DETERMINANTES
1. Calcular el valor del determinante
² c ² b ² a
c 5 b 5 a 5
10 10 10
Solución:
² c ² b ² a
c b a ²
c ² b ² a
c 5 b 5 a 5
10 10
10 1 1 1
5 10 fila 2ª la en 5 de común factor Sacando
fila 1ª la en 10 de común factor Sacando
⋅ ⋅ =
=
Determinante tipo Van der Mondem.
( )
=− −
− −
⋅ − ⋅ = − −
− −
=
⋅ − =
⋅ − =
= +
) a c ·( c ) a b ·( b
a c a b 1 1 ac c ab b 0
a c a b 0
1 1
1 F a F F
F a F F 1 1 1
1 1
2 2
2 3 3
1 2 2
² c ² b ² a
c b a
) b c )·( a c )·( a b ( c b
1 1 ) a c )·( a b
( − − ⋅ = − − −
=
sustituyendo en la primera expresión
) b c )·( a c )·( a b ( 5 10 ² c ² b ² a
c 5 b 5 a 5
10 10 10
− − − ⋅ ⋅ =
2. Calcular en función de n el determinante
8 n 7 n 6 n
5 n 4 n 3 n
2 n 1 n n
+ + +
+ + +
+ +
Solución:
0 6 6
3 3 F
F F
F F F
6 3
2 n 1 n n
8 n 7 n 6 n
5 n 4 n 3 n
2 n 1 n n
1 3 3
1 2
2 = =
− =
− = =
+ +
+ + +
+ + +
+ +
por ser F2 proporcional a F3.
3. Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante
abc 3 c ² b ² c ² b
ab ² b 2 c ² b
² a ab abc
− −
−
Solución:
Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes que dice: Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número.
3 . 3 2 . 3 1 . 3
2 . 3 2 . 2 1 . 2
1 . 3 1 . 2 1 . 1
3 . 3 2 . 3 1 . 3
2 . 3 2 . 2 1 . 2
1 . 3 1 . 2 1 . 1
a a a
a a a
a a a k a a
a
a k a k a k
a a
a
⋅ = ⋅ ⋅
⋅
( )
( )
( )
( )
( )
( )
− − =− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= − −
− = ⋅ ⋅ =
=
− −
−
3 1 1
1 2 1
1 1 1 a b bc c ab a : C
b : C
bc : C
a 3 b bc
a b 2 bc
a b bc bc b a bc : F
b : F
a : F
2
3 2 1
3 2 1
abc 3 c ² b ² c ² b
ab ² b 2 c ² b
=2·a2b4c2
4. Sabiendo que
p n m
z y x
c b a
=3, calcular:
b 2 c 2 a 2
n 2 p 2 m 2
y 2 z 2 x 2
Solución:
Teniendo en cuenta las propiedad de los determinantes que dicen:
- Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número.
3 . 3 2 . 3 1 . 3
2 . 3 2 . 2 1 . 2
1 . 3 1 . 2 1 . 1
3 . 3 2 . 3 1 . 3
2 . 3 2 . 2 1 . 2
1 . 3 1 . 2 1 . 1
a a a
a a a
a a a k a a
a
a k a k a k
a a
a
⋅ = ⋅ ⋅
⋅
- Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.
