VECTOR DE DIRECCIÓN DE UNA RECTA

→ v

r

LA RECTA EN EL PLANO

VECTOR DE DIRECCIÓN DE UNA RECTA

Dada una recta r cualquiera, consideramos dos cualesquiera de sus puntos A y B. Llamamos vector de direcciónde r o vector directorde r, al vector libre

   

= →

→

AB

v .

   

= →

→

AB

v vector director de r.

• Una recta tiene infinitos vectores de dirección (cada dos puntos arbitrarios de dicha recta determinan uno de ellos), que pueden tener distinto módulo y sentido, pero todos ellos tienen la misma dirección.

→ v||

→ ´ v ||

→ ´´

v ||…….

ECUACIONES DE UNA RECTA

La ecuación de una recta es una condición que cumplen todos y cada uno de sus puntos y solamente ellos.

Hay distintas formas de expresar dicha condición, que son las distintas formas que tiene la ecuación de una recta; para encontrarlas observamos que:

Una recta viene determinada por:

• Un punto fijo P del plano y un vector de dirección →v. (P, →v) llamada determinación lineal de la recta.

• Por dos puntos de la recta P y Q. (P, Q)

Sea

   

 

= →i →j

S 0; , un sistema de referencia ortonormal. En él vamos a calcular todas las ecuaciones de la recta.

→ v

→ ´ v

ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA

Sea Α∈ r un punto conocido de r y →v uno de sus vectores de dirección (conocido). Sea X un punto arbitrario de r.

    ⇔     ⇔          ⇔ ∈ → → → → → AX v AX r v r r de dirección de vector es Como de dirección de vector es AX X

se puede →vexpresar como un

número real λ por el vector →v

→ → =     ℜ ∈ ∃

⇔ λ AX λv.

Como     =     +     → → → OX AX

OA ;

→ → → =    

+ AX x

a ; por tanto

→ → → − =     a x AX .

Luego: X ∈ r

→ → → = − ℜ ∈ ∃

⇔

λ

x a

λ

v

→ → → + = ℜ ∈ ∃

⇔

λ

x a

λ

v

Hemos llegado a la ecuación vectorial de la recta:

→ → → + = ℜ ∈ ∃ ⇔

∈r

λ

x a

λ

v

X

Siendo: →

xel vector de posición de un punto arbitrario X de la recta. →

a el vector de posición de un punto A conocido de la recta. →

v un vector de dirección de la recta.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS DE LA RECTA

Tenemos      

= →i →j

Sea X(x, y)S un punto arbitrario de r; sustituyendo en la ecuación vectorial tendremos que:

X(x, y)S∈ r ⇔∃

λ

∈ℜ (x,y)B =(a1,a2)B +

λ

(v1,v2)B , si operamos e igualamos las dos

coordenadas, tendremos las ecuaciones paramétricas de r:

• Para cada valor que le demos a λ real, obtendremos las coordenadas de un punto X de la recta.

• Para cada punto de la recta X(x, y)S obtendremos un único número real λ (el mismo para las

dos ecuaciones paramétricas).

ECUACIÓN CONTINUA DE LA RECTA

Como para X ∈ r se obtiene un único valor de λ real que es el mismo para las dos ecuaciones paramétricas, se puede despejar λ en las dos ecuaciones paramétricas de r (siempre que v1 ≠ 0 y v2≠ 0), obteniéndose la ecuación continua de la recta:

      

− =

− =

2 2 1

1

v a y

v a x

λ

λ

2 2

1 1 X

v a y v

a x

r ⇔ − = −

∈

Recuerda que (a1, a2) son las coordenadas de un punto A conocido de la recta y que (v1, v2) son las coordenadas (ambas distintas de 0) de un vector →v de dirección de dicha recta.

• Si v1 = 0 y v2 ≠ 0, la recta no tendría ecuación continua. Sus

ecuaciones paramétricas serían

  

+ = =

2 2 1

v a y

a x

λ

y su gráfica es una recta paralela al eje de ordenadas OY

• Si v1≠ 0 y v2 = 0, la recta tampoco tendría ecuación continua. Sus

ecuaciones paramétricas serían

  

= + =

2 1 1 a y

v a

x

λ

y su gráfica es una recta paralela al eje de abscisas OX

ℜ ∈

  

+ =

+ = ⇔

∈

λ

λ

λ

con y)

x, ( X

2 2

1 1

v a y

v a x r

S

1

a

2

a

De la forma continua de r obtendremos la ecuación general, la punto-pendiente o la explícita, según la desarrollemos de una manera u otra.

ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA

Como sabemos que

2 2

1 1 X

v a y v

a x

r⇔ − = −

∈ , quitamos denominadores v₂⋅(x−a₁)=v₁⋅(y−a₂),

operamos v2x−v2a1 =v1y−v1a2, pasamos todos los términos al primer miembro 0

1 2 2 1 1

2x−v y+v a −v a =

v .

Si llamamos A = v2, B = −v1, y C = v1a2 −v2a1, obtendremos la ecuación general o implícita de la recta:

0 C B A

X∈r ⇔ x+ y+ =

Si nos dan la ecuación general de una recta, como por ejemplo 2x+3y−1=0, y queremos conocer las coordenadas de uno de sus vectores de dirección, nos resultará muy fácil si recordamos que A = v2, B = −v1, porque

→

v (v1, v2) = (− B, A). En este caso →

v(v1, v2) = (− B, A) = (−3, 2)

No lo olvides, te será muy útil para resolver muchos problemas, si tienes la recta de ecuación

0 C B

Ax+ y+ = un vector director es =(−B,A) →

v

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE Y ECUACIÓN EXPLÍCITA DE LA RECTA

Anteriormente habíamos visto que, quitando denominadores en la ecuación continua, llegábamos a )

( )

( _{1 1 2}

2 x a v y a

v ⋅ − = ⋅ − . Si en esta expresión despejamos y − a2 (siempre que v1≠ 0) obtendremos

que ( 1)

1 2

2 x a

v v a

y− = − .

Veamos el significado geométrico de 1 2 v v

, para ello observa el siguiente gráfico:

2

v

1

v

→

Si le llamamos α al ángulo de inclinación de la recta con la dirección positiva del eje de abscisas, es obvio que

1 2 tg

v v

=

α

. A este número se le llama pendiente de la recta, y se representa por m.

Es decir,

1 2 tg

v v m=

α

= .

La pendiente está definida siempre que v1≠ 0

Si v1 = 0 ya hemos visto que la recta tiene de ecuación x = a1 y no tiene pendiente.

Si sustituimos en la ecuación ( 1) 1

2

2 x a

v v a

y− = − , obtendremos la ecuación punto-pendiente:

Volvemos a recordar que (a1, a2) son las coordenadas de un punto A conocido de la recta, que (v1, v2) son las coordenadas de un vector

→

v de dirección de dicha recta y que m es la pendiente de la misma.

• Teniendo en cuenta que la pendiente

abscisas de

Diferencia

ordenadas de

Diferecia

1 2

1

2 =

− − = =

a x

a y v v

m , podemos

deducir que: “La pendiente de una recta representa el aumento o disminución de la ordenada (variación de la ordenada) por cada unidad que aumente la abscisa.”

Desarrollando la ecuación punto-pendiente:y−a₂ =m⋅(x−a₁); y−a₂ =mx−ma₁; 1

2 ma

a mx

y= + − . Si llamamos b=a2 −ma1, obtenemos la ecuación explícita de la recta r: b

mx y= +

• Si hacemos x = 0, resulta y = b, luego el punto de coordenadas (0, b) pertenece a la recta r; de ahí que al número “b” se le llame ordenada en el origen, pues es la ordenada del punto de abscisa cero de dicha recta.

• Si pasamos todos los términos al segundo miembro, obtenemos la ecuación general b

y mx− +

=

0 ; luego un vector director será (−B,A)=( →

v 1, m).

EJERCICIO 1:

Halla las ecuaciones de la recta que pasa por P(1, −2) y tiene a →v(4,5) como vector director. )

( ₁

2 m x a

a y r

SOLUCIÓN 1:

Ecuación vectorial: →x =→a+λ→v; (x,y)=(1,−2)+λ⋅(4,5)

Ecuaciones paramétricas:

  

+ − =

+ =

λ

λ

5 2

4 1 y x

Ecuación continua:

5 2 4

1₌ +

− y

x

Ecuación general: 5⋅(x−1)=4⋅(y+2); 5x−5=4y+8; 5x−4y−13=0.

Ecuación punto-pendiente: 4⋅(y+2)=5⋅(x−1); ( 1) 4 5

2= −

+ x

y .

Ecuación explícita:

4 5 4 5

2+ −

−

= x

y ;

4 13 4 5 ₋

= x

y (También se puede llegar a esta ecuación despejando la “y” en la ecuación general.)

EJERCICIO 2:

Calcula las demás ecuaciones de la recta r≡ x−2y+3=0. SOLUCIÓN 2:

Necesitamos un punto A de r y un vector director → v de r.

Podemos elegir como punto A el punto de r de abscisa 1, por ejemplo. Como sus coordenadas deben ser soluciones de la ecuación, tendremos que 1−2y+3=0; luego 4=2y; y=2. Por tanto las coordenadas de A serán (1, 2).

Podríamos haber elegido cualquier otro punto de r: el de abscisa 2 (x = 2), el de abscisa −3 (x = −3), el de ordenada 7 (y = 7), etc….

Como vector →vpodemos tomar el de coordenadas (− B, A) = (2, 1), o cualquier otro que tenga la misma dirección que él. Por ejemplo 5·→v, −→v , 2·→v, −4·→v, etc…

Ya tenemos A(1, 2) y →v(2, 1), solo nos queda escribir las ecuaciones.

Ecuación vectorial: →x=→a+

λ

→v; (x,y)=(1,2)+

λ

⋅(2,1)

Ecuaciones paramétricas:

  

+ =

+ =

λ

λ

2

Ecuación continua:

1 2 2

1₌ −

− y

x

Ecuación punto-pendiente:; ( 1) 2 1

2= −

− x

y .

Ecuación explícita: 2y−4=x−1; 2y=x+3;

2 3

+

= x

y ;

2 3 2

1 ₊

= x

y ;

EJERCICIO 3:

Calcula la ecuación general de la recta que pasa por P(−1, 3) y tiene como vector director →v (1, 2). SOLUCIÓN 3:

Ecuación general r≡ Ax+By+C=0 (Sin pasar por las otras ecuaciones.)

Cálculo de A y B: →

v(−B, A) = (1, 2), luego B = −1, A = 2.

Por tanto la ecuación que buscamos será de la forma 2x−y+C =0.

Cálculo de C: Como P ∈ r, sus coordenadas son soluciones de la ecuación, luego 2·(−1) − (3) +C = 0

−5 + C = 0; C = 5. La ecuación de la recta es r ≡2x− y+5=0 EJERCICIO 4:

Calcula las demás ecuaciones de la recta r ≡ y=2x−1 SOLUCIÓN 4:

Necesitamos encontrar una determinación lineal esa recta, es decir un punto P y un vector director de ella.

Para calcular el punto: Podemos tomar el punto de la recta de abscisa 1, por ejemplo. Como sus coordenadas son soluciones de la ecuación tendremos que y = 2·(1) −1; y = 1. El punto será P(1, 1).

Para calcular el vector director: →

v(1, m), luego →

v(1, 2)

Una vez calculada la determinación lineal, se procede como en los ejercicios anteriores. EJERCICIO 5:

Calcula las demás ecuaciones de la recta   

+ − =

− = ≡

λ

λ

4 1 2 y x r

SOLUCIÓN 5:

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

Si conocemos dos puntos P(p1, p2) y Q(q1, q2) por los que pasa la recta r, siempre podemos conseguir

a partir de ellos una determinación lineal formada por uno de los puntos P o Q y un vector de dirección de r

    →

PQ (q₁ − p₁ ,q₂ − p₂).

Con dicha determinación lineal podemos calcular todas las ecuaciones de la recta r. EJERCICIO:

Calcula todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P(2, −3) y Q(1, 2).

MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO. BARICENTRO

La recta que pasa por cada vértice de un triángulo y por el punto medio del lado opuesto se llama

mediana.

Un triángulo tiene 3 medianas (una para cada vértice) que se cortan en un punto llamado baricentro

del triángulo. Se reprenda por G y es el centro de gravedad del triángulo.

Como el baricentro pertenece a las tres medianas, sus coordenadas tendrán que ser soluciones de sus ecuaciones respectivas. Por tanto, las coordenadas del baricentro serán las soluciones del sistema formado por dos cualesquiera de las tres ecuaciones de las medianas.

También se pueden calcular usando la siguiente fórmula (que no vamos a demostrar):

Siendo A(a1, a2), B(b1, b2), y C(c1, c2) los vértices del triángulo.

INCIDENCIA Y PARALELISMO DE RECTAS

Dadas dos rectas r y s, si sus vectores de dirección tuviesen alguna de sus coordenadas igual a cero, serían paralelas al eje OY( si fuese cero la primera coordenada) o al eje OX (si lo fuese la segunda). Si tenemos dos rectas r y s, y sus vectores directores no tienen ninguna coordenada nula, son

paralelas si y solo si las coordenadas de sus vectores de dirección son proporcionales.

Demostrémoslo: Sean →

r

v (v₁ ,v₂) y v→_s (v´₁,v´₂) dos vectores directores de r y s respectivamente. Si →

→

⇔ ⇔ → → ⇔ v = v













+

+

+

+

3

,

3

2 2 2 1 1

1

b

c

a

b

c

Con lo que tenemos la condición de paralelismo de rectas:

• Si dos rectas r y s son paralelas, cualquier vector director de r también lo será de s y al revés.

Acabamos de demostrar que

2 2 1 1 ´ ´ v v v v s

r ⇔ = , si en esta proporción cambiamos los extremos

entre sí tendríamos que

1 2 1 2 ´ ´ v v v v s

r ⇔ = , y como

1 2 v v m_r = y

1 2 ´ ´ v v

m_s = ; obtenemos que:

Luego podemos decir también que:

Dos rectas (con pendiente definida), son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.

Si nos dan las ecuaciones de las rectas en forma general r ≡Ax+By+C=0, 0

C´ B´

A´ + + =

≡ x y

s , tenemos que =(−B,A)

→

r

v , =(−B´,A´)

→

s

v , luego

B´ B A´ A ´ A A B´ -B ´ ´ ₂ 2 1

1 = ⇔ − = ⇔ =

⇔ v v v v s

r , y además ≠

C´ C

, porque si fuese

C´ C B´ B A´ A =

= , llamando

A´ A

=

α , tendríamos que A=α⋅A´, B =

α

·B´, C =

α

· C´, luego sustituyendo en

0 C B

A + + =

≡ x y

r , nos quedaría r ≡α A´x+α B´y+α C´=0, dividiendo por

α

llegaríamos a que r ≡A´x+B´y+C´=0, es decir a que r y s serían la misma recta (r y s son rectas coincidentes).

Resumiendo:

Si las rectas fuesen secantes, entonces sus vectores de dirección tendrían distinta dirección, por tanto serían linealmente independientes, sus coordenadas no serían proporcionales, luego:

r secante con s ⇔

2 2 1 1 ´ ´ v v v v ≠

También ocurriría entonces que

1 2 1 2 ´ ´ v v v v

≠ ⇔ ms≠ mr.

Acabamos de ver que si las rectas se cortan en un solo punto tienen distinta pendiente. r secante con s ⇔ m_r ≠m_s

2 2 1 1 ´ ´ v v v v s

r ⇔ =

s r m

m s

r ⇔ =

C´ C B´ B A´ A s

r ⇔ = ≠

C´ C B´ B A´ A s

Si nos dan dos rectas secantes y tenemos que calcular las coordenadas de su punto de corte, como dicho punto pertenece a ambas rectas, sus coordenadas deberán ser soluciones de las dos ecuaciones. Por tanto lo que tendremos que hacer será resolver el sistema formado por sus ecuaciones, que tendrá que ser compatible determinado, y las soluciones serán las coordenadas de dicho punto.

  

= + + ≡

= + + ≡

0 ´ ´ ´

0 C y B x A s

C By Ax r

S.C.D. ⇔

´

´ B

B A

A

≠

EJERCICIO 1:

Calcula la ecuación general de la recta que pasa por el punto P(3, 1) y es paralela a la recta 0

5

2 + =

−

≡ x y

r

SOLUCIÓN 1:

Como buscamos una recta s≡ A´x+B´y+C´=0 paralela a la r ≡x−2y+5=0; un vector director de r lo será también de s,

→

s

v = →

r

v luego (−B´, A´) = (2, 1). La ecuación de s tendrá que ser de la forma x−2y+C´=0, y como el punto P(3, 1) ∈ s sus coordenadas serán soluciones de esta ecuación, sustituyendo tendremos que 3 −2·1 + C´ = 0 ⇒ C´ = −1

La recta que buscamos será s≡x−2y−1=0 EJERCICIO 2:

Estudia la posición relativa de las rectas y en caso de ser secantes calcula su punto de corte:

a)

  

+ =

+ − = ≡

= + − ≡

λ

λ

2

3 1

0 7 3

y x s

y x r

b)

0 12 3 2

0 1 2

= − − ≡

= + + ≡

y x s

y x r

HACES DE RECTAS

Un haz de rectas es un conjunto de infinitas rectas que verifican una determinada condición. Estudiaremos los siguientes haces de rectas:

• Haz de rectas de vértice P

• Haz de rectas paralelas a una dada. HAZ DE RECTAS DE VÉRTICE P

r

Las rectas del haz tienen a P en común, luego lo único que varia es la pendiente m de cada una de ellas (de las que tengan pendiente).

La ecuación de cualquier recta del haz será de la forma:

ℜ ∈ ∀ − ⋅ =

−p m x p m

y ₂ ( ₁) , ó x= p₁ (sin pendiente).

HAZ DE RECTAS PARALELAS A UNA DADA

Dada la recta r ≡ Ax+By+C =0, al conjunto de las infinitas rectas paralelas a r, se le llama haz de rectas paralelas a la recta r.

Las rectas del haz tienen todas el mismo vector de dirección de la recta r, que sabemos que es v_r =(−B,A).

Por tanto la ecuación de cualquiera de ellas será de la forma 0

= +

+By K

Ax , para que su vector director sea vr =(−B,A)(siendo K un número real arbitrario).

;

0 ∀ ∈ℜ

= +

+By K K

Ax

Para cada valor de K se obtiene una recta distinta del haz.

Si nos diesen la recta r en forma explícita, r ≡ y=mx+b; el haz de rectas paralelas se podría calcular fácilmente sin necesidad de obtener la ecuación general, ya que como todas las rectas del haz tienen la misma pendiente:

ℜ ∈ ∀ +

=mx λ; λ

y

Para cada valor de

λ

se obtiene una recta distinta del haz. EJERCICIO 1:

Calcula la ecuación del haz de rectas de vértice P(1. −2). Calcula la recta de dicho haz cuyo vector de dirección es

→

v (3, 2) y la que tiene por vector director →

v (0, 3). EJERCICIO 2:

Calcula el haz de rectas paralelas a r ≡2x− y+5=0. Calcula la recta del haz que pasa por el punto P(0, 1).

EJERCICIO 3:

PERPENDICULARIDAD DE RECTAS

Dos rectas r y s son perpendiculares, y se nota r ⊥ s, si sus respectivos vectores de dirección v y →_r →

s

v cualesquiera, son ortogonales.

r ⊥ s ⇔ →

r

v ⊥ →

s

v ⇔ →

r

v · →

s

v = 0

• Si vr(v1,v2) →

y →

s

v (a, b) es cualquier vector ortogonal a →

r

v , como →

r

v · →

s

v = 0, tendremos que 0

2 1a+v b=

v (ecuación de primer grado con dos incógnitas: a y b).

Entre las posibles soluciones de esta ecuación (que tiene infinitas soluciones) están a = v2 y

1 v

b=− , con lo que v (v→_s 2, −v1) es un vector ortogonal a →

r

v .

Luego si vr(v₁ ,v₂) →

es un vector director de r, podemos obtener un vector director v de →_s una recta perpendicular s, permutando las coordenadas de

→

r

v y cambiando el signo a una de ellas.

