U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N
Facultad de Ingeniería Civil
DIVISION DE ESTUDIOS SUPERIORES
APLICACION DEL METODO DE DIFERENCIAS
FINITAS AL ANALISIS DE UN
ACUIFERO CONFINADO
TESIS PRESENTADA
EN OPCION AL GRADO DE
M A E S T R O E N C I E N C I A S
CON ESPECIALIDAD EN
" H I D R O L O G I A S U B T E R R A N E A "
POR
I N G . E F R A I N S A L I N A S S A L I N A S
U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N
Facultad de Ingeniería Civil
DIVISION DE ESTUDIOS SUPERIORES
APLICACION DEL METODO DE DIFERENCIAS
FINITAS AL ANALISIS DE UN
ACUIFERO CONFINADO
TESIS PRESENTADA
EN OPCION AL GRADO DE
M A E S T R O E N C I E N C I A S
CON ESPECIALIDAD EN
" H I D R O L O G I A S U B T E R R A N E A "
POR
I N G . E F R A I N S A L I N A S S A L I N A S
F O N D O TESJS
U N I V E R S I D A D A U T O N O M A DE NUEVO LEON FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL D I V I S I O N DE ESTUDIOS SUPERIORES
A P L I C A C I O N DEL M E T O D O DE D I F E R E N C I A S FINITAS
AL A N A L I S I S DE U N A C U I F E R O CONFINADO
T E S I S
Que para obtener el grado de M a e s t r í a en Hidrología Subterránea
p r e s e n t a
EFRAIN SALINAS SALINAS
Deseo d e d i c a r este estudio a mi esposa Lily p o r todo lo
que nos une y a mis p a d r e s , Ing. Efraín Salinas y Lilia
S. de Salinas p o T sus sacrificios y gula a través de mi
A g r a d e c i m i e n t o s
Este e s t u d i o fué d e s a r r o l l a d o bajo la supervisión del Dr. L e o p o l d o Rodarte R . , p r o f e s o r de la M a e s t r í a en H i d r o l o g í a S u b t e r r á n e a , División de Estudios Superiores de la Facultad de Ingeniería Civil de la U n i v e r s i d a d A u tónoma de N u e v o León. Estoy muy agradecido con él por sus constantes sugerencias y criticas durante el desa-rrollo de este estudio.
Quiero agradecer al Ing. Jaime A. T i n a j e r o G . , D i r e c t o r de Inventario de A g u a y Suelo de la Comisión del Plan Nacional H i d r á u l i c o por la ayuda p r e s t a d a al facilitar
I N D I C E
INDICE DE LAMINAS v i
C A P I T U L O 1, G E N E R A L I D A D E S
1.1 O b j e t i v o s del estudio - - - 1
1 .2 Localización 1 1.3 C l i m a t o l o g í a - 3
1.4 Hidrología superficial 3
CAPITULO 2. GEOLOGIA
2 .1 Introducc ión 6 2.2 Geología histórica 6
2.3 C a r a c t e r í s t i c a s g e o h i d r o l ó g i c a s 6
CAPITULO 3. H I D R O L O G I A SUBTERRANEA
3.1 R e c o p i l a c i ó n y revisión de la información
d i s p o n i b l e 10 3.2 C o n f i g u r a c i ó n de los niveles estáticos 10
3.3 C o n f i g u r a c i ó n de las curvas de igual
trans-misibil idad 11 3.4 V o l ú m e n e s de extracción de agua
subte-rránea 11 3.5 Cálculo del coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o
regional y de la recarga inedia anual del
acuífero 16 3. 6 C o m e n t a r i o s 18
CAPITULO 4. DESARROLLO DEL M O D E L O
4.1 Ecuación de flujo en un acuífero c o n f i n a d o - 2 0
4.2 A p r o x i m a c i ó n por diferencias finitas 26 4.3 C o n s i d e r a c i o n e s sobre los m é t o d o s de
solu-ción adoptados - - --31 4.4 Método iterativo implícito en dirección
al-ternante (IADI) 32 4.5 Programa básico de simulación de acu!feros-38
CAPITULO 5. INFORMACION REQUERIDA POR EL M O D E L O
5 . 1 Geometría 41 5.2 Período seleccionado para la calibración --41
5.3 C a r a c t e r í s t i c a s h i d r o d i n á m i c a s , v o l ú m e n e s de extracción y de recarga asignados a cada
celda 42
CAPITULO 6. C A L I B R A C I O N DEL M O D E L O
6.1 C o n s i d e r a c i o n e s generales -.-4 6
0.2 Calibración y error 4b 6.3 Potencial del modelo
CAPÍTULO 7. C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S
7.1 Conclusiones ---56 7.2 Recomendaciones 56
BIBLIOGRAFIA 58
ANLiXO. Listado del programa básico de simulación de acuíferos, datos u t i l i z a d o s por celda
INDICE DE LAMINAS
Plano de localización
P r e c i p i t a c i ó n y temperatura m e d i a mensual en el valle del Y a q u i , Son.