{
}
{
}
3 . 3 1 . 3 2 . 3
1 . 3 1 . 1 1 . 2
2 . 3 1 . 2 2 . 2 2 1 3 . 3 2 . 3 1 . 3
1 . 3 1 . 2 1 . 1
2 . 3 2 . 2 1 . 2 2 1 3 . 3 2 . 3 1 . 3
2 . 3 2 . 2 1 . 2
1 . 3 1 . 2 1 . 1
a a a
a a a
a a a C C a a a
a a a
a a a F F a a a
a a a
a a a
+ = ↔ = −
= ↔ =
{
↔}
=− ⋅ == ⋅
⋅ ⋅ = =
c b a
p n m
z y x 8 C C b c a
n p m
y z x 2 2 2 ) 2 ( : F
) 2 ( : F
) 2 (
b 2 c 2 a 2
n 2 p 2 m 2
y 2 z 2 x 2
3 2
3 2 : 1 F
{
}
{
}
8 3 24p n m
z y x
c b a 8 F F p n m
c b a
z y x 8 F F
2 1 3
2↔ =+ ⋅ = ↔ =− ⋅ =− ⋅ =−
=
5. Calcular el valor del determinante
4 a a a a
a 3 a a a
a a 2 a a
a a a 1 a
+ + + +
Solución:
4 a a a a
a 3 a a a
a a 2 a a
a a a 1 a
+ + + +
=
− =
− =
− =
1 4 4
1 3 3
1 2 2
C C C
C C C
C C C
=
4 0 0 a
0 3 0 a
0 0 2 a
1 1 1 1
a+ − − −
=
{
F4 =F4+4⋅F1}
==
0 4 4 4 a 5
0 3 0 a
0 0 2 a
1 1 1 1 a
− − +
− − − +
desarrollando por los términos de la 4ª columna:
4 4 4 a 5
3 0 a
0 2 a
4 4 4 a 5
3 0 a
0 2 a ) 1 ( 1 0 4 4 4 a 5
0 3 0 a
0 0 2 a
1 1 1 1 a
4 1
− − + = − − + ⋅ − ⋅ − =
− − +
− − − +
+ =
{
}
1 3 2 F F + ⋅ =
=
4 0 4 a 7
3 0 a
0 2 a
− +
4 0 4 a 7
3 0 a
0 2 a
− +
= 2
[
a ( 4) 3 (7a 4)]
2(
25a 12)
50a 24 44 a 7
3 a ) 1 (
2 1 2 =− ⋅ ⋅ − − ⋅ + =− ⋅− − = +
− + ⋅ −
⋅ +
6. Dada la matriz A =
− −
− −
3 1 1
2 0 1
2 1 0
, e I la matriz identidad de orden tres, determinar, si es
posible, un valor de k para el que la matriz (A − k·I)² sea la matriz nula.
Solución:
Sí (A − k·I)²=0 ⇒
(
A−k·I)
2 =0 =0(
A−k·I)
2 =(
A−k·I) (
⋅A−k·I)
=0(
A−k·I) (
⋅ A−k·I)
=0(
A−k·I)
=00 1 0 0
0 1 0
0 0 1 k 3 1 1
2 0 1
2 1 0
=
⋅ −
− −
− −
0 k 3 1 1
2 k 1
2 1 k
= − − − −
− − −
sacando factor común de −1 en las dos primeras filas
( )
=( )
− ⋅[
(
−)
+ + −(
+ + −)
]
= −⋅
− 1 k ·3 k 2 2 2k 2k (3 k
k 3 1 1
2 k 1
2 1 k
12 2 2
( )
−12⋅(
−k3+3k2−3k+1)
=( )
k−13=0=
k = 1
7. Demostrar que el determinante
9 1 5 1
3 1 2 2
8 1 6 2
3 1 9 1
es divisible por 11.
Solución:
Se pide demostrar sin llegar a calcular el valor del determinante, que es múltiplo de 11. Se buscan múltiplos de 11 formados en filas ó en columnas, de derecha a izquierda o viceversa, de arriba abajo o viceversa.
