Estudio de Algunos Ejemplos y Problemas de la Teoría del Caos

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(1)Estudio de algunos ejemplos y problemas de la Teoría del Caos. Camilo Andrés Pérez Triana. Trabajo de grado. Director: Álvaro Arturo Sanjuán Cúellar. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá, Colombia 2017.

(2) A mis padres y hermana, que siempre han sido mi apoyo e inspiración..

(3) Agradecimientos A la Universidad Distrital, en donde encontré la oportunidad de renovar mis intereses; así como a los docentes que transitaron a lo largo de mi vida académica, y a quienes les debo mi gusto por la carrera. En especial, al profesor y director de este trabajo, Arturo Sanjuán. Su admirable labor de maestro, me dio el impulso y ánimo necesarios, para continuar y apasionarme a ella. A Natalia, quien me ha brindado una partícular y muy valiosa amistad; cuya compañia hace tornar todo muy apacible. A mi tía Ofelia y a mi primo Arbey, por siempre estar al tanto, y permitirme contar con ellos en diversas situaciones. Por supuesto, a mis padres Ángel y Rosalba, cuyo esfuerzo y paciencia me motivan todos los días a trabajar sin desfallecer. Y a mi hermana Alejandra, su optimismo, alegría y compañía es completamente gratificante. Espero corresponderles de alguna forma, a todos los mencionados..

(4) Í NDICE GENERAL. Agradecimientos. 2. 1. Introducción. 4. 2. Preliminares. 5. 1.. Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.. Sistema Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 3.. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 4.. Función de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 5.. Función de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3. Sistema de Lorenz. 24. 1.. Descripción y comportamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 2.. Atractor y modelo geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.. Dinámica caótica del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 4. Conclusiones. 41. 3.

(5) CAPÍTULO 1. I NTRODUCCIÓN La Teoría del Caos es una rama de la matemática que hace parte de los sistemas dinámicos bastante reciente. Sus inicios se debieron a Poincaré, quién en primer lugar, transforma el paradigma matemático del determinismo laplaciano que tiene como objetivo la predicción del pasado y futuro de un objeto, dadas unas condiciones iniciales; y en cambio, se concentra en un análisis cualitativo de lo que puede suceder con él. Por otra parte, Poincaré concentrado en el aún inquietante problema de los tres cuerpos, observa la existencia de innumerables fenómenos que no eran completamente aleatorios y que a pequeñas alteraciones en las condiciones iniciales conducían a enormes cambios a lo largo del tiempo. Pero no fue sino hasta mediados del siglo XX, con Lorenz, quién esperaba predecir el clima a partir del estudio de la atmósfera terrestre, en especial de las ecuaciones ya conocidas como las de Navier-Stokes; obtuvo la tan famosa figura conocida como la mariposa de Lorenz, en gran parte gracias al desarrollo de los primeros computadores y los grandes avances en métodos numéricos. A pesar de los grandes desarrollos a través de todo ese tiempo, Lorenz logró consolidar a través de este hecho una nueva teoría. A partir de allí se han llevado a cabo diversas investigaciones muy fructíferas en el campo aunque no solo matemático, sino también en áreas como la biología, física, química, economía, meteorología, computación, entre muchas otras. Este trabajo tiene como objetivo el de estudiar los aspectos básicos de la teoría del caos desde otro punto de vista. En vez de iniciar con la teoría y desprender de ella una aplicación, se da el rumbo contrario. Que la teoría sea el producto de un hecho experimental de cierta complejidad. Es por eso, dada su trascendencia, que me enfoco en el sistema de Lorenz. Para ello, se inicia con algunos preliminares que corresponden a la teoría fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias y la teoría de estabilidad, entre otros.. 4.

(6) CAPÍTULO 2. P RELIMINARES 1. Teorema fundamental En el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias, se está interesado en conocer bajo que condiciones se obtienen existencia, unicidad, regularidad y la dependencia continua de las condiciones iniciales de la solución. Las primeras dos afirmaciones las contiene el teorema principal de esta sección y es el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales ordinarias (Teorema 2.1). La respectiva demostración está basada en el método de aproximaciones sucesivas de Picard. La regularidad se desprende directamente de este teorema por su manera de ver la solución en el método, y aunque más adelante es de más utilidad, no es de mayor interés. Pero si va a ser de importancia la dependencia continua; ya que de esta propiedad se desprende la posibilidad de movimientos caóticos. Sean W ⊂ Rn un conjunto abierto y f : W → E una función continua; se entiende por solución de la ecuación diferencial x 0 = f ( x ) como una función u : J → W diferenciable, con J ⊂ R un intervalo, tal que para todo t ∈ J, u0 (t) = f (u(t)). Otro de los conceptos de importancia antes del teorema es: Definición 2.1. Una función f : W → Rn , con W ⊂ Rn un abierto, se le denomina Lipschitziana sobre W si existe una constante K tal que para todo x, y ∈ W,. | f (y) − f ( x )| ≤ K |y − x |. En general, se dice que f es localmente Lipschitz si cada punto de W tiene una vecindad W0 ⊂ W tal que f |W0 es Lipschitz. Antes del siguiente lema, se tiene en cuenta que el diferencial de f en un punto x ∈ W es un operador lineal sobre Rn y se le dota con una norma:. k D f ( x )k = máx{|( D f ( x ))u| : u ∈ Rn , |u| ≤ 1} 5.

(7) Lema 2.1. Sea f : W → Rn de clase C1 , con W ⊂ Rn abierto. Sea W0 ⊂ W convexo, si k D f ( x )k ≤ K para todo x ∈ W0 , entonces f |W0 es Lipschitz de constante K. Teorema 2.1. [2, pág. 163] Sea W ⊂ Rn un abierto, f : W → Rn de clase C1 y x0 ∈ W. Entonces existe algún α > 0 y una única solución x : (− a, a) → W de la ecuación diferencial. x 0 = f ( x ); con x (0) = x0 .. (2.1). Demostración. Sean x0 ∈ W y J un n intervalo abierto que o contiene al cero y tal que x : J → W es una solución de (2.1). Sea W0 = x ∈ W | x − x0 | ≤ b . Por el Lema 2.1, se tiene una constante de Lipschitz para f sobre W0 . Además, dado que f es continuo y W0 es compacto, existe M > 0 tal que | f ( x )| ≤ M. Sea a > 0, tal que b 1 a < mı́n , ; (2.2) M K y se establece J = [− a, a]. Utilizando el hecho de que x es solución de (2.1) si y solo si satisface la ecuación integral x ( t ) = x0 +. Z t 0. f ( x (s))ds,. se define una sucesión {un } de funciones de J en W0 como sigue: u0 ( t ) = x0 , u1 ( t ) = x0 +. Z t 0. f (u0 (s))ds.. Suponiendo que uk (t) ha sido definido y que. |uk (t)− x0 | ≤ b para todo t ∈ J, entonces u k +1 ( t ) = x 0 +. Z t 0. f (uk (s))ds. está bien definida por estar uk (s) ∈ W0 , y de nuevo. | u k +1 ( t ) − x 0 | ≤. Z t 0. | f (uk (s))|ds ≤ Ma < b.. Además, si L = máx{|u1 (t) − u0 (t)| : |t| < a} por inducción se tiene que. |uk+1 (t) − uk (t)| ≤ L(Ka)k . 6.

(8) De la desigualdad (2.2) obtenemos que aK < 1 y para e > 0, existe algún N ∈ N suficientemente grande tal que si r > s > N entonces,. |ur (t) − us (t)| ≤. ∞. ∑. i= N. |uk+1 (t) − uk (t)| ≤. ∞. ∑ (aK)i L < e.. i= N. Esto implica que u p converge uniformemente a una función continua x : J → W0 . En consecuencia, x cumple con la ecuación integral: x (t) = lı́m uk+1 = x0 + lı́m k→∞. = x0 + = x0 +. Z t. k→∞ 0 Z t 0. Z t 0. f. f (uk (s))ds, lı́m uk (s) ds,. k→∞. f ( x (s)) ds.. Y por tanto, x es una solución de (2.1) y esto muestra la existencia en el teorema. Para la unicidad se supone que existe otra solución y, que satisface también (2.1). Sea Q = máx | x (t) − y(t)|, en t∈ J. donde este máximo se encuentra en algún t1 ∈ J; luego Q = | x (t1 ) − y(t1 )| ≤. ≤. Z t1 0. | f ( x (s)) − f (y(s))|ds,. 0. K | x (s) − y(s)|ds ≤ aKQ,. Z t1. y de nuevo de la desigualdad (2.2) aK < 1. Por tanto Q = 0 y x (t) = y(t) para todo t ∈ J. Aunque en el teorema se usa que f ∈ C1 , para dar mayor entendimiento a la prueba, por el lema 2.1 se puede dar a f una condición más fuerte y que se siga cumpliendo el teorema. Con las mismas hipótesis y si en cambio f es localmente Lipschitz se satisface el teorema fundamental. Otra observación ahora cualitativa de la solución, es que si bajo las hipótesis del teorema, u, v son soluciones de (2.1) (con diferentes condiciones iniciales), las curvas que describen nunca se cruzan. De la misma forma, si u es solución de (2.1), la curva que describe no se cruza, a menos que sea una curva cerrada. El teorema que sigue, da un indicio de la dependencia continua; y aunque no se va a realizar la prueba, cabe resaltar de ella que es una aplicación directa de la desigualdad de Gronwall. Teorema 2.2. [2, pág. 181] Sea W ⊂ Rn un abierto y supongamos f : W → Rn una función que es Lipschitz de constante K. Sea y(t), z(t) soluciones para la ecuación diferencial x 0 = f ( x ) sobre el intervalo cerrado [t0 , t1 ]. Entonces para todo t ∈ [t0 , t1 ]:. |y(t) − z(t)| ≤ |y(t0 ) − z(t0 )|eK(t−t0 ) . 7.

