TEMA 1 – EL NÚMERO REAL

56  Descargar (0)

Texto completo

(1)

TEMA 1 – EL NÚMERO REAL

CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS REALES

EJERCICIO 1 : Clasifica los siguientes números como 4; 10; 2,333...; 7; 36; ; 5; 7, 4)

5 5 2

ππππ

− −

− −

− −

− −

Solución:

5 4

= 0,8 ⇒ Decimal exacto, Fraccionario, Racional, Real

5 10

= 2 ⇒ Natural, Entero, Racional, Real

-2,3333…=

2

,

3

⇒ Decimal periódico puro, Fraccionario, Racional, Real 7⇒ Irracional, Real

36= -6 ⇒ Natural, Entero, Racional, Real

2

π

Irracional, Decimal no periódico, Real

-5⇒ Entero negativo, Entero, Racional, Real 7,4

5

⇒ Decimal periódico mixto, Fraccionario, Racional, Real

EJERCICIO 2 : Sitúa cada número en su lugar correspondiente dentro del diagrama:

5 3

3, 42; ; ; 81; 5; 1; ; 1, 4555...

6 4 4

ππππ

− −

− −

− −

− −

Solución:

EJERCICIO 3 : Representa sobre la recta los siguientes números: 2,3; 7; 3 4 −−−− Solución:

EJERCICIO 4 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a)

50

b)

82

Solución:

2 2

1

7

50

)

a

=

+

La hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos 7 y 1 es la longitud pedida. Con el compás podemos trasladar esta medida a

donde deseemos.

2 2

1

9

82

)

(2)

EJERCICIO 5 : Representa en la recta real los siguientes números, utilizando el Teorema de Pitágoras:

a)

18

b)

46

Solución:

EJERCICIO 6 : Representa en la recta real: a) 3,47 b) 3,4777777…. Solución:

a) b)

INTERVALOS Y SEMIRECTAS

EJERCICIO 7 : Escribe en todas las formas posibles los siguientes intervalos y semirrectas: a)))) {{{{x / −−−−2 ≤≤≤≤ x <<<< 3}}}} b)))) ((((−−−−∞∞∞∞, −−−−2]]]] c)))) Números mayores que -1 d)))) Solución:

a)[−2, 3)

Intervalo semiabierto Números comprendidos entre -2 y 3, incluido -2

b) {x / x ≤−2} Semirrecta

Números menores o iguales que -2

c) (−1, +∞) Semirrecta {x / x > −1}

d) [5, 7]

Intervalo cerrado {x / 5 ≤ x ≤ 7}

Números comprendidos entre 5 y 7, ambos incluidos.

EJERCICIO 8 : Escribe en forma de intervalos los valores de x que cumplen: a) x ++++ 2≥≥≥≥ 3 b) x −−−− 4 < 2 Solución:

a) Son los números de (−∞, −5 ] ∪ [ 1, +∞).

b) Es el intervalo (2, 6)

FRACCIONES, POTENCIAS Y DECIMALES

EJERCICIO 9 :

a)))) Opera y simplifica el resultado:

1 2

1 3 3 1 3

1,16

2 4 5 2 4

−−−−

−−−−          

+ ⋅ + − +

+ ⋅ + − +

+ ⋅ + − +

+ ⋅     + −     + 

   

     

    

))))

b)))) Simplifica:

5 2 1

2 4

2 −−−−

−−−− ⋅⋅⋅⋅

Solución:

(3)

100 116,666...

10 11,666...

105 7

90 105

90 6

N N

N N

=

− =

= → = =

• Operamos y simplificamos:

−     −   −

+ ⋅  + −  + = + ⋅ + − + = + + − =

      

1 2

1 3 3 7 1 3 1 3 5 7 1 3 1 5 7

1

2 4 5 6 2 4 2 4 3 6 4 4 2 4 6

= 6+15+14−12=11

12 12 12 12 12

− − −

− − −

⋅ ⋅

) 5 1 2 = 5 1 4 = 11 =

2 4 2 2 2

b 1

2 2 2

EJERCICIO 10 :

a)))) Calcula y simplifica el resultado: ⋅    )  ⋅  1

2 1 3 2 1 1

0,83

3 2 2 3 2 3

−−−−

−−−− ++++ ++++ −−−− −−−− b)))) Simplifica: ⋅ ⋅     4 6 -5 1

3 3

3 −−−−

Solución:

a) • Expresamos N=0,83 en forma de fracción:))))

100 83,333...

10 8,333...

75 5

90 75

90 6

N N

N N

=

− =

= → = =

• Operamos y simplificamos: −

−     −   −

+ ⋅   + − − ⋅ = + ⋅ + − − = + + − + =

1

2 1 3 5 2 1 1 2 1 2 5 2 1 2 2 5 2 1 3 2 2 6 3 2 3 3 2 3 6 3 6 3 6 6 3 6

= 4+ + − + =2 5 4 1 0 6 6 6 6 6

−   −

) ⋅ ⋅  = ⋅ ⋅ = =

 

4

6 5 1 6 5 4 5

b 3 3 3 3 3 3 243

3

EJERCICIO 11 a) Efectúa y simplifica:

   

⋅   ) 

1

1 3 2 1 1 2

1,16

4−−−−2 3 ++++ −−−− 2− :− :− :− :3 5 b) Reduce a una sola potencia:

5 4 6 0

3 9

3 3

−−−− −−−−

⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅⋅

Solución:

a) • Expresamos N=1,16 en forma de fracción:)))) 100 116,666...

10 11,666...

105 7 90 105

90 6

N N

N N

=

− =

= → = =

• Operamos y simplificamos: −

     

− ⋅   + − − = − ⋅ + − − = − + − + =

1

1 3 2 7 1 1 2 1 3 3 7 1 5 1 9 7 1 5 :

4 2 3 6 2 3 5 4 2 2 6 2 6 4 4 6 2 6

3 27 14 6 10 6 1 12 12 12 12 12 12 2

− −

= − + − + = =

b)

− −

− −

==

⋅ ⋅

5 4 5 8

9

6 0 6

3 9 3 3

3

3 3 3 1

EJERCICIO 12

a)))) Opera y simplifica:

2

1 3 1 3

2,16

4 2 2 8

 

 

 

 

− −

− −

− −

− − 

+ ⋅ − +

+ ⋅ − +

+ ⋅ − +

+ ⋅ − +         

 

 

 

 

 

 

 

 

))))

b)))) Reduce a una sola potencia y calcula:

1

3 2

5 3

:

3 5

−−−− −−−−

 

 

 

         

 

 

 

                          

 

 

 

 

 

 

 

 

Solución:

a) • Expresamos N =2,16 en forma de fracción:))))

100 216,666...

10 21,666...

195 13

90 195

90 6

N N

N N

=

− =

= → = =

(4)

  − −    + ⋅ − + = − − + = − − − =         2

13 1 3 1 3 13 3 1 3 13 3 1 3

6 4 2 2 8 6 8 4 8 6 8 4 8 = − − − = =

52 9 6 9 28 7 24 24 24 24 24 6

− − − − −              )      =     =   =  =                        

1 1 1

3 2 3 2 1 1

5 3 5 5 5 5 3

b : :

3 5 3 3 3 3 5

RADICALES

EJERCICIO 13 : Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica: 7

3 a a

a)b) 5 23 : 2 c) 4 334

3 2

3 d)

a

a 6 4 3 2

e) xx

Solución: 6 5 3 6 23 2 7 3 1 7

3 a a a a a a a

a) ⋅ = ⋅ = = b) 5 23÷ 2 =235÷212 =2110=102

4 4 2 4 9 2 4 1 2 4 4 1 4

4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 3

c) ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = 56 6 5

3 2 2 3 3 2 3 a a a a a a

d) = = =

3 3 4 3 4 3 2 3 2 3 2 6 4 3 2

6 x4 x x x x x x x x x

e) ⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

EJERCICIO 14 : Efectúa y simplifica:

2 3 2 2 c) 12 2 48 b) 2 3 27 2 a) + + − 3 4 3 3 6 d) + Solución: 3 1 3 1 3 3 2 27 3 2 2 3 27 2 a) 2 3 = = = ⋅ ⋅ = 0 3 4 3 4 3 2 2 3 2 12 2 48

b) − = 4⋅ − 2⋅ = − =

(

)(

)

(

)(

)

7

2 4 2 9 2 2 3 2 2 6 2 3 2 3 2 3 2 2 2 3 2 2

c) = +

− − + − = − + − + = + +

(

)

⋅ + = = ⋅ + = ⋅ + = + 12 9 3 2 3 4 9 18 3 3 4 3 3 3 6 3 4 3 3 6 d) 2 4 3 2 4 3 4 2 12 9 12 2 3 12 9 2 3 + = + = + = + =

EJERCICIO 15 : Simplifica al máximo las siguientes expresiones: 2

75 48

a)b) 108147

3 6 3 2 c) + 1 2 1 2 d) + − Solución: 5 2 4 2 5 4 5 3 2 3 2 75 2 48 2 75 48 a) 2 4 = = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ 3 3 7 3 6 7 3 3 2 147 108

b) − = 2⋅ 3 − ⋅ 2 = − =−

(

)

2 2

3 2 3 6 3 3 2 6 3 18 6 3 3 3 6 3 2 3 6 3 2 ) c 2 + = + = ⋅ + = + = ⋅ + = +

(

)(

)

(

)(

)

2 1 3 2 2

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

d) = −

(5)

LOGARITMOS

EJERCICIO 16 : Utiliza las propiedades de los logaritmos para calcular el valor de las siguientes expresiones, teniendo en cuenta que log k ==== 1,2:

2 100 )

k log

c

Solución:

= −

= −

= 4 14 3

4

10 log k

log 1000 log k log 1000

k log

a) 1,2 3 0,3 3 2,7

4 1 3 k log 4 1

− = − = − ⋅ = − =

( )

100k log100 logk log10 3logk 2 3 1,2 2 3,6 5,6

log

b) 3 = + 3= 2 + = + ⋅ = + =

= −

= −

=log100 logk log10 2logk k

100 log

c) 2 2

2 =2−2⋅1,2=2−2,4=−0,4

EJERCICIO 17 : Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión utilizando las propiedades de los logaritmos: 25

2 1 8 3 1 2

3ln + lnln

Solución: + − ln25=ln2 +ln 8−ln 25= 2

1 8 ln 3 1 2 ln

3 3 3

( )

5 16 ln 5 ln 16 ln 5 ln 2 8 ln 5 ln 2 ln 8

ln + − = ⋅ − = − =

=

EJERCICIO 18 : Si sabemos que log k ==== 0,9, calcula: log k log

(

100 k

)

100

3

Solución: −log

(

100 k

)

=logk −log100−

(

log100+log k

)

= 100

k

log 3

3

= −

− −

=3logk log100 log100 logk12

= −

= −

= logk 2log100

2 5 k log 2 1 100 log 2 k log

3 0,9 2 2 2,25 4 1,75

2 5

− = − = ⋅ − ⋅ =

EJERCICIO 19 : Sabiendo que ln2 ≈≈≈≈ 0,69, calcula el logaritmo neperiano de: a)4 b) 2 c)48

Solución:

38 , 1 69 , 0 2 2 ln 2 2 ln 4 ln

a) = 2 = ≈ ⋅ = 0,69 0,345

2 1 2 ln 2 1 2 ln 2 ln

b) 2

1

= ⋅ ≈ =

= 0,69 0,5175

4 3 2 ln 4 3 2 ln 8 ln

c) 4

3

4 = = =

EJERCICIO 20 : Halla el valor de x, utilizando la definición de logaritmo: 4

b) 4

16

a) logx = log3x = c) log264=x d) logx64=3

5

e) log2x = f)logx27=3 g)log232=x h) log3x =3

Solución:

2 x 16 x 4

16 log

a) x = → 4 = → = b) log3x=4 → 34 =x → x=81

6 x 64

2 x

64 log

c) 2 = → x = → = d) logx64=3 → x3=64 → x =4

32 x x

2 5

x log

e) 2 = → 5= → = f)logx27=3 → x3 =27 → x=3

5 x 32

2 x

32 log

g) 2 = → x = → = h)log3x=3 → 33=x → x=27

EJERCICIO 21 : Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

a) 27 1

8 1

3

2 log ln

log + − b) 3 2

3 2

1 81 32

e ln log

log + − c) log +log 8lne

81 1

2

3 d) log5125

000 1

1

e) log f)log416+log35 81ln1 g)

     − +

2 1 32

343

2 1

2

7 log log

log h)log2 2

Solución:

a)

2 3 0 2 3 3 1 ln 3 log 2 log 1 ln 27 log 8 1

log2 + 3 − = 2 −3+ 3 32− =− + − = −

(

3

)

4

100 b)

1000

(6)

b)

( )

3 25 2 3 4 5 2 3 4 5 e ln 3 log 2 log e

1 ln 81 log 32

log 2 5 3 43 2

2 3

3

2 + − = + − − = + − − = + + =

c)

2 7 1 2 3 4 e ln 2 log 3

log ln 8 log 81

1

log3 + 2e= 3 −4+ 2 32− =− + − =−

3 5 log 125 log

d) 5 = 5 3= log10 3

000 1

1 log

e) = −3=−

f)

5 14 0 5 4 2 1 ln 3 log 4 log 1 ln 81 log 16

log 45

3 2 4 5

3

4 + − = + − = + − =

g)

2 9 1 2 5 3 2 1 log 2 log 7 log 2 1 log 32 log 343

log 2 12

5

2

1 7 3 2

2

7 = + − =

    − +

=       − +

h)

2 1 2 log 2

log2 = 2 1/2=

EJERCICIO 22 : Expresa como un solo logaritmo la siguiente expresión, utilizando las propiedades de los logaritmos: 4

log 25

1 5

2

3log +log +log

Solución:

= − +

+ =

− +

+ log4

25 1 log 5 log 2 log 4 log 25

1 log 5 log 2 log

3 3 0,40

5 2 log 4 25

5 8 log 4 log 25

1 log 5 log 8

log = =−

⋅ ⋅ = − +

+ =

EJERCICIO 23 : Si ln k ====0,7, calcula el valor de la siguiente expresión:

( )

2 3

10

10 ln k

k ln +

Solución: +

( )

2 = 3 − + + 2 = 3

k ln 10 ln 10 ln k ln k 10 ln 10

k

ln = + = + = lnk=

3 7 k ln 2 k ln 3 1 k ln 2 k

ln 13 0,7 1,63

3 7

= ⋅ =

EJERCICIO 24 : Sabiendo que log7 ==== 0,85, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))): a)log 700 b)log 49 c)log 3 7

Solución: a)log 700=log

(

7⋅100

)

=log7+log100=0,85+2=2,85

7 , 1 85 , 0 2 7 log 2 7 log 49 log

b) = 2= = ⋅ = 0,85 0,28

3 1 7 log 3 1 7 log 7 log

c) 3 = 13= = ⋅ =

EJERCICIO 25 : Sabiendo que log 3 ==== 0,48, calcula ((((sin utilizar la calculadora)))) el logaritmo ((((en base 10)))) de cada uno de estos números:a) 30 b)9 c)5 9

Solución:a)log30=log

(

3⋅10

)

=log3+log10=0,48+1=1,48

96 , 0 48 , 0 2 3 log 2 3 log 9 log

b) = 2= = ⋅ = 0,48 0,192

5 2 3 log 5 2 3 log 9 log

c) 5 = 25= = ⋅ =

EJERCICIO 26 :

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 256 3 2 2 3

3

2 log log

log − +

b) Halla el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: logx =3log22log3 Solución:

6 49 2 1 3 1 8 2 3

2 )

a log2 8−log3 13+log2 12= − + =

9 8 x 9

8

3 2 3

2 x ) b

2 3 2

3 = = =

=log log log log log

EJERCICIO 27

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 1 27

1

2 3 2

2 log log

log − +

(7)

( )

2 3 1 2

( )

3 0 2 3 5 )

a 2 3 3 2

2 −log − +log = − − + = + =

log

100 1 10

1 x 10

1 x 10

x 4 x ) b

2 4

2 4

2

2 = = = = =

log

EJERCICIO 28

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo:

4 1 32

10 1

2

2 log

log

log + −

( )

10k .

calcula ,1

1 k que Sabiendo

b) log = log 3

Solución:

( )

2 7 2 2 5 1 2 2 5 1 2 2

10 )

a log −1+log2 52−log2 −2 =− + − − =− + + =

( )

10k 10 k 10 3 k 1 3 1,1 1 3,3 4,3

)

b log 3 =log +log 3=log + log = + ⋅ = + =

EJERCICIO 29

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 3 81 9

1

3 3

3 log log

log − +

b) Calcula el valor de x, aplicando las propiedades de los logaritmos: logx =log102log34 Solución:

2 3 4 2 1 2 3 3

3 2 3 12 3 4

3 − −log +log =− − + =

log

a) 3

34 102 x 34

102

x=log ⇒ = =

log

b)

EJERCICIO 30

a) Calcula, utilizando la definición de logaritmo: 7 3 258 3

1

2401 log log

log − +

. 100 calcula

0,7 Si

b)

3

       

= log k

k log

Solución:

10 51 5 3 2 1 4 5 3 2 1 4 2 3

7 )

a 7 4 3 12 2 35 + = + + =

     − − = +

loglog

log

77 , 1 2 23 , 0 1 2 7 , 0 3 1 10 2 k 3 1 10 k

100 k

100 k )

b 3 13 2

3

− = − = ⋅ − ⋅ = −

= −

= −

=log log log log log log

log

ERRORES Y COTAS

EJERCICIO 31 : Halla los errores y cotas de los errores al aproximar el número ππππ a las centésimas. Valor real π = 3,14159265……

Valor de medición: 3,14

Error absoluto = |Valor real – Valor de medición| = |3,14159265…… - 3,14| = 0,00159265……< 0,002 = 2.10-3

Error relativo = 4 4

3

10

.

37

,

6

10

...

366197724

,

6

10

.

2

real

Valor

absoluto

Error

=

<

π

=

NOTACIÓN CIENTÍFICA

EJERCICIO 32 : Los valores de A, B y C son:A=2,28107 B=2104 C=4,3105

C A B A

⋅ +

: Calcula

Solución: +

(

) (

⋅ ⋅

)

=

⋅ ⋅ = ⋅

+ 7 5

4 7

10 3 , 4 10 28 , 2 10

2 10 28 , 2 C A B A

12 11

11 11

12

11 9,804 10 1,14 10 98,04 10 99,18 10 9,918 10 10

14 ,

1 ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ = ⋅

(8)

EJERCICIO 33 : Calcula y expresa el resultado en notación científica: a)

4

10 11

12

10 2 1,

10 28 10 2 4, 10 7 3,

− ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅

b)

(

)

12

8 2

5

10 2

10 1 3, 10

4 2,

− −

⋅ + ⋅

Solución:

a) =

⋅ + ⋅ − ⋅ = ⋅

⋅ + ⋅ − ⋅

− 4

10 10

10

4

10 11

12

10 2 , 1

10 28 10 42 10 370

10 2 , 1

10 28 10 2 , 4 10 7 , 3

(

)

