y +a z)

Veamos ahora que +a cumple la propiedad conmutativa en Ga. En efecto:

x +a y = x + y – a = y + x – a = y +a x, por definición de suma en Ga y propiedad

conmutativa de la suma en . Entonces:

a +a x = x +a a = x + a – a = x, con lo cual hemos demostrado que a es el

elemento neutro de la suma en Ga.

Por último, hemos dicho que x = h + a, para algún h  . Luego, como es grupo, -h  y, en consecuencia, x’ = -h + a  Ga. Además:

x’ +a x = x +a x’ = x + x’ – a = (h + a) + (-h + a) – a, por ley conmuntativa

de +a, definición de suma en Ga y ser x, x’  Ga. Entonces, como la suma en

cumple las leyes conmutativa y asociativa, se tiene que:

x’ +a x = x +a x’= (h - h) + 2a – a = 0 + a = a. En consecuencia, x’ es el

opuesto de x en Ga.

2.4.14. Sean E un conjunto no vacío, ( , +) un grupo abeliano y E el conjunto de todas las funciones de E en . Se define en E la siguiente suma:

f, g  E_{: (f + g): E }

/ (f + g)(x) = f(x) + g(x).

Vemos que si f, g  E y x  E, f(x), g(x), f(x) + g(x)  (por ser f y g funciones y por ley de cierre de la suma en ). Es decir, (f + g)(x)  (Existencia).

Además, si (f + g)(x) = y  (f + g)(x) = z, entonces, f(x) + g(x) = y  f(x) + + g(x) = z, por unicidad de la suma en , debe ser y = z (Unicidad).

Así pues, f + g es función de E en es decir, f + g  E (Ley de Cierre) Si f, g, h  E _{y x  E,}

[(f + g) + h](x) =1(f + g)(x) + h(x) =1 [f(x) + g(x)] + h(x) =2f(x) + [g(x) + h(x)] =1 = f(x) + (g + h)(x) =1 [f + (g + h)](x), siendo:

 (f + g) + h = f + (g + h) (Propiedad asociativa) Si f, g  E _{y x  E, (f + g)(x) =}1

f(x) + g(x) =3 g(x) + f(x) =1 (g + f)(x). f + g = g + f (Propiedad conmutativa)

Sea 0: E  / 0(x) = 0. 0  E_{. En efecto, si x  E y 0(x) = 0 }

, por unicidad del neutro de la suma en , x tiene una única imagen. Además:

(f + 0)(x) = f(x) + 0(x) = f(x) + 0 = f(x).

1

Definición de suma en E.

2

Propiedad asociativa de la suma en .

3 _{Propiedad conmutativa}

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Entonces, f + 0 = f. Asimismo, por propiedad conmutativa de la suma en

E

, 0 + f = f + 0 = f. La función 0 es el elemento neutro de la suma en E y la denominaremos “función nula”.

Sea –f: E  / (-f)(x) = -[f(x)]. Es fácilmente demostrable que - f  E. Además, si x  E, (– f + f)(x) = (-f)(x) + f(x) = -f(x) + f(x) = 0 = 0(x).

Así pues, -f + f = f – f = 0 (-f es la función opuesta a f) En consecuencia, ( E, +) es grupo abeliano.

2.4.3. No conmutativos

2.4.3.1. Sea Mn( ) = {A  / Det(A)  0}, Mn( ) con el producto

usual de matrices tiene estructura de grupo, como consecuencia de las propiedades de los determinantes que afirman que Det(A.B) = Det(A).Det(B) y Det(A-1) = [Det(A)]-1.

2.4.3.2. Si S es un conjunto no vacío y A(S) = {f: S  S/ f es función biyectiva}, A(S) con la composición de funciones tiene estructura de grupo.

En efecto, es trivial que, cualquiera sea S, la función identidad en S (iS)

es biyectiva, con lo cual A(S)  .

Veamos que la composición de dos funciones biyectivas es biyectiva es decir, que si f: A  B y g: B  C son funciones biyectivas, entonces, gof: A  C es función biyectiva.

Por definición de composición de funciones, gof: A  C es función.

Sean x, y  A / (gof)(x) = (gof)(y). En consecuencia, se tiene que g[f(x)] = g[f(y)]. Como por hipótesis, g es inyectiva, resulta f(x) = f(y). Pero, por hipótesis, f también es inyectiva de donde, resulta que x = y.

 gof es función inyectiva de A en C. (I)

Sea y  C. Como por hipótesis g es sobreyectiva, existe z  B tal que y = g(z). Pero, por hipótesis, f es sobreyectiva, de donde existe x  A tal que z = f(x). Entonces: y = g(z) = g[f(x)] = (gof)(x) (por definición de composición de funciones).

 gof es función sobreyectiva de A en C. (II)

Así pues, de (I) y (II) gof es función biyectiva de A en C. Cabe destacar que si A = B = C = S, hemos probado que:

f, g  A(S): gof  A(S) (Ley de cierre) Sean f, g, h  A(S), veamos que:

i) ho(gof) = (hog)of. (Propiedad asociativa)

ho(gof) y (hog)of son funciones de S en S, por definición de composición de funciones.

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[ho(gof)](x) = h[(gof)(x)] = h[g[f(x)] = h[g(y)] = (hog)(y) = (hog)[f(x)] = ((hog)of)(x), usando convenientemente la definición de composición de funciones.

ii) iSof = foi_S =f. (i_S es el elemento neutro de la composición) Por definición de composición de funciones iSof y foi_S son, al igual que f, funciones de S en S. Además, si x  S, entonces:

(iSof)(x) = i_S[f(x)] = f(x) = f[i_S(x)] = (foi_S)(x)

iii) Vemos que f-1  A(S) puesto como f es función biyectiva de S en S, su inversa también es función biyectiva de S en S. Además, es fácil demostrar que f-1of = fof-1 =i_S es decir, que todo elemento de A(S) es inversible.

Así pues, (A(S), o) es grupo no abeliano pues la composición de

funciones, en general, no cumple la propiedad conmutativa.

2.4.3.3. En particular, si S = In = {x  / x  n}, A(S) es el grupo de

permutaciones de n elementos, de donde su cardinal es n!.

3. ANILLOS Y CUERPOS

3.1. Definición de anillo: Si un conjunto no vacío en el que se han definido dos operaciones binarias e internas suma (+) y producto (.), entonces, ( , +, .) tiene estructura de anillo si, y sólo si, se cumplen los siguientes axiomas:

A1. ( , +) es grupo abeliano.

A2. x, y  : x.y  .

A3. x, y, z  : (x.y).z = x.(y.z)

A4. x, y, z  : (x + y)z = xz + yz  z.(x + y) = zx + zy.

3.1.1. Observaciones:

3.1.1.1. El axioma A2 asegura que se verifica la ley de cierre del producto en .

3.1.1.2. El axioma A3 afirma que se cumple la propiedad asociativa del producto en .

3.1.1.3. El axioma A4, en cambio, afirma que se cumple la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma, a izquierda y a derecha en .

3.2. Diversas clases de anillos

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3.2.2.  1  / x  : 1.x = x.1 = x, es un anillo con elemento unitario o con identidad. En un anillo con identidad, existen elementos invertibles (el propio 1 es invertible porque 1.1 = 1) que se denominan unidades del anillo.