(9) Lema 2.2. Sea f : W → Rn una función de clase C1 . Sean u(t), v(t) dos soluciones de la ecuación diferencial (2.1) definidas sobre un mismo intervalo J que contiene a t0 y satisface u(t0 ) = v(t0 ). Entonces u(t) = v(t) para todo t ∈ J. Ahora bien, el teorema fundamental, nos da la existencia de un intervalo donde hay solución única. Luego podemos ir uniendo intervalos de los cuales también haya solución y que contengan a la condición inicial en (2.1). El anterior lema garantiza que la solución es única sobre ese nuevo intervalo; y dicho intervalo se le conocerá como maximal. Pero un hecho de gran importancia lo da el siguiente teorema conocido como el teorema de escape de compactos. El cual nos dice que si el intervalo maximal es acotado, la norma de la solución cuando se aproxima al extremo del intervalo donde se define tiende a infinito. Teorema 2.3. [2, pág. 171] Sea W ⊂ Rn un abierto, sea f : W → Rn de clase C1 . Sea y(t) una solución de la ecuación diferencial sobre un intervalo abierto maximal J = (α, β) ⊂ R con β < ∞. Entonces para todo K ⊂ W compacto, existe un t ∈ (α, β) con y(t) ∈ / K. Demostración. Por contradicción, se supone que y(t) ∈ K para todo t ∈ (α, β). Como f es continua, existe M > 0 tal que | f ( x )| ≤ M si x ∈ K. Sea γ ∈ (α, β). Dado que para t0 < t1 en J y t1 − t0 < e/M para todo e > 0 se tiene:. |y(t0 ) − y(t1 )| =. Z t1 t0. 0. y (s)ds ≤. Z t1 t0. | f (y(s))|ds ≤ (t1 − t0 ) M.. Entonces y : (α, β) → Rn es uniformemente continua, y se puede obtener una función también continua y : [γ, β] → Rn . Esta función más que continua en β es diferenciable: y( β) = y(γ) + lı́m. Z t. t→ β γ. 0. y (s)ds = y(γ) + lı́m. Z t. t→ β γ. f (y(s))ds = y(γ) +. Z β γ. f (y(s))ds. Y así, y0 ( β) = f (y( β)). Ahora bien, como y es solución de (2.1) sobre el intervalo [γ, β], en especial sobre β; por el teorema 2.1, existe a > 0 tal que existe una solución sobre el intervalo [ β, δ). Por lo que y se puede extender al intervalo (α, δ). Pero esto contradice a que (α, β) es el dominio maximal de solución. De esta manera, si por el contrario a como se supuso en el teorema, la solución nunca “escapa” de un compacto, es porque su intervalo maximal puede ser extendido a todos los reales. Adicionalmente con el siguiente lema: Lema 2.3. Si f : W → Rn es localmente Lipschitz y A ⊂ W un compacto, entonces f | A es Lipschitz. Si f : K → Rn para K ⊂ Rn compacto, es de clase C1 ; f ya no es solamente localmente Lipschitz sino que globalmente Lipschitz. De esta manera, el siguiente teorema análogo al fundamental nos habla de cuando podemos extenderlo a todos los reales: 8.

(10) Teorema 2.4. Si f es globalmente Lipschitz sobre Rn , entonces para cada x0 ∈ Rn , el problema (2.1) tiene solución única y esta definida para todo t ∈ R. Luego, por lo dicho anteriormente, si el campo f está definido sobre un compacto y f ∈ C1 (K ) entonces por este teorema, sus soluciones están definidas sobre todo R. Por otro lado, otra característica a recalcar en las ecuaciones diferenciales es la dependencia continua a las condiciones iniciales: Teorema 2.5. [2, pág. 173] Sea f : W → Rn de clase C1 . Sea y(t) una solución para x 0 = f ( x ) definida sobre el intervalo cerrado [t0 , t1 ], con y(t0 ) = y0 . Existe una vecindad U ⊂ Rn de y0 y una constante K tal que si z0 ∈ U, entonces existe una única solución z(t) también definida sobre [t0 , t1 ] con z(t0 ) = z0 ; tal que satisface: (2.3) |y(t) − z(t)| ≤ |y0 − z0 |eK(t−t0 ) para todo t ∈ [t0 , t1 ]. Demostración. Por compacidad de [t0 , t1 ] existe e > 0, tal que si | x − y(t)| ≤ e entonces x ∈ W. El conjunto de dichos puntos A es un conjunto compacto. Luego por Lema 2.3, f | A es Lipschitz de constante K. Sea δ > 0 tal que e δ ≤ mı́n e, K | t1 − t0 |. Si |z0 − y0 | < δ, entonces por lo que se dijo anteriormente z0 ∈ W. Así, existe una solución z(t) que pasa por z0 y definida sobre un intervalo maximal [t0 , β). Necesitamos demostrar que β > t1 ; para ello, supongamos lo contrario que β ≤ t1 . Por teorema 2.2, para todo t ∈ [t0 , β). |z(t) − y(t)| ≤ |z0 − y0 |eK|t−t0 | ≤ δeK|t−t0 | ≤ e. Por lo tanto, z(t) se encuentra en el compacto A, luego no escapa del compacto y por teorema 2.3, [t0 , β) no puede ser el intervalo maximal de solución. De esta manera, z(t) se define sobre [t0 , t1 ]. Adicionalmente, por el lema 2.2 esta solución es única. El anterior teorema es conocido como dependencia continua de las soluciones en términos de las condiciones iniciales. Otra manera de ver este teorema, es si u(t, z0 ) describe la solución u(t) de la ecuación diferencial tal que u(0, z0 ) = u(0) = z0 entonces: lı́m u(t, z0 ) = u(t, y0 ). x0 → y0. uniformemente para todo t ∈ [t0 , t1 ]. 9.

(11) Antes de seguir, hay una observación más de la desigualdad (2.3). Para condiciones iniciales próximas, y para t cercano a t0 los puntos y(t) y z(t) siempre se mantienen cerca. Mientras que entre más se aleje t de t0 , por el término exponencial, se tiene menos certeza de lo cercanos que están y(t) y z(t). La distancia entre ambos puede variar mucho por el espacio en donde se pueden mover. Este último fenómeno de algunas ecuaciones es una de las características de caos.. 2. Sistema Dinámico Por otra parte, la descripción del cambio en el tiempo de los puntos en cierto espacio; que por ejemplo podría ser el espacio de estados de un sistema físico, químico, biológico, o de algún modelo matemático; se le conoce como sistema dinámico: Definición 2.2. Un sistema dinámico sobre Rn es una función φ : R × S → S de clase C1 , con S ⊂ Rn un abierto, y que denotando a φ(t, x ) := φt ( x ), la función φt : S → S satisface a) φ0 : S → S es la función identidad,. b) La composición φt ◦ φs = φt+s para cada t, s ∈ R. Por resaltar un sistema dinámico da lugar a una ecuación diferencial. En efecto, si φ es un sistema dinámico y x ∈ S , si se define f (x) =. d φt ( x ) dt. t =0. ,. f es un campo vectorial de S en Rn de clase C1 y si x (t) := φt ( x ) resulta una ecuación diferencial. Por otro lado, bajo las hipótesis del teorema 2.1; para cada y ∈ Rn existe una única solución φ con φ(0) = y, definida sobre un intervalo maximal J (y) ⊂ R. Colocando explícitamente la dependencia de φ de la condición inicial, se denota φ(t) := φ(t, y). Sea Ω = {(t, y) ∈ R × W |t ∈ J (y)}. a la función. φ:. Ω → W , (t, y) 7→ φ(t, y). se le conoce como el flujo de la ecuación (2.1). Y denotando φt (y) := φ(t, y), se obtiene que el flujo es un sistema dinámico.. 10.

(12) Adicionalmente, hablando un poco de la regularidad, si se conoce que tan suave es el campo f , resulta que tiene la misma suavidad el flujo φt . En el caso inicial, con la hipótesis de que f sea localmente Lipschitz implica que φ es continua y también localmente Lipschitz. De manera general: Teorema 2.6. [5, pág. 83] Sean f : U → Rn de clase C p , con p ∈ N y x0 ∈ U. Existen a, b > 0 tal que el flujo local φ : (−b, b) × Ba ( x0 ) → U es de clase C p .. 3. Estabilidad En esta sección es de interés el análisis cualitativo del sistema dinámico. Es decir, el comportamiento del flujo a través del tiempo, así como el de varios de ellos; y que dependerán directamente de ciertos puntos distribuidos en el espacio y que se define en seguida. Bajo las mismas hipótesis del teorema 2.1, un punto x ∈ W es un punto de equilibrio de (2.1) si f ( x ) = 0. Además como x (t) = x es solución de la ecuación diferencial, entonces debe ser la única. Por otra parte, el análisis a realizar es cuando el campo vectorial f es no lineal, ya que cuando f es lineal se tiene el siguiente resultado: Teorema 2.7. Sea A la matriz asociada a un operador lineal sobre Rn . Entonces la única solución del problema de valor inicial x 0 = Ax, x (0) = K ∈ Rn es etA K y además las siguientes propiedades tienen lugar sobre el origen: a) Si los autovalores de la matriz A tienen todos parte real negativa, al origen se le conoce como pozo o sumidero, b) Si los autovalores de la matriz A tienen todos parte real positiva, al origen se le denomina fuente, c) Si los autovalores de la matriz A tienen parte real negativos y positivos, al origen se le llama silla, d) Si los autovalores de la matriz A son imaginarios puros, al origen se le conoce como centro. En la figura 2.1 (elaborada en Python®) se encuentran algunos diagramas de fase para esta clasificación. Si de manera análoga al ítem a), para x un punto de equilibrio de (2.1), los au11.

(13) 3. 3. 3. 3. 2. 2. 2. 2. 1. 1. 1. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 1. 1. 1. 2. 2. 2. 2. 3. 3. 3. 3. 2. 1. 0. 1. 2. 3. (a). 3. 2. 1. 0. 1. 2. 3. 3. 2. (b). 1. 0. 1. 2. 3. 3. 3. (c). 2. 1. 0. 1. 2. 3. (d). Figura 2.1: clasificación de puntos de equilibrio sobre sistema lineal tovalores de D f ( x ) tienen todos parte real negativa, se denomina al punto x como pozo y el siguiente teorema muestra que localmente se comporta como el pozo del ítem a) para cuando f es no lineal. Teorema 2.8. [2, pág. 181] Sea x ∈ W un pozo de la ecuación diferencial. Supongamos que todo autovalor de D f ( x ) tiene parte real menor que −c, c > 0. Entonces existe una vecindad U ⊂ W de x tal que a) φt ( x ) esta definido y esta en U para todo x ∈ U, t > 0; b) Existe una norma euclidiana sobre Rn tal que |φt ( x ) − x | ≤ e−tc | x − x | para todo x ∈ U, t ≥ 0; c) Para cualquier norma sobre Rn , existe una constante B > 0 tal que |φt ( x ) − x | ≤ Be−tc | x − x | para todo x ∈ U y t ≥ 0. Demostración. Sin pérdida de generalidad se supone que x = 0 y sea A = D f (0). Sea b > c tal que las partes reales de los autovalores de A son menores que −b. En Rn existe una base B cuya norma y producto interno correspondiente satisfacen. h Ax, x i ≤ −b| x |2 Para todo x ∈ Rn . Por otra parte, de la definición de derivada. | f ( x + 0) − f (0) − Ax | | f ( x ) − Ax | = lı́m = 0, x →0 x →0 |x| |x| lı́m. y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. h f ( x ) − Ax, x i = 0. x →0 | x |2 lı́m. 12.

(14) Esto significa que existe δ > 0 lo suficientemente pequeño tal que si | x | ≤ δ, entonces para x ∈ W, h f ( x ), x i ≤ −b| x |2 ≤ −c| x |2 . Sean U = { x ∈ Rn : | x | ≤ δ} y x (t) con 0 ≤ t ≤ t0 , una solución de (2.1) en U (x (t) 6= 0). d h x 0 (t), x (t)i Dado que | x (t)| = y como x 0 = f ( x ) entonces dt | x (t)| d | x (t)| ≤ −c| x (t)|. dt. (2.4). Asi | x (t)| es decreciente y por lo tanto | x (t)| ∈ U para todo t ∈ [0, t0 ]. De la compacidad de U, por teorema 2.3, x no escapa del compacto y x (t) está definido y se encuentra en U para todo t ≥ 0. Esto demuestra la parte a). La parte b), resulta de la ecuación (2.4), de donde d ln(| x (t)|) ≤ −c −→ | x (t)| ≤ etc | x (0)|. dt. (2.5). Además, debido a que todas las normas en Rn son equivalentes, c) se obtiene de la ecuación (2.5). En general, para el caso no lineal la linealización de f es por medio de su diferencial D f : Teorema 2.9. [3, pág. 151] Considerando el sistema x 0 = f ( x ), donde f es de clase C1 . Supongamos que: 1. x (t) es una solución de la ecuación x 0 = f ( x ), el cual está definido para todo t ∈ [α, β] y satisface x ( t0 ) = x0 , 2. u(t) es una solución de la ecuación variacional a lo largo de x (t), u0 = D f ( x (t))u con u(t0 ) = u0 , 3. y(t) es la solución de x 0 = f ( x ) tal que y(t0 ) = x0 + u0 . Entonces. |y(t) − ( x (t) − u(t))| u0 →0 | u0 | lı́m. converge a 0 uniformemente en t ∈ [α, β].. Luego para cualquier sistema no lineal x 0 = f ( x ) con punto de equilibrio x0 , la ecuación variacional u0 = D f ( x0 )u, quién juega el rol de sistema linealizado en x0 ; las soluciones se encuentran lo suficientemente cerca entre ambos sistemas y de manera local. En otras palabras, sobre el punto de equilibrio se puede apreciar localmente un comportamiento “lineal”. Así que para un punto de equilibrio del sistema no lineal, su clasificación es asociada al tipo de punto singular que sea bajo su sistema lineal. Ahora para x ∈ W un punto de equilibrio de la ecuación diferencial x 0 = f ( x ): 13.

(15) Definición 2.3. x es un punto de equilibrio estable si para toda vecindad U de x en W existe una vecindad U1 de x en U tal que toda solución x (t) con x (0) ∈ U1 está definida y se encuentra en U para todo t > 0. Por el contrario, si x es un punto de equilibrio que no es estable se le conoce como inestable. También: Definición 2.4. x es un punto de equilibrio asintóticamente estable, si además de ser x estable, lı́m x (t) = x. t→∞. Análogamente a cuando f es lineal, obtenemos como clasificar algunos de los puntos de equilibrio: pozos, fuentes, sillas o centros. Y ahora con las últimas definiciones acerca de estabilidad, se agrupan en: los puntos de equilibrio como fuentes o sillas son puntos inestables y los puntos centro o pozo son estables; este último en particular es asintóticamente estable. Teorema 2.10. [2, pág. 187] Sea W ⊂ Rn un abierto y f : W → Rn de clase C1 . Suponiendo que f ( x ) = 0 y x es un punto de equilibrio estable de la ecuación x 0 = f ( x ) entonces ningún autovalor de D f ( x ) tiene parte real positiva. Ahora bien, según lo anterior se esperara que el diagrama de fase local para flujos de los dos sistemas, sean lo suficientemente semejantes. Pero desafortunadamente no en todos los casos se puede afirmarlo, a este lo concierne uno de los teoremas mas importantes de la teoría: Teorema 2.11 (Hartman-Grobman). Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto que contiene al origen, f ∈ C1 (U ), y φt es el flujo asociado al sistema x 0 = f ( x ). Supongamos que f (0) = 0 y que A = D f (0) no tiene autovalores con parte real 0. Entonces existe un homeomorfismo H de un abierto V sobre un abierto W, ambos contienen al origen, tal que para cada x0 ∈ V, existe un intervalo I ⊂ R al que se encuentre el 0, de modo que para t ∈ I H ◦ φt ( x0 ) = e At H ( x0 ) Es decir que, H envía trayectorias del sistema no lineal cerca del origen a trayectorias del sistema linealizado cerca al origen y preserva su orientación en el tiempo. Se puede complementarle algo más a este teorema, para el cual después es también de importancia, y es añadirle como hipótesis que f sea un poco más regular; y así, en vez de H ser homeomorfismo pueda llegar a ser un difeomorfismo: Teorema 2.12 (Hartman). Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto que contiene al punto x0 , f ∈ C2 (U ) y φt el flujo para el sistema no lineal. Supongamos que f ( x0 ) = 0 y que todo los autovalores de la matriz A = D f ( x0 ) tienen parte real negativa o positiva. Entonces Existe un C1 difeomorfismo H de una 14.

(16) vecindad V de x0 sobre un conjunto abierto W que contiene al origen tal que para cada x ∈ V existe un intervalo abierto Ix ⊂ R que contiene al 0, de modo que para todo t ∈ Ix H ◦ φt ( x ) = e At H ( x ) A continuación, se dan ejemplos para el cual no se cumple el teorema de Hartman-Grobman, para aquellos puntos que no son hiperbólicos; y la importancia de que sea difeomorfismo en vez de homeomorfismo. Lo primero es transformas los sistemas no lineales bidimensionales x 0 = f ( x ) de coordenadas cartesianas en coordenadas polares. En efecto, si f ( x, y) = ( P( x, y), Q( x, y)) entonces ṙ = P(r cos(θ ), r sin θ ) cos(θ ) + P(r cos(θ ), r sin θ ) sin(θ ) ẋ = P( x, y) rṙ = x ẋ + yẏ → 2 → Q(r cos(θ ), r sin θ ) cos(θ ) − P(r cos(θ ), r sin θ ) sin(θ ) ẏ = Q( x, y) r θ̇ = x ẏ − y ẋ θ̇ = r Precisemos un poco algunos de los diferentes comportamientos de los puntos críticos, dispongamos de x0 como un punto de equilibrio para el sistema. x0 se dice que es un centro-foco si existe una sucesión de curvas cerradas Γn , que sean curva solución, con Γn+1 en el interior de Γn , tal que Γn → 0 cuando n → ∞ y tal que toda trayectoria entre Γn y Γn+1 son espirales que tienden hacia alguno de los dos cuando t → ±∞. x0 se le denomina foco estable si existe un δ > 0, tal que para 0 < r0 < δ y θ0 ∈ R, r (t, ro , θ0 ) → 0 y |θ (t, r0 , θ0 )| → ∞ cuando t → ∞. x0 es un foco inestable si r (t, ro , θ0 ) → 0 y |θ (t, r0 , θ0 )| → ∞ cuando t → −∞. x0 se le denomina nodo estable si existe un δ > 0 tal que para 0 < r0 < δ y θ0 ∈ R, r (t, r0 , θ0 ) → 0 cuando t → ∞ y lı́m θ (t, r0 , θ0 ) existe. x0 es un nodo inestable si existe δ > 0 tal que para todo t→∞. r0 ∈ (0, δ), r (t, r0 , θ0 ) → 0 cuando t → −∞ y lı́m θ (t, r0 , θ0 ) existe. Por último, x0 es un nodo t→−∞. propio si es uno de los dos nodos, estable o inestable, y toda recta que pasa por el origen es tangente a alguna trayectoria. Ahora bien, considérese el siguiente sistema no lineal ẋ = −y + x ẏ =. x+y. p. p. x2 + y2 sin. x2. + y2 sin. 1 p p. !. x2 + y2! 1. (2.6). x 2 + y2. para cuando x2 + y2 6= 0 y f (0) = 0 en el otro caso. Su correspondiente sistema de coordenadas 15.

(17) 0.20. 3. 0.15. 2. 0.10 1. 0.05 0.00. 0. 0.05. 1. 0.10 2. 0.15 0.20 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20. 3. 3. 2. 1. 0. 1. 2. 3. Figura 2.2: la figura izquierda representa el diagrama de fase del sistema (2.6), donde las lineas oscuras son las circunferencias de radio 1/nπ; mientras que a la derecha se encuentra la figura que representa el de la parte linealizada de (2.6) polares: ṙ =. r2 sin. 1 r. θ̇ = 1 1 , se nπ tiene igualmente que ṙ = 0. Por otra parte, para nπ < 1/r < (n + 1)π, ṙ < 0 si n es impar y ṙ > 0 si n es par. Esto significa que el origen es un centro foco. Se puede observar en (2.6) que a la parte lineal se le suma una no lineal; así tomando solamente la parte lineal, esto es ẋ = −y y ẏ = x, resulta siendo un punto critico tipo centro. En la figura 2.2 (elaborada en Python®) se muestran los respectivos diagramas.. Esto definido para cuando r > 0; y cuando r = 0 entonces ṙ = 0. Además cuando r =. Por tanto, no tenemos un comportamiento siquiera similar (por lo que es impensable formar un homeomorfismo entre ambas) y en consecuencia, no se puede afirmar lo mismo que en el teorema de Hartman-Grobman cuando un punto de equilibrio no necesariamente sea hiperbólico. Sin embargo, para casos como el de este ejemplo, existe el siguiente resultado: Teorema 2.13. [6, pág. 144] Sea U ⊂ R2 que contiene al origen y f ∈ C1 (U ) con f (0) = 0. Supongamos que el origen es un centro para el sistema lineal. Entonces el origen es o un centro, o un centro-foco o un foco para el sistema no lineal Por otra parte, resulta incompleta la hipótesis de que f sea continuamente diferenciable, en el sentido que aunque el “parecido” entre las dos sea suficiente, aún sobreviven unas diferencias “sutiles”. Por lo que se necesita un poco más para que sea mayor la semejanza del sistema no 16.

(18) 1.5. 1.5. 1.0. 1.0. 0.5. 0.5. 0.0. 0.0. 0.5. 0.5. 1.0. 1.0. 1.5 1.5. 1.0. 0.5. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. 1.5 1.5. 1.0. 0.5. 0.0. 0.5. 1.0. 1.5. Figura 2.3: la figura izquierda representa el diagrama de fase del sistema (2.7); mientras que la figura derecha representa el de la parte linealizada de (2.7). Figura elaborada en Python® lineal con el de su linealización. Como ejemplo, consideremos el sistema y ẋ = − x − p ln x2 + y2 x ẏ = −y + p ln x2 + y2. (2.7). para cuando x2 + y2 6= 0 y para otros casos que f (0) = 0. Nótese que este campo f no es C2 sino únicamente C1 . En coordenadas polares resulta ṙ =. −r 1 θ̇ = ln(r ) t De este último observamos que las soluciones son r (t) = r0 y θ (t) = θ0 − ln 1 − . ln(r0 ) Cuando r0 < 1, r (t) → 0 y |θ (t)| → ∞ siempre que t → ∞. Esto significa que es un foco estable, mientras que su linealización es un nodo propio estable. Aunque por el teorema de HartmanGrobman se encuentra un homeomorfismo entre abiertos de cada uno, la clave de que aún le falte, es que no se puede encontrar un difeomorfismo. Al imponerle como hipótesis a f que sea de clase C2 , por el teorema de Hartman resulta el difeomorfismo requerido. Gracias a esto, adicionalmente se obtiene que bajo esta nueva hipótesis, se caracteriza un nodo o foco (estable o inestable) de un sistema linealizado, con un nodo o foco (estable o inestable) respectivamente del sistema original. . e−t. 4. Función de Liapunov Por lo visto, lo único por hacer hasta ahora para ver que un punto de equilibrio es estable, es ver que sea un pozo o un centro. Y si no es ninguno de estos no queda mas remedio que resolver la 17.

(19) ecuación diferencial (2.1), para ver el comportamiento de las soluciones, lo que muchas veces resulta imposible. Luego otro enfoque para resolver este problema es por funciones de Liapunov. Mediante un campo escalar definido sobre una vecindad del punto de equilibrio, que juega un papel similar al de la energía total sobre un sistema físico (de hecho para sistemas dinámicos físicos la energía total con algunos ajustes hará el papel de función de Liapunov); determina si este punto es estable, e incluso asintóticamente estable, sin el conocimiento de la solución de la ecuación diferencial. Más precisamente: Teorema 2.14. [3, pág. 195] Sea x ∈ W un punto de equilibrio para x 0 = f ( x ). Sea V : U → R una función continua definida sobre una vecindad U ⊂ W de x, diferenciable sobre U − x, tal que a) V ( x ) = 0 y V ( x ) > 0 si x 6= x; b) V 0 ≤ 0 en U − x, entonces x es estable. Además, si también: c) V 0 < 0 en U − x, entonces x es asintóticamente estable. Para una función V que satisfaga a) y b) se le conoce como función de Liapunov. Si a cambio de b) cumple con c), se dice que es una función de Liapunov estricta. Es de observar que para x ∈ U, V 0 ( x ) = DV ( x )( f ( x )); o bien si φt es el flujo asociado al sistema, entonces V 0 (x) =. d V (φt ( x )) dt. . t =0. Demostración. Sea δ > 0 tal que la bola cerrada Bδ ( x ) ⊂ U. Sea Sδ ( x ) el borde de Bδ ( x ).De la compacidad de de Sδ ( x ) y la continuidad de V, existe α ∈ R el mínimo valor de V sobre Sδ ( x ), y por la parte a) α > 0. Definamos U1 = { x ∈ Bδ ( x )|V ( x ) < α} Como V es decreciente sobre las curvas de solución, por la parte b), entonces toda solución que comienza en U1 no se escapa de Bδ ( x ). Esto significa que x es estable. Por otra parte, supongamos que se satisface c) y se procede por contradicción. Sea x (t) una solución que inicia en U1 − x y por compacidad de Bδ ( x ), existe una sucesión tn ∈ R tal que tn → ∞ y x (tn ) → z0 , para z0 ∈ Bδ ( x ). Además por la continuidad de V y la hipótesis c), 18.

(20) V ( x (t)) > V (z0 ) para todo t > 0. Suponiendo que z0 6= x y sea z(t) la solución que empieza en z0 . Luego, por el mismo argumento V (z(s)) < V (z0 ) para cualquier s > 0. De nuevo por la continuidad de V, para cualquier solución y(t) que inicie suficientemente cerca de z0 y tal que V (y(s)) < V (z0 ). Así haciendo y(0) = x (tn ) para n suficientemente grande tenemos V ( x (tn + s)) < V (z0 ); lo que es una contradicción. Por lo tanto, z0 = x y x es asintóticamente estable. Como ejemplo, Veamos que sobre un sistema físico podemos usar la energía total del sistema para generar nuestra función de Liapunov. En primer lugar, un campo de fuerza es un campo vectorial F : R3 → R, entendida como la fuerza que actúa sobre cada una de las partículas x. Si además, existe una función Φ : R3 → R de clase C1 tal que F ( x ) = −grad Φ( x ); F se conoce como campo de fuerza conservativa. A la función Φ se le denomina energía potencial. Ahora bien, considerando una masa constante m bajo la influencia del campo de fuerza conservativo F, donde Φ : W0 → R con W0 ⊂ R3 un abierto. Como x 0 (t) = v(t) es entendida como la velocidad y por la segunda ley de Newton F = ma, que puede ser traducida en nuestros términos a F ( x (t)) = mx 00 (t) = mv0 (t); el sistema dinámico sobre W = W0 × R3 correspondiente es: dx =v dt dv grad Φ( x ) =− dt m Para ( x, v) ∈ W. Por otra parte, los puntos de equilibrio ( x, v) son cuando v = 0 y cuando grad Φ( x ) = 0. En dichos puntos su estabilidad puede determinarse por medio de una función de Liapunov, para ello como dijimos antes es útil hallar la energía total. La energía cinética está dado por U ( x ) = 21 mx 002 y la potencial es Φ( x ), por lo que la energía total es E( x, v) =. 1 2 mv + Φ( x ). 2. Para que ésta sea una función de Liapunov se debe anular en los puntos de equilibrio, y como no siempre Φ( x ) = 0 entonces la función de Liapunov deberá ser V ( x, v) = E( x, v) − Φ( x ). Por la ley de la conservación de la energía V 0 ( x, v) = 0 para todo ( x, v) ∈ W. Esto solo puede ser cierto, si Φ( x ) > Φ( x ) y basta para los x cercanos x. Por lo tanto, solo si se tiene la última condición, V efectivamente en una función de Liapunov y cada ( x, 0) son puntos de equilibrio estables. Si x es un punto asintóticamente estable de un sistema dinámico, por definición existe una vecindad U1 de x tal que para cualquier solución x, si x (0) ∈ U1 entonces x (t) → x cuando 19.

