UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA VICERRECTORADO ACADÉMICO SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICA CARRERA MATEMÁTICA

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Plan de curso Cálculo Integral − Elaborado por Prof. Alejandra Lameda G. – UNA 2008 UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA

VICERRECTORADO ACADÉMICO

SUBPROGRAMA DE DISEÑO ACADÉMICO ÁREA DE MATEMÁTICA

CARRERA MATEMÁTICA

PLAN DE CURSO

I. Identificación

Nombre:

Cálculo Integral

Código:

756 U.C:

6 Carrera:

Matemática

Código:

126 Semestre:

3 Prelaciones:

Matemática

II

Requisito:

Ninguno

Autor:

Lic. Alejandra Lameda G.

Revisión de

Diseño Académico:

Wendy Guzmán

Nivel Central

(2)

−

II. PRESENTACIÓN

El curso de Cálculo Integral (756) está ubicado en el tercer semestre del ciclo de

Estudios Profesionales de la Carrera de Matemática de la Universidad Nacional Abierta, y su

fin es continuar suministrando herramientas de matemáticas que contribuyan con el

desarrollo intelectual de los estudiantes en este ciclo. De allí que sea una asignatura

obligatoria de la carrera de Matemática. Los contenidos de la asignatura son fundamentales

para los cursos siguientes, como son Cálculo Vectorial (758), Tópicos Numéricos (763),

Ecuaciones Diferenciales (767) entre otros.

El contenido del cursose ha dividido en cuatro (4) Módulos de Aprendizaje:

En el Módulo I se da una idea general de la noción de integral definida, usando para

ello el cálculo del área encerrada en una región plana limitada por el eje de las abscisas, las

rectas x = a, x = b y la curva de ecuación y = f(x).

Usando los conocimientos adquiridos en el curso de Matemática II (179) sobre funciones

derivables, podremos obtener ciertas técnicas usuales en el “Cálculo Integral”, conocidas

con el nombre de “Métodos de Integración” y algunas proposiciones como la regla de Barrow

que establece el enlace entre el cálculo de primitivas y el cálculo de las integrales definidas,

que nos permitirán resolver algunos problemas específicos como el cálculo de áreas y

volúmenes y diversos problemas de la física y la mecánica, entre otros.

Se generaliza la definición de integral para los casos en que el intervalo de integración es

infinito, llamada “Integral Impropia en un intervalo infinito” y cuando la función f no está

acotada en el intervalo (a , b), llamadas “Integrales impropias de funciones no acotadas.

El módulo termina con el concepto de integral para un tipo especial de funciones

llamadas funciones escalonada y se usará este concepto para definir la integral de una

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Plan de curso Cálculo Integral − Elaborado por Prof. Alejandra Lameda G. – UNA 2008

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En el Módulo II se presenta la aplicación de las herramientas adquiridas del cálculo

integral en la solución de problemas específicos como el cálculo de áreas y volúmenes y

diversos problemas de la física y la mecánica.

En el Módulo III se comienza por generalizar algunas de las nociones de Álgebra Lineal

estudiadas en el Módulo III de Matemática II; se introducen las nociones de producto

vectorial y producto mixto, se desarrolla el cálculo de funciones f: I ⊂ IR → IRn, que son

estudiadas a través de sus funciones componentes f1 , f2 , … , fn las cuales son funciones

reales de variable real que ya han sido estudiadas en el Módulo II de Matemática II.

A través de las funciones de variable real y recorrido en IRn se introduce la noción de

“curva” –dada en forma paramétrica-. Algunas curvas son estudiadas por su importancia

histórica y otras por su importancia práctica y tal estudio se realiza a través de los siguientes

aspectos: vector tangente, vector normal, vector binormal Triedro de Frenet, curvatura,

torsión, y finalmente se introduce la relación de la teoría de curvas con la cinemática.

En el Módulo IV se desarrolla la teoría de Series Numéricas.

Se estudiarán propiedades y criterios que permitan determinar el carácter de una serie,

así como los relacionados con las series alternadas, donde aparecen las ideas básicas sobre

la convergencia absoluta. Esto nos dará las herramientas para resolver el problema de la

convergencia, así como el análisis de métodos para el cálculo de la suma de una serie.

El curso es teórico-práctico, con el predominio del aspecto práctico, y en este sentido, las

estrategias instruccionales y de evaluación del curso, estarán orientadas hacia la resolución

de ejercicios, problemas y modelización matemática, para dar continuidad al trabajo

realizado en el Módulo IV de Matemática II (179) e ir afianzando poco a poco la destreza de

modelar en matemática y así se le brinda al estudiante la oportunidad de aplicar la teoría.

