Algunas propiedades de las integrales de lebesgue y henstock

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(1)Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias. Algunas proiedades de las integrales de Lebesgue y Henstock. TESIS QUE PARA OBTENER EL Tı́TULO DE:. MATEMÁTICO. PRESENTA: PAUL GARCÍA HURTADO. DIRECTOR DEL TRABAJO: DRA. CARMEN MARTÍNEZ ADAME ISAIS. Ciudad Universitaria, Cd. Mx., 2016.

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(3) II 1. Datos del alumno Garcı́a Hurtado Paul 58432139 Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Ciencias Matemáticas 309134866 2. Datos del tutor Dra. Carmen Martı́nez Adame Isais 3. Datos del sinodal 1 Dra. Marı́a de los Ángeles Sandoval Romero 4. Datos del sinodal 2 Dr. Francisco Javier Torres Ayala 5. Datos del sinodal 3 Dr. Luis Octavio Silva Pereyra 6. Datos del sinodal 4 M. en C. Pavel Ramos Martı́nez 7. Datos del trabajo escrito Algunas propiedades de las integrales de Lebesgue y Henstock 108 p 2016.

(4) Agradecimientos A mis padres, quienes han hecho posible la culminación de esta etapa. Particularmente a mi madre que ha estado presente en cada momento. A mi hermana, que me ha escuchado más allá de lo académico. A la familia Hurtado por compartir algunos de sus dı́as conmigo. A los amigos que hice durante este trayecto y que añadieron una perspectiva diferente a mi vida. Especialmente quiero dar las gracias a la Dra. Carmen Adame por aceptarme como su estudiante y asesorarme durante el desarrollo de este trabajo.. III.

(5) Índice general. Introducción. VII. 1. Preliminares. 1. 1.1. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2. La integral de Lebesgue. 31. 3. La integral de Henstock. 53. 3.1. La integral de McShane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75. 4. Un teorema de lı́mites iterados. 83. V.

(6) Introducción Hacia finales del siglo XIX algunos inconvenientes en la teorı́a de integración de Riemann se hacı́an evidentes. Estos detalles surgieron a medida que la colección de funciones integrables se volvı́a insuficiente conforme la matemática se desarrollaba. El Teorema Fundamental del Cálculo es un ejemplo de estos inconvenientes. sabe que si una función f es diferenciable en R x Se ′ ′ [a, b] y f es Riemann integrable, entonces a f (t) dt = f (x) − f (a) para cada x ∈ [a, b].. A simple vista, parece que una hipótesis sobra en el teorema anterior puesto que parecerı́a deseable que la derivada de una función fuese integrable. No obstante, existen funciones cuya derivada no es Riemann integrable.. Estos problemas llevaron al desarrollo de otras teorı́as de integración y la que fue acogida con gran rapidez por la comunidad cientı́fica fue la de Henri Lebesgue. Esta integral permite integrar una colección más amplia de funciones y tomar el lı́mite de integrales con mayor libertad. Sin embargo, aún persisten algunas dificultades y una de ellas se presenta nuevamente en el Teorema Fundamental del Cálculo. El siguiente resultado es válido para la integral de Lebesgue: Si fRes diferenciable en [a, b] y f ′ es acotada en [a, b], entonces f ′ es Lebesgue integrable en [a, b] y [a,x] f ′ dµ = f (x) − f (a). Nuevamente no todas las derivadas son Lebesgue integrables, pero sı́ lo son aquellas acotadas. En la década de 1950, el matemático checo Jaroslav Kurzweil en [9] introdujo una versión generalizada de la integral de Riemann y durante la década de 1960 el matemático inglés Ralph Henstock hizo un estudio de esta nueva integral en [10]. Pese a tener un enfoque ligeramente diferente a la integral de Riemman, esta teorı́a de integración incluye a la de Lebesgue y soluciona el problema de esta última con el Teorema Fundamental del Cálculo, es decir todas Rx ′ las derivadas son Henstock integrables y se cumple que a f = f (x) − f (a) para cada x ∈ [a, b]. Además como su definición es muy similar a la de Riemann, no hace uso de gran parte de la teorı́a de la medida para su desarrollo. Un objetivo de esta tesis es mostrar las principales diferencias, ası́ como semejanzas, entre las integrales de Lebesgue y Henstock. También se exhibirá la relación que existe entre las dos integrales.. VII.

(7) VIII. ÍNDICE GENERAL. Para la construcción de la integral de Lebesgue, es necesario desarrollar la Teorı́a de la Medida ası́ como el concepto de las Funciones Medibles, es por ello que dedicamos el primer capı́tulo de este trabajo al desarrollo de esta integral y sus poderosos teoremas de convergencia. Vale la pena remarcar que a pesar de que se trabajará con funciones definidas en un intervalo compacto de números reales y con imagen real en el segundo capı́tulo, este camino para llegar a la integral de Lebesgue tiene la ventaja de que se puede extender a espacios más generales. El capı́tulo tercero está reservado a la construcción de la integral de Henstock. Se verá que ésta subsana algunas de la deficiencias de la integral de Lebesgue: el Teorema Fundamental del Cálculo es válido para toda función derivada y gracias al teorema de Hake, no posee integrales impropias. Sin embargo, no se trata de una integral absoluta, es decir si f es Henstock integrable, |f | no necesariamente lo es. Finalmente se darán condiciones para que una función Henstock integrable también lo sea en el sentido de Lebesgue. Este capı́tulo incluye también una sección dedicada a estudiar la relación que existe entre la integral de Lebesgue y la de Henstock a través de la integral de McShane. A simple vista puede parecer que es una teorı́a de integración ajena a la de Lebesgue y una variación en la definición de la integral de Henstock; pero existe una equivalencia entre la integral de Lebesgue y la de McShane. Mediante esta equivalencia se probará que la colección de funciones integrables en el sentido de Lebesgue está incluida en la de las funciones Henstock integrables. Finalmente y ya que en el capı́tulo tres no se habla sobre los teoremas de convergencia para la integral de Henstock, el capı́tulo cuatro está dedicado exclusivamente a encontrar condiciones necesarias y suficientes para una teorema de convergencia sobre esta integral. El resultado clave para ello es un teorema de lı́mites iterados que fue demostrado por R. A. Gordon en [1]..

(8) Capı́tulo 1 Preliminares 1.1.. La medida de Lebesgue. En 1901, Henri Lebesgue, en su nota Sur une gènèralization de l’intégrale défine hace notar que no todas las funciones derivadas son integrables en el sentido de Riemann. Existen ejemplos de funciones derivables con derivada no acotada y por ello no son Riemann integrables; estos y otros ejemplos más hacen notar que la teorı́a de integración de Riemann no soluciona la búsqueda de primitivas para una función, esto llevó a Lebesgue a la búsqueda de una teorı́a de integración que comprendiera a la de Riemann y solucionara el problema de las primitivas. Para mostrar cómo definió Lebesgue su integral, considere f : [a, b] → R y suponga que m ≤ f (x) ≤ M para cada x ∈ [a, b], donde −∞ < m y M < ∞. Sean m1 , m2 , ..., mp números reales de forma que m = m0 < m1 < ... < mp−1 < mp = M y defina los conjuntos: E0 = f −1 (m) y para cada i ∈ {1, ..., p}, Ei = f −1 ((mi−1 , mi ]). Considere las sumas: m0 µ0 +. p X. mi µi. y m0 µo +. i=1. p X. mi−1 µi ,. i=1. donde µi representa a la “medida”de Ei .. Si estas sumas tienden a un mismo lı́mite independiente de los mi elegidos, cuando la diferencia entre dos mi consecutivos tiende a cero, Lebesgue llamó a f integrable y al lı́mite su integral. Esta definición hace evidente la necesidad de medir subconjuntos de [a, b], es por ello que se introduce la definición de una medida exterior. Definición 1.1. Dado un conjunto X, una medida exterior λ es una función λ : ℘(X) → R+ ∪ {0, ∞} tal que: 1.

(9) 2. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 1. λ(∅) = 0 2. Dados dos conjuntos A y B, si A ⊆ B, entonces λ(A) ≤ λ(B) 3. Si {Ei }i∈N es una sucesión de subconjuntos de X, entonces, λ(∪∞ i=1 Ei ) ≤. P∞. i=1. λ(Ei ). Definición 1.2. Sea E un subconjunto de números reales. La medida exterior de Lebesgue de E, que se denota como µ∗ (E), se define como: (∞ ) X ∞ ı́nf l(Ik ) : {Ik } es una sucesión de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪k=1 Ik . k=1. Ya que el conjunto de los números reales puede ser cubierto por una cantidad numerable de intervalos abiertos, se puede cubrir cualquier subconjunto con una colección a lo más numerable de intervalos abiertos. Y, puesto que la longitud de un intervalo es al menos cero, la medida exterior de Lebesgue de un subconjunto E, siempre existe y 0 ≤ µ∗ (E) ≤ ∞. Teorema 1.3. La medida exterior de Lebesgue es una medida exterior 1. Si E1 y E2 son subconjuntos de números reales tales que E1 ⊆ E2 , entonces µ∗ (E1 ) ≤ µ∗ (E2 ). 2. La medida exterior del conjunto vacı́o es cero. 3. Dada una sucesión de conjuntos {Ei }i∈N , µ∗ (∪∞ i=1 Ei ) ≤. P∞. i=1. µ∗ (Ei ). Demostración. 1. Ya que E1 ⊆ E2 , se tiene que (∞ ) X l(Ik ) : {Ik } es una sucesión de intervalos abiertos tal que E2 ⊆ ∪∞ k=1 Ik k=1. es un subconjunto de ) (∞ X l(Ik ) : {Ik } es una sucesión de intervalos abiertos tal que E1 ⊆ ∪∞ k=1 Ik k=1. al tomar el ı́nfimo de ambos conjuntos, µ∗ (E1 ) ≤ µ∗ (E2 ). 2. Sea ε > 0. Considérese la sucesión de intervalos n ε o ε . − k+1 , k+1 2 2 k∈N  P ε ε ε ∗ Entonces, ∅ ⊆ ∪∞ − , , por lo que µ∗ (∅) ≤ ∞ k+1 k+1 k=1 k=1 k . Esto prueba que µ (∅) = 0. 2 2 2.

(10) 3. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE 3. Si. P∞. i=1. µ∗ (Ei ) = ∞, entonces µ∗ (∪∞ i=1 Ei ) ≤. P∞. i=1. µ∗ (Ei ).. P ∗ i Suponga que ∞ i=1 µ (Ei ) es finita. Dada ε > 0, para cada i ∈ N, existe una sucesión {Ik }k∈N i de intervalos abiertos tal que Ei ⊆ ∪∞ k=1 Ik y ∞ X. l(Iki ) < µ∗ (Ei ) +. k=1. ∞ ∞ i De este modo, ∪∞ i=1 Ei ⊆ ∪k=1 ∪k=1 Ik , además ∞ X ∞ X. l(Iki ) <. i=1 k=1. Por µ∗ (∪∞ i=1 Ei ) ≤ P∞ ello, ∗ i=1 µ (Ei ).. ∞ X i=1. P∞. i=1. µ∗ (Ei ) +. ε 2i. y. ∞ X. ε . 2i. ∞. µ∗ (Ei ) +. i=1. X ε = µ∗ (Ei ) + ε. i 2 i=1. µ∗ (Ei ) + ε. Como ε fue arbitraria, se sigue que µ∗ (∪∞ i=1 Ei ) ≤. Esto completa la prueba.. Teorema 1.4. La medida exterior de Lebesgue tiene las siguientes propiedades: 1. La medida exterior de Lebesgue de cualquier conjunto numerable es cero. 2. Para cada conjunto E y para cada número real x0 , µ∗ (E + x0 ) = µ∗ (E) 3. Para cualquier intervalo I, µ∗ (I) = l(I) Demostración. 1. Sean E = {xk : k ∈ N} un conjunto numerable y ε > 0. Considérese la sucesión de intervalos n ε ε o xk − k+1 , xk + k+1 . 2 2 k∈N  S P∞ ε ε ε ∗ Entonces, E ⊆ ∞ k=1 xk − 2k+1 , xk + 2k+1 , por lo que µ (E) ≤ k=1 k . Esto prueba que 2 µ∗ (E) = 0. 2. Sean E un conjunto, {Ik }k∈N una sucesión de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪∞ k=1 Ik y x0 ∈ R, ∞ entonces E + x0 ⊆ ∪k=1 Ik + x0 . Entonces: ∗. µ (E + x0 ) ≤ ∗. ∗. ∞ X k=1. l(Ik + x0 ) =. ∞ X. l(Ik ),. k=1. por ello µ (E + x0 ) ≤ µ (E). Por otra parte, µ∗ (E) = µ∗ ((E + x0 ) − x0 ) y del mismo modo que en el párrafo anterior, µ ((E +x0 )−x0 ) ≤ µ∗ (E +x0 ), ası́ µ∗ (E) ≤ µ∗ (E +x0 ). Consecuentemente, µ∗ (E) = µ∗ (E +x0 ). ∗.

(11) 4. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 3. Suponga que I = [a, b] es un intervalo cerrado y acotado. P∞ εk Dada ε > 0, considereS una sucesión {εk } deSnúmeros reales positivos tal que k=1 4 . ∞ ∞ ∗ Entonces P [a, b] ⊆ (a, b) ∪ k=1 (a − εk , a + εk ) ∪ k=1 (b − εk , b + εk ), por lo que µ ([a, b]) ≤ ∗ ∗ b−a+2 ∞ k=1 2εk , i.e µ ([a, b]) ≤ b − a + ε. Como ε > 0 fue arbitraria, µ ([a, b]) ≤ b − a. Por otra parte, sea {Ik }k ∈N una sucesión de intervalos abiertos tal que I ⊆ ∪∞ k=1 Ik , como I es compacto, existe una subcolección finita de {Ik }k∈N que cubre a I. Reordenando y eliminando intervalos, si es necesario, es posible elegir una colección {Ji : 1 ≤ i ≤ n} de intervalos de {Ik }k∈N tal que a ∈ J1 = (a1 , b1 ), b1 ∈ J2 = (a2 , b2 ), b2 ∈ J3 = (a3 , b3 ),...,bn−1 ∈ Jn = (an , bn ), donde bn−1 < bn . Ası́: b − a < bn − a1 =. n X i=2. (bi − bi−1 ) + (b1 − a1 ) <. n X i=2. (bi − ai ) + (b1 − a1 ) =. n X i=1. l(Ji ) ≤. ∞ X. l(Ik ).. k=1. En consecuencia, l(I) ≤ µ∗ (I). Esto prueba el resultado para intervalos cerrados y acotados. Suponga que I = (a, b) es un intervalo abierto y acotado, entonces b − a ≥ µ∗ ((a, b)) (ya que I es un recubrimiento de sı́ mismo). Del inciso 1 y del teorema 1.3 l([a, b]) = µ∗ ([a, b]) ≤ µ∗ ((a, b)) + µ∗ ({a}) + µ∗ ({b}) = µ∗ ((a, b)). La prueba para los intervalos acotados semi-abiertos es similar a la anterior. Finalmente, suponga que I es un intervalo no acotado (l(I) = ∞) y sea M > 0. Entonces, existe un intervalo acotado J, de modo que J ⊆ I y µ∗ (J) = M. Se sigue que µ∗ (J) ≤ µ∗ (I), es decir M ≤ µ∗ (I). Ya que M > 0 fue tomada arbitraria, µ∗ (I) = ∞. En cada caso l(I) = µ∗ (I).. La medida exterior de Lebesgue no es σ-aditiva como se verá en un ejemplo que se tratará en el teorema 1.14. Para solucionar este problema, se debe centrar la atención en una colección de conjuntos en particular, los conjuntos medibles. Ésta, tiene las propiedades de una σ-álgebra. Definición 1.5. Sean X un conjunto y C ⊆ ℘(X), un subconjunto del conjunto potencia de X. C es una σ-álgebra si: 1. X ∈ C 2. Si cada vez que E ∈ C, entonces E c ∈ C 3. Si {Ei }i∈N ⊆ C, entonces ∪∞ i=1 Ei ∈ C.

(12) 5. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE. Es claro que la intersección arbitraria de σ-álgebras es una σ-álgebra, y esto da pie a la siguiente definición. Definición 1.6. Sea X un conjunto y τ una topologı́a para X. La σ-álgebra de Borel, es la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a todos los conjuntos abiertos y será denotada por B. Ası́ B es la σ-álgebra más pequeña que contiene a los conjuntos abiertos. Definición 1.7. Dado un conjunto X y C una σ-álgebra de conjuntos de X, una medida µ para C, es una función µ : C → R ∪ {∞}, tal que: 1. Para cada E ∈ C, µ(E) ≥ 0. 2. µ(∅) = 0. 3.PSi {Ei }i∈N es una sucesión de conjuntos de la σ-álgebra, ajenos a pares, entonces µ(∪∞ i=1 Ei ) = ∞ µ(E ). i i=1 Definición 1.8. Un subconjunto de números reales E, es Lebesgue medible si para cada conjunto A ⊆ R, se satisface que: µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ). Se denotará por M a la colección de los conjuntos Lebesgue medibles y sólo serán llamados medibles. En esta definición, el conjunto E divide al conjunto A en dos partes ajenas, A ∩ E y A ∩ E c . E es Lebesgue medible, si divide al conjunto A de tal forma que la medida exterior de Lebesque del conjunto, es la suma de la medida exterior de Lebesgue de las dos partes. Observe que para cualesquiera subconjuntos de números reales A y E, la desigualdad µ (A) ≤ µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) siempre se satisface, por la monotonı́a y la subaditividad de la medidad exterior de Lebesgue. Por ello, para comprobar que un conjunto es medible, basta verificar que se cumple la desigualdad contraria. ∗. El propósito a continuación es mostrar que la colección de los conjuntos Lebesgue medibles es una σ-álgebra, para ello se necesita el siguiente lema. Lema 1.9. Sean n ∈ N y {Ei : 1 ≤ i ≤ n} una colección finita de conjuntos medibles ajenos a pares y A ⊆ R, entonces se tiene que: µ∗ (∪ni=1 (A ∩ Ei )) = Demostración. Por inducción sobre n.. n X i=1. µ∗ (A ∩ Ei )..

(13) 6. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES Si n = 1, es claro que µ∗ (∪ni=1 (A ∩ Ei )) =. Pn. i=1. µ∗ (A ∩ Ei ).. Suponga que si {Ei : 1 ≤ P n} es una colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares, ∗ n entonces µ (∪i=1 (A ∩ Ei )) = ni=1 µ∗ (A ∩ Ei ).. Sea {Ei : i ≤ n + 1} una colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares. Como En+1 es medible, ∗ n+1 ∗ n+1 c µ∗ (A ∩ (∪n+1 i=1 Ei )) = µ (A ∩ (∪i=1 Ei ) ∩ En+1 ) + µ (A ∩ (∪i=1 Ei ) ∩ En+1 ) = µ∗ (A ∩ En+1 ) + µ∗ (A ∩ (∪ni=1 Ei )) n X ∗ = µ (A ∩ En+1 ) + µ∗ (A ∩ Ei ) i=1. =. n+1 X i=1. µ∗ (A ∩ Ei ).. El resultado se sigue del principio de inducción matemática.. Note que, en el caso en que A = R, el lema anterior afirma que si {Ei P : i ≤ n} es una ∗ n colección finita de conjuntos medibles, ajenos a pares, entonces µ (∪i=1 Ei ) = ni=1 µ∗ (Ei ).. Teorema 1.10. M es una σ-álgebra y µ∗ |M es una medida, que será llamada la medida de Lebesgue.. Demostración. 1. Se tiene que: µ∗ (A) = µ∗ (∅) + µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ ∅) + µ∗ (A ∩ ∅c ). De donde, ∅ es medible. Por otra parte, µ∗ (A) = µ∗ (A) + µ∗ (∅) = µ∗ (A ∩ R) + µ∗ (A ∩ Rc ). De aquı́ que, R es medible. 2. Sea E un conjunto medible. Se cumple que µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ), reescribiendo esta expresión se deduce que µ∗ (A) = µ∗ (A ∩ E c ) + µ∗ (A ∩ (E c )c ). Consecuentemente, E c es medible. Note que si E1 y E2 son conjuntos medibles, entonces E1 ∪ E2 y E1 ∩ E2 son medibles. En efecto:.

(14) 7. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE Observe que: A ∩ (E1 ∪ E2 ) = = = = =. (A ∩ R) ∩ (E1 ∪ E2 ) (A ∩ (E1 ∪ E1c )) ∩ (E1 ∪ E2 ) ((A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E1c )) ∩ (E1 ∪ E2 ) (((A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E1c )) ∩ E1 ) ∪ (((A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E1c )) ∩ E2 ) (((A ∩ E1 ) ∩ E1 ) ∪ ((A ∩ E1c ) ∩ E1 )) ∪ (((A ∩ E1 ) ∩ E2 ) ∪ ((A ∩ E1c ) ∩ E2 )) = (A ∩ E1 ) ∪ (((A ∩ E1 ) ∩ E2 ) ∪ ((A ∩ E1c ) ∩ E2 )) = (A ∩ E1 ) ∪ (((A ∩ E1 ) ∩ E2 ) ∪ ((A ∩ E1c ) ∩ E2 )) = (A ∩ E1 ) ∪ ((A ∩ E1c ) ∩ E2 ).. De esta manera: µ∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )) + µ∗ (A ∩ (E1 ∪ E2 )c ) = µ∗ ((A ∩ E1 ) ∪ (A ∩ E1c ∩ E2 )) + µ∗ (A ∩ E1c ∩ E2c ) ≤ µ∗ (A ∩ E1 ) + µ∗ ((A ∩ E1c ) ∩ E2 ) + µ∗ ((A ∩ E1c ) ∩ E2c ) = µ∗ (A ∩ E1 ) + µ∗ (A ∩ E1c ) = µ∗ (A). Por tanto, E1 ∪ E2 es medible. Además, puesto que E1c y E2c son medibles, E1c ∪ E2c es medible, por lo que E1 ∩ E2 = (E1c ∪ E2c )c , es medible. 3. Sea {Ei }i∈N una sucesión de conjuntos medibles. Defina H1 = E1 y para cada n ≥ 2 Hn = En − ∪n−1 i=1 Ei . Entonces {Hi }i∈N es una sucesión ∞ ∞ c n c de conjuntos medibles, ajenos a pares y ∪∞ E = ∪ i=1 i i=1 Hi , además (∪i=1 Ei ) ⊆ (∪i=1 Hi ) pues para cada n ≥ 1 ∪ni=1 Hi ⊆ ∪∞ i=1 Ei . Sea A ⊆ R, entonces para cada n ≥ 1: ∗. ∗. µ (A) = µ (A ∩. (∪ni=1 Hi )). + µ (A ∩. Se sigue que: ∗. µ (A) ≥ Ası́:. ∗. ∞ X i=1. (∪ni=1 Hi )c ). ≥. n X i=1. c µ∗ (A ∩ Hi ) + µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Ei ) ).. c µ∗ (A ∩ Hi ) + µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Ei ) ).. ∗ ∞ c ∗ ∞ ∗ ∞ c µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Ei )) + µ (A ∩ (∪i=1 Ei ) ) = µ (∪i=1 (A ∩ Hi )) + µ (A ∩ (∪i=1 Ei ) ) ∞ X c ≤ µ∗ (A ∩ H1 ) + µ∗ (A ∩ (∪∞ i=1 Ei ) ) i=1. ≤ µ∗ (A)..

(15) 8. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Por tanto, ∪∞ i=1 Ei es un conjunto medible. ∞ c c ∞ Por otra parte, ∩∞ i=1 Ei = (∪i=1 Ei ) , por lo que el conjunto ∩i=1 Ei es medible.. 4. Por último, sea {Ei }i∈N una sucesión de conjuntos medibles, ajenos a pares. Del lema 1.9, para cada n ≥ 1 se sigue que: n X i=1. µ(Ei ) = µ(∪ni=1 Ei ) ≤ µ(∪∞ i=1 Ei ).. P∞. Entonces i=1 µ(Ei ) ≤ µ(∪∞ Por otro lado, de la subaditividad numerable de la medida i=1 Ei ).P P∞ S∞ exterior se sigue que µ(∪i=1 Ei ) ≤ ∞ µ(E ). Entonces µ(E ) = µ ( E ). i i i=1 i=1 i=1 i Ahora M es una σ-álgebra y por el inciso 4, µ∗ |M es una medida.. Teorema 1.11. La colección de los conjuntos medibles tiene las siguientes propiedades: 1. Si µ∗ (E) = 0, entonces E es medible. 2. Si E es un conjunto medible, entonces E + x0 es medible. Demostración. Sea A ⊆ R 1. Como se dijo anteriormente, basta probar que µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) ≤ µ∗ (A). Puesto que A ∩ E c ⊆ A, entonces µ∗ (A ∩ E c ) ≤ µ∗ (A). Además µ∗ (A ∩ E) = 0, pues µ (E) = 0, por ello µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) ≤ µ∗ (A), ası́ E es medible. ∗. 2. Sea x0 ∈ R, entonces: µ∗ (A) = = = = =. µ∗ (A − x0 ) µ∗ ((A − x0 ) ∩ E) + µ∗ ((A − x0 ) ∩ E c ) µ∗ (((A − x0 ) ∩ E) + x0 ) + µ∗ (((A − x0 ) ∩ E c ) + x0 ) µ∗ (((A − x0 ) + x0 ) ∩ (E + x0 )) + µ∗ (((A − x0 ) + x0 ) ∩ (E c + x0 )) µ∗ (A ∩ (E + x0 )) + µ∗ (A ∩ (E + x0 )c ).. Se sigue que E + x0 es medible. Teorema 1.12. Todo intervalo de números reales es medible. Demostración. Sea a ∈ R, se probará que el intervalo (a, ∞) es un conjunto medible. Sea A ⊆ R..

(16) 9. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE Si µ∗ (A) = ∞, es claro que µ∗ (A ∩ (a, ∞)) + µ∗ (A ∩ (−∞, a]) ≤ µ∗ (A). Suponga que µ∗ (A) < ∞,Psea ε > 0, entonces existe una sucesión de intervalos abiertos ∞ ∗ 1 {Ik }k∈N tal que A ⊆ ∪∞ k=1 Ik y k=1 l(Ik ) < µ (A)+ε. Para cada k ∈ N, defina Ik = Ik ∩(−∞, a] 2 ∞ 1 ∞ e Ik = Ik ∩ (a, ∞). De esta forma, A ∩ (−∞, a] ⊆ ∪k=1 Ik y A ∩ (a, ∞) ⊆ ∪k=1 Ik2 . Observe que: µ∗ (Ik1 ) + µ∗ (Ik2 ) = l(Ik1 ) + l(Ik2 ) = l(Ik ). De esta forma, 1 ∗ ∞ 2 µ∗ (A ∩ (−∞, a]) + µ∗ (A ∩ (a, ∞)) ≤ µ∗ (∪∞ k=1 Ik ) + µ (∪k=1 Ik ) ∞ ∞ X X ∗ 1 ≤ µ (Ik ) + µ∗ (Ik2 ) k=1. =. ∞ X. k=1. l(Ik ). k=1. < µ∗ (A) + ε. Como ε > 0 fue arbitraria, se tiene que, µ∗ (A ∩ (a, ∞)) + µ∗ (A ∩ (a, ∞)c ) ≤ µ∗ (A), de donde (a, ∞) es un conjunto medible. Sean a y b números reales de forma que a < b, entonces se tiene que (a, ∞) y (b, ∞)c son conjuntos medibles, por lo que (a, b] = (a, ∞) ∩ (b, ∞)c es medible. Como µ∗ ({a}) = 0, {a} es medible, ası́ [a, b] = (a, b] ∪ {a} es medible y como {b} es medible, [a, b) = [a, b] ∩ {b}c también lo es. Por último, dado que (a, ∞) es medible, (−∞, a) = (a, ∞)c ∩ {a}c es medible. Llegado este punto, es natural preguntarse, qué conjuntos son medibles. En el siguiente teorema, se verá que existe una amplia variedad de estos conjuntos. Teorema 1.13. Todo conjunto abierto o cerrado es medible. Demostración. Sea E ⊆ R un subconjunto abierto. Dado x ∈ E, existe ε > 0 tal que (x − ε, x + ε) ⊆ E. Por la propiedad arquimediana, existe n ∈ N de formaque n1 < ε, por lo que   x − n1 , x + n1 ⊆ (x−ε, es posible definir mx = mı́n m ∈ N : x − m1 , x + m1 ⊆ E .  x+ε). De esta forma,  S Entonces E = x∈E∩Q x − m1x , x + m1x . E.. . En efecto, para cada x ∈ E∩Q, x −. 1 ,x mx. +. 1 mx. . ⊆ E, es claro que. S.  x∈E∩Q x −. 1 ,x mx. +. 1 mx.   Por otra parte, si x ∈ E, x − 2m1 x , x + 2m1 x ⊆ E, como Q es denso en R, existe y ∈   Q ∩ x − 2m1 x , x + 2m1 x , es decir x − 2m1 x < y < x + 2m1 x , de donde y − 2m1 x < x < y + 2m1 x ,. . ⊆.

(17) 10. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES .      + 2m1 x . Note que y − 2m1 x , y + 2m1 x ⊆ x − m1x , x + m1x , por lo que       my ≤ 2mx . Entonces y − 2m1 x , y + 2m1 x ⊆ y − m1y , y + m1y , por ello x ∈ y − m1y , y + m1y .     S S 1 1 1 1 De este modo x ∈ z∈E∩Q z − mz , z + mz , consecuentemente E ⊆ z∈E∩Q z − mz , z + mz .. ası́ x ∈. y−. 1 ,y 2mx. De esta manera, el conjunto abierto E puede ser escrito como una unión numerable de intervalos abiertos, que son conjuntos medibles; y por el teorema 1.10, E es un conjunto medible. Además, si C es un conjunto cerrado, C c es un conjunto abierto y, por ello medible. Dado el teorema 1.10 y que C = (C c )c es un conjunto medible se concluye la prueba. Como los conjuntos abiertos y cerrados son medibles y la colección de los conjuntos medibles es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables, es difı́cil imaginar un conjunto que no es medible; sin embargo, este tipo de conjuntos existen, un ejemplo se presenta a continuación. Es importante mencionar que el axioma de elección es usado para probar el siguiente resultado. Teorema 1.14. Existe un conjunto que no es medible. Demostración. Defina la relación ∼ en R como sigue: x ∼ y si y sólo si x − y es racional. Observe que ∼ es una relación de equivalencia. En efecto: 1. x ∼ x, pues x − x = 0. 2. Si x ∼ y, entonces x − y ∈ Q, por lo que (−1)(x − y) ∈ Q, es decir y − x ∈ Q, ası́ y ∼ x 3. Si x ∼ y e y ∼ z, entonces x − y ∈ Q e y − z ∈ Q, por ello (x − y) + (y − z) ∈ Q, es decir x − z ∈ Q, de esta forma x ∼ z. Esta relación da lugar a una partición de los números reales en clases de equivalencia. Éstas son de la forma {x + r : r ∈ Q}. De cada clase de equivalencia elija un único representante que se encuentre en el intervalo [0, 1]. Sea E ⊆ [0, 1] el conjunto que consiste de estos representantes. Ya que [−1, 1] ∩ Q es un conjunto numerable, es posible escribirlo como sigue, [−1, 1] ∩ Q = {ri : i ∈ N}. Considere Ei = E + ri , entonces [0, 1] ⊆ ∪∞ i=1 Ei ⊆ [−1, 2]. En efecto: Sea x ∈ [0, 1], entonces existe y ∈ E tal que x − y es racional. Como −1 ≤ x − y ≤ 1 (pues x ∈ [0, 1] e y ∈ [0, 1]), existe un ı́ndice j ∈ N tal que x − y = rj , de esta forma x = y + rj ∈ Ej , ası́ [0, 1] ⊆ ∪∞ i=1 Ei ..

(18) 11. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE. Nótese que Ei ∩ Ej = ∅ siempre que i 6= j, de lo contrario existirı́an y y z, elementos de E, tales que y + ri = z + rj , lo que implicarı́a que y ∼ z y, por la definición de E, y = z; ası́ y + ri 6= z + rj , lo que es una contradicción. Suponga que E es un conjunto medible, entonces para cada i ∈ N, Ei es medible y µ(Ei ) = µ(E), pues cada Ei es una traslación de E (teoremas 1.4 y 1.11). De esta forma se tiene que: µ([0, 1]) ≤ µ(∪∞ i=1 Ei ) ≤ µ([−1, 2]), P∞ P∞ entonces 1 ≤ y es i=1 µ(E) ≤ 3. Como i=1 µ(E) es una serie de términos constantes P convergente, se tiene que µ(E) = 0 lo cual es una contradicción a que 1 ≤ ∞ µ(E). Por i=1 tanto E no es un conjunto medible. Lema 1.15. Sean E1 un conjunto medible de medida finita y E2 un conjunto medible, de forma que E1 ⊆ E2 , entonces µ(E2 − E1 ) = µ(E2 ) − µ(E1 ) Demostración. Note que, E2 = E1 ∪ (E2 − E1 ) y E1 ∩ (E2 − E1 ) = ∅, entonces µ(E2 ) = µ(E1 ∪ (E2 − E1 )) = µ(E1 ) + µ(E2 − E1 ). Como µ(E1 ) < ∞, µ(E2 ) − µ(E1 ) = µ(E2 − E1 ). El siguiente teorema proporciona algunas condiciones para combinar una medida y las operaciones de lı́mite. Esto será útil una vez definida la integral de Lebesgue. Teorema 1.16. Sea {En }n∈N una sucesión de conjuntos medibles. 1. Si para cada n ∈ N, En ⊆ En+1 , entonces µ(∪∞ n=1 En ) = lı́m µ(En ). n→∞. 2. Si µ(E1 ) es finita y para cada n ∈ N, En+1 ⊆ En , entonces µ(∩∞ n=1 En ) = lı́m µ(En ). n→∞. Demostración. 1. Si existe m ∈ N tal que µ(Em ) = ∞, entonces µ(∪∞ n=1 En ) = ∞. Como {En }n∈N es una sucesión no decreciente, de la subaditividad de la medida de Lebesgue se sigue que para cada n ≥ m, µ(En ) = ∞, por ello lı́m µ(En ) = ∞. n→∞. Suponga que para cada n ∈ N, µ(En ) es finita. Defina H1 = E1 y para cada n ≥ 2, Hn = En −En−1 . Entonces {Hn }n∈N es una sucesión de conjuntos medibles, ajenos a pares y ∪∞ n=1 Hn = ∞ ∪n=1 En . En efecto:.

(19) 12. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Si existen ı́ndices i y j de forma que Hi ∩ Hj 6= ∅, sin pérdida de generalidad se puede suponer que i < j. Ası́, existe x ∈ Hi y x ∈ Hj , por lo que x ∈ Ei y x ∈ Ej − Ej−1 . No obstante, i ≤ j − 1 y {En }n∈N es una sucesión no decreciente, por ello x ∈ / Ei , lo cual es una contradicción. Consecuentemente {Hn }n∈N es una sucesión de conjuntos ajenos a pares. ∞ Por otra parte, es claro que para cada n ∈ N, Hn ⊆ En , de modo que ∪∞ n=1 Hn ⊆ ∪n=1 En . ∞ Además si x ∈ ∪n=1 En , existe un ı́ndice m tal que x ∈ Em , de esta manera es posible considerar k = mı́n{n ∈ N : x ∈ En }, ası́ x ∈ H1 (en caso de que m = 1) o x ∈ Hk .Por tanto, x ∈ ∪∞ n=1 Hn , ∞ ∞ ∞ ∞ entonces ∪n=1 En ⊆ ∪n=1 Hn , ası́ ∪n=1 En = ∪n=1 Hn .. Consecuentemente: ∞ µ(∪∞ n=1 En ) = µ(∪n=1 Hn ) ∞ X = µ(Hn ) n=1. = = =. lı́m. n→∞. lı́m. n→∞. n X k=2. n X k=2. (µ(Ek − Ek−1 ) + µ(E1 )) (µ(Ek ) − µ(Ek−1) + µ(E1 )). lı́m µ(En ).. n→∞. 2. Defina F1 = E1 y para cada n ≥ 2, Fn = E1 − En , entonces {Fn }n∈N es una sucesión no decreciente de conjuntos medibles ajenos a pares. Por el inciso 1. µ(∪∞ n=1 Fn ) = lı́m µ(Fn ). n→∞ Observe que: ∞ µ(∪∞ n=1 Fn ) = µ(∪n=1 (E1 − En )) = µ(E1 − ∩∞ n=1 En ) = µ(E1 ) − µ(∩∞ n=1 En ).. Por otra parte, lı́m µ(Fn ) =. n→∞. =. lı́m µ(E1 − En ). n→∞. lı́m µ(E1 ) − µ(En ). n→∞. = µ(E1 ) − lı́m µ(En ). n→∞. ∞ Consecuentemente, µ(E1 )−µ(∩∞ n=1 En ) = µ(E1 )− lı́m µ(En ), es decir µ(∩n=1 En ) = lı́m µ(En ), n→∞ n→∞ lo que termina la prueba.. La definición de conjunto medible es difı́cil de aplicar en la práctica, pero hay formas equivalentes de ésta. Para establecer esta equivalencia, es necesario introducir la siguiente definición..

(20) 13. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE Definición 1.17.. 1. Un subconjunto de números reales es llamado Gδ si es la intersección numerable de conjuntos abiertos. 2. Un subconjunto de números reales es llamado Fσ si es la unión numerable de conjuntos cerrados. Teorema 1.18. Para cualquier conjunto E ⊆ R, los siguientes enunciados son equivalentes: 1. El conjunto E es medible. 2. Para cada ε > 0, existe un conjunto abierto O tal que E ⊆ O y µ∗ (O − E) < ε. 3. Para cada ε > 0, existe un conjunto cerrado K tal que K ⊆ E y µ∗ (E − K) < ε. 4. Existe un conjunto Gδ , G tal que E ⊆ G y µ∗ (G − E) = 0. 5. Existe un conjunto Fσ , F tal que F ⊆ E y µ∗ (E − F ) = 0. Demostración. Una forma de probar el resultado, es demostrar la cadena de implicaciones 1 ⇒ 2 ⇒ 4 ⇒ 1 ⇒ 3 ⇒ 5 ⇒ 1. 1 ⇒ 2. Suponga que E es un conjunto medible y que µ(E) < ∞. P∞Sea ε > 0, entonces existe una sucesión de intervalos abiertos {Ik }k∈N tal que E ⊆ ∪∞ I y k=1 k k=1 l(Ik ) < µ(E) + ε. Considere ∞ O = ∪k=1 Ik , ası́ O es un conjunto abierto que cumple: µ(O − E) = µ(O) − µ(E) ∞ X ≤ l(Ik ) − µ(E) < ε. k=1. Suponga ahora que µ(E) = ∞. Sea ε > 0, defina para cada n ∈ N, En = {x ∈ E : n − 1 ≤ |x| < n}. Por la primera parte de la prueba, para cada n ∈ N existe un conjunto abierto ∞ ∞ On tal que En ⊆ On y µ(On − En ) < 2εn . De este modo, E ⊆ ∪∞ n=1 En y ∪n=1 En ⊆ ∪n=1 On , ∞ consecuentemente, O − E ⊆ ∪n=1 (On − En ), por lo que: µ(O − E) ≤ µ(∪∞ n=1 (On − En )) ∞ X ≤ µ(On − En ) <. n=1 ∞ X n=1. ε = ε. 2n.

(21) 14. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 2 ⇒ 4. Para cada n ∈ N existe un conjunto abierto On , tal que E ⊆ On y µ∗ (On − E) < Considere G = ∩∞ n=1 On , entonces G es un conjunto Gδ , E ⊆ G y para cada n ∈ N, µ∗ (G − E) ≤ µ∗ (On − E) <. 1 . n. 1 . n. Ası́, µ∗ (G − E) = 0. 4 ⇒ 1. Como µ∗ (G − E) = 0, el conjunto G − E es medible, entonces G ∩ (G − E)c es medible y ya que G ∩ (G − E)c = E, entonces E es medible. 1 ⇒ 3. Suponga que E es medible, entonces E c también lo es. Ası́, dada ε > 0 existe un conjunto abierto O, tal que E c ⊆ O y µ(O − E c ) < ε. Considere K = O c , de este modo K es un conjunto cerrado de forma que, µ(E − K) = µ(E ∩ K c ) = µ(E ∩ O) = µ(O − E c ) < ε. 3 ⇒ 5. Para cada n ∈ N, existe un conjunto cerrado Kn tal que Kn ⊆ E y µ∗ (E − Kn ) < ε. De este modo F = ∪∞ n=1 Kn es un conjunto Fσ , F ⊆ E y para cada n ∈ N, µ∗ (E − F ) ≤ µ∗ (E − Kn ) <. 1 . n. Ası́ µ∗ (E − F ) = 0. 5 ⇒ 1. Como µ∗ (E − F ) = 0, el conjunto E − F es medible y ya que F es un conjunto Fσ , es medible, por lo que (E − F ) ∪ F = E también lo es. Esto concluye la prueba. Definición 1.19. La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B se define como A △ B = (A − B) ∪ (B − A). El siguiente teorema establece que un conjunto medible de medida finita es casi la unión finita de intervalos abiertos. Teorema 1.20. Sea E un conjunto de forma que µ∗ (E) es finita. E es un conjunto medible si y sólo si para cada ε > 0, existe una colección finita de intervalos abiertos {Ik : 1 ≤ n} tal que µ∗ ((∪nk=1 Ik ) △ E) < ε. Demostración. Suponga que E es un conjunto medible, sea P ε > 0. Por definición, existe una ∞ ε sucesión {Ik }k∈N de intervalos abiertos tal que E ⊆ ∪∞ I y k=1 k k=1 l(Ik ) < µ(E) + 2 . Entonces,.

(22) 15. 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE existe un número natural n tal que. P∞. k=n+1 l(Ik ).. De esta forma,. n µ(E − ∪nk=1 Ik ) ≤ µ(∪∞ k=1 Ik − ∪k=1 Ik ) = µ(∪∞ k=n+1 Ik ) ∞ X ε ≤ l(Ik ) < . 2 k=n+1. Y µ(∪nk=1 Ik − E) ≤ µ(∪∞ k=1 Ik − E) = µ(∪∞ k=1 Ik ) − µ(E) ∞ X ε ≤ l(Ik ) − µ(E) < . 2 k=1 De aquı́ se sigue que µ(E △ (∪nk=1 Ik )) < ε. Recı́procamente, sean A ⊆ R y ε > 0, entonces existe una colección finita de intervalos ε abiertos {Ik : 1 ≤ n}, tal que µ∗ ((∪∞ k=1 Ik ) △ E) < 2 . Note que: A ∩ E = ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )c ) ∪ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )). Como ∪nk=1 Ik es medible se tiene que: µ∗ (A ∩ E) = µ∗ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )c ) + µ∗ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )) y µ∗ (A ∩ E c ) = µ∗ ((A ∩ E c ) ∩ (∪nk=1 Ik )c ) + µ∗ ((A ∩ E c ) ∩ (∪nk=1 Ik )). De esta forma: µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) = µ∗ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )) + µ∗ ((A ∩ E) ∩ (∪nk=1 Ik )c ) + µ∗ ((A ∩ E c ) ∩ (∪nk=1 Ik )) + µ∗ ((A ∩ E c ) ∩ (∪nk=1 Ik )c ) ≤ µ∗ (E ∩ (∪nk=1 Ik )c ) + µ∗ ((∪nk=1 Ik ) ∩ E c ) + µ∗ (A ∩ (∪nk=1 Ik )) + µ∗ (A ∩ (∪nk=1 Ik )c ) ≤ 2µ∗ (E △ (∪nk=1 Ik )) + µ∗ (A) < ε + µ∗ (A). Ya que ε fue arbitraria, se sigue que µ∗ (A ∩ E) + µ∗ (A ∩ E c ) ≤ µ∗ (A). Consecuentemente, E es medible. Teorema 1.21. Si A es un conjunto medible de medida positiva, entonces el conjunto {x − y : y ∈ A y x ∈ A} contiene un intervalo centrado en cero. Demostración. Como µ(A) > 0 y A = ∪∞ −∞ (A∩[n, n+1]), existe un entero q tal que el conjunto A ∩ [q, q + 1] tiene medida positiva. Considere C = A ∩ [q, q + 1] − q, entonces C ⊆ [0, 1] y.

(23) 16. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. µ(C) = µ(A∩[q, q+1]). Por el teorema 1.18, C contiene un conjunto cerrado de medida positiva. Por ello, puede suponerse sin pérdida de generalidad que A es un subconjunto cerrado de [0, 1]. Para cada número natural n, sea Un = ∪a∈A (a − n1 , a + n1 ). Entonces para cada número natural n, Un es un conjunto abierto A ⊆ Un y Un+1 ⊆ Un . Además, A = ∩∞ n=1 Un , ya que A es un conjunto cerrado. Por tanto, existe un número natural m de forma que µ(Um ) es finita. Por el teorema 1.16, µ(A) = lı́m µ(Un ); de esta forma, existe un número natural q de modo que µ(Uq ) < 23 µ(A).. n→∞. Sea δ tal que 0 < δ < 1q , entonces (−δ, δ) ⊆ {x − y : y ∈ A y x ∈ A}. En efecto: Sean z ∈ (−δ, δ) y B = A − z. Note que B ⊆ Uq y µ(A) = µ(B), entonces: µ(Uq − (A ∩ B)) ≤ µ(Uq − A) + µ(Uq − B) = µ(Uq ) − µ(A) + µ(Uq ) − µ(B) = 2µ(Uq ) − 2µ(A)   2 < 2µ(Uq ) − 2 µ(Uq ) 3 2 = µ(Uq ). 3 Se sigue que A ∩ B 6= ∅. Sea r ∈ A ∩ B, como r ∈ B, existe s ∈ A tal que r = s − z, por lo que z = s − r ∈ {x − y : y ∈ A y x ∈ A}. Por tanto, (−δ, δ) ⊆ {x − y : y ∈ A y x ∈ A}, lo que concluye la prueba. Teorema 1.22. Si A es un conjunto medible de medida positiva, entonces A contiene un conjunto que no es medible. Demostración. Nuevamente, se puede suponer sin pérdida de generalidad que A ⊆ [0, 1]. Como en el teorema 1.14, defina la relación de equivalencia en R como sigue: x ∼ y si y sólo si x − y es racional. Recuerde que esta relación establece una colección de clases de equivalencia con la forma {x + r; r ∈ Q}. Cada clase de equivalencia contiene un representante en el intervalo [0, 1]. Sea E ⊆ [0, 1] el conjunto que consiste de un punto de cada clase de equivalencia. Considere [−1, 1] ∩ Q = {ri : i ∈ N} y defina Ai = A ∩ (E + ri ) para cada i ∈ N. Entonces A = ∪∞ i=1 Ai y {Ai }i∈N es una sucesión de conjuntos ajenos a pares. Es claro que para cada i ∈ N, Ai ⊆ A, por lo que ∪∞ i=1 Ai ⊆ A. Por otra parte, si x ∈ A, como A ⊆ [0, 1], existe y ∈ E tal que x − y es racional. Como −1 ≤ x − y ≤ 1, existe un ı́ndice q de forma que x − y = rq , ası́ x = y + rq ∈ Eq , por lo que x ∈ Eq , ası́ A ⊆ ∪∞ i=1 Ai . Además.

(24) 1.1. LA MEDIDA DE LEBESGUE. 17. en el teorema 1.16 se vio que si i y j son números naturales distintos, Ei ∩ Ej = ∅, por ello Ai ∩ Aj = ∅. P Suponga que para cada i ∈ N, Ai es un conjunto medible, entonces µ(A) = ∞ i=1 µ(Ai ) y como µ(A) > 0, existe un número natural N tal que µ(AN ) > 0. Sean x e y puntos distintos de AN (existen ya que µ(An ) > 0). Entonces, existen u ∈ E y v ∈ E de modo que x = u + rN y y = v + rN . Ası́ x − y = u − v ∈ / Q (si u − v ∈ Q, u ∼ v, por lo que pertenecerı́an a la misma clase de equivalencia y ya que E consiste de un único representante de cada clase, u = v, por lo que x = y, en contradicción con el supuesto de que x 6= y). Por consiguiente, el conjunto {x − y : x ∈ AN , y ∈ AN } no contiene números racionales, excepto el cero, lo cual es una contradicción al teorema anterior. Por tanto, al menos uno de los elementos de la sucesión {Ai }i∈N es un conjunto que no es medible. La intuición en matemáticas es importante, pero debe ser guiada por los conceptos apropiados. Para evitar errores por pensar en conjuntos sencillos, es importante construir un inventario de conjuntos medibles poco usuales, se finaliza este capı́tulo con la construcción de uno de ellos. Primero se definirá un tipo de conjuntos, los conjuntos perfectos, y posteriormente se enunciará un teorema sobre este tipo de conjuntos, cuya demostración puede encontrarse en [8]. Definición 1.23. Sea E un subconjunto de R. El conjunto E es perfecto si es cerrado y cada punto de E es un punto de acumulación. Teorema 1.24. Todo conjunto perfecto es no numerable. A continuación se presenta el conjunto de Cantor. Construya una sucesión {Kn }n∈N de conjuntos cerrados como sigue:     1 2 K1 = 0, ∪ ,1 3 3         1 2 3 6 7 8 K2 = 0, ∪ , ∪ , ∪ ,1 9 9 9 9 9 9                 1 2 3 6 7 8 9 18 19 20 21 24 25 26 K3 = 0, ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ , ∪ ,1 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 Para obtener Kn+1 de Kn , se retira un intervalo abierto que representa el tercio central de cada uno de los intervalos cerrados que conforman a Kn . El conjunto Kn es la unión de 2n intervalos cerrados, ajenos a pares, cada uno de longitud 3−n . Ası́, {Kn }n∈N es una sucesión de conjuntos compactos no vacı́os y para cada n ∈ n N, µ(Kn ) = 32n . Sea C = ∩∞ n=1 Kn , entonces C es un conjunto no vacı́o, cerrado y, en vista del teorema 1.16, µ(C) = lı́m µ(Kn ) = 0. n→∞. Teorema 1.25. El conjunto de Cantor es un conjunto no vacı́o, perfecto, no contiene intervalos y tiene medida de Lebesgue cero..

(25) 18. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Demostración. Como µ(C) = 0, C no puede contener intervalos. Para probar que el conjunto de Cantor es perfecto, se debe mostrar que cada uno de sus puntos, es de acumulación. Sean x ∈ C y δ > 0. Elija un número natural n, tal que 31n < δ. Como x ∈ Kn , existe un intervalo cerrado I de longitud 3−n de forma que x ∈ I e I ⊆ Kn . Sea a un extremo del intervalo I distinto de x. Note que a ∈ C y 0 < |x − a| < 31n < δ. Ası́, x es un punto de acumulación de C.. 1.2.. Funciones medibles. La meta que se persigue es definir un proceso de integración que tenga propiedades más fuertes que la integración de Riemann. Como las funciones son el objeto de una teorı́a de integración, es necesario determinar la colección de funciones a considerar. Se busca garantizar que los conjuntos que se obtengan al trabajar con estas funciones, sean medibles. En esta parte, se presentarán estas funciones, que reciben el nombre de funciones medibles. Definición 1.26. Sea E un subconjunto de números reales y f : E → R una función. La función f es medible si E es un conjunto medible y para cada número real r, el conjunto, {x ∈ E : f (x) > r} es medible. En adelante se supondrá que el dominio de cualquier función en este trabajo es un conjunto medible, a no ser que se indique lo contrario. Observe que si E es un subconjunto medible de números reales, y f : E → R es una función continua, para cada número real r el conjunto {x ∈ E : f (x) > r} es la imagen inversa del intervalo (r, ∞) y como f es continua, dicho conjunto es abierto y, por ello medible. Consecuentemente, toda función continua es medible. Definición 1.27. Sea E un conjunto medible de medida positiva y A ⊆ E. La función E → R, representa la función caracterı́stica de A y está dada por:  0 si x ∈ /A χA (x) = 1 si x ∈ A.. χA :. Note que χA es medible si y sólo si A es un conjunto medible, ya que para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : χA (x) > r} es vacı́o o bien A o bien E. Teorema 1.28. Sean E ⊆ R un conjunto medible y f : E → R una función. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) > r} es medible..

(26) 1.2. FUNCIONES MEDIBLES. 19. 2. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) ≥ r} es medible. 3. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) < r} es medible. 4. Para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) ≤ r} es medible. Demostración. 1 =⇒ 2. Note que para cada r ∈ R,.  ∞  \ 1 {x ∈ E : f (x) ≥ r} = x ∈ E : f (x) > r − n n=1. Como {x ∈ E : f (x) > r − n1 } es un conjunto medible para cada número natural n, entonces T ∞ 1 n=1 {x ∈ E : f (x) > r − n } es medible.. 2 =⇒ 3. Dado un número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) ≥ r} es medible, por lo que ({x ∈ E : f (x) ≥ r})c = {x ∈ E : f (x) < r} también lo es. 3 =⇒ 4. Dado un número real r, observe que:  ∞  \ 1 x ∈ E : f (x) < r + = {x ∈ E : f (x) ≤ r} . n n=1  Ası́, para cada número natural n, el conjunto x ∈ E : f (x) < r + n1 es medible. Por tanto {x ∈ E : f (x) ≤ r} también lo es. 4 =⇒ 1. Dado un número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) ≤ r} es medible, por ello ({x ∈ E : f (x) ≤ r})c = {x ∈ E : f (x) > r} también lo es. Definición 1.29. Se dice que una propiedad es válida casi en todas partes si es se cumple fuera de un conjunto de medida cero. Por ejemplo, se dice que las funciones f : E → R y g : E → R son iguales casi en todas partes si el conjunto {x ∈ E : f (x) 6= g(x)} tiene medida cero. Teorema 1.30. Sean f : E → R y g : E → R funciones con f es medible. Si f = g casi en todas partes de E, entonces g es medible. Demostración. Sean r un número real, A = {x ∈ E : f (x) > r} y B = {x ∈ E : g(x) > r}. Entonces A es medible y los conjuntos: A ∩ B c = {x ∈ E : f (x) > r y g(x) ≤ r} y B ∩ Ac = {X ∈ E : f (x) ≤ r y g(x) > r}.

(27) 20. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. tienen medida cero, por lo que el conjunto B ∩ A = A ∩ (A ∩ B c )c es medible. Consecuentemente B = (B ∩ Ac ) ∪ (B ∩ A) es medible. Por tanto, g es una función medible. Teorema 1.31. Sean f : E → R, g : E → R funciones medibles y k un número real, entonces las funciones: 1. f + g 2. f 2 3. kf 4. f g 5. |f | son medibles. Adicionalmente, la función. f g. es medible, si para cada x ∈ E, g(x) 6= 0.. Demostración. Sea r un número real. 1. Observe que: {x ∈ E : (f + g)(x) > r} =. [. q∈Q. ({x ∈ E : f (x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}).. Efectivamente: Si x ∈ E es tal que (f + g)(x) > r, entonces r − g(x) < f (x), por lo que existe un número racional q, tal que r − g(x) < q < f (x), ası́ r − q < g(x) y q < f (x), por ello [ x∈ ({x ∈ E : f (x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}). q∈Q. S Si x ∈ q∈Q ({x ∈ E : f (x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}), existe un número racional q, de forma que q < f (x) y r −q < g(x), entonces r −g(x) < q y q < f (x), por lo que r < f (x) + g(x), ası́ x ∈ {x ∈ E : (f + g)(x) > r}. Ya que para cada número racional q, los conjuntos {x ∈ E : f (x) > r} y {x ∈ E : g(x) > r − q} son medibles, {x ∈ E : f (x) > r} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}. es medible. Por tanto,. [. q∈Q. ({x ∈ E : f (x) > q} ∩ {x ∈ E : g(x) > r − q}). también lo es. Ası́, f + g es una función medible..

(28) 21. 1.2. FUNCIONES MEDIBLES 2. Si r ≥ 0, entonces: {x ∈ E : f 2 (x) > r} = {x ∈ E : f (x) >. √. √ r} ∪ {x ∈ E : f (x) < − r}. √ √ Como f es una función medible, los conjuntos {x ∈ E : f (x) > r} y {x ∈ E : f (x) < − r} son medibles, por lo que {x ∈ E : f 2 (x) > r} es un conjunto con la misma propiedad. Si r < 0, entonces {x ∈ E : f 2 (x) > r} = E, el cual es un conjunto medible. Consecuentemente f 2 es una función medible. 3. Si k = 0, kf es la función constante cero, por lo que:  E si r < 0, {x ∈ E : (kf )(x) > r} = ∅ si r ≥ 0. En ambos casos, {x ∈ E : (kf )(x) > r} es un conjunto medible. Si k < 0, entonces n ro {x ∈ E : (kf )(x) < r} = x ∈ E : f (x) > k. y ya que f es una función medible, el conjunto {x ∈ E : f (x) > kr } es medible. En vista del teorema (1.28), kf es una función medible. Si k > 0, entonces. ro {x ∈ E : (kf )(x) > r} = f (x) > k  r ya que f es una función medible, el conjunto x ∈ E : f (x) > k es medible, consecuentemente kf es una función medible. n. 4. Note que:. (f + g)2 − (f − g)2 = fg 4 En vista de los incisos 1, 2 y 3, f g es una función medible.. 5. Si r < 0, entonces {x ∈ E : |f (x)| > r} = E, el cual es un conjunto medible. Si r ≥ 0, entonces {x ∈ E : |f (x)| > r} = {x ∈ E : f (x) > r} ∪ {x ∈ E : f (x) < −r} Como f es una función medible, los conjuntos {x ∈ E : f (x) > r} y {x ∈ E : f (x) < −r} son medibles, por ello |f | es una función medible. Teorema 1.32. Sean E ⊆ R un conjunto medible y f : E → R una función. Si f es continua casi en todas partes, entonces f es medible..

(29) 22. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Demostración. Sea D el conjunto de discontinuidades de f en E. Como µ(D) = 0 y debido a la monotonı́a de la medida de Lebesgue, todos los subconjuntos de D son medibles. Ası́, dado un número real r, el conjunto {x ∈ D : f (x) > r} es medible. Observe que: {x ∈ E : f (x) > r} = {x ∈ E − D : f (x) > r} ∪ {x ∈ D : f (x) > r}. Por ello, basta mostrar que el conjunto {x ∈ E − D : f (x) > r} es medible. Sea C = {x ∈ E − D : f (x) > r}. Dado x ∈ C, f (x) ∈ (r, ∞). Como (r, ∞) es un conjunto abierto, existe ε > 0 tal que (f (x) − ε, f (x) + ε) ⊆ (r, ∞), y como f es continua en C, para ε > 0 existe δx > 0 de forma que para toda t ∈ E, si |x − t| < δx , entonces |f (x) − f (t)| < ε. Es decir, f (t) > r siempre que t ∈ {z ∈ E : |z − x| < δx }. S Sea U = x∈C {z ∈ E : |z − x| < δx }, lo anterior prueba que C ⊆ U ∩ (E − D). Además U es un conjunto abierto, y por ello medible. Por otra parte, si x ∈ U ∩ (E − D), x ∈ U y x ∈ E − D. Como x ∈ U, existe y ∈ C tal que |y − x| < δx , por lo que f (x) > r, de modo que x ∈ E − D y f (x) > r, es decir x ∈ C. De esta manera U ∩ (E − D) ⊆ C. Consecuentemente, C = U ∩ (E − D). Por tanto C es un conjunto medible. Teorema 1.33. Si {fn }n∈N es una sucesión de funciones medibles definidas en E, entonces 1. g1 (x) = sup{fn (x) : n ∈ N} 2. g2 (x) = ı́nf{fn (x) : n ∈ N} 3. g3 (x) = lı́m sup{fn (x)} 4. g4 (x) = lı́m inf{fn (x)} son funciones medibles. Demostración. Sea r un número real. 1. Observe que: {x ∈ E : g1 (x) > r} = En efecto:. ∞ [. {x ∈ E : fn (x) > r}.. n=1. Si x ∈ E es tal que g1 (x) > r y para cada n ∈ N, fn (x) < r, entonces sup{fn (x) : n ∈ N} ≤ r, lo cual es una contradicción..

(30) 23. 1.2. FUNCIONES MEDIBLES. Si x ∈ E es tal que, existe n ∈ N de modo que fn (x) > r, entonces sup{fn (x) : n ∈ N} ≥ fn (x), por lo que sup{fn (x) : n ∈ N} > r, es decir g1 (x) > r. Ya que para cada n ∈ N, fn es una S función medible, para cada n ∈ N, el conjunto {x ∈ E : fn (x) > r} es medible, por lo que ∞ n=1 {x ∈ E : fn (x) > r} es un conjunto medible, ası́ g1 es una función medible. 2. Note que: {x ∈ E : g2 (x) < r} = En efecto:. ∞ [. {x ∈ E : fn (x) < r}.. n=1. Si x ∈ E es tal que g2 (x) < r y para cada n ∈ N fn (x) > r, entonces r ≤ ı́nf{fn (x) : n ∈ N}, es decir g2 (x) ≥ r, lo cual es una contradicción. Si x ∈ E es tal que existe n ∈ N de modo que fn (x) < r, entonces ı́nf{fn (x) : n ∈ N} ≤ fn (x), por lo que g2 (x) < r. Ya que para cada n ∈ N fn es una función medible, y en vista del teorema 1.28, para cada S∞ n ∈ N el conjunto {x ∈ E : fn (x) < r} es medible; consecuentemente, el conjunto n=1 {x ∈ E : fn (x) < r} también lo es. Ası́ g2 es una función medible.. 3. Basta notar que g3 (x) = ı́nf{sup{fn (x) : k ≥ n}n ∈ N}. El resultado se sigue de los dos incisos anteriores. 4. El resultado se sigue de observar que g4 (x) = sup{ı́nf{fn (x) : k ≥ n}n ∈ N} y de los incisos 1 y 2 de este teorema.. Sea {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles definidas en un conjunto E y suponga que {fn }n∈N converge puntualmente a f casi en todas partes. Es deseable concluir que f es una función medible. No obstante, la función lı́mite f , sólo está definida para aquellos puntos x ∈ E para los cuales exista lı́m fn (x). En este caso, el conjunto para los cuales la función no está n→∞ definida tiene medida cero; por lo que no es de mucha importancia cómo se defina la función en dichos puntos. Como esta situación ocurrirá frecuentemente, se adoptará la convención de que, a no ser que se diga otra cosa, tales funciones serán iguales a cero en aquellos puntos donde la función lı́mite no esté definida. Como consecuencia del teorema 1.33 y de esta convención, se tiene el siguiente resultado. Corolario 1.34. Sean {fn }n∈N una sucesión de funciones definidas en E y f : E → R una función. Si {fn }n∈N converge puntualmente a f casi en todas partes de E, entonces f es medible. Teorema 1.35. Si f : [a, b] → R es una función derivable casi en todas partes de [a, b], entonces la función f ′ es medible..

(31) 24. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. Demostración. Como f es derivable casi en todas partes de [a, b], f es continua casi en todas partes de [a, b] y por ello medible. Extienda f al intervalo [a, b + 1) haciendo f (x) = f (b) para cada x ∈ (b, b + 1). Sea {εn }n∈N una sucesión en (0, 1) que converge a cero. Para cada n ∈ N, defina fn : [a, b] → R como: fn (x) =. f (x + εn ) − f (x) . εn. Para cada número natural n, fn es una función medible y la sucesión {fn }n∈N converge puntualmente a f ′ casi en todas partes de [a, b]. Por el corolario 1.34, la función f ′ es medible. El siguiente teorema, proporciona una caracterización de las funciones medibles. Se debe recordar que B representa la intersección de todas las σ-álgebras que contienen los intervalos abiertos y que un conjunto de B recibe el nombre de conjunto de Borel o boreliano. Teorema 1.36. Sea E un conjunto medible y f : E → R una función. f es medible si y sólo si para cada conjunto de Borel B, f −1 (B) es medible. Demostración. Suponga que f es una función medible. Defina A = {A ⊆ R : f −1 (A) es medible}. Observe que ∅ ∈ A, ya que f −1 (∅) = ∅. Además si A ∈ A, f (Ac ) = f (R − A) = E − f (A) c y E − f (A) es un conjunto medible, por ello S∞ S∞A ∈ A. Por último, si {An }n∈N es una sucesión de conjuntos de A, entonces f ( n=1 An ) = n=1 f (An ), que es un conjunto medible; por lo que S∞ n=1 An ∈ A. Consecuentemente, A es una σ-álgbra.. Dado cualquier intervalo abierto (a, b), note que:. f −1 ((a, b)) = f −1 ((a, ∞) ∩ (−∞, b)) = f −1 ((a, ∞)) ∩ f −1 ((−∞, b)) y que f −1 ((a, ∞)) ∩ f −1 ((−∞, b)) es un conjunto medible. Esto muestra que A es una σ-álgebra que contiene los intervalos abiertos, por lo que la σálgebra de Borel está contenida en A. Ası́, para cada conjunto de Borel B, f −1 (B) es medible. Recı́procamente, si para cada conjunto de Borel B, f −1 (B) es medible, dado un número real r, se tiene que {x ∈ E : f (x) > r} = f −1 ((r, ∞)) y (r, ∞) es un conjunto de Borel, por lo que f es medible. La composición no pertenece a la lista de operaciones algebráicas del teorema 1.31, esto es porque la colección de las funciones medibles no es cerrada bajo la composición. Para obtener resultados positivos, considere la siguiente definición..

(32) 25. 1.2. FUNCIONES MEDIBLES. Definición 1.37. Una función f : E → R es Borel medible si E es un conjunto de Borel y para cada número real r, el conjunto {x ∈ E : f (x) > r} es un conjunto de Borel. Teorema 1.38. Sean f : E → R y g : R → R funciones. Si f es medible y g es Borel medible, entonces g ◦ f : E → R es medible. Demostración. Dado un número real r, se tiene que: {x ∈ E : (g ◦ f )(x) > r} = f −1 (g −1 ((r, ∞))). Este conjunto es medible por el teorema 1.36 ya que g −1 ((r, ∞)) es un conjunto de Borel. El siguiente teorema tiene numerosas aplicaciones. A grandes rasgos, dice que la convergencia puntual es casi convergencia uniforme. Teorema 1.39 (Egoroff). Sean E un conjunto medible de medida finita y {fn }n∈N una sucesión de funciones medibles definidas en E. Si {fn }n∈N converge puntualmente casi en todas partes a una función f , entonces para cada η > 0, existe un conjunto medible H ⊆ E tal que µ(E −H) < η y {fn }n∈N converge uniformemente a f en H. Demostración. Por el corolario 1.34, la función f es medible. Sea B el conjunto de puntos x ∈ E para los que {f( x)}n ∈ N converge a f (x). Sea k un número natural fijo, para cada número natural p se define:   1 p Bk = x ∈ B : para cada n ≥ p, |fn (x) − f (x)| < . k Entonces cada conjunto Bkp es medible, Bkp ⊆ Bkp+1 , B = teorema 1.18 lı́m µ(B − Bkp ) = 0. p→∞. Elija un número natural pk tal − Bkpk ) < T∞que µ(B pk de subconjuntos de B. Sea H = k=1 Bk . Como B − H = B − (. T∞. k=1. Bkpk ) =. S∞. k=1 (B. µ(E − H) = µ(B − H) ≤. η . 2k. S∞. p=1. Bkp y por el inciso dos del. Esto da lugar a una sucesión {Bkpk }. − Bkpk ), se sigue que:. ∞ X k=1. µ(B −. Bkpk ). ∞ X η < = η. 2k k=1. A continuación se verá que {fn }n∈N converge uniformemente a f en H. Sea ε > 0, existe un número natural j tal que p x ∈ Bj j , por lo que |f( x) − f (x)| < 1j < ε.. 1 j. < ε. Suponga que n ≥ pj y x ∈ H. Entonces.

(33) 26. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. El conjunto H, en el teorema de Egoroff usualmente se supone cerrado. Esto se sigue de la tercera parte del teorema 1.20. Además, la hipótesis de que E tenga medida finita es esencial, un ejemplo de esto es la sucesión {χ[n,n+1) }n∈N en el conjunto E = [0, ∞). La convergencia definida en la conclusión del teorema de Egoroff es llamada convergencia casi uniforme. Es importante entender la diferencia entre la convergencia casi uniforme y la convergencia fuera de un conjunto de medida cero. En otras palabras, el teorema de Egorff no dice que existe un conjunto de medida cero tal que µ(E − H) = 0 y {fn }n∈N converge uniformemente en H. En la teorı́a de integración de Riemann, las funciones escalonadas tienen un papel importante. En la integral de Lebesgue, las funciones escalonadas son sustituidas por las funciones simples, éstas toman una cantidad finita de valores. Definición 1.40. Sea f : E → R una función, se dice que f es simple, si su imagen es un conjunto finito. Observe que P si f : E → R es una función simple y su conjunto imagen es {ci : 1 ≤ i ≤ n}, entonces f = ni=1 ci χf −1 ({ci }) , donde cada i ∈ {1, ..., n} y j ∈ {1, ..., n}, con i 6= j, ci 6= Sn para −1 −1 −1 cj , f ({ci }) 6= f ({cj }) y E = i=1 f ({cj }). Una función simple puede ser escrita de diferentes formas, la representación mencionada en la observación anterior será llamada la representación canónica de una función simple. A no ser que se mencione otra cosa, se supondrá que las funciones simples en este trabajo están escritas de esta forma. Definición 1.41. Sea f : E → R una función. Las funciones f + y f − están definidas por: f + (x) = máx{f (x), 0} f − (x) = máx{−f (x), 0}. Estas funciones son medibles siempre que f sea medible, además f = f + −f − y |f | = f + +f − . Teorema 1.42. Sea f : E → R una función medible. 1. Si f es no negativa, entonces existe una sucesión no decreciente de funciones simples que converge puntualmente a f en E. 2. Existe una sucesión de funciones simples que converge puntualmente a f . Demostración. 1. Suponga que f es no negativa. Para cada número natural n, sean An = {x ∈ E : f (x) ≥ n} y.