(21) t → ∞. Luego si unimos todas estas curvas solución, obtenemos un conjunto B( x ) llamado “cuenca”. Veamos que la cuenca B( x ) es un conjunto abierto. Sea δ > 0 tal que la bola Bδ ( x ) ⊂ U1 , y sea {tn } una sucesión de reales positivos con tn → ∞; entonces por definición existe N ∈ N tal que si tn ≥ t N entonces k x (tn ) − x k < 2δ . Si ky − x k < δ1 y y(t) es una solución que inicia en y (es decir, que y(0) = y) entonces por la dependencia continua sobre las condiciones iniciales, ky(t N ) − x (t N )k < 2δ . En consecuencia,. ky(t N ) − x k ≤ ky(t N ) − x (t N )k + k x (t N ) − x k <. δ δ + = δ; 2 2. y(t N ) ∈ Bδ ( x ) ⊂ B( x ) y y(tn ) → x para tn ≥ t N , es decir, y ∈ B( x ). Cada cuenca queda únicamente identificada con cada punto asintóticamente estable. Otra de las utilidades de las funciones de Liapunov es que aproximan la extensión de la cuenca, que es de lo que habla el teorema que sigue. Antes se verán dos definiciones: Definición 2.5. Un conjunto P se dice invariante positivo para un sistema dinámico, si para todo x ∈ P, x (t) ∈ P para todo t ≥ 0 Definición 2.6. Al conjunto { x (t)|t ∈ R} donde x (t) esta definido para todo t ∈ R, se le conoce como orbita entera del sistema. Teorema 2.15. [3, pág. 200] Sea x ∈ W un punto de equilibrio del sistema dinámico x 0 = f ( x ) y sea V : U → R una función de Liapunov para x, donde U es una vecindad de x. Sea P ⊂ U una vecindad de x que es cerrada en W. Supongamos que P es invariante positivo, y que no existe una orbita entera en P − x sobre el cual V sea constante. Entonces x es asintóticamente estable y P ⊂ B( x ). Este teorema aunque sin demostración se da un ejemplo que lo ilustre. Considérese el sistema dinámico sobre R2 : x 0 = −2x − y2 y0 = −y − x2. √ √ 3 3 Para este sistema existen dos puntos de equilibrio (0, 0) y − 2, − 4 . También: D f ( x, y) =. −2 −2y −2x −1. !. → D f (0, 0) =. −2 0 0 −1. !. √ √ 3 3 , D f − 2, − 4 =. √ ! −2 2 3 4 √ 2 3 2 −1. De lo anterior obtenemos que los autovalores de D f (0, 0) son λ1 = −2 y λ2 = −1 y de √ √ √ √ 3 3 D f − 2, − 4 son λ1 = − 21 (3 − 33) y λ2 = 12 ( 33 − 3); por lo que (0, 0) es un pozo y √ √ − 3 2, − 3 4 es un punto de silla; como efectivamente lo muestra la figura 2.4 (elaborada en Python®). 20.

(22) 3. 4 2. 2. 1. 0. 0. −1. −2. −2. −4 −3 −3. −2. −1. 0. 1. 2. 3. −4. −2. 0. 2. 4. Figura 2.4: la figura izquierda muestra una región contenida en la cuenca. La figura derecha muestra una aproximación local de la cuenca del sistema. Los puntos azules representan los puntos de equilibrio. Para la aplicación del teorema, es de interés analizar el punto (0, 0). Sea V ( x, y) = x2 + y2 la función candidata. Para ver que esta es de Liapunov, en primer lugar debe suceder que V (0, 0) = 0 y V ( x, y) > 0 para ( x, y) 6= (0, 0). Por otro lado, V 0 ( x, y) = 2xx 0 + 2yy0 ,. = 2x (−2x − y2 ) + 2y(−y − x2 ), = −4x2 − 2xy2 − 2y2 − 2yx2 , = −2x2 (2 + y) − y2 (2 + 2x ).. Para que V 0 ( x, y) ≤ 0 necesariamente 2 + y ≥ 0 o y ≥ −2, y 2 + 2x ≥ 0 o x ≥ −1. Luego si V : U → R, con U = {( x, y) ∈ R2 | x ≥ −1, y ≥ −2} es una función de Liapunov en (0, 0) para el sistema. La bola B1 (0, 0) está en la cuenca del punto (0, 0). Análogamente a como se demuestra en el teorema 2.14, dado que B1 (0, 0) ⊂ U, entonces para todo 0 < δ ≤ 1 tal que Bδ (0, 0) ⊂ B1 (0, 0) y si U1 = { x ∈ Bδ (0, 0)|V ( x ) < α} entonces para una solución x (t) que inicia en U1 nunca escapa de allí, y por tanto tampoco de B1 (0, 0). Esto muestra que B1 (0, 0) es invariante positivo. Para la segunda condición se supone que existe una solución x (t) en B1 (0, 0) donde la función de Liapunov sobre esta es constante. Esto significa que V 0 ( x (t)) = 0, pero según la expresión hallada de V 0 , muestra que V 0 ( x, y) < 0 cuando y > −2 y x > −1, por lo que V 0 ( x (t)) < 0 para todo t ≥ 0 lo que es una contradicción. Por lo tanto B1 (0, 0) ⊂ B(0, 0). Aunque es posible pensar que el dominio de la función de Liapunov es la cuenca, la cuenca tiene una forma aún mas extraña, por lo que es un poco difícil de hallar completamente como lo muestra la figura 2.4 (elaborada en Python®). 21.

(23) 5. Función de Poincaré Ya en las anteriores secciones se ha tratado con la estabilidad de los puntos en el espacio. Pero no siempre sucede que la estabilidad se presenta en solo un punto, puede pasar como se vio cuando un punto no era hiperbólico, una estabilidad sobre una curva cerrada; aunque también es posible que suceda en conjuntos aún más extraños como es el caso de los atractores. La función de Poincaré tiene como objetivo el análisis de la estabilidad de curvas cerradas que sean solución del sistema no lineal x 0 = f ( x ). Para ello, desde una idea geométrica reduce el problema a uno discreto y ahora el análisis es sobre un conjunto de una dimensión menos (hiperespacio) que el espacio de estados en que se esta desarrollando el sistema. Esto último, hace que el análisis no sea sobre el flujo, sino se convierta en un análisis de nuevo como el que hemos estudiado, la estabilidad sobre puntos. Pero antes de definirlo, para que tenga sentido, se demuestra lo siguiente Teorema 2.16. [6, pág. 212] Sean U ⊂ Rn un conjunto abierto, f ∈ C1 (U ) y x0 ∈ U. Supongamos que φt ( x0 ) es una solución periódica para x 0 = f ( x ), de período T. Sea Γ = { x ∈ Rn | x = φt ( x0 ), 0 ≤ t ≤ T } un ciclo contenido en U. Adicionalmente, sea Σ = { x ∈ Rn |h( x − x0 ), f ( x0 )i = 0} un hiperplano ortogonal a Γ en x0 ; entonces existe un δ > 0 y una única función τ : Uδ ( x0 ) → R+ continuamente diferenciable con τ ( x0 ) = T y para cada x ∈ Uδ ( x0 ), φτ ( x) ( x ) ∈ Σ. Demostración. Defínase una nueva función como F (t, x ) = hφt ( x ) − x0 , f ( x0 )i. Luego por el teorema 2.6, F ∈ C1 (R × U ). Además por ser φt ( x0 ) de periodo T, x0 = φ0 ( x0 ) = φT ( x0 ) y entonces F ( T, x0 ) = 0. La derivada direccional con respecto a la primera variable es distinta a cero, en efecto: ∂φ( T, x0 ) ∂F ( T, x0 ) = , f ( x0 ) = h f ( x0 ), f ( x0 )i 6= 0. ∂t ∂t En consecuencia por el teorema de la función implícita, existe δ > 0 y una única función τ definida sobre una vecindad Uδ ( x0 ), continuamente diferenciable, con τ ( x0 ) = T y tal que F (τ ( x ), x ) = 0. Así, para todo x ∈ Uδ ( x0 ). hφ(τ ( x ), x ) − x0 , f ( x0 )i = 0, y esto es que φτ ( x) ( x ) ∈ Σ 22.

(24) Definición 2.7. Sea Γ, Σ, δ y τ ( x ) como en el teorema previo. A P : Uδ ( x0 ) ∩ Σ → Σ. x 7→ P( x ) = φτ ( x) ( x ). se le denomina la función de Poincaré Según esta definición, implica que la función de Poincaré P ∈ C1 (V ) con V = Uδ ( x0 ) ∩ Σ. Esto debido a que τ ∈ C1 (Uδ ( x0 )) y por teorema 2.6 φt ( x ) ∈ C1 (R × U ). Por lo tanto, con este mismo razonamiento, obtenemos que P ∈ C p (V )(e incluso analítica) siempre y cuando f también lo sea.. 23.

(25) CAPÍTULO 3. S ISTEMA DE L ORENZ “When the present determines the future, but the approximate present does not approximately determine the future”. Edward Lorenz Existen una cantidad innumerable de ejemplos con presencia de caos: la ecuación de Van der Pol, las ecuación de Duffing, la dinámica del péndulo doble, la dinámica de una pelota que rebota, la función de Henón, entre otras. No obtante, hay un sistema particular por el cual, de hecho, existe la teoría: el sistema de Lorenz. Y es a este sistema es al que se le dedica espacio. En principio, trata de una aplicación directa de los resultados obtenidos en el anterior capítulo, y posteriormente se realiza un modelo geométrico, que ayude a determinar su comportamiento caótico. Este modelo fue realizado por Guckenheimer y Williams ([1]), y junto con la exposición en el texto [3, cap.19], es la base para lo que sigue.. 1. Descripción y comportamiento En 1963 Lorentz a través de una simplificación de las ecuaciones de Naiver-Stokes para la explicación del comportamiento del clima, obtuvo un sistema de ecuaciones diferenciales dadas por: x 0 = σ(y − x ) (3.1) y0 = rx − y − xz 0 z = xy − bz donde se involucran 3 parámetros: σ como el número de Prandtl, el número de Rayleigh r y un tercer parámetro b; todas ellas positivas y con σ > b + 1. Los puntos de equilibrio para este sistema son tres:   σ(y − x ) = 0  x = y    x = 0 ó z = r − 1; p → (r − 1 − z ) x = 0 → rx − y − xz = 0   z = 0 ó x = ± b (r − 1)   xy − bz = 0 x2 = bz 24.

(26) p p P = (0, 0, 0) y Q± = ± b(r − 1), ± b(r − 1), r − 1 ; claro que para cuando r < 1, solo existe un punto de equilibrio. Según lo hablado en el anterior capítulo, podemos obtener una linealización del sistema, por medio de su diferencial:   −σ σ 0   D f ( x, y, z) =  r − z −1 − x  y x −b Aunque es bien sabido, esto solo se aplica a los puntos de equilibrio, no es cierto que la linealización se parezca al original en cualquier punto, y esto solo es de manera local. Ahora bien, haciendo variar el parámetro r, por cálculos numéricos, el comportamiento de cada uno de los puntos de equilibrio es: 1. r < 1. En este caso los autovalores de D f ( P) son q 1 − (σ + 1)2 + 4σ(r − 1) − σ − 1 λ1 = 2 q 1 2 λ2 = (σ + 1) + 4σ(r − 1) − σ − 1 2. (3.2). λ3 = − b los cuales como se puede observar son todos negativos, por lo que P es un pozo, un punto asintóticamente estable. No obstante, su dinámica no es solo local, sino global: Proposición 3.1. Si r < 1, toda solución del sistema de Lorentz tiende al origen. Demostración. Sea L : R3 → R definida por L( x, y, z) = x2 + σy2 + σz2 . Es de observar que L es una función estricta de Liapunov. En efecto, esta función es diferenciable en R y en especial en R − P ya que sus derivadas parciales son continuas y por tanto también L es continua. Además L( P) = 0, y L̇( P) = DL( P)( f ( P)) = 2xx 0 + 2σyy0 + 2σzz0 = −2σ x2 + y2 − (1 + r ) xy − 2σbz2 . Esto último se obtiene sustituyendo en (3.1), x 0 , y0 y z0 . Resta por ver que L̇ < 0; para ello se reduce el problema a probar que g( x, y) = x2 + y2 − (1 + r ) xy > 0 para ( x, y) 6= (0, 0). Dado que sobre la recta x = 0, g(0, y) > 0, por lo que se cumple la condición. Por otra parte, a lo largo de la recta y = mx resulta g( x, mx ) = x2 (m2 − (1 + r )m + 1). 1+r Puesto que r < 1 y la cuadrática que se encuentra entre paréntesis adquiere un mínimo en , 2 el término cuadrático es positivo y por tanto también g. En consecuencia, L es una función estricta de Liapunov sobre todo R3 y P es un punto global asintóticamente estable . 25.

(27) x(t). 3 2 1 0 −1 4. −2 −3. 3. (3, 3, 3). −4. 2. 0. 2. 4. (3, −3, 3) 0. 6. 8. 10. 6. 8. 10. 6. 8. 10. y(t). 3 1. 2 z. 1 0. −1. (0, 0, 0). −2. −2. −3. −3. −4. (−3, −3, −3). 4 3 2 1. −4. 0 −3. −2. −1. 0 x. −3. 1 2. −2. −1 y. −4. 3 4. −1. −5. −4. 0. 2. 4. z(t). 3 2 1 0 −1 −2 −3 −4. 0. 2. 4. Figura 3.1: Tres distintas soluciones del sistema de Lorentz, desde los puntos (3, 3, 3) (azul), (−3, −3, −3) (roja) y (3, −3, 3) (verde); con parametros σ = 10, β = 8/3 y r = 0,9. Ver por ejemplo, la figura 3.1 (elaborada en Python®). 2. r = 1. Los autovalores de D f ( P) son λ1 = 0, λ2 = −σ − 1 y λ3 = −b; ellos son distintos ya que σ > b + 1, por lo que −σ − 1 < σ + 1 < −b < 0; y como no tiene autovalores con parte real positiva entonces P es estable. 3. r > 1. Como los autovalores son los mismos que en (3.2), el único cambio que sufre es que λ2 > 0; por lo que P se convierte en un punto de silla. En lo que respecta a los puntos Q± , sus autovalores son difíciles de calcular, por lo que estabilidad se analiza en la siguiente proposición. Proposición 3.2. Los puntos Q± son pozos siempre que σ+b+3 ∗ 1<r<r =σ . σ−b−1 Demostración. A pesar de la dificultad de encontrar los autovalores de D f ( Q± ), es posible encontrar su polinomio característico. En efecto este será: f r (λ) = λ3 + (1 + b + σ )λ2 + b(σ + r )λ + 2bσ(r − 1). Como para r = 1 ya se habían obtenido en el ítem 2. los autovalores, según el comportamiento de f r (λ) para r > 1 suficientemente cercano al valor 1, siguen obteniéndose tres autovalores 26.

(28) 20. 40. 15. 10. 250. 30. 200. 20. 150. 10. 100. 5. 0. 10 5. 10. 0. 5 5. 0 10. 5 10. 50. 0. 15. 20 15. 10. 10 5. 0. 0 5. 100 20. 50 0. 10 10. 15. 20. 0 40. 50. 20. 15. (a). (b). (c). Figura 3.2: Las soluciones para el sistema de Lorentz, desde los puntos (0, 0,1, 0) (azul) y (0, −0,1, 0) (verde). De parámetros σ = 10, β = 8/3 y r = 15 para la figura a), r = r ∗ en la figura b) y r = 160 para la figura c). En la ultima imagen, se observa que tiende a una orbita periódica. Gráfico elaborado en Python® reales, cercanos a los existentes y todos negativos; ya que si λ ≥ 0 y r > 1 entonces f r (λ) > 0. De ahí que los puntos Q± son pozos. Para hallar el r ∗ se desea saber hasta que r, f r comienza a tener algún autovalor con parte real 0, digamos que es autovalor tenga la forma ±iw con w 6= 0. Luego resolviendo f r (iw) = 0 obtenemos: f r (iw) =(iw)3 + (1 + b + σ )(iw)2 + b(σ + r )(iw) + 2bσ(r − 1). =(bw(σ + r ) − w3 )i + (2bσ(r − 1) − (1 + b + σ)w2 ) = 0; ) b(σ + r ) = w2 2bσ(r − 1) σ ( σ + b + 3) → b ( σ + r ) = w2 = →r= , 2 1+b+σ σ−1−b 2bσ(r − 1) = (1 + b + σ)w. y es a lo que se quería llegar.. Es importante resaltar dos cosas. En primer lugar se observa, que al variar el parámetro r a través del valor 1, hay un cambio cualitativo en el sistema; específicamente, pasa de haber un solo punto de equilibrio a que existan tres; y por otro lado, que el punto P pase de ser un pozo a ser un punto de silla. Esto intuitivamente hace referencia a una bifurcación. Lo otro es que existe otro cambio, de dinámica del sistema ahora sobre los puntos Q± cuando r pasa a través del valor r ∗ . Pero en este caso, a cambio de que pase de ser un pozo a ser una silla o una fuente, 27.

(29) resulta generando órbitas periódicas a las que va a tender y va a ser su conjunto ω-limite. A este tipo de suceso se le conoce como bifurcación de Hopf. Aunque las soluciones para r > 1 no tiendan al origen, por lejanas que estén siempre llegan a estar bastante cerca del origen, un conjunto tipo elipsoide, al cual entrarán las soluciones y nunca más abandonaran al mismo. Proposición 3.3. Para el elipsoide V ( x, y, z) = rx2 + σy2 + σ (z − 2r )2 existe v∗ tal que para soluciones que empiecen fuera de V ( x, y, z) = v∗ entran a este elipsoide y quedan dentro para siempre.. Demostración. Calculando V̇ obtenemos: V̇ = −2σ (rx2 + y2 + b(z2 − 2rz)). = −2σ(rx2 + y2 + b(z − r )2 − br2 ).. Luego para que V̇ < 0, se necesita que para el elipsoide rx2 + y2 + b(z − r )2 = µ, µ > br2 . Escogiendo un v∗ suficientemente grande tal que V ( x, y, z) = v∗ contenga al elipsoide rx2 + y2 + b(z − r )2 = br2 ; y como V̇ < 0 para todo v ≥ v∗ , toda solución es atraída a este elipsoide, entra y no volverá a salir. En realidad esto significa que las soluciones así como eran atraídas al punto (0, 0, 0) cuando r < 1, son atraídas a un conjunto dentro del elipsoide definido en la proposición. A este conjunto se denota como Λ y es el conjunto de puntos cuyas órbitas enteras se encuentran dentro del elipsoide. Por otra parte, dado que la divergencia de un campo mide la tasa a la cual el volumen cambia bajo el flujo y sean D ⊂ Rn una región, F un campo vectorial sobre Rn y ϕt su flujo asociado. Si V (t) denota el volumen de ϕt ( D ) entonces dV (t) = dt. Z ϕt ( D ). ∇ · F dx1 · · · dxn ;. y por el teorema de Louville: Teorema 3.1 (Louville). Si ∇ · F = 0 entonces ϕt conserva el volumen El volumen del conjunto Λ puede ser encontrado Proposición 3.4. El volumen de Λ es cero. 28.