Formados números de arriba abajo, aparecen:
⋅ =
⋅ =
⋅ =
⋅ =
11 349 3839
11 101 1111
11 875 9625
11 111 1221
. Se forman estos números sobre la
línea (fila ó columna) donde se encuentre el digito de unidad, en este caso sobre la 4ª fila
{
= + + +}
= ==
3839 1111 9625 1221
3 1 2 2
8 1 6 2
3 1 9 1 F F · 10 F · 100 F · 1000 F 9 1 5 1
3 1 2 2
8 1 6 2
3 1 9 1
349 101 875 111
3 1 2 2
8 1 6 2
3 1 9 1 11 11 349 11 101 11 875 11 111
3 1
2 2
8 1
6 2
3 1
9 1
⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
lo que demuestra que el determinante es múltiplo de 11
8. Obtener en función de a, b y c el valor del determinante
1 c 1 1 1
1 1 b 1 1
1 1 1 a 1
1 1 1 1
+ + +
Solución:
Se hacen ceros en la 1ª fila operando con el término 1.4
( )
abcc 0 0
0 b 0
0 0 a 1 1 1 c 0 0
1 0 b 0
1 0 0 a
1 0 0 0
C C C
C C C
C C C
4 1
4 3 3
4 2 2
4 1 1
1 c 1 1 1
1 1 b 1 1
1 1 1 a 1
1 1 1 1
− = ⋅
− ⋅ = =
− =
− =
− =
= +
+ + +
9. Calcular el valor del siguiente determinante
² c 7 ² b 7 ² a 7
c 3 b 3 a 3
5 5 5
Solución:
= − −
− −
⋅ =
⋅ − =
⋅ − = = ⋅
⋅ ⋅ =
c · a c b · a b 0
a c a b 0
1 1
1 105 F a F F
F a F F c b a
c b a
1 1 1 7 3 5
2 2
2 3 3
1 2 2
2 2 2 ²
c 7 ² b 7 ² a 7
c 3 b 3 a 3
5 5 5
( )
105·(b a)·(c a)·(c a)c b
1 1 )· a c )·( a b ·( 105 ) a c ·( c ) a b ·( b
a c a b 1
105 11 = − − = − − −
− −
− −
⋅ − ⋅
= +
10. Calcular el valor del determinante
³ c ³ b ³ a
c 5 b 5 a 5
10 10 10
Solución:
= − −
− −
⋅ =
− =
− = = ⋅
⋅ =
c · a c b · a b 0
a c a b 0
1 1
1 50 F · a F F
F · a F F c b a
c b a
1 1 1 5 10
2 3 2 3 2
2 3 3
1 2 2
3 3 3 ³
c ³ b ³ a
c 5 b 5 a 5
10 10 10
( )
( )
=+ − +
−
− −
⋅ − ⋅ = − −
− −
⋅ − ⋅
= + +
) a c )·( a c ·( c ) a b )·( a b ·( b
a c a
b 1
50 ) a c ·( c ) a b ·( b
a c a
b 1
50 11 2 2 2 2 11
[
+ − +]
=− − = + +
⋅ − ⋅ − ⋅
= 50·(b a)·(c a)·b·(b a) c·(c a) )
a c ·( c ) a b ·( b
1 1
) a c ( ) a b ( 50
[
+ − −]
= − −[
− + −]
=− −
=50·(b a)·(c a)·b2 ab c2 ac 50·(b a)·(c a)·b2 c2 ab ac
[
(b c)·(b c) a·(b c)]
50·(b a)·(c a)·(b c)·(a b c) )·a c )·( a b ·(
50 − − − + + − = − − − + +
11. Calcular el valor del determinante
300 ² log 30 ² log 3 ² log
300 log 30 log 3 log
1 1
1
Solución:
= −
−
− −
=
− =
− = =
300 ·log 3 log 300 ² log 30 ·log 3 log 30 ² log 0
3 log 300 log 3
log 30 log 0
1 1
1 F · 3 log F F
F · 3 log F F 300 ² log 30 ² log 3 ² log
300 log 30 log 3 log
1 1
1
2 3
3
1 2
2
(
−)
⋅(
−) (
= −) (
⋅ −)
⋅ =⋅
− −
=
300 log 30 log
1 1 3 log 300 log 3 log 30 log 3 log 300 log 300 log 3 log 30 log 30 log
3 log 300 log 3
log 30 log
(
−) (
⋅ −) (
⋅ −)
= ⋅ ⋅ ==
30 300 log 3 300 log 3 30 log 30 log 300 log 3 log 300 log 3 log 30 log
2 1 2 1 10 log 100 log 10
log ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
=
12. Expresar en forma de productos de factores de primer grado, el valor del determinante:
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 1
− − −
− − −
Solución:
1 x 0 0 0
2 1 x 0 0
2 2 1 x 0
1 1 1 1
F F F
F F F
F F F
1 4 4
1 3 3
1 2 2
x 1 1 1
1 x 1 1
1 1 x 1
1 1 1 1
+ + + =
+ =
+ =
+ = =
− − −
− − −
Matriz triangular, su determinante es el producto de la diagonal principal.
