Teorema de Factorización de Weierstrass

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(1)Teorema de Factorización de Weierstrass. Jeisson David Bustos Rivera. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2018.

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(3) Teorema de Factorización de Weierstrass. Jeisson David Bustos Rivera. Monografı́a o trabajo de grado presentada(o) como requisito parcial para optar al tı́tulo de: Matemático. Director(a): Milton del Castillo Lesmes Acosta. Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Bogotá, Colombia 2018.

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(5) Dedicado a. Salome.. Te has convertido en un ángel, y como lo fuiste en vida, seguirás iluminando el camino de todos hacia lo mejor que nos espera en la vida, nuestra propia felicidad. Espero que podamos reencontrarnos algún dı́a y contarte cuánto bien nos dejaste..

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(7) Agradecimientos Agradezco principalmente a mi Director de tesis, el Doctor Milton del Castillo Lesmes Acosta, por confiar en mi, por asesorarme en la elección, elaboración y desarrollo del presente trabajo. Agradezco también a mis padres por cada dı́a brindarme su confianza y apoyo, ası́ como también las herramientas necesarias para realizar este trabajo. A mis hermanos, por estar pendientes de mi en todo momento y brindarme cosas invaluables en mi vida, asi como también la motivación de estudiar y realizar este trabajo de grado. A mi padrino, por ser un amigo en mi vida y aconsejarme a tal punto de ser la persona que soy. Por úlimo pero no menos importante agradezco a mis compañeros, en especial a Milena por apoyarme, darme siempre los mejores consejos y motivación..

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(9) ix. Resumen En este trabajo se definira principalmente una función entera ası́ como también los ceros que esta posee, esto con el fin de a través del Teorema Fundamental del Algebra generalizar la teoria de polinomios a una función entera y pensar si esta puede ser factorizada. La respuesta a esa pregunta es el Teorema de Factorización de Weierstrass que nos permetira factorizar dicha función ubicando los ceros. Por último veremos este hecho aplicado a una función entera dada. Palabras Clave: Función Entera, Ceros de una Función, Producto Infinito.. Abstract In this paper, we will mainly define an entire function as well as the zeros that it allows, this with the purpose of using the Fundamental Theorem of Algebra to generalize the theory of polynomials to an entire function and to think if it can be factored. The answer to that question is the Weierstrass factorization theorem that will allow us to factor the location function of zeros. Finally, this fact applies to a given whole function. Keywords: Entire Function, Zeros of a Function, Infinite Product..

(10) x. Introducción Tal como se vera en el Teorema 2 del capı́tulo 1, Una función analı́tica o más aún entera puede ser considerada como un polinomio de grado infinito. Por lo tanto surge la siguiente pregunta Puede la teorı́a de polinomios ser generalizada a una función entera?. Por ejemplo, una función entera puede ser factorizada?. La idea de este trabajo es dar respuesta a esas preguntas usando y generalizando resultados del curso de variable compleja. Los productos infinitos, como su nombre sugiere, deben entenderse en paralelo a las series numéricas, pero cambiando sumas por productos parciales. Constituyen una herramienta fundamental en en análisis complejo, donde el célebre Teorema de Factorización de Weierstrass, permite representar toda función entera como producto infinito identificando claramente sus ceros. Iniciaremos este estudio en el capitulo 1, donde se recordaran algunas definiciones para ası́ entrar en contexto con las funciones analı́ticas y enteras. Una vez definidas estas se presentaran teoremas de suma importancia que seran utilizados en capitulos posteriores. Por último en este capitulo veremos los ceros y polos de una función analı́tica para ası́ tener ya las herramientas necesarias para abordar nuestra temática principal. En el capitulo 2 se observaran primero productos infinitos de números complejos, principalmente su convergencia y como obtener esta mediante la relación que tiene con las series numéricas. Una vez se este familiarizado con el concepto de producto infinito para números complejos el siguiente paso es hacer productos infinitos de funciones, esto se vera en la sección 2.2. Por último en el capitulo 3 definiremos los factores elementales de Weierstrass, que nos servirán para escribir el producto de los infinitos ceros de una función de manera que dicho producto sea uniformemente convergente. El Teorema de factorización de Weierstrass será precisamente el que nos permita construir, a partir de los ceros de una función entera y usando los factores elementales de Weierstrass, un producto infinito que convergerá uniformemente hacia la función original y que nos servirá como representación de la misma. Su utilidad esta en hacer explı́citos los ceros de la función y precisamente veremos este hecho aplicando el Teorema de factorización de Weierstrass a la función sin(πz)..

(11) xi. Objetivo General Extender el Teorema Fundamental del Algebra a funciones enteras, de tal manera que dichas funciones puedan ser representadas mediante un producto infinito localizando sus ceros.. Objetivos Especificos 1. Observar la convergencia uniforme de productos infinitos de funciones analı́ticas. 2. Determinar bajo que condiciones la representación mediante un producto infinito de una función entera sera válida. 3. Hallar la representación (mediante el Teorema de Factorización de Weierstrass) de una función entera dada localizando sus ceros..

(12) Contenido Agradecimientos. VII. Resumen. X. 1 Preliminares 1.1 Definiciones Previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Función Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ceros y Polos de una Función Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2 2 5 13. 2 Productos Infinitos 2.1 Productos Infinitos de Números Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Productos Infinitos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17 17 23. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass 3.1 Teorema de Factorización de Weierstrass . . 3.2 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Factorización de la Función Sin(πz) 3.2.2 Formula de Wallis . . . . . . . . . . .. 26 26 32 32 37. Bibliografı́a. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 40.

(13) 1 Preliminares En este capitulo se estudiaran algunos resultados importantes de variable compleja que se usaran en el transcurso de esta monografia. Entre dichos resultados veremos la convergencia uniforme de una sucesión de funciones analı́ticas, su representación en serie de potencias y por último todo lo relacionado respecto a los ceros de dicha función. Las referencias principales para el desarrollo de este capı́tulo son [1], capı́tulo 5-pág 173-177, pág 186. [2], capı́tulos 2-pág 35-55, 5-pág 181-189 y 6-pág 249-256. [3], capı́tulos 3-pág 30-43 y 4-pág 68-79.. 1.1.. Definiciones Previas. Definición 1. Sea S un conjunto de números complejos. Una función f definida sobre S es una regla que asigna a cada z ∈ S un número complejo w. El número w se llama el valor de f en z y se denota por f (z); esto es w = f (z). El conjunto S se llama dominio de definición de f . Definición 2. Sea f una función definida en todos los puntos z de un entorno abierto de z0 . La afirmación de que el limite de f (z), cuando z tiende a z0 , es un número w0 , es decir lı́m f (z) = w0. z→z0. significa que el punto w = f (z) puede hacerse tan próximo como se quiera al w0 si escogemos el punto z suficientemente cercano al z0 , pero distinto de él. Lo anterior significa que, para cada número positivo , existe un número positivo δ tal que |f (z) − w0 | < . siempre que 0 < |z − z0 | < δ. Proposición 1. Suponga que f (z) = u(x, y) + iv(x, y). con. z = x + iy. y z0 = x0 + iy0 , w0 = u0 + iv0.

(14) 1.1 Definiciones Previas. 3. Entonces lı́m f (z) = w0. z→z0. si y solo si lı́m (x,y)→(x0 ,y0 ). u(x, y) = u0 y. lı́m (x,y)→(x0 ,y0 ). v(x, y) = v0. Demostración. Ver [2], página 48. Proposición 2. Suponga que lı́m f (z) = w0 y. z→z0. lı́m F (z) = W0. z→z0. entonces lı́mz→z0 [f (z) + F (z)] = w0 + W0 lı́mz→z0 [f (z)F (z)] = w0 W0 Si W0 6= 0, lı́mz→z0. f (z) F (z). =. w0 W0. Demostración. Ver [2], Página 50. Definición 3. Sea S ⊂ C un conjunto y {fn } una sucesión de funciones fn : S → C y sea también f una función de S en C. Decimos que la sucesión {fn } converge puntualmente a f en S si, para todo s ∈ S, la sucesión {fn (s)} converge a f (s): f (s) = lı́m fn (s) n→∞. Y entonces ecribiremos fn → f (puntualmente). Esto en detalle nos dice que, para cada s ∈ S y cada  > 0 existe N ∈ N tal que |fn (s) − f (s)| <  siempre que n ≥ N Es fundamental observar que la selección de N se hace luego de conocer s y  de modo que N depende de ambos. Definición 4. Sea S ⊂ C un conjunto y {fn } una sucesión de funciones. Sea S ⊂ C un conjunto y {fn } una sucesión de funciones de S en C y f : S → C. Decimos que la sucesión {fn } converge uniformemente a f en S si para cada  > 0 existe N ∈ N tal que |fn (s) − f (s)| <  si n > N y s ∈ S Decimos que f es el lı́mite uniforme de {fn } y que fn → f uniformemente en S. Es importante observar que en este caso el valor de N es el mismo para todo s ∈ S..

(15) 4. 1 Preliminares. Definición 5. Una función f es continua en un punto z0 si lı́m f (z) = f (z0 ). z→z0. Es decir, para cada número positivo  existe un número positivo δ tal que |f (z) − f (z0 )| <  si |z − z0 | < δ Una función de una variable compleja se dice que es continua en una región R si lo es en todos sus puntos. Proposición 3. La función lı́mite de una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas es continua. Demostración. Supongamos que las funciones fn (x) son funciones continuas y tienden uniformemente a f (x) en E. Sea x0 ∈ E y elijamos  > 0. Por la convergencia uniforme existe n ∈ N tal que |fn (x) − f (x)| < 3 en E. Además puesto que fn (x) es continua, podemos hallar δ > 0 tal que |fn (x) − f (x0 )| < 3 siempre que x ∈ E y |x − x0 | < δ. Entonces. |f (x) − f( x0 )| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x) − fn (x0 )| + |fn (x0 ) − f (x0 )|    < + + 3 3 3 = . Definición 6. Si G es un subconjunto abierto de C y f : G → C, diremos que f es diferenciable en el punto a ∈ G si existe f (a + h) − f (a) h→0 h lı́m. El valor de este limite es denotado por f 0 (a) y es llamado la derivada de f en a. Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable sobre G. Note que si f es diferenciable en G, entonces f 0 (a) define una función f 0 : G → C, si f 0 es continua diremos que f es continuamente diferenciable. Proposición 4. Si f 0 : G → C es diferenciable en el punto z0 ∈ G, entonces f es continua en z0 ..

(16) 1.2 Función Analı́tica. 5. Demostración. h lı́m |f (z) − f (z0 )| = lı́mz→z0. z→z0. |f (z)−f (z0 )| |z−z0 |. i. lı́mz→z0 |z − z0 |. = |f 0 (z0 )| ∗ 0 =0. Note que la continuidad de una función en un punto no implica la existencia de la derivada en ese punto.. 1.2.. Función Analı́tica. Definición 7. Una función compleja f : G → C es analı́tica en un punto x0 de su dominio si existe una serie de potencias centrada en x0 ∞ X. an (x − x0 )n. n=0. que converge en un entorno U ⊂ C de x0 y que coincide con la función en dicho entorno f (z) =. ∞ X. an (x − x0 )n para cada x ∈ U. n=0. Otra forma de definir una función analı́tica es la siguiente, una función f : G → C es analı́tica si f es continuamente diferenciable en G. Se sigue como en el calculo que la suma y el producto de dos funciones analı́ticas son analı́ticas, además si f y g son analı́ticas sobre G y G1 es el conjunto de puntos de G donde g no sea nula, entonces f /g es analı́tica en G. Proposición 5. (Regla de la Cadena) Sean f y g funciones analı́ticas en G y V respectivamente, supongamos que f (G) ⊂ V entonces g ◦ f es analı́tica en G y además (g ◦ f )0 (z) = g 0 (f (z))f 0 (z);. ∀z ∈ G. Demostración. Ver [3], página 34 Proposición 6. Supongamos que fn (z) es analı́tica en la región Ωn y que la sucesión {fn (z)} converge a una función lı́mite f (z) en una región Ω, uniformemente en todo subconjunto compacto de Ω. Entonces f (z) es analı́tica en Ω. Demostración. Ver [1], Página 174..

(17) 6. 1 Preliminares. Definición 8. Una sucesión infinita z1 , z2 , ..., zn , ... de números complejos tiene limite z si, para cada número positivo , existe un entero positivo n0 tal que |zn − z| <  siempre que n > n0 Proposición 7. Suponga que zn = xn + iyn (n = 1, 2, ...) y z = x + iy. Entonces lı́m zn = z. (1-1). n→∞. si y solo si lı́m xn = x y. n→∞. lı́m yn = y. n→∞. (1-2). Demostración. Asumiendo primero (1-2). Para cada  > 0 existen enteros n1 y n2 tales que  siempre que n > n1 2  |yn − y| < siempre que n > n2 2 Tomando n0 = max{n1 , n2 } entonces |xn − x| <. |(xn + iyn ) − (x + iy)| = |(xn − x) + i(yn − y)| ≤ |xn − x| + |yn − y|   = + 2 2 =  Siempre que n > n0 . Asumamos ahora (1-1). Para cada  > 0 existe un entero positivo n0 tal que |(xn + iyn ) − x + iy)| <  siempre que n > n0 Pero |xn − x| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn ) − x + iy)| y |yn − y| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn ) − x + iy)| Luego |xn − x| <  y |yn − y| <  siempre que n > n0 ..

(18) 1.2 Función Analı́tica. 7. P Definición 9. Una serie infinita ∞ suma S si la n=1 zn de números complejos converge a laP PN sucesión sN = n=1 zn de sumas parciales converge a S, entonces escribiremos ∞ n=1 zn = S. Pm Es decir, para cada  > 0 existe un número natural N tal que | n=1 zn − S| <  siempre que m ≥ N . Proposición 8. Suponga que zn = xn + iyn (n=1,2,...) y S = X + iY . Entonces ∞ X. zn = S. n=1. si y solo si ∞ X. xn = X y. n=1. ∞ X. yn = Y. n=1. Demostración. Ver [2], página 185. P∞ P z converge absolutamente si Definición 10. La serie ∞ n n=1 |zn | converge. n=1 P∞ P Proposición 9. Si ∞ n=1 zn converge. n=1 zn converge absolutamente entonces Demostración. Ver [3], página 30. ∞ Definición 11. Sea {an }∞ n=0 una sucesión en C, la serie de potencias de coeficientes {an }n=0 y centro z0 es la serie funcional. ∞ X. an (z − z0 )n. n=1. Proposición 10. Dada una serie de potencias 0 ≤ R ≤ ∞, por. P∞. n=1. an (z − z0 )n se define el número R,. 1 = limsup |an |1/n R El cual cumple: 1. Si |z − z0 | < R, la serie converge absolutamente. 2. Si |z − z0 | > R, los terminos de la serie dejan de ser acotadas y la serie diverge. 3. Si 0 < r < R entonces la serie converge uniformemente en {z : |z| ≤ r}.

(19) 8. 1 Preliminares. El número R es el único número con las propiedades 1. y 2. El número R es llamado radio de convergencia de la serie de potencias. Demostración. Ver [3], página 31. Teorema 1. (Formula Integral de Cauchy) Sea f analı́tica en una región que contiene a una curva simple cerrada c y a su interior, entonces para cada punto z0 encerrado por c 1 f (z0 ) = 2πi. Z. f (z) dz z − z0. c. f (z) Demostración. La función z−z es analı́tica en todos los puntos del interior de la curva c 0 excepto z0 , por lo tanto si cr es un circulo de radio r centrado en z0 entonces. Z. f (z) dz = z − z0. c. Z cr. f (z) dz z − z0. Ahora basta probar que Z cr. f (z) dz = z − z0. Z cr. f (z0 ) dz z − z0. Debido a que Z f (z0 ) cr. 1 dz = 2πif (z0 ) z − z0. Veamos entonces que Z cr. f (z) dz − z − z0. Z cr. Z f (z0 ) f (z) − f (z0 ) dz = dz z − z0 z − z0 cr = 0. Dado que f (z) es continua en z0 , para cada  > 0 existe δ > 0 tal que |f (z) − f (z0 )| <  siempre que |z − z0 | < δ, ası́ que si r < δ entonces Z | cr. f (z) − f (z0 ) dz| ≤ z − z0. f (z) − f (z0 ) dz| z − z0 cr Z |f (z) − f (z0 )| = dz |z − z0 | cr 2πr ≤ r = 2π Z. |.