Para apoyar el proceso de aprendizaje de este curso, el estudiante contará con los

materiales instruccionales siguientes:

Obligatorio

h

El libro de Matemática III (733) de la UNA (1993), el cual se encuentra en las

(4)

−

h

El libro de Cálculo II (703) de la UNA (1984), el cual se encuentra en las bibliotecas de

todos los Centros Locales y Unidades de Apoyo.

Complementario

h

Apóstol T., (1984). Cálculo. 2da ed. Volumen 1. España: Reverté S.A.

h

Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1999). Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed. México: McGRAW-Hill.

h

Medio electrónico:

Calculadoras científicas. Correo electrónico.

CD: “Cálculo Integral”, Alejandra Lameda. (2002). Software: Graphmat, Calculus, Maple 9.5.

Internet.

h

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III. PLAN DE EVALUACION

ASIGNATURA: CÁLCULO INTEGRAL

COD: 756 CRÉDITOS: 6 - LAPSO: 2008-2

SEMESTRE 3

CARRERA: MATEMÁTICA

Responsable: PROF. ALEJANDRA LAMEDA G.

Horario de atención: 10:00 -12:30 m / 2:00 - 4:30 pm Teléfono: (0212)5552084

Correo electrónico: alameda@una.edu.ve

MOMENTOS OBJETIVOS CONTENIDO MODALIDAD

PRIMERA PRUEBA PARCIAL

1, 2 y 4 MÓDULO 1 y MÓDULO 3,

UNIDAD 4

DESARROLLO SEGUNDA PRUEBA

PARCIAL

5, 6 y 7 MÓDULO 3, UNIDAD 5 y

MÓDULO 4 PRUEBA INTEGRAL 1 AL 7,

excepto el 3

MÓDULOS 1, 3 y 4 TRABAJO PRÁCTICO 3 MÓDULO 2

M _{U O}OBJETIVOS EVALUABLES DE LA ASIGNATURA

1

1 1 Calcular integrales definidas e indefinidas aplicando los diferentes métodos de integración y fórmulas de

aproximación.

2 2 Aplicar las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no _{necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado.}

2 3 3 Aplicar las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud _{de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad.}

3

4 4 Aplicar el producto escalar, vectorial y mixto en la resolución de problemas.

5 5 Aplicar el cálculo diferencial e integral a una función vectorial de una variable real en_{específicos.} la solución de problemas

4 6 6

Aplicar las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia.

7 7 Aplicar los criterios correspondientes para determinar la convergencia de una serie de términos positivos y de _{series alternadas.}

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Peso máximo:11

Criterio de dominio académico: 9

Peso acumulado Calificación

1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 2 8 4 9 6 10 8 11 10

Trabajo Práctico (Orientaciones):

Ð

La evaluación del objetivo 3 será mediante un TRABAJO PRÁCTICO en la cuál el estudiante va a modelar, plantear y resolver alguna situación o problema que exista en su entorno, ya sea en su municipio o en el estado en

que vive, aplicando el cálculo integral para resolver dicho problema.

•

•• Para la construcción de un modelo matemático lee la página 96 del Módulo IV de Matemática I (177) de la UNA

para recordar lo aprendido.

•

•• Escribe el problema que quieres resolver, especificando la zona geográfica (por ejemplo, el problema de la

escasez de agua potable en la zona donde se encuentra la Laguna de Tacarigua. Una manera de resolver este

problema, por ejemplo, es la construcción de tanques de agua)

•

•• Sigue el diagrama de flujo de la página 96 del Módulo IV de Matemática I (177). •

•• Para resolver el problema debes aplicar las técnicas de integración para el cálculo de áreas, volúmenes, longitud

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•

•• Se recomienda al estudiante hacer uso de un software matemático. En su Centro Local se encuentran dos

paquetes: “Calculus” y “Graphmatica” que pueden ser usados con este fin. Además gran parte de los

asesores le podrán prestar ayuda en el uso del software Maple 7, el cual es mucho más potente que el

Calculus y Graphmatica, pero requiere de un equipo computacional con mas requerimientos. Para cualquier

consulta el estudiante deberá comunicarse con su asesor en el Centro Local o al Área de Matemática con la

Profesora Alejandra Lameda a los teléfonos (0212) 5552084 o a la dirección electrónica:

alameda@una.edu.ve

Ð

Las orientaciones de este trabajo serán entregadas al estudiante al momento de la presentación de la

Primera Prueba Integral. El trabajo resuelto podrá ser entregado por el estudiante al momento de la

presentación de la Segunda Prueba Integral o de la Tercera Prueba Integral.

Ð

Aquellos estudiantes que entreguen el trabajo en el momento de presentación de la Segunda Prueba Integral,

le serán corregidas y si el resultado es considerado insatisfactorio por el nivel corrector, se le devolverá con las

observaciones correspondientes y el estudiante deberá entregarla a mas tardar el día de la presentación de la

TerceraPrueba Integral, habiendo hecho las correcciones pertinentes.

