soluciones a problemas de determinantes

(1)

DETERMINANTES

1. Calcular el valor del determinante

² c ² b ² a

c 5 b 5 a 5

10 10 10

Solución:

² c ² b ² a

c b a ²

c ² b ² a

c 5 b 5 a 5

10 10

10 1 1 1

5 10 fila 2ª la en 5 de común factor Sacando

fila 1ª la en 10 de común factor Sacando

⋅ ⋅ =    

  =

Determinante tipo Van der Mondem.

( )

=

− −

⋅ − ⋅ = − −

− −

=    

 

⋅ − =

= +

) a c ·( c ) a b ·( b

a c a b 1 1 ac c ab b 0

a c a b 0

1 1

1 F a F F

F a F F 1 1 1

1 1

2 2

2 3 3

1 2 2

² c ² b ² a

c b a

) b c )·( a c )·( a b ( c b

1 1 ) a c )·( a b

( − − ⋅ = − − −

=

sustituyendo en la primera expresión

) b c )·( a c )·( a b ( 5 10 ² c ² b ² a

c 5 b 5 a 5

10 10 10

− − − ⋅ ⋅ =

2. Calcular en función de n el determinante

8 n 7 n 6 n

5 n 4 n 3 n

2 n 1 n n

+ + +

+ +

Solución:

0 6 6

3 3 F

F F

F F F

6 3

2 n 1 n n

8 n 7 n 6 n

5 n 4 n 3 n

2 n 1 n n

1 3 3

1 2

2 ₌ ₌

   

 

− =

− = =

+ +

+ + +

+ +

por ser F2 proporcional a F3.

3. Obtener, simplificando, el desarrollo del determinante

abc 3 c ² b ² c ² b

ab ² b 2 c ² b

² a ab abc

− −

−

Solución:

Teniendo en cuenta la propiedad de los determinantes que dice: Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número.

3 . 3 2 . 3 1 . 3

2 . 3 2 . 2 1 . 2

1 . 3 1 . 2 1 . 1

3 . 3 2 . 3 1 . 3

2 . 3 2 . 2 1 . 2

1 . 3 1 . 2 1 . 1

a a a

a a a k a a

a

a k a k a k

a a

a

⋅ = ⋅ ⋅

⋅

( )

− − =

− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =     

     = − −

− = ⋅ ⋅ =     

     =

− −

−

3 1 1

1 2 1

1 1 1 a b bc c ab a : C

b : C

bc : C

a 3 b bc

a b 2 bc

a b bc bc b a bc : F

b : F

a : F

2

3 2 1

abc 3 c ² b ² c ² b

ab ² b 2 c ² b

(2)

=2·a2b4c2

4. Sabiendo que

p n m

z y x

c b a

=3, calcular:

b 2 c 2 a 2

n 2 p 2 m 2

y 2 z 2 x 2

Solución:

Teniendo en cuenta las propiedad de los determinantes que dicen:

- Si todos los términos de una línea (fila ó columna) de un determinante aparecen multiplicamos por el mismo número, se puede sacar factor común de dicho número quedando el determinante multiplicado por ese número.

3 . 3 2 . 3 1 . 3

2 . 3 2 . 2 1 . 2

1 . 3 1 . 2 1 . 1

3 . 3 2 . 3 1 . 3

2 . 3 2 . 2 1 . 2

1 . 3 1 . 2 1 . 1

a a a

a a a k a a

a

a k a k a k

a a

a

⋅ = ⋅ ⋅

⋅

- Si permutamos dos líneas paralelas de una matriz cuadrada, su determinante cambia de signo.

