Matemática para Economistas
Curso 6Práctica 3: Transformaciones lineales
Ejercicio 1 Considere las transformaciones lineales siguientes: (1) f : → 2
A \ \ , fA
( ) (
x1 = x1, 2⋅x1)
(2) f : 2 →
B \ \, fB
(
x x1, 2)
=x1+x2(3) f : 2→ 2
C \ \ , fC
(
x x1, 2) (
= x x1, 1−x2)
(a) Determine núcleo e imagen de cada una de las transformaciones indicando la dimensión de estos conjuntos.
(b) Interprete geométricamente los resultados (grafique las aplicaciones entre: recta-plano, plano-recta y plano-plano).
Respuestas
(1.1) N(f )A =
{ }
0 , dim N( f ) 0A = e I f( )
A ={
(
a, 2⋅a)
: a∈\}
, dim I( f ) 1A = . Es inyectiva. No es sobreyectiva.(1.2) N(f )B =
{
( , )/ a a− a∈\}
, dim N( f ) 1B = e I( f )B ={
( ) : a a∈\}
, dim I( f ) 1B = . No es inyectiva. Es sobreyectiva(1.3) N(f )C =
{
(0,0)}
, dim N( f ) 0C = e I( f )C ={
( , ) : ,a b a b∈\}
, dim I( f ) 2C = . Es inyectiva y sobreyectiva.Ejercicio 2 Dada la transformación lineal, T :\2→\4:
(
1 2) (
1 2 1 2 1 2 1 2)
T x x, = x +x , 2⋅ +x x , 3⋅ +x x , 4⋅ +x x
(a) Obtenga la matriz asociada a la transformación lineal según las bases canónicas de cada uno de los espacios.
(b) Obtenga los conjuntos que definen N(T) e I(T) . Indique la dimensión de cada uno de estos espacios y compruebe el teorema sobre la “dimensionalidad”. Analice si la transformación lineal es sobreyectiva e inyectiva.
Respuestas
(a)
1 1 2 1 3 1 4 1
=
(b) N T
( ) (
={
0,0,0)
}
, dim N T( )
=0, I T( ) (
={
a b, , 2⋅ −b a, 3⋅ − ⋅b 2 a)
: ,a b∈\}
, Base(
) (
)
{
1, 0, -1, -2 ; 0, 1, 2, 3 y}
dim I T( )
=2. Es inyectiva (el único elemento del núcleo es el vector nulo) pero no es sobreyectiva (la imagen es un plano incluido en el espacio de cuatro dimensiones).Ejercicio 3 Dada T :\3→\3 definida por:
(
1 2 3) (
1 2 3 1 2 3 1 2 3)
T x x x, , = x + ⋅2 x +x , 2⋅ +x x + ⋅2 x , x +x +x
(a) Obtenga la matriz asociada a la transformación lineal según las bases canónicas de los espacios de salida y llegada.
(b) Obtenga los conjuntos que definen N(T) e I(T) . Indique la dimensión de cada uno de estos subespacios y compruebe el teorema sobre la “dimensionalidad”. Analice si la transformación lineal es sobreyectiva e inyectiva.
(c) Dada las nuevas bases V=
{
(
1, 1, 1 ; 1, 0, 0 ; 0, 1, 0) (
) (
)
}
, en el espacio de salida, y W={
(
1, 0, 1 ; 0, 1, 0 ; 1, 0, 0) (
) (
)
}
, en el espacio de llegada, obtenga la matriz asociada a la transformación lineal de acuerdo con las nuevas bases.Respuestas
(a)
1 2 1
2 1 2
1 1 1
=
A
(b) N T
( ) (
={
a,0,−a)
/ a∈\}
, dim N T( )
=1 e I T( )
={
(
a b, ,(
a b+)
3 / ,)
a b∈\}
,( )
dim I T =2. No es inyectiva ni sobreyectiva.
