ANALISIS DE VIBRACIONES MECANICAS Y ACUSTICAS EN RECINTOS DE GEOMETRIA CONVENCIONAL ARQUITECTURAL MEDIANTE EL METODO DEL ELEMENTO FINITO.

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Análisis de vibraciones mecánicas y

acústicas en recintos de geometría

convencional arquitectural mediante el

método del elemento finito

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

México, Abril 2006.

TESIS

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE MAESTRO EN

CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA MECÁNICA

PRESENTA

ING. HELVIO RICARDO MOLLINEDO PONCE DE LEÓN

(2)
(3)
(4)

Í

NDICE

ANTECEDENTES...XI

OBJETIVO...XII

JUSTIFICACIÓN...XII

CAPÍTULO 1

ESTADO ACTUAL DE LA ACÚSTICA...1

1.1BREVE HISTORIA DE LA ACÚSTICA...1

1.2CONCEPTOS IMPORTANTES DE LA ACÚSTICA...3

1.2.1 Propagación de ondas sonoras ...3

1.2.2 Densidad de energía...3

1.2.3 Intensidad Acústica...4

1.2.4 Nivel de Presión Sonora (NPS) y niveles de intensidad ...5

1.2.5 Impedancia acústica ...7

1.3CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA ACÚSTICA...7

CAPÍTULO 2 FORMULACIÓN CLÁSICA Y MÉTODOS ANALÍTICOS DE SOLUCIÓN...11

2.1LA ECUACIÓN DE LA ONDA...11

2.1.1 La ecuación de onda no homogénea...18

2.1.2 La ecuación de la onda con pérdidas disipativas...19

2.2SOLUCIÓN ANALÍTICA DE LA ECUACIÓN DE ONDA...19

2.2.1 Problema de autovalores...21

2.2.2 Ecuación de la onda en coordenadas cilíndricas ...22

2.2.3 Sonido en tubos...26

2.2.4 Ecuación de la onda en coordenadas esféricas...28

2.3PROPAGACIÓN DEL SONIDO EN GASES...35

2.4LA ACÚSTICA EN RECINTOS CERRADOS...37

2.4.1 Ondas estacionarias y modos normales en recintos rectangulares cerrados...38

2.4.2 Ondas estacionarias y modos normales en recintos rectangulares con pérdidas ...41

2.4.3 Ondas estacionarias y modos normales en recintos cilíndricos cerrados...43

2.4.4 Ondas estacionarias y modos normales en recintos esféricos cerrados...44

(5)

CAPÍTULO 3

FORMULACIÓN VARIACIONAL Y MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN ...50

3.1MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN...50

3.2FORMULACIÓN VARIACIONAL LAGRANGIANA Y EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. ...51

3.3EL MÉTODO HÍBRIDO DE GALERKIN–MEF Y LA SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DE LA ONDA. ...63

CAPÍTULO 4 APLICACIONES EN LA MODELACIÓN Y SIMULACIÓN MODAL ACÚSTICA...72

4.1PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA...73

4.1.1 Recinto rectangular. ...73

4.1.2 Recinto cilíndrico. ...74

4.1.3 El recinto esférico...75

4.2DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES MATRICIALES PARA RECINTOS ACÚSTICOS CERRADOS...75

4.3MODELACIÓN DE RECINTOS ACÚSTICOS CON PAREDES ABSORBENTES...78

4.3.1 Recinto rectangular con pared absorbente ...78

4.3.2 Recinto cilíndrico con paredes absorbentes ...78

4.3.3 Recinto Esférico...79

4.4ANÁLISIS MODAL Y SOLUCIÓN NUMÉRICA...80

4.4.1 Análisis modal y simulación numérica del recinto rectangular ...80

4.4.2 Análisis modal y simulación numérica del recinto cilíndrico...83

4.4.3 Análisis modal y simulación numérica de un recinto esférico...88

4.4.4 Análisis modal y respuesta armónica de un silenciador cilíndrico. ...90

4.4.5 Análisis modal de un cilindro delgado con un agujero lateral...96

4.5ANÁLISIS DE RESULTADOS Y CONCLUSIONES...101

4.6RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS...103

ANEXOS...104

APÉNDICE A.INTEGRACIÓN NUMÉRICA POR EL MÉTODO DE LA CUADRATURA DE GAUSS-LEGENDRE. ...104

APÉNDICE B.ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS...108

Elemento isoparamétrico bidimensional cuadrilátero de 4 nodos ...108

Elemento isoparamétrico tridimensional hexaédrico de 8 nodos...111

APÉNDICE C. LISTADO DE PROGRAMAS EN MATLAB®...115

Programa: Análisis Modal para un recinto rectangular de 4x5x6m...115

Función FEGLQD2 ...117

(6)

Función FEISOS8...119

Función FEISOS8...121

Función FEJACOB3...121

Función FEDERIV3 ...122

Función FEELDOF ...123

Función FEASMBL1 ...123

Función DATACOORDREC456...124

Función DATACONECNODALREC456 ...124

Programa: Cálculo del coeficiente de decaimiento y tiempos de reverberación para un recinto rectangular de 4x5x6m...124

Función FEISOQ4...124

Función VECTSUP...125

Función DATACFNREC456...126

Programa: Análisis Modal para un recinto cilíndrico de r=8 m, h=5 m...127

Función DATACOORDCIL85 ...127

Función DATACONECNODALCIL85 ...127

Programa: Análisis Modal ANALISISMODALFEM2D ...127

(7)

Glosario

Símbolos matemáticos

[ ]

Matriz rectangular o cuadrada

{ }

,   Vector columna, y vector fila

[ ] [ ]

1

,

T

Transpuesta, e inversa de la matriz

2

, ,

∇ ∇⋅ ∇ Operadores gradiente, divergencia y Laplaciano

Simbología

c Velocidad del sonido en el fluido

ρ Densidad del fluido ˆ

n Vector unitario normal

J Determinante de la matriz Jacobiana

L Lagrangiana

{ } { }

L T, L Operadores matriciales divergencia, y gradiente

L Densidad lagrangiana

m Razón de decaimiento

N

 

  Función de forma (o de interpolación)

δ Variacional

φ, Φ Potencial de velocidad

Ω Dominio del problema

Γ Superficie frontera del dominio

p, P Presión acústica

Pn , Pnm Polinomios de Legendre y polinomios Asociaciados de Legendre

r Impedancia característica del material en la frontera

RA Coeficiente de absorción acústico en la frontera

T Tiempo de reverberación , ,

ur u Vector desplazamiento

ω Frecuencia angular

x, y, z Coordenadas cartesianas

Z Impedancia acústica reactiva

Abreviaturas

(8)

Relación de tablas e ilustraciones

Í

NDICE DE

T

ABLAS

TABLA 1.1FUENTES SONORAS Y SU NIVEL DE PRESIÓN SONORA...6

TABLA 2.1CEROS DE LA PRIMERA DERIVADA DE LA FUNCIÓN DE BESSEL DE 1ª ESPECIE...43

TABLA 2.2CEROS DE LAS FUNCIONES ESFÉRICAS DE BESSEL...44

TABLA 4.1MODOS DE VIBRACIÓN Y EIGENFRECUENCIAS PARA UN RECINTO RECTANGULAR DE 4X5X6 M...80

TABLA 4.2COEFICIENTE DE DECAIMIENTO Y TIEMPO DE REVERBERACIÓN PARA UN RECINTO RECTANGULAR DE 4X5X6 M CON PARED ABSORBENTE EN X=0 UTILIZANDO EL PROGRAMA MATLAB®...83

TABLA 4.3MODOS DE VIBRACIÓN Y EIGENFRECUENCIAS PARA UN RECINTO CILÍNDRICO R=8 M,Z=5 M...84

TABLA 4.4COEFICIENTE DE DECAIMIENTO Y TIEMPO DE REVERBERACIÓN PARA UN RECINTO CILÍNDRICO DE R=8 M CON PARED ABSORBENTE EN Z=0 Y Z=5 UTILIZANDO EL PROGRAMA MATLAB®...87