{

}

{

}

3 . 3 1 . 3 2 . 3

1 . 3 1 . 1 1 . 2

2 . 3 1 . 2 2 . 2 2 1 3 . 3 2 . 3 1 . 3

1 . 3 1 . 2 1 . 1

2 . 3 2 . 2 1 . 2 2 1 3 . 3 2 . 3 1 . 3

2 . 3 2 . 2 1 . 2

1 . 3 1 . 2 1 . 1

a a a

a a a C C a a a

a a a

a a a F F a a a

a a a

+ = ↔ = −

= ↔ =

{

↔

}

=− ⋅ =

= ⋅

⋅ ⋅ = =

    

    

c b a

p n m

z y x 8 C C b c a

n p m

y z x 2 2 2 ) 2 ( : F

) 2 ( : F

) 2 (

b 2 c 2 a 2

n 2 p 2 m 2

y 2 z 2 x 2

3 2

3 2 : 1 F

{

}

{

}

8 3 24

p n m

z y x

c b a 8 F F p n m

c b a

z y x 8 F F

2 1 3

2↔ =+ ⋅ = ↔ =− ⋅ =− ⋅ =−

=

5. Calcular el valor del determinante

4 a a a a

a 3 a a a

a a 2 a a

a a a 1 a

+ + + +

Solución:

4 a a a a

a 3 a a a

a a 2 a a

a a a 1 a

+ + + +

=

    

    

− =

1 4 4

1 3 3

1 2 2

C C C

=

4 0 0 a

0 3 0 a

0 0 2 a

1 1 1 1

a+ − − −

=

{

F₄ =F₄+4⋅F₁

}

=

0 4 4 4 a 5

0 3 0 a

0 0 2 a

1 1 1 1 a

− − +

− − − +

desarrollando por los términos de la 4ª columna:

4 4 4 a 5

3 0 a

0 2 a

4 4 4 a 5

3 0 a

0 2 a ) 1 ( 1 0 4 4 4 a 5

0 3 0 a

0 0 2 a

1 1 1 1 a

4 1

− − + = − − + ⋅ − ⋅ − =

− − +

− − − +

+ ₌

{

}

1 3 2 F F + ⋅ =

=

4 0 4 a 7

3 0 a

0 2 a

− +

(3)

4 0 4 a 7

3 0 a

0 2 a

− +

= 2

[

a ( 4) 3 (7a 4)

]

2

(

25a 12

)

50a 24 4

4 a 7

3 a ) 1 (

2 1 2 =− ⋅ ⋅ − − ⋅ + =− ⋅− − = +

− + ⋅ −

⋅ +

6. Dada la matriz A =

_













− −

3 1 1

2 0 1

2 1 0

, e I la matriz identidad de orden tres, determinar, si es

A−k·I

)

=0

0 1 0 0

0 1 0

0 0 1 k 3 1 1

2 0 1

2 1 0

=   

 

  

  ⋅ −   

 

  

 

− −

0 k 3 1 1

2 k 1

2 1 k

= − − − −

− − −

sacando factor común de −1 en las dos primeras filas

( )

=

( )

− ⋅

[

(

−

)

+ + −

(

+ + −

)

]

= −

⋅

− 1 k ·3 k 2 2 2k 2k (3 k

k 3 1 1

2 k 1

2 1 k

12 2 2

( )

−12⋅

(

−k3+3k2−3k+1

)

=

( )

k−13=0

=

k = 1

7. Demostrar que el determinante

9 1 5 1

3 1 2 2

8 1 6 2

3 1 9 1

es divisible por 11.

Solución:

Se pide demostrar sin llegar a calcular el valor del determinante, que es múltiplo de 11. Se buscan múltiplos de 11 formados en filas ó en columnas, de derecha a izquierda o viceversa, de arriba abajo o viceversa.

Formados números de arriba abajo, aparecen:

      

⋅ =

11 349 3839

11 101 1111

11 875 9625

11 111 1221

. Se forman estos números sobre la

línea (fila ó columna) donde se encuentre el digito de unidad, en este caso sobre la 4ª fila

{

= + + +

}

= =

=

3839 1111 9625 1221

3 1 2 2

8 1 6 2

3 1 9 1 F F · 10 F · 100 F · 1000 F 9 1 5 1

3 1 2 2

8 1 6 2

3 1 9 1

(4)

349 101 875 111

3 1 2 2

8 1 6 2

3 1 9 1 11 11 349 11 101 11 875 11 111

3 1

2 2

8 1

6 2

3 1

9 1

⋅ =

⋅ ⋅

=

lo que demuestra que el determinante es múltiplo de 11

8. Obtener en función de a, b y c el valor del determinante

1 c 1 1 1

1 1 b 1 1

1 1 1 a 1

1 1 1 1

+ + +

Solución:

Se hacen ceros en la 1ª fila operando con el término 1.4

( )

abc

c 0 0

0 b 0

0 0 a 1 1 1 c 0 0

1 0 b 0

1 0 0 a

1 0 0 0

C C C

4 1

4 3 3

4 2 2

4 1 1

1 c 1 1 1

1 1 b 1 1

1 1 1 a 1

1 1 1 1

− = ⋅

− ⋅ = =

    

    

− =

= +

+ + +

9. Calcular el valor del siguiente determinante

² c 7 ² b 7 ² a 7

c 3 b 3 a 3

5 5 5

Solución:

= − −

− −

⋅ =    

 

⋅ − =

⋅ − = = ⋅

⋅ ⋅ =

c · a c b · a b 0

a c a b 0

1 1

1 105 F a F F

F a F F c b a

c b a

1 1 1 7 3 5

2 2

2 3 3

1 2 2

2 2 2 ²

c 7 ² b 7 ² a 7

c 3 b 3 a 3

5 5 5

( )

105·(b a)·(c a)·(c a)

c b

1 1 )· a c )·( a b ·( 105 ) a c ·( c ) a b ·( b

a c a b 1

105 11 = − − = − − −

− −

⋅ − ⋅

= +

10. Calcular el valor del determinante

³ c ³ b ³ a

c 5 b 5 a 5

10 10 10

Solución:

= − −

− −

⋅ =    

 

− =

− = = ⋅

⋅ =

c · a c b · a b 0

a c a b 0

1 1

1 50 F · a F F

F · a F F c b a

c b a

1 1 1 5 10

2 3 2 3 2

2 3 3

1 2 2

3 3 3 ³

c ³ b ³ a

c 5 b 5 a 5

10 10 10

( )

=

+ − +

−

− −

⋅ − ⋅ = − −

− −

⋅ − ⋅

= + +

) a c )·( a c ·( c ) a b )·( a b ·( b

a c a

50 − − − + + − = − − − + +

(5)

300 ² log 30 ² log 3 ² log

300 log 30 log 3 log

1 1

1

Solución:

= −

−

− −

=    

 

− =

− = =

300 ·log 3 log 300 ² log 30 ·log 3 log 30 ² log 0

3 log 300 log 3

log 30 log 0

1 1

1 F · 3 log F F

F · 3 log F F 300 ² log 30 ² log 3 ² log

300 log 30 log 3 log

1 1

1

2 3

3

1 2

2

(

−

)

⋅

(

−

) (

= −

) (

⋅ −

)

⋅ =

⋅

− −

=

300 log 30 log

1 1 3 log 300 log 3 log 30 log 3 log 300 log 300 log 3 log 30 log 30 log

3 log 300 log 3

log 30 log

(

−

) (

⋅ −

) (

⋅ −

)

= ⋅ ⋅ =

=

30 300 log 3 300 log 3 30 log 30 log 300 log 3 log 300 log 3 log 30 log

2 1 2 1 10 log 100 log 10

log ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

=

12. Expresar en forma de productos de factores de primer grado, el valor del determinante:

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 1

− − −

Solución:

1 x 0 0 0

2 1 x 0 0

2 2 1 x 0

1 1 1 1

F F F

1 4 4

1 3 3

1 2 2

x 1 1 1

1 x 1 1

1 1 x 1

1 1 1 1

+ + + =     

    

+ =

+ = =

− − −

Matriz triangular, su determinante es el producto de la diagonal principal.