Corrientes superficiales y canales Formaciones geológicas
Elevación del nivel e s t á t i c o , Octubre 1977 (observada)
Elevación del nivel e s t á t i c o , M a r z o 1979 (observada)
T r a n s m i s i b i l i d a d
Comparación entre la evolución del v o l ú m e n total extraído del agua s u b t e r r á n e a y la elevación m e d i a del n i v e l e s t á t i c o p a r a el p e r í o d o de 1970 a 1979
Diagrama de flujo del programa b á s i c o de simulación (IADI)
M a l l a del modelo y tipo de fronteras
Elevación del nivel e s t á t i c o , O c t u b r e 1979-(observada)
Elevación del nivel e s t á t i c o , Octubre 1970 (observada)
Elevación del nivel e s t á t i c o , 1976 (calcu-lada)
Elevación del nivel e s t á t i c o , Octubre 1976 (observada)
Evolución del nivel estático en celdas se-leccionadas
Elevación del nivel estático 1985 (calcula-d a )
CAPITULO 1. GENERALIDADES
1.1 Objeti\os del estudio
El valle del rio Yaqui es uno de los distritos de riego mas productivos del pais por lo que ha sido objeto de una serie de estudios encaminados a estudiar sus recursos h i d r á u l i c o s entre los cuales juega un papel muy importante el agua subte-rránea .
El primer estudio geohidTOlógico del acuífero del valle del Yaqui fue desarrollado por Icatec, S.A. (1970), el cual obtu-vo una magnitud de la recarga media anual de 194 millones de m3. En un estudio p o s t e r i o r desarrollado por la Comisión del Plan Nacional H i d r á u l i c o y de la S u b d i r e c c i ó n de G e o h i d r o l o g í a y de Zonas Aridas (1978) se estimó que la recarga media anual del acuífero es de 250 a 300 millones de m3. T e n i e n d o en cuenta las nuevas p e r f o r a c i o n e s de pozos realizadas durante
1978, que incrementaron las extracciones de agua s u b t e r r á n e a
de 380 millones de m3 (1975-1976) a más de 500 millones de m3
a la fecha, se propuso el desarrollo de un modelo m a t e m á t i c o de simulación del acuífero del valle del Yaqui con el fin de predecir la evolución p i e z o m é t r i c a o c a s i o n a d a por el incremen-to de las e x t r a c c i o n e s , definir con mayor precisión la magnitud de la recarga media anual del acuífero y p l a n e a r el apro -v e c h a m i e n t o rae ional del recurso.
1.2 Localización
El valle del Yaqui se localiza en la p a r t e sur del Estado d Sonora (lámina 1) entre los p a r a l e l o s 27°00' y 27°40' de la
t __..„. .. 1 . _ 1 /•< r» o « __ « << r> O r i 1- 1 • - ^ de La -titud norte y los meridianos" 109°30' y 110°35' de longitud o e s t e , abarcándose un área aproximada de 3 , 500 km^ .
Por su importancia en el renglón a g r o p e c u a r i o el valle se en-cuentra p e r f e c t a m e n t e comunicado con el resto del p a í s , siendo sus vias de acceso y salida, la carretera federal No. 15 Mé-x i c o - T i j u a n a , el ferrocarril del Pasífico y el aeropuerto de Cd. Obregón. Existe además, una red de caminos p a v i m e n t a d o s y terracerías que comunican los poblados y terrenos de c u l t i v o
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1 . 3 Climatología
El clima del valle del Yaqui es desértico con v e g e t a c i ó n de tipo x e r ó f i t a , la temperatura media anual es de 25°C (lami-na 2), con m í n i m a s de enero y febrero de 0°C y máximas en
los meses de junio, julio y agosto de 47°C.
