productos de vectores problemas soluciones

1. Dado el vector

(

2, 1, −2

)

hallar otro en su misma dirección y que sea unitario. Calcular también otro vector de módulo 5, de igual dirección que ur y sentido opuesto.

Solución.

En la primera parte del problema, se pide calcular el vector unitario de ur

( )

ur_n .

(

)

( )

(

) ( )

( )

     

   

 − − = −

   



 −

= + = ±

− = − + + ±

− =

± =

opuesto sentido y dirección Igual

3 2 , 3

1 , 3

2 ' u :

sentido y dirección Igual

3

2 , 3 1 , 3 2 u : 3

2 , 1 , 2 2 1 2

2 , 1 , 2 u

u u

n n

2 2 2 n

r r

r r r

En la segunda se pide calcular un vector vr que cumpla:

   



− −

=    

 − − ⋅ = =

3 10 , 3

5 , 3 10 3

2 , 3

1 , 3

2 5 ' u 5 v r_n

r

2. Calcula el ángulo que forma el vector

(

3, 0, 1

)

con los vectores representativos de la base ortonormal.

Solución.

Teniendo en cuenta que las componentes del vector normalizado son los cosenos directores del vector, y que los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados, el problema se reduce a calcular el vector normalizado.

3 2 3 2 2 2 1

3 2

2 3 2 2 2 1

2 1

2 3 2 2 2 1

1

N u

a a a

a u

a a a

a u

a a a

a

a r r r

r

+ + + +

+ + + + =

(

)

( )

(

)

_

 

   = =

+ + =

=

2 1 , 2 0 , 2

3 4

1 , 0 , 3 1 0 3

1 , 0 , 3 a

a a

2 2 2

N r

r r

      

= γ ⇒ = γ

= β ⇒ = β

= α ⇒ = α

º 60 2

1 cos

º 90 0

cos

º 30 2

3 cos

3. Razonar porque‚ si uv, vr y wr son tres vectores del espacio que no están en un mismo plano, el vector

(

ur×vr

) (

× wr×ur

)

tiene la misma dirección que el ur.

(

Representamos por × el producto vectorial

)

. Solución.

Por definición, el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ambos. •

(

ur×vr

) (

× wr×ur

)

⊥ur×vr

•

(

ur×vr

) (

× wr×ur

)

⊥wr×ur • ur×vr⊥ur

• wr×ur⊥ur

4. Comprobar las siguientes desigualdades:

i) ar· br ≤ ar·br (Schwarz) ii) ar+br ≤ ar+br (Minkowsky) Solución.

i) ar_obr= ar⋅br⋅cosα. Por definición de producto escalar

b a cos b a cos b a b

a_or r r r r r r

r _{= ⋅ ⋅ α = ⋅ ⋅ α ≤ ⋅}

Simplificando los módulos.

1 cosα ≤

Desigualdad que se cumple para cualquier valor de α, ya que cos α ∈

[

−1, 1

]

. ii) ar+br ≤ar+br. Por definición de módulo de un vector ar = ar_oar .

( ) ( )

ar+br oar+br ≤ aroar+ rbobr

Para quitar las raíces se elevan los dos miembros al cuadrado

( ) ( )

2 2

b b a a b

a b

a _ ≤_ + _ 



 _{+ +} r r_or

o r r

r o r r

( ) ( )

(

)

₂ 2

b b b b a a 2 a a b a b

ar+r _o r+r ≤ r_or + r_or⋅ r_or+_ r_or_

Operando el producto escalar del miembro de la izquierda y simplificando los cuadrados del miembro de la derecha.

b b b b a a 2 a a b b b a 2 a

ar_or+ ⋅r_or+r_or≤r_or+ r_or⋅ r_or+r_or Simplificando los productos escalares posibles y el 2:

b b a a b

ar_or≤ r_or⋅ r_or Aplicando al 2º miembro la definición de módulo

b a b aor r r

r _{≤ ⋅}

Aplicando al primer miembro la definición de producto escalar. b a cos b

a r r r

r_{⋅ ⋅ α≤ ⋅}

Simplificando los módulos:

5. Siendo (x,1,z) ortogonal a (1, −1, 0) y (0, 1, 2). Hallar “x” y “z”. Solución.

Ortogonal ≡ Perpendicular. Si dos vectores son perpendiculares su producto escalar es nulo.