(c)
3 1 1
5 2 1
1 0 1
=
B
Ejercicio 4 Sea la transformación lineal T :\2 →\2 definida por:
( )
T x = ⋅λ x,
donde λ es una constante que puede tomar valores reales con excepción del cero (es decir: λ∈ −\
{ }
0 ).(a) Pruebe que T es una transformación lineal.
(c) Suponga que el dominio de la transformación es ahora el conjunto:
(
)
( ) ( )
{
2 2 2}
1 2 1 2
U= x x, ∈\ : x + x ≤1 . Bajo que condiciones sobre λ se verifica
( )
T x ≤ x (donde: x =
( ) ( )
x1 2+ x2 2 ). Justifique. (d) Determine la existencia de puntos x* tal que T( )
x* =x*.Respuesta La transformación lineal es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto, también es biyectiva.
Ejercicio 5 Considere la transformación lineal T :\n →\n, definida por:
( )
T x = ⋅A x,
siendo A∈\n nx la matriz asociada a la transformación lineal.
(a) Pruebe que T es una transformación lineal.
(b) Determine bajo que condiciones la transformación lineal es inyectiva, sobreyectiva y biyectiva. Justifique.
Respuestas La transformación lineal es inyectiva si A ≠0. El requisito para que la aplicación sea sobreyectiva es el mismo. Por lo tanto, es biyectiva si A ≠0.
Ejercicio 6 Obtenga los autovalores y autovectores de las matrices siguientes y diagonalícelas:
4 2 1 1
−
=
A
2 2 2
0 1 1
4 8 3
−
=
−
B
1 2 2
2 2 2
3 6 6
−
=
− − −
C 2 1
5 2
− −
=
D
Ejercicio 7 Dadas las siguientes matrices simétricas asociadas a ciertas transformaciones lineales respecto de las bases canónicas:
−
− =
3 5 3 1 3 1
3 1 3
5 3 1
3 1 3 1 3 5
B
2 1 1
1 2 1
1 1 2
− −
= − −
− −
C
4 2 1
2 1 2
1 2 4
− −
= − −
− −
D
1 2 1
2 2 2
1 2 1
−
= − −
E
5 2 1 1 2
1 4 1
1 2 1 5 2
−
= −
− −
F
(a) Indique su polinomio característico, ecuación característica, valores propios y vectores propios. Compruebe el teorema de acotación del valor de los autovalores.
(c) Diagonalícelas mediante una matriz de paso ortogonal. Respuestas
MATRIZ B (a) P ( )λ = −λ3+ ⋅5 λ2− ⋅ +8 λ 4
B , P ( )B λ = −λ3+ ⋅5 λ2− ⋅ + =8 λ 4 0, 1 2
λ = , λ =2 2 y λ3=1,
1 1
1 0 ( 1,2)
0 1
i a b i
= ⋅ + ⋅ =
v , 3
1 1 1
a
− = ⋅
v ,
{
}
min 7 3, 7 3 ( 1,2,3)
i i
λ ≤ = .