(30) 20 15 10 5 0 5 10 15 20. 40. x(t). 0. 5. 10. 30. 30. 15. 20. 25. 30. 20. 25. 30. 20. 25. 30. y(t). 20 10. 20. 0 10. 10. 20 30. 0 20 20. 20. 15. z(t). 20. 10. 10. 10. 30. 0. 0. 5. 40. 10. 10. 0. 50. 10. 20. 0. 0. 5. 10. 15. Figura 3.3: Dos distintas soluciones del sistema de Lorentz, desde los puntos (3, 3,1, 3) (azul) y (3, 3, 3) (roja); con parametros σ = 10, β = 8/3 y r = 28. Figura elaborada en Python® Demostración. La divergencia para nuestro sistema de Lorentz F es:. ∇·F =. 3. ∂F. ∑ dxii (x, y, z) = −σ − 1 − b.. i =1. Si D una región dentro del elipsoide rx2 + σy2 + σ(z − 2r )2 = v∗ , por el teorema de Louville, dV (t) = −(σ + 1 + b) dt. Z ϕt ( D ). dx dy dz = −(σ − 1 − b)V (t),. y la solución para esta ecuación diferencial es: V (t) = e−(σ+1+b)t V (0). Así V (t) → 0 cuando t → ∞. De la anterior proposición se concluye que a través del flujo, D tiende a Λ. Por lo tanto, el volumen de Λ es cero.. 2. Atractor y modelo geométrico Hasta ahora se ha dado un análisis como el de cualquier otro sistema de ecuaciones, Sin aún conocer como es en realidad el comportamiento, en especial en el conjunto Λ. A continuación 29.

(31) se introduce la parte más importante del sistema: la prueba de que este conjunto es un “atractor caótico”. Para ello se necesita primero conocer lo que significa ser un atractor: Definición 3.1. Sea X 0 = F ( X ) un sistema de ecuaciones diferenciales en Rn con flujo φt . Un conjunto Λ se conoce como atractor si: a) Λ es compacta e invariante, b) existe un conjunto abierto U ⊂ Λ tal que para cada X ∈ U, φt ( X ) ∈ U para todo t ≥ 0 y \. φt (U ) = Λ,. t ≥0. c) Para todo Y1 , Y2 ∈ Λ y cualquier vecindad abierta U1 , U2 ⊂ U de Y1 , Y2 , existe una curva solución que empieza en U1 y pasa por U2 . De manera más general, también se le conoce a Λ como atractor, si las mismas propiedades se cumplen pero ya no sobre el flujo sino sobre cualquier función continua G : X → X; es decir que además de que Λ sea compacta e invariante bajo G que: a) Existe un conjunto abierto U ⊂ Λ tal que G (U ) ⊂ U y \. G n (U ) = Λ,. n ∈N. b) Para todo Y1 , Y2 ∈ Λ y cualquier vecindad abierta U1 , U2 ⊂ U de Y1 , Y2 , existe n ∈ N tal que G n (U1 ) ∩ W2 6= ∅. Para continuar se necesita dar más detalles del comportamiento del sistema; para simplificar es de utilidad un modelo geométrico. Este modelo, es descrito a partir de una serie de suposiciones que son consistentes y complementan a los resultados del sistema “real”. Lo primero es que se fijan los parámetros a σ = 10, b = 8/3 y r = 28; tal como los trabajo Lorentz. Desde luego, también imponerle al modelo que todos los resultados anteriores sean válidos. A continuación, respecto a lo que se obtuvo directamente del sistema, se realizan unas suposiciones análogas para el modelo: 1. Supongamos que existe un punto de equilibrio en (0, 0, 0) y que el sistema es lineal sobre el cubo S = {( x, y, z) ∈ R3 : | x |, |y|, |z| ≤ 5} y que el modelo es simétrico al eje z. Además su sistema lineal es x 0 = −3x (3.3) y0 = 2y 0 z = −z 30.

(32) Este sistema es de comportamiento similar que el de la linealización obtenida inicialmente; osea que no está tan mal suponer esto. Por otra parte, se esta interesado en conocer como transita la solución entre el cubo, para ello; sea h : R1 → R2 , donde. R1 = {( x, y, z) ∈ R3 |z = 1, | x | ≤ 1, 0 < y ≤ e < 1}, R2 = {( x, y, z) ∈ R3 |y = 1, | x | ≤ 1, 0 < z ≤ 1}.. Del sistema (3.3) obtenemos:  x = x0 e−3t x = x0 e−3t   → 1 = y = y0 e2t y = y0 e2t   z = e−t z = z0 e − t.     . x → y0 z. 3 2.   = x0 y0   − 2t . = e 1    = z0 y02. En consecuencia, para ( x, y) ∈ R1 3 1 h ( x, y) = xy 2 , y 2 . 2. Tal como se obtuvo en el sistema de Lorentz, se supone para el modelo que existen otros dos puntos de equilibrio y son Q± = (±10, ±20, 27), tales que en las rectas γ± = {( x, y, z) ∈ R3 |y = ±20, z = 27} las soluciones son asintóticamente estables a los punto Q± y los otros autovalores tienen parte real positiva y conjugados complejos. 3. Sea Σ = {( x, y, z) ∈ R3 |z = 27, | x |, |y| ≤ 10}, suponiendo que el campo vectorial apunta hacia abajo dentro de este cuadrado, se puede definir la función de Poincaré sobre éste cuadrado. La superficie estable de (0, 0, 0) interseca a Σ y en esta línea por lo tanto, nunca retorna la solución a Σ ya que tiende al punto de equilibrio (0, 0, 0). Además las dos soluciones que se desprenden del eje inestable para el origen, denotadas por ζ + y ζ − para la rama derecha y la izquierda respectivamente. Además al primer punto de intersección con el plano Σ de ζ ± , representarlo como ρ± = (± x ∗ , ±y∗ ). Principales hipótesis del modelo 4. Condición de retorno. Sea Σ+ = Σ ∩ {y > 0} y Σ− = Σ ∩ {y < 0}. Si se supone que toda solución que comienza en Σ± retorna en algún momento a Σ entonces se obtiene una función de Poincaré Φ : Σ+ ∪ Σ− → Σ, y por la simetría del modelo Φ( x, y) = −Φ(− x, −y) para ( x, y) ∈ Σ+ ∪ Σ− . 31.

(33) 5. Dirección de contracción. La función Φ envía a cada linea y = v 6= 0 en Σ en la recta y = g(v) para cierta función g. Adicionalmente Φ contrae esta linea en la dirección x. 6. Dirección de expansión. Φ estira a Σ+ y a Σ− en la dirección y con un factor mayor √ a 2. 7. Condición de hiperbolicidad. Entre las suposiciones expansión y contracción de los dos anteriores ítems, DΦ envía vectores tangentes en Σ± cuyas pendientes son ±1 a vectores cuya inclinación es de magnitud mayor que µ > 1. Las últimas cuatro son las suposiciones más fuertes debido a que no se conocían antes. De ellos resulta que la función de Poincaré Φ tiene la forma: Φ( x, y) = ( f ( x, y), g(y)) de la condición 6. g0 (y) >. √. 2 y la condición 5. implica que 0 <. resulta que si v = ( a, ± a) y P ∈ Σ± :   ∂f ∂f ( x, y) ( x, y)   DΦ P (v) =  dx P dy P  0 0 g (y) P. a ±a. !. ∂f < c < 1. De la hiperbolicidad ∂x. ∂f ∂f  a dx ( x, y) ± a dy ( x, y) = P ± ag0 (y) P .  P.  .. Así la pendiente de DΦ( x,y) (v) es. | ± ag0 (y)| ∂f ∂f > µ → g0 (y) > µ ( x, y) ± ( x, y) . ∂f ∂f ∂x ∂y a ( x, y) ± a ( x, y) dx dy En particular si |v| ≥ |u| sobre el plano tangente en P como:. |v| g0 (y) > |v|µ. ∂f ∂f ∂f ∂f ( x, y) + ( x, y) ≥ µ |u| ( x, y) + |v| ( x, y) , dx dy dx dy. significa que a esta sección, su imagen en DΦ se encuentra estrictamente dentro de ella misma; ∂f ∂f y para y suficientemente pequeños, su pendiente es aún mayor. dx dx Según la descripción del mapa de Poincaré, Φ( x, 0) no está definido; sin embargo, lı́m Φ( x, y) = ρ± .. (3.4). y →0±. A ρ± se le conoce como el vertedero de Φ(Σ± ). 32.