(20) 1.2 Función Analı́tica. 9. Escogiendo  lo suficientemente pequeño, 2π → 0. Luego Z cr. Z f (z0 ) f (z) dz = dz z − z0 cr z − z0 = f (z0 )2πi. Si cr := |z − z0 | = r Teorema 2. Sea f analı́tica en B(z0 ; R); entonces f (z) = donde. an =. P∞. n=1. an (z −z0 )n para |z −z0 | < R. 1 (n) f (z0 ) n!. y la serie tiene radio de convergencia mayor igual que R. El teorema anterior nos dice que funciones analı́ticas se pueden considerar como polinomios de grado infinito. Corolario 1. Si f : G → C es analı́tica y z0 ∈ G entonces. f (z) =. ∞ X. an (z − z0 )n. n=1. para |z − z0 | < R, donde R = d(z0 , δG).. Ejemplo. Sea exp(z), la función exponencial. Es claro que si f (z) = exp(z), todas sus derivadas valen 1 en z0 = 0. De este modo por la proposición anterior. exp(z) =. ∞ X zn n=0. n!. ;. |z| < ∞. Ejemplo. Tomemos la función f (z) = sin(z), de este modo las derivadas de la función son sin(z), cos(z), −sin(z), −cos(z), sin(z), ..., evaluadas en z0 = 0 toman los valores 0,1,0,-1,0,..., por lo tanto la representación de la función en serie de potencias tendra solo potencias impares, ası́ ∞ X (−1)n 2n+1 sin(z) = z ; (2n + 1)! n=0. |z| < ∞.

(21) 10. 1 Preliminares. Ejemplo. Tomemos ahora la función log(z), se desarrollara alrededor de z0 = 1, al desarrollar las derivadas de la función, evaluandolas en z0 = 1 y por último haciendo el cociente con su espectivo n-esimo factorial los respectivos valores son 0,1,-1/2,1/3,-1/4,1/5,... por lo tanto la representación en serie de potencias esta dada por. log(z) =. ∞ X (−1)n−1. n. n=1. (z − 1)n. Ahora bien si sustituimos z por 1 + z obtenemos la siguiente expresión. log(1 + z) =. ∞ X (−1)n−1. n. n=1. zn. y es convergente en el disco |z| < 1. Corolario 2. Si f : G → C es analı́tica entonces f es infinitamente diferenciable. Corolario 3. Si f : G → C es analı́tica y D(z0 ; r) ⊂ G entonces. f. (n). n! (z0 ) = 2πi. Z γ. f (z) dz; n = 0, 1, 2, ... (z − z0 )n+1. donde γ(t) = a + reit , 0 ≤ t ≤ 2π Teorema 3. (Desigualdad o Estimativa de Cauchy) Si f es analı́tica dentro y sobre un circulo CR orientado positivamente con centro en z0 y radio R. Si MR es el maximo valor de |f (z)| sobre CR entonces. |f (n) (z0 )| <. n!MR ; n = 1, 2, ... Rn. Demostración. |f. (n). Z n! f (z) (z0 )| = | dz| 2πi CR (z − z0 )n+1 Z n! f (z) dz| | = 2πi CR (z − z0 )n+1 Z n! f (z) ≤ | |dz 2πi CR (z − z0 )n+1.

(22) 1.2 Función Analı́tica. 11. Ahora bien. |. f (z) |f (z)| | = n+1 (z − z0 ) |(z − z0 )n+1 | MR ≤ Rn+1. De donde n! 2πi. Notese que. R CR. Z. Z MR f (z) n! | |dz ≤ dz n+1 2πi CR Rn+1 CR (z − z0 ) Z n! MR dz = 2πi Rn+1 CR n! MR = 2πR 2πi Rn+1 n!MR = Rn. dz = 2πR debido a que corresponde a la longitud de arco.. Definición 12. Una función entera es una función definida y analı́tica en todo el plano complejo C. Teorema 4. (Teorema de Liouville) Si f es una función entera y acotada en el plano entonces f es constante en el plano. Demostración. Como f es entera y acotada podemos aplicar la estimativa de Cauchy para el caso n = 1. Esto es para un circulo con centro en z0 y radio R se tiene |f 0 (0)| ≤. MR R. Donde MR es el maximo valor de f (z) para todo z ∈ CR . El sentido de ser acotada en todo el plano nos indica que existe M > 0 tal que |f (z)| ≤ M para todo z del plano pero por otro lado como MR es el mayor valor de f (z) sobre CR se tiene |f (z)| ≤ MR , MR ≤ M . Ası́ |f 0 (z0 )| ≤. MR M ≤ R R.

(23) 12. 1 Preliminares. Haciendo tender R → ∞ se tiene: M R→∞ R. lı́m |f 0 (z0 )| ≤ lı́m. R→∞. Con lo que |f 0 (z0 )| = 0, luego f es constante. Teorema 5. (Teorema Fundamental del Algebra) Si p(z) es un polinomio no constante entonces existe un número complejo z0 tal que p(z0 ) = 0. Demostración. Supongamos que p(z) 6= 0 para cualquier z del plano, entonces f (z) = es entera y acotada.. 1 p(z). Veamos que f (z) es acotada. 1. En el exterior de |z| ≤ R Si p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , diviendo por z n tenemos. a0 a1 p(z) = n + n−1 + · · · + an n z z z llamando. w=. a0 a1 an−1 p(z) = n + n−1 + · · · + n z z z z. (1-3). entonces p(z) = (an + w)z n . Podemos encontrar un número R > 0 suficientemente grande para que el módulo de cada uno de los cocientes de (1.3) sea menor que |a2nn | para |z| ≥ R, ası́. p(z) a0 a1 an−1 = n + n−1 + · · · + | n z z z z a0 a1 an−1 ≤ | n | + | n−1 | + · · · + | | z z z |an | |an | |an | < + + ··· + 2n 2n 2n |an | = 2. |w| = |.

(24) 1.3 Ceros y Polos de una Función Analı́tica. 13. Por consiguiente, cuando |z| ≥ R. |an + w| ≥ ||an | − |w|| >. |an | 2. nos permite escribir |p(z)| = |an + w||z|n |an | n |z| > 2 |an | n ≥ R 2 1 = |an2|Rn , siempre que |z| ≥ R. Ası́ pues f es De lo anterior claramente |f (z)| = |p(z)| acotada en la región exterior al disco |z| ≤ R.. 2. Como f es continua en el disco cerrado |z| ≤ R, también es acotada en él, es decir que existe una constante M > 0 tal que |f (z)| ≤ M . Por tanto f es acotada en todo el plano, de esto por el teorema de Liouville f (z) es constante y en consecuencia p(z), contradiciendo lo que hemos asumido.. Corolario 4. Todo polinomio p(z) complejo se factoriza como un producto de factores lineales. Demostración. Si p(z) tiene grado n ≥ 1, tendra una raiz z1 , ası́ que p(z) = (z−z1 )p1 (z) para un polinomio p1 (z) de grado n-1. Ahora p1 (z) tiene una raiz z2 , por tanto p1 (z) = (z−z2 )p2 (z) donde p2 (z) es un polinomio de grado n-2. Continuando inductivamente p(z) = k(z − z1 )(z − z2 ) · · · (z − zn ) donde k es una constante.. 1.3.. Ceros y Polos de una Función Analı́tica. Definición 13. Si f es una función analı́tica en un punto z0 , todas las derivadas f (n) (z0 ) (n=1,2,...) existen en z0 . Si f (z0 ) = 0 y existe un entero positivo m tal que f (m) (z0 ) 6= 0 y todas la derivadas de orden menor que m son nulas en z0 , se dice que f tiene un cero de orden m en z0 . Notaremos también como L(f ) al conjunto de todos los ceros de f ..