3.2.3. es un anillo conmutativo tal que x.y = 0  x = 0  y = 0, es un

dominio de integridad o dominio entero. En este caso, decimos que no tiene divisores de cero.

3.2.4. Si es anillo conmutativo y ( – {0}, .) es grupo, es un cuerpo o

campo.

3.2.5. Si es un dominio de integridad tal que:

3.2.5.1. Existe una función d: – {0}  o tal que x, y  – {0}:

d(x)  d(x.y)

3.2.5.2. x, y – {0}, q, r  / x = q.y + r, con d(r)< d(y)  r = 0. Entonces, ( , +, .) es un anillo euclidiano.

3.3. Propiedades: Sea ( , +, .) un anillo. Como ( , +) tiene estructura de grupo abeliano, son válidas todas las propiedades enunciadas en 2.4. Además, se cumplen en las siguientes propiedades:

3.3.1. a  : a.0 = 0.a = 0.

3.3.2. a, b  : -(a.b) = (-a).b = a.(-b). 3.3.3. a, b  : (-a).(-b) = a.b.

3.3.4. Si tiene elemento unitario 1, dicho elemento neutro es único. 3.3.5. Si tiene elemento unitario 1, a  : a.(-1) = (-1).a = -a.

3.3.6. El inverso de una unidad de un anillo con elemento unitario, es único. 3.3.7. Si es dominio de integridad, en se cumple la ley cancelativa del producto.

3.3.8. Todo cuerpo es un dominio de integridad.

3.4. Subanillos y Subcuerpos:

3.4.1. Sea ( , +, .) un anillo y S un subconjunto no vacío de . Entonces: S es un subanillo de  (S, +, .) es un anillo.

3.4.2. Lema de caracterización de subanillos: Sea ( , +, .) un anillo y S . Entonces:

S es subanillo de 

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3.4.4. Lema de caracterización de subcuerpos: Sea ( , +, .) un cuerpo y S . Entonces: S es subcuerpo de 

3.5. Ejemplos de anillos y cuerpos:

3.5.1. Si ( , +, .) es un anillo, los subconjuntos {0} y son subanillos de . Se llaman subanillos triviales de . Idem si es un cuerpo.

3.5.2. ( , +, .) es anillo conmutativo con elemento unitario 1 y sin divisores de cero (dominio de integridad). Además es un anillo euclidiano, puesto que la función valor absoluto satisface el axioma 3.2.5.1. y el algoritmo de división el axioma 3.2.5.2.

3.5.3. ( , +, .) es cuerpo porque ( , +) y ( - {0}, .) son grupos abelianos y el producto es distributivo con respecto a la suma en . Así pues, ( , +, .) es subanillo de .

3.5.4. ( , +, .) es cuerpo porque ( , +) y ( - {0}, .) son grupos abelianos y el producto es distributivo con respecto a la suma en . Entonces, ( , +, .) es subanillo de y ( , +, .) es subcuerpo de .

3.5.5. ( , +, .) es cuerpo porque ( , +) y ( - {0}, .) son grupos abelianos y el producto es distributivo con respecto a la suma en . Entonces, es subanillo, y son subcuerpos de (Esto se cumple cuando se define axiomáticamente, no si se considera . Ver 4.3.4)

3.5.6. Si es cuerpo, ( , +, .) es anillo con elemento unitario, siendo el neutro del producto la matriz identidad de orden n.

13 4. ESPACIOS VECTORIALES

4.1. Definición: Sean ( , +, .) un cuerpo y un conjunto no vacío en el cual se han definido dos operaciones, una interna a la que llamaremos suma (+) y otra externa (.), llamada producto por escalares. Entonces, diremos que es un -

espacio vectorial o que ( , .) es un espacio vectorial, si se verifican los siguientes axiomas:

4.1.1. ( , +) es un grupo abeliano. 4.1.2. k  , x  : k.x  .

4.1.3. k, h  , v  : (k.h).v = k.(h.v). 4.1.4. k, h  , v  : (k + h).v = k.v + h.v. 4.1.5. k  , u, v  : k.(u + v) = k.u + k.v.

4.1.6. x  : 1.v = v, donde 1 denota al elemento unitario de .

Observaciones:

i) Denotamos con + a la suma en y también utilizaremos + para a la suma en . A pesar de este abuso de notación, cabe señalar que no existirá ambigüedad al enunciar las correspondientes proposiciones, puesto que en cada caso se esclarecerá cuál es el dominio de cada una de estas funciones.

ii) De la misma manera, se denotará con 0 al elemento neutro de la suma en y de la suma en . A este último se lo denomina “vector nulo”.

iii) Al neutro del producto en lo denotaremos con 1, y con -1 a su opuesto.

iv) Generalmente, a los elementos de se los llama vectores y a los de , escalares. Por tal motivo, al producto externo de en lo llamaremos, simplemente producto externo o producto escalar – vector.

4.2. Propiedades: Sean ( , +, .) un cuerpo y un - espacio vectorial. Entonces:

4.2.1. Por axioma 4.1.1., se verifican todas las propiedades enunciadas en 2.2.

4.2.2. k  : k.0 = 0. 4.2.3. v  : 0.v = 0.

14 4.3. Subespacios:

4.3.1. Definición: Sea un - espacio vectorial y S  , con S ≠ . Entonces, S es un subespacio de si, y sólo si, S es un - espacio vectorial. Denotaremos con S( ) al conjunto de todos los subespacios de .

4.3.2. Lema de caracterización 1: Sea un - espacio vectorial y S  . Entonces:

S  S( ) 

4.3.3. Lema de caracterización 2: Sea un - espacio vectorial y S  . Entonces:

S  S( ) 

4.4. Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales.

4.4.1. Si es un – espacio vectorial, resulta trivial que y {0} son – espacios vectoriales y, en consecuencia, son subespacios de . Reciben, precisamente el nombre de subespacios triviales de .

4.4.2. Si es cuerpo, n es un - espacio vectorial.

En efecto, si es cuerpo, ( , +) es grupo abeliano (axioma 4.1.1.) es decir, en se cumplen G1, G2, G3, G4y G5. Además, en , se cumplen ley de

cierre (axioma 4.1.2.) y propiedad asociativa del producto (axioma 4.1.3.). Asimismo, se verifican las leyes distributivas del producto con respecto a la suma (axiomas 4.1.4. y 4.1.5.) y existe elemento unitario (axioma 4.1.6.). Es decir, es un - espacio vectorial.

En consecuencia, tenemos que es un espacio vectorial, es un espacio vectorial y es un espacio vectorial.

Si n > 1, ya probamos en 2.4.1.12. que ( n, +) es grupo abeliano es decir, se verifica el axioma 4.1.1.

Si definimos el producto externo como sigue:

k , (x1,…, xn)  n: k.(x1,…, xn) = (kx1, …, kxn) probaremos que

se cumplen los axiomas dados en 4.1.

Axioma 4.1.2.: Dado (x1,…, xn)  n, por ley de cierre del producto en

15

Axioma 4.1.3.: Sean k, h  y v = (x1,…, xn)  n

Entonces: (k.h).v = (k.h).(x1,…, xn) =4 ((k.h)x1,…,(k.h)xn) =5 (k.(hx1),…,k.(hxn)) =4

= k.(hx1,…,hxn) =4 k.[h.(x1,…, xn)] = k.(h.v).