14 16 16

4 10

4 10

10 97 , 2 10 9667 , 2 10 67 , 296 10

2 , 1

10 356

10 2 , 1

10 28 42 370

⋅ ≈ ⋅ =

⋅ =

⋅ ⋅ = ⋅

⋅ + −

=

b)

(

)

=

⋅ + ⋅ = ⋅

⋅ + ⋅

− − −

− −

12 8 10

12 8 2

5

10 2

10 1 , 3 10 76 , 5

10 2

10 1 , 3 10

4 , 2

= ⋅ =

⋅ ⋅ =

⋅ + ⋅

= − − 2

12 10

12

10 10

10 88 , 157 10

2 10 76 , 315

10 2

10 310 10

76 , 5

4 4 1,58 10 10

5788 ,

1 ⋅ ≈ ⋅

=

EJERCICIO 34 : Una vacuna tiene 100 000 000 bacterias por centímetro cúbico. ¿Cuántas bacterias habrá en una caja de 120 ampollas de 80 milímetros cúbicos cada una?

Solución:

108 bacterias/cm3 y 80 mm3 = 8 · 10−2 cm3 120 · 8 · 10−2 = 9,6 cm3 en una caja.

9,6 · 108 número de bacterias en una caja.

EJERCICIO 35 :

a)))) Calcula el número aproximado de glóbulos rojos que tiene una persona, sabiendo que tiene unos 4 500 000 por milímetro cúbico y que su cantidad de sangre es de 5 litros.

b)))) ¿Qué longitud ocuparían esos glóbulos rojos puestos en fila si su diámetro es de 0,008 milímetros por término medio? Exprésalo en kilómetros.

Solución:

a) 5 l = 5dm3 = 5 · 106 mm3 de sangre

4,5 · 106 · 5 · 106= 2,25 · 1013 número de glóbulos rojos b) 2,25 · 1013 · 8 · 10−3 = 1,8 · 1011 mm = 180 000 km

USO DE LA CALCULADORA

EJERCICIO 36 : Utilizando la calculadora, halla:

0

39 c)

10 2 4,

10 8 2, 10 4 3, b) 807

16

a) 7

4 6 7

5 log

− − −

⋅ ⋅ +

12 15 14

10 64 2, 10

8 3, 10

2 9,

d) ⋅ − + ⋅ − − ⋅ −

32 27

e)log5 +ln f)

(

4,31108

) (

: 3,25104

)

+71011 g)log325

12 8 9

10 5 2,

10 32 2, 10 25 5, h)

⋅ + ⋅

Solución:

a) 16 807 SHIFT [x1/y

] 5 ==== 7 Por tanto: 5 16807 =7

b) (((( 3.4 EXP 7 ++++/– ++++ 2.8 EXP 6 ++++/– )÷÷÷÷ 4.2 EXP 4 ++++/– ==== 7.476190476−−−−03 Por tanto: 3 4

6 7

10 48 , 7 10

2 , 4

10 8 , 2 10 4 ,

3

− − −

⋅ = ⋅

⋅ + ⋅

c) log 390 ÷÷÷÷ log 7 ==== 3.06599292 Por tanto: log7 390 = 3,07

d) 9.2 EXP 12 ++++/– ++++ 3.8 EXP 15 ++++/– −−−− 2.64 EXP 14 ++++/– = 9.1774−−−−12 Por tanto: 9,2 · 10−12 + 3,8 · 10−15 −2,64 · 10−14 = 9,18 · 10−12

e) log 27 ÷÷÷÷ log 5 + ln 32 ==== 5.513554486 Por tanto: log5 27 + ln 32 ≈ 5,51

f) 4.31 EXP 8 ÷÷÷÷ 3.25 EXP 4 ++++/– ++++ 7 EXP 11 ==== 2.02615384612 Por tanto:( 4,31 · 108 ) : ( 3,25 · 10−4 ) + 7 · 1011 = 2,03 · 1012

g) log 25 ÷÷÷÷ log 3 ==== 2.929947041 Por tanto: log3 25 = 2,93

Figure

Actualización...

Referencias