(25) 14. 1 Preliminares. Proposición 11. Si una función f analı́tica en z0 tiene un cero de orden m en z0 entonces existe una función g analı́tica y no nula en z0 , tal que. f (z) = (z − z0 )m g(z) Demostración. Supongamos que f tiene en z0 un cero de orden m, además por ser f analı́tica en algún entorno |z − z0 | <  de z0 , f tiene una representación en serie de potencias, ası́ ∞ X f (n) (z0 ) f (z) = (z − z0 )n n! n=m. f (m) (z0 ) f (m+1) (z0 ) (z − z0 )m + (z − z0 )m+1 + · · · m! (m + 1)!   (m) (z0 ) f (m+1) (z0 ) m f + (z − z0 ) + · · · = (z − z0 ) m! (m + 1)! =. Llamando g(z) =. f (m) (z0 ) m!. +. f (m+1) (z0 ) (z (m+1)!. − z0 ) + · · · , entonces f toma la forma. f (z) = (z − z0 )m g(z) La convergencia de la serie garantiza que g es analı́tica y además. g(z0 ) =. f (m) (z0 ) 6= 0 m!. ya que f (m) 6= 0 por tener f un cero de orden m en z0 . Definición 14. Sea G ⊂ C abierto, definimos H(G) como el conjunto de todas las funciones analı́ticas sobre G. Proposición 12. Sea G un subconjunto abierto y conexo de C. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes 1. G es simplemente conexo. 2. Dada f ∈ H(G) tal que f (z) 6= 0 para todo z ∈ G, existe una función g ∈ G tal que f (z) = exp[g(z)]. Demostración. Ver [3], página 202..

(26) 1.3 Ceros y Polos de una Función Analı́tica. 15. Proposición 13. Sea G ⊂ C un abierto y f ∈ H(G) no identicamente nula, entonces el conjunto de sus ceros L(f ) cumple: 1. Es un conjunto de puntos aislados 2. No tiene puntos de acumulación en G, es decir L(f ) ∩ G = ∅ Demostración. 1. Sea z0 un cero de f , como f no es identicamente nula se tiene que existe k ≥ 1 tal que f (k) (z0 ) 6= 0. Sea n = min{k ∈ N; f (k) (z0 ) 6= 0} como la función f es analı́tica, se puede expresar en serie de potencias, es decir. f (z) =. ∞ X f (k) (z0 ) k=n. k!. (z − z0 )k. = (z − z0 )k g(z) donde g es continua en un cierto disco D(z0 , r) con r > 0 y tal que g(z0 ) 6= 0. Por la continuidad de g existe  > 0 tal que 0 <  < r y g 6= 0 en D(z0 ; ) por tanto D(z0 ; ) ∩ L(f ) = {z0 } de donde L(f ) es un conjunto de puntos aislados. 2. Supongamos que existe z0 ∈ L(f )0 ∩ G, entonces existe {ak } tal que ak → z0 y por la continuidad de f se tiene que f (ak ) → f (z0 ) luego f (z0 ) = 0 y por tanto z0 ∈ L(f ). Por otro lado para todo  > 0 existe k0 ∈ N tal que ak ∈ D(z0 ; ) para todo k ≥ k0 , lo cual es una contradicción pues los ceros de f son aislados. Proposición 14. Sean dos funciones f, g ∈ H(G) con G ⊂ C tales que tienen los mismos ceros con las mismas multiplicidades, entonces el cociente fg ∈ H(G). Demostración. Basta ver que fg es analı́tica en un entorno de cada cero de g. Sea z0 ∈ L(g) = L(f ) entonces f y g se pueden reescribir como f (z) = f¯(z − z0 )m g(z) = ḡ(z − z0 )m donde f¯ y ḡ son analı́ticas en G, no nulas en D(z0 ; ) para algún entorno de z0 . Entonces f f¯ = g ḡ de donde el cociente resulta ser analı́tica en D(z0 ; ). Por tanto z0 es una singularidad removible de fg ..

(27) 16. 1 Preliminares. Definición 15. Sea G ⊂ C abierto, sea z0 ∈ G y f : G − {a} → C una función analı́tica en G − {z0 }. Si existe una función analı́tica g : G → C en G y un número natural n tal que. f (z) =. g(z) (z − z0 )n. para todo z0 ∈ G − {z0 }, entonces llamamos a z0 polo de f . Proposición 15. Sea {bn } una sucesión de números complejos con lı́mn→∞ bn = ∞, y sean Pn (ζ) polinomios sin término constante. Existen entonces funciones enteras con polos en los puntos bn y partes singulares correspondientes Pn [1/(z − bn )]. Además la función entera más general de esta clase puede escribirse en la forma. f (z) =. ∞  X n=1.  Pn. 1 z − bn. .  − pn (z) + g(z). Donde los puntos pn (z) son polinomios fijos escogidos adecuadamente y g(z) es una función entera. Demostración. Ver [1], página 185..

(28) 2 Productos Infinitos En este capı́tulo se presentarán los productos infinitos de números complejos, principalmente se estudiara la relación que estos tienen con la series númericas, esto con el fin de dar una noción de convergencia ası́ como también condiciones necesarias y suficientes para que se de la convergencia de estos. Una vez se haya tratado todo lo relacionado con los productos infinitos de números complejos usaremos esta teorı́a para tratar los productos infinitos de funciones, nos interesaran aqui funciones continuas y analı́ticas para ver ası́ la convergencia de estas en un producto infinito. Las principales referencias para abordar este capı́tulo son [1], capı́tulo 4-página 194-196. [3], capı́tulo 7-página 164-167. [4], capı́tulo 2-página 490-492.. 2.1.. Productos Infinitos de Números Complejos. Q Definición 16. Si {zn } es una sucesión de números complejos y si z = nk=1 zk existe, enQ tonces z es el producto infinito de los números zn y este es denotado por z = ∞ k=1 zk . Dicho producto se calcula tomando el lı́mite de los productos parciales pk = z1 z2 · · · zk , se dice que converge al valor z = lı́mk→∞ pk si este lı́mite existe y es diferente de cero. Existe una razón para excluir al cero. Si se admitiese el valor cero para z, cualquier producto infinito con un factor cero seria convergente y la convergencia no dependeria de toda la sucesión de factores. Por otro lado se desea expresar una función como producto infinito y eso tiene que ser posible aún cuando la función tenga ceros. Esto nos lleva a la siguiente definición. Q Definición 17. Se dice que el producto ∞ n=1 zn converge si y solo si a lo sumo son cero un número finito de factores y si los productos parciales formados por los factores que no se anulan tienden a un lı́mite finito diferente de cero. Q Proposición 16. Si un producto ∞ n=1 zn es convergente, entonces lı́mn→∞ zn = 1. Q Q Demostración. Sea pn = nk=1 zk para n ≥ 1, como ∞ n=1 zn es convergente digamos al valor z, pn sera distinto de cero..

(29) 18. 2 Productos Infinitos. Ahora bien es claro que pn = zn pn−1 de donde, haciendo tender n hacia infinito a ambos lados de la ecuación. 1 = lı́m zn n→∞. pn Notese que lı́mn→∞ pn−1 = lı́mn→∞ zz = 1, además en vista de la definición 17, la proposición Q 16 a su vez es una condición necesaria pero no suficiente de la convergencia de ∞ n=1 zn . Q Proposición 17. Si Re(zn ) > 0 para todo n ≥ 1 entonces el producto infinito ∞ n=1 zn P∞ converge si y solo si la serie infinita n=1 Log(zn ) converge, en ese caso. ∞ Y n=1. zn = exp. ∞ X. ! Log(zn ). (2-1). n=1. Demostración. Sea pn = z1 z2 · · · zn y sn = Log(z1 ) + Log(z2 ) · · · + Log(zn ) entonces exp(sn ) = exp(Log(z1 ) + Log(z2 ) · · · + Log(zn )) = exp(Log(z1 ))exp(Log(z2 )) · · · exp(Log(zn )) = z1 z2 · · · zn = pn P Supongamos primero que la serie ∞ converge, digamos al a s, entonces n=1 Log(zn ) Q pn = exp(sn ) → exp(s) cuando n → ∞, es decir ∞ n=1 zn converge y (2-1) se cumple. Q Para mostrar lo contrario, supongamos ahora que el producto infinito ∞ n=1 zn converge, digamos a p. Por definición p ≥ 0. Para los fines de la prueba supongamos que p no es un punto del eje real negativo. NOTA Si p esta en el intervalo (−∞, 0), consideramos en lugar de {zn } una nueva sucesión Q {wn }; nombrando w1 = −z1 y wn = zn , para n 6= 2. Entonces ∞ n=1 wn = −p no pertenece a (−∞, 0). P P∞ Las dos series ∞ n=1 Log(zn ) y n=1 Log(wn ) difieren solo en su primer término, por tanto convergen o divergen juntas..