TABLA 4.5FRECUENCIAS NATURALES Y MODOS DE VIBRACIÓN DE UN RECINTO ESFÉRICO DE R=2 M...88

TABLA 4.6 FRECUENCIAS NATURALES DEL SILENCIADOR...93

TABLA 4.7FRECUENCIAS NATURALES DEL TUBO CILÍNDRICO CON EXTREMOS ABIERTOS (P=0) Y CERRADOS...98

TABLA 4.8FRECUENCIAS NATURALES DEL TUBO DELGADO CON AGUJERO LATERAL...101

TABLA.A.1PUNTOS DE INTEGRACIÓN RI Y PESOS αI PARA EL INTERVALO -1 A +1...107

Í

NDICE DE

I

LUSTRACIONES FIGURA 1.1RELACIÓN ENTRE LA PRESIÓN SONORA Y EL NIVEL DE PRESIÓN SONORA NPS...6

FIGURA 1.2ILUSTRACIÓN DE LOS ALCANCES Y RAMIFICACIONES DE LA ACÚSTICA. ...9

FIGURA 2.1FUERZAS ACTUANDO EN LA PARTÍCULA DE FLUIDO DE VOLUMEN V*(T) ...13

FIGURA 2.2COORDENADAS CILÍNDRICAS...23

FIGURA 2.3FUNCIONES DE BESSEL DE 1ªESPECIE JM(X) Y 2ªESPECIE NM(X)...26

FIGURA 2.4COORDENADAS ESFÉRICAS...29

FIGURA 2.5TIPOS DE ONDAS ESFÉRICAS A)SIMETRÍA RADIAL. B)SIN SIMETRÍA...30

FIGURA 2.6FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS A) DE 1ª ESPECIE, B) DE 2ª ESPECIE...33

FIGURA 2.7RECINTO RECTANGULAR CERRADO...38

FIGURA 2.8FRECUENCIAS PERMITIDAS EN UN ESPACIO FRECUENCIAL PARA UN RECINTO RECTANGULAR...41

(9)

FIGURA 4.1RECINTO RECTANGULAR CON PARED ABSORBENTE...74

FIGURA 4.2RECINTO CILÍNDRICO...74

FIGURA 4.3RECINTO ESFÉRICO DE R=2 M...75

FIGURA 4.4MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL RECINTO 4X5X6 M...78

FIGURA 4.5MODELO DE ELEMENTOS FINITOS DEL RECINTO CILÍNDRICO R =8 M Y Z=5 M...79

FIGURA 4.6MODELO MALLADO DEL RECINTO ESFÉRICO CON ELEMENTOS TETRAÉDRICOS...79

FIGURA 4.7EIGENFRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DEL RECINTO RECTANGULAR 4X5X6 M...82

FIGURA 4.8EIGENFRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DEL CILÍNDRICO R =8 M Y L=5 M...86

FIGURA 4.9EIGENFRECUENCIAS Y MODOS DE VIBRACIÓN DE UN RECINTO ESFÉRICO DE R=2 M...90

FIGURA 4.10ESQUEMA Y CORTE TRANSVERSAL DEL SILENCIADOR CILÍNDRICO...90

FIGURA 4.11ESQUEMA DEL SILENCIADOR EN COORDENADAS CILÍNDRICAS...91

FIGURA 4.12CONDICIONES DE FRONTERA (ESQUEMA EN DOS DIMENSIONES CON SIMETRÍA ALREDEDOR DEL EJE Z)...92

FIGURA 4.13MODELO DE ELEMENTOS FINITOS...92

FIGURA 4.14SOLUCIÓN NODAL DISTRIBUCIÓN INSTANTÁNEA DE PRESIÓN A 800HZ...93

FIGURA 4.15GRAFICA PRESIÓN VS.DISTANCIA A 800HZ...94

FIGURA 4.16SOLUCIÓN NODAL DISTRIBUCIÓN INSTANTÁNEA DE PRESIÓN A 1800HZ...95

FIGURA 4.17GRAFICA PRESIÓN VS.DISTANCIA A 1800HZ...95

FIGURA 4.18GRAFICA PRESIÓN VS.DISTANCIA A 390HZ...96

FIGURA 4.19CILINDRO DELGADO...97

FIGURA 4.20MODELO MALLADO DEL CILINDRO CON ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS CUADRANGULARES DE CUATRO NODOS 2D ...97

FIGURA 4.21TUBO CILÍNDRICO DELGADO CON AGUJERO LATERAL...99

FIGURA 4.22CIRCUITO ELÉCTRICO ANÁLOGO EQUIVALENTE A UN TUBO CILÍNDRICO CON AGUJERO LATERAL...100

FIGURA 4.23MODELO MALLADO DEL TUBO DELGADO CON AGUJERO LATERAL E IMPEDANCIAS...100

FIGURA.A.1INTEGRACIÓN NUMÉRICA...104

FIGURA.B.1ELEMENTO BILINEAL EN COORDENADAS NATURALES...108

FIGURA.B.2ELEMENTO BILINEAL EN COORDENADAS FÍSICAS...109

(10)

Análisis de vibraciones mecánicas y acústicas en recintos de

geometría convencional arquitectural mediante el método del

elemento finito

Resumen

El presente trabajo aborda uno de los campos de la acústica de mucha importancia en la actualidad, el análisis de vibraciones mecánicas y acústicas en recintos cerrados utilizando el método del elemento finito para predecir el comportamiento de las ondas sonoras en cabinas de vehículos, interiores de auditorios, salas de conciertos, ambientes de trabajo y en muchos otros diseños de ingeniería como silenciadores para motores de combustión, ductos de aire acondicionado e incluso en el diseño de instrumentos musicales. El avanzado desarrollo de nuevas y veloces computadoras personales, han permitido extender el método del elemento finito como una herramienta económica y de gran utilidad práctica en el modelado y diseño en diversas áreas de la ingeniería.

El primer capítulo inicia con una breve reseña histórica de la acústica que tiene por objeto brindar un reconocimiento a los más importantes filósofos, físicos y matemáticos que trabajaron en el desarrollo de la acústica hasta convertirla en la ciencia como hoy la conocemos. En este capítulo se incluye también una amplia sección que proporciona una descripción de los principales conceptos y definiciones que nos servirán a lo largo del desarrollo de nuestros análisis. Se presentan también una descripción de los diferentes campos de aplicación de la acústica y sus relaciones en otras áreas de la ciencia que nos servirá para tener una visión general de los campos de aplicación de la acústica y delimitar nuestro campo de estudio.

En el segundo capítulo se presenta un extenso desarrollo de las bases y modelos matemáticos para el análisis modal acústico, tomando como punto de partida la ecuación diferencial que gobierna la propagación de ondas, muy importante para establecer la modelación matemática de los problemas que se plantean más adelante. Se incluye también secciones con los desarrollos de las soluciones analíticas de los problemas clásicos más importantes, que nos servirán en algunos casos para comprobar nuestros resultados obtenidos mediante métodos numéricos. En el tercer capítulo se concentran las herramientas matemáticas para la modelación y la solución numérica por el método del elemento finito, se presentan con bastante detalle la formulación variacional clásica y la formulación por el método de Híbrido Galerkin-FEM.

(11)

un análisis modal acústico y la metodología que se aplica a cada uno de los problemas planteados. Como no es posible presentar en un solo problema la gran variedad de geometrías de los recintos acústicos, se han planteado cinco problemas representativos de bastante aplicación práctica: primero el análisis modal en recintos rectangulares, cilíndricos y esféricos tridimensionales, los cuales representan las geometrías básicas a partir de las cuales pueden generarse geometrías más complicdas luego el análisis modal y la respuesta armonica en un silenciador cilíndrico con propagación de ondas unidimensionales y finalmente el análisis modal de un ducto cilíndrico con un agüero lateral. En las secciones finales se presenta un análisis de los resultados y las conclusiones más importantes que se han alcanzado con este trabajo. Finalmente, se presentan algunas recomendaciones para futuros trabajos que permitan continuar la investigación en este campo. En la parte final del documento se encuentran los anexos que contienen algunas herramientas matemáticas utilizadas como la integración numérica y los modelos de elementos isoparamétricos utilizados, el último apéndice presenta con gran detalle el listado de programas y funciones en MATLAB® utilizadas en este trabajo.

(12)

Acoustical and vibrational analysis of architectural

conventional room acoustics by Finite Element Method

Abstract

The present work is concerned on one of the acoustic field of great importance today, the analysis of mechanical and vibration of room acoustics using the Finite Element Method to predict the behaviour of the sound waves in a vehicle passenger compartment, in an auditorium and concert halls, workplace environments and others engineering designs like silencers for internal combustion engines, air condition ducts and wind musical instruments. The advanced development of modern and fast personal computers have made extend the Finite Element Method as a economic and practical tool of great usefulness in modelling and design in multiple fields of engineering.