Ð

Los estudiantes que entreguen la tarea en el momento de la Tercera Prueba Integral no tendrán oportunidad

de corregirla, en caso de que el resultado sea insatisfactorio por el nivel corrector y, como consecuencia,

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ORIENTACIONES GENERALES

• Además de la atención que te brinda tu asesor en el centro local, si lo deseas, también puedes recibir realimentación del especialista en contenido de este curso, a través del correo electrónico: alameda@una.edu.ve

• Antes de comenzar a estudiar los contenidos de esta asignatura, realiza una lectura completa del plan de curso y focaliza las actividades de evaluación.

• Utiliza un cuaderno o carpeta donde sintetices los contenidos de los temas y ejercicios propuestos, esto te permitirá sistematizar tu estudio.

• Reserva un tiempo para repasar frecuentemente la materia.

• Organiza un grupo de tres o cuatro personas; la idea es propiciar el aprendizaje colaborativo.

• Para obtener mejores beneficios durante la lectura, subraya las ideas principales, toma nota, vuelve a leer, consulta el diccionario, revisa las preguntas propuestas o realiza otra actividad que te ayude a comprender la lectura; selecciona la que más se ajuste a ti y te permita obtener un aprendizaje más efectivo.

• Mientras lees, ten presente la intencionalidad del objetivo de la unidad.

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Plan de curso Cálculo Integral − Elaborado por Prof. Alejandra Lameda G. – UNA 2008 IV. DISEÑO DE LA INSTRUCCIÓN DEL CURSO

Objetivo Contenido

1. Calcular integrales definidas e indefinidas aplicando los diferentes métodos de integración y fórmulas de aproximación.

Antiderivada o integral indefinida. Propiedades de la integral indefinida. Sumas finitas y notación sigma. Área bajo una curva. Integral definida. Propiedades de la integral definida. Cálculo de primitiva. Métodos o Técnicas de Integración: Sustitución trigonométrica. Integrales que contienen un trinomio cuadrado. Integración por partes. Integración de funciones racionales. Integración de funciones trigonométricas. Fórmulas de reducción. Relación entre la integral definidas e indefinidas. Método del cambio de variable para integrales definidas. Método de integración por partes para integrales definidas.

Integración aproximada: Fórmula de los trapecios. Fórmula de Simpson.

2. Aplicar las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado.

Integrales impropias. Integrales impropias en un intervalo infinito. Criterio para establecer la convergencia de integrales impropias. Integrales impropias de funciones no acotadas. Fórmula de la media.

3. Aplicar las técnicas de integración de funciones que admiten primitivas en el cálculo de áreas, volúmenes, longitud de arco, áreas de superficies de revolución y centro de gravedad.

Área de regiones planas. Área entre dos curvas. Volumen de área de secciones transversales. Volumen de un sólido de revolución, método de los discos, métodos de las arandelas. Volumen de sólidos empleando envolventes cilíndricas. Longitud de arco y área de una superficie de revolución de una curva dada en coordenadas cartesianas (y = f (x)). Momentos y centro de masa de una región plana y de un sólido de revolución.

4. Aplicar el producto escalar, vectorial y mixto en la resolución de problemas.

Sistema de coordenadas tridimensionales. Distancias entre dos puntos. Vectores en R2 y IR3. Representación de un vector en el plano R2 y en el espacio IR3. Longitud de un vector. Operaciones con vectores y sus propiedades. Producto escalar entre vectores de IR2 o IR3 Proyecciones. Producto cruz de vectores de IR3, Producto mixto. Ecuaciones de rectas y planos en IR3.

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Objetivo Contenido

5. Aplicar el cálculo diferencial e integral a una función vectorial de una variable real en la solución de problemas específicos.

Definición. Funciones componentes de una función vectorial de una variable real. Límites y continuidad de funciones vectoriales. Curvas. Curvas planas y alabeadas. Formas de representar una curva. Obtención de la ecuación cartesiana de una curva a partir de su representación paramétrica. Cambio de parámetro. Derivada de una función vectorial. Vector y recta tangente. Reglas de la derivación. Integración de una función vectorial. Longitud de arco de una curva. Función longitud de arco. Parametrizar una curva con respecto a la longitud de arco. Vector tangente unitario. Vector normal. Plano osculador. Curvatura de una curva. Radio de la curvatura. Vector binormal. Triedro de Frenet. Plano normal. Torsión. Fórmulas de Frenet. Vector velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula. Componente tangencial y normal de la aceleración.

