PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2002 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2002

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos 1.-El ejercicio consta de tres bloques de problemas y cada bloque tiene dos opciones. Debe responderse necesariamente a los tres bloques, escogiendo en cada uno de ellos una sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento del problema o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- Todas las preguntas se puntúan igual.

4.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables. BLOQUE 1 (Álgebra)

1-A) Resolver la ecuación: 0

1 1

1 1 1

1

1 1

1 1 1

1

=

− −

x x

.

---

Sumando la primera fila a todas las demás, resulta:

(

)

(

)

(

)

(

)

      

= =

⇒

= − −

=

= −

− =

− −

= −

− −

2 1

0 0

2 · · 1 ·

0 2 2 ·

1 · 0

2

2 2 2

0 0 ·

1 0

2 0

2 2 2

0

0 0 0

1 1 1 1

4 3

2 1

x x

x x x

x

x x

(2)

2-A) a ) Dada la matriz

   

 

   

 

− −

−

− =

0 2

0 1

1 1

2 0 1 0

a b

a a

a b

A , determinar a y b para que AT =−A

,

siendo AT_{la matriz traspuesta de A.}

b ) Para los valores a y b obtenidos, calcular

( )

A

( )

AT y

( )

A

3 det det

,

det .

--- a )

   

 

   

 

− − −

− −

= −

0 2

0 1

1 1

2 0 1 0

a b

a a

a b

A ;; ⇒ =− ⇒

   

 

   

 

−

− −

−

= A A

a a

b a

a b

AT T

0 0 1 2

1 0

1 1

2 0

    

    

= − =

⇒

   

 

   

 

− − −

− −

=

   

 

   

 

−

− −

−

0 1

0 2

0 1

1 1

2 0 1 0

0 0 1 2

1 0

1 1

2 0

a b

a a

a b a

a b

b )

A A

A b

a Para

= − = −

= −

− = −

− −

=

− −

=

   

 

   

 

− −

=

⇒    

 

− = =

4 2 · 2 0 1

2 1 · 2 0 1 2

0 1 0

2 1 0 0

0 1 2

0 0 1 0

1 1 0 1

2 0 1 0

0 0 1 2

0 0 1 0

1 1 0 1

2 0 1 0 1

0

T T

A A

A = =−4=

( )

A

A 3 · 3 · 4 81· 4 324 3

3 = 4 = 4 − = − =− =

(3)

BLOQUE 2 (Análisis)

2-A) Dada la función

( )

1 2

+ − =

x x x

f , se pide:

a ) Dominio, cortes con los ejes e intervalos de crecimiento y decrecimiento.

b ) Área del recinto limitado por la función f(x), el eje OX y las rectas x = 0 y x = 3. ---

a )

El dominio de f(x) es el conjunto de valores reales de x, tales que: 0 1 2 _>

+

x .

( ) (

_f ⇒ −₁_, ∞

)

D

Los cortes con los ejes son:

( )

;; 2 0

1 2 ;

; 1 2 ;

; 0 1 2

0 2 3 + 2 − =

+ = +

= =

+ −

⇒

= =

⇒ _x _x

x x x

x x

f y X Eje

Aplicando Ruffini:

1 1 0 -2

1 1 2 2

1 2 2 0

El único valor real de x es el hallado. El punto de corte es A(1, 0)

( )

2

(

0, 2

)

1 0

2 0

0

0 =− ⇒ −

+ − = =

⇒

=

⇒ _x _y _f _B

Y Eje

Para estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, derivamos:

( )

(

)

(

x

)

f

( )

x f

( )

x x D

( )

f

x

x x

x x x

x x

f x

x x

x x f

∈ ∀ > =

+ + +

= + +

+ =

= ++ +

= + + −

− = +

− = + − =

, 0 '

; ; ' 1

2

1 2

1 1 1

2

2 1

1 1 2

2 1

1 1 2

1 · 2 1

' ; ; 1 2 1

2

La función es monótona creciente en su dominio.

(4)

( )

[

( )

]

[

( )

]

( ) ( ) ( ) ( )

( )

0 2

( ) ( )

1 3 (*)

1 3

1 0

·

· 13

0 1 0

1

3

1

S F

F F

x F x

F dx x f dx x f S

= +

− =

= −

+ − =

+ =

+

=

_∫

( )

x F x

x t x

t x

t dt x

dt dx

t x

x dx x

dx x

dx x dx x

x dx x f x F

= + −

= −

= + −

= −

⇒    

 

= = +

⇒

+ −

= +

− =

    

  

+ − = =

+ −

∫

1 ·

3 2 2 2 ·

3 2 2 2 1 2 1 · 2 2 ·

2 2 1

1 ·

2 2 ·

1 2 ·

· 1 2 ·

2 2

1 2 1 2

2

Sustituyendo en (*) el valor obtenido de F(x):

( )

( ) ( )

S u u

F F F

S

= ≅

− =

= −

− + = + + − −

= −

+

   

 

− −

− =

=

    

  

− +

    

  

− −

    

  

− = +

− =

2 2

24 ' 3 2

2 6 37

6 2 12 37 6

2 12 6 27 16 2 9 3 8 1 3

2 6 3

2 4 2 9 3 4 2 1 · 2 3

2 2

4 · 3

2 2 2 9 2 · 3

2 2 2 1 · 2 1 · 3

2 2 0 3 1

2 0

**********

X Y

x = -1

O

x = 0

f(x)

x = 3

S

A

(5)

2-B) Se consideran todos los pares de números reales positivos x, y, tales que

2002 · y=

x . Se pide:

a ) Determinar el par x, y cuya suma x + y es mínima y calcular el valor de dicha suma. b ) Probar que entre todos los pares existentes, puede elegirse x, y de forma que x + y sea tan grande como se quiera.

--- a )

(

)

y x

x x

x

x S

x x x

x x x S

x x x x y x S

x y y

x P

= =

=

⇒

> ±

= =

= −

⇒

= −

− =

+ − =

+ = +

= + =

= =

=

2002 2002

; ; 2002 0

; ; 2002 ;

; 2002

; ; 0 2002 0

' ; ; 2002 2002

2 2002 ·

2 '

2002 2002

2002 ;

; 2002 ·

2

2 2

2

2 2 2

2 2

2

La suma mínima es:

S

S = 2002 + 2002 =2 2002 =

b )

En efecto, de todos los pares elegidos pueden elegirse un par x, y tal que su suma sea tan grande como queramos.

Siendo

x

y=2002, haciendo x infinitamente pequeña, y se hace infinitamente grande, es decir:

∞ = ∞

→ =

x x

lím

y 2002

(6)

BLOQUE 3 (Geometría)

3-A) Se consideran las rectas

  

= +

= + + ≡

  

= −

= − ≡

5 2

7 2

0 2

1 2

z y

z y x s y z

y y x

r , se pide:

a ) Probar que r y s están en un mismo plano π .

b ) Determinar la posición de la recta t ≡x= y+1=−z−2 respecto del plano π y res-pecto de la recta s.

c ) Ecuación de la recta r’, paralela a r, que se corta con s y con t. ---

a )

En primer lugar expresamos las rectas r y s en ecuaciones paramétricas:

    

= − =

+ − = ≡

⇒

= + − =

= − + − = − − = −

=

⇒

=

⇒ 

 

= +

= + + ≡

     

= =

+ = ≡

⇒

= + = + = =

=

⇒

=

⇒ 

 

= −

= − ≡

k z

k y

k x

s x k

k k z

y x

k y

k z z

y

z y x r

k z

k y

k x

r x k y

x k y k y k

z z

y y x r

2 5

3 3 3

3

4 10 7 2

7 ;

; 2 5 5

2

7 2

2 1 1 1

2 1 ; ; 2 1 ;

; 2

0 2

1 2

Un vector director y un punto de cada una de las rectas son:

(

)

(

)

(

)

(

)

    

− − =

⇒ 

  

 ₌

⇒

0 , 5 , 3

1 , 2 , 3 ;

; 0 , 0 , 1

2 , 1 , 2

B v s

A u r

Si las rectas están contenidas en el mismo plano, los vectores ur, vr y wr = AB tie-nen que ser linealmente independiente, o lo que es lo mismo: el rango de la matriz que constituyen tiene que ser menor de 3.

(

) (

)

w

A B AB

(7)

{

}

30 4 16 10 0 0

5 4

1 2 3

2 1 2 ,

, = − − − =

− −

⇒

w v u de Rango

. . . , cqd plano

mismo un

en están s

y r rectas

Las π

b )

El plano π puede determinarse por los vectores u y v y, por ejemplo, el punto A:

(

)

(

)

(

)

(

1

)

4 7 0 ;; 5 5 4 7 0 ;; 5 4 7 5 0

5

; ; 0 2 1 4 3 4 6 1 ;

; 0 1 2 3

2 1 2

1 ,

;

= − − + ≡ =

− + − =

− + −

= − − + − − + − =

− − ≡

z y x z

y x

z y x

y x

z z y x

z y x

w u A

π π

Para estudiar la posición relativa de

1 2 1

1

1 −

+ = + =

≡ x y z

t y π ≡5x+4y−7z−5=0,

en primer lugar expresamos la recta t por unas ecuaciones continuas, es decir, por la in-tersección de dos planos:

  

= + +

= − − ≡

  

+ = −

+ = ≡

0 2

0 1 ;

; 2 1

z x

y x t z

x y x t

{ }

0 16 7 4 5 7 4 5

1 0 1

0 1 1

5 2

1 7 4 5

1 0 1

0 1 1 ' ; ; 7 4 5

1 0 1

0 1 1 0

5 7 4 5

0 2

0 1 ,

≠ − = − − − = − − =

  

