Universidad de Managua
Al más alto nivel
Curso de Matemática Básica
Conferencia Inicial
El Programa de Mat. Básica y Tema 1:Artimética
Participantes:
Alumnos /Ciencias EEyAA
Profesor:
MSc. Julio Rito Vargas Avilés.
www.jrvargas.wordpress.com
2018
Objetivos y temario del curso, video el trabajo colaborativo, y elementos básicos de la aritmética.
DIDÁCTICA
DE LA
MATEMATICA
BÁSICA
DIDÁCTICA DE LA MATEMATICA BÁSICA
Matemática Básica
Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
Polinomios Funciones
Desigualdades
El uso de las TICs ha venido a
favorecer
la
manipulación
de
la
información de las variables o datos
que son utilizados para el desarrollo
de
modelos
matemáticos.
La
representación gráfica, el modelado y
otras
bondades
de
estas
aplicaciones, es lo que las TICs,
ofrecen para desarrollar ejercicios,
algunos
casos
prácticos
de
matemática difíciles de hacerlo con
papel y lápiz.
El aprendizaje tradicional ha puesto como protagonista al profesor,
como el eje a partir del cual se genera el conocimiento. Ciertamente es
la figura que tiene la experiencia y el conocimiento, además de ser el
guía del alumno. Esto es, de su explicación y actividades que sugiera,
el alumno procesa, repite y elabora lo expuesto en clase.
Pero ¿qué sucede posterior a este proceso?, el alumno por naturaleza
tiende a rechazar
las matemáticas
, por lo que necesariamente se
requiere
integrar
nuevas
variables
al
proceso
de
enseñanza-aprendizaje, que pudiera constituir un atractivo para el estudiante, esto
es, un elemento detonante de interés hacia la materia en cuestión.
Tal elemento podría ser software matemáticos como Matlab, Derive,
Matemáticas, entre otros herramientas informáticas en la cual se puede
diseñar una serie de simuladores de cálculo, que permitan realizar
simulaciones con ejercicios matemáticos.
El trabajo colaborativo, en un contexto educativo, constituye un modelo
de aprendizaje interactivo, que invita a los estudiantes a construir juntos,
para lo cual demanda conjugar esfuerzos, talentos y competencias
mediante una serie de transacciones que les permitan lograr las metas
establecidas concienzudamente. Más que una técnica, el trabajo
colaborativo es considerado una filosofía de interacción y una forma
personal de trabajo, que implica el manejo de aspectos tales como el
respeto a las contribuciones individuales de los miembros del grupo.
Objetivos del Curso
Objetivo General
• Expresar en su actividad profesional los valores éticos y estéticos dirigidos hacia el desarrollo sostenible, sobre la base de la protección al medio.
• Inculcar hábitos de convivencia social, potenciando el respeto a los derechos humanos, el fortalecimiento de la democracia, el patriotismo y la identidad cultural.
• Realizar trabajo en equipo que fomente la práctica de la solidaridad y el respeto al derecho ajeno en el estudio de la matemática.
• Formar valores éticos como: creatividad, independencia, objetividad, solidaridad necesarios para el profesional de ingeniería industrial.
Objetivos del Curso
Objetivo General
• Realizar operaciones con polinomios.
• Factorizar polinomios.
• Resolver ecuaciones lineales, cuadráticas y sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
• Graficar funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y por ramas.
• Calcular áreas (figuras planas) y volúmenes de cuerpos sólidos.
Competencias Genéricas de Matemática Básica
Instrumentales
Capacidad de análisis y síntesis Capacidad de organización y planificación
Capacidad para la resolución de problemas
Habilidad para analizar y buscar información proveniente de fuentes diversas
Comunicación oral y escrita
Capacidad de tomar decisiones
Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio
Personales
Capacidad para
trabajar en equipo
Capacidad crítica y
autocrítica
Compromiso ético en
el trabajo
Sistémicas
Capacidad de
aprendizaje en equipo y en forma autónoma.
Competencias Específicas de Mat. Básica
Maneja la información hasta convertirla en un conjunto de datos útil para la toma de decisiones.
Maneja software para calculo: Derive y MatLab.
Resolver problemas de funciones en forma gráfica. Con y sin apoyo de software
Resuelve problemas de algebra como operaciones con polinomios, radicación, potenciación, fracciones entre otros.
Resolver ecuaciones con y sin apoyo de software.
Aplica métodos matemáticos para
resolver problemas de funciones y ecuaciones.