(b) λ1+λ2+λ3 =(2) (2) (1) 5+ + =
11 22 33 3 (5 3) 5 b +b +b = ⋅ = ,
1 2 1 3 2 3 (2) (2) 2 (1) 2 (1) 8
λ λ⋅ +λ λ⋅ +λ λ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
11 12 11 13 22 23
21 22 31 33 32 33
5 3 1 3 5 3 1 3 5 3 1 3 8 1 3 5 3 1 3 5 3 1 3 5 3
b b b b b b
b b b b b b
−
+ + = + + =
− ,
1 2 3 (2) (2) (1) 4
λ λ λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
4
=
A
(c) La matriz es diagonalizable. Una matriz de paso es:
1 2 0 1 2
1 6 2 6 1 6
1 6 1 3 1 3
= −
−
B
P
MATRIZ C (a) P ( )λ = − + ⋅λ3 6 λ2− ⋅9 λ
C , λ1=3, λ2 =3 y λ3 =0,
1
1 0 1
= −
v , 2 1
2 1
= −
v y 3 1 1 1
a
= ⋅
v ,
(c) La matriz es diagonalizable. Puede elegirse una matriz de paso ortogonal:
1 2 1 6 1 3
0 2 6 1 3
1 2 1 6 1 3
= −
−
C
MATRIZ D (a) P ( )λ = −λ3+ ⋅9 λ2−15⋅ −λ 25
D , P ( )D λ = −λ3+ ⋅9 λ2−15⋅ −λ 25 0= ,
1 1
λ = − , λ2 =5 y λ3 =5,
1
1 2 1
a
= ⋅
v ,
2 1
1 0 ( 2,3)
0 1
i a b i
− −
= ⋅ + ⋅ =
v ,
{
}
min 7, 7 ( 1,2,3)
i i
λ ≤ = .
(b) λ1+λ2+λ3 = − +( 1) (5) (5) 9+ =
11 22 33 (4) (1) (4) 9 d +d +d = + + = ,
1 2 1 3 2 3 ( 1) (5) ( 1) (5) (5) (5) 15
λ λ⋅ +λ λ⋅ +λ λ⋅ = − ⋅ + − ⋅ + ⋅ =
11 12 11 13 22 23
21 22 31 33 32 33
4 2 4 1 1 2
15
2 1 1 4 2 4
d d d d d d
d d d d d d
− − −
+ + = + + =
− − − ,
1 2 3 ( 1) (5) (5) 25
λ λ λ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ = −
25
= −
D
(c) La matriz es diagonalizable. Puede elegirse una matriz de paso ortogonal:
1 6 2 5 1 30
2 6 1 5 2 30
1 6 0 5 30
−
=
−
D
P
MATRIZ E (a) P ( )λ = −λ3+12⋅ −λ 16
E , λ =1 2, λ =2 2 y λ = −1 4,
2 1
1 0 ( 1,2)
0 1
i a b i
−
= ⋅ + ⋅ =
v , 3
1 2 1
a
− = ⋅ −
v ,
{
}
min 6, 6 ( 1,2,3)
i i
λ ≤ = .
(b) λ1+λ2+λ3 =(2) (2) ( 4) 0+ + − =
11 22 33 (1) ( 2) (1) 0
e +e +e = + − + = ,
1 2 1 3 2 3 (2) (2) 2 ( 4) 2 ( 4) 12
λ λ⋅ +λ λ⋅ +λ λ⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = −
11 12 11 13 22 23
21 22 31 33 32 33
1 2 1 1 2 2
12
2 2 1 1 2 1
e e e e e e
e e e e e e
− −
+ + = + + = −
1 2 3 (2) (2) ( 4) 16
λ λ λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = −
16
= −
E
(c) La matriz es diagonalizable. Puede elegirse una matriz de paso ortogonal:
1 2 1 3 1 6
0 1 3 2 6
1 2 1 3 1 6
− −
= −
E
P
MATRIZ F (a) P ( )λ = − + ⋅λ3 9 λ2−24⋅ +λ 20
F , λ1=2, λ2 =2 y λ3 =5,
1
1 0 1
=
v , 2 1 1 1
− =
v y 3
1 2 1
a
= ⋅ −
v ,
(c) La matriz es diagonalizable. Puede elegirse una matriz de paso ortogonal:
1 2 1 3 1 6
0 1 3 2 6
1 2 1 3 1 6
−
=
−
F
P
Ejercicio 8 Dada las siguientes matrices asociadas a una transformación lineal respecto de las bases canónicas:
− =
1 2 1
5 6 5 1 5 6
5 1 5 1 5 9
A
1 5 9
2 0 1
1 2 4
−
= −
−
B
(a) Indique su polinomio característico, ecuación característica, valores propios y vectores propios. Compruebe el teorema de acotación del valor de los autovalores. (b) Verifique las relaciones entre los coeficientes de la matriz, los valores propios y
los coeficientes del polinomio característico.