Axioma 4.1.4: Si k, h y v son como antes: (k + h). v = (k + h).(x1,…, xn) =4 ((k + h)x1,…,(k + h)xn) =6

= (kx1 + hx1,…, kxn + hxn) =7(kx1,…,k xn) + (hx1,…,hxn) = k(x1,…, xn) + h(x1,…, xn) =

= k.u + h.u.

Axioma 4.1.5: Si k y v son como antes y, u = (y1,…, yn)  n:

k.(v + u) = k.[(x1,…,xn) + (y1,…,yn)] =8 k.(x1 + y1,…, xn + yn) =4

=(k.(x1+y1),…,k.(xn+yn)) =9 (k.x1+k.y1,…, k.xn+k.yn) =8(k.x1, …, k.xn) +

+ (k.y1, …, k.yn) =4 k.(x1, …, xn) + k.(y1, …, yn) = k.v + k.u

Axioma 4.1.6: Si 1 es el elemento unitario de entonces: 1.v = 1.(x1,…, xn) =4 (1.x1, …, 1.xn) =10 (x1,…, xn) = v

 n

es un - espacio vectorial.

4.4.3. Sean un – espacio vectorial, a  y a = {v + a / v  }.

Definimos la suma como en 2.4.1.13 y el siguiente producto externo: k , x a: k.a x = k.(x – a) + a

Entonces, ( a, +a, , .a) es un espacio vectorial.

En 2.4.1.13. se probó que ( a, +a) es grupo abeliano.

Si, k, h  , u, v  a / u = x + a, v = y + a, para algunos x, y 

entonces:

Axioma 4.1.2.:

k.a u =11 k(u – a) + a = k(x + a – a) + a =12 kx + a  a pues, por

axioma 4.1.2. kx  Axioma 4.1.3.:

(k.h).a u =11(k.h).(u – a) + a =(k.h).(x + a – a) + a =5(kh)(x + 0)+a =13

4

Definición de producto escalar – vector en n.

5

Ley asociativa del producto en .

6 _{Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en .} 7

Definición de la suma en n.

8

Definición de suma de n – uplas dada en 2.4.2.12

9 _{Por Ley Distributiva del producto con respecto a la suma en} 10

Por ser 1 el neutro del producto en .

11

Definición de .a

12 _{Por ser v – v = 0, cualquiera sea v en un espacio vectorial.} 13

16

= (k.h).x + a =14 k.(hx) + a = k.(hx + a – a) + a =15 k.a(hx + a) =

= k.a(h(x + a – a) + a) =k.a(h(u – a) + a) =15 k.a(h.a u)

Axioma 4.1.4.: (k + h).a u =15(k + h).(u – a) + a = (k + h)(x + a – a) +

+a=16 (k + h)x + a =17 kx + hx + a = (kx + a - a) + (hx + a – a) + a =18 (kx + a)+(hx + +a) – a =19

(kx + a) +a (hx + a) =16 [k(x + a - a) + a] +a [h(x + a – a) + a] = [k(u – a) +

+ a]+a [h(u – a) + a] =15 k.a u +a h.a u

Axioma 1.4.5.: k.a(u +a v) =19k.a(u + v – a) =15k(u + v – a – a) + a=20

= ku + kv – ka – ka + a = ku – ka + kv – ka + a = ku – ka + kv – ka + a + a – a =18 = (ku – ka + a) + (kv – ka + a) – a =20 _{k(u – a) + a + k(v – a) + a – a =}15

k.au + k.av -

- a =19 k.au +a k.av.

Axioma 1.4.6.:

1.au =15 1.(u - a) + a =21 (u – a) + a =18 u + (a - a) =16 u

 a es un - espacio vectorial.

4.4.4. Si es un cuerpo, [x] es un - espacio vectorial, con la suma usual y el producto usual en [x] de un polinomio p, con gr(p) = 0  p = 0, por un polinomio q cualquiera.

4.4.5. Sean un - espacio vectorial y E   un conjunto cualquiera. Se probó en 2.4.14. de este capítulo, que ( E, +) es un grupo abeliano.

Veamos ahora que E es un - espacio vectorial. Para ello, definimos el siguiente producto externo:

 k  ,  f  E _{: k.f: E  /x  E: (kf)(x) = kf(x).}

Dados k  , f  E _{y x  E, como f es función de E en , f(x) }

. De donde, por ser un - espacio vectorial, kf(x)  . La unicidad está asegurada por ser f y el producto externos funciones. Entonces, kf  E

.

Si además, h  , por cierre del producto en , kh  , se tiene que: [(kh)f](x) =22 (kh).f(x) =14 k[h.f(x)] =22 k[(hf)(x)] =22 [k(hf)](x)

(kh)f = k(hf)

[(k + h)f](x) =22 (k + h)f(x) =20 kf(x) + hf(x) =22 (kf)(x) +(hf)(x)  (k + h)f = kf + hf

14

Por axioma 4.1.3. en

15 _{Definición de .} a 16

a – a = 0, de donde x +a – a = x + 0 = x.

17

Por axioma 4.1.4. en

18 _{Propiedades conmutativa y asociativa de la suma en} 19

Por definición de +a 20

Por axioma 4.1.5 en

21 _{Por axioma 4.1.6 en} 22

17

Sean x, k y f como antes, y g  E_{. Vimos que f + g } E

. Luego:

[k(f + g)](x) =23 k[(f + g)(x)] =24 k[f(x) + g(x)] =25 kf(x) + kg(x) =23 = (kf)(x) + (kg)(x)

 k(f + g) = kf + kg

Finalmente, (1f)(x) =231.f(x) =26 f(x) es decir, 1f = f.

Hemos probado pues, que E es un - espacio vectorial.

4.4.6. Sean un - espacio vectorial, F una familia numerable de subespacios de . Entonces:

4.4.6.1.  S( ).

4.4.6.2.  S( ).

4.4.6.3. Si S1, S2  F / S1  S2 = {0}, S1 + S2 se llama suma directa y

se denota con S1  S2.

4.4.7. Sean un - espacio vectorial, M  M  . Se denomina

cápsula lineal o subespacio generado por M, al siguiente conjunto:

Todo elemento de se llama combinación lineal de elementos de M. Veamos que, en efecto,  S( ):

0 = , M. Es decir, 0  .

Si x, y  /x =  y = , resulta:

x + y = + = , por axioma 4.1.5. y cierre de la suma en .

Sea k  , entonces, k.x = k = = , por axiomas 4.1.5. y 4.1.3.

Observaciones:

- El concepto de cápsula lineal nos proporciona una “fábrica” de subespacios, pues dado M  , ya sabemos que  S( ).

- Si , se dice que M es un sistema de generadores de o que los elementos de M generan

23

Por definición de producto externo.

24

Por definición de suma en E

25 _{Por axioma 4.1.5 en} 26

18

- Si y M es finito, se dice que S está finitamente generado.

4.4.8. Sea un cuerpo, entonces el subespacio

_{puesto que dada}

es evidente

que: .

4.4.9. Sean un cuerpo y el siguiente sistema homogéneo de m ecuaciones lineales:

Si S  n

es su conjunto solución, como todo sistema homogéneo admite al menos solución trivial (xj = 0, j), la n – upla (0,…,0)  S.

Sean u, v  S tales que u = (y1,…, yn), v = (z1,…, zn). Entonces:

Luego u + v = (y1 + z1,…,xn + yn) y:

Por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en , por ley asociativa de la suma en , por ser u y v soluciones del sistema y por ser 0 el elemento neutro de la suma en , respectivamente.

Entonces, u + v es solución del sistema, es decir que u + v  S. Sea k  . Luego k.u = (k.y1,…, k.yn) y se tiene que:

Usando la propiedad asociativa del producto en ley conmutativa del producto en , nuevamente propiedad asociativa del producto en por propiedad distributiva del producto con respecto a la suma en , por ser u solución del sistema y por propiedad 4.2.2.

 S es un subespacio de n

, por lema 4.3.2.

4.5. Dependencia e independencia lineal de vectores.

19

este caso, puede decirse, también, que los xi son linealmente independientes o

que M es linealmente independiente.

Si existen escalares no todos nulos tales que se dice que M es un conjunto linealmente dependiente de vectores, o que M es linealmente dependiente o que los xi son linealmente dependientes.

4.5.2. Algunas propiedades: Sean un - espacio vectorial, n  y el conjunto M = {xi}  . Entonces:

4.5.2.1. Si M = {x1}, con x1  0, M es linealmente independiente.

4.5.2.2. Todo subconjunto de vectores que contiene al vector nulo, es linealmente dependiente.

4.5.2.3. Si M es linealmente independiente, i  j: xi  xj.

4.5.2.4. Si M es linealmente dependiente, cualquier elemento de M puede escribirse como combinación lineal de los restantes.

4.6. Bases y dimensión de un espacio vectorial.

4.6.1. Sean un - espacio vectorial, B   / B  . Entonces, B es una base de si, y sólo si, B es un conjunto linealmente independiente y .

4.6.2. Proposición 1: Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo cardinal.

4.6.3. Definición: Sean un - espacio vectorial y B una base de . Entonces, al cardinal de B se lo denomina dimensión de . Notación: dim( ) = =c(B).

Observaciones:

- Un espacio vectorial puede ser de dimensión finita o infinita, según sus bases sean conjuntos finitos o infinitos, respectivamente.

- En este texto se trabajará, principalmente, con espacios vectoriales de dimensión finita, con excepción del espacio ( [x], +, , .) que es de dimensión infinita ya que, puede demostrarse, que B = {1}  {xn _{/ n }

} es base de [x]. Por ello, en adelante, si no se señala lo contrario, los espacios vectoriales utilizados serán de dimensión finita.

- En general, si es un espacio vectorial, S  S( ): dim(S)  dim( ). Además, dim(S) = dim( )  S = .

- Si S  S( ) tal que dim(S) = dim( ) – 1, diremos que S es un hiperplano

20

4.6.4. Proposición 2: Sean un - espacio vectorial, v  y B = {x1,…,xn}

una base de (n  ). Entonces, los escalares a1,…,an / v = aixi son únicos.

Los ai se llaman componentes de v en la base B.

4.6.5. Proposición 3: Sea un - espacio vectorial tal que dim( ) = n (con n  ) y S un sistema de generadores de , entonces, c(S)  n.

4.6.6. Proposición 4: Sea un - espacio vectorial tal que dim( ) = n (con n  ). Entonces, todo subconjunto de n vectores linealmente independientes es una base de .

4.6.7. Ejemplos:

4.6.7.1. Ya hemos dicho que {0} es uno de los subespacios triviales de cualquier espacio vectorial . Como {0} no contiene ningún subconjunto linealmente independiente (por Propiedad 4.5.2.2.), no tiene bases, por lo cual se considera que dim({0}) = 0.

4.6.7.2. Si es cuerpo, , consideremos en n las siguientes n – uplas: ei = (x1,…,xn) / xj =

. El conjunto B = {ei n / i   i  n} es la

llamada base canónica de n. Es decir, dim( n) = n. Denotaremos con E a la base canónica de n. Luego, por ejemplo, las bases canónicas de 2 y 3 son, respectivamente, E = {(1,0), (0,1)} y E = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}.

4.6.7.3. Si es cuerpo, , consideremos en nxn las siguientes n2 matrices: Eik = (ij) / ij =

(estas matrices son conocidas con el nombre

de delta de Kronecker). Entonces, el siguiente conjunto:

B = {Eik nxn / i  k  1  i  n  1  k  n } es la base canónica

de nxn. Es decir, dim( nxn) = n2. Denotaremos con E a la base canónica de nxn. En 4.4.8 vimos que el conjunto E = genera 2x2 y es, precisamente la base canónica de ese espacio.

21

CAPITULO II: HOMOMORFISMOS

1.

En general, un homomorfismo es una función tal que su dominio y su rango tienen la misma estructura algebraica. La característica de estas funciones es que “conservan” las operaciones es decir, la imagen de la operación de dos elementos a y b del dominio, coincide con la operación de las imágenes de a y de b en el rango.

2. CLASIFICACION DE HOMOMORFISMOS

Por lo dicho en 1, independientemente de la estructura algebraica de su dominio y su rango, dado un homomorfismo f: A  B, diremos que:

2.1. f es un monomorfismo  f es función inyectiva. 2.2. f es un epimorfismo  f es función sobreyectiva. 2.3. f es un isomorfismo  f es función biyectiva. 2.4. f es un endomorfismo  A = B.

2.5. f es un automorfismo  f es un endomorfismo biyectivo.

3. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 3.1. Definición

Sean ( , +) y ( ’, .) dos grupos. f:  ’ es un

homomorfismo de grupos si, y sólo si, f es una función tal que: x, y  : f(x + y) = f(x).f(y)

3.2. Propiedades

Sean ( , +), ( ’, .) y ( ’’, *) grupos, H un subgrupo de , K un subgrupo de ’, f:  ’ y g: ’  ’’ homomorfismos de grupos. Entonces:

3.2.1. f(0) = 1.

Demostración: Si f:  ’ es un homomorfismo de grupos, entonces, dado x  , f(x) . f(0) =27f(x + 0) =28 f(x) =29 f(x) . 1.

Entonces, por ley cancelativa del producto en ’, f(0) = 1.

27

Por definición de homomorfismo de grupos.

28 _{Por ser 0 el neutro de la suma en .} 29

22

3.2.2. x : f(-x) = [f(x)]-1

Demostración: Si f:  ’ es un homomorfismo de grupos, entonces, dado x  , f(x) . f(-x) =30f(x - x) =31f(0) =32 1 =33f(x) .[f(x)]-1.

Luego, por ley cancelativa del producto en ’, resulta f(-x) = [f(x)]-1

3.2.3. f(H) es subgrupo de ’.

Demostración: Si f:  ’ es un homomorfismo de grupos y H es un subgrupo de , 0  H, con lo cual f(0)  f(H). Entonces, por propiedad 3.2.1., 1  f(H) (A).

Si x, y  H, entonces, x – y  H y f(x – y)  f(H). Como f es homomorfismo de grupos, resulta que f(x). f(-y)  f(H). Utilizando la propiedad 3.2.2., podemos afirmar que f(x). [f(y)]-1  f(H) (B)

De (A) y (B), por lema 2.3.3.1., f(H) es subgrupo de ’.

3.2.4. f-1(K) es subgrupo de .

Demostración: Si f:  ’ es un homomorfismo de grupos y K es un subgrupo de ’, 1  K, con lo cual, por propiedad 3.2.1., f(0)  K. Entonces por definición de f-1(K), 0  f-1(K) (A’).

Sean x, y  f-1(K). Entonces, f(x), f(y)  K y, por ser K subgrupo de ’ y lema 2.3.3.1, f(x) . [f(y)]-1  K. Luego, por propiedad 3.2.2., se tiene que f(x). f(-y)  K. Así pues,30 f(x - y)  K, de donde x – y  f-1(K) (B’)

De (A’) y (B’), por lema 2.3.3.1.,f-1(K) es subgrupo de .

3.2.5. gof es un homomorfismo del grupo en el grupo ’’. Demostración: Si f:  ’ y g: ’  ’’ son homomorfismos de grupos, por definición de composición de funciones, gof: es función de en ’’.

Sean x, y  , entonces:

(gof)(x + y) =34g[f(x + y)] =30 g[f(x) . f(y)] =30 g[f(x)] * g[f(y)] =34 (gof)(x) * (gof)(y)

3.2.6. Si f y g son monomorfismos de grupos, gof es un monomorfismo de grupos.

30

Por definición de homomorfismo de grupos.

31

Por ser x y –x opuestos.

32 _{Por propiedad 3.2.1.}

33 _{Como f(x)  ’, su inverso, [f(x)]}-1_{ ’ y es tal que f(x). [f(x)]}-1 _{= 1.} 34

23

Demostración: Si f:  ’ y g: ’  ’’ son monomorfismos de grupos, por propiedad 3.2.5., gof es un homomorfismo de en

’’. Asimismo, en 2.4.2.2. se probó que gof es inyectiva, por serlo f y g.  gof es un monomorfismo de en ’’.

3.2.7. Si f y g son epimorfismos de grupos, gof es un epimorfismo de grupos.

Demostración: Si f:  ’ y g: ’  ’’ son epimorfismos de grupos, por propiedad 3.2.5., gof es un homomorfismo de en

’. Además, en 2.4.2.2. se probó que gof es sobreyectiva, por serlo f y g.  gof es un epimorfismo de en ’’.

3.2.8. Si f y g son isomorfismos, gof es un isomorfismo de grupos.

Demostración: Si f:  ’ y g: ’  ’’ son isomorfismos de grupos, por propiedad 3.2.5., gof es un homomorfismo de en

’’. Por otra parte, en 2.4.2.2., se probó que gof es biyectiva, por serlo f y g.  gof es un isomorfismo de en ’’.

3.2.9. Si gof es un monomorfismo, f es un monomorfismo. Demostración: Sean f:  ’ y g: ’  ’’ homomorfismos de grupos tales que gof es un monomorfismo de en ’’.

Si y, x  / f(x) = f(y), como g es función, se tiene que g[f(x)] = g[f(y)] es decir, (gof)(x) = (gof)(y) de donde, por hipótesis, resultax = y. Así pues, f es un homomorfismo inyectivo es decir, un monomorfismo.

3.2.10. Si gof es un epimorfismo, g es un epimorfismo.

Demostración: Sean f:  ’ y g: ’  ’’ homomorfismos de grupos tales que gof es un epimorfismo de en ’’. Si y  ’’, por hipótesis, existe x  / (gof)(x) = y es decir, y = g[f(x)]. Como f es función, existe z  ’ tal que z = f(x), con lo cual resulta que: dado y  ’’, existe z  ’tal que y = g[f(x)] = g(z). Luego, g es un homomorfismo sobreyectivo es decir, un epimorfismo.

3.2.11. El conjunto de automorfismos de (Auto( )) con la composición de funciones, tiene estructura de grupo.

24

Entonces, será suficiente demostrar que Auto( ) es un subgrupo de A( ), para probar la tesis.

Sean x, y  , luego: i (x + y) = x + y = i (x) + i (y) es decir, i es un endomorfismo biyectivo de , con lo cual i  Auto( ).

Sean f, g  Auto( ). Probemos que g-1  Auto( ). Como g es función biyectiva, su inversa también lo es.

Sean x, y  , entonces, como g-1es función, existen x’, y’  tales que g-1(x) = x’  g-1(y) = y’. Por definición de relación inversa, se tiene entonces que g(x’) = x  g(y’) = y. Entonces:

g-1(x + y) = g-1[g(x’) + g(y’)] =35g-1[g(x’ + y’)] =36 (g-1og)(x’ + y’) =i (x’ + y’) = x’ + y’ = = g-1(x) + g-1(y). Hemos probado que si g  Auto( ), g-1  Auto( ).

Entonces, por cierre de la composición en A( ) y propiedad 3.2.8., resulta que g-1of  Auto( ).

Luego, por el lema 2.3.3.1., resulta que Auto( ) es subgrupo de A( ) es decir, que (Auto( ), o) tiene estructura de grupo.

3.2.12. Si es abeliano y f es un epimorfismo de en ’, ’ también es abeliano.

Demostración: Sean x’, y’  ’. Entonces, como f es sobreyectiva, existen x, y  tales que x’ = f(x)  y’ = f(y) y, por hipótesis, x + y = = y + x. Luego: x’.y’ = f(x).f(y) = f(x + y) = f(y + x) = f(y).f(x) = y’.x’

3.2.13. Si ’ es abeliano y f es un monomorfismo de en ’, también es abeliano.

Demostración: Sean x, y  , entonces, como f es función, f(x), f(y) ’. Además, por hipótesis, f(x).f(y) = f(y).f(x) lo cual equivale, por ser f homomorfismo a que f(x + y) = f(y + x). Ahora bien, como f es inyectiva, resulta ser x + y = y + x.

3.3. Núcleo de un homomorfismo

3.3.1. Definición: Sean ( , +) y ( ’, .) dos grupos y f:  ’ un homomorfismo de grupos, se llama núcleo de f al siguiente subconjunto de : Nu(f) = {x  / f(x) = 1}, siendo 1 el neutro del producto en ’.

3.3.2. Lema: Sean ( , +) y ( ’, .) dos grupos y f:  ’ un homomorfismo de grupos, entonces:

a) Nu(f) es subgrupo de . b) {0}  Nu(f).

c) Nu(f) = {0}  f es un monomorfismo.

35 _{Por definición de homomorfismo de grupos.} 36

25

Demostración: Sean ( , +) y ( ’, .) dos grupos y f:  ’ un homomorfismo grupos, entonces:

a) Por propiedad 3.2.1., f(0) = 1 es decir, 0  Nu(f). Si x, y  Nu(f), f(x) = f(y) = 1, de donde:

f(x - y) =37 f(x) . f(-y) =38f(x). [f(y)]-1 =391.1-1 =401.1 = 1.

Luego, por definición de núcleo, x – y  Nu(f). Por lema 2.3.3.1., Nu(f) es subgrupo de .

b) Nótese que por la propiedad 3.2.1., 0  Nu(f) lo que equivale a que {0}  Nu(f).

c) Supongamos que Nu(f) = {0} y sean x, y  tales que f(x) = f(y).