(34) 27. 1.2. FUNCIONES MEDIBLES. para k ∈ {1, 2, ..., n2n }.. Bnk = {x ∈ E : (k − 1)2−n ≤ f (x) < k2−n }. Estos conjuntos son medibles para cada n ∈ N, An ∩ Bnk = ∅ y An ∪ ( n. Sn =. n2 X k−1 k=1. 2n. Sn2n. k=1. Bnk ) = E. Defina. χBnk + nχAn .. Entonces {Sn }n∈N es una sucesión de funciones simples tal que: (a) Para cada n ∈ N, Sn (x) ≤ Sn+1 (x) (b) lı́m Sn (x) = f (x) n→∞. En efecto: (a) Sean x ∈ E y n ∈ N. Caso 1 Si f (x) ≥ n, entonces x ∈ An , por lo que Sn (x) = n. a) Si x es tal que f (x) ≥ n + 1, x ∈ An+1 , en cuyo caso Sn+1 (x) = n + 1.. b) Si n ≤ f (x) < n + 1, entonces existe k ∈ {1, 2, ..., (n + 1)2n+1}, tal que 2k−1 n+1 ≤ f (x) < k k−1 k . Como n ≤ f (x), entonces n ≤ 2n+1 . De este modo, x ∈ Bn+1 y n ≤ 2k−1 n+1 , ası́ 2n+1 Sn (x) = n ≤ 2k−1 = S (x). n+1 n+1. En ambos casos, Sn (x) ≤ Sn+1 (x).. Caso 2 Si x ∈ E es tal que f (x) < n, existe k ∈ {1, 2, ..., n2n } de forma que f (x) < k−1 , por lo que x ∈ Bnk ; por ello, Sn (x) = k−1 . 2n 2n a) Si. k−1 2n. b) Si. 2k−1 2n+1. 2k − 1 2k−1 , entonces x ∈ Bn+1 , por tanto Sn+1 (x) = 2(k−1) = 2n+1 n+1 2 2k ≤ f (x) < 2kn , entonces x ∈ Bn+1 , por lo que Sn+1 (x) = 2k−1 . 2n+1. ≤ f (x) <. k−1 2n. ≤. k−1 . 2n. En consecuencia, Sn (x) ≤ Sn+1 (x). (b) Sean x ∈ E y ε > 0. Como 0 ≤ f (x), existe un número natural N1 , tal que 0 ≤ f (x) < N1 ; ası́, existe k ∈ {1, 2, ..., N2N1 } de modo que k−1 ≤ f (x) < 2Nk 1 . 2N1. Ya que { 21n }n∈N converge a cero, existe un número natural N2 tal que, para cada n ≥ N2 , 21n < ε. Considere N = máx{N1 , N2 }. Sea n ≥ N, entonces existe k ∈ {1, 2, ..., n2n } tal que |f (x) − Sn (x)| = f (x) − De esta forma, lı́m Sn (x) = f (x). n→∞. k−1 2n. ≤ f (x) <. k , 2n. por ello. k−1 k k−1 1 < − = < ε. 2n 2n 2n 2n.

(35) 28. CAPÍTULO 1. PRELIMINARES. 2. Por el inciso 1, existen sucesiones {Sn1 }n∈N y {Sn2 }n∈N de funciones simples que convergen a f + y f − respectivamente. Por ello, {(S 1 − S 2 )n }n∈N es una sucesión de funciones simples que converge a f + − f − = f . El siguiente resultado, cuya demostración se puede encontrar en [1], se utilizará en las siguientes demostraciones. Teorema 1.43 (Teorema de extensión de Tietze). Sea E ⊆ R un conjunto cerrado. Si f : E → R es una función continua en E, entonces existe una función continua g : R → R, de forma que f = g en E. El último resultado de este capı́tulo es el teorema de Lusin. Éste dice que una función medible es casi una función continua. Primero se probará el resultado para funciones simples y después se extenderá a funciones medibles arbitrarias. Lema 1.44. Si S : (a, b) → R es una función simple, entonces para cada ε > 0 existe un conjunto cerrado E ⊆ (a, b), tal que S|E es continua en E y µ((a, b) − E) < ε. Pn Demostración. Sean I = (a, b) y S = i=1 ci χAi , la representación canónica de S. Por el teorema 1.20, para cada i ∈ {1, 2, ..., n} existe un conjunto cerrado E Sin ⊆ Ai tal que µ(Ai − ε . De igual forma, existe un conjunto cerrado En+1 ⊆ I − ( i=1 Ai ) de manera que Ei ) < S 2n µ((I − ni=1 Ai ) − En+1 ) < 2ε . Considere el conjunto E =. Sn+1 i=1. µ(I − E) = µ(I −. Ei . Este conjunto es cerrado, además: n+1 [. Ei ). i=1 n [. = µ((I −. i=1 n [. ≤ µ([(I −. = µ(((I − ≤ µ(((I − ≤ µ((I −. Ei ) − En+1 ). i=1 n [. i=1 n [. i=1. n [. i=1. n X. Ai ) ∪ (. n [. i=1. Ai ) − En+1 ) ∪ (( Ai ) − En+1 ) ∪ (. n [. i=1 n [. Ai − Ei ) − En+1 )). Ai − Ei )). i=1 n [. Ai ) − En+1 ) + µ(. ε + µ(Ai − Ei ) 2 i=1 ε nε + = ε. = 2 2n. <. Ai − Ei )] − En+1 ). i=1. Ai − Ei ).

(36) 29. 1.2. FUNCIONES MEDIBLES. Por último, sean x ∈ E y ε > 0, entonces existe un ı́ndice j ∈ {1, 2, ..., n + 1} tal que x ∈ Ej . Observe que 1} y m ∈ {1, 2, ..., n + 1} y l 6= m, entonces El ∩ Em = ∅, por lo S si l ∈ {1, 2,c ..., nS+ n+1 que Ej ⊆ ( n+1 E ) y ( Ei )c es un conjunto abierto. De esta manera, existe δ > 0 i=1(i6=j) i Sn+1i=1(i6=j) c tal que (x − δ, x + δ) ⊆ ( i=1(i6=j) Ei ) .. Ası́ para cada y ∈ (x − δ, x + δ), S(y) es constante, por ello 0 = |S(x) − S(y)| < ε. Consecuentemente, S|E es continua en x. Como x ∈ E fue arbitraria, la función S|E es continua en E.. Lema 1.45. Si f : (a, b) → R es una función medible, entonces para cada ε > 0 existe un conjunto cerrado K ⊆ (a, b), tal que f |K es continua en K y µ((a, b) − K) < ε. Demostración. Por el teorema 1.42, existe una sucesión de funciones simples {Sn }n∈N que converge puntualmente a f en (a, b). Sea ε > 0, por el lema anterior, para cada número natural n ε . existe un T conjunto cerrado En ⊆ (a, b) tal que Sn |En es continua en En y µ((a, b) − En ) < 2n+1 Sea E = ∞ E y observe que: n=1 n ∞ X. ∞ X ε ε µ((a, b) − E) ≤ µ((a, b) − En ) < = . n+1 2 2 n=1 n=1. Por el teorema de Egoroff (1.39), existe un conjunto cerrado K ⊆ E tal que µ(E − K) < y {Sn }n∈N converge uniformemente a f en K. Además:. ε 2. µ((a, b) − K) ≤ µ((a, b) − E) + µ(E − K) < ε.. K.. Como Sn |k es continua en K y la convergencia es uniforme, la función f |K es continua en. Teorema 1.46 (Lusin). Si f : (a, b) → R es una función medible, entonces para cada ε > 0 existe una función continua g : (a, b) → R tal que µ({x ∈ (a, b) : f (x) 6= g(x)}) < ε. Demostración. Por el lema 1.45, dada ε > 0 existe un conjunto cerrado K ⊆ (a, b) tal que f |k es continua en K y µ((a, b) − k) < ε. Por el teorema de extensión de Tietze (1.43), existe una función continua g : (a, b) → R tal que g|K = f |K . Además {x ∈ (a, b) : f (x) 6= g(x)} = (a, b) − K, por lo que µ({x ∈ (a, b) : f (x) 6= g(x)}) < ε..

(37) Capı́tulo 2 La integral de Lebesgue En su artı́culo Sur le dévelopement de la notion d’intégrale, Lebesgue compara su proceso de integración con el de contar cuánto dinero se tiene en un conjunto de monedas de varias denominaciones. En el proceso de Riemann, se suman las denominaciones de las monedas conforme estas vayan apareciendo, mientras que con el proceso de Lebesgue primero se agrupan y cuentan las monedas por denominaciones, se multiplica la cantidad de monedas por la denominación y después se suman las cantidades. Este procedimiento derivó en una integral que generalizaba a la de Riemann, otorgaba mayor libertad para intercambiar los lı́mites en una sucesión de integrales y que daba una mejora al Teorema Fundamental del Cálculo, permitiendo que las derivadas acotadas fueran integrables en el sentido de Lebesgue. Una vez establecidas las funciones que serán el objeto de esta teorı́a de integración, procederemos a definir formalmente la integral de Lebesgue empezando por las funciones más sencillas. Pn Definición 2.1. Sea S : [a, b] → R una función simple, medible y S = la rek=1 ck χ REbk presentación canónica de S. La integral de Lebesgue de S en [a, b] está dada por a Sdµ = Pn c µ(E ). Si A es un subconjunto medible de [a, b], entonces: k k=1 k Z Z n X S dµ = S χA dµ = ck µ(Ek ∩ A). A. k=1. La integral de Lebesgue de una función simple está definida en términos de su representación canónica; sin embargo, la integral es independiente de la representación de la función simple, como se verá a continuación. P Lema 2.2. SeanP S : [a, b] → R una función simple y medible, S = nk=1 ck χEk su representación canónica y S = m j=1 aj χAj , otra representación de S donde los conjuntos Aj son ajenos a pares y los números aj pudieran no ser distintos entre sı́, entonces: n m X X ck µ(Ek ) = aj µ(Aj ). j=1. k=1. 31.

(38) 32. CAPÍTULO 2. LA INTEGRAL DE LEBESGUE. Demostración. Para cada k ∈ {1, 2, ..., n}, sea πk = {j ∈ {1, 2, ..., m} : aj = ck }, entonces S Ek = j∈πk Aj , además: n X. n X. ck µ(Ek ) =. k=1. ck µ(. =. X. ck. µ(Aj ). j∈πk. k=1. n X X. =. Aj ). j∈πk. k=1. n X. [. aj µ(Aj ). k=1 j∈πk. m X. =. aj µ(Aj ).. j=1. El resultado general, donde los conjuntos Aj pudieran no ser ajenos a pares, se sigue de la linealidad de la integral de Lebesgue. El siguiente teorema es una recopilación de propiedades básicas de la integral de Lebesgue para funciones simples. Teorema 2.3. Sean r y s funciones simples, medibles, definidas en [a, b] y A y B subconjuntos medibles de [a, b]. Entonces: 1. Para cada número real c, 2.. R. (r + s) dµ =. R. r dµ +. R. R. cs dµ = c. R. s dµ.. s dµ.. 3. Si r ≤ s casi en todas partes de [a, b], entonces 4. Si r = s casi en todas partes de [a, b], entonces 5. |. R. s dµ| ≤. R. |s| dµ.. 6. Si A y B son ajenos, entonces. R. s dµ = A∪B. 7. Si s es no negativa y A ⊆ B, entonces Demostración. Sean r = respectivamente.. Pm. R. R. R. R. r dµ =. s dµ + A. s dµ ≤ A. j=1 aj χAk y s =. r dµ ≤. Pn. R. B. R. B. R. R. s dµ. s dµ.. s dµ.. s dµ.. k=1 bk χBk. las representaciones canónicas de r y s.

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