(c) Diagonalícelas si es posible. En caso que no sean diagonalizables redúzcalas a una matriz de Jordan.
Respuestas
MATRIZ A
(a) Polinomio característico: P ( )λ = −λ3+ ⋅3 λ2 −4
A . Ecuación característica:
3 2
P ( )A λ = −λ + ⋅3 λ − =4 0. Autovalores o valores propios: λ =1 2, λ =2 2 y λ3 = −1.
1
1 0 1
a
= ⋅
v , 2
1 3
0 2
1 0
a
− = ⋅ +
v , 3
0 1 1
a
= ⋅ −
v , λi ≤min 4, 4 (
{
}
i=1,2,3).(b) λ1+λ2+λ3 =(2) (2) ( 1) 3+ + − = y a11+a22 +a33 =(9 5) (1 5) 1 3+ + = , 1 2 1 3 2 3 (2) (2) 2 ( 1) 2 ( 1) 0
λ λ⋅ +λ λ⋅ +λ λ⋅ = ⋅ + ⋅ − + ⋅ − = y
11 12 11 13 22 23
21 22 31 33 32 33
9 5 1 5 9 5 1 5 1 5 6 5 0
6 5 1 5 1 1 2 1
a a a a a a
a a + a a + a a = − + + =
1 2 3 (2) (2) ( 1) 4
λ λ λ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − = − y A = −4
(c) La matriz no es diagonalizable. Puede llevarse a una matriz con un bloque de
Jordan,
2 1 0
0 2 0
0 0 1
=
−
A
J , con matriz de paso
1 0 0
0 2 1
1 3 1
= −
A
P .
MATRIZ B
(a) Polinomio característico: P ( )λ = − − ⋅λ3 3 λ2+ +λ 3
B . Ecuación característica:
3 2
P ( )B λ = − − ⋅λ 3 λ + + =λ 3 0. Autovalores o valores propios: λ1=1, λ2 = −3 y
3 1
λ = − . Autovectores o vectores propios:
1
7 5 9 5 1
a
= ⋅
v , 2
1 1 1
b
− = ⋅
v , 3
1 3 5 3
1
c
−
= ⋅
v , λi ≤min 14, 15 (
{
}
i=1, 2, 3).(c) La matriz es diagonalizable. Puede llevarse a una matriz diagonal mediante la matriz de paso:
7 1 1
9 1 5
5 1 3
− −
=
B
P
Ejercicio 9 Obtenga la potencia n-ésima de las matrices B y D, del ejercicio 10, utilizando la relación de semejanza entre éstas y la matriz diagonal formada a partir de sus autovalores.
Ejercicio 10 Dada la matriz:
3 2 2
4 3 2
0 0 1
− −
= − −
(a) Compruebe que es involutiva y verifique que sus valores propios son 1 y -1. (b) Obtenga su potencia n-ésima.
Respuestas
(b)
2 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 2 ( 1) 2 ( 1) 2 ( 1) 1
0 0 1
n n n
n n n n
⋅ − − − − + − −
= ⋅ − − − − + − −
A , puede elegirse como matriz de paso:
1 0 1
0 1 1
2 1 0
=
−
G
P
Ejercicio 11 Suponga que el sistema de ecuaciones:
λ
⋅ − ⋅ =
A x x b,
donde A es una matriz simétrica real de x n n, λ un escalar, x y b vectores de \n, tiene una solución. Muestre que si λ λ≠ i (i=1, 2,....,n), siendo λi autovalor de A, entonces la solución se puede escribir de la forma:
λ λ
=
= ⋅
−
∑
1
, n
i i
i i
v b
x v ,
donde vi(i=1, 2,....,n) es el autovector de norma unitaria asociado a λi.