( )
3 1 x 1 x 0 0 02 1 x 0 0
2 2 1 x 0
1 1 1 1
+ =
+ + +
13. Resolver la ecuación
1 1 1
1
x 3 1 x 2 2 x 3
² x 3 x 2 ² x 1 x 2 3
³ x ² x x 1
+ +
+ +
= 0
Solución:
= − −
−
− −
+ −
− −
−
=
− =
− =
− = = +
+ + +
0 0
0 1
3 x 3 2 x 2 1 x 3
3 ² x 3 3 x 2 ² x 2 x 2 3
1 ³ x 1 ² x 1 x 1
C C C
C C C
C C C
1 1 1 1
x 3 1 x 2 2 x 3
² x 3 x 2 ² x 1 x 2 3
³ x ² x x 1
1 4 4
1 3 3
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila y factorizando todos los polinomios
( )
=− −
−
+ − +
− −
+ + − + − −
⋅ − ⋅
= +
) 1 x ( 3 )
1 x ( 2 1 x
) 1 x )·( 1 x ( 3 ) 3 x )·( 1 x ( ) 1 x ·( 2
) 1 x ² x )·( 1 x ( ) 1 x )·( 1 x ( 1 x 1
1 4 1
sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante
( )
( )
− − =− + − ⋅ − − =
− =
− = = + +
+ + + ⋅ − − =
0 0
1
3 x 3 1 x 2
2 x ² x 1 x 1 1 x · 1 C · 3 C C
C · 2 C C 3
2 1
3 x 3 3 x 2
1 x ² x 1 x 1 1 x ·
1 3
1 3 3
1 2 2 3
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila y factorizando los polinomios
( ) ( )
=− −
+ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − −
= +
) 1 x ·( 3 1 x
) 2 x )·( 1 x ( 1 x 1 1 1 x ·
1 3 3 1
sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante
( ) ( )
− ⋅ − ⋅ + =−( )
− ⋅ − =− =
0 1
1 x 1 1 x · 1 3 1
2 x 1 1 x 1 x ·
1 3 2 5
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila
( ) ( )
x 1 1 1 x 1( )
x 1 0 ·1 − 5⋅ ⋅− 2 1⋅ − = − 6 =
−
= +
x = 1
14. Calcular el valor de
3 x x x
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3
Solución.
{
= + + +}
= ==
+ + +
+3 3x 3 3x 3 3x 3 x
3
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3
3 x x x
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3
1 2 3 4
4 F F F F
F
sacando factor común de (3x+ 3) de la 4ª fila
= − − −
⋅ + =
− =
− =
− = = ⋅
+ =
1 0 0 0
x x 3 0 0
x 0 x 3 0
x 0 0 x 3 ) 3 x 3 ( C C C
C C C
C C C
1 1 1 1 ) 3 x 3 (
4 3 3
4 2 2
4 1 1
x 3 x x
x x 3 x
x x x 3
aparece el determinante de una matriz triangular, que es igual, al producto de los términos de la diagonal 3
) x 3 ( ) 3 x 3
( + ⋅ −
15. Resolver la siguiente ecuación 0 1 x x x
x 1 x x
x x 1 x
x x x 1
=
− − − −
(operando el determinante antes de
desarrollarlo).
Solución:
{
}
=− − − −
− − −
= + + + = =
− − − −
1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3
x 1 x x
x x 1 x
x x x 1 F F F F F 1 x x x
x 1 x x
x x 1 x
x x x 1
1 2 3 4 4
sacando factor común de (3x−1) de la 4ª fila
(
)
(
)
=− − − − − −
⋅ − =
− =
− =
− = = − − −
⋅ − =
1 0 0 0
x x 1 0 0
x 0 x 1 0
x 0 0 x 1 1 x 3 C C C
C C C
C C C
1 1 1 1
x 1 x x
x x 1 x
x x x 1 1 x 3
4 3 3
4 2 2
4 1 1
matriz triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal
= (3x−1)·(−1−x)3 = (1−3x)·(1−x)3=0:
= =
1 x
3 1 x
16. Resolver el determinante
0 1 x x
1 x 0 x
x 0 1 x
x x x x
Solución:
Sacando factor común x en la 1ª columna
=
− −
− −
− − ⋅ =
− =
− =
− = = ⋅
=
x x 1 0 x
x 1 0 x x
0 x x 1 x
0 0 0 1 x C C C
C C C
C C C
0 1 x x
1 x 0 x
x 0 1 x
1 1 1 1 x 0 1 x x
1 x 0 x
x 0 1 x
x x x x
1 4 4
1 3 3
1 2 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª fila
( )
{
}
=− − −
− −
− − ⋅ = + + = = − −
− −
− − ⋅ − ⋅ ⋅
= +
x 2 1 x 2 1 x 2 1
x 1 0 x
0 x x 1 x F F F F x x 1 0
x 1 0 x
0 x x 1 1 1
x 3 3 2 1
1 1
sacando factor común de (1−2x) de la 3ª fila
= − − −
− − ⋅ ⋅ − =
− =
− = = − −
− − ⋅ ⋅ − =
1 0 0
x 1 1 x 1
0 x x 1 x ) x 2 1 ( C C C
C C C 1 1 1
x 1 0 x
0 x x 1 x ) x 2 1 (
3 2 2
3 1 1
( )
= −[
( )
− − −]
= − − + − = −− − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −
= + x·(1 2x)·1 x·(x 1) x x·(1 2x)·( 1 x x )
1 x 1
x x 1 1 1 x ) x 2 1
( 3 3 2
= x·(x2 − x +1 )·(2x − 1)
17. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de
6 x 5 x x
4 x 3 x x
2 x 1 x x
+ +
+ +
+ +
Solución:
0 0
0 F F F
F F F
4 4
2 2
2 x 1 x x
6 x 5 x x
4 x 3 x x
2 x 1 x x
1 3 3
1 2
2 = =
− =
− = =
+ +
+ +
+ +
+ +
por tener do filas proporcionales. (F3 = 2·F2)
18. Calcular el valor del determinante
z 1 1 1 1
1 z 1 1 1
1 1 x 1 1
1 1 1 x 1
− + − +
Solución:
{
}
=− −
− −
− +
= − = =
− −
− − −
+
=
− =
− =
− = =
− + − +
z 0 x x
0 z x x
0 0 0 x
1 1 x x 1 C C C z 0 0 x
0 z 0 x
0 0 x x
1 1 1 x 1
F F F
F F F
F F F
z 1 1 1 1
1 z 1 1 1
1 1 x 1 1
1 1 1 x 1
1 2 2
1 4 4
1 3 3
1 2 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila
( )
{
}
=− − +
− ⋅ = − = = − −
⋅ − ⋅ −
= +
z 0 x
z 0 x · z x
1 1 x x F · z F F z 0 x
0 z x
1 1 x 1
x 2 2 1
1 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª columna
( )
{
}
[
2]
2 22 1 1 2
1
z · x 0 x · z x z x
0 x · z x F F F z x
z x · z x 1 1
x =− ⋅− − =
− ⋅ − = − = = − − + ⋅ − ⋅ ⋅
= +
19. Calcular:
d 1 1 1 1
1 c 1 1 1
1 1 b 1 1
1 1 1 a 1
+ + + +
Solución:
Para el desarrollo de este determinante se utiliza la propiedad:
4 . 4 3 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 1 . 1 4 . 4 3 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 1 . 1 4 . 4 3 . 4 2 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 2 . 1 1 . 1 a a b a a a b a a a b a a a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b a a + = + + + + = − − − + = − − − + = − = − = − = = + + + + d 0 0 a 0 c 0 a 0 0 b a 1 1 1 a d 0 0 0 0 c 0 0 0 0 b 0 1 1 1 1 d 0 0 a 0 c 0 a 0 0 b a 1 1 1 a 1 F F F F F F F F F d 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 a 1 1 4 4 1 3 3 1 2 2 = + + + ⋅ + = + = + = + = = − − − ⋅ + = 1 d 1 1 0 1 1 c 1 0 1 1 1 b 0 1 1 1 1 a d · c · b F F F F F F F F F d 0 0 1 0 c 0 1 0 0 b 1 1 1 1 1 a d · c · b 1 4 4 1 3 3 1 2 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
( )
= − − + ⋅ + = − = − = = + + + ⋅ − ⋅ ⋅ + = + d 0 b 0 c b 1 1 1 b a d · c · b F F F F F F 1 d 1 1 1 1 c 1 1 1 1 b 1 1 a d · c · b 1 3 3 1 2 2 1 1 = + = + = = − − ⋅ + ⋅ + = − − + ⋅ + = 1 3 3 1 2 2 F F F F F F d 0 1 0 c 1 1 1 1 b d · c a d · c · b d 0 b 0 c b 1 1 b d 0 0 0 c 0 1 1 1 a d · c · b = + + ⋅ + ⋅ + = 1 d 1 0 1 1 c 0 1 1 1 b d · c a d · c · bdesarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
( )
{
}
= − + ⋅ + ⋅ + = − = = + + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ + = + d c 1 1 c b d · c a d · c · b F F F 1 d 1 1 1 c 1 1 b d · c a d · c ·b 2 2 1
1 1
{
= +}
= = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + = − + ⋅ + ⋅ += F2 F2 F1
d 1 1 1 c d b d · c a d · c · b d c 1 c d 0 1 1 b d · c a d · c · b
( )
{
}
[
+ ⋅ + ⋅ +]
= ⋅ + = + ⋅ + ⋅ + ⋅ += b·c·d a c·d b d c d 1
1 d 0 1 1 c d b d · c a d · c · b d · c · b · a c · b · a d · b · a d · c · a d · c ·
b + + + +
=
20. Resolver: 0
Se hacen ceros en la 4ª fila tomando como pivote el término 4.1
= − + − −
− − + − =
− =
+ = =
− −
− −
− −
0 0 0 1
x 1 x 0 1
x 1 1 0 x
x 1 x 1 x C · x C C
C C C
x 0 1 1
1 x 1 1
1 1 x x
0 1 1 x
2 2
1 4 4
1 2 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila
( )
=− + −
− − + − − = − + −
− − + − ⋅ − ⋅
= +
x 1 x 0
x 1 1 0
x 1 x 1
x 1 x 0
x 1 1 0
x 1 x 1 1
1 2
2
2 2
1 4
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
( ) ( )
( )
( ) (
)
=
− − − ⋅ + − − ⋅ − =
− − + − ⋅ − ⋅ − = − + − ⋅ − ⋅ − ⋅ −