Luego: f(x – y) =37

f(x).f(-y) =38 f(x).[f(y)]-1=f(y).[f(y)]-1 = 1 es decir, que x – y  Nu(f) por lo cual x – y = 0, de donde resulta x = y. Así pues, f es un homomorfismo inyectivo, o sea un monomorfismo.

En cambio, si f es monomorfismo y x  Nu(f), por definición de núcleo, f(x) = 1 = f(0); pero como se está suponiendo que f es inyectiva, resulta x = 0 es decir, x  {0} con lo cual Nu(f)  {0}. Como además, por b, {0}  Nu(f), resulta que Nu(f) = {0}.

3.4. Ejemplos

3.4.1. Sea ( , +) un grupo. La función nula 0:  / 0(x) = 0 es un endomorfismo de . En efecto, si x, y  : 0(x + y) = 0 = 0 + 0 = 0(x) + 0(y). Vemos que Nu(0) = .

3.4.2. Sea ( , +) un grupo. En 3.2.11 se demostró que la función identidad i :  / i (x) = x es un automorfismo de .

3.4.3. Sean , +, .) un dominio entero, k  – {0} y la relación siguiente f:  / f(x)= k.x.

Es evidente que f es función, por cierre y unicidad del producto en .

Por definición de dominio de integridad, ( , +) es grupo abeliano. Veamos que f es homomorfismo de grupos:

Si a, b  , f(a + b) = k.(a + b) = k.a + kb = f(a) + f(b).

37

Por definición de homomorfismo de grupos-

38 _{Por propiedad 3.2.2.} 39 _{y  Nu(f).}

40

26

Además, vemos que si x  Nu(f), f(x) = 0 es decir, k.x = 0. Entonces, por definición de dominio de integridad y por ser k  0, resulta x = 0. Luego Nu(f) = {0} y, en consecuencia, f es un monomorfismo.

·En general, f no es sobreyectiva, pues si f: / f(x) = 4x, como 4 1, x  : f(x)  1.

En cambio, si es cuerpo, f es un epimorfismo: Si k  – {0}, k-1_{ – {0}, de donde, dado y }

, por cierre del producto en , x = y.k-1 y además, f(x) = kx = k(k-1y) = (k.k-1)y = 1.y = y.

Es decir, si es cuerpo, f es un isomorfismo de grupos. 3.4.4. Sean ( , +, .) un cuerpo, y la función

Nótese que si ki = 0, i  In, f es la función nula que ya vimos

en 3.4.1. que es homomorfismo. Por lo tanto, a continuación, supondremos que existe j  In / kj  0. Vemos que si , resulta:

En general, esta función no es inyectiva. Por ejemplo, si tenemos , Nu(f) = {(x, y)  / x = y}  {(0,0)}. Veamos que sí es sobreyectiva. Como kj  - {0}, ; entonces, dado ,

por cierre del producto en , xj = y . Además:

3.4.5. Si se considera , con las definiciones usuales de suma y producto de números complejos en pares ordenados: (x, y)+(z, w) = (x+ z, y +w); (x, y).(z, w) = (xz – yw, xw + yz) y la función f: / f(x) = (x, 0), probemos que f es un homomorfismo de grupos. En efecto, si x, y , se tiene que:

f(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = f(x) + f(y).

Además, si f(x) = f(y), entonces, (x, 0) = (y, 0). Luego, por definición de igualdad de pares ordenados, x = y.

Así pues, f es un monomorfismo con lo cual f( ) y son grupos isomorfos (Nótese que f( ) = {(x, y)  / y = 0} = {z  / Im(z) = 0})

3.4.6. Sean ( , +, .) un cuerpo, . Definimos: f: nxm nm / f(aij) = (a11, …, a1m, …, an1, …, anm).

27

f((aij)+ (bij)) = f((aij + bij)) = (a11+b11, …, a1m+b1m, …, an1+bn1, …, anm+bnm) =

= (a11, …, a1m, …, an1, …, anm) + (b11, …, b1m, …, bn1, …, bnm).= f(aij)+ f(bij)

(por definición de suma de matrices, calculando la imagen de (aij+bij) por f, por

definición de suma en nm y calculando las imágenes de ambas matrices.

4. HOMOMORFISMOS DE ANILLOS 4.1. Definición

Sean ( , +, .) y ( ’, , x) dos anillos y f:  ’ una función. Entonces f es un homomorfismo del anillo en el anillo ’ si, y sólo si, se cumplen:

a) a, b  : f(a + b) = f(a)  f(b) b) a, b  : f(a.b) = f(a) x f(b)

4.2. Propiedades

Sean ( , +, .) y ( ’, , x) dos anillos y f:  ’ un homomorfismo de anillos.

4.2.1. Observación: Como todo homomorfismo de anillos es un homomorfismo de grupos, valen todas las definiciones y propiedades dadas en 3.

4.2.2. f( ) es un subanillo de ’.

En 3.2.3. del capítulo II se demostró que f( ) es subgrupo de ( ’, ). Además, como ( , +) es abeliano y restringiendo el rango de f a f( ), resulta sobreyectiva, entonces, por 3.2.12., (f( ), +) es un grupo abeliano. Por lo tanto, es suficiente probar el cierre del producto en f( ), para obtener la tesis.

Sean y, z  f( ); luego existen a, a’ tales que y = f(a), z = f(a’), por definición de conjunto imagen. De donde y x z = f(a) x f(a’) = f(a.a’) (por ser f homomorfismo de anillos). Como el producto es cerrado en , a.a’  , de donde resulta que yxz  f( ).

Luego, por 3.4.2. del capítulo I, f( ) es subanillo de ’.

4.2.3. Si ( , +, .) es un anillo con elemento unitario, y f es un epimorfismo de en ’, entonces, ’ también es anillo con elemento unitario.

En efecto, si tiene elemento unitario, como f es función, existe 1’  ’ / 1’ = f(1).

28

Por tanto: yx1’= f(a)xf(1) = f(a.1) = f(a) = y 1’xy = f(1). f(a) = =f(1.a) = f(a) = y. Es decir, 1’ es el elemento unitario de ’.

Nótese que se ha probado además que f transforma el elemento unitario del dominio en el elemento unitario del rango.

4.2.4. Si y ’ tienen elemento unitario y u es una unidad de , f(u) es una unidad de ’.

Si u es una unidad de , existe u-1  / u.u-1 = u-1.u = 1. Entonces, f(u).f(u-1) = f(u.u-1) = f(1) = 1’  f(u-1).f(u) = f(u-1.u) = f(1) = 1’. Así pues, f(u) es una unidad de ’.

4.2.5. Sea ( , +, .) un cuerpo, y g un isomorfismo de en , entonces, ( , +, .) es cuerpo.

Como g es un epimorfismo, = g( ) es anillo (por 4.2.2.) con elemento unitario (por 4.2.3.).

Además, dado y  - {0}, como g es inyectiva, g(0)  y, con lo cual, por ser f sobreyectiva, y es la imagen de algún x  - {0}. Entonces, x  0 es decir, x es una unidad de , de donde se sigue (por 4.2.4.) que y = g(x) es una unidad de . Nótese que hemos probado que ( - {0}, .) tiene estructura de grupo.