La p r e c i p i t a c i ó n media anual en el valle es de 250mm (lámi-na 2). El p e r í o d o de lluvia empieza en julio y se extiende hasta los meses de octubre; las p r e c i p i t a c i o n e s son mínimas en los meses de febrero a mayo. La evaporación p o t e n c i a l media anual es de 2,700mm y la e v a p o t r a n s p i r a c i ó n media anual de 1 , 880mm.
1 . 4 H i d r o l o g í a superficial
La corriente más importante del valle es el río Y a q u i , cuyos escurrimientos son regulados por las presas el N o v i l l o y Al-varo O b r e g ó n , ésta última tiene una capacidad de 2,988 x 10^
m3 y una cuenca de captación de 70, 845 Km2 , dispone de dos
tomas: el canal Alto, con capacidad de 110m3/seg para el rie-go de 103,000 ha y el canal Bajo, cuya capacidad es de 154 m3/seg para regar 117,000 ha, cubriéndose en total 220,00 ha de riego con aguas superficiales.
El canal Bajo se subdivide a su vez en dos c a n a l e s : 1) el ca-nal de las colonias Y a q u i s , y 2) el caca-nal Bajo p r o p i a m e n t e dicho.
Además del río Y a q u i , existen pequeños arroyos de tipo torran cial de los cuales el único importante es el C o c o r a q u e , el cual descarga a la bahía de Tobari frente a la isla de
Huivu-laí un caudal m e d i o anual de 0.57 m3/ s e g (período 70-73). A
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CQC A P I T U L O 2. GEOLOGIA
2.1 Introducción
B a s á n d o n o s en el e s t u d i o g e o h i d r o l ó g i c o d e s a r r o l l a d o p o r Icatec (1970), se definieron las c a r a c t e r í s t i c a s g e o l ó g i c a s y g e o h i d r o l ó g i c a s de las diferentes formaciones que a f l o r a n en el v a l l e .
2.2 Geología h i s t ó r i c a
La p r i m e r a etapa de la h i s t o r i a geológica está r e p r e s e n t a d a en la z o n a , p o r la s e d i m e n t a c i ó n de rocas c a l c á r e a s que se supone t e r m i n a a fines del P é r m i c o , p e r i o d o en el que el m a r p i e r d e su p r o f u n d i d a d a c o n s e c u e n c i a de 1.a orogenia Sonorana
(Fries, 1962) que deja e m e r g i d a una superficie que q u e d ó su-jeta a un largo p e r í o d o de e r o s i ó n .
A fines del Cretácico y a p r i n c i p i o s del T e r c i a r i o , tiene efecto la Revolución Laramide durante la cual se efectúa una intensa actividad e s t r u c t u r a l , m a n i f e s t a d a por emisiones lá-v i c a s , intrusiones ácidas y fenómenos de p l e g a m i e n t o s y afa-llamientos que afectaron la m a y o r parte de las sierras exis-tentes en la región. P o s t e r i o r m e n t e , hacia fines del Tercia-rio tuvo lugar un p e r í o d o de intensa e r o s i ó n , durante el cual ocurrió el depósito de c o n g l o m e r a d o s y a r e n i s c a s .
D u r a n t e el C u a t e r n a r i o , la erosión continúa sobre todas las rocas que se encuentran expuestas en la r e g i ó n , d a n d o p o r resultado la formación de depósitos de talud, abanicos alu-viales y los rellenos del valle.