) , (v₁ v₂ vr

→

; v (v→_s 2, −v1)

• Si mr y ms son las pendientes de r y s respectivamente, tenemos que: r ⊥ s

⇔

→

r

v (1, mr) ⊥ →

s

v (1, ms) ⇔ 1·1 + mr · ms = 0 ⇔ mr · ms = −1 r ⊥ s

⇔

mr · ms = −1

Las pendientes de dos rectas perpendiculares son inversas y opuestas.

r s

m m =− 1

VECTOR NORMAL O ASOCIADO A UNA RECTA

Un vector normal, asociado o característico de a una recta r es cualquier vector perpendicular a dicha recta, es decir cualquier vector que sea ortogonal a su vector director v ; lo representaremos →_r por

→

r

w o por →

r

n .

Hay infinitos vectores perpendiculares a →

r

v , y por lo tanto perpendiculares a r; todos ellos son vectores normales, característicos o asociados a r.

→

r

v → →

= r

r n

Si r ≡ Ax+By+C =0, un vector director de r será →

r

v (−B, A). Las coordenadas de un vector normal

a r las podemos obtener permutando las de v (→_r −B, A) y cambiando el signo de una de ellas →

r

w (A,B); porque si hacemos el producto escalar →

r

v · →

r

w =

−

B·A + A·B = 0 ⇔ →

r

v ⊥ →

r

w .

Si r ⊥ s, cualquier vector director de r →

r

v , es un vector asociado a s →

s

n ( →

r

v = →

s

n ), y cualquiera

asociado a r es director de s ( →

r

n = →

s

v ).

Por tanto, como dos rectas r y s son perpendiculares si sus respectivos vectores directores v y →_r v →_s son ortogonales (v→_r ⊥v ); podemos decir también que r →_s ⊥ s si son ortogonales sus respectivos vectores normales (

→

r

n ⊥ →

s

n ).

r ⊥ s

⇔

→

r

v ⊥ v →_s ⇔ →

r

n ⊥ n →_s

Una recta r también queda determinada si conocemos un punto de la misma P y uno de sus

vectores asociados →

r

w . EJERCICIO1:

Calcula la ecuación de la recta que pasa por P(1, 2) y tiene a →

n(3, −4) como vector asociado. EJERCICIO 2:

Calcula la ecuación de la recta perpendicular a r≡3x−2y+5=0, que pasa por el punto P(1, 1). EJERCICIO 3:

Dada la recta r ≡2x− y+4=0, halla la ecuación general de las rectas paralela y perpendicular a r que pasan por el punto P(1, 1).

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO. MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO.

CIRCUNCENTRO

ALTURAS DE UN TRIÁNGULO. ORTOCENTRO

En un triángulo podemos trazar tres rectas llamadas alturas del triángulo, una por cada vértice del triángulo

La recta altura correspondiente a un vértice es la recta que pasa por él y es perpendicular a la recta que contiene al lado opuesto de dicho vértice.

Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado

ortocentro.

ÁNGULO DE DOS RECTAS

Llamaremos ángulo que determinan dos rectas secantes r y s, al menor de los ángulos que forman al cortarse.

Así, si llamamos (r, s).a dicho ángulo, siempre ocurrirá que (r, s) ≤ 900 y su coseno será positivo.

El ángulo entre dos rectas resultará ser igual al formado por sus vectores directores,

→

r

v y v , cuando este ángulo sea agudo y →_s será su suplementario cuando este ángulo sea obtuso.

Por tanto, como cosβ =−cosα, tendremos que:

→ →

→ → → →

→ → →

→ → → →

→

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

s r

s r

s r

s r

s r

s r s

r

v v

v v

v v

v v

v v

v v v

v s

r, ) |cos( , ) | (

cos

Si las rectas vienen dadas en forma implícita o general r≡ Ax+By+C =0, s≡ A´x+B´y+C´=0, como v (→_r −B, A) y v (−→_s B´, A´), el coseno del ángulo que forman r y s será:

Una vez conocido el valor del cos(r, s), y sabiendo que el ángulo (r, s) es agudo, recurriremos a la →

r

v

→

s

v →

s

v´

→ →

→ → →

→

⋅ ⋅ = =

s r

s r s

r

v v

v v v

v s

r, ) |cos( , ) | (

cos

2 2 ´ 2 2

´

´

´

)

,

cos(

B

A

B

A

B

B

A

A

s

r

+

⋅

+

Si las rectas r y s no son perpendiculares y conocemos sus pendientes mr y ms, podemos calcular el ángulo que forman dichas rectas de la siguiente forma:

El triángulo cuyos vértices son el punto de corte P de ambas rectas y los puntos de corte de dichas rectas con el eje de abscisas, puede tener un ángulo agudo u obtuso en P.