The first chapter begins with a brief historical review of acoustics that it has purpose to dedicate an acknowledgement to the most important philosophers, physics and mathematicians who worked to develop the acoustics to convert in the science as we know today. This chapter also includes wide sections which provide the main definitions that we will use throughout this document. In the following section its shows a description of the different application fields of acoustics and his relationships with other sciences to bring us a general outlook of all application fields and establish the boundaries of this work.

The second chapter presents and extensive display of the background and mathematical models for the modal acoustic analysis, starting with the partial differential equation which governs the wave propagation problems, very important to prepare the mathematical modelling for the well posed problems to come forward. Its also includes a section with the analytical solutions for the most important classic problems, that lead us in some cases to validate our solutions obtained by numerical methods. The third chapter are focused in the mathematical tools for modelling and the procedures for numerical solution by Finite Element Method, the classic variational formulation and the Hybrid Galerkin- Finite Element Method are exposed with great detail.

(13)

harmonic response analysis of a cylindrical silencer in one dimensional wave propagation finally the modal analysis of cylindrical pipe with side opening. In the last sections there are presents the results analysis and the conclusions achieved after finished this work. Finally, there are present some recommendations for future work to continue in this research field. At the end of the document one can find the annexe which contains some of the mathematical tools like the Gauss Cuadrature numerical integration procedure and the isoparametric elements and shape functions used in this work, in the last appendix are presented the complete list of MATLAB® program codes and function files used in this work.

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Antecedentes

La acústica se ha desarrollado hasta convertirse hoy en día en una ciencia con un alto nivel de especialización en cada una de sus ramas y se extiende sobre un amplio campo de aplicaciones que la ha convertido en una ciencia multidisciplinaria.

La American Society of Acoustics (Sociedad Americana de Acústica) ha clasificado las diferentes disciplinas en Oceanografía Acústica; procesamiento de señales acústicas; bioacústica animal; Acústica Arquitectónica; Ingeniería Acústica; Medicina y Bioacústica; Acústica Musical; Ruido y Control de Ruido; Acústica No lineal y Aeroacústica; Psicología y fisiología Acústica; Radiación, dispersión y propagación; Fonética, Acústica Estructural y Vibración; Acústica Subacuática.

El presente trabajo aborda el análisis modal acústico de regiones tridimensionales de geometría convencional empleando modelos matemáticos de las ondas sonoras y métodos numéricos para la resolución y visualización de resultados a través de un computador.

El interés en este tipo de análisis ha aumentado su importancia en la acústica arquitectónica, donde se busca armonizar el diseño estético con el adecuado comportamiento acústico en auditorios, teatros, salones de lectura, salas de concierto y otros edificios.

El control de ruido es otra área relevante de la ingeniería que tiene mucha importancia porque involucra la salud ocupacional en muchos ambientes de trabajo rodeados por maquinaria ruidosa. El efecto prolongado de altos niveles de ruido puede no solo causar efectos molestos, sino también llegar a perturbar psicológicamente e incluso causar un daño fisiológico al oído.

(15)

Objetivo

Desarrollar los modelos matemáticos que permitan analizar la propagación de ondas sonoras en el interior de regiones tridimensionales y estudiar la sensibilidad modal de varias configuraciones geométricas tridimensionales.

Se pretende dividir el presente estudio en dos partes:

Primero, establecer los algoritmos computacionales para la solución de problemas de ingeniería y posteriormente implementar el software con ayuda del programa MATLAB en la solución numérica del problema.

Segundo, emplear el software comercial ANSYS para analizar distintas configuraciones de mayor complejidad del problema planteado.

Justificación

Es importante poder analizar y determinar los fenómenos acústicos predominantes en el interior de recintos cerrados y aplicar estos conocimientos en diseños futuros aprovechando las herramientas hoy en día disponibles.

El estudio de la sensibilidad modal nos permitirá conocer cuales son los aspectos relevantes en el diseño de maquinaria más silenciosa y en el diseño de ambientes acústicos más confortables.

(16)

Capítulo 1

Estado actual de la acústica

1.1 Breve Historia de la Acústica

La acústica por estar relacionada a uno de los cinco sentidos del ser humano, ha despertado el interés de muchos hombres de ciencia y filósofos desde la antigüedad. Sin embargo, no fue sino hasta mediados del siglo diecisiete que el filosofo francés Marin Mersenne (1588-1648), considerado el padre de la acústica moderna, publicó su trabajo Harmonie universelle, en el cual realizó una descripción científica de un tono audible (84 Hz) [26].

Galileo Galilei (1564-1642), contemporáneo a Mersenne, en su trabajo Mathematical Discourses Concerning the New Sciences, contribuyó al desarrollo de los primeros conceptos matemáticos de esta ciencia.

Si bien la Acústica comenzó a modelarse por la teoría de ondas, este punto de vista no era unánime, Pierre Gassendi (1582-1655) defendía la teoría de rayos, en el cual el sonido era atribuido a un flujo de átomos emitidos por un cuerpo sonoro [13].

A diferencia de la óptica, donde ambas teorías: la teoría del rayo y la teoría de la onda tuvieron un papel muy importante en su desarrollo como ciencia; la acústica en sus inicios fue mayormente dominada por la teoría de ondas.

Actualmente, el modelo de rayo acústico proporciona una aproximación práctica en ciertos problemas en que las propiedades del fluido varían en el espacio debido a variaciones de temperatura o debido a efectos de viento. Sin embargo, los conceptos para el desarrollo del modelo de rayo acústico se basaron en la bien desarrollada teoría de ondas [26].

(17)

y Gottfried Leibniz dieron un nuevo impulso a la acústica. Con las nuevas herramientas analíticas vinieron las prominentes contribuciones de Lagrange, Euler, Cauchy, Stokes, Helmholtz, Kirchhoff y Rayleigh que establecieron el inicio de esta ciencia como hoy la conocemos [13].

Los descubrimientos en otros campos de la física contribuyeron también en el desarrollo de la acústica teórica. Los fenómenos de refracción, difracción e interferencia estudiados por Willbrod Snell (1591-1626), Christian Huygens (1629-95) y Francisco María Grimaldi (1618-63) desarrollados en la óptica tardarían un tiempo antes de ser aplicados en la acústica.

También tuvieron mucha importancia los descubrimientos en electricidad y magnetismo hecho por Faraday (1791-1867), Maxwell (1831-79) y Hertz (1857-99); y el desarrollo de la teoría de la elasticidad debida principalmente a Cauchy (1789-1857), Clausius (1822-88) y Stokes (1890-1909). El trabajo “Theory of Sound” en dos volúmenes publicado en 1877 y 1878 por Lord Rayleigh constituye uno de los trabajos más importantes de la acústica teórica.

En 1894, la recién construida Fogg Lecture Hall de la Universidad de Harvard dio origen a la acústica arquitectural, el nuevo edificio presentaba una acústica desagradable que convertía al nuevo edificio en inutilizable. El departamento de física de Harvard encomendó a un joven investigador William Clement Sabine, la tarea de resolver el problema. Los trabajos de Sabine acerca de la reverberación y muchos otros aspectos de la acústica en recintos cerrados elevaron la acústica arquitectural al estatus científico [26].

El descubrimiento en 1847 del efecto de la magnetostricción (la alteración en la dimensión de un material magnético bajo la influencia de un campo magnético) y en 1880 del efecto piezoeléctrico, dio origen al estudio del ultrasonido.

El estudio de la acústica subacuática se inicio durante la Primera Guerra Mundial con la necesidad de detectar submarinos enemigos, durante este tiempo se desarrollaron los primeros dispositivos para generar rayos direccionales de energía acústica.

El comienzo de la Segunda Guerra Mundial aumento la actividad de investigación, una gran parte de los conceptos y aplicaciones de la investigación acústica subacuática tiene sus orígenes en este periodo.

La invención del transistor hizo posible la aparición de un gran número de dispositivos electrónicos incluyendo equipos de audio y video, computadoras, analizadores de espectro y otros.

(18)

vehículos militares más silenciosos.

La acústica incursionó en la medicina particularmente con el ultrasonido y en la química en las reacciones químicas bajo condiciones acústicas.

La acústica instrumental esta siendo utilizada en la industria para facilitar los procesos de manufactura y asegurar el control de calidad.

Actualmente, la acústica ha invadido nuestro entorno con medio de reproducción de sonido de alta fidelidad, cabinas de vehículos mucho más silenciosos y muchos otros beneficios en la medicina.

1.2 Conceptos importantes de la acústica

1.2.1 Propagación de ondas sonoras

El sonido es el resultado de fluctuaciones de presión a través de la materia como resultado de fuerzas vibracionales actuando sobre un medio.

La frecuencia de las ondas sonoras puede alcanzar niveles muy bajos, por debajo de los 20 Hz se denomina infrasonido; o frecuencias muy altas por encima de los 20000 Hz, ultrasonido;el rango audible para el ser humano está comprendido entre los 20 Hz a los 20000 Hz [19].

Las ondas acústicas en líquidos y gases tienen un comportamiento similar y pueden estudiarse conjuntamente, esto se debe a que los fluidos tienen menos restricciones a las deformaciones que los sólidos. Como resultado, el cambio de presión que ocurre cuando un fluido se expande o se comprime es la única fuerza restauradora capaz de propagar una onda, en este caso, una onda longitudinal. Los sólidos en cambio permiten transmitir una mayor variedad de formas de onda [19],[20].

1.2.2 Densidad de energía

La densidad de energía es un importante concepto en la acústica, especialmente en el estudio del sonido en recintos cerrados, donde es necesario conocer el flujo de energía desde una fuente a todas las partes del recinto. La densidad de energía será mayor en las regiones cercanas a la fuente que en las regiones alejadas de ella y es una variable que describe las condiciones acústicas [1].

(19)

La energía acústica total del elemento de volumen es

2 2

2 2

1 2

k p o o

o

p

E E E u V

c

ρ

ρ

 

= + = +

  (1.1)

donde ρo, Vo son la densidad y el volumen del fluido sin perturbar, respectivamente; u es la velocidad

instantánea de la partícula, p es la presión acústica y c la velocidad del sonido. La densidad instantánea de energía ξi = E/Vo en joules por metro cúbico (J/m3) es

2 2

2 2

1 2

i o

o

p u

c

ξ ρ

ρ

 

= +

  (1.2)

La velocidad de partícula instantánea y la presión acústica son funciones de la posición y del tiempo, por tanto, la densidad instantánea de energía no es constante a través del fluido.

1.2.3 Intensidad Acústica

La propagación de una onda acústica es acompañada por un flujo de energía en la dirección en que viaja la onda. La intensidad acústica I en una dirección específica se define como el promedio temporal del flujo de energía (el flujo de energía significa energía por unidad de tiempo, o potencia) a través de un área unitaria, donde la normal a el área apunta en la dirección especificada.

Si i = pu es el flujo de energía instantáneo por unidad de área. El promedio temporal de i será la intensidad

0

1 tp

p

p dt t

=

I u (1.3)

La elección del promedio temporal tp en la integración dependerá del tipo de onda considerada. Para

ondas periódicas tp será el período, para transitorios tp será la duración de la señal transiente y para

ondas no periódicas, como el ruido, tp deberá ser un tiempo largo.

(20)

0

1 tp

p

I pudt

t

=

(1.4)

La intensidad acústica I tiene unidades Watts por metro cuadrado (W/m2).

1.2.4 Nivel de Presión Sonora (NPS) y niveles de intensidad

El rango de presiones e intensidades de las señales acústicas que pueden ser registradas o medidas es bastante grande. Por ejemplo, la presión acústica generado por el ruido de un motor cohete puede ser de un orden de magnitud 109 veces mayor que la presión del más débil sonido percibido por el oído humano [5]. Las intensidades audibles van desde 10-12 a 10 W/m2. El uso de escalas logarítmicas comprime la gama de números requeridos para describir este gran intervalo de intensidades. Una segunda razón es que el oído humano juzga la sonoridad relativa de dos sonidos por la razón de sus intensidades; un comportamiento logarítmico [19].

La medidas en escalas logarítmicas se denomina niveles, y a pesar de que no poseen unidades, estos se expresan en decibeles (dB) [5].

El nivel de intensidad NI de un sonido de intensidad I está definido por 10 log

ref

I NI

I

 

= 

  (1.5)

donde Iref es una intensidad de referencia, NI esta expresado en decibeles con referencia a Iref, log es

el logaritmo en base 10; la intensidad de referencia en el aire es de 10-12 (W/m2). El nivel de presión sonora NPS está expresado por

20 log e ref

P NPS

P

 

= 

  (1.6)

donde NPS esta dado en decibeles dB con referencia a la presión Pref; Pe es la presión efectiva (raíz

cuadrática media) medida de la onda sonora y Pref es la presión efectiva de referencia.

La presión efectiva de referencia Pref de 20 µPa se usa frecuentemente como referencia para niveles

de presión sonora en el aire [19] y corresponde a un nivel NPS = 0.

(21)

Figura 1.1 Relación entre la presión sonora y el Nivel de Presión Sonora NPS

La Tabla 1.1 muestra una clasificación de las fuentes sonoras comunes, su presión sonora y su Nivel de Presión Sonora [15].

Tabla 1.1 Fuentes sonoras y su Nivel de Presión Sonora

Fuente Sonora Presión Sonora (Pascales)

Nivel de Presión Sonora NPS

Cohete Saturno 100000 194

Motor de reacción 2000 160

Motor de hélice 200 140

(Umbral del dolor) 135

Remachadora 20 120

Camión Alto Tonelaje 2 100

Tráfico Pesado 0.2 80

Conversación 0.02 60

(22)

Residencia tranquila 40

Estudio de grabación 30

Agitación de hojas de un arbol 0.0002 20

(Umbral de la percepción del oído humano) 0.00002 0

1.2.5 Impedancia acústica

La razón de la presión acústica en un medio a la velocidad de partícula asociada es la impedancia acústica específica [19].

=p

z

u (1.7)

Para ondas planas esta razón es z= ±ρocel signo de más o menos depende de si la propagación ocurre en la dirección positiva o negativa.

Para ondas planas progresivas la impedancia acústica específica es una cantidad real, en general, se encontrará que z es compleja

r ix = +

z (1.8)

donde r se denomina resistencia acústica especifica y x reactancia acústica específica del medio para el tipo de onda particular que se considera [19].

1.3 Campos de aplicación de la acústica

Son muchos campos en los que la acústica se ha desarrollado, estos comprenden desde la prospección geofísica, la acústica arquitectural, la acústica subacuatica, el control de ruido, la electroacústica, la aeroacústica, la fisiológica y psicológica acústica, la medicina y la bioacústica.

Acústica Arquitectural

La acústica arquitectural estudia los fenómenos vinculados con una propagación adecuada, fiel y funcional del sonido en un recinto, ya sea una sala de concierto, auditorio o un estudio de grabación. Esto involucra también el problema del aislamiento acústico.

(23)

aplicación. Por cualidades acústicas de un recinto entendemos una serie de propiedades relacionadas con el comportamiento del sonido en el recinto, entre las cuales se encuentran las reflexiones tempranas, la reverberación, la existencia o no de ecos y resonancias, la cobertura sonora de las fuentes, etc.

Ingeniería Acústica

Es la rama de la acústica que impulsa la evolución y el mejoramiento de las técnicas, dispositivos y aparatos acústicos buscando nuevas aplicaciones de la acústica.

Al mismo tiempo, se ha subdividido en áreas de acuerdo al tipo de aplicaciones dentro de la ingeniería en transductores, procesamiento de señales acústicas, instrumentación y monitoreo, acústica holográfica e imagen acústica, ultrasonido e infrasonido.

Ruido y control de ruido

Es el campo de la acústica que estudia los aspectos teóricos y prácticos del ruido. Las fuentes de generación y los medios de transmisión de ruido, los controles de ruido pasivos y activos, la medición, los efectos, la regulación y aspectos legales del ruido.

Oceanografía Acústica

Tiene como principal objetivo el desarrollo y la aplicación de técnicas acústicas en la investigación de fenómenos físicos, biológicos y geológicos en la superficie y fondo del mar.

Acústica Subacuática

Es el campo que estudia los sonidos naturales y generados en medios líquidos, la propagación, reflexión y dispersión de sonido en el ambiente subacuatico, uno de los ambientes de investigación de este campo es el fondo marino y la superficie del mar.

(24)

gráfica como se muestra en la Figura 1.2, el primer anillo ilustra la subdivisión tradicional de la acústica, y el anillo exterior los nombres técnicos y los campos artísticos a los cuales puede ser aplicada la acústica [23].

Figura 1.2 Ilustración de los alcances y ramificaciones de la acústica.

Acústica en recintos cerrados

(25)
(26)

Capítulo 2

Formulación Clásica y Métodos Analíticos de Solución

2.1 La ecuación de la onda

Una onda sonora involucra variaciones en el tiempo y espacio de la densidad, la presión y la temperatura del medio, así también las variaciones de la posición y velocidad de las partículas del medio desde sus valores medios en ausencia de sonido.

Para describir un campo sonoro, es suficiente especificar la dependencia de la posición y el tiempo de dos de las cantidades del campo sonoro, es usual y conveniente establecer la presión y la velocidad [20].

Tomaremos desde el inicio las siguientes consideraciones básicas: a) El medio se asume continuo y homogéneo.

b) El medio es completamente elástico.

c) Se consideran pequeñas amplitudes de desplazamiento y velocidades de las partículas, así como pequeños cambios en la densidad y la presión.

Conservación de la masa. Ecuación de continuidad.

Para un volumen fijo V dentro de un fluido, la masa neta en V en cualquier tiempo t puede tomarse puede tomarse como la integral de volumen de la densidad ( , )ρ x tr , que representa un promedio local de masa por unidad de volumen en la vecindad de un punto espacial xr, considerando una descripción euleriana [23]. La densidad es considerada como una función de las coordenadas espaciales rr y el tiempo t. La velocidad ur con que se mueve la materia se define de tal forma que

u

ρres el vector de flujo de masa dentro del fluido [13].

El concepto de flujo de masa nos lleva a establecer la relación neta de flujo de masa de una hipotética superficie cerrada S la cual es el integral de área deρu nr⋅ˆ.

(27)

ˆ

S

u n dS

ρ ⋅

r que fluye saliendo de nuestro pequeño elemento volumen a través de la superficie S en

un intervalo de tiempo dt es igual a la rata de decrecimiento de la masa

V

d dV

dt ρ

contenida en el

elemento volumen: ˆ

S V

d

u n dS dV

dt

ρ ⋅ = − ρ

r

(2.1)

Si la integral de superficie es transformada por medio de la ley de Gauss en una integral de volumen, el resultado es:

( )

V V

d

u dS dV

dt

ρ ρ

∇ ⋅ = −

r

(2.2)

Como la anterior ecuación es válida para cualquier elemento arbitrario, el volumen de integración es arbitrario, los integrandos son iguales, entonces:

( ) 0

d

u dt

ρ + ∇ ⋅ ρr =

(2.3) donde ∇ ⋅ es el operador divergencia.

Esta última, es la ecuación de continuidad [20], y se observa que es no lineal, el segundo término implica el producto de la velocidad de partícula y la densidad instantánea, las cuales son variables acústicas.

La ecuación de Euler.

(28)

Figura 2.1 Fuerzas actuando en la partícula de fluido de Volumen V*(t)

Como la masa de fluido en la partícula es constante, el producto de la masa por la aceleración del centro de masa es igual a la derivada respecto del tiempo del momentum (la integral de volumen de

u

ρr) dentro de la partícula, por tanto [23]:

* * *

S B

V S V

d

u dV dS dV

dt

ρ =

f +

f

r

(2.4) Donde fS representan las fuerzas superficiales por unidad de área ejercida sobre la partícula por el medio adyacente, y fB las fuerzas corporales debidas a la gravedad.

A pesar que la fuerza corporal debida a la gravedad esta siempre presente, su influencia puede despreciarse en casi todas las perturbaciones acústicas excepto en aquellas de extremadamente baja frecuencia [23].

Las fuerzas superficiales se expresan como:

3 , 1 S ij i j

i j S

n dS

σ

=

=

f e (2.5)

donde σij son las componentes cartesianas del tensor de esfuerzos,

i

e son los vectores unitarios apropiados para el sistema de coordinas cartesiano,

ni son las componentes cartesianas del vector unitario saliente a la superficie S.

(29)

pequeño elemento del continuo, cuando el vector unitario normal de la superficie esta en la dirección

j. Esta fuerza superficial es causada por interacciones con las partículas inmediatamente vecinas fuera de la superficie o por la transferencia del momentum debido a la difusión de moléculas a través de la superficie. La condición de que la fuerza neta por unidad de volumen sea finita en el límite de un volumen macroscópicamente infinitesimal requiere que la componente de esfuerzo σij sea independiente de la forma y orientación de la superficie hipotética S, entonces el esfuerzo es un tensor de campo asociado con el material que depende en general de la posición y el tiempo. La torca neta que este tipo de fuerzas superficiales pueden ejercer y el requerimiento de que las aceleraciones angulares del elemento sean finitas en el límite de las muy pequeñas dimensiones llevan a la conclusión de que el tensor de esfuerzos es simétricoσijij[13].

En fluidos como el aire y el agua, las fuerzas viscosas cortantes pueden despreciarse, y por tanto la fuerza superficial asociada con el esfuerzo puede ser únicamente normal a la superficie. Como se deben tratar todas las posibles orientaciones, el tensor esfuerzo tiene la forma:

ij p ij

σ = − δ (2.6)

donde p es la presión

ij

δ es la delta de Kronecker

La presión p se entiende que es de la forma −pn y se interpreta como la fuerza por unidad de área ejercida sobre el material en la superficie interior y en la dirección normal saliente dada por el vector unitario normal n, por tanto:

S = − p

f n (2.7)

Aplicando el teorema de Gauss a la integral de superficie de −np, la componente en la dirección x

de esta integral será −pex, donde ex representa el vector unitario en la dirección x. Como la divergencia de∇ ⋅ −

(

pex

)

es p

x ∂ −

∂ , y como esta última es la componente en la dirección x de −∇p,

tenemos aplicando Gauss:

* *

S

S V

dS = − ∇p dV

f

(2.8)

Donde −∇p es el equivalente a la fuerza por unidad de volumen.

(30)

pequeñas de tal forma que su velocidad de fluido dentro de estas es en cualquier punto interior es casi igual a su velocidad del centro de masa. Como la masa de cada subpartícula de fluido es constante, la derivada respecto del tiempo del momentum de la subpartícula es V* d u( p, )t

dt

ρ∇ r x , donde ur(xp, )t es su posición en el tiempo t. Por la regla de la cadena para la diferenciación, la aceleración es:

(

p( ), p( ), p( ),

)

dxp dyp dzp

(

)

d u u u u u Du

u x t y t z t t u u

dt t x dt y dt z dt t Dt

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= + + + = + ⋅∇ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

r r r r r r

r r r

(2.9)

Donde el operador D u

Dt t

= + ⋅∇

r

representa la derivada temporal medida por un observador moviéndose con el fluido. El resultado de la suma infinitesimal de las masas por la aceleración es equivalente a la integral, tenemos entonces en la ecuación (2.4):

* *

V V

d D

u dV dV

dt

ρ =

ρDt

r

(2.10) Reemplazando la ecuación (2.8) y (2.10) en la ecuación (2.4) despreciando las fuerzas corporales, se

tiene:

*

0

V

Du

p dV Dt

ρ

+ ∇=

 

 

r (2.11)

Se obtiene entonces la ecuación de Euler del movimiento para el fluido ideal no lineal no viscosa:

D

p Dt

ρ v = −∇ (2.12)

A pesar de que la viscosidad es frecuentemente importante en las regiones adyacentes a las fronteras sólidas y pueden conducir a la atenuación del sonido para la propagación en grandes distancias, la ecuación de Euler es una buena aproximación de la aplicación de la segunda ley de Newton para un fluido en el análisis de procesos acústicos.

Principios termodinámicos de la acústica. Ecuación de estado.

(31)

La hipótesis de que la entropía específica permanece constante para cualquier partícula de fluido establece que:

0

Ds

Dt = (2.13)

La entropía específica s puede considerarse como una función de la energía interna específica υ y el volumen específico 1

ρ , su diferencial total satisface la relación:

1

Tds dυ pd

ρ

 

= +  

  (2.14)

Donde la temperatura absoluta T y la presión p pueden también considerarse como funciones de la energía interna específica υ y el volumen específico1

ρ . Consecuentemente, s puede considerarse

como una función de dos variables cualesquiera de T, p, ρ, υ; y en particular puede expresarse como:

(

,

)

p= p ρ s (2.15)

Ecuaciones de la acústica lineal.

Las perturbaciones acústicas pueden considerarse usualmente como perturbaciones de pequeña amplitud de los valores de estado medios en ausencia de perturbaciones, estado ambiental. Para un fluido, el estado ambiental esta caracterizado por aquellos valores medios (poo,uro) de la presión, densidad y velocidad de fluido que son constantes en el espacio y el tiempo en ausencia de perturbaciones acústicas [20]. Cuando esta presente una perturbación, los valores de presión p, densidad ρ y velocidad ur toman los valores:

'

o

p= p +p

'

o

ρ ρ= +ρ (2.16)

'

o

ur=ur +ur

donde 'poo',uro' representan las variables del campo acústico. El estado ambiental define el medio a través del cual se propaga el sonido. Un medio homogéneo es un medio en el cual todos los valores ambientales son independientes de la posición; un medio en reposo es un medio en el cual los valores ambientales son independientes del tiempo y su velocidad uro es cero.

Las ecuaciones de conservación de la masa (2.3), la ecuación de Euler (2.12) y la ecuación termodinámica (2.15) con s=so constante, pueden escribirse en términos de las ecuaciones (2.16):

(

o '

)

(

o '

)

u 0

t ρ ρ ρ ρ

+ + ∇ ⋅ + =

 

r

(32)

(

o '

)

u' u'

(

po p'

)

t ρ +ρ  ∂ + ⋅∇ = −∇ + ∂   r r (2.18)

(

)

' ,

o o o

p + p = p ρ +ρ s (2.19)

Considerando 0uro = ; po y ρo son constantes relacionadas mediante po = po,so). Los términos en las ecuaciones (2.17) y (2.18) pueden agruparse en términos de orden cero (todos idénticamente cero), términos de primer orden (con una sola variable con prima), de segundo orden (aquellos términos con dos variables con primas), etc. En la ecuación (2.19), el agrupamiento resulta de una expansión en serie de Taylor en ρ' :

( )

2 2 2 1 ' ' ' ... 2 o o p p

p ρ ρ

ρ ρ

 

∂  ∂

= + +

∂ ∂

    (2.20)

En (2.20), las derivadas indicadas son evaluadas a entropía constante con la densidad subsecuentemente en ρo.

La aproximación lineal, despreciando los términos de segundo orden y de orden mayor, conduce a las ecuaciones de la acústica lineal:

' ' 0 o u t ρ ρ+ ∇ ⋅ = ∂ r (2.21) ' ' o u p t ρ ∂ = −∇ ∂ r (2.22) 2 2

' ' donde

o

p

p c ρ c

ρ

∂ 

= = 

  (2.23)

Donde c es la velocidad del sonido en el medio.

En adelante, omitiremos las primas en las variables acústicas y se entenderá que representan los valores debidos a la perturbación acústica.

Reemplazando la ecuación (2.23) en (2.21) eliminamos ρ' en la ecuación de conservación de la masa, y derivando respecto del tiempo la ecuación resultante obtenemos:

2 1 0 o p u

t c t ρ

∂  ∂ + ∇ ⋅=

 

∂  ∂ 

r

(2.24) Intercambiando el operador divergencia en el segundo término tenemos:

2 2 2 1 0 o p u

c t ρ t

+ ∇ ⋅ ∂ =

 

∂  ∂ 

r

(2.25) Reemplazando (2.22) en (2.25) y ordenando obtenemos la ecuación de la onda acústica:

2 2 2 2 1 0 p p c t ∂ ∇ − =

∂ (2.26)

(33)

se puede expresar la velocidad como el gradiente de un escalar ur = ∇φ.[5] Si sustituimos ur = ∇φ en la ecuación la ecuación de Euler se obtiene:

( )

o p

t

ρ ∂ ∇ = −∇φ

∂ (2.27)

Expresando de otra forma:

0 p 0

t

φ ρ ∂

 

+ =

 

La cantidad entre paréntesis se puede hacer cero si no hay excitación acústica; entonces

0

p

t

φ ρ ∂

= −

∂ (2.28)

Si sustituimos (2.28) en la ecuación de onda

2 2

2 2

1 p

p

c t

∇ =

∂ y se integra con respecto al tiempo, se

obtiene la ecuación de onda en términos del potencial de velocidad [19]

2 2

2 2

1

0

c t

φ φ ∂

∇ − =

∂ (2.29)

2.1.1 La ecuación de onda no homogénea

La ecuación de onda homogénea se aplica a regiones del espacio que no contienen ninguna fuente de energía acústica. Las fuentes de energía acústica son las responsables de generar las perturbaciones. Si la fuente es externa a la región de interés, se puede tomar en cuenta introduciendo condiciones de frontera dependientes del tiempo. También se pueden modificar las ecuaciones hidrodinámicas para incluir términos de fuentes, en este caso consideraremos dos tipos de fuentes:

1) Si se inyecta masa en el espacio a una rapidez por unidad de volumen ( , )G x t , generada por cualquier superficie cerrada que cambia de volumen. La ecuación de continuidad toma la forma:

( , )

o u G t

t

ρ ρ

+ ∇ ⋅ =

x

r

(34)

( , )

o

u

p F t

t

ρ ∂ + ∇ =

x

r r

Si se consideran estas fuentes, se obtiene una ecuación de onda no homogénea [19]:

2 2

2 2

1 p G

p F

c t t

∂ ∂

∇ − = − + ∇ ⋅

∂ ∂

r

(2.30)

2.1.2 La ecuación de la onda con pérdidas disipativas

La disipación de la energía acústica se puede dividir en dos categorías generales: las debidas a pérdidas en el medio y a aquellas asociadas con las pérdidas en las fronteras del medio[19]. Puesto que las pérdidas en el medio son importantes cuando el volumen de fluido es bastante grande como en la propagación del sonido en la atmósfera y los océanos, concentraremos nuestra atención en la disipación en las fronteras cuya importancia es mayor en materiales porosos, en ductos y recintos pequeños. Para tomar en cuenta estas pérdidas en las fronteras podemos introducir un término resistivo en la ecuación de Euler [9]:

0

o A

u

p R u

t

ρ ∂

∇ + − =

r r

(2.31) Donde RA es la impedancia característica del material en la frontera [30]. Combinando la ecuación

(2.31) con la ecuación de continuidad (2.24) obtenemos la ecuación de la onda con pérdidas por absorción en las fronteras disipativas:

2 2

2 2

1

0

A

R

p p

p

c t c t

∂ ∂

∇ − − =

∂ ∂ (2.32)

2.2 Solución analítica de la ecuación de onda

La solución de la ecuación de onda (2.26), es el campo de presiones en coordenadas cartesianas

p(x,y,z,t).

Aplicaremos el método de separación de variables para resolver y buscar una solución de la forma: ( ) ( ) ( ) ( )

p=X x Y y Z z T t donde X, Y, Z, T son funciones de x, y, z, t respectivamente. Sustituyendo las derivadas de estas funciones en la ecuación de onda, tenemos:

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 d X 1 d Y 1 d Z 1 d T

X dx +Y dy +Z dz = c dt (2.33)

(35)

diferencial ordinaria: 2 2 2 1 2 0 d T

c k T

dt + =

Cuya solución es de la forma:

1 1 1 1

( )

T t = A sen ck t+B cos ck t (2.34)

En el lado izquierdo de la ecuación (2.33) tenemos:

2 2 2

2 1

2 2 2

1 d X 1 d Y 1 d Z

k

X dx +Y dy + Z dz = −

la ecuación puede separarse nuevamente:

2 2 2

2 2 2

1 1 2

2 2 2

1 d Y 1 d Z 1 d X

k k k

Y dy + Z dz = − − X dx = − + (2.35)

donde k2 es una segunda constante.

De la misma forma, tenemos la siguiente ecuación diferencial

2 2 2 2 0 d X k X

dx + =

la solución de esta ecuación de segundo orden es:

2 2 2 2

( ) sin cos

X x = A k x+B k x (2.36)

en el lado derecho de la ecuación (2.35) se tiene:

2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 k k dz Z d Z dy Y d

Y + =− +

podemos escribir esta ultima ecuación como:

2 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 3

2 2

1 d Z 1 d Y

k k k k k

Z dz = − + −Y dy = − + +

donde k3 es una constante arbitraria, separando nuevamente tenemos: 2 2 3 2 0 d Y k Y

dy + =

con solución de la forma:

3 3 3 3

( ) sin cos

Y y = A k y+B k y (2.37)

0 ) ( 12 22 32

2 2

= −

+

+ k k k Z

dz Z d ó bien, 2 2 4 2 0 d Z k Z

(36)

con solución de la forma:

4 4 4 4

( ) sin cos

Z z =A k z+B k z (2.38)

donde:

2 2 2 2

4 1 2 3

k =kkk (2.39)

La solución general para la ecuación de ondas tridimensional estará dada por:

(

1 1 1 1

)(

2 2 2 2

)

( , , , ) sin cos

p x y z t = A sen ck t+B cos ck t A k x+B k x

(

A3sink y3 +B3cosk y3

)(

A4sink z4 +B4cosk z4

)

(2.40)

donde Ai y Bi son constantes que dependerán de las condiciones de frontera e iniciales.

En un espacio cerrado el campo sonoro debe satisfacer las condiciones de frontera impuestas por las paredes del recinto. La ecuación de onda puede resolverse analíticamente satisfaciendo las condiciones de frontera únicamente en recintos con geometría simple que permitan aplicar el método de separación de variables.

2.2.1 Problema de autovalores.

La ecuación de onda en tres dimensiones para geometrías rectangulares simples puede resolverse por el método de separación de variables.

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1

p p p p

x y z c t

++=

∂ ∂ ∂ ∂

sujeta a las condiciones de contorno: αφ+βφ⋅nˆ=0; donde α y β pueden depender de x, y, y z. Si

β= 0 es la condición de frontera prescrita (Condición Dirichlet). Si α= 0 es la condición de frontera aislada o libre (Condición Neumann), si ambas α≠0 y β≠ 0, entonces es la condición de contorno mixta (Condición Robin).

Buscamos soluciones producto de la formap(x,y,z,t)=φ(x,y,z)h(t), la parte espacial ( , , )x y z

φ satisface el problema de autovalores multidimensional: 0

2 + =

∇ φ λφ

sujeto a αφ βφ+ ⋅ =nˆ 0donde α y β pueden depender de x, y, z. Esta ecuación se conoce como la ecuación de Helmholtz más adelante le dedicaremos un análisis más completo.

(37)

unidimensionales de Sturm-Liouville, enunciaremos el teorema para el problema de autovalores∇2φ +λφ =0:

1. Todos los autovalores son reales.

2. Hay infinitos autovalores y existe un autovalor mínimo pero no un autovalor máximo.

3. Pueden existir varias autofunciones asociadas a un autovalor (en contraposición a los problemas de autovalores de Sturm-Liouville regulares).

4. Las autofunciones ( , )φ x y forman un conjunto “completo”, esto es, toda función suave a trozos f(x,y)puede representarse como una serie de Fourier generalizada las autofunciones:

( , )

f x yaλ λ( , )x y

λ

φ

Aquí, )

a (x,y

λ λ λ

φ representa una combinación lineal de todas las autofunciones. La serie converge en media si se eligen los coeficientesaλcorrectamente.

5. Las autofunciones asociadas a autovalores diferentes (λ1 y λ2) son ortogonales con respecto al

peso σ(σ = 1) sobre toda la región R. Matemáticamente, esto significa que

1 2 0

R

dxdy

λ λ

φ φ =

∫∫

, si λ λ12 donde

R

dxdy

∫∫

representa que debemos integrar sobre la región R. Además las diferentes

autofunciones asociadas a un mismo autovalor pueden hacerse ortogonales por el procedimiento de Gram-Schmidt.

6. Cada autovalor λ está relacionado con cada una de sus autofunciones por medio del cociente de Rayleigh:

2 2

ˆ

R R

nds dxdy

dxdy

φ φ φ λ

φ

− ∇ ⋅ + ∇

=

∫∫

∫∫

2.2.2 Ecuación de la onda en coordenadas cilíndricas

(38)

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1

0

p p p p

r

r r r r θ z c t

∂  ∂  ++=

 

∂  ∂  ∂ ∂ ∂ (2.41)

donde el operador laplaciano esta dado por:

2 2

2

2 2 2

1 1

r

r r r r θ z

∂  ∂  ∂ ∂

∇ = + +

∂  ∂  ∂ ∂

Si consideramos todas las paredes del cilindro completamente rígidas, tenemos las condiciones de frontera:

0 en 0; y en 0 en ; (0) (2 )

p p

z z L

n z

p p

r a

n r

θ θ π

== = =

∂ ∂

== =

∂ ∂

=

(2.42)

Figura 2.2 Coordenadas cilíndricas

La ecuación (2.41) es un problema de valores en la frontera sujeta a (2.42), y nuevamente podemos resolver el problema mediante el método de separación de variables. Consideramos una solución de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )

p=R r Θθ Z z T t (2.43)

Introduciendo la solución (2.43) en (2.41) y dividiendo por el producto de estos cuatro factores, obtenemos:

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

0

R Z T

r

R r r r r θ Z z c T t

∂  ∂  + ∂ Θ+=

 

∂  ∂  Θ ∂ ∂ ∂ (2.44)

(39)

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1

z

R T Z

r k

R r r r r θ c T t Z z

∂  ∂  + ∂ Θ= −=

 

∂  ∂  Θ ∂ ∂ ∂

Por consiguiente ( )Z z satisface la ecuación:

2 2 2 1 z d Z k

Z dz = −

Siguiendo el mismo procedimiento separamos la función Θy R tenemos:

2

2 2

1 d

dθ η

Θ = − Θ

2

2 2

1 1 d dR

r R k

R r dr dr r

η   −  = −        

Finalmente, de la ecuación (2.41) tenemos:

2 2 2

2 2 2 2 2

1 p 1 p p 1 p

r

r r r r θ z c t

∂  ∂  ++=

 

∂  ∂  ∂ ∂ ∂

Cada lado de la ecuación debe ser igual a una constante λ, lo que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial ordinaria: 2 2 2 0 d T c T

dt + λ =

Cuya solución es de la forma:

1 1 1 1

( ) sen cos sen cos

T t =A c tλ +B c tλ =A ωt+B ωt

Por tanto: 2 2 2 0 d T T

dt +ω =

De donde obtenemos la relación:

(

)

2 2 2 2 z

c k k

ω = + (2.45)

Aplicando las condiciones de frontera (2.42) tenemos en Z:

2 2

2 z 0 ; Cond. Front: (0) 0 , ( ) 0

d Z

k Z Z Z L

dz + = = =

2 2

( ) cos z sen z

Z z =A k z+B k z

1, 2,3... z n k n L π

= → = (2.46)

En Θ:

2 2

2 0 ; Cond. Front: (0) (2 )

d

dθ η π

Θ

+ Θ = Θ = Θ

0,1, 2...

m m

(40)

En R:

2

2 2

1 1 d dR

r R k

R r dr dr r

η

   −= −  

 

(

)

2

2 2 2

2 0

d R dR

r r k R

dr + dr + −η = (2.47)

Sabemos que µ = =m 1, 2,3...es un entero, pero para obtener los valores de k2 aun desconocidos,en lugar de resolver la ecuación para diferentes valores enteros de m, realizamos un cambio de escala:

v=kr (2.48)

Reemplazando (2.48) en (2.47) y simplificando obtenemos la ecuación:

(

)

2

2 2 2

2 0

d R dR

v v v m R

dv + dv + − = (2.49)

La ecuación (2.49) es la ecuación de Bessel de orden m, las soluciones de esta ecuación son:

( ) ( ) ( ) ( )

m m m m m m m m m

R =A J v +B Y v =A J kr +B Y kr (2.50)

Existe una condición de singularidad en r=0: Rm(0) < ∞ que obliga a que Bm sea cero. Entonces se

considera como solución física a la función de Bessel de 1ª especie: ( )

m m m

R =A J kr

Aplicando la condición de frontera:

( )

0

r a

dR

dr = =

Entonces: ' ( ) 0

m

J ka = (2.51)

Por tanto, los autovalores ka deben ser los ceros de la primera derivada de la función de Bessel de 1ª especie1:

mj

ka=k (2.52)

donde (Jmka)=0 , j-esima raíz de la primera derivada de la función de Bessel de 1ª especie de orden m. La Figura 2.3 muestra las funciones de Bessel de 1ª y 2ª especie.

1

(41)

Figura 2.3 Funciones de Bessel de 1ª Especie Jm(x) y 2ª Especie Nm(x)

Por el principio de superposición lineal la solución general de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas se puede expresar en la forma:

(

)

0 1 1

( , , , ) mj( ) ( ) ( ) m n mjncos mjn mjnsin mjn

m j n

p r θ z t R r θ Z z A ω t B ω t

∞ ∞ ∞

= = =

=

∑∑∑

Θ + (2.53)

donde los coeficientes de Fourier Amjn y Bmjn pueden determinarse de las condiciones iniciales del problema. Asumiendo paredes rígidas la solución (2.53) puede simplificarse:

( )

( )

cos i t k zz

mn mn mn m

k

p A J m e

a

ω

θ −

 

=

  (2.54)

donde kmn son las n-sima raíces de la primera derivada de la función de Bessel 'J m de orden m y a

el radio del cilindro.

La frecuencia natural ωmjn del recinto cilíndrico puede obtenerse reemplazando (2.46) y (2.52) en (2.45):

1/ 2

2 2

mj mjn

k n

c

a L

π ω =  + 

 

(2.55)

2.2.3 Sonido en tubos

Cuando el sonido se propaga en un tubo de paredes rígidas con una longitud de onda mayor que el radio, existe una frecuencia crítica por debajo de la cual, el movimiento acústico es esencialmente planar. Esta frecuencia se denomina, frecuencia de corte, en la ecuación (2.55) el número de onda en la dirección z es:

2 2

2 2 mj

z r

k

k k k

c a

ω    

= − =   − 

(42)

Para que exista propagación, el radical debe ser positivo, es decir:

mj

ck

a

ω≤ (2.57)

La frecuencia de corte en ductos cilíndricos es entonces:

2 mj c ck f a π = (2.58)

De la misma forma para un ducto con sección rectangular en el plano xy la frecuencia de corte puede obtenerse de la ecuación (2.99):

2 2

2

c

x y

c l m

f

L L

 

 

≤   + 

    (2.59)

Sea un tubo de sección S y longitud L, el fluido en su interior es excitado por un pistón en su extremo x = L, y que tiene una impedancia mecánica ZmL en su extremo x =L. Si el pistón vibra

armónicamente a una frecuencia suficientemente baja para que solo se propaguen ondas planas, la onda dentro del tubo tendrá la forma

[ ( )] [ ( )] i t k L x i t k L x

p=Ae ω+ − +Be ω− − (2.60)

donde A y B están determinadas por las condiciones de frontera en x = 0 y x = L

En x = L, la continuidad de la fuerza de la velocidad de partícula requiere que la impedancia mecánica de la onda en x = L iguale la impedancia mecánica de la terminación ZmL. Dado que la

fuerza de terminación es p(L,t)S y la velocidad de partícula es u( , ) 1

o

L t dt

x ρ ρ ∂ = − ∂

,

ZmL ocS A B A B

ρ +

=

− (2.61)

La impedancia mecánica de entrada Zm0, en x = 0 está correspondientemente dada por

0

Z

ikL ikL m o ikL ikL

Ae Be cS Ae Be ρ + − = − (2.62)

Combinando estas ecuaciones para eliminar A y B, se obtiene:

Figure

Figura 1.1 Relación entre la presión sonora y el Nivel de Presión Sonora NPS

Figura 1.1

Relación entre la presión sonora y el Nivel de Presión Sonora NPS p.21
Tabla 1.1 Fuentes sonoras y su Nivel de Presión Sonora

Tabla 1.1

Fuentes sonoras y su Nivel de Presión Sonora p.21
Figura 1.2 Ilustración de los alcances y ramificaciones de la acústica.

Figura 1.2

Ilustración de los alcances y ramificaciones de la acústica. p.24
Figura 2.1 Fuerzas actuando en la partícula de fluido de Volumen V*(t)

Figura 2.1

Fuerzas actuando en la partícula de fluido de Volumen V*(t) p.28
Figura 2.2 Coordenadas cilíndricas

Figura 2.2

Coordenadas cilíndricas p.38
Figura 2.4 Coordenadas esféricas

Figura 2.4

Coordenadas esféricas p.44
Figura 2.6 Funciones de Bessel esféricas a) de 1ª especie, b) de 2ª especie

Figura 2.6

Funciones de Bessel esféricas a) de 1ª especie, b) de 2ª especie p.48
Figura 2.7 Recinto rectangular cerrado

Figura 2.7

Recinto rectangular cerrado p.53
Figura 2.8 Frecuencias permitidas en un espacio frecuencial para un recinto rectangular

Figura 2.8

Frecuencias permitidas en un espacio frecuencial para un recinto rectangular p.56
Figura 3.1 Soluciones analítica y numérica de la ecuación diferencial

Figura 3.1

Soluciones analítica y numérica de la ecuación diferencial p.82
Figura 4.1 Recinto rectangular con pared absorbente

Figura 4.1

Recinto rectangular con pared absorbente p.89
Figura 4.2 Recinto cilíndrico

Figura 4.2

Recinto cilíndrico p.89
Figura 4.3 Recinto esférico de r=2 m.

Figura 4.3

Recinto esférico de r=2 m. p.90
Figura 4.4 Modelo de elementos finitos del recinto 4x5x6 m

Figura 4.4

Modelo de elementos finitos del recinto 4x5x6 m p.93
Figura 4.5 Modelo de elementos finitos del recinto cilíndrico r  = 8 m y z = 5 m

Figura 4.5

Modelo de elementos finitos del recinto cilíndrico r = 8 m y z = 5 m p.94
Tabla 4.1 Modos de vibración y eigenfrecuencias para un recinto rectangular de 4x5x6 m

Tabla 4.1

Modos de vibración y eigenfrecuencias para un recinto rectangular de 4x5x6 m p.95
Figura 4.7 Eigenfrecuencias y modos de vibración del recinto rectangular 4x5x6 m

Figura 4.7

Eigenfrecuencias y modos de vibración del recinto rectangular 4x5x6 m p.97
Tabla 4.2 Coeficiente de decaimiento y tiempo de reverberación para un recinto rectangular de 4x5x6 m con pared absorbente en x=0 utilizando el programa MATLAB®

Tabla 4.2

Coeficiente de decaimiento y tiempo de reverberación para un recinto rectangular de 4x5x6 m con pared absorbente en x=0 utilizando el programa MATLAB® p.98
Tabla 4.3 Modos de vibración y eigenfrecuencias para un recinto cilíndrico r=8 m, z=5 m

Tabla 4.3

Modos de vibración y eigenfrecuencias para un recinto cilíndrico r=8 m, z=5 m p.99
Figura 4.8 Eigenfrecuencias y modos de vibración del cilíndrico r =8 m y L =5 m

Figura 4.8

Eigenfrecuencias y modos de vibración del cilíndrico r =8 m y L =5 m p.101
Tabla 4.6  Frecuencias naturales del silenciador

Tabla 4.6

Frecuencias naturales del silenciador p.108
Figura 4.15 Grafica presión vs. Distancia a 800 Hz

Figura 4.15

Grafica presión vs. Distancia a 800 Hz p.109
Figura 4.16 Solución nodal distribución instantánea de presión a 1800 Hz

Figura 4.16

Solución nodal distribución instantánea de presión a 1800 Hz p.110
Figura 4.18 Grafica presión vs. Distancia a 390 Hz

Figura 4.18

Grafica presión vs. Distancia a 390 Hz p.111
Figura 4.20 Modelo mallado del cilindro con elementos isoparamétricos cuadrangulares de cuatro nodos 2D

Figura 4.20

Modelo mallado del cilindro con elementos isoparamétricos cuadrangulares de cuatro nodos 2D p.112
Figura 4.23 Modelo mallado del tubo delgado con agujero lateral e impedancias

Figura 4.23

Modelo mallado del tubo delgado con agujero lateral e impedancias p.115
Figura. A.1 Integración numérica
Figura. A.1 Integración numérica p.119
Figura. B.1Elemento Bilineal en coordenadas naturales
Figura. B.1Elemento Bilineal en coordenadas naturales p.123
Figura. B.2 Elemento Bilineal en coordenadas físicas
Figura. B.2 Elemento Bilineal en coordenadas físicas p.124
Figura. B.3 Elemento tridimensional hexaedrico de 8 nodos a) en coordenadas globales b) en coordenadas naturales con origen en el centroide del elemento
Figura. B.3 Elemento tridimensional hexaedrico de 8 nodos a) en coordenadas globales b) en coordenadas naturales con origen en el centroide del elemento p.127

Referencias

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