( )

3 1 x 1 x 0 0 0

2 1 x 0 0

2 2 1 x 0

1 1 1 1

+ =

+ + +

13. Resolver la ecuación

1 1 1

1

x 3 1 x 2 2 x 3

² x 3 x 2 ² x 1 x 2 3

³ x ² x x 1

+ +

= 0

Solución:

= − −

−

− −

+ −

− −

−

=     

    

− =

− = = +

+ + +

0 0

0 1

3 x 3 2 x 2 1 x 3

3 ² x 3 3 x 2 ² x 2 x 2 3

1 ³ x 1 ² x 1 x 1

C C C

1 1 1 1

x 3 1 x 2 2 x 3

² x 3 x 2 ² x 1 x 2 3

³ x ² x x 1

1 4 4

1 3 3

(6)

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 4ª fila y factorizando todos los polinomios

( )

=

− −

−

+ − +

− −

+ + − + − −

⋅ − ⋅

= +

) 1 x ( 3 )

1 x ( 2 1 x

) 1 x )·( 1 x ( 3 ) 3 x )·( 1 x ( ) 1 x ·( 2

) 1 x ² x )·( 1 x ( ) 1 x )·( 1 x ( 1 x 1

1 4 1

sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante

( )

− − =

− + − ⋅ − − =    

 

− =

− = = + +

+ + + ⋅ − − =

0 0

1

3 x 3 1 x 2

2 x ² x 1 x 1 1 x · 1 C · 3 C C

C · 2 C C 3

2 1

3 x 3 3 x 2

1 x ² x 1 x 1 1 x ·

1 3

1 3 3

1 2 2 3

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 3ª fila y factorizando los polinomios

( ) ( )

=

− −

+ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − −

= +

) 1 x ·( 3 1 x

) 2 x )·( 1 x ( 1 x 1 1 1 x ·

1 3 3 1

sacando factor común de (x−1) en cada columna y operando los términos del determinante

( ) ( )

− ⋅ − ⋅ + =−

( )

− ⋅ − =

− =

0 1

1 x 1 1 x · 1 3 1

2 x 1 1 x 1 x ·

1 3 2 5

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª fila

( ) ( )

x 1 1 1 x 1

( )

x 1 0 ·

1 − 5⋅ ⋅− 2 1⋅ − = − 6 =

−

= +

x = 1

14. Calcular el valor de

3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

Solución.

{

= + + +

}

= =

=

+ + +

+3 3x 3 3x 3 3x 3 x

3

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

3 x x x

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

1 2 3 4

4 F F F F

F

sacando factor común de (3x+ 3) de la 4ª fila

= − − −

⋅ + =     

    

− =

− = = ⋅

+ =

1 0 0 0

x x 3 0 0

x 0 x 3 0

x 0 0 x 3 ) 3 x 3 ( C C C

C C C

1 1 1 1 ) 3 x 3 (

4 3 3

4 2 2

4 1 1

x 3 x x

x x 3 x

x x x 3

aparece el determinante de una matriz triangular, que es igual, al producto de los términos de la diagonal 3

) x 3 ( ) 3 x 3

( + ⋅ −

(7)

15. Resolver la siguiente ecuación 0 1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

=

− − − −

(operando el determinante antes de

desarrollarlo).

Solución:

{

}

=

− − − −

− − −

= + + + = =

− − − −

1 x 3 1 x 3 1 x 3 1 x 3

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1 F F F F F 1 x x x

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1

1 2 3 4 4

sacando factor común de (3x−1) de la 4ª fila

(

)

(

)

=

− − − − − −

⋅ − =     

    

− =

− = = − − −

⋅ − =

1 0 0 0

x x 1 0 0

x 0 x 1 0

x 0 0 x 1 1 x 3 C C C

C C C

1 1 1 1

x 1 x x

x x 1 x

x x x 1 1 x 3

4 3 3

4 2 2

4 1 1

matriz triangular, su determinante es el producto de los términos de la diagonal

= (3x−1)·(−1−x)3 = (1−3x)·(1−x)3=0:

   

= =

1 x

3 1 x

16. Resolver el determinante

0 1 x x

1 x 0 x

x 0 1 x

x x x x

Solución:

Sacando factor común x en la 1ª columna

=

− −

− − ⋅ =     

    

− =

− = = ⋅

=

x x 1 0 x

x 1 0 x x

0 x x 1 x

0 0 0 1 x C C C

C C C

0 1 x x

1 x 0 x

x 0 1 x

1 1 1 1 x 0 1 x x

1 x 0 x

x 0 1 x

x x x x

1 4 4

1 3 3

1 2 2

( )