(30) 2.1 Productos Infinitos de Números Complejos. 19. Por lo tanto podemos asumir que la función logaritmo principal es continua en p. Ahora ya que pn → p, se concluye que log(pn ) → Log(p). La relación exp(sn ) = pn caracteriza sn como un logaritmo de pn , es decir sn = Log(pn ). Desafortunadamente, sn no necesita ser el logaritmo principal de pn . Podemos, sin embargo, expresar este número de la forma sn = Log(pn ) + 2kn πi para algún entero kn . La convergencia de. Q∞. n=1 zn. implica que zn → 1 cuando n → ∞ debido a la proposición 16.. Ahora de la expresión dada para sn , vemos que kn =  lı́m (kn+1 − kn ) =. n→∞. = = = = =. lı́m. n→∞. sn −Log(pn ) 2πi. en consecuencia. sn+1 − Log(pn+1 ) sn − Log(pn ) − 2πi 2πi. . 1 lı́m (sn+1 − Log(pn+1 ) − sn + Log(pn )) 2πi n→∞ 1 lı́m (Log(zn+1 ) − Log(pn+1 ) + Log(pn )) 2πi n→∞ i 1 h lı́m Log(zn+1 ) − lı́m Log(pn+1 ) + lı́m Log(pn ) n→∞ n→∞ 2πi n→∞ 1 (Log(1) − Log(p) + Log(p)) 2πi 0. Ya que cada kn es un entero, existe n0 y k tales que km = kn = k para m, n ≥ n0 . Con esto que sn = Log(pn ) + 2kn πi → Log(p) + 2kπi cuando n → ∞, para algún entero k. P En otras palabras la serie ∞ y su suma es Log(p) + 2kπi para algún n=1 Log(zn ) converge P∞ entero k. observando ası́ que la convergencia de n=1 Log(zn ) garantiza (2-1). En la proposición 16 se vio que en un producto convergente el factor general zn tiende a 1 omitiendo los factores nulos. Como consecuencia de este hecho nace la siguiente definición para productos infinitos. Definición 18. Suponga que {zn } es una sucesión de números complejos. pn = (1 + z1 )(1 + z2 ) · · · (1 + zn ) y p = lı́mn→∞ pn existe..

(31) 20. 2 Productos Infinitos. Entonces escribiremos. p=. ∞ Y. (1 + zn ). n=1. De manera que zn → 0 cuando n → ∞ sea una condición necesaria pero no suficiente para la convergencia. Vemos este hecho mediante un simple ejemplo.. Ejemplo Sea {zn } = {1, 1/2, 1/3, ...}, es claro que zn → 0 cuando n → ∞ pero el producto infinito  Q∞ 1 n=1 1 + n = 2 ∗ 3/2 ∗ 4/3 ∗ · · · diverge a +∞ Q∞ P Proposición 18. Si la serie ∞ n=1 (1 + zn ) n=1 |Log(1 + zn )| converge entonces el producto es convergente. P∞ Demostración. Dado que n=1 |Log(1 + zn )| converge, se tiene por la proposición 9 que P∞ + z ) converge también, de este modo haciendo uso de la proposición 17, el n=1 Log(1 Q∞ n producto n=1 (1 + zn ) sera convergente. Se mostrara ahora un resultado importante que sera utilizado en un proposición posterior. Para |z| < 1 como se vio en el capitulo 1, tenemos. Log(1 + z) =. ∞ X (−1)n−1 n=1. n. zn = z −. z2 z3 + − ··· 2 3. Ahora bien Log(1 + zn ) Log(1 + z) = lı́m n→∞ z→0 zn z lı́m. llamando f (z) = Log(1 + z) y g(z) = z, vemos que f 0 (z) = aplicando la regla de L’Hopital 1. Log(1 + z) = lı́m 1+z z→0 z→0 1 z = 1 lı́m. 1 1+z. y g 0 (z) = 1, con lo que.

(32) 2.1 Productos Infinitos de Números Complejos. 21. Entonces. |1 −. Si además |z| <. 1 2. Log(1 + z) z z2 | = |1 − + − ···| z z 2z 1 1 = | z − z2 + · · · | 2 3 1 ≤ (|z| + |z|2 + · · · ) 2 1 |z| = 2 1 − |z|. entonces. |1 −. 1 Log(1 + z) |≤ z 2. Resolviendo este valor absoluto tendremos. 1 Log(1 + z) 1 − ≤1− ≤ 2 z 2 Log(1 + z) 3 1 ≤− ≤ 2 z 2. 1 3 |z| ≤ |Log(1 + z)| ≤ |z| 2 2. (2-2). P Proposición 19. Si Re(zn ) > −1 entonces la serie ∞ n=1 Log(1+z) converge absolutamente P∞ si y solo si la serie n=1 zn converge absolutamente. P 1 Demostración. Si ∞ n=1 |zn | converge entonces zn → 0; ası́ eventualmente |z| < 2 . P∞ Por (2-2) n=1 |Log(1 + zn )| es dominada por una serie convergente, y esta debe converger también. P Por otro lado si ∞ para un n=1 |Log(1 + zn )| converge, entonces zn → 0, de esto se sigue que P∞ 1 n lo suficientemente grande |z| < 2 y nuevamente haciendo uso de (2-2) la serie n=1 |zn | es dominada por una serie convergente y debe converger también. P Proposición 20. La serie ∞ n=1 zn converge absolutamente si y solo si el producto Q∞ n=1 (1 + |zn |) es convergente..

(33) 22. 2 Productos Infinitos. Demostración. Puesto que lı́mn→∞ zn = 0 se tiene que lı́mn→∞ |zn | = 0 y usando (2-2) nuevamente tenemos 1 3 |zn | ≤ |Log(1 + |zn |)| = Log(1 + |zn |) ≤ |zn | 2 2 P∞ Por lo tanto la convergencia de la serie n=1 |Log(1 + |zn |)| equivale a la convergencia de la P Q∞ serie ∞ n=1 = Log(1 + |zn |). Ası́ por la proposición 17 el producto infinito n=1 (1 + |zn |) es convergente.. Ejemplo Q Veamos un producto infinito ∞ n=1 (1 + zn ) que converge pero no converge absolutamente. Tomemos la sucesión {zn } = {1/2, −1/2, 1/3, −1/3, ...}. El producto no converge absolutamente ya que X. |zn | =. n6=0,1. X 1 | | n n6=0,1. ∞ X 1 | | = 2 n n=2 = ∞. Sin embargo, si converge pues Y. (1 + zn ) =. n6=0,1. = = = =. el. (1 +. P∞ 1 1 n=1 | (n+1)2 | = n=1 (n+1)2 < ∞   Q 1 producto ∞ converge. n=1 1 − (n+1)2. Ya que. P∞. 1 ) n n6=0,1      1 1 1 1 1+ 1− 1+ 1− ··· 2 2 3 3    1 1 1− 1− ··· 4 9  ∞  Y 1 1− 2 n n=2  ∞  Y 1 1− (n + 1)2 n=1 Y. juntando las proposiciones 18 y 19 se deduce que. Como en las series, no podemos decir que si un producto infinito converge absolutamente entonces este converge. Se ilustrara este hecho mediante el siguiente ejemplo..