(34) Σ+ Q−. Φ(Σ− ) b. b. R− ρ+. ρ−. R+ Φ(Σ+ ). b. b. Q+. Σ−. ζ−. ζ+ y b. x. Figura 3.4: Gráfico de la descripción dada para el modelo del sistema de Lorenz. Figura realizada en PSTricks. Ahora bien, restringiendo el plano Σ hasta |y| ≤ y∗ (recordando que ρ± = (± x ∗ , ±y∗ )), notado por R, toda solución que empiece en Σ± y fuera de R, en algún momento llega a R y nunca sale de tal rectángulo (por las condiciones 5. y 6.). Así que es suficiente analizar a Φ sobre R. Además es de notar que Φ( R) ⊂ R. Si Φn es la n-ésima iteración de la función Φ, sea A como A=. ∞ \. Φ n ( R ).. n =0. Así A es la intersección del atractor para el flujo con el rectángulo R. Luego si !. A=. [ t ∈R. ϕt ( A). ∪ {(0, 0, 0)},. lo que sigue es demostrar que este conjunto es el atractor esperado para el modelo, pero antes como no es tan inmediato probar la propiedad de transitividad en la definición de atractor, por lo que antes va un lema. Dado un conjunto U ⊂ R, se denota Πy (U ) como la proyección de U sobre el eje y. También se denota por `y (U ) como la longitud de Πy (U ) Lema 3.1. Para todo conjunto abierto W ⊂ R, existe n > 0 tal que Πy (Φn (W )) es el intervalo [−y∗ , y∗ ]. Demostración. Sin pérdida de generalidad supongamos que W es conexo, o de lo contrario es posible encontrarle un subconjunto conexo V a W. Como primer caso, W cruza a la recta y = 0. Para W ± = R± ∩ W ambos son conjuntos conexos, `y (W + ∪ W − ) = `y (W ) y Φ(W ± ) se extiende hasta ρ± (por 3.4). Si alguno de los dos cruza la recta y = 0, por decir Φ(W + ), entonces existe un 33.

(35) Φ (W ′ ). W Φ (W ) b. R− ρ+ b. Φ (W ). ρ− R+. R−. R+. W′. b. Φ 2 (W ′ ). ρ−. ρ+ b. Φ 2 (W ′ ). Figura 3.5: Descripción gráfica del argumento principal del lema. Figura realizada en PSTricks. W 0 ⊂ Φ(W + ) ∩ R+ cuya longitud de su proyección es `y (W 0 ) = y∗ . Al ser Φ continua, Φ(W 0 ) es conexa y por la hipótesis 6 del modelo, √ √ `y (Φ(W 0 )) > 2`y (W 0 ) = 2y∗ . Pero Φ(W 0 ) se extiende a lo largo de ρ+ y más allá de la recta y = 0. Aplicando de nuevo Φ, Φ2 (W 0 ) es un conjunto conexo y `y (Φ2 (W 0 )) > 2y∗ . Como Φ(W 0 ) ∩ R está divido en dos partes, por (3.4) significa que, Φ2 (W 0 ) se extiende desde ρ− hasta ρ+ ; por lo que Πy (Φ3 (W )) = Πy (Φ2 (W 0 )) = [−y∗ , y∗ ]. Ver figura 3.5. Por otro lado, si ninguno de los dos Φ(W ± ) atraviesan la recta y = 0, aplicamos Φ al conjunto, y Φ2 (W ± ) es conexo,. `y (Φ2 (W ± )) > 2`y (W ± ). Así que para al menos uno de los dos, W + o W − , `y (Φ2 (W ± )) > `y (W ). Si uno de los Φ2 (W ± ) cruza el eje y = 0, se aplica el anterior razonamiento y concluye la prueba; de lo contrario, si ninguno lo cruza, no queda más remedio que seguir iterando. Por propiedad arquimediana, siempre existe n ∈ N tal que. √. y∗ y∗ n 2 > o también para el que 2 > . ` y (W ± ) ` y (W ) n. El primer caso iterando una cantidad impar de veces y para el último una cantidad par. De ambas maneras obtenemos un n ∈ N tal que `y (Φn (W ± )) > y∗ , es decir que Φn (W ± ) entrecruza la recta y = 0, y se puede aplicar el razonamiento anterior. Finalmente, si se supone que W no cruza la recta y = 0, iteramos cuantas veces sea necesario tal como se hizo antes, hasta que traspase y = 0 y aplicar el argumento principal de la demostración.. 34.

(36) Para demostrar que A es un atractor, esto con respecto al flujo ϕt asociado, reduciremos el problema a probar que A es un atractor con respecto a la función de Poincaré: Teorema 3.2. A es un atractor para el modelo del sistema de Lorentz Demostración. Para la parte a) de la definición, como A es intersección numerable de conjuntos cerrados entonces A es cerrado, y por la proposición 3.3, es acotado, luego del teorema de Heine-Borel se concluye que A es compacto. Dado que para cada a ∈ A, está en cada uno de los Φn ( R) para n ≥ 0, en especial para n = 0, a ∈ R. Si a ∈ R, por definición, ∞ \. n =0. Φn ( a) ∈ A.. Para cuando a ∈ R − R, es decir, cuando a es un punto de la recta y = 0 la función de Poincaré Φ no esta definida. Para solventar este problema, se retorna a la anterior definición de atractor con respecto al flujo ϕt y se aplica sobre los puntos de y = 0. Pero por definición de A es claro que para cada a ∈ A y en especial en esta recta, ϕt ( a) ∈ A para todo t ≥ 0. Además como (0, 0, 0) es un punto de equilibrio, entonces A es invariante. Para la parte b) de la definición, si U se encuentra en el interior de Σ, para cada ( x, y) ∈ U, existe n tal que Φn ( x, y) ∈ R. En consecuencia, A=. ∞ \. n =0. Φn ( R) ⊂. ∞ \. n =0. Φn (U ) ⊂ A.. Para la propiedad transitiva, sean P1 , P2 ∈ A y W1 , W2 ⊂ U conjuntos abiertos de P1 y P2 respectivamente con W2 = Be ( P2 ) para cierto e > 0. De la hipótesis 5, para cada k ∈ N, Φk ( x1 , y) y Φk ( x2 , y) pertenecen al mismo segmento que es paralelo al eje x, su distancia se contrae en la x dirección a un factor de c < 1: Φ k ( x1 , y ) − Φ k ( x2 , y ) ≤ c k | x1 − x2 |.. Dado que según las suposiciones, la extención de R a lo largo de la dirección x es 40, por propiedad arquimediana existe m ∈ N tal que 40cm < e. Se observa que como P2 ∈ ∩m≥0 Φm ( R) tiene sentido considerar a Φ−m ( P2 ) y supongamos que es igual a (α, η ). Del lema anterior, existe un n ∈ N tal que Φy (Φn (W1 )) = [−y∗ , y∗ ]. Así que para ( β, η ) ∈ Φn (W1 ) y digamos que Φn ( x 0 , y0 ) = ( β, η ) para ( x 0 , y0 ) ∈ W1 . Dado que tanto Φn ( x 0 , y0 ) como Φ−m ( P2 ) tienen la misma segunda coordenada, Entonces:. |Φm+n ( x 0 , y0 ) − P2 | = |Φm ( β, η ) − P2 |,. = |Φm ( β, η ) − Φm (α, η )|, ≤ 40cm < e.. 35.

(37) Esto significa que para el punto ( x 0 , y0 ) ∈ W1 , la solución pasa por W2 , que es lo que se quería probar.. 3. Dinámica caótica del modelo Es interesante notar que para el estudio del comportamiento de las soluciones del sistema de Lorenz, se redujo el problema al análisis de la dinámica sobre la función de Poincaré; por lo que también se ha reducido de un sistema de tres dimensiones a uno de dos. Ahora bien, De acuerdo a las suposiciones, dos puntos con la misma segunda coordenada, sus soluciones atraviesan de nuevo a Σ con la misma g(y) segunda coordenada. Y por la condicion 5, la distancia entre estos dos es menor que la distancia en que se encontraban inicialmente. Así bajo las iteraciones de la función Φ sobre la recta y = c, solamente basta con analizar cuál es el cambio en la segunda coordenada del modelo bajo las iteraciones de g. De esta manera se observa que la función de Poincaré está determinada por sólo este análisis, y por tanto, el análisis de todo el sistema. En conclusión, se ha reducido a un análisis unidimensional: el de la función g. Como en el modelo que se trabaja, se centra el estudio sobre el rectángulo R, y según las suposiciones impuestas se obtiene que g : [−y∗ , y∗ ] − {0} → (−y∗ , y∗ ), que satisface g(−y) = − g(y), √ por la simetría, g0 (y) > 2, por la condición 6, 0 < g(y∗ ) < y∗ y −y∗ < g(−y∗ ) < 0; y por último que lı́m g(y) = ∓y∗ . y →0±. Sean I = [−y∗ , y∗ ] y y0 ∈ I. Se define la órbita positiva (o hacia adelante) de y0 como la secuencia {yn } de tal manera que yn = g(yn−1 ) = gn (y0 ). Si para algún k ∈ N, yk = 0 y al no tener imagen, se dice que la orbita termina allí y yk es el ultimo termino de la secuencia. Por otra parte, se define una orbita negativa (o hacia atrás) de y0 , como la sucesión {y−n }n∈N donde g(y−n ) = y−k+1 . Análogamente que el anterior, si para algún k ∈ N, y−k = ±y∗ , como este no tiene pre-imágenes, la secuencia termina en y−k . A partir de estas definiciones es posible conocer cuantas se pueden tener. Lema 3.2. Si y0 ∈ I, la órbita positiva está únicamente determinada, y hay una cantidad infinita de órbitas negativas distintas excepto en el caso de que y0 = ±y∗ . Demostración. La primera afirmación resulta directamente de el hecho de que g sea función y sin importar si la secuencia es finita o infinita, es decir, si existe o no n ∈ N con gn (y0 ) = 0. Para la segunda parte, obsérvese primero que para y0 ∈ [ g(−y∗ ), g(y∗ )] existen dos pre-imágenes, 36.