{

}

=

− − −

− −

− − ⋅ = + + = = − −

− −

− − ⋅ − ⋅ ⋅

= +

x 2 1 x 2 1 x 2 1

x 1 0 x

0 x x 1 x F F F F x x 1 0

x 1 0 x

0 x x 1 1 1

x 3 3 2 1

1 1

sacando factor común de (1−2x) de la 3ª fila

= − − −

− − ⋅ ⋅ − =    

 

− =

− = = − −

− − ⋅ ⋅ − =

1 0 0

x 1 1 x 1

0 x x 1 x ) x 2 1 ( C C C

C C C 1 1 1

x 1 0 x

0 x x 1 x ) x 2 1 (

3 2 2

3 1 1

(8)

( )

= −

[

( )

− − −

]

= − − + − = −

− − − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ −

= + _x_·(₁ ₂_x_)·₁ _x_·(_x ₁₎ _x _x_·(₁ ₂_x_)·( ₁ _x _x ₎

1 x 1

x x 1 1 1 x ) x 2 1

( 3 3 2

= x·(x2 − x +1 )·(2x − 1)

17. Utilizando las propiedades de los determinantes, calcular el valor de

6 x 5 x x

4 x 3 x x

2 x 1 x x

+ +

Solución:

0 0

0 F F F

F F F

4 4

2 2

2 x 1 x x

6 x 5 x x

4 x 3 x x

2 x 1 x x

1 3 3

1 2

2 ₌ ₌

   

 

− =

− = =

+ +

por tener do filas proporcionales. (F3 = 2·F2)

z 1 1 1 1

1 z 1 1 1

1 1 x 1 1

1 1 1 x 1

− + − +

Solución:

{

}

=

− −

− +

= − = =

− −

− − −

+

=     

    

− =

− = =

− + − +

z 0 x x

0 z x x

0 0 0 x

1 1 x x 1 C C C z 0 0 x

0 z 0 x

0 0 x x

1 1 1 x 1

F F F

z 1 1 1 1

1 z 1 1 1

1 1 x 1 1

1 1 1 x 1

1 2 2

1 4 4

1 3 3

1 2 2

( )

{

}

=

− − +

− ⋅ = − = = − −

⋅ − ⋅ −

= +

z 0 x

z 0 x · z x

1 1 x x F · z F F z 0 x

0 z x

1 1 x 1

x 2 2 1

1 2

desarrollando el determinante por los adjuntos de la 2ª columna

( )

{

}

[

2

]

2 2

2 1 1 2

1

z · x 0 x · z x z x

0 x · z x F F F z x

z x · z x 1 1

x =− ⋅− − =

− ⋅ − = − = = − − + ⋅ − ⋅ ⋅

= +

19. Calcular:

d 1 1 1 1

1 c 1 1 1

1 1 b 1 1

1 1 1 a 1

+ + + +

Solución:

Para el desarrollo de este determinante se utiliza la propiedad:

(9)

4 . 4 3 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 1 . 1 4 . 4 3 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 1 . 1 4 . 4 3 . 4 2 . 4 2 . 4 1 . 4 4 . 3 3 . 3 2 . 3 2 . 3 1 . 3 4 . 2 3 . 2 2 . 2 2 . 2 1 . 2 4 . 1 3 . 1 2 . 1 2 . 1 1 . 1 a a b a a a b a a a b a a a b a a a a a a a a a a a a a a a a a a a b a a a a b a a a a b a a a a b a a + = + + + + = − − − + = − − − + =           − = − = − = = + + + + d 0 0 a 0 c 0 a 0 0 b a 1 1 1 a d 0 0 0 0 c 0 0 0 0 b 0 1 1 1 1 d 0 0 a 0 c 0 a 0 0 b a 1 1 1 a 1 F F F F F F F F F d 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 a 1 1 4 4 1 3 3 1 2 2 = + + + ⋅ + =           + = + = + = = − − − ⋅ + = 1 d 1 1 0 1 1 c 1 0 1 1 1 b 0 1 1 1 1 a d · c · b F F F F F F F F F d 0 0 1 0 c 0 1 0 0 b 1 1 1 1 1 a d · c · b 1 4 4 1 3 3 1 2 2