(34) 2.2 Productos Infinitos de Funciones. 23. Ejemplo Q Si zn = −1 para todo n; entonces |zn | = 1 para todo n de donde ∞ |zn | = 1. Sin embarn=1Q Q∞ go n=1 zn = ±1 dependiendo si n es par o impar, de donde se sigue que ∞ n=1 zn no converge. El hecho ilustrado en el anterior ejemplo nos conlleva a la siguiente definición Q Definición 19. Si Re zn > 0 para todo n entonces el producto infinito ∞ n=1 zn s dice que P∞ converge absolutamente si la serie n=1 Log(zn ) converge absolutamente.. 2.2.. Productos Infinitos de Funciones. Ahora aplicaremos los resultados obtenidos en la sección anterior a la convergencia de productos de funciones. Una pregunta fundamental a responder es la siguiente. Suponga que {fn } es una sucesión de funciones en un conjunto X y fn (x) → f (x) uniformemente para x ∈ X; cuando exp(fn (x)) → exp(f (x)) uniformemente para x ∈ X. A continuación mostraremos una respuesta parcial. Proposición 21. Sea X un conjunto y sea f1 , f2 , ... funciones de X en C tales que fn (x) → f (x) uniformemente para x ∈ X. Si existe una constante a tal que Re(f (x)) ≤ a para todo x ∈ X entonces exp(fn (x)) → exp(f (x)) uniformemente para x ∈ X. Demostración. Dado que fn (x) → f (x) uniformemente, para δ > 0 existe n0 ∈ N tal que |fn (x) → f (x)| para todo x ∈ X y para n ≥ n0 . Ahora bien el hecho que que fn → f equivale a decir que fn − f → 0. Por otro lado si |z| < δ entonces lı́mz→0 ez = 1 por tanto, |ez − 1| < e−a para un  dado. De aqui que e−a > |exp[fn (x) − f (x)] − 1| exp[fn (x)] = | − 1| exp[f (x)] exp[fn (x)] − exp[f (x)] = | | exp[f (x)] |exp[fn (x)] − exp[f (x)]| = |exp[f (x)]|.

(35) 24. 2 Productos Infinitos. De donde |exp[fn (x)] − exp[f (x)]| < e−a |exp[f (x)]| < . Proposición 22. Sea (X, d) un espacio metrico compacto y sea {gn } una sucesión de funP∞ ciones continuas de X en C tales que n=1 gn converge absoluta y uniformemente para x ∈ X. Entonces el producto. f (x) =. ∞ Y. (1 + gn (x)). n=1. converge absoluta y uniformemente para x ∈ X. Además existe un entero n0 tal que f (x) = 0 si y solo si gn = −1 para algún n, 1 ≤ n ≤ n0 . P Demostración. Ya que ∞ n=1 gn converge absolutamente, en vista del argumento usado en la proposición 18, existe un entero n0 tal que |gn (x)| < 21 para todo x ∈ X y n > n0 . Esto implica por (2-2) que |log(1 + gn (x))| ≤ 23 |gn (x)| para todo x ∈ X y n > n0 . P Ası́ la serie ∞ n=1 log(1 + gn (x)) converge uniformemente digamos a la función h(x),para x ∈ X y n > n0 , es decir. h(x) =. ∞ X. log(1 + gn (x)). n=n0 +1. Dado que log(1 + gn (x)) es continuo para todo n > n0 y x ∈ X se sigue que h(x) es continua en X, además como X es compacto por el Teorema de Heine-Borel existe una constante a tal que Re(h(x)) < a para todo x ∈ X. Ahora haciendo uso de la proposición 21 tenemos ". ∞ X. exp[h(x)] = exp. # log(1 + gn (x)). n=n0 +1. = exp[log(1 + gn0 +1 (x))]exp[log(1 + gn0 +2 (x))] · · · = (1 + gn0 +1 (x))(1 + gn0 +2 (x)) · · · ∞ Y = (1 + gn (x)) n=n0 +1. Converge uniformemente para x ∈ X..

(36) 2.2 Productos Infinitos de Funciones. 25. Finalmente. f (x) =. ∞ Y. (1 + gn (x)). n=1. = [(1 + g1 (x))(1 + g2 (x)) · · · (1 + gn (x))]exp[h(x)] Ya que exp[h(x)] 6= 0 para todo x ∈ X, si f (x) = 0 entonces gn (x) = −1 para algún n con 1 ≤ n ≤ n0 . Proposición 23. Si G es un abierto conexo en C y sea {fn } una sucesión en H(G) tal que fn no es identicamente nula para todo n ∈ N, si ∞ X. [fn (z) − 1]. n=1. converge absoluta y uniformemente sobre conjuntos compactos de G, entonces ∞ Y. fn (z). n=1. converge en H(G) a una función analı́tica f (z). Si a es un cero de f , entonces a es un cero de solamente un número finito de funciones fn y la multiplicidad de a en f es la suma de las multiplicidades de los ceros de las funciones fn en a. P en subconjuntos Demostración. Ya que ∞ n=1 [fn (z) − 1] converge uniforme y absolutamente Q∞ compactos de G, se sigue por la proposición 22 que f (z) = n=1 fn (z) converge uniforme y absolutamente en subconjuntos compactos de G. Además por la proposición 6, f (z) es analı́tica, es decir, el producto infinito converge en H(G). Supongamos ahora que a es un cero de f , es decir, f (a) = 0 y sea r > 0 tal que D(a; r) ⊂ G. P Por hipotesis ∞ n=1 [fn (z) − 1] converge uniformemente en D(a; r). Luego por la proposición 11, existe n ∈ N tal que f (z) = f1 (z)f2 (z) · · · fn (z)g(z) Donde g(z) no se anula en D(a; r), ası́ bien si f (a) = 0 entonces fi (a) = 0 para algún 1 ≤ i ≤ n, es decir a es un cero de un número finito de de funciones fn y la multiplicidad de a en f sera la suma de las multiplicidades de fn en a..

(37) 3 Teorema de Factorización de Weierstrass Este capı́tulo se inicia definiendo los factores elementales de Weierstrass, los cuales nos permetiran el producto de los infinitos ceros de una función de tal manera que dicho producto sea absoluta y uniformemente convergente. El Teorema de Factorización de Weierstrass sera el que nos permita junto con los factores elementales de Weierstrass y los ceros de una función entera construir un producto infinito que converge uniformemente a la función entera dada y que además servira de representación de la misma. Ilustraremos los resultados presentados mediante una aplicación, es decir tomaremos como ejemplo la función sin(πz) y hallaremos su debida factorización usando el Teorema de Factorización de Weierstrass. Para dicho ejemplo se puede observar en las referencias [1], capı́tulo 4-página 195. [3], capı́tulo 7-página 175. [4], capı́tulo 2-página 497-498. Por último y aprovechando la factorización obtenida mostraremos que se satisface la Formula de Wallis y se analizara la convergencia de esta. Las principal referencia para el desarrollo de este capı́tulo es [3], capı́tulo 7-página 168-170.. 3.1.. Teorema de Factorización de Weierstrass. Si {an } es una sucesión en una región G sin puntos lı́mite (pero posiblemente algunos puntos pueden ser repetidos un número finito de veces), consideremos la función (z −an ), de acuerdo a la proposición 23 si podemos encontrar funciones gn (z) analı́ticas sin ceros en G, tal que ∞ X. |(z − an )gn (z) − 1|. n=1. converge uniformemente sobre conjuntos compactos de G, entonces la siguiente función. f (z) =. ∞ Y. (z − an )gn (z). n=1.

(38) 3.1 Teorema de Factorización de Weierstrass. 27. es analı́tica y tiene ceros solamente en los puntos z = an , el camino para asegurar que gn (z) nunca sea nula es expresarla como. gn (z) = exp[hn (z)] para alguna función analı́tica hn (z). Estas funciones gn (z) fueron estudiadas e introducidas por Weierstrass y seran el centro de atención en este capitulo. Definición 20. Un factor elemental de Weierstrass es una de las siguientes funciones Ep (z) para p = 1, 2, .... E0 (z) = 1 − z   2 z zp Ep (z) = (1 − z)exp z + + ··· ; p≥1 2 p Además Si a ∈ C y a 6= 0, entonces Ep ( az ) es analı́tica y tiene un único cero simple en z = a para p ≥ 1.  Si G ⊂ C y b ∈ C − G, entonces Ep a−b tiene un cero simple en z = a y es analı́tica z−b en G. Proposición 24. Si |z| ≤ 1 y p ≥ 0 entonces |1 − Ep (z)| ≤ |z|p+1 . Demostración. Si p = 0 se sigue de inmediato el teorema, veamos |1 − Ep (z)| = |1 − (1 − z)| = |z| Analicemos ahora el caso que p ≥ 1. Para p fijo sea ∞ X. (k). Ep (0) Ep (z) = ak z ; donde ak = k! k=0 k. (3-1). La representación de Ep (z) en serie de potencias alrededor de z0 = 0, ya que Ep (z) es analı́tica para a = 1. Notese que Ep (0) = 1, de esta manera (3-1) se transforma en. Ep (z) = 1 +. ∞ X k=1. ak z k. (3-2).