(Sugerencia: comience la demostración partiendo de la combinación lineal
α
=
=
∑
⋅1
n i i i
x v . El problema consiste en determinar αi a partir de la información disponible).
Ejercicio 12 Aplique los resultados del ejercicio anterior para obtener la solución del sistema siguiente:
1 1
2 2
3 3
3 2 0 1
2 4 2 2 1
0 2 5 1
x x
x x
x x
− ⋅ − ⋅ =
−
Respuesta
1
2
3
4 5 1 10
2 5
x x x
=
2 3 2 3 1 3
−
=
1
v , 2
2 3 1 3 2 3
=
v , 3
1 3 2 3 2 3
−
= −
v
Aplicaciones económicas
Ejercicio 1 Un agente está evaluando la posibilidad de invertir en diferentes activos para asegurarse frente a distintos estados posibles de la naturaleza (contingencias). Hay dos estados posibles: B (bueno) y M (malo). Los activos disponibles para invertir son tres y se denotan por 1, 2 y 3. Cada uno de estos activos tiene un rendimiento diferente en los distintos estados; Rs i, es el rendimiento (en ciertas unidades) del activo i=1, 2, 3 en el estado s B M= , . Las cantidades invertidas en cada uno de los activos se denotan por x x1, 2 y x3, respectivamente. Si xi >0 (i=1, 2, 3) el agente cobra, de acuerdo al estado de la naturaleza realizado, el rendimiento establecido por el activo i para ese estado. Si xi<0 el agente debe pagar, de acuerdo al estado realizado, el rendimiento que fijaba el activo para ese estado. Los rendimientos de los activos son los siguientes:
, 1 1
B
R = , RB ,2 =3, RB, 3 =2
2
1 , = M
R , RM ,2 =0, RM ,3 =1
Sea A :\3→\2 la transformación lineal cuyo dominio son las cantidades invertidas
en cada uno de los activos y su codominio los rendimientos totales asociados a cada estado. Los rendimientos de los activos en los diferentes estados definen la matriz asociada a la transformación lineal. Es decir:
1 , 1 , 2 , 3
2 , 1 , 2 , 3
3
B B B B
M M M M
x
R R R R
x
R R R R
x
⋅ =
(a) ¿Cuál es el conjunto de rendimientos totales que pertenecen a la imagen de la transformación lineal? ¿Es sobreyectiva la transformación lineal?
(b) Suponga que el agente desea obtener un retorno total igual a 2 en el estado bueno e igual a 1 en el estado malo, ¿es única la combinación de activos posible que logran dicho rendimiento?
(c) Es posible obtener retornos iguales 3 para ambos estados independientemente del estado de la naturaleza.
(d) La transformación lineal definida, ¿es inyectiva? Justifique.
(e) Muestre que los rendimientos que otorga el tercer activo pueden obtenerse también con una combinación lineal de los dos primeros. Es decir, el tercer activo puede pensarse como un activo sintético compuesto por media unidad del activo 1 más media unidad del 2. Interprete geométricamente.
(a) I A
( )
{
(
,)
2: ,(
)
(
1,0)
(
0,1)
}
B M B M B M
R R R R R R
= ∈\ = ⋅ + ⋅ . La transformación lineal
es sobreyectiva.
(b) La combinación de activos no es única. Por ejemplo, cualquiera de las dos carteras siguientes: x=
(
x x x1, ,2 3)
=(
0,0,1)
y x′=(
x x x1′ ′ ′, ,2 3)
=(
1 2 ,1 2 ,0)
dan un retorno igual a 2 en el estado bueno e igual a 1 en el estado malo. En este caso se dice que la cartera x es replicable porque existe otra, x′, que otorga los mismos rendimientos en los diferentes estados.(c) Si, por ejemplo con el portafolio x=
(
1,0,1)
. En este caso el portafolio x se llamalibre de riesgo.