( )

]

= ⋅ + =                 + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= b·c·d a c·d b d c d 1

1 d 0 1 1 c d b d · c a d · c · b d · c · b · a c · b · a d · b · a d · c · a d · c ·

b + + + +

=

20. Resolver: 0

(10)

Se hacen ceros en la 4ª fila tomando como pivote el término 4.1

= − + − −

− − + − =    

 

− =

+ = =

− −

0 0 0 1

x 1 x 0 1

x 1 1 0 x

x 1 x 1 x C · x C C

C C C

x 0 1 1

1 x 1 1

1 1 x x

0 1 1 x

2 2

1 4 4

1 2 2

( )

=

− + −

− − + − − = − + −

− − + − ⋅ − ⋅

= +

x 1 x 0

x 1 1 0

x 1 x 1

x 1 x 0

x 1 1 0

x 1 x 1 1

1 2

2

2 2

1 4

( ) ( )

( )

( ) (

)

=

    

  

− − − ⋅ + − − ⋅ − =     

  

− − + − ⋅ − ⋅ − = − + − ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= +

1 x

x 1 x x 1 x 1 x x

x 1 1 x

1 1 1 x x 1 x

x 1 1 1 x 1

2 2

1 1

( ) (

[

)

( )

2

]

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

( )

2

x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x

1− ⋅ − − + ⋅ + =− − ⋅ + + ⋅ − ⋅ + = − + ⋅ − ⋅ +

=

21. Calcular el siguiente determinante

d c b a

c c b a

b b b a

a a a a

Solución:

=

− − −

− − − ⋅ =     

    

− =

− = = ⋅

=

a d a c a b 0

a c a c a b 0

a b a b a b 0

a a a 1 a F F F

F F F

d c b 1

c c b 1

b b b 1

a a a 1 a d c b a

c c b a

b b b a

a a a a

1 4 4

1 3 3

1 2 2

( )

(

)

=

   

 

− =

− = = − −

− −

− − ⋅ − ⋅ = − − −

− − −

− − − ⋅ − ⋅

= +

1 3 3

1 2 2 1

1

F F F

F F F a d a c 1

a c a c 1

a b a b 1 a b a a d a c a b

a c a c a b

a b a b a b 1 a

(

)

=

− −

− − ⋅ − ⋅ =

b d b c 0

b c b c 0

a b a b 1 a b a

(

) ( )

(

) (

)

=

{

= −

}

=

− − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − −

− − ⋅ − ⋅ − ⋅

= +

1 2 2 1

1

F F F b d 1

b c 1 b c a b a b d b c

b c b c 1 a b a

(

) (

)

= ⋅

(

−

) (

⋅ −

) ( )

⋅ − ⋅ − = −

− ⋅ − ⋅ − ⋅

= _a _b _a _c _b ₁ + _d _c

c d 0

b c 1 b c a b

(11)

(

b a

) (

c b

) (

d c

)

a⋅ − ⋅ − ⋅ −

=

22. Calcular:

b 3 3 3

3 a 3 3

3 3 b 3

3 3 3 a

− −

Solución:

=

− − − − −

− − −

=     

    

− =

− = = − −

3 b 0 0 3

0 3 a 0 3

0 0 3 b 3

a 3 a 3 a 3 a

C C C

b 3 3 3

3 a 3 3

3 3 b 3

3 3 3 a

1 4 4

1 3 3

1 2 2

desarrollando por los elementos de la cuarta fila:

( )

(

) ( )

3 a 0 3

0 3 b 3

a 3 a 3 a 1 3 b 0 3 a 0

0 0 3 b

a 3 a 3 a 3 1

3 41 4 4

− − − −

− − ⋅ − ⋅ − + −

− − −

− − − ⋅ − ⋅

= + + ₍₁₎

(

)

(

) ( )

=

− − − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − − − − ⋅ − = −

− − −

+

3 a 0

0 3 b 1 1 a 3 0 3 a 0

0 0 3 b

1 1 1 a 3 0 3 a 0

(

) ( )