 

  

 

− −

− − =

  

 

  

 

− − =

⇒ 

   

= − − +

= + +

= − −

⇒

M

M M

z y x

z x

y x

t π

ado er

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango = '=3= º ⇒ det min

antes son

plano el

y t recta

La π sec

(8)

    

= − =

+ − = ≡ −

+ = + = ≡

k z

k y

k x

s z

y x

t 5 2

3 3 ;

; 1

2 1

1 1

Un vector director y un punto de cada una de las rectas son:

(

)

(

)

(

)

(

)

    

− − =

⇒ 

   

− −

− =

⇒

0 , 5 , 3

1 , 2 , 3 ;

; 2 , 1 , 0

1 , 1 , 1

B v s

P c t

Los vectores c y v son linealmente independientes, por lo cual las rectas se cortan o se cruzan.

Si las rectas se cortan están en un mismo plano y los vectores c, v y d = BP

tienen que ser linealmente independiente, o lo que es lo mismo: el rango de la matriz que constituyen tiene que ser menor de 3.

(

) (

)

d

B P PB

d = = − = 0, −1, −2 − −3, 5, 0 = 3, −6, −2 =

{

}

4 18 3 6 6 6 31 0

2 6 3

1 2 3

1 1

1 ,

, = + + − + + = ≠

− − −

−

⇒

d v c de Rango

Las rectas t y s se cruzan c )

La recta r’ pedida viene determinada por la intersección de dos planos; uno de ellos es π , intersección de r y s; el otro π', es un plano que tiene como vectores los de las rectas t y r’ (r) y que contiene a t, o sea, vectores directores de t y r y un punto de t:

(

)

(

) (

)

(

)

(

1

) (

2

)

0 ;; 3 4 4 2 0 ;; ' 3 4 6 0

4 3

; ; 0 1 2 2 2 2

2 1 2 ;

; 0 1 1

1

2 1

2

2 1

, ; '

= − − − ≡ =

+ + + + − =

+ + + + −

= + + − + − + + + + − = −

+ +

≡

z y x z

y x z

y x

y x z

z y

x z

y x c u P

π π

  

= − − −

= − − + ≡

0 6 4

3

0 5 7 4 5 '

z y x

z y x r

(9)

3-B) Se consideran los puntos A(4, 0, -1) y B(1, 0, 0). Se pide:

a ) Ecuación de la recta r determinada por los puntos A y B y de la recta t paralela a r por el punto P(1, 1, 1)

b ) Ecuación del plano π que contiene a las rectas r y t.

c ) Determinar algún punto C del plano π de forma que los puntos A, B, C formen un triángulo rectángulo con el ángulo recto en C.

--- a )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

     + = = − = ≡ ⇒           ₌ ₋ ⇒      + − = = − = ≡ ⇒           − − = ⇒ = − = − − = − = = k z y k x t P u t k z y k x r A u r u A B AB u 1 1 3 1 1 , 1 , 1 1 , 0 , 3 ; ; 1 0 3 4 1 , 0 , 4 1 , 0 , 3 1 , 0 , 3 1 , 0 , 4 0 , 0 , 1 b )

(

) (

)

(

)

(

) (

)

(

1

) (

3 1

) (

3 1

)

0 ;; 1 3 3 3 3 0 ;; 3 3 1 0

; ; 0 1 6 1 1 3 1 3 ; ; 0 2 1 3 1 0 3 1 1 1 , ; 2 , 1 , 3 1 , 0 , 4 1 , 1 , 1 = − + − ≡ = + − − + + − = − − − + − − = − + − − − − − − = − − − − − ≡ = − = − − = − = = z y x z y x z y x y x z y z y x v u P v A P AP v π π c )

Sea C(x, y, z) un punto del plano π . Tiene que ser: AC ⊥ BC ⇒ AC · BC=0

(10)

Teniendo en cuenta que el punto tiene que pertenecer a π , con su ecuación y (*) formamos un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Para resolverlo fijamos una de las incógnitas, por ejemplo, z = 0, con lo cual resulta el sistema:

(

)

(

)

(

)

   

= =

⇒

= − =

− =

+ − − + + +

= + + −

+ +

⇒

+ = →

  

= − −

= + − +

10 9 0 0

9 10 ; ; 0 9 10

; ; 0 4 5 15 1

6 9

; ; 0 4 1 3 5 1

3 1

3 0

1 3

0 4 5

2 1 2

2 2

2 2 2

2

y y y

y y

y

y y

x y

x x y x

La primera solución nos proporciona una solución ilógica, ya que el punto C coincide con el punto B(1,0, 0) por lo tanto, consideramos la solución

10 9

=

y , que resul-ta el punto siguiente:

   

  ⇒

= = + = −

= , 0

10 9 , 10 37 10

37 1 10 27 1

3y x C

x