(39) 28. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass. Derivando (3-2) obtenemos:. Ep0 (z). =. ∞ X. kak z k−1. k=1. h i zp z2 Por otro lado derivando Ep (z) = (1 − z)exp z + 2 + · · · p computacionalmente se obtiene h i 2 p que Ep0 (z) = −z p exp z + z2 + · · · zp . de donde juntando ambos resultados vemos que  X ∞ z2 zp −z exp z + + ··· = kak z k−1 2 p k=1 p. . De lo anterior se observa que para 1 ≤ k ≤ p, ak = 0, en otras palabras Ep0 (z) tiene en z = 0 un cero de multiplicidad p. 2. p. Veamos ahora que ocurre con los demás coeficientes. Llamando p(z) = z + z2 +· · · zp entonces Ep0 (z) = −exp[p(z)] zp Ya que los coeficientes de exp[p(z)] son todos positivos se sigue que ak ≤ 0 para k ≥ p + 1, esto es |ak | = −ak para k ≥ p + 1. Sabiendo esto tenemos que 0 = Ep (1) ∞ X = 1+ ak = 1−. k=p+1 ∞ X k=p+1. |ak |.

(40) 3.1 Teorema de Factorización de Weierstrass. 29. Por lo tanto para |z| ≤ 1,. |1 − Ep (z)| = |1 −. ∞ X. 1+. ! ak z k. |. k=p+1. = | = |. ∞ X. ak z k |. k=p+1 ∞ X. ak z k−p−1 z p+1 |. k=p+1. = |z|p+1 | ≤ |z|p+1. ∞ X. ak z k−p−1 |. k=p+1 ∞ X. |ak |. k=p+1 p+1. = |z|. Proposición 25. Sea {an } una sucesión en C tal que lı́mn→∞ |an | = ∞ y an = 6 0 para todo n ≥ 1. (Esta no es una sucesión de puntos distintos, pero por hipotesis no se repiten un núero infinito de veces). Si {pn } es cualquier sucesión de enteros tal que pn +1 ∞  X r <∞ |an | n=1. (3-3). para todo r > 0 entonces. f (z) =. ∞ Y n=1.  Epn. z an. . Converge en H(C). La función f es una función entera la cual solo tiene ceros en los puntos an . Si z0 ocurre en la sucesión {an } exactamente m veces entonces f tiene un cero en z = z0 de multiplicidad m. Además, si pn = n − 1 entonces (3-3) se cumple.   Q z recibe el nombre de producto canónico asociado a la NOTA: La expresión ∞ E n=1 pn an sucesión {an }. Se buscara hallar siempre que se pueda una sucesión constante de números {pn }..

(41) 30. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass. Demostración. Supongamos que existen enteros pn tales que (3-3) se satisface. Entonces haciendo uso de la proposición 24 z |1 − Epn (z/an )| ≤ | |pn +1 an  p +1 |z| n = |an |  pn +1 r ≤ |an | Cuando |z| ≤ r y r ≤ |an |. Para r > 0 fijo, existe un entero N tal que |an | ≥ r para todo n ≥ N ya que lı́mn→∞ |an | = ∞. P Ası́ para cada r > 0 la serie ∞ n=1 |1 − Epn (z/an )| es dominada por una serie convergente en el disco D(0; r), es decir ∞ X. pn +1 ∞  X r |1 − Epn (z/an )| ≤ <∞ |an | n=1 n=1 P en D(0; r) ⊂ C. En otras palabras ∞ n=1 [1 − Epn (z/an )] converge absolutamente Q∞ De donde aplicando la proposición 23, el producto infinito n=1 Epn (z/an ) converge en H(C). Para la otra parte de la prueba, para cualquier r existe un entero N tal que |an | > 2r para todo n ≥ N ya que lı́mn→∞ |an | = ∞. Entonces reescribiendo |an | > 2r tenemos r 1 < para todo n ≥ N |an | 2 Ası́ si pn = n − 1 (3-3) se reescribe como n X ∞  ∞  n X r 1 < |an | 2 n=1 n=1 Notese que ∞  n X 1 n=1. 2. =. ∞  n X 1 n=0. 2. 1 −1 1 − 21 = 2−1 =. = 1. −1.

(42) 3.1 Teorema de Factorización de Weierstrass De donde. P∞  n=1. r |an |. n. 31. esta dominada por una serie convergente, cumpliendo ası́ (3-3).. Hay por supuesto, una gran libertad para elegir los enteros pn , si pn fuera más grande que n − 1 tendriamos el mismo resultado, sin embargo, hay una ventaja al elegir el pn lo más pequeño posible. Después de todo, cuanto menor es el entero pn más elemental es el factor elemental Epn (z/an ). Teorema 6. (Teorema de Factorización de Weierstrass) Sea f una función entera y sea {an } los ceros no nulos de f repetidos de acuerdo a su multiplicidad; supongamos que f tiene un cero en z0 = 0 de orden m ≥ 0 (un cero de orden m ≥ 0 en z0 = 0 significa que f (m) (0) 6= 0). Entonces existe una función entera g y una sucesión de enteros {pn } tal que. m. f (z) = z exp[g(z)]. ∞ Y.  Epn. n=1. z an. . Demostración. Dado que f es una función entera, haciendo uso de la proposición 13, los ceros de f no pueden acumularse, de este modo lı́m |an | → ∞. n→∞. Por la proposición 25, existe una sucesión de números enteros {pn } tal que pn +1 ∞  X r <∞ |a | n n=1 y además la función. h(z) = z. m. ∞ Y n=1.  Epn. z an. . tiene los mismos ceros que f con las mismas multiplicidades (dado que la función eg(z) 6= 0), Ası́ bien haciendo uso de la proposición 14, el cociente f (z)/h(z) es analı́tica en D(z0 ; ) para algún entorno de z0 donde z0 es un cero de f , es decir el cociente f (z)/h(z) presenta singularidades removibles en z = 0, a1 , a2 , ... ası́ f (z)/h(z) es una función entera y por lo tanto no tiene ceros..

(43) 32. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass. Por otro lado ya que C es simplemente conexo, haciendo uso de la proposición 12, existe una función analı́tica g : C → C tal que f (z) = exp[g(z)] h(z) es decir. f (z) = h(z)exp[g(z)]   ∞ Y z m = z exp[g(z)] E pn an n=1. 3.2.. Ejemplos. 3.2.1.. Factorización de la Función Sin(πz). En primera instancia debemos localizar los ceros de la función Sin(πz), veamos el comportamiento de esta función 1.0. 0.5. -4. -2. 2. 4. - 0.5. - 1.0. Ası́ pues los ceros de la función Sin(πz) = ±n. Veamos ahora el orden que tiene cada uno de estos ceros, si f (z) = Sin(πz) entonces tomando cualquier entero m como representante de L(f ) tenemos: f (m) = sin(πm) = 0 f 0 (m) = πcos(πm) 6= 0 para todo m ∈ N.

(44) 3.2 Ejemplos. 33. por tanto los ceros de sin(πz) son simples. NOTA: Abusando de la notación la serie o el producto infinito notado de la siguiente manera ∞ X n=−∞. an. ∞ Y. o. an. n=−∞. incluira todos los indices excepto cuando n = 0. Dicho lo anterior, entonces debemos encontrar el valor de pn de tal forma que (3-3) se cumpla, es decir pn +1 ∞  X r <∞ |an | n=1 Si pn = 0, la ecuación (3-3) no se cumple dado que la serie veamos que ocurre si pn = 1.. P∞. n=1. 1 n. . diverge.. −1   ∞ X r 2 X  r 2 + n n n=−∞ n=1 −1  2 ∞  2 X X 1 1 2 2 = r +r n n n=−∞ n=1. ∞   X r 2 = n n=−∞. de lo anterior debemos analizar la convergencia de la serie. P∞. n=1.  1 2 . n. Dado que para n ≥ 2 se tiene 0 ≤ n12 ≤ n21−n entonces si vemos que la serie P 1 converge, por el criterio de comparaciı́on la serie ∞ n=2 n2 convergera también. N X n=2.  N  X 1 1 1 = − n2 − n n−1 n n=2       1 1 1 1 1 1 = − + − + ··· + − 1 2 2 3 N −1 N 1 = 1− N. P∞. 1 n=2 n2 −n.

(45) 34. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass. Haciendo tender N → ∞ tenemos. lı́m. N  X. N →∞. n=2. 1 1 − n−1 n. .   1 = lı́m 1 − N →∞ N = 1. P 1 Ası́ la serie ∞ n=1 n2 < ∞ De esta manera si escogemos pn = 1 se satisface que ∞   X r 2 <∞ n n=−∞. Para todo r > 0 y por el Teorema de Factorización de Weierstrass. sin(πz) = zexp[g(z)] = zexp[g(z)]. ∞ Y. E1. n=−∞ ∞  Y n=−∞. z  n. 1−. hz i z exp n n. Para alguna función entera g(z). Por otro lado notese que ∞  Y. 1−. n=−∞.   z z z = ··· 1 + (1 + z)(1 − z) 1 − ··· n 2 2    z2 z2 2 = (1 − z ) 1 − 1− ··· 4 9  ∞  Y z2 = 1− 2 n n=1. y además ∞ Y n=−∞. exp. hz i n. .  hz i −z = · · · exp exp[−z]exp[z]exp ··· 2 2 hz z i = · · · exp − exp[z − z] · · · 2 2 = · · · exp[0]exp[0] · · · = 1.

(46) 3.2 Ejemplos. 35. Reemplazando lo anterior en la expresión de sin(πz) tenemos. sin(πz) = zexp[g(z)]. ∞  Y n=1. z2 1− 2 n. . Para alguna función entera g(z). Por otro lado si f (z) = sin(πz) y aplicamos derivadas logaritmicas vemos que πcos(πz) sin(πz) f 0 (z) = f (z). πcot(πz) =. ∞. = g 0 (z) +. 1 X 2z + z n=1 z 2 − n2. En vista de la proposición 15, expresando πcot(πz) como fracciones simples. Hallaremos entonces la función g(z). 2. La función sinπ2 (πz) tiene polos dobles en z = n para n ∈ N, la parte singular en el origen sera 1 1 y ya que sin2 (πz) = sin2 (π(z − n)) la parte singular en z = n es (z−n) 2. z2 P P∞ 1 1 La serie ∞ −∞ (z−n)2 < ∞ para z 6= n viendola en comparación con la serie n=1 n2 es uniformemente convergente para cualquier conjunto compacto despues de prescindir de los términos que se hacen infinitos en el conjunto, por esta razón ∞ X π2 1 = g(z) + 2 sin (πz) (z − n)2 n=−∞. (3-4). siendo g(z) una función entera. Para hallar g(z), observemos que ambos miembros de (3-4) tienen periodo 1, por consiguiente, la función g(z) tiene el mismo periodo. Para z = x + iy usando identidades tenemos que 1 |sin(πz)|2 = (cosh(2πy) − cos(2πx)) 2 De esta manera cuando |y| → ∞, |sin(πz)|2 → ∞ y por tanto de igual manera si |y| → ∞, esta tiende a cero.. π2 sin2 (πz). → 0. En la sumatoria.

(47) 36. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass. Por último |g(z)| esta acotada en un periodo real, de lo contrario no se cumpliria lo anterior, aplicando el Teorema de Liouville, g(z) es constante y puesto que el lı́mite es cero, esta constante tiene que anularse. Ası́ ∞. X π2 1 = 2 sin (πz) (z − n)2 −∞ Analizando esta expresión vemos que  d 1 1 − = (z−n) 2 dz z−n d (−πcot(πz)) dz. La serie. d dz. =. π2 sin2 (πz).  1 − z−n diverge y debe restarse de todos los términos con n 6= 0, ası́ ∞  X n=−∞. 1 1 + z−n n.  =. ∞ X. z zn − n2 n=−∞. P 1 es comparable con la serie ∞ n=1 n2 y por tanto convergente. Por esta razón esta permitida la derivación término a término y se obtiene  ∞  X 1 1 1 πcot(πz) = + − + z n=−∞ z−n n ∞. 1 X 2z + = z n=1 z 2 − n2. ∀z 6∈ Z. De donde se sigue que g(z) es constante, digamos g(z) = a para todo z. Reemplazando g(z) y dividiendo (3-4) por πz tenemos:  ∞  sin(πz) z2 exp[a] Y 1− 2 = πz π n=1 n Haciendo tender z → 0 a ambos lados de la ecuación tenemos sin(πz) πcos(πz) π = = =1 z→0 πz π π lı́m.  ∞  exp[a] Y z2 exp[a] lı́m 1− 2 = z→0 π n=1 n π.

(48) 3.2 Ejemplos. 37. Por lo tanto exp[a] = π. De donde se sigue que. sin(πz) = πz. ∞  Y n=1. z2 1− 2 n. . Es la factorización deseada y la convergencia se da bajo subconjuntos compactos de C. Veamos ahora como converge la factorización obtenida a la función sin(πz).. (a) n=1. (b) n=2. Figura 3-1: Representación de la función para n = 1, 2. (a) n=5. (b) n=8. Figura 3-2: Representación de la función para n = 5, 8. 3.2.2.. Formula de Wallis. Probemos que se satisface la identidad 22446 π = ··· 2 13355 En la sección anterior se observo que la función sin(πz) esta factorizada de la siguiente manera:.

(49) 38. 3 Teorema de Factorización de Weierstrass.  ∞  Y z2 sin(πz) = πz 1− 2 n n=1 Evaluando (3-5) en z =. 1 2. (3-5). tenemos. 1 = sin. π . 2  ∞  Y 1 π 1− 2 = 2 n=1 2n ∞ π Y 4n2 − 1 = 2 n=1 4n2. De donde ∞ Y π 4n2 = 2 4n2 − 1 n=1  ∞  Y 2n 2n = 2n − 1 2n + 1 n=1. 22446 ··· 13355 Veamos ahora si la convergencia es absoluta. El producto =. ∞ Y. ∞ Y 2n 1 = 1− 2n + 1 n=1 2n + 1 n=1 P∞ P 1 1 Diverge, ya que la serie n=1 | − 2n+1 |= ∞ efecto, usando el criterio de n=1 2n+1 diverge. EnP 1 1 1 comparación llamando an = 2n+1 , bn = n sabemos que la serie ∞ n=1 n entonces.  lı́m. n→∞. an bn.  =. 1 2n+1 lı́m 1 n→∞ n. n n→∞ 2n + 1 1 = lı́m n→∞ 2 + 1 n 1 = 2 P∞ 1 Por tanto la serie n=1 2n+1 diverge también. Q Analogamente se muestra que el producto infinito ∞ n=1 gencia obtenida en la formula de Wallis no es absoluta. =. lı́m. 2n 2n−1. diverge. Por tanto la conver-.

(50) Conclusiones 1. Toda representación es válida si el producto infinito converge uniformemente en un conjunto compacto. 2. La función representada es una función entera la cual solo tiene ceros en los mismos puntos de la sucesión {an } (salvo en el origen) y con las mismas multiplicidades. 3. La sucesión adaptada {pn } se tratara de buscar constante (cuando sea posible) para hacer más simple la función analı́tica Epn y garantizar con mayor facilidad la conver pn +1 P r . gencia de la serie ∞ n=1 |an |.

(51) Bibliografı́a [1] Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis. New York : McGraw-Hill, Segunda Edición, 1966 [2] Brown, James W. ; Churchill, Ruel V.: Complex Variables and Applications. New York : McGraw-Hill, Octava Edición [3] Conway, John B. (Ed.): Functions of One Complex Variable. New York : SpringerVerlag, Segunda Edición, 1978 [4] Palka, Bruce P.: An Introduction to Complex Function Theory. New York : SpringerVerlag, 1991.

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Figure

Figura 3-1: Representaci´ on de la funci´ on para n = 1, 2

Figura 3-1:

Representaci´ on de la funci´ on para n = 1, 2 p.48
Figura 3-2: Representaci´ on de la funci´ on para n = 5, 8

Figura 3-2:

Representaci´ on de la funci´ on para n = 5, 8 p.48

Referencias