(

x,1,z

) (

_o1,−1,0

)

=0 x⋅1+1⋅

( )

−1 +z⋅0=0 x−1=0 x = 1

(

x,1,z

) (

_o 0,1,2

)

=0 x⋅0+1⋅1+z⋅2=0 1+2z=0 2 1 z=−

6. Dado ur=3 y ur_ovr=10, hallar ru_owr , siendo wr =3 ur−2 vr ( los tres vectores pertenecen a V3 _). Solución.

(

3u 2v

)

u 3u u 2v 3

(

u u

)

2

(

u v

)

u w

ur_or =r_o r− r =r_o r−r_o r= ⋅ r_or − ⋅ r_or

Teniendo en cuenta:

2

u 0 cos u u u

ur_or= r⋅r⋅ = r

(

u v

)

3 3 2 10 7 2

u 3 w

uror = ⋅r2− ⋅ ror = ⋅ 2− ⋅ = 7. Área del triángulo de A(3, 2, 4), B(4, 4, 5), C(6, 3, 3).

Solución.

Si A B y C son puntos no alineados del espacio, determinan un triángulo cuya área puede calcularse como aplicación del módulo del producto vectorial.

(

)

AB AC

2 1 C , B , A

S = ⋅ ×

(

) (

)

(

) (

)

_

 

  

− − − = − =

×     − = − − − = − =

= − − − = − =

1 3

2 1 , 1 3

1 1 , 1 1

1 2 1 1 3

1 2 1

k j i AC AB : 1 , 1 , 3 4 3 , 2 3 , 3 6 a c AC

1 , 2 , 1 4 5 , 2 4 , 3 4 a b AB

r r r

r r

r r

(

3 ,4 , 5

)

AC

AB× = − −

(

)

( )

2 2

( )

2 _u2

2 2 5 50 2 1 5 4 3 2 1 AC AB 2 1 C , B , A

S = ⋅ × = ⋅ − + + − = =

8. Área del triángulo ABC siendo AB =(1, 3, 4), AC =(2, 1, 1). Solución.

Si A B y C son puntos no alineados del espacio, determinan un triángulo cuya área puede calcularse como aplicación del módulo del producto vectorial.

(

)

AB AC

2 1 C , B , A

S = ⋅ ×

(

)

(

)

2 1

(

1 ,7 , 5

)

3 1 , 1 2

4 1 , 1 1

4 3 1 1 2

4 3 1

k j i AC AB : 1 , 1 , 2 AC

4 , 3 , 1

AB _{= − −}

    

  

− =

= ×     = =

9. Volumen del paralelepípedo de aristas ar= (1, 3, −2), br= (4, −1, 2) y cr= (3, −1, 2). Solución.

Si tres vectores espaciales son linealmente independientes, determinan un paralelepípedo. h

) base ( S

V= ⋅

α ⋅ = ⇒ =

α h a cos a

h

cos _r r

( )

b c a cos a c b

V= r×r⋅r⋅ α=ro r×r

(

) (

) (

)

_{4 4u}3

2 1 3 2 1 4 2 3 1 2 , 1 , 3 2 , 1 , 4 2 , 3 , 1

V = − =

− − − = − × − − = _o

10. Hallar el perímetro del triángulo de vértices A(2,0,1), B(2,0,2), C(3,1,0). Solución.

El perímetro del triángulo es la suma de las longitudes de los lados, que se calculan como los módulos de los segmentos que forman los lados.

(

A B

) (

dB C

) (

dC A

)

AB BC CA d

P= − + − + − = + +

(

) (

)

(

) (

)

( )

(

2 3 ,0 1 ,1 0

) (

1 , 1 ,1

)

AB

( ) ( )

1 1 1 6 c a CA 6 2 1 1 AB 2 , 1 , 1 2 0 , 0 1 , 2 3 b c BC 1 1 1 0 0 AB 1 , 0 , 0 1 2 , 0 0 , 2 2 a b AB 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − + − = ⇒ − − = − − − = − = = − + + = ⇒ − = − − − = − = = = + + = ⇒ = − − − = − = r r r r r r u 6 2 1 6 6 1 CA BC AB

P= + + = + + = +

11. Área del triángulo ABC siendo B(3,2,5), C(1,6,4) y su baricentro G(1,3,4). Solución.