6. Aplicar las propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia.

Series. Operaciones algebraicas con series. Series absoluta y condicionalmente convergente. Serie geométrica y serie telescópica.

7. Aplicar los criterios correspondientes para determinar la convergencia de una serie de términos positivos y de series alternadas.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE

EVALUACIÓN 1. Calcular integrales definidas e indefinidas aplicando los diferentes métodos de integración y fórmulas de aproximación.

Material Instruccional:

• Impreso:Beyer, W y González, J. Matemática III Ingeniería. Universidad Nacional Abierta. De apoyo:

Bibliografía Complementaria

CD: “Cálculo Integral”, Alejandra Lameda.(2002). Calculadora científica.

Internet.

Actividades:

∫

Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 1 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas.

∫

Antes de comenzar a estudiar esta unidad es importante que investigues un poco sobre la historia del Cálculo Integral para que tengas una idea de cómo se originó esta teoría tan importante de las matemáticas. Para ello revisa las direcciones de Internet que se mencionan en el material instruccional o algún libro sobre Historia de las Matemáticas que puedes conseguir en la biblioteca de tu Centro Local.

∫

Elabora un resumen de lo que investigaste.

∫

Ahora lee como se introduce la definición de integral definida mediante el cálculo del área de una región limitada por una curva de ecuación y = f(x), el eje OX y las rectas de ecuaciones x = a y x = b.

∫

Para precisar la definición de integral definida, realiza los ejemplos que aparecen en la página 50 y los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed.,(capítulo 4). México: McGRAW-Hill.

∫

A continuación se presentan las propiedades de las integrales definidas. Intenta, gráficamente, verificar cada una de estas propiedades.

∫

En la definición de integral definida =

∫

( )

b

a

dx x f

I observa que depende solo de la

función f y de los extremos a y b, lee en la página 42 del texto la definición de integral como función del extremo superior , que origina funciones llamadas primitivas de la

Formativa

• El estudiante realizará los ejercicios

propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 1.

• Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el objetivo de la Unidad.

• Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

• Se evaluará mediante

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

función f o integral indefinida de la función f, denotada por F(x)=

∫

f

( )

x dx+C.

∫

La integral indefinida tiene también propiedades que te ayudaran en el cálculo de estas integrales.

∫

Elabora un cuadro resumen de la definición y propiedades de la integral definida e indefinida.

∫

Resuelve los ejemplos y problemas propuestos de esta unidad.

∫

Como ya sabes lo que es una función primitiva, construye una tabla de funciones primitivas a partir de la tabla de derivadas que construiste en Matemática II. Esta tabla te servirá mas adelante, para encontrar otras funciones primitivas en la que previamente has aplicado propiedades de la integral o alguno de los métodos que vas a aprender ahora.

∫

Métodos para calcular primitivas:

h

Método de Cambio de Variable: lee desde la página 48 hasta la 53 del libro Matemática III de Ingeniería de la UNA y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos. Para complementar realiza los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H.

(1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulo 4) McGRAW-Hill, México.

h

Técnicas para calcular integrales de ciertas funciones que contienen un trinomio cuadrado, es decir integrales de la forma _:

x d c x b 2 x a

D x C

∫

⎜_⎝⎛ + + ⎟_⎠⎞

+

lee las páginas 53 a la 60 , efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos.

h

Método de Integración por Partes: Deduce la fórmula, que está en la página 61 del libro Matemática III de Ingeniería de la UNA, a partir de la fórmula correspondiente a la derivada de un producto. Efectúa los ejemplos y ejercicios propuestos. Complementa con los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición,(capítulo 7 ) McGRAW-Hill, México.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE

EVALUACIÓN

h

Cálculo de funciones primitivas de funciones racionales, es decir, funciones que se expresan como cociente de dos polinomios: lee desde la página 64 hasta la página 69 del libro Matemática III de Ingeniería de la UNA la técnica para resolver este tipo de integrales. Realiza los ejemplos que están a continuación para que clarifiques lo leído y resuelve algunos ejercicios propuestos del libroLarson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H.(1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed.,(capítulos 7- 7.5 Fracciones Simples ) México: McGRAW-Hill.

h

Integrales de Funciones Racionales. Cociente de polinomios trigonométricos: En este tipo de integrales se realiza un cambio de variable llamado Cambio Universal, el cual hace que el integrando (cociente de polinomios trigonométricos) se transforme en una integral racional, lee las páginas 176 y 177, realiza los ejemplos, ejercicios propuestos y los ejercicios del libro Larson, R., Hostetler, R.,& Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed.,(capítulos 7- 7.4).

h

Integrales Trigonométricas de la forma:

∫

sen(ax)cos(bx)dx ,

∫

sen(ax)sen(bx)dx,

∫

cos(ax)cos(bx)dx.

Para el cálculo de estas integrales sólo se requiere recordar algunas fórmulas trigonométricas. Lee las páginas 71 y 72. Obtén fórmulas de reducción para algunas

integrales trigonométricas como

∫

cosn(x)dx .

∫

Presenta la Autoevaluación: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta autoevaluación.

∫

Continúa con la relación entre las integrales definidas y las indefinidas. Lee en la página 77 la proposición 2 que te da una herramienta para calcular la integral definida: la fórmula de Barrow. Resuelve el ejemplo que está a continuación y luego el método de cambio de variables y el de integración por partes pero ahora para integrales definidas

∫

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

medio de una función continua en un intervalo cerrado [a ,b]. Realiza los ejemplos y problemas propuestos.

∫

El concepto de integral definida, que proviene de la formalización de la noción de área bajo una curva, lo podemos generalizar para funciones con “ciertas” discontinuidades. Lee las páginas 105 a la 111 y has los ejemplos y ejercicios propuestos luego están las propiedades fundamentales de la integral de una función escalonada y por último la definición de integral de una función acotada (Integral de Riemann). Investiga la biografía de este matemático alemán G.F.B Riemann.

∫

En el cálculo de integrales, ocurre con frecuencia el hecho de no conocer una primitiva del integrando y en consecuencia no podemos aplicar la fórmula de Barrow, en este caso procedemos al cálculo de la misma mediante métodos de integración aproximada, lee las páginas 129 a la 135 en donde se deducen dos fórmulas, la de los trapecios y la de Simpsom. Resuelve los ejemplos y los ejercicios propuestos.

∫

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE

EVALUACIÓN 2. Aplicar las

técnicas y criterios para el cálculo y análisis

de la convergencia de

integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado.

• Impreso:Beyer, W y González, J. Matemática III Ingeniería. Universidad Nacional Abierta.

De apoyo:

Bibliografía Complementaria.

CD: “Cálculo Integral”, Alejandra Lameda.(2002). Calculadora científica.

Internet.

Actividades:

∫

Ahora vas a generalizar el concepto de integral para los casos siguientes: 1) El intervalo de integración es infinito, lee la definición (pg. 93 del libro Matemática III de Ingeniería de la UNA) y luego los criterios para la convergencia de estas integrales. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos.

2) Cuando f no está acotada en el intervalo (a , b), lee las páginas 97 y 98 y trata de hacer los ejemplos y ejercicios propuestos en la página 101 y 102.

∫

Presenta la Autoevaluación: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta autoevaluación.

Formativa

• El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación incorporados en la unidad 2.

• Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad.

Sumativa

• Se evaluará mediante preguntas de desarrollo, en las cuales aplicarás las técnicas y criterios para el cálculo y análisis de la convergencia de integrales de funciones que no necesariamente son acotadas o cuyo dominio de definición es un intervalo no acotado.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

3. Aplicar el cálculo integral en la solución de problemas físicos y geométricos.

• Impreso: Beyer, W y González, J. Matemática III Ingeniería. Universidad Nacional Abierta. De apoyo: Bibliografía Complementaria Calculadora científica. Internet. Actividades:

∫

En esta unidad vas a aplicar lo aprendido en las unidades anteriores. Es muy importante que hagas todos los ejercicios propuestos ya que te ayudaran a resolver el problema que plantees para el trabajo práctico.

∫

Resuelve los ejercicios propuestos referentes al cálculo de áreas en coordenadas cartesianas, en coordenadas paramétricas y en coordenadas polares; la longitud de arco de curva dada en coordenadas cartesianas y el área de una superficie de revolución.

∫

Resuelve los ejercicios para calcular volumen de sólidos de revolución aplicando los métodos de discos o anillos o el método de tubos o capas cilíndricas y el método de las secciones transversales perpendiculares a la base del sólido, que es mas general que los anteriores ya que se aplica para calcular el volumen de cualquier sólido sea o no de revolución.

∫

Ahora lee en las páginas 199 a la 202 la definición de la longitud de arco de una curva y en las páginas 209 a la 213 el cálculo aproximado de la longitud de arco (en muchas ocasiones la función que obtenemos en el integrando no tiene primitiva elemental).

∫

Resuelve los ejercicios propuestos referentes al punto anterior.

Formativa

•

•• El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación

incorporados en la unidad 3, para que esté en capacidad de resolver el problema que plantees para la realización del trabajo práctico.

•

•• Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad.

•

•• Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

•

•• Se evaluará mediante un

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EVALUACIÓN

∫

Si hacemos girar una curva en torno a una recta: el eje X, el eje Y o una recta paralela a los ejes coordenados, podemos obtener el área de la superficie generada por la curva mediante el cálculo de una integral, en la página 264 encontrarás la información. Efectúa los ejercicios propuestos.

∫

Lee, a partir de la página 301, todo lo referente a las aplicaciones del cálculo integral a la física: momentos de curvas, centro de masa de arcos de curva , momento de inercia, coordenadas del centro de masa de una región plana y de regiones compuestas

∫

Realiza los ejercicios propuestos referentes al punto anterior.

∫

Piensa en el problema que debes modelar, plantear y resolver para el logro de esta unidad.

∫

Consulta con tu Asesor o con la Profa. Alejandra Lameda todas las dudas que tengas para realizar el trabajo práctico.

problema.

•

(18)

OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN 4. - Aplicar el

producto escalar,

vectorial y mixto en la resolución de problemas.

• Impreso: Beyer, W y González, J. Matemática III Ingeniería. Universidad Nacional Abierta.

• De apoyo:

Bibliografía Complementaria Calculadora científica. Internet.

Actividades: ³

³³ Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 4 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas.

³

³³ Repasa la definición de producto escalar de dos vectores (llamado también producto punto o producto interno), y sus propiedades, la definición de norma de un vector y sus propiedades y ángulo entre vectores que estudiaste en el Módulo III, unidad 6, sección 6.6 (pgs. 59 – 68) del curso de Matemática II (179) de la UNA y realiza los ejercicios propuestos 6.6.1, 6.6.2 y 6.6.3.

³

³³ Ahora, en el libro de Matemática III de Ingeniería de la UNA, lee la definición, propiedades, representación simbólica e interpretación geométrica del producto vectorial (pgs. 471 – 481).

³

³³ Resuelve los ejemplos y ejercicios propuestos correspondientes al producto vectorial.

³

³³ Continúa con la definición y la interpretación geométrica del producto mixto y realiza los ejercicios propuestos (pgs. 485 – 490).

³

³³ Presenta la Autoevaluación: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta autoevaluación.

Formativa

•

•• El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación

incorporados en la unidad 3.

•

•• Podrán formar grupos de estudio para discutir la solución de los ejercicios y de esta manera ver su avance en el alcance del objetivo de la Unidad.

•

•• Consultar con el Asesor del Centro Local para aclarar dudas en el contenido de esta unidad.

Sumativa

•

•• Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás el producto escalar, vectorial y mixto en la resolución de problemas.

•

(19)

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EVALUACIÓN 5. - Aplicar el

cálculo

diferencial e integral de una función

vectorial de una variable real en la solución de problemas

específicos.

• Impreso: Beyer, W y González, J. Matemática III Ingeniería. Universidad Nacional Abierta. De apoyo: Bibliografía Complementaria Calculadora científica. Internet. Actividades: ³

³³ Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 5 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas.

³

³³ Lee las páginas 507 a la 510 del libro Matemática III de Ingeniería de la UNA, las definiciones de función vectorial, funciones componentes de una función vectorial de variable real y las operaciones que se pueden realizar.

³

³³ Resuelve los ejemplos y los ejercicios propuestos.

³

³³ Lee las definiciones, proposiciones y teoremas sobre límite y continuidad de funciones vectoriales (pgs. 515 – 518), y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos.

³

³³ El trazo continuo de un lápiz sobre una hoja de papel, la trayectoria de un proyectil en el aire, la forma de un resorte espiral son algunos ejemplos de curvas que se presentan en la vida cotidiana, lee las definiciones de curvas, curvas planas y curvas alabeadas y haz los ejemplos (pgs. 525 – 529).

³

³³ Hay diferentes formas de representar una curva: cartesiana, implícita, paramétrica, lee las páginas 530 – 536 y realiza los ejemplos para afianzar lo leído.

³

³³ En el estudio de curvas planas existen tres definiciones básicas: tangente, longitud y curvatura. Para ello debes comenzar leyendo las definiciones de derivada de una función vectorial, de vector tangente a una curva; las reglas de derivación y las consecuencias de la derivación de funciones vectoriales. Trata de hacer los ejemplos y ejercicios propuestos (pgs. 545 – 553).

³

³³ Para completar las nociones esenciales del cálculo con funciones vectoriales, lee las páginas 555 – 560, las definiciones, proposiciones y teoremas sobre el cálculo integral de funciones vectoriales. Realiza los ejemplos y problemas propuestos.

³

³³ Ya tienes todas las herramientas para determinar vector tangente unitario, normal principal, plano osculador, la curvatura y el radio de curvatura, vector

Formativa

• El estudiante realizará los ejercicios propuestos y la autoevaluación

Sumativa

• Se evaluará mediante preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás el cálculo diferencial e integral a una función vectorial de una variable real en la solución de problemas específicos.

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binormal, triedro de Frenet, plano osculador y la torsión de una curva. Lee, páginas 565 – 576, las definiciones e intenta resolver los ejemplos y ejercicios propuestos.

³

³³ Presenta la Autoevaluación: lee las instrucciones antes de comenzar a responder los problemas y al finalizar, compara tu solución con las respuestas del libro. Lee las recomendaciones que te dan al final de las respuestas de esta

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21/25

EVALUACIÓN 6. Aplicar las

propiedades de las series numéricas para determinar su convergencia o divergencia.

Impreso:Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. De apoyo: Bibliografía Complementaria Calculadora científica. Internet. Actividades: Σ

ΣΣ Lee el objetivo de aprendizaje de la Unidad 4 para que tengas una idea de lo que se quiere que aprendas.

Σ

ΣΣ Para que comprendas con más facilidad el tema de series numéricas es necesario que repases las definiciones de sucesión de números reales y límite de sucesiones que estudiaste en el curso de Matemática I- Módulo III – Unidad 7(177).

Σ

ΣΣ Lee desde la página 297 hasta la 306 del libro Cálculo II de la UNA. Realiza las demostraciones de los teoremas y corolarios referentes a la convergencia y divergencia de series numéricas y las operaciones algebraicas con series.

Σ

ΣΣ Lee las definiciones de series absoluta y condicionalmente convergentes y demuestra los teoremas relacionados con la convergencia absoluta (páginas 307-309 del libro Cálculo II de la UNA)

Σ

ΣΣ Ahora vas a estudiar la convergencia de dos series que tienen ciertas características especiales, la serie telescópica y la serie geométrica. Lee las páginas 309-315 del libro Cálculo II de la UNA: demuestra los teoremas y realiza los ejemplos y ejercicios propuestos.

Σ

ΣΣ Para que logres mayor madurez en los contenidos estudiados te recomiendo que realices los ejercicios del libro Larson, R., Hostetler, R. & Edwards, B. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed., capítulo 8 ( ejercicios de la sección 8.2, Nos del 17 al 22 y los ejercicios 24, 26, 28, 30, 36, 38, 40, 43, 64, 74, 76, 87). Intenta resolver el problema que plantean en esta misma sección del libro: La mesa desaparecida de Cantor (busca la biografía de Georg Cantor en la página http://euler.ciens.ucv.ve./matematicos/ )

Σ

ΣΣ Presenta la Autoevaluación no 7: lee las instrucciones antes de comenzar a responder las preguntas. Luego compara tus respuestas con las dadas en el libro y

Formativa

• El estudiante realizará

los ejercicios propuestos y la

autoevaluación

• Sumativa

Se evaluará mediante

preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las propiedades de las series numéricas para

determinar su convergencia o divergencia.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN

sigue las recomendaciones que dan al final de las respuestas de esta autoevaluación.

preguntas se fijarán en cada prueba y la corrección de las mismas será manual.

7. Aplicar los criterios

correspondiente

s para determinar la convergencia de una serie de términos

positivos y de series alternas.

Impreso:Texto UNA: Jesús S. González. Cálculo ΙΙ. Módulo Ι. Unidad 2. De apoyo: Bibliografía Complementaria Calculadora científica. Internet. Actividades: Σ

ΣΣ Hay series que no presentan las características de una serie geométrica o de una telescópica, ¿cómo se hace para determinar la convergencia o divergencia de estas series? A continuación vas a aprender varios criterios, llamados criterios de convergencia, que te permiten asegurar cuando una serie converge, aunque no puedas hallar su suma con exactitud. Estos criterios son:

h

Criterio de las Sumas Parciales: Lee el teorema de la página 323 del libro Cálculo II de la UNA y luego lo demuestra. Realiza el ejemplo y los ejercicios propuestos.

h

Criterio de Comparación: Lee el teorema de la página 327 y el corolario de la página 328. Resuelve los ejemplos y los ejercicios propuestos de las páginas 329 y 330.

Observación: en algunos textos, el Criterio de Comparación lo llaman Criterio de Comparación Directa.

En la página 332 tienes un teorema que es una modificación del Criterio de Comparación y el teorema de la página 333 es un complemento a este último y ambos teoremas forman el llamado Criterio de Comparación en el Límite. Realiza los ejercicios del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed., capítulo 8 (ejercicios de la sección 8.4, desde el 3 hasta el 28 de la página 657).

h

Criterio de la Integral: Lee desde la página 334 hasta la 336 del libro Cálculo II de

Formativa

• El estudiante realizará

los ejercicios propuestos y la

autoevaluación

• Sumativa

• Se evaluará mediante

preguntas de desarrollo en las cuales aplicarás las propiedades de las series numéricas para

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EVALUACIÓN

la UNA, el teorema y su demostración referente a este criterio. Resuelve los ejemplos, especialmente el ejemplo No. 2 en donde se hallan los valores de p

para los cuales la p-series: ∑∞

=1 n _np

1

converge. En el caso particular de p = 1, la

serie es llamada serie armónica.