(d) Por el resultado del punto (b) anterior la transformación no es inyectiva.
Ejercicio 2 Considere ahora que hay tres estados posibles: B (bueno), R (regular) y M (malo). Los activos disponibles para invertir son dos y se denotan por 1 y 2. Los rendimientos de los activos son los siguientes:
, 1 1
B
R = , RB, 2 =2
, 1 2
R
R = , RR ,2 =1
, 1 3/2
M
R = , RM, 2 =3/2
Sea A :\2 →\3 la transformación lineal cuyo dominio son las cantidades
invertidas en cada uno de los activos y su codominio los rendimientos totales asociados a cada estado. Los rendimientos de los activos en los diferentes estados definen la matriz asociada a la transformación lineal. Es decir:
, 1 , 2 1 , 1 , 2
2 , 1 , 2
B B B
R R R
M M M
R R R
x
R R R
x
R R R
⋅ =
(a) ¿Cuál es el conjunto de rendimientos totales que pertenecen a la imagen de la transformación lineal? ¿Es inyectiva la transformación lineal?
(b) Suponga que el agente desea asegurarse contra el estado malo. ¿Existe alguna combinación de activos que le otorgue un rendimiento nulo en los estados B y R, y de 1 en el estado M?
(c) La transformación lineal definida, ¿es sobreyectiva? Justifique. Respuestas
(a) I A
( )
{
(
, ,)
3:(
, ,)
(
1, 0, 1 2)
(
0, 1, 1 2)
}
B R M B R M B R
R R R R R R R R
= ∈\ = ⋅ + ⋅
La aplicación es inyectiva.
(b) No existe. El vector de rendimientos
(
0,0,1)
∉I(A). En este caso se dice que el estado malo no es asegurable.Ejercicio 3 Considere ahora el caso general, A :\N →\S:
(S N× )⋅ ( )N = ( )S
R x R
Asuma que la matriz de rendimientos, RS N× , posee rango máximo.
(a) Muestre que si N S= (la cantidad de activos es igual a la cantidad de estados) entonces los agentes pueden asegurarse contra cualquier estado.
(b) Muestre que si N S< , entonces hay estados frente a los cuales los agentes no se pueden asegurar.
(c) Muestre que si N S> , entonces los agentes pueden asegurarse contra los distintos estados y que la forma de hacerlo no es única.
Ejercicio 4 La economía de cierto país utiliza tres factores primarios, trabajo (L), capital (K) y tierra (T), para la producción de dos bienes. Las cantidades de factores utilizadas se denotan por L, K y T, en tanto las cantidades producidas de los bienes 1 y 2 se indican por Q1 yQ2, respectivamente. La cantidad necesaria del factor i para
producir una unidad del bien j se representa por el coeficiente aij (i=L ,K ,T; 2
, 1
=
j ). Dado un vector de cantidades (Q1 ,Q2), las cantidades totales necesarias de factores para producir aquella combinación viene dada por la transformación lineal
A : V→W definida por:
= ⋅
T K L
Q Q
a a
a a
a a
T T
K K
L L
2 1
2 1
2 1
2 1
Donde:
(
)
{
}
2 2
1 2 1 2
V=\+:= Q Q, ∈\ : 0, 0Q ≥ Q ≥
(
)
3 3
W=\+ : { , , = K L T ∈\ : 0, 0, 0}K≥ L≥ T ≥ .
Asuma: aL1 =2, aL2 =1, aK1 =1, aK2 =2, aT1 =1, aT2 =1.
(a) Determine la imagen de la transformación lineal.
(b) Suponga que la economía dispone de una dotación de trabajo igual al doble de la cantidad de capital y una dotación de tierra igual a la cantidad de trabajo: ¿Producirá la economía utilizando la dotación disponible de factores ó algún factor resultará subutilizado? Justifique.
(c) ¿Es sobreyectiva la transformación lineal? Justifique.
