parametrizacion de curvas pdf

1.2. Curvas paramétricas.

Definición. Sean x x₁, , ,₂ x_n funciones continuas de ℜ → ℜ para un intervalo

[ ]

( )

( )

( )

1 1 , 2 2 , , n n

x = f t x = f t x = f t

con t∈

[ ]

El conjunto de puntos

(

)

(

( ) ( )

( )

)

ℜ y estas funciones representan las ecuaciones paramétricas de la curva para el parámetro t∈

[ ]

( )

( )

( )

( )

1 1

2 2

: n/

n n

f t x

f t x

f f t

f t x

           

ℜ → ℜ =_ =

            

 

Figura 9. Curva Paramétrica

f(t)

a t b

Si la curva C está definida en _ℜ3 _{por la función vectorial}

( )

( )

( )

( )

3

1 ˆ 2 ˆ 3 ˆ

: /

f ℜ → ℜ f t = f t i + f t j+ f t k, donde f1, f2 y f3 son funciones escalares

en un intervalo

[ ]

(

)

( )

( )

( )

[ ]

( )

(

( ) ( ) ( )

)

(

( ) ( ) ( )

)

EJEMPLO 5.Represente la curva C en _ℜ3_{, si ésta esta dada paramétricamente por}

( )

(

( )

( )

)

3

: / cos , ,

f ℜ → ℜ f t = t sen t t

Solución. Para la representación en el espacio de esta función evaluamos algunos valores de t y el vector posición resultante es un punto perteneciente a la gráfica de la curva C dada de forma paramétrica, al representar los vectores de posición se obtiene la representación gráfica que se observa en la Figura 10.

Figura 10. Representación de la curva paramétrica C del ejemplo 5.

De manera similar una curva C en _ℜ2 _{estará definida por la función vectorial}

( )

( )

( )

2

1 ˆ 2 ˆ

: /

f ℜ → ℜ f t = f t i+ f t j, donde las funciones reales f1 y f2, son sus

funciones componentes, para un intervalo

[ ]

( )

( )

( )

pertenecen al intervalo

[ ]

( )

(

( ) ( )

)

(

( ) ( )

)

EJEMPLO 6. Represente la curva C en _ℜ2_{, definida paramétricamente por}

( )

(

)

2 2

: / , 2

f ℜ → ℜ f t = t t para 2− ≤ ≤t 2.

Figura 11. Trayectoria de la curva _{f t}

( )

(

)

EJEMPLO 7. Represente la curva C en _ℜ2_{, definida paramétricamente por}

( ) (

)

2

: / 2 cos ,5

g ℜ → ℜ g θ = θ senθ para 0≤ ≤θ 2π.

Solución. La curva g es la representación en forma paramétrica de una elipse centrada en el origen y cuya gráfica en el plano cartesiano es la que se muestra en la Figura 12, el dibujo de dicha curva se obtuvo al realizar la evaluación del parámetro

θ en el intervalo correspondiente.

-2 t 2

Figura 12. Trayectoria de la curva f t

( )

(

( )

( )

)

EJEMPLO 8. Represente la curva C en _ℜ2_{, definida paramétricamente por}

( )

(

)

2 2

: / 2 , 1

h ℜ → ℜ h t = −t t+ para 2≤ ≤t 4.

Solución. La gráfica de la curva C dada paramétricamente por la función h, se corresponde a una parábola de vértice en el punto

( )

Figura 13. Trayectoria de la curva _{f t}

( )

(

)

Realice la representación gráfica de las siguientes curvas dadas en forma paramétrica. 1) _{f : 0, 2}

[ ]

( )

( )

2) _{g: 1,3}

[

]

( )

(

)

3) _{: 0,}5 2_/

( )

(

( )

( )

)

h _ π → ℜ_ g θ = θ sen θ

 

Definición. Si C es una curva definida paramétricamente por la función vectorial definida por : n/

( )

(

( ) ( )

( )

)

n

f ℜ → ℜ f t = f t f t f t con t∈

[ ]

( )

( )

( )

( )

(orientación negativa).

Para la curva C del Ejemplo 6, se observa las dos orientaciones para una curva C en la Figura 14.

(a) Orientación Positiva (b) Orientación Negativa Figura 14. Orientación de una curva paramétrica C, _{f : 2, 2}

[

]

( )

(

)

1.2.2. Parametrización de algunas de las curvas más utilizadas.

Tabla 1. Parametrización de una curva dada de forma explicita o implicita.

Curva C Parametrización de la curva C

( )

y= f x

( )

x t y f x

=   = 

( )

x g y= x g t

( )

y t

=  

Circunferencia: _x2_+y2 _=a2

( )

( )

θ θ π θ =  _{≤ ≤}  = 

Donde θ, es el ángulo que forma el radio vector con el semieje positivo de las x.

Elipse:

2 2

2 2 1

x y

a +b =

( )

( )

θ θ π θ =  _{≤ ≤}  = 

Donde θ, es el ángulo que forma el radio vector con el semieje positivo de las x.

Segmento de línea recta: Desde

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0 1 0

0 1 0

0 1 0

,0 1

x x x x t

y y y y t t

z z z z t

= + −   = + − ≤ ≤   = + −  Fuente: Propia.

EJEMPLO 9. Realice la parametrización de la curva C definida por la intersección de las superficies definidas por el cilindro _x2_+y2 _{=4 y el plano z+2x+2y=5.}

Solución. Una parametrización para la curva implícita dada es

( )

( )

( )

( )

2cos 2cos

4 2cos 2

x t

y t

z t Sin t

=   =   = − − 

Es decir, la función vectorial que define a esta curva definida en forma paramétrica vendría dada por _{f :ℜ → ℜ}3_{/ f t}

( )

(

( )

( )

( )

( )

)

Figura 15. Representación en el espacio de la curva C.

EJEMPLO 10. Parametrizar la curva C definida por la recta que va desde el punto

(

)

(

)

Solución. Una parametrización para la curva está dada por

( ) (

)

[ ]

f t = +t + t + t t∈ , y su representación en el espacio tridimensional se observa en la Figura 16.

Figura 16. Representación en el espacio de la curva C del ejemplo 10.

EJEMPLO 11. Parametrizar la curva C definida por la circunferencia definida en el plano por

(

) (

)

Solución. Obsérvese que el centro de esta circunferencia está en el punto

(

) (

)

2 2 5

z+ x+ y= 2 2 ₄

[

]

( )

(

)

(

)

1: 0, 2 / 1 6 cos , 6 1, 1

h π → ℜ h t = t sent = x y , referida al punto

(

)

( ) (

)

[

]

( )

(

)

: 0, 2 / 1 6 cos , 2 6

h π → ℜ h t = + t − + sent . donde al graficar los vectores de posición de dicha curva se obtiene la representación gráfica que se observa en la Figura 17.

Figura 17. Representación en el plano de la curva C del Ejemplo 11.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2.2.

Realice la parametrización de las siguientes curvas. 1) _{y x=} 2₋₁

2) _x2_+y2 _=2y 3) _3x2_+2y2₌₆

1.2.3. Vector tangente.

Definición. Sea la curva C definida en forma paramétrica por la función vectorial

( )

(

( ) ( )

( )

)

: n/ , , ,

n

f ℜ → ℜ f t = f t f t f t , se define al vector tangente a la curva

C en el punto

(

)

(

( ) ( )

( )

)

0 0 0

1 , 2 , , n 1 0 , 2 0 , , n 0

x x x = f t f t f t de la siguiente manera t

( )

(

( )

( )

( )

)

' ' , ' , , _n'

f t = f t f t f t

Figura 18. Vector tangente a la curva C

(a) (b)

Figura 19. Vector Tangente f’(t)

(a) En ℜ2y (b) En ℜ3

f’(t) f(t)

f’(t)

C

f’(t)

C C

EJEMPLO 12. Sea la curva C definida en forma paramétrica por la función vectorial

( )

( )

2 3

: / , , 2 2

f ℜ → ℜ f t = t t − ≤ ≤t , calcule sus vectores tangentes en los puntos

(

) ( )

(

) (

)

Solución. El vector tangente a la curva C en un punto genérico t0 es f t'

( )

(

)

( ) ( )

( ) ( )

Figura 20. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 12 en

0 1

t = − y t₀ =1

EJEMPLO 13. Sea la curva C definida paramétricamente por la función vectorial

[

]

( ) (

)

: 0, 2 / cos ,3

h π → ℜ h t = t sent , calcule sus vectores tangentes en los puntos

(

)

2 3 2

, ,

2 2

x y _{= }_ _

  y

(

)

1 3 3

, ,

2 2

x y = −_ _  

Solución. El vector tangente a esta curva C para punto genérico t0 es

( )

(

( )

( )

)

' ,3cos

h t = −sen t t , de manera que ' 2,3 2

4 2 2

h   = −_{  }π _ _

    y

2 3 3

' ,

3 2 2

h _ π = −_{ }_ − _

 _{  } y en la Figura 21 se observa su representación en el plano cartesiano.

Figura 21. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 13 en

0

4

t =π y 1

2 3

t = π

EJEMPLO 14. Sea la curva C definida de forma paramétrica por la función vectorial

( )

(

)

2 2

: / , 1 , 2 2

f ℜ → ℜ f t = t t − − ≤ ≤t , calcule sus vectores tangentes en los puntos

(

) (

)

(

) ( )

Solución. El vector tangente para la curva C en punto genérico t0 está dado por

( ) (

)

' 1, 2

f t = t , de manera que los vectores tangentes en los puntos señalados son

( ) ( )

' 0 1,0

f = y f ' 1

( ) ( )

Figura 22. Representación de los vectores tangentes a la curva C del ejemplo 14 en

0 0

t = y t1=1

El vector tangente unitario T t

( )

( )

( )

( )

_{( )}

'

f t T t

f t

=

e indica la dirección de la curva. El vector normal unitario (principal) N t

( )

( )

( )

( )

_{( )}

'

T t N t

T t

=

e indica la dirección del radio de curvatura.

1.2.4. Curva suave y parcialmente suave.

Definición. Sea la curva C definida paramétricamente por la función vectorial

( )

(

( ) ( )

( )

)

: n/ , , ,

n

f ℜ → ℜ f t = f t f t f t , con t∈

[ ]

( )

( )

( )

( )

( )

[ ]

Definición. Una curva C formada por un número finito de trozos o curvas suaves, unidas de manera continua, se llama curva suave a secciones o curva parcialmente suave, esto es

1 2 n

C C= ∪C ∪ ∪C

siendo ,C_i i=1, 2, ,… n curvas suaves.

EJEMPLO 15. Represente la gráfica de la curva C definida por C C= ₁∪C₂∪C₃

donde

( )

1: 3 ,0 2

t

C f t t

t

 

=_{ } ≤ ≤

  , 2:

( )

t

C g t = _{ } ≤ ≤t

  y 3:

( )

t

C h t t

t

 

 

= ≤ ≤

 + 

 

Figura 23. Gráfica de las curvas C1, C2 y C3

1.2.5. Curva simple y curva cerrada simple.

Definición. Sea C una curva definida paramétricamente por la función

( )

(

( ) ( )

( )

)

: n/ , , ,

n

f ℜ → ℜ f t = f t f t f t , con t∈

[ ]

( )

[ ]

( )

y f b

( )

Figura 24. (a) Curva simple y (b) Curva no simple

a t b a t b

f(t)

f(t) C C

C1

C2

Definición. Sea C una curva definida paramétricamente por la función vectorial

( )

(

( ) ( )

( )

)

: n/ , , ,

n

f ℜ → ℜ f t = f t f t f t , con t∈

[ ]

( )

[

)

( )

( )

( )

( )

( )

[

)

Figura 25. (a) Curva cerrada simple y (b) Curva cerrada

a t b a t b

f(t) f(t)

C