Expresa en forma sencilla un
problema del mundo real, usando
PLAN TEMÁTICO
Tema Títulos
Horas
C AP Presenciales No
presenciales Total
1 Aritmética 2 4 6 4 10
2 Polinomios 2 8 10 8 18
3 Ecuaciones Lineales y
Cuadráticas 3 6 9 5 14
4 Desigualdades lineales 2 4 6 5 11
5 Funciones 2 7 9 8 17
Evaluaciones - - 2 - 2
Bibliografía
Texto Básico
Aguilar, A., Valapi, F., Gallegos, H., & Reyes, R. (2009). Matemática simplificada (Segunda
ed.). Pearson.
Textos Complementarios
Earl W. Swokowiski Álgebra y Trigonometría Analítica con Geometría Analítica. Editorial
Grupo Editorial Iberomérica.
Aponte G, Pagán E, Pons F Fundamentos de Matemáticas Básica. Editorial Addison –
Wesley Iberoamericana
Murillo M, Soto A, Araya J.A. Matemática Básica con aplicaciones. Editorial EUNED
(Editorial Universidad Estatal a Distancia)
Barahona M, Oviedo J, Bujan V, Matemática Elemental Tomo I. Editorial de la Universidad
de Costa Rica
Objetivo:
Realizar operaciones con números decimales y
fracciones.
Realizar operaciones con números negativos y
positivos.
Contenido
Porcentajes.
Regla de tres
Aplicaciones del mínimo
común múltiplo y máximo
común divisor
Lectura y escritura de
números
Operaciones con números
positivos y negativos.
Operaciones con números
El conjunto de los números.
El conjunto de los números:
N: Naturales
E : Enteros
Q : Racionales
Q
´: Irracionales
R : Reales
R
Q
E
Los Números Naturales:
En la recta numérica los números enteros negativos se ubican en forma simétrica a los enteros positivos o naturales, es decir, a la izquierda del cero.
Así lo podemos observar la representación de algunos números enteros en la siguiente recta numérica:
LOS NÚMEROS ENTEROS
Números Opuestos o Simétricos
Los números que están a la misma distancia del 0 (cero) son números
opuestos, es decir, están ubicados simétricamente respecto al cero.
Analicemos el siguiente ejemplo: -5 es el opuesto de 5 porque están a la
misma distancia del 0; lo mismo ocurre con el 3 que es el opuesto de -3.
Gráficamente,
Valor Absoluto de un número entero
La distancia de un número al cero es el valor absoluto del número. Simbolizamos
el valor colocando el número entre barras. Por ejemplo I3I =3 I-3I =3
-3 y 3 son números opuestos, ya que están a igual distancia del cero en la recta
numérica y por lo tanto tienen igual valor absoluto.
Antecesor y Sucesor
Para cualquier número entero en la recta numérica es:
Antecesor (o anterior) : el que se ubica inmediatamente a la izquierda de él . Sucesor (o siguiente): el que está inmediatamente a su derecha.
Para medir cantidades no enteras utilizamos las fracciones y números decimales, por ejemplo cuando decimos que nos corresponden 2/3 de una cantidad, o cuando algo nos cuesta 2.35 córdobas. Las fracciones pueden convertirse a forma decimal (exacta, periódica pura o periódica mixta) y viceversa.
Éstas forman los números racionales, conjunto que representaremos por:
Si en una fracción el numerador es múltiplo del denominador, dicha fracción es un número entero, por tanto:
También los número racionales pueden todos ser representados sobre una recta:
-5.9 -10/3 -3/2 ½ 0 2.2 6.7
Q
=
𝑎
𝑏
∥ 𝑎, 𝑏𝜖𝐸, 𝑏 > 0
EL MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D.)
DEFINICIÓN:
El máximo común divisor de dos o mas números Es el mayor de los divisores que son comunes a dicho número
Ejemplo:
Los divisores de 18 y 24 son: Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18
Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24
Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6 Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6
Ejemplos:
1. Tres escuelas deciden hacer una colecta de dinero entre sus alumnos para donar a varias instituciones de beneficencia. Si la primera junta 120 mil, la segunda 280 mil y la tercera 360 mil córdobas, ¿cuál es la mayor cantidad que recibirá cada institución de tal manera que sea la misma y cuántas instituciones podrán ser beneficiadas?
2. Un parque de diversiones quiere construir balsas con 3 troncos de palmera, los cuales miden 15, 9 y 6 metros, ¿cuánto deben medir los pedazos de tronco si tienen que ser del mismo tamaño?, ¿cuántos pedazos de troncos saldrán?
3. Calcula el MCD de los siguientes números: a. 80, 675 y 900
EL MINIMO COMUN MULTIPLO (m. c. m.)
Definición:
El
menor
numero
natural,
que
es
múltiplo
simultáneamente de dos o mas
números, recibe el nombre de
mínimo común múltiplo
Para encontrar el mínimo común
múltiplo de varios números, estos
se descomponen en sus factores
primos comunes hasta que todos
los cocientes sean iguales a uno.
Aplicaciones del MCM
1. Tres amigos pasean en bicicleta por un camino que rodea a un lago, para dar una vuelta completa, uno de ellos tarda 10 minutos, otro tarda 15 y el tercero, 18 minutos. Parten juntos y acuerdan interrumpir el paseo la primera vez que los 3 pasen simultáneamente por el punto de partida, ¿cuánto tiempo duró el paseo?, ¿cuántas vueltas dio cada uno?
Tanto por ciento:
1.- Concepto de porcentaje
La expresión porcentaje o tanto por ciento equivale a “tantos de
cada 100”. Es decir, hablar del 40% es hablar de 40 de cada 100.
Teniendo en cuenta lo anterior, para hallar un tanto por ciento de
una cantidad deberíamos dividir primero por 100 para ver
cuántas cientos hay en la cantidad y después multiplicaríamos
por el tanto por ciento.
Así, para hallar el 35% de 420 haríamos lo siguiente:
420 / 100 = 4.2
En la práctica lo haremos de otras formas pero esta idea nos puede venir
bien para calcular mentalmente –o con cálculos sencillos- tantos por cientos
en los que aparecen ceros al final de las cantidades.
Recuerda que para dividir por 100 un número que acaba en ceros lo que
hacemos es quitar dos ceros. Por ello, para calcular estos porcentajes
quitaremos dos ceros y multiplicaremos las cantidades resultantes:
4% de 600 = 4*6 = 24
20% de 60 =
En el último ejemplo lo mejor es multiplicar 4 por 5 (sólo hemos quitado un cero) y del resultado, 20, quitar el segundo cero y llegar al resultado final,2.
30% de 50 = 3 *5 = 15 40% de 500 = 40* 5 = 200
8% de 2000 = 4% de 50 =
2 * 6 = 12 8 * 20 = 160 4 . 0.5 = 2
3.- Cálculo de porcentajes: porcentaje como regla de tres
Podemos interpretar el cálculo de un porcentaje como un problema de
proporcionalidad directa. Por ello, también podremos calcularlos por medio de
una regla de tres.
Ejemplo: Calcular 40% de 650
Total
Parte
100 --- 40
650 --- x
x
40
650
100
260
100
40
.
650
x
Esta forma de calcular los porcentajes es particularmente útil para resolver
algunos problemas.
En mi clase, de 30 que somos en total, 12 son chicas. ¿Qué porcentaje
representan las chicas?
(Lo resolveremos por regla de tres. Y recuerda que el porcentaje es lo que corresponde a 100)
Planteamiento:
Alumnos % 30 --- 100 12 --- x
x 100 12 30
40
30
100
.
12
x
Solución: 40%
Son problemas en los que algo tiene un valor inicial, disminuye en un porcentaje de su valor y llega a un valor final.
La camiseta que me gusta vale hoy $30 . Si en rebajas tiene un descuento del 25%. ¿Cuánto me costará entonces?
30 – 7,5 = 22.5
Solución: $22.5
Otra forma de resolverlo
Solución: $22.5
DISMINUCIÓN PORCENTUAL
(Si me descuentan el 25%, pago el 75% del valor)
Precio: $30 Descuento: 25%
25% de 30 = 7.5
Precio: 30€
Decuento: 25% 75% de 30 = 22.5
Otros problemas de aumento y disminución porcentual
Mi tío gana $1344 mensuales de sueldo después de un aumento del 12%. ¿Cuánto ganaba antes?
Antes Después 100 --- 112
x --- 1344
1344 112 x
100
112 1344 . 100 x 1200 Solución: 1200 €
Son problemas en los que se nos pide averiguar el valor inicial conociendo el valor final y el porcentaje de aumento o disminución. Los resolveremos de dos formas
Por regla de tres
Otra forma de resolverlo
112 % de x = 1344 100% + 12% = 112%
112 100 . 1344 x 1200 Solución: 1200 € Sueldo antes: x
Aumento: 12%
He pagado $22.50 por una camiseta. Si me han descontado el 25%, ¿cuál
era el precio antes de la rebaja?