Efectúa los ejercicios propuestos de la página 340 y los ejercicios de la sección 8.3 del capítulo 8 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición.

h

Criterio de la Raíz: Lee en las páginas 342 y 343 del libro Cálculo II de la UNA, el teorema y su demostración en donde están las condiciones para aplicar este criterio. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos.

h

Criterio de la Razón o del Cociente: Lee en la página 346 del libro Cálculo II de la UNA, el teorema y su demostración en donde están las condiciones para aplicar este criterio. Realiza los ejemplos y ejercicios propuestos.

Para complementar, haz los ejercicios impares desde el 11 hasta el 30 y desde el 33 hasta el 40 de la sección 8.6 páginas 674 y 675 del libro Larson, R. L., Hostetler, R. P., Edwards, B. H. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, sexta edición.

h

Lee en la página 672 del libro Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta ed., algunas estrategias para el análisis de la convergencia de series.

h

Elabora un cuadro de resumen de los criterios vistos.

Σ

ΣΣ Hasta el momento has trabajado solamente con series de términos positivos, ahora vas a estudiar un tipo de serie en que sus términos no son todos positivos. Las series cuyos términos alternan en signo, reciben el nombre de Series Alternadas o

Alternas y son de la forma ∑ − ∑ −∞

= +

∞

= n 1 n

1 n n n a ) 1 ( y a ) 1 ( 1 n

donde an > 0. Lee las

páginas 355 a la 358 del libro Cálculo II de la UNA, la definición y la Regla de Leibnitz (busca su biografía en http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html), el cual te dice cuando una serie alternada converge o diverge. Resuelve los ejemplos y ejercicios propuestos.

convergencia o divergencia.

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OBJETIVO ESTRATEGIAS INSTRUCCIONALES ESTRATEGIAS DE EVALUACIÓN Σ

ΣΣ Lee las páginas 662 hasta 664 del libro Larson, R., Hostetler, R., Edwards, B. (1999) Cálculo y Geometría Analítica, 6ta edición, encontrarás la manera de calcular aproximadamente la suma de una serie alternada y las definiciones de Convergencia Absoluta y Convergencia Condicional. Resuelve los ejemplos y los ejercicios impares de la Sección 8.5 del libro referido en este párrafo.

Σ

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V. BIBLIOGRAFÍA Obligatoria

González Jesús S. (1984). Cálculo ΙΙ, 2da ed. Caracas: Universidad Nacional Abierta.

Larson, R. , Hostetler, R. , Edwards, B. (1999). Cálculo y Geometría Analítica. 6ta ed., México: McGRAW-Hill.

Complementaria

Apóstol, T., (1984). Cálculo. 2da ed. Volumen 1. España: Reverté S.A.

E. T. Bell, (1996). Historia de las Matemáticas. México: Fondo de Cultura Económica. Hoffmann L. & Bradley G. (2001). Cálculo. 7ma ed. México: McGRAW-Hill.

Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas aplicados a la administración, economía y ciencias sociales. Se recomienda revisar los capítulos 5 y 6. Para la unidad 4 revisa el Apéndice III.

Purcel, E., Varberg, D. & Rigdon, S. (2001). Cálculo. 8va ed. México: Prentice Hall.

Un libro con una gran variedad de ejemplos y problemas. Se recomienda revisar el capítulo 5, 6, 8, 9, 10.

Smith, R. & Minton R. (2000). Cálculo. Tomo 1. Colombia: McGRAW-Hill Interamericana, s.a.

Excelente libro, gran variedad de ejemplos y ejercicios. Se recomienda revisar los capítulos 4, 7 y 8.

Stewart, J (1998). Cálculo. 3ra ed. México: Internacional Thomson Editores.

Otro de los buenos libros de cálculo. Tiene gran cantidad de ejercicios e ilustraciones. En el capítulo 2 puedes revisar la parte de límites y asíntotas.

Swokowski, E. (1988). Cálculo con Geometría Analítica. 2da ed. México: Grupo Editorial Iberoamérica.

Se recomienda revisar el capítulo 5, 6, 9, 10 y 11.

Thomas, G. (1998). Cálculo en una Variable. México: Addison Wesley.

En el capítulo 1 puedes revisar la parte de límite y asíntotas en la sección 3.5 del capítulo 3. En el capítulo 4 puedes revisar la parte de integrales definidas. Revisar los capítulos 5 y 7.

Direcciones electrónicas

http://euler.ciens.ucv.ve./matematicos/

http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html