Si fuese agudo:

En este caso

θ

+

β

+(1800 −

α

)=1800 ⇒

α

β

θ

= 0 − − 0 +

180

180 ⇒θ =α −β; luego

tg (r, s) =tgθ =tg(α -β)

Si fuese obtuso:

En este caso 0 0

180 ) 180

( − =

+

+β α

δ ⇒

α β

δ = 0 − − 0 +

180

180 ⇒ δ =α −β, y

como θ =1800 −δ, ⇒ θ =1800 −(α −β) luego tg (r, s) =tgθ =−tg(α -β)

En ambos casos: tg (r, s) =tgθ =± tg(α-β)

Como el ángulo (r, s) ≤ 900 y las rectas no son perpendiculares, dicho ángulo es agudo, luego su tangente es positiva; por lo tanto: tg (r, s) =

s r

s r

m m

m m

⋅ +

− =

⋅ + = =

1 tg

tg 1

tg -tg | ) -( tg | tg

β

α

β

α

β

α

θ

Tg (r, s) =

s r

s r

m m

m m

⋅ +

−

1

EJERCICIO:

Calcula el ángulo que forman las rectas r ≡5x+4y=0 y s≡18x−2y+41=0 a) Usando sus vectores directores.

b) Usando sus pendientes.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Dados dos puntos A y B del plano, se llama distancia entre A y B, y se nota d(A,B), al módulo del vector [ ]

→

AB , luego siempre será un número positivo o cero.

d(A,B) = |[ ]| → AB

r

s

r

Si conocemos las coordenadas de A(a1, a2) y B(b1, b2), como [ ] →

AB (b1− a1, b2− a2), tenemos que:

d(A,B) = |[ ]| →

AB = (b₁ −a₁)2 +(b₂ −a₂)2

• La distancia entre dos puntos cumple las siguientes propiedades: 1. d(A,B) ≥ 0

2. d(A,B) = 0 ⇔ A es el mismo punto que B. 3. d(A,B) = d(B,A)

4. d(A,B)≤ d(A,C) + d(C,B) (desigualdad triangular.)

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

Dados un punto P y una recta r, se entiende por distancia del punto P a la recta r a la distancia entre dicho punto, P, y el punto, Q, de la recta, que es pie de la perpendicular a la recta trazada por el

punto P: d(P,r) = d(P,Q) .

Puede ocurrir que P ∈ r (en este caso es evidente que d(P,r) = 0) o que P ∉ r. Veamos en este último caso como podemos calcular la distancia de P a r.

Llamemos Q al punto que es el pie de la perpendicular trazada por P a r, o sea que d(P,r) = d(P,Q) = |[ ]|

→ PQ

Sea →

r

w un vector asociado a r.

Multiplicando escalarmente este vector por →

r

w , obtendremos que:

→ →

⋅wr

] QP

[ =|[QP]|⋅| |⋅cos( , )=|[QP]|⋅| |⋅(±1) → →

→ → →

→

r r

r QP w w

w . (Ya que ([QP], )

→ →

r

w = 00 ó 1800) Por lo tanto, si calculamos su valor absoluto tendremos que:

| ] QP [

| → ⋅w→_r =||[QP→ ]|⋅|w→_r |⋅(±1) |=| [QP→ ]|⋅|w→_r |⋅1

De donde d(P,r) =

| |

| QP] [ | | ] QP [

| _→

→ →

→ ⋅

=

r r

w w

Si P(p1, p2), Q(q1, q2) y r ≡ Ax+By+C =0, sabemos que [QP](p1 −q1, p2 −q2) →

, y que →

r

w (A, B),

luego [QP→ ]·w = A·(p→_r 1− q1) + B·(p2

−

q2). También sabemos que | →

r

w | = A2 +B2

→

Por tanto: d(P, r) =

| |

| QP] [ | | ] QP [

| _→

→ →

→ ⋅

=

r r

w w

=

2 2

2 2 1

1 ) ( )|

( |

B A

q p B q p A

+

− ⋅ + − ⋅

=

=

2 2

2 1

) ( 2

2

2 1 2

1 | | |

|

B A

C p B p A B

A

Bq q A p B p A

+ + ⋅ + ⋅ = +

− ⋅ − ⋅ + ⋅

∗ )

