Matrices y determinantes Teoría

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(1)

MATRICES

1. DEFINICIONES.

Una Matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Las matrices se nombran con letras mayúsculas A, B, C, .... y sus elementos con minúsculas con dos subíndices aij, que indican respectivamente la fila y la columna en la que se sitúa el elemento.

 

   

 

   

   

mn m

m

n n ij

a a

a

a a

a

a a

a

a A

    

 

2 1

2 22

21

1 12

11 Una matriz de m filas y n columnas se

dice que es una matriz de orden mxn y se representa por Amxn siendo m el nº de filas y n el nº de columnas. Definimos dimensión de una matriz como el número mxn de elementos que tiene; bien claro que, no será igual una matriz mxn que una matriz nxm, aunque tengan igual dimensión

Se dice que dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y todos los términos coinciden (tanto número, como en fila columna).

n m

M

= Conjunto de las matrices de orden mxn

Algunos TIPOS DE MATRICES: Vamos a describir algunos tipos de matrices que aparecen con frecuencia debido a su utilidad, y de los que es conveniente recordar su nombre.

Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1xn.

2 1 0

13 (se le suele llamar también Vector Fila)

Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden mx1.

1 2

2 3

     

 (se le suele llamar también Vector Columna)

Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n. Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada.

     

   

 

     

   

 

 3

3 2 principal Diagonal

3 5 0

1 3 1

0 1 2

3 3

A

Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera columna de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc. De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.

5 2 1

0

2   

(2)

Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At

     

   

 

5 3 1

3 0 2

1 2 1

A

Matriz nula: Es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.

   

  

0 0 0

0 0 0 0

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no

pertenecientes a la diagonal principal son nulos.

     

   

4 0 0

0 5 0

0 0 1

Matriz unidad o identidad: In:Es una matriz diagonal con los elementos de la

diagonal principal iguales a 1.

     

    

1 0 0

0 1 0

0 0 1

3

I

Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están por debajo de la diagonal principal.

     

   

 1 0 0

0 2 0

3 5 4

es una matriz triangular superior

2. OPERACIONES CON MATRICES

A. SUMA Y RESTA DE MATRICES

Condición: Para poder sumar o restar matrices, tienen que tener la misma dimensión.

Si

 

 

n m ij ij n

m ij ij n

m ij n

m

ij b A B a b A B a b

a

A y B     y   

   

  

 

   

 

  

     

  

 

      

 

      

       

 

 3 2 2

4 1 4 2

1 3 ) 2 ( 4 4 1 0 2

0 1 3 1 2 2 ) 1 ( 2 1 2 2 1

0 1 1 1

4 0

1 2 2 3 4 2

3 2 1

Propiedades de la suma de matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)

(3)

B. PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ

Para multiplicar un número por una matriz, multiplicamos todos los elementos de la matriz por ese número:

 

aij m n

 

kaij m n k

A

k·  ·  · 

  

 

  

   

 

 

   

 

 

12 9 0

6 9 3 4

· 3 ) 3 ·( 3 0 · 3

) 2 ·( 3 3 · 3 1 · 3 4

3 0

2 3 1 · 3

Propiedades del producto de una matriz por un escalar

1. k (A + B) = k A + k B (propiedad distributiva respecto suma de vectores) 2. (k + h)A = k A + h A (propiedad distributiva respecto suma de números) 3. k [h A] = (k h) A (propiedad asociativa mixta)

4. 1·A = A (elemento unidad)

C. PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA POR UNA MATRIZ COLUMNA.

El producto de una matriz fila de dimensión 1xn por una columna de dimensión nx1 es un número que se obtiene multiplicando término a término y sumando los resultados.

1·2 3·( 1) ( 2)·0 4·2 2 3 0 8 7

2 0 1 2

· 4 2 3 1 ·

·

· 2 1 1 2 2 ·

1 2

1           

   

 

   

   

       

 

   

 

n n

n

n a b a b a b

b b b

a a

a

 

D. PRODUCTO DE MATRICES.

Condición: Para poder multiplicar dos matrices Amny Bnp debe cumplirse que el número columnas de la matriz A debe coincidir con el número de filas de la matriz B. En este caso el producto de la matriz A·B=C será otra matriz C, de tal manera que el elemento cij será el resultado de multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B. La matriz C tendrá el número de filas de A y el número de columnas de B. Cmxp

(5 8 3 3 9 1) ∙ (

2 0 −1

) = (5.2 + 8.0 + 3. (−1) 3.2 + 9.0 + 1. (−1)) = (

7 5)

En general el producto de matrices no cumple la propiedad conmutativa.

Propiedades del producto de matrices: 1. Asociativa: A⋅(B⋅C) = (A⋅B)⋅C

2. Distributiva respecto a la suma de matrices: A⋅(B + C) = A⋅B + A⋅C ; (B + C)⋅A = B⋅A + C⋅A

3. El producto de matrices no siempre es conmutativo. 4. Elemento neutro: A·I=I·A=A (matriz identidad)

3. DETERMINANTES

(4)

A. DETERMINANTES DE ORDEN DOS

 

11 22 12 21

22 21

12 11

· ·a a a a

a a

a a A A

Det    

Ejemplo: Si 

  

 

  

2 3

1 2

A

 

    

2 1·3 4 3 1

2 3

1 2

     

   

   A A Det

B. DETERMINANTES DE ORDEN TRES

REGLA DE SARRUS PARA DESARROLLO DE LOS DETERMINANTES DE ORDEN 3:

1. Repetimos las dos primeras filas.

2. Positivos son las tres diagonales trazadas desde arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.

3. Negativos son las tres diagonales trazadas desde abajo hacia arriba y de izquierda a derecha:

23 22 21

13 12 11

33 32 31

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

a a a

a a a

Positivos: Negativos:

Ejemplo:

168 0

9 140 24 5 0 0 )· 2 ·( 1 3 · 1 · 3 5 · 7 · 4 3 )· 2 ·( 4 5 · 1 · 1 0 · 7 · 3

3 7 1

5 2 3

0 1 4

3 7 1

5 2 3

0 1 4

3 7 1

5 2 3

           

   

 

 

C. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO

(5)

Ejemplo:

   

 

   

 

   

  

 

0 1

1

2 0

3

3 2

5

2 5

8 9

6 3 6 4 2

9 7

23 0 10 0 4 9

0     

 0 1 -1

2 0 3

3 2 -5

-5. y 2,3 columnas 4,

y 2 1, Filas : 3 orden de menor un

mos Selecciona

Menor complementario: Si en una matriz cuadrada seleccionamos un elemento aij y eliminamos la fila y la columna a la que pertenecen, nos queda una matriz de orden (n-1), el determinante de esa matriz será el menor complementario del elemento aij, que llamaremos αij.

Ejemplo:

     

   

 

1 0 3

1 2 0

3 1 5

A

 

3 3 0 0 3

1 5

1 0 3

1 2 0

3 1 5

23

    

  

 

: será elemento

del ario complement menor

El a

Adjunto: Se llama adjunto del elemento aij al número Aij=(-1)i+j · αij (es decir, al menor complementario con su signo o con su signo cambiado, según sea el valor i+j par o impar)

Ejemplo: El Adjunto del elemento a23 será A23=(-1)2+3 · α23=(-1)·(-3)=3

D. MATRIZ DE ORDEN MAYOR QUE TRES: DESARROLLO POR LOS ELEMENTOS DE UNA FILA O COLUMNA.

El determinante de una matriz se puede calcular eligiendo una fila o columna y desarrollar la matriz por estos elementos, es decir multiplicar cada elemento de la fila o columna por su adjunto y sumar los resultados.

nj nj j

j j j j

j A a A a A a A

a

A1 · 12 · 23 · 3  ·

Siempre intentamos coger la fila o columna con mayor número de ceros (0).

Ejemplo:

2 0 0 2

5 2 3 0

4 1 4 1

3 1 1 3

 

A Desarrollamos por los elementos de la última fila

(tiene más ceros)

48 12 56 ) 2 9 3 12 ·( 1 · 2 ) 20 8 9 12 24 5 )·( 1 ·( 2

2 3 0

1 4 1

1 1 3 · ) 1 ·( 2 ·

0 ·

0 5 2 3

4 1 4

3 1 1 · ) 1 ·( 2 ·

· ·

· 41 42 42 43 43 44 44 1 4 42 43 4 4

41

        

      

   

 

 

 

 

 

a A a A a A a AA A

A

(6)

Ej.:

 

1628

61 40 36

3 6 2

35 23 13 · ) 1 ·( 1 61 40 0 36

11 6

1 5

3 6 0 2

35 23 0 13

ª 3 · 7 ª 4

ª 3

ª 2

ª 3 · 4 ª 1

8 2 7 1

11 6 1 5

3 6 0 2

9 1 4 7

2

3

  

   

   

  

  

E. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: AAt

   

 

  

2 3

1 2

A

Det

 

A

A

4

3

1





2

1

3

2

t

A

 

A

A

4

3

1

Det

2. Si una matriz tiene una fila (o columna) de ceros su determinante es 0.

3. Si se permutan (cambian de lugar), dos filas (o columnas) de una matriz cuadrada su determinante cambia de signo.

 

 

0

1

1

0

1

3

1

2

3

3

0

0

0

0

3

0

3

0

0

3

0

0

0

0

1

3

0

1

0

1

2

3

B

B

A

A

4. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) iguales su determinante es 0.

9

2

30

 

9

30

2

0

1

2

3

5

3

1

1

2

3

A

A

5. Si multiplicamos (o dividimos) todos los elementos de una fila (o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado (o dividido) por ese número.

 

 

1ªFila·

 

-2

0 1 3

0 1 0

2 4 6

6 0 0 6 0

0 0

3 0 0 3 0 0 0

0 1 3

0 1 0

1 2 3

  

 

  

 

         

           

 

  

 

B

B A A

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales su determinante es 0.

6 0 20

 

6 0 20

0 1

2 3

0 1 5

2 4 6

               

   

  

B

B (1º Fila=3ª Fila ·(-2)

(7)

2 0 4

3 5 2

0 3 2

2 0 4

0 3 1

0 3 2

2 0 4

3 0 5 3 2 1

0 3 2

 

   

 

 

8. Si una matriz tiene una fila (columna) que es combinación lineal de las demás su determinante es 0.

1 0 20

 

6 0 25

0 1

2 3

0 1 5

2 5 1

            

 

  

 

  

B

B (1º Fila=3ª Fila

·(-2)+2ª Fila)

9. Si a una fila (o columna) le sumamos una combinación lineal de las demás filas (o columnas) su determinante no varía.

 

 

1ªFila 1ªF 2·2ªF

1 3 2

1 4 3

3 8 8

19 24 24 24 27

16 32

19 0 6 8 9

0 8

1 3 2

1 4 3

1 0 2

  

 

 

  

 

          

         

 

 

  

 

B

B A A

10.Toda matriz A se puede transformar en otra matriz B tal que todos los elementos de una fila son 0 menos 1 (a traves de sumar combinaciones lineales de filas “Gauss”): tal que

A

B

11.El determinante del producto de dos matrices es el producto de los determinantes: A·BA·B

4. MATRIZ INVERSA

Se dice que una matriz cuadrada A de orden n tiene inversa si encontramos otra matriz A-1 tal que

n I A A A

A· 1 1·   A la matriz A-1 se le llama la matriz inversa de A.

Condición para que una matriz cuadrada tenga inversa: determinante distinto de 0.

0

1

A A A

A tieneinversa det( )

Si A tiene inversa 

Adj

 

A

t A

A11· PASOS A SEGUIR:

1. Hallar

A

; si es “0” no tiene inversa, si es distinto de 0 seguimos.

2. Hallar la matriz Adjunta de A. (Sustituir cada aij por su adjunto correspondiente Aij).

(8)

Ejemplos:                                                       31 10 31 3 31 6 31 5 31 14 31 3 31 7 31 1 31 2 10 5 7 3 14 1 6 3 2 ) ( ; 31 18 3 10 1 0 3 1 2 0 3 1 5 1 A A Adj A A                                                 7 2 7 1 7 2 7 3 7 2 7 3 7 2 7 1 7 5 2 3 2 1 2 1 2 3 5 ) ( ; 7 3 2 2 1 1 1 3 2 0 1 0 1 1 B B Adj B B

5. RANGO DE UNA MATRIZ

Llamaremos Rango o Característica de una matriz al máximo orden de los menores no nulos que se puede extraer de una matriz.

0.

son

1

orden

de

menor

0

de

distinto

oden

de

menor

un

)

(

r

r

r

A

Ran

A=              6 5 1 1 2 1 5 3 2

Rango A=2, porque la 3ª fila es la 1ª-2ª

Se puede calcular a partir del estudio de los menores:

Rango= máximo orden de los menores no nulos

El paso a seguir es buscar menores de orden 1 no nulos, de orden dos no nulos, etc... En los menores de rango 2 debe estar el menor de orden 1 distinto de cero, en los de orden 3 el menor de orden 2, etc.

Ej.: Calcular el Rango de las matrices

 

 

                                            2 0 72 48 105 92 84 45 2 ) ( 0 3 5 4 2 1 1 ) ( 0 1 3 ) ( 9 8 7 6 3 5 4 2 1 A Ran A A Ran A Ran A Ran A

 

 

                                                   2 0 5 1 2 4 3 1 -3 -2 -1 y 0 5 1 2 1 3 1 0 2 1 2 ) ( 0 1 3 1 2 1 1 ) ( 0 1 3 ) ( 1 5 1 2 4 1 3 1 3 0 2 1 B Ran A Ran A Ran B Ran B

(9)

 

     

      

     

 

  

 

 

  

 

  

 

1 0

1 ¿ 1

2 ) ( 0

1 1 1

2 1

1 ) ( 0

1

3 ) (

1 0 1 1

2 1

2

2 a a

a A

A Ran A Ran

A Ran a

a a

1 y 1 si 3 A

1 si 2 A

1 si 2 A

  

  

 

a a

Rango

a Rango

a Rango

   

   

 

   

   

 

  

      

 

 

 

 

 

  

 

  

 

 

3 1 0

3 4 -¿ 3 -4a

2 ) ( 0

1 1 4

0 1

1 ) ( 0

1

3 ) ( 1

4 3 0

1 0 1

2 2

a a a

a a

A

A Ran A Ran

A Ran a

a

3 y 1 si 3 A

3 si 2 A

1 si 2 A

 

 

 

a a

Rango

a Rango

a Rango

6. APLICACIONES AL ESTUDIO DE DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES

Definiciones:

Sean

v

1

,

v

2

,

,

v

n

V

. Diremos que v es Combinación Lineal

v

1

,

v

2

,

,

v

n si n

n

v

v

v

v

1

1

2

2

es

1 2 6

 

3·3 1 0

 

4 2 0 1

 

2 9 8 4 3 0 12 0 4

 

15 7 16

·

2               

es combinación lineal de los tres primeros vectores.

Sean

v

1

,

v

2

,

,

v

n

V

. Diremos que son Linealmente Dependientes si alguno de ellos es combinación lineal de las demás:

v

1

m

2

v

2

m

n

v

n

1 2 6

 

; 3 1 0

 

; 2 0 1

 

y 15 7 16

son linealmente dependientes, ya que la última es combinación lineal de las otras tres (4ª=2·1ª-3·2ª+4·3ª)

La Dependencia Lineal tambien se puede definir como:

n n

v

v

v

1 1 2 2

0

y algún λi≠0.

Sean

v

1

,

v

2

,

,

v

n

V

. Diremos que son Linealmente Independientes cuando ninguna de ellas es combinación lineal de las demás (es decir, no son linealmente dependientes)

1 0 0

 

; 0 3 0

 

; 0 0 2

son linealmente independientes. Ejemplos:

(10)

 

 

 

                                              l.d. son y , l.i. son y 2 0 18 0 12 27 0 1 2 ) ( 0 5 1 3 2 1 1 ) ( 0 1 3 ) ( 3 3 4 0 3 1 3 2 1 3 2 1 2 1 v v v v v A Ran A A Ran A Ran A Ran

A

 

v

1

2

4

6

;

v

2

1

2

3

;

v

3

0

1

2

 

 

 

                                               l.d. son y , l.i. son y 2 0 8 6 0 6 0 8 2 ) ( 0 2 1 0 4 2 1 ) ( 0 2 3 ) ( 2 1 0 3 2 1 6 4 2 3 2 1 3 1 v v v v v A Ran A A Ran A Ran A Ran

A

 

7. ECUACIONES MATRICIALES:

El procedimiento general para resolver ecuaciones con matrices es básicamente el mismo que para las ecuaciones normales.

ECUACIONES DEL TIPO A·X=B ECUACIONES DEL TIPO X·A=B Se resuelven despejando X  X=A-1·B Se resuelven despejando X  X=B·A-1

                                                                 0 2 3 4 1 11 2 5 4 13 4 2 1 3 0 1 · 4 3 1 4 5 2 4 2 1 3 0 1 · 8 4 5 3 4 2 1 3 0 1 · 8 4 5 3 1 X X

SISTEMAS DE ECUACIONES: Se resuelven por igualación, sustitución o reducción:

Figure

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References