2.3 Características geohidrológicas a) P a l e o z o i c o (Pal)
Las rocas calcáreas del Paleozoico p r e s e n t a n un área de aflo-ramiento muy limitada y en ella no se observaron ni cavidades de disolución ni un intenso fenómeno de fracturamiento por lo cual se le apribuyó una p e r m e a b i l i d a d n u l a .
b ) Cretácico volcánico (Kv)
Esta formación constituida por andesitas con interestratifi-caciones de conglomerados y areniscas, tiene un área de aflo-ramiento limitada que se localiza en el interior de la sierra.
permeabili-dad es variable pero en conjunto se puede considerar como nula y no se cree que pueda afectar a los acuíferos del va-lle del Yaqui.
c ) Terciario volcánico (Tv)
Las rocas andesíticas y riolíticas que se formaron en este periodo son las que mas abundan en el área. La permeabili-dad de estas rocas es secundaria y está ligada al grado de fracturamiento de las rocas. Este, en general es muy inten-so superficialmente, pero dado que se cierra a profundidad como puede verse en los afloramientos al norte de Fundición, confiere a la formación una permeabilidad muy baja que no influye sobre los acuíferos del valle,
d) Granito (Tgr)
Las rocas graníticas presentan en esta región un área de afloramiento bástente extensa, y están recubiertas superfi-cialmente por una arena arcósica producto del intemperismo. En los afloramientos en los que el granito aparecía menos intemperizado, no se observaron fracturas b i é n desarrolla-das por lo cual a estas rocas se les atribuye una permeabi-lidad n u l a , aunque superficialmente ésta se puede considerar buena debido a la p r e s e n c i a de arenas sueltas que las recubren.
e) Conglomerados (Tbc)
Estas rocas afloran en un área bastante extensa y están cons-truidas por c o n g l o m e r a d o s que p r e s e n t a n h a c i a la b a s e inter-e s t r a t i f i c a c i o n inter-e s dinter-e coladas b a s á l t i c a s . En cuanto a la pinter-er- per-m e a b i l i d a d , ésta es de órigen p r i per-m a r i o y está c o n t r o l a d a p o r
la g r a n u l o m e t r í a y el grado de c e m e n t a c i ó n .
Estos factores son muy v a r i a b l e s de un lugar a o t r o , aunque por lo g e n e r a l , los m a t e r i a l e s son de g r a n o g r u e s o , poco ce-m e n t a d o s y de g r a n u l o ce-m e t r í a b a s t a n t e u n i f o r ce-m e , p o r lo ¿ual se a t r i b u y e a esta formación u n a buena p e r m e a b i l i d a d .
Por la p o s i c i ó n t o p o g r á f i c a y e s t r a t i g r á f i c a de estos m a t e -r i a l e s , se c-ree que c o n s t i t u y a n los -r e l l e n o s del valle que se e n c u e n t r a n s u b y a c i e n d o a los a l u v i o n e s y es p r o b a b l e que en ellos estén labrados algunos de los p o z o s p r o f u n d o s del va-lle de Yaqui. Por lo t a n t o , se c o n s i d e r a p o s i b l e que las áreas donde afloran estos m a t e r i a l e s c o n s t i t u y a n una fuente de r e c a r g a para los a c u í f e r o s e x p l o t a d o s .
f) A r e n i s c a s y c o n g l o m e r a d o s (Tac)
g) D e p ó s i t o s aluviales cuaternarios (Qal)
Estos depósitos están representados por m a t e r i a l e s aluviales y depósitos de talud que presentan una g r a n u l o m e t r í a muy va-riable, e n c o n t r á n d o s e desde tamaños de grava h a s t a arenas y limos. Por lo que se refiere a la p e r m e a b i l i d a d de estos depósitos es v a r i a b l e , ya que en las márgenes del río Yaqui» dónde se e n c u e n t r a n los pozos de Cócorit es muy a l t a , p o r estar el acuífero c o n s t i t u i d o por m a t e r i a l e s de grano g r u e s o , mientras que alejándonos del río se e n c u e n t r a n d e p ó s i t o s fi-n o s , limosos y arefi-nosos de mefi-nor permeabilidad que los afi-n- an-teriores. Los sedimentos aluviales afloran en toda la zona plana del valle del Y a q u i , tienen un espesor d e s c o n o c i d o y cosntituyen el acuífero de la región.
CAPITULO 3. H I D R O L O G I A SUBTERRANEA
3.1 R e c o p i l a c i ó n y revisión de la información d i s p o n i b l e
Se revisó la información geohidrológica que se tiene de la zona, e s e n c i a l m e n t e la que sería de utilidad p a r a elaborar el m o d e l o , tal' como la historia p i e z o m é t r i c a , