unidad Límites de funciones Continuidad Asíntotas

UNIDAD : LÍMITE DE FUNCIONES.

CONTINUIDAD.ASÍNTOTAS

1.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Caben distinguir cuando hablamos de límite de una función en un punto (lim f(x)) a

x , podemos distinguir los límites laterales, por la izquierda (lim f(x))

a

x  (toma valores menores que el punto), y por la derecha ( lim f(x))

a

x  (toma valores mayores que el punto).

Cuando los límites laterales coinciden existirá el límite en el punto.

Idea intuitiva de límite.

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝟏+

𝒇(𝒙) = 𝟑 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟏−

𝒇(𝒙) = 𝟐 𝒍𝒖𝒆𝒈𝒐 ∄ 𝐥𝐢𝐦

_𝒙→𝟏

𝒇(𝒙)

Propiedades:



f

   

x

g

x

f

 

x

g

 

x

a x a

x a

x

(



)



lim





lim



lim

 f

   

x g x f

 

x g

 

x

a n a

x a

x (  )lim lim

lim



 

 

 

 

x

g

x

f

x

g

x

f

a x

a x a

x

 





_lim

lim

)

(

lim

Para calcular un límite sólo hay que sustituir x por el valor indicado”

Pero el problema es cuando sale alguna INDETERMINACIÓN, que hay que resolverla de algún modo.

0 0

;

0

;

1

;

0

0

;

;

0

;



















∞ − ∞; ∞ ∞;

0 0

2.

LÍMITES. RESOLUCIÓN DE INDETERMINACIONES

Caso inmediato: Sustituir la x por el valor del punto. lim f(x) f(a) a

x  Ejemplo: lim(2 2 4 1) 2·32 4·3 1 18 12 1 7

3         

 x x

x

             



 0 6 6

1 ) 2 ·( 3 ) 2 2 (

1 )

3 ) 2 (

1 ( lim

2 2

2

x x

x

A) POLINOMIOS

Estrategia: Sacar factor común la “n” de mayor grado:





































8

3

2

·

2

lim

n

3

n

2

n

n INDETERMINACIÓN

=



































_

_

_





·

(

1

0

0

0

)

1

2

3

8

1

lim

3 _{2 3}

n

n

n

n

n

REGLA: Utilizando términos dominantes

 





 

P

n

n

lim

El signo es el del coeficiente principal del polinomio.

Ejemplos:















n

n

n

6

8

lim

3

















n

n

n

3

4

lim

2

















3

2

lim

n

n









 









 

3 3

3

lim

n

n

n













 









 

2 2

2

8

lim

n

n

B) FRACCIONES ALGEBRÁICAS. Indeterminación ∞ ∞

Estrategia: Dividir numerador y denominador por la “n” de mayor grado:

















₃

₅

₁

4

2

lim

₂

2

n

n

n

n INDETERMINACIÓN

=

3

2

0

0

3

0

2

1

5

3

4

2

lim

1

5

3

4

2

lim

2 2

2 2 2

2

2 2

2

























  



n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n

REGLA DE LOS GRADOS

 Grado numerador > Grado denominador  límite es ±∞

 Grado numerador < Grado denominador  límite es 0

















₃

₅

₁

4

2

lim

₂ 3

n

n

n

n















₃

₅

₁

4

2

lim

₄ 2

n

n

n

n

5

2

1

5

3

4

2

lim

_{2 5}

5















_n

_n

n

n















₃

₅

₁

4

2

lim

2 2

n

n

n

n

₃

2

1

5

3

4

2

lim

2













_n

_n

n

n

Utilizando términos dominantes

𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝟐𝒏𝟑− 𝟒 𝟐𝒏 + 𝟓 = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞ 𝟐𝒏𝟑 𝟐𝒏 = 𝐥𝐢𝐦𝒏→∞𝒏 𝟐_{= ∞}

C) OTRAS INDETERMINACIONES

∞-∞



_



























_n

n

n

n

₃

₁

lim

2

INDETERMINACIÓN  Realizamos la operación

=



































































  



₃

₁

2

lim

1

3

3

lim

1

3

)

1

3

(

1

3

lim

2 2 2 2

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n























n

n

n

n

2

lim

INDETERMINACIÓN Multiplicamos

por el conjugado =



 









 



2

1

1

1

1

lim

)

(

lim

lim

2 2 2 2 2 2 2











































    



_n

_n

_n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n n n

0/0



0

:

0

1

2

:

3

lim

₂

















 

_n

n

n

n INDETERMINACIÓN  Realizamos la

operación =

2

3

2

3

3

lim

1

2

:

3

lim

₂ 2

2





3.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x



+



Cuando x+



la función puede comportarse de varias formas: l

x f

x



  ( )

lim 

  ( )

lim f x

x

 

  ( )

lim f x

x

) ( lim f x

x



Hay tres tipos de funciones conocidas que tienen límite infinito en el más infinito; son polinómicas (potencias), exponenciales con base mayor que 1 y logaritmos.

El orden de comparación de infinitos es el siguiente, de mayor a menor: EXPONENCIALES (mayor la que tiene mayor base)

POTENCIAS (mayor la que tiene mayor exponente) LOGARITMOS (mayor la que tiene menor base)

Ejemplo: Ordenar de mayor a menor orden los siguientes infinitos:

5 4 2

2

; 5 1 ; log ; ; 2 ; ln ;

3x x x x x ´ x x

Mayores Exponenciales 2x 1´5x , después Potencias 3x25 x4  x por último logaritmos log₂xlnx

Para el cálculo de límites debemos tener en cuenta el orden de los infinitos y los coeficientes de estos. Si tenemos los infinitos en una fracción, si el infinito más grande está en el numerador el límite será infinito (hay estudiar cociente de signos), si está en el denominador el límite es cero (0), y si son iguales el límite es el cociente de los coeficientes.

Ejemplos: 

 

 



 _{10 7 3}

1 2 3 lim

2 3

x x

x x

x Infinito más grande en el numerador y cociente de signos +/+=+.

2 1 6

3 7

6

1 5 3 lim

2 3

2

3 _

   

  



 _{x x}

x x

x Mismo grado, dividimos coeficientes.

2 3 4 3 5

4 5 3 lim

2

      

 

x x

x

x

0 2 2

5 3

lim 

 



 x

x

x

Infinito más grande en el denominador.

  

 

x x x

3 2

lim Infinito más grande 3x.







 

 x x

x

log lim 3

        

  

   





 2

4 2

5 3 lim

3 3

x x x x

x

x (los dos son de grados 3-1=2) Realizamos la

=

      

  



   



     

  



       

    

  

 

 

  

 

 

  



4

10 7 14

lim

4

2 8

4 10 5 6 3 lim )

2 )·( 2 (

) 2 )·( 4

( ) 2 )·( 2 (

) 2 )·( 5 3 ( lim

2 2 3 4

2

2 3 4 3

4 3

3

x

x x x x

x

x x x x x

x x x

x

x x x x

x

x x

x

x x

4.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO x



-



Los casos posibles son los mismos que para +



, y el cálculo es muy parecido. Podemos aplicar las mismas reglas si cambiamos x por –x, y así cambiar el límite en menor infinito por el límite en más infinito.

¡¡CUIDADO CON LAS FUNCIONES EXPONENCIALES¡¡

Ejemplos: 

 

 



 _{10 7 3}

1 2 3 lim

2 3

x x

x x

x

Infinito más grande en el numerador y cociente de signos -/+=-.

2 1 6

) 3 ( 7

6

1 5 3 lim

2 3

2

3 _

 

   

  



 _{x x}

x x

x Mismo grado, dividimos coeficientes.

2 3 4

3 5

4 5 3 lim

2

       



 _{x x}

x

x

  

   





 _{2 2} 2 0 5

3 lim

x x

x

lim 2 3 000 



x x x

.











 x x

xlim log No tiene sentido, no se puede hacer la raíz cuadrada a un número negativo, ni tampoco un logaritmo.

5.

CONTINUIDAD

A.CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Se dice que una función f es continua en un punto a cuando cumple las siguientes condiciones.

i) Existe la función en a  f(a)

ii) Existe el límite de la función cuando x tiende a a f

 

x

a x  lim iii) Los dos valores anteriores coinciden. lim f

 

x f(a)

a x  Tipos de discontinuidades:

 Discontinuidad evitable. Se cumple i) y ii) pero no iii) o bien no existe la función en a

B.CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.

Una función es continua en un intervalo si es continua en cada punto del intervalo. Generalmente todas las funciones son continuas en su dominio, el problema es estudiar estos puntos y en las funciones definidas a trozos hay que estudiar los puntos de unión.

Ejemplos:

 Estudia la continuidad de la función

2 2 )

(

2

2 3

 

 

x x

x x x f

Dominio es {1,2} (soluciones de la ecuación x2x20) Es CONTINUA en }

2 , 1 {

 

Vamos a clasificar las discontinuidades.

     





 0

3 2 2 lim

2 2 3

1_{x x}

x x

x Discontinuidad de salto infinito en x=-1 (ASÍNTOTA VERTICAL)

3 4 ) 1 ·( lim ) 2 )·( 1 (

) 2 ( lim .

0 0 2 2 lim

2

2 2

2 2

2 3

2     

 

   



 

 x

x x

x x x Indt

x x

x x

x x

x

(Discontinua por falta de definición)

 Estudia la continuidad de la función

 

    

 

  

 

3 si 2

3 0

si 1

0 si

2

x x x

x x

x e

x f

x

Los tres trozos son continuos porque son: una función exponencial, una recta y una parábola.

Continuidad en x=0 1

) 0 ( 

f

   

 

 

 

 

1 ) 1 ( lim

1 lim

0

0 0

x e e

x x

x _{Son iguales}

Continua en x=0

Continuidad en x=3 4

) 3 ( 

f

   

   

   

 

 

3 6 9 ) 2 ( lim

4 1 3 ) 1 ( lim

2 3 3

x x x

x x

No son

iguales No es continua en x=3 (Discontinuidad de Salto Finito)

La Función es continua en {3}

 Calcula el valor de los parámetros a y b para que sea continua:































1

si

2

1

2

si

2

si

2

x

x

x

b

x

ax

x

a

x

y

Continuidad en x=-2 b a

f(2)4 2

   

    

   

 

  

b a

b x ax

a a

x

x x

2 4 ) (

lim

2 lim

2 2

2

Para ser

continua debe cumplir

0 5

2 2

4a b a ab

Continuidad en x=1 3 1 2 ) 1

(   

f

   

 

    

 

 

3 ) 2 ( lim

1 )

( lim

3 2 3

x

b a b x ax

x

x _{Para ser}

continua debe cumplir

2 3

1    

 b a b

a

Resolviendo el sistema de ecuaciones nos sale de solución ; 2

1

 

a y

3 5



b

6.

ASÍNTOTAS

A.

ASÍNTOTAS VERTICALES

Una función

f

 

x

tiene una asíntota vertical en

x

=

a

si:

lim

 



"



"

a

f

x

x .

Hay que calcular los límites en aquellos puntos que no están en el dominio.

Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (signo de la función a la izquierda y la derecha de la asíntota)

B.

ASÍNTOTAS HORIZONTALES

Una función

f

 

x

tiene una asíntota horizontal en

y

=

b

si:

f

 

x

b

x



lim

.

Hay que calcular los límites en ± ∞. Normalmente calculamos el límite en ∞(sin signo), pero cuando tengamos alguna función exponencial debemos calcularlo en + ∞ y - ∞ por separado.

Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (valor de la función en un número grande (100) y en un número pequeño (-100))

C.

ASÍNTOTAS OBLICUAS

Una función

f

 

x

tiene una asíntota horizontal en

y

=

mx+n

si:

 

x

mx

n

f

x

x



lim





lim

.

Cálculo de asíntotas oblicuas:

 

n



f

 

x

mx



x

x

f

m

x

x







  



lim

lim

Si m=0 ó ∞ no hay asíntota oblicua, si n= ∞ tampoco hay.

Además para hacer un esbozo de la función hay que calcular la posición de la asíntota (valor de la función y de la asíntota oblicua en un número grande (100) y en un número pequeño (-100))

Ejemplos:



3

4

1

)

(

₂









x

x

x

x

f

Dom







 

1

,

3







2

1

3

1

1

lim

.

0

0

3

4

1

lim

1 2

1























  



_x

_x

x

Ind

x

x

x

x

x

















₀

2

3

4

1

lim

₂

3

_x

_x

x

x

Asíntotas horizontales: . en y=0

0

3

4

1

lim

₂













_x

_x

x

x ;

₉₆₀₃

0

´

01

0

99

)

100

(







f

;

0

009

´

0

10403

101

)

100

(













f

Ejemplos:



3

1

2

)

(

2









x

x

x

x

f

Domf(x)=R-{3}

Asíntotas verticales:

















₀

2

3

1

2

lim

2

3

_x

x

x

x Hay A.V. en x=3

Asíntotas horizontales:















₃

1

2

lim

2

x

x

x

x No hay asíntota horizontal

Asíntota oblicua:

 

1

3

1

2

lim

:

3

1

2

lim

lim

₂

2 2





















  

 



_x

_x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

m

x x

x

 





1

3

1

lim

3

3

3

1

2

lim

3

1

2

lim

lim

2 2

2





































  

 

 



_x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

mx

x

f

n

x x

x x

Hay una asíntota oblicua en

y

=

x

+1

02

´

101

97

9799

)

100

(





02

´

99

103

10199

)

100

(