Para calcular el área del triángulo necesitamos conocer las coordenadas de sus vértices. Las coordenadas del vértice A se calculan a partir de las coordenadas del los otros dos vértices y las del baricentro

(

punto de corte de las medianas

)

.

Para el triángulo de vértices ABC, el baricentro es:

(

)

_      + + + + + + = = 3 c b a , 3 c b a , 3 c b a z , y , x

G _{G G G} 1 1 1 2 2 2 3 3 3

Identificando por componentes:

(

)

(

)

(

)

     = = − = ⇒      = − − ⋅ = − − = = − − ⋅ = − − = − = − − ⋅ = − − = ⇒         + + = + + = + + = 4 , 6 , 1 C 5 , 2 , 3 B 3 , 1 , 1 A 3 4 5 4 3 c b z 3 a 1 6 2 3 3 c b y 3 a 1 1 3 1 3 c b x 3 a 3 c b a z 3 c b a y 3 c b a x 3 3 G 3 2 2 G 2 1 1 G 1 3 3 3 G 2 2 2 G 1 1 1 G

(

)

AB AC 2

1 ABC

S = ⋅ ×

( )

(

) (

)

( )

(

) (

)

_      − = = ×     = − − − − = − = = − − − − = − = 5 2 1 4 , 1 2 2 4 , 1 5 2 1 1 5 2 2 1 4 k j i AC AB : 1 , 5 , 2 3 4 , 1 6 , 1 1 a c AC 2 , 1 , 4 3 5 , 1 2 , 1 3 a b AB r r r r r r r

(

9 ,0 ,18

)

AC

AB× = −

(

)

( )

2 2 2 _u2

2 5 9 405 2 1 18 0 9 2 1 AC AB 2 1 C , B , A

S = ⋅ × = ⋅ − + + = =

12. Encontrar los vectores unitarios de R3 _{que son perpendiculares a v}r₌

( )

_{1,0,1 y forman un ángulo}

de 60° con _

      = 2 1 , 2 2 , 2 1 wr Solución.

Se buscan vectores del tipo ur=

(

x,y,z

)

que cumplan las siguientes condiciones:

• ur =1 ⇒ x2+y2+z2 =1 Elevando al cuadrado para quitar la raíz: x2+y2+z2 =12 • ur⊥vr⇒ur_ovr=0

(

x,y,z

) ( )

o1,0,1 =0 : x⋅1+y⋅0+z⋅1=0 : x+z=0

• α=60º

(

α≡ ángulo entre los vectores ury wr

)

.

w u w u º 60

cos _{r r}

r o r

⋅

= . El módulo de ur vale 1, por ser

unitario. 1

2 1 2 2 2 1 w 2 2 2 =       +         +       = r _.

(

)

1 1 2 1 , 2 2 , 2 1 z , y , x 2 1 ⋅         = o

Simplificando la expresión: x+ 2y+z=1

Las condiciones que cumplen los vectores que se piden, permiten plantear un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

      = + + = + = + + 1 z y 2 x 0 z x 1 z y

x2 2 2 2

Sustituyendo la segunda ecuación en la tercera se calcula el valor de y

2 2 2 1 y 1 y 2 : 1 z y 2 x 0 z x = = ⇒ =    = + + = +

Con la primera y segunda ecuación y el valor de y se calculan los valores de x, z.