= +
1 x
x 1 x x 1 x 1 x x
x 1 1 x
1 1 1 x x 1 x
x 1 1 1 x 1
2 2
1 1
( ) (
[
)
( )
2]
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 2( )
( )
2x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x
1− ⋅ − − + ⋅ + =− − ⋅ + + ⋅ − ⋅ + = − + ⋅ − ⋅ +
=
21. Calcular el siguiente determinante
d c b a
c c b a
b b b a
a a a a
Solución:
=
− − −
− − −
− − − ⋅ =
− =
− =
− = = ⋅
=
a d a c a b 0
a c a c a b 0
a b a b a b 0
a a a 1 a F F F
F F F
F F F
d c b 1
c c b 1
b b b 1
a a a 1 a d c b a
c c b a
b b b a
a a a a
1 4 4
1 3 3
1 2 2
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
( )
(
)
=
− =
− = = − −
− −
− − ⋅ − ⋅ = − − −
− − −
− − − ⋅ − ⋅
= +
1 3 3
1 2 2 1
1
F F F
F F F a d a c 1
a c a c 1
a b a b 1 a b a a d a c a b
a c a c a b
a b a b a b 1 a
(
)
=− −
− −
− − ⋅ − ⋅ =
b d b c 0
b c b c 0
a b a b 1 a b a
desarrollando el determinante por los adjuntos de la 1ª columna
(
) ( )
(
) (
)
={
= −}
=− − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − −
− − ⋅ − ⋅ − ⋅
= +
1 2 2 1
1
F F F b d 1
b c 1 b c a b a b d b c
b c b c 1 a b a
(
) (
)
= ⋅(
−) (
⋅ −) ( )
⋅ − ⋅ − = −− ⋅ − ⋅ − ⋅
= a b a c b 1 + d c
c d 0
b c 1 b c a b
(
b a) (
c b) (
d c)
a⋅ − ⋅ − ⋅ −=
22. Calcular:
b 3 3 3
3 a 3 3
3 3 b 3
3 3 3 a
− −
Solución:
=
− − − − −
− − −
=
− =
− =
− = = − −
3 b 0 0 3
0 3 a 0 3
0 0 3 b 3
a 3 a 3 a 3 a
C C C
C C C
C C C
b 3 3 3
3 a 3 3
3 3 b 3
3 3 3 a
1 4 4
1 3 3
1 2 2
desarrollando por los elementos de la cuarta fila:
( )
(
) ( )
3 a 0 3
0 3 b 3
a 3 a 3 a 1 3 b 0 3 a 0
0 0 3 b
a 3 a 3 a 3 1
3 41 4 4
− − − −
− − ⋅ − ⋅ − + −
− − −
− − − ⋅ − ⋅
= + + (1)
(
)
(
) ( )
=− − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − − − ⋅ − = −
− − −
− − −
+
3 a 0
0 3 b 1 1 a 3 0 3 a 0
0 0 3 b
1 1 1 a 3 0 3 a 0
0 0 3 b
a 3 a 3 a 3
3 1
(
3−a) (
⋅ −b−3) (
⋅ −a−3) (
= 3−a) (
⋅ b+3) (
⋅a+3)
=( )
9−a2 ⋅(
b+3)
= (2)
( )
(
) ( )
=− −
− ⋅ − ⋅ − − + − −
− − ⋅ − ⋅ = − − − −
− −
+ +
3 a 3
a 3 a 1 3 b 3 a 0
a 3 a 3 1 3 3 a 0 3
0 3 b 3
a 3 a 3 a
2 2 1
2
(
)
+(
− −) (
⋅[
⋅− −) (
− −)
⋅]
= −− ⋅ − ⋅ −
= b 3 a a 3 3 a 3
3 a 0
1 1 a 3 3
(
−) (
⋅ − −) (
+ − −)
⋅[
− − − +]
= ⋅( )
− +(
+)
⋅( )
+ = ⋅−
= 3 3 a a 3 b 3 a2 3a 9 3a 3 9 a2 b 3 9 a2
(
b 6)
9 ba2+ ⋅ +
= (3)
Sustituyendo (2) y (3) en (1)
( )
− ⋅(
+) (
+ −)
⋅[
+ ⋅(
+)
]
= ⋅− = − −
6 b 9 ba 3 b 3 b a 9 3 b 3 3 3
3 a 3 3
3 3 b 3
3 3 3 a
2 2
( ) (
2 2)
2(
2 2) (
2 2 3)