Antes
Después
100 ---
75
x ---
22,50
22,50
75
x
100
75 22,50 . 100 xSolución:
$30
Otros problemas de aumento y disminución porcentual
PORCENTAJES
Por regla de tres
30
Tanto por ciento: Aplicación
1. Paola compró una bicicleta de montaña en $800, si el precio incluía una rebaja de 20%, ¿cuál era el precio normal de la bicicleta?
2. Jaime tiene una deuda de C$180 000, si 30% de esa cantidad se la debe a su hermano y el resto a su tío Alberto, ¿cuánto le debe a su tío?
3. Un proveedor compra cajas con aguacates en $60 cada una y las vende con una ganancia de 60% por caja, ¿cuánto ganará si compra 80 cajas?
Es la operación que se utiliza para encontrar el cuarto término en una proporción.
A la parte que contiene los datos conocidos se le llama supuesto y a la que
contiene el dato no conocido se le llama pregunta.
Regla de tres simple
Ejemplo 1:
El precio de 25 latas de aceite es de $248, ¿cuántas latas se podrán comprar con
$1,240?
Solución:
Supuesto: Si con $248 se compran 25 latas de aceite.
Pregunta: Con $1,240 se comprarán X latas de aceite.
248 1240
=
25
𝑥
→ 𝑥 =
1240∗25
Regla de tres simple
Ejemplo 2:
Una bodega se llena con 3500 sacos de 6 kg de papas cada uno y otra de la misma
capacidad se llena con sacos de 5 kg, ¿cuántos sacos caben en la segunda bodega?
Solución: Es una proporción inversa: Si disminuye el peso del saco, aumentará el
número de sacos.
Supuesto: Si con sacos de 6 kg se llena una bodega con 3500 sacos.
Pregunta:
Con sacos de 5 kg se requerirán X sacos para llenar una de igual capacidad5 6
=
3500
𝑥
→ 𝑥 =
6∗3500
Se utiliza cuando se tienen más de 4 cantidades directa o inversamente
proporcionales.
Regla de tres compuesta
Ejemplo 1: Una fábrica proporciona botas a sus obreros, si 4 obreros gastan 6 pares
de botas en 120 días, ¿cuántos pares de botas gastarán 40 obreros en 300 días?
Solución
Se forman las razones entre las cantidades.
Si el número de obreros aumenta la cantidad de botas aumentarán , por tanto es
una proporción directa.
Si el número de días aumenta el número de botas aumenta, por tanto es una
proporción directa
4 obreros 120 días 6 pares de botas 40 obreros 300 días X pares de botas
Regla de tres compuesta
4 40 120 300 = 6 𝑥 → 40 4 300 120 = 𝑥 6→ 𝑥 = 40 ∗ 300 ∗ 6
4 ∗ 120 = 150 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑡𝑎𝑠
Ejemplo 2: Si 24 motocicletas repartidoras de pizzas gastan $27 360 en gasolina
durante 30 días trabajando 8 horas diarias, ¿cuánto dinero se deberá pagar por
concepto de gasolina para 18 motocicletas que trabajan 10 horas diarias durante 6
meses? (considera meses de 30 días).
24 motociclistas 30 días 8 horas C$27,360 18 motociclistas 180 días 10 horas C$X
Regla de tres compuesta
18 24 30 180 8 10 = 27360 𝑥 → 24 18 180 30 10 8 = 𝑥 27360→ 𝑥 = 24 ∗ 180 ∗ 10 ∗ 27360
18 ∗ 30 ∗ 8 = 𝐶$ 273,600.00
Ejemplo 3: El padre de Alejandro contrató a 15 obreros que, al trabajar 40 días
durante 10 horas diarias, construyeron en su casa una piscina con capacidad para
80000 litros de agua; si Alejandro contrata a 10 de esos obreros para que trabajen
6 horas diarias y construyan otra piscina con capacidad para 40000 litros de agua,
¿cuántos días tardarán en construirla?
15 obreros 10 horas 80000 40 días 10 obreros 6 horas 40000 X días
10 15 6 10 80000 40000 = 40 𝑥 → 15 10 10 6 40000 80000 = 𝑥 40
→ 𝑥 = 15∗10∗40∗40000