=

− −

− ⋅ − ⋅ − − + − −

− − ⋅ − ⋅ = − − − −

− −

+ +

3 a 3

a 3 a 1 3 b 3 a 0

a 3 a 3 1 3 3 a 0 3

0 3 b 3

a 3 a 3 a

2 2 1

2

(

)

+

(

− −

) (

⋅

[

⋅− −

) (

− −

)

⋅

]

= −

− ⋅ − ⋅ −

= b 3 a a 3 3 a 3

3 a 0

1 1 a 3 3

(

]

= ⋅

− = − −

6 b 9 ba 3 b 3 b a 9 3 b 3 3 3

3 a 3 3

3 3 b 3

3 3 3 a

=

23. Calificación máxima: 2 puntos. Hallar en función de a, el valor del determinante:

a 2 3 4

a a 2 3

a a a 2

a a a a

= ∆

Solución

(12)

a a 2 a 3 a 4

a 0 a 2 a 3

a 0 0 a 2

1 0 0 0 a C C C

C C C

a 2 3 4

a a 2 3

a a a 2

1 1 1 1 a a 2 3 4

a a 2 3

a a a 2

a a a a

4 3 3

4 2 2

4 1 1

− − −

− − − ⋅ =     

    

− =

− = = ⋅

=

Desarrollando por los elementos de la primera fila:

( )

1 4

( ) (

)

3

(

)

3

2 a a a 2 1 a a 2 a 3 a 4

0 a 2 a 3

0 0 a 2 1 1 a a a 2 a 3 a 4

a 0 a 2 a 3

a 0 0 a 2

1 0 0 0

− ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − − −

− − − ⋅ − ⋅ ⋅ =

− − −

− −

− ₊

24. Calificación máxima: 3 puntos. Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo:

" a " c " c " b " b " a

' a ' c ' c ' b ' b ' a

a c c b b a

+ + +

+ + + = ∆

" c " b " a

' c ' b ' a

c b a

1=

∆

Solución

Aplicando dos de las propiedades de los determinante

- A una línea (fila o columna) se le puede sumar o restar otra paralela multiplicado por cualquier número sin que varíe el determinante

- Sí en todos los términos de una línea (fila o columna) existe un factor común, este se puede sacar fuera como factor común del determinante

{

}

=

+ +

+ + =

+ − = = + + +

+ + +

+ + + = ∆

" a " c " c " b " a 2

' a ' c ' c ' b ' a 2

a c c b a 2 C C C C " a " c " c " b " b " a

' a ' c ' c ' b ' b ' a

a c c b b a

3 2 1 1

{

}

{

}

" c " b " a

' c ' b ' a

c b a 2 C C C " c " c " b " a

' c ' c ' b ' a

c c b a 2 C C C " a " c " c " b " a

' a ' c ' c ' b ' a

a c c b a

2 3 3 1 = 2 = 2− 3 = ⋅

+ + + ⋅ = − = = + +

+ +

+ + ⋅ =

25. ( 3 puntos ) Determinar la raíz múltiple de la ecuación 0 x 1 8 1

1 x 1 8

8 1 x 1

1 8 1 x

=

Solución.

{

}

=

+ + + + = + + + = =

10 x 10 x 10 x 10 x

1 x 1 8

8 1 x 1

1 8 1 x F F F F F x 1 8 1

1 x 1 8

8 1 x 1

1 8 1 x

1 2 3 4

4 sacando factor común de (x +

10) en la fila =

(

)

(

)

=

− − − −

−

⋅ + =     

    

− =

− = = ⋅

+

1 0 0 0

1 1 x 0 7

8 7 8 x 7

1 7 0 1 x 10 x C C C

C C C

1 1 1 1

1 x 1 8

8 1 x 1

1 8 1 x 10 x

4 3 3

4 2 2

4 1 1

(

) ( )

(

) (

) ( )

=

− − ⋅ − ⋅ − ⋅ + = − − − −

− ⋅ ⋅ − ⋅ +

= + +

1 x 7

7 1 x 1 8 x 10 x 1 x 0 7

2⋅ x+6

)

=