(∗ Como Q(q1, q2) ∈ r, A⋅q1 +B⋅q2 +C=0 ⇒ C =−A⋅q1−B⋅q2

Luego, la fórmula para calcular la distancia de un punto P(p1, p2), a una recta r≡ Ax+By+C=0es:

d(P, r) =

2 2

2

1 |

|

B A

C p B p A

+ + ⋅ + ⋅

PUNTO SIMÉTRICO RESPECTO DE UNA RECTA

Dado un punto P y una recta r, se define el punto P´ simétrico de P respecto a r, como el punto que está en la recta s, perpendicular a r que pasa por P, y se encuentra a la misma distancia de r que P.

Para calcular el simétrico de P respecto de r, se calcula la recta s ⊥r que pasa por P. Luego se resuelve el sistema formado por las

ecuaciones de r y s, sus soluciones serán las coordenadas del punto Q (punto de corte de r y s).

Como Q es el punto medio del segmento ____

PP´ y conocemos las coordenadas de P y las de Q, resulta muy fácil calcular las de P´. (Recuerda que las coordenadas del punto medio de un segmento se obtienen sumando las de los extremos y dividiendo por dos). EJERCICIO:

Calcula las coordenadas del punto simétrico del punto P (1,2) respecto de la recta r ≡2x−3y+1=0

DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS

•Si las rectas r y s son secantes o coincidentes, la distancia entre ellas será cero.

•Si son paralelas, la distancia entre ambas se calcula calculando la distancia desde un punto cualquiera de una de ellas a la otra.

d(r, s) = d(P, s) s

BISECTRICES DE LOS ÁNGULOS QUE FORMAN DOS RECTAS

Dadas dos rectas r y s secantes, se cortan formando cuatro ángulos, iguales dos a dos.

Se llama bisectriz de cada uno de ellos, al conjunto de puntos que equidistan de ambas rectas. Cada bisectriz, es pues una recta que divide al ángulo en dos ángulos exactamente iguales.

A los cuatro ángulos les corresponden dos bisectrices

b y b´ que son perpendiculares, ya que: Como b es la bisectriz de

α

, y b´ la de

β

⇒

      = = 2 b´) , ( 2 ) b, (

β

α

r r

⇒ (b,b´) = (b,r) + (r,b´)= 2 2 β α ₊ = = 2 2 2 β α β α _{+ =} +

= 900, (pues α+β = 1800)

Para calcular las ecuaciones de las bisectrices de dos rectas r≡ Ax+By+C =0 y 0

´ ´

´ + + =

≡ Ax B y C

s razonamos de la siguiente forma:

Como los puntos de cada bisectriz P(x, y) cumplen que d(P, r) = d(P, s), tendremos que

2 ´ 2 ´ 2 2 ´| ´ ´ | | | B A C y B x A B A C By Ax + + + = + + + _⇔ 2 ´ 2 ´ 2 2 ´ ´ ´ B A C y B x A B A C By Ax + + + ± = + + +

Por tanto una bisectriz tendrá de ecuación b ≡

2 ´ 2 ´ 2 2 ´ ´ ´ B A C y B x A B A C By Ax + + + = + + + ,

Y la otra bisectriz tendrá de ecuación b´≡

2 ´ 2 ´ 2 2 ´ ´ ´ B A C y B x A B A C By Ax + + + − = + + +

Observación: Las tres bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto llamado

incentro del triángulo, que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo. EJERCICIO:

Halla las bisectrices de los ángulos determinado por las rectas r≡2x+y−3=0, y 0

4

2 − =

+

≡ x y