13. De las siguientes propiedades de la dependencia lineal, decir cuál o cuáles son ciertas, justificando la respuesta:

1. Un conjunto de vectores con dos o más vectores iguales no es linealmente dependiente. 2. En R3_{, si tres vectores son linealmente dependientes, entonces son coplanarios.}

3. Si en un conjunto de vectores está el vector 0, entonces el conjunto es linealmente dependiente. Solución.

1. Falso. Si en un conjunto de vectores V=

{

ur₁,ur₂,...,ur_n

}

los vectores ur_i y ur_j son iguales, entre existe una combinación lineal no trivial

(

al menos un coeficiente de la combinación lineal no es cero

)

que es igual a cero. 0⋅ur₁+0⋅ur₂+...+

( )

−1⋅ur_i+1⋅ur_j+....+0⋅ur_n =0. Por lo tanto los vectores del conjunto son linealmente dependiente

2. Falso. Si entre tres vectores de R3 _{dos son paralelos y el otro es perpendicular, no serian coplanarios} aunque entre ellos existe dependencia.

3. Verdadero. Entre ellos existe una combinación lineal no trivial que da el vector nulo. 0

v 0 .... 0 ... v 0 v

0⋅r₁+ ⋅r₂+ +α⋅r+ + ⋅r_n =

14. ¿Es siempre cierto que

( )

ra−br ×

( )

ra+b =2⋅

( )

ra×rb

(

él “×” representa el producto vectorial

)

? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

Solución.

Verdadero.

( ) ( )

ar−rb×ar+br =ra×ar+ra×br−rb×ra+br×br

Teniendo en cuenta:

• El producto vectorial de dos vectores iguales o proporcionales es nulo

(

ar×ar=br×br=0

)

. • El producto vectorial es anticommutativo

(

ar×br=−br×ar

)

( ) ( )

ar−br ×ar+rb =0+ar×br−

(

−ra×br

)

+0=2⋅

( )

ar×br

( )

ar−br×

( )

ra+b =2⋅

( )

ar×br

15. Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser ciertas, justifíquense; en caso contrario, póngase ejemplos que lo confirmen.

a) El producto mixto de tres vectores cualesquiera no nulos es siempre distinto de cero.

b) Si ar, br y cr son tres vectores del espacio tridimensional R3 _{no nulos que satisfacen la condición}

a

r

_{· b}r

= ar· cr, entonces se verifica que br= cr. Solución.

a) Falso. Si los vectores son linealmente dependientes, el producto mixto es nulo. Ejemplo: ur=

( )

1,1,2 ,

(

2,1,3

)

v=

r _{, w}r ₌

₍

_3,2,5

₎

_.

(

)

0

5 2 3

3 1 2

2 1 1 w v

uro r×r = =

b) Falso. ar=

( )

1,2,1 , br=

( )

1,1,1, cr=

(

0,2,0

)

( ) ( )

( ) (

1,2,1 0,2,0

)

1 0 2 2 1 0 4 :b c c

a

4 1 1 1 2 1 1 1 , 1 , 1 1 , 2 , 1 b

a r r

o r

o

r o

r o r

≠     = ⋅ + ⋅ + ⋅ = =

16. Dados los vectores ar, br y cr tales que ar = 3, rb = 1 y cr = 4 y ar+ br+ cr=0, calcular la siguiente suma de productos escalares: ar· br+ br· cr+ ar· cr

Solución.

La suma de vectores es otro vector.

Si ar+ br+ cr= 0r Si dos vectores son iguales, tienen igual módulo

0 0 c b

a+r+r = r =

r

Por definición de módulo

(

raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por si mismo

)

:

(

a b c

) (

a b c

)

c b

ar+r+r =+ r+r+r o r+r+r

Teniendo en cuenta que el modulo de 0res cero

(

ar+br+rc

) (

oar+rb+rc

)

=0⇒

(

ar+br+rc

) (

oar+rb+rc

)

=0

Desarrollando el producto escalar, se obtiene una expresión de la que se puede despejar los dobles productos pedidos

(

ar+rb+rc

) (

o ra+br+rc

)

=aroar+rbobr+rcocr+2arobr+2arorc+2brorc=0

(

a b a c b c

) (

a a b b c c

)

2r_or+r_or+r_or =−r_or+r_or+r_or

(

a a b b c c

)

2 1 c b c a b

aror+ror+ror=− ror+ror+ror

Teniendo en cuenta que el producto escalar de un vector por si mismo es el módulo del vector elevado al cuadrado

(

vrovr= vr2

)

(

3 1 4

)

13 2

1 c

b a 2 1 c b c a b

a 2 2 2_=− 2₊ 2₊ 2 ₌₋

  



 _{+ +}

− = +

+ror ror r r r r

o r

17. En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según los diagonales de las tres caras que pasan por dicho vértice. Los módulos o magnitudes de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo de la fuerza resultante de aquellas tres.

Solución

Se pide calcular la suma de tres vectores

(

F1 ,F2 ,F3

)

r r r

, de los que se conoce su dirección y su módulo. La dirección nos la dan diciendo que están en las direcciones de las diagonales de un cubo, por lo tanto si construimos un eje de coordenadas sobre el vértice común, y sobre él un cubo de arista 1, los vectores de las diagonales de las caras que forman el vértice tendrán por componentes:

( )

1,1,0

ur₁= ; ur₂ =

( )

0,1,1 ; ur₃=

( )

1,0,1

Para calcular las componentes de los vectores del problema, normalizamos los vectores de dirección y multiplicamos por sus respectivos módulos.

(

)

   

  = + + ⋅ = ⋅

= ,0

2 1 , 2 1 0 1 1

0 , 1 , 1 1 u u F F

2 2 2 1

1 1

1 r

r r r

(

)

 

Conocidas las componentes de cada vector, se hace la suma y se calcula el módulo    

  =    

  +    

  +    

  = + +

2 5 , 2 3 , 2 4 2 3 , 0 , 2 3 2 2 , 2 2 , 0 0 , 2 1 , 2 1 F F Fr₁ r₂ r₃

5 2 50 2

5 2

3 2

4 F

F F

2 2

2 3

2

1 _ = =

     +       +       = + +r r

r

18. Sean, ar, b y c tres vectores linealmente independientes. Indicar cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen 0. En cada uno de estos casos, ha de razonarse la contestación.

(a + c , a−c ,a + b + c ), ( a + c , b , a + b ), ( a−c , b−c , c−a ) Solución

Se define el producto mixto de tres vectores

(

ur,vr,wr

)

como el producto escalar del primero por el producto vectorial de los otros dos, es decir:

[

ur,vr,wr

]

=ur_o

(

vr×wr

)

El producto mixto de tres vectores

(

ur,vr,wr

)

es nulo sí: a) Uno de los vectores es el vector nulo

b) Los vectores son linealmente dependientes.

Si ar,bry cr son tres vectores linealmente independientes, forman una base de R3_{, por lo tanto se} puede expresar las ternas de vectores propuestas en función de ar,bry cr

I

)

Sea ur₁=ar+rc; ur₂ =ar−cr; ur₃ =ar+br+cr vectores que se pueden expresar como: )

1 , 1 , 1 ( u ); 1 , 0 , 1 ( u ); 1 , 0 , 1 (

ur₁= r₂= − r₃=

(

)

3

1 1 1

1 0 1

1 0 1 rg 0 1 1 1

1 0 1

1 0 1 ; 1 1 1

1 0 1

1 0 1 rg u , u , u

rg _{1 2 3} =

  

 

  

 

− ⇒

≠ − 

 

 

  

 

− =

r r r

3 2 1 ,u y u

ur r r son linealmente independientes y su producto mixto es distinto de cero.

II

)

Sea ur₁=ar+rc=(1,0,1); ur₂=br=(0,1,0); ur₃=ar+rb=(1,1,0)

(

)

1 0 rg

(

u ,u ,u

)

3

0 1 1

0 1 0

1 0 1 ; 0 1 1

0 1 0

1 0 1 rg u , u , u

rg _{1 2 3} =− ≠ ⇒ _{1 2 3} =

  

 

  

 

= r r r

r r r

Linealmente independientes luego su producto mixto distinto de cero

III

)

Sea ur₁=ra−rc=(1,0,−1); ru₂=br−cr=(0,1,−1); ur₃=rc−ar=(−1,0,1)

(

)

0

1 0 1

1 1 0

1 0 1 ; 1 0 1

1 1 0

1 0 1 rg u , u , u

rg _{1 2 3} =

− − −

  

 

  

 

− − − =

r r r