Restringiendo g de modo que su dominio sea - {0} y su rango - {0}, g resulta un monomorfismo del grupo abeliano ( - {0}, .) en el grupo ( - {0}, .) de donde, por propiedad 3.2.12., ( - {0}, .) es abeliano.

Por último, como por hipótesis, ( , +, .) es anillo, se cumplen las propiedades asociativa y distributivas del producto con respecto a la suma, con lo cual queda demostrado que ( , +, .) tiene estructura de cuerpo.

4.3. Ejemplos

4.3.1. Sea ( , +, .) un anillo, como ( , +) es grupo abeliano, ya vimos en 3.4.1. del capítulo II que la función nula es un endomorfismo de grupos en . También es un homomorfismo de anillos pues, si x, y  , 0(x.y) = 0 = 0.0 = =0(x).0(y).

4.3.2. De la misma manera, vimos en 3.4.2. que i es un automorfismo de grupos. Además, si x, y  , i (xy) = xy = i (x) i (y).

29

4.3.4. En 3.4.4. del capítulo II demostramos que la función f: / f(x) = (x, 0) es un monomorfismo de grupos. Sean x, y , entonces: f(xy) =(xy,0)= = (xy – 0, 0+0) = (xy – 0.0, x.0 + 0.y) = (x,0).(y,0) = f(x).f(y). Así pues, podemos afirmar que entre y f( ) existe un isomorfismo de anillos y, como es cuerpo, f( también lo es (por 4.2.5) ; como f(  , f( es un subcuerpo de . Por eso, es usual decir que contiene un subcuerpo que “es una copia” de y que, con esta definición de números complejos, no es correcto afirmar que  .

5. TRANSFORMACIONES LINEALES (HOMOMORFISMOS DE ESPACIOS VECTORIALES)

5.1. Definición

Sean un cuerpo, y ’ dos - espacios vectoriales y f una función de en ’. Diremos que f es una transformación lineal de en ’ o un

homomorfimo del espacio vectorial en el espacio vectorial ’ si, y sólo si, se cumplen: a) v, u  en ’: f(u + v) = f(u) + f(v)

b) k  , v : f(k.v) = k.f(v)

5.1.1. Observaciones:

5.1.1.1. Nótese que en la definición se ha cometido un abuso de notación: si bien en ambos miembros se utilizan los mismos símbolos, en el primer miembro + y . denotan a las operaciones (interna y externa, respectivamente) que le proporcionan a estructura de espacio vectorial, mientras que en el segundo miembro, hacen referencias a las operaciones de ’.

5.1.1.2. Observemos que, como ( , +) y ( ’, +) son grupos abelianos, toda transformación lineal es, a su vez, un homomorfismo de grupos (condición a) y, en consecuencia, será válido pensar en el núcleo de una transformación lineal f de en ’, como el núcleo del homomorfismo de grupos f de en ’.

5.1.1.3. Puede demostrarse por inducción que si n  , v1, …, vn  ,

1, …, n  , .

5.1.1.4. Como consecuencia de 5.1.1.3. es evidente que para definir una transformación lineal es suficiente conocer f(B), siendo B una base del dominio de f. En efecto, si x  y B = {v1, …, vn} es una base de , ,

para algunos x1, …, xn  . Entonces, .

5.2. Ejemplos

30

0(u + v) = 0’ = 0’ + 0’ = 0(u) + 0(v)  0(k.v) = 0’ = k.0’ = k.0(v)

5.2.2. Sea un - espacio vectorial. La función identidad i es un automorfismo de . En efecto, si u, v  : i (u + v) = u + v = i (u) + i (v). Además, si k  , i (kv) = kv = k.i (v) Como sabemos que i es función biyectiva, se cumple lo afirmado anteriormente.

5.2.3. En el ítem 4.4.2. del capítulo I se demostró que es un espacio vectorial y en 3.4.4. del capítulo II que la siguiente función es un epimorfismo de grupos:

Veamos que es una transformación lineal:

41 42

43

44

45

5.3. El espacio vectorial de las transformaciones lineales

Sean un cuerpo, y ’ dos - espacios vectoriales. Es evidente que Hom( , ’) = {f:  ’/ f es una transformación lineal} es un subconjunto del espacio vectorial . Veamos que Hom( , ’)  S( ) es decir, que es un - espacio vectorial.

Ya vimos que la función nula 0 es una transformación lineal, con lo cual, 0  Hom( , ’).

Sean f, g  Hom( , ’), entonces, si u, v  , tenemos que, por definición de suma en , (f + g)(u + v) = f(u + v) + g(u + v).

41 _{Por definición de producto externo.} 42

Por la forma en que fue definida f.

43

Por propiedad asociativa del producto en .

44 _{Por propiedad conmutativa del producto en .} 45

31

Ahora bien, como f y g son transformaciones lineales, se tiene que (f + g)(u + v) = f(u) + f(v) + g(u) + g(v). De donde, por propiedad conmutativa de la suma en ’ y definición de suma en , resulta:

(f + g)(u + v) = f(u) + g(u) + f(v) + g(v) = (f + g)(u) + (f + g)(v). De igual manera, si k  :

(f + g)(kv) 46 f(kv) + g(kv) 47 kf(v) + kg(v) 48 k[f(v) + g(v)] =46 k(f + g)(v) Es decir, que f + g es una transformación lineal de en ’. Se tiene también que:

(kf)(u + v) =47 k. f(u + v) =49 k[f(u) + f(v)] =48 kf(u) + kf(v) =47 (kf)(u) + (kf)(v) Además, si h  :

(kf)(hu) =47 k.f(hu) =49 k.[h.f(u)] =50 (kh).f(u) =51 (hk).f(u) =50 h[k.f(u)] =47 h.(kf)(u) Es decir, que cualquiera sea si k  , kf es una transformación lineal de en ’.

Entonces, por el lema de caracterización de subespacios, hemos demostrado que Hom( , ’) es un subespacio de es decir, un - espacio vectorial.

46

Por definición de suma de funciones.

47 _{Por definición del producto de un escalar por una función.} 48

Por axioma 4.1.5. en

49

Por definición de transformación lineal.

50 _{Por axioma 4.1.3. en} 51

32

CAPITULO III: TRANSFORMACIONES LINEALES

1. Propiedades

Sean un cuerpo, , ’ y ’’ - espacios vectoriales, f:  ’ y g: ’  ’’ transformaciones lineales, entonces:

1.1. f(0) = 0 (la imagen del vector nulo de es el vector nulo de ’). Demostrado en 5.4.1. del capítulo II.

1.2. x : f(-x) = -f(x) (la imagen del opuesto de un elemento x de es el opuesto de la imagen de x en ’). Demostrado en 5.4.2. del capítulo II.

1.3. Si S  S( ), f(S)  S( ’).

Demostración: Si S  S( ), S es subgrupo de ( , +), entonces, como se demostró en 5.4.3, f(S) es un subgrupo de ( ’, +).

Sean k  , y  f(S); entonces, existe x  S tal que y = f(x). De donde k.y = k.f(x) = f(k.x) (por ser f transformación lineal). Como S es subespacio de , k.x  S, de donde k,y  f(S).

Entonces por lema 4.3.3., f(S) es subespacio de ’.

1.4. Si S’  S( ’), f-1(S’)  S( ).

Demostración: Si S’  S( ’), S’ es subgrupo de ( , +), entonces, como se demostró en 5.4.4., f-1(S’) es un subgrupo de ( , +).

Sean k  y x  f-1(S’). Entonces, f(x),  S’ y, por ser S’ subespacio de ’, kf(x)  S’. Luego, por ser f transformación lineal se tiene que f(kx)  S’. Entonces, por definición de preimagen de un elemento del rango, se tiene que kx f-1_(S’).

Por lema 4.3.3.,f-1(S’)  S( ).

1.5. gof es transformación lineal de en ’’.

Demostración: En 5.4.5. se demostró que gof es un homomorfismo de grupos. Veamos que si k  y x  , (gof)(kx) = k(gof)(x). En efecto: (gof)(kx) = g[f(kx)] = g[k.f(x)] = k.g[f(x)] = k(gof)(x). (Por definición de composición de funciones, por ser f transformación lineal de en ’, por ser g transformación lineal de ’ en ’’ y, nuevamente, por definición de composición de funciones).

1.6. Si f y g son monomorfismos, gof es un monomorfismo. Demostrado en 5.4.6 del capítulo II.

1.7. Si f y g son epimorfismos, gof es un epimorfismo. Demostrado en 5.4.7. del capítulo II.

1.8. Si f y g son isomorfismos, gof es un isomorfismo. Demostrado en 5.4.8. del capítulo II.

33 1.10. Si gof es un epimorfismo, g es un epimorfismo. Demostrado en 5.4.10. del capítulo II.

1.11. Si dim( ) = n, B = {v1,…, vn} es una base de y w1,…, wn  ’

son vectores arbitrarios, entonces, existe una única transformación lineal h de en ’ tal que i In: h(vi) = wi.

Demostración: Sea B = {v1,…, vn} una base de y w1,…, wn  ’ n

vectores fijos cualesquiera.

Definiremos una función h de en ’ tal que i In: h(vi) = wi. Para

ello consideraremos que, como B es base de , dado x  , existen y son únicos 1, …, n  tales que x = . Entonces, sea h:  ’ / h(x) = .

Es evidente que h(x)  ’ por ser ’ espacio vectorial. La unicidad de la imagen es consecuencia de la unicidad de 1, …, n. Es decir, h es función.

Sean x, y  / x = , y = , siendo i In: i, i  .

Luego: 52 53 54 55

Además, si k  , se tiene que:

56 57

58 59

Entonces h es transformación lineal de en ’.

Supongamos que existe una transformación lineal h’ de en ’ tal que i In: h’(vi) = wi. Entonces:

52 _{Por leyes conmutativa, asociativa de la suma y axioma 4.1.4 en .} 53

Por la forma en que se definió h.

54

Por axioma 4.1.4 en ’.

55 _{Por leyes conmutativa, asociativa de la suma y axioma 4.1.4 en ’.} 56

Por axioma 4.1.5 en .

57

Por axioma 4.1.3 en .

58 _{Por axioma 4.1.3 en .} 59

34

60

61

Como h = h’, queda probada la unicidad.

1.12. Si dim( ) = n y M = {v1,…, vr}  tal que = , entonces,

= f( ).

Demostración: Sea M = {v1,…, vr}  tal que = . Entonces, el

conjunto imagen de M, f(M) = {f(v1), …, f(vr)}. Si v  , existen 1, …, r 

tales que . Entonces:

, por ser f

transformación lineal y  . Entonces  f( ).

Si y  f( ), existe x  tal que y = f(x). Como M es un sistema de generadores de , existen 1, …, r  tales que . Entonces, se

tiene que y = f( ) = )  , por ser f una transformación lineal y por ser y una combinación lineal de elementos de f(M). Luego, f( )  .

1.12.1. Corolario 1: Si dim( ) = n, f es un epimorfismo y M es un sistema de generadores de tal que = , entonces, = ’.

Demostración: Sea M un sistema de generadores de y f es epimorfismo, entonces, por 1.12., = f( ). Como f es sobreyectiva, f( ) = ’, con lo cual se tiene que = ’.

1.12.2. Corolario 2: Si es de dimensión finita, f( ) es de dimensión finita y dim(f( ))  dim ( ).

Demostración: Si B = {v1,…, vn} es una base de , B es un

sistema de generadores de y por 1.12., se tiene que f( ) = .

Como c[f(B)] = n, si f(B) es linealmente independiente, f(B) es una base de f( ), con lo cual dim(f( )) = n = dim ( ).

Si f(B) es linealmente dependiente, existe j  In tal que vj ≠ 0

(porque vj  B que es linealmente independiente) y f(vj) es combinación lineal de

los f(vi) restantes es decir, existen 1, …, j-1, j+1, …, n  no todos nulos, tales

que f(vj) = . Consideremos entonces B1 = f(B) – {f(vj)}.

Veamos que B1 genera a f( ). Si y  f( ) , existen escalares 1, …, n  tales

que y =

+

60 _{Por definición de transformación lineal.} 61

35

+ porque, por cierre de la suma en y es una combinación lineal de elementos de B1. Entonces, f( )  .

Como B1  f(B)  f( ),  f( ), de donde se tiene la igualdad.

Entonces, si B1 es linealmente independiente, B1 es base de f( ) y

como c(B1) = n – 1, dim(f( )) = n – 1< n = dim ( ). En caso contrario, se repite el

procedimiento k veces de modo que el conjunto Bk obtenido sea base de f( ), con

lo cual dim(f( )) = n – k < n = dim( ).

1.13. Si dim( ) = n, M = {v1,…, vr}  tal que M es linealmente

independiente y f es un monomorfismo, f(M) es linealmente independiente.

Demostración: Sean f un monomorfismo y M = {v1,…, vr}  un

conjunto linealmente independiente, entonces, f(M) = {f(v1),…, f(vr)}.

Sean 1, …, r  / = 0. Entonces, por propiedad 1.1.

de este capítulo, f(0) = 0 = = , por ser f una transformación lineal. Entonces, como f es inyectiva, debe ser = 0 y, por ser M linealmente independiente, resulta i = 0, i In es decir, f(M) es linealmente

independiente.

1.14. Si dim( ) = n, B es una base de y f es un isomorfismo, f(B) es base de ’.

Demostración: Sean f isomorfismo y B = {v1,…, vn} una base de .

Entonces, como B es un sistema de generadores de y f es epimorfismo, por el corolario 1 en 1.12.1., ’ = . Asimismo, como B es linealmente independiente y f es monomorfismo, por 1.13, f(B) es linealmente independiente. Así pues, f(B) es una base de ’.

1.15. Si dim( ) = n, existe un isomorfismo de en n.

Demostración: Sean B = {v1,…, vn} una base de y v  ,

entonces, existen y son únicos, 1, …, n  / v = .

Definimos :  n _{/ (v) = (}

1, …, n). Es trivial que  es función

por la unicidad de los escalares. Veamos que es un isomorfismo:

Sean w  / w = , para algunos 1, …, n  y k  .

Luego: (v + w) = ( ) = (1 + 1, …, n+ n) =

= (1, …, n) +(1, …, n) = (v) + (w).

(Sumando en , calculando la imagen de v + w por , por definición de suma en

n

y calculando las imágenes de v y w, respectivamente).

(kv) = ( ) = (k1, …, kn) = k(1, …, n) = k(v)