2 b 9 9 b 27 a b 3 3 b 3
a ⋅ + + ⋅ − = ⋅ + + ⋅ −
=
23. Calificación máxima: 2 puntos. Hallar en función de a, el valor del determinante:
a 2 3 4
a a 2 3
a a a 2
a a a a
= ∆
Solución
a a 2 a 3 a 4
a 0 a 2 a 3
a 0 0 a 2
1 0 0 0 a C C C
C C C
C C C
a 2 3 4
a a 2 3
a a a 2
1 1 1 1 a a 2 3 4
a a 2 3
a a a 2
a a a a
4 3 3
4 2 2
4 1 1
− − −
− − − ⋅ =
− =
− =
− = = ⋅
=
Desarrollando por los elementos de la primera fila:
( )
1 4( ) (
)
3(
)
32 a a a 2 1 a a 2 a 3 a 4
0 a 2 a 3
0 0 a 2 1 1 a a a 2 a 3 a 4
a 0 a 2 a 3
a 0 0 a 2
1 0 0 0
− ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − − −
− − − ⋅ − ⋅ ⋅ =
− − −
− −
− +
24. Calificación máxima: 3 puntos. Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo:
" a " c " c " b " b " a
' a ' c ' c ' b ' b ' a
a c c b b a
+ + +
+ + +
+ + + = ∆
" c " b " a
' c ' b ' a
c b a
1=
∆
Solución
Aplicando dos de las propiedades de los determinante
- A una línea (fila o columna) se le puede sumar o restar otra paralela multiplicado por cualquier número sin que varíe el determinante
- Sí en todos los términos de una línea (fila o columna) existe un factor común, este se puede sacar fuera como factor común del determinante
{
}
=+ +
+ +
+ + =
+ − = = + + +
+ + +
+ + + = ∆
" a " c " c " b " a 2
' a ' c ' c ' b ' a 2
a c c b a 2 C C C C " a " c " c " b " b " a
' a ' c ' c ' b ' b ' a
a c c b b a
3 2 1 1
{
}
{
}
" c " b " a
' c ' b ' a
c b a 2 C C C " c " c " b " a
' c ' c ' b ' a
c c b a 2 C C C " a " c " c " b " a
' a ' c ' c ' b ' a
a c c b a
2 3 3 1 = 2 = 2− 3 = ⋅
+ + + ⋅ = − = = + +
+ +
+ + ⋅ =
25. ( 3 puntos ) Determinar la raíz múltiple de la ecuación 0 x 1 8 1
1 x 1 8
8 1 x 1
1 8 1 x
=
Solución.
{
}
=+ + + + = + + + = =
10 x 10 x 10 x 10 x
1 x 1 8
8 1 x 1
1 8 1 x F F F F F x 1 8 1
1 x 1 8
8 1 x 1
1 8 1 x
1 2 3 4
4 sacando factor común de (x +
10) en la fila =
(
)
(
)
=− − − −
−
⋅ + =
− =
− =
− = = ⋅
+
1 0 0 0
1 1 x 0 7
8 7 8 x 7
1 7 0 1 x 10 x C C C
C C C
C C C
1 1 1 1
1 x 1 8
8 1 x 1
1 8 1 x 10 x
4 3 3
4 2 2
4 1 1
(
) ( )
(
) (
) ( )
=− − ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − − − −
− ⋅ ⋅ − ⋅ +
= + +
1 x 7
7 1 x 1 8 x 10 x 1 x 0 7
7 8 x 7
7 0 1 x 1 1 10
x 4 4 2 2
(
x+10) (
⋅ x−8) ( )
⋅[
x−12−49]
=(
x+10) (
⋅ x−8) ( )
⋅(
x−12−72)
=(
x+10) (
⋅ x−8) ( )
⋅[
x−1−7] ( )
⋅[
x−1+7]
=(
x+10) (
⋅ x−8) (
⋅ x−8) (
⋅x+6) (
= x+10) (
⋅ x−8) (
2⋅ x+6)
=