UNIDAD 3: ANALICEMOS LA FUNCION EXPONENCIAL
Y LOGARITMICA.
Históricamente, los exponentes fueron introducidos en matemáticas para dar un método
corto que indicara el producto de varios factores semejantes, y, con este propósito, solo se
consideraron inicialmente exponentes naturales. El estudio de las potencias de base real
será dividido en varios casos, de acuerdo con la clase de exponente: un número entero,
racional o, en general, un número real .
2.1 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
Definición.
Sea un número real positivo. La función que a cada número real
x
le hace corresponder
la potencia
se llama función exponencial de base
a
y exponente
x
.
Como
para todo
,la función exponencial es una función de
en
.
En el siguiente teorema, se presentan las propiedades más importantes de la función
exponencial.
2.1.1 Teorema (Leyes de los Exponentes)
Sean
a
y
b
reales positivos y
x,y
,entonces:
1.
2.
3.
4.
5.
.
6 .
Cuando
a
> 1 ,si
x < y
,
entonces,
.Es decir, cuando la base
a
es mayor que 1,la
función exponencial
Cuando 0 <
a <
1, si
x < y,
entonces,
.
Esto significa que la función exponencial de base
a <
1 es estrictamente decreciente en
su dominio.
.
10.Si 0<
a
<
b
,se tiene:
.
Esta propiedad permite comparar funciones exponenciales de diferentes bases.
11. Cualquiera que sea el número real positivo
,existe un único número real
tal que
. Esta propiedad indica que la función exponencial es sobreyectiva.
Cuando
x
e
y
son enteros, los propiedades enunciadas anteriormente pueden demostrarse
usando las definiciones y el teorema 1. Para el caso en el cual
x
e
y
son racionales, la
demostración utiliza la definición y el teorema 2. Para el caso general, es decir, cuando
x
e
y
son reales, la demostración utiliza elementos del análisis real.
2.1.2 Gráfica de la Función Exponencial
En relación con las propiedades 7 y 8, enunciadas en el teorema, es conveniente hacer
algunos comentarios adicionales.
Note que cuando la base
a
es mayor que 1,la función exponencial
(fig.1) no está
acotada superiormente. Es decir ,
crece sin límite al aumentar la variable
x
. Además,
ésta función tiene al cero como extremo inferior. Esto es ,
tiende a cero(0), cuando
x
toma valores grandes pero negativos.
Igualmente, cuando la base
a
< 1, la función exponencial
(fig.2) no está acotada
superiormente, pero su comportamiento para valores grandes de
x
, en valor absoluto, es
diferente. Así,
crece sin límite, al tomar
x
valores grandes, pero negativos y
tiende a
cero, cuando la variable
x
toma valores grandes positivos.
El hecho de ser la función exponencial
con
a
> 1, estrictamente creciente (estrictamente
decreciente cuando 0 <
a
< 1), significa que la función exponencial es invectiva en su
dominio. Este hecho y la continuidad de la función son las condiciones que se exigen para
garantizar la existencia de la función inversa (función logarítmica), que se presentan en la
próxima sección.
En relación con la propiedad 9, en un sentido, se deduce fácilmente de la definición de
función; y, en otro, del hecho de ser la función exponencial invectiva.
Observación.
Cuando
a = e
,donde
e
es el número irracional cuya representación decimal con sus
primeras cifras decimales, es
e
= 2.7182818284?.,la función exponencial
,se llama:
función exponencial de base
e
y, frecuentemente, se denota por Exp (
x
) =
.
2.1.3 Las Funciones Hiperbólicas
En algunos problemas de Física e Ingeniería, se presentan ciertas combinaciones de las
funciones
y
que por su interés y características especiales merecen ser
consideradas con algún tratamiento. Tales combinaciones reciben el nombre de funciones
Aquí solamente, se definirán y presentarán algunas identidades básicas que las relacionan.
La función COSENO HIPERBÓLICO, denotada por coshx, se define:
,
La función SENO HIPERBÓLICO, denotada por senhx , se define:
,
A partir de éstas, se definen las funciones: TANGENTE, COTANGENTE, SECANTE Y
COSECANTE HIPERBÓLICA, de la siguiente manera:
A partir de la definición de las funciones hiperbólicas, es fácil demostrar, y se deja como
ejercicio para el lector, las siguientes identidades con funciones hiperbólicas:
1.
2.
3.
4.
5.
6. senh2
x
=2senh
x
cosh
x
9.
10.
11.
12.
2.2. LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Con el uso de los logaritmos, los procesos de multiplicación, división, elevación a potencias y extracción de raíces entre números reales pueden simplificarse notoriamente.
El proceso de multiplicación es reemplazado por una suma; la división, por una sustracción; la elevación a potencias, por una simple multiplicación, y la extracción de raíces, por una división.
Muchos cálculos algebraicos, que son difíciles o imposibles por otros métodos, son fáciles de desarrollar por medio de los logaritmos.
La igualdad N ,donde N es un número real y , es una expresión potencial; da lugar a dos problemas fundamentales:
Dada la base a y el exponente x ,encontrar N.
Dados N y a, encontrar x.
El primero de ellos puede solucionarse, en algunos casos ,aplicando las leyes de los exponentes. Para el segundo,
la propiedad 11 del teorema 2.1.1 garantiza que siempre existe un número real x tal que N , cuando N y a son reales positivos y .
Lo anterior da lugar a la siguiente definición:
Definición.
Sea a un real positivo fijo, y sea x cualquier real positivo, entonces:
La función que hace corresponder a cada número real positivo su logaritmo en base ,
denotada por ,se llama: función logarítmica de base a, y, el número se llama logaritmo de
x en la base a.
En el teorema siguiente, se presentan las propiedades más importantes de los logaritmos.
2.2.1 Teorema ( Propiedades de los logarítmos )
Si a > 0, y b es cualquier real positivo, x e y reales positivos, entonces :
.
.
Cuando a > 1 , si 0 < x < y ,entonces, .Es decir ,la función logarítmica de base a > 1 es estrictamente creciente en su dominio.
Cuando 0 < a < 1, si 0 < x < y ,entonces, .Esto es la función logarítmica de base entre 0 y 1; es estrictamente decreciente en su dominio.
Para todo número real , existe un único número real tal que . Esta propiedad indica que la función logarítmica es sobreyectiva .
.
Si , y, a != 0 , entonces, . (Invarianza)
Demostración.
Para demostrar las propiedades de los logaritmos, se hace uso de la definición y de las propiedades de la función exponencial, presentadas en la sección anterior.
A manera de ilustración , se demuestran las propiedades 1,4 y 7. Se dejan las restantes como ejercicio para el lector.
.
Esto es , ( 1 )
En segundo lugar , nuevamente por la definición , . 0
Es decir , ( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se concluye que .
Sea y , entonces :
( 1 ).
( 2 ).
De ( 1 ) y ( 2 ), se sigue que : .
Es decir , .
7.Se supone que a > 1 y 0< x < y. Sean : y .Se prueba que
.
En efecto ,si ,y como a > 1 ,se tendría por la propiedad 7 del teorema 3 que , es decir , en contradicción con la hipótesis.
Análogamente, se razona para el caso 0 < a < 1.
Observaciones.
i ) La igualdad , dada en la propiedad 1, es también válida para b < 0 .
ii) Las propiedades 7 y 8 de los logaritmos, conjuntamente con las propiedades 7 y 8 de los exponentes, ponen de manifiesto el comportamiento similar que presentan las funciones exponenciales y logarítmicas en una misma base .Es decir, si una de ellas es continua y creciente ( continua y decreciente ) , la otra también lo es.
iii) La base más frecuentemente utilizada para las funciones exponenciales y logarítmicas es el llamado número
e (número de EULER ).Los logaritmos de base e son llamados logaritmos Naturales o Neperianos y se denotan por Ln .Sin embargo ,los que más a menudo se encuentran tabulados y que se utilizan en la practica son
los correspondientes a la base 10 ,los cuales son llamados logaritmos decimales o vulgares y se denotan
por o, simplemente, Log x.
2.2.2. Gráfica de La Función Logarítmica
En las figuras 3 y 4 , aparecen las gráficas de las funciones e , en concordancia con las propiedades establecidas en el teorema inmediatamente anterior.
En la figura 5, se han trazado conjuntamente las curvas e .Allí pueden visualizarse los comentarios hechos en la observación ii). Puede notarse, además, que las curvas son simétricas con respecto a la recta y = x
.
fig 3
fig 4
1. Simplifique totalmente la siguiente expresión:
..
SOLUCIÓN
=
=
= =
= = 2025 .
2. Pruebe que
..
SOLUCIÓN
Simplifique inicialmente el numerador y el denominador de la
fracción .Así:
También ,
En consecuencia , .
1. Pruebe que si a > 0 , a y x > 0 ,entonces, .
..
SOLUCIÓN
Suponga que (1). Esto significa, de acuerdo a la definición, que
(2).
De (2), se deduce que . Pero , (3).
De (1) y (3), se concluye que :
2. Sea a > 0 , x > 0 y, además , .Determine el valor de x.
..
SOLUCIÓN
Si , entonces, . Tomando logaritmo en base a ,en ambos miembros de la última igualdad ,se obtiene :
. O Equivalentemente ,
Despejando y simplificando , se obtiene :
En
consecuencia , .
3. Determine los valores de x e y que satisfacen simultáneamente las ecuaciones :
( 1 ) ( 2 )
..
SOLUCIÓN
( 3 ). De donde , ( 4 ).
Como x,y son reales positivos ,se sigue de ( 1 ) que ( 5 ).
De ( 4 ) y ( 5 ), se deduce que :
.
De donde , .
Sustituyendo el valor de y en la ecuación ( 1 ) ,se obtiene
4. En la escala de Richter, la intensidad M de un terremoto, se relaciona con su energía E (en Ergios ) por medio de la fórmula:
Si un terremoto tiene 1000 veces más energía que otro, ¿cuántas veces mayor es su índice de Richter M ?
¿Cuál es la razón de la energía del terremoto de San Francisco, ocurrido en 1906 (M=8.3), con la del Eureka de 1980 (M=7) ?
..
SOLUCIÓN
Sean , las energías de los dos terremotos y tales que (1).
Entonces,
Pero, (3) y ,también , (4)
Sustituyendo (3) y (4) en (2), se obtiene:
Simplificando la última igualdad, se deduce que : . Este último resultado indica que la intensidad del terremoto de mayor energía tenía dos unidades mas que la intensidad del primero.
Si denota la energía del terremoto de San Francisco
y la energía del Eureka , entonces :
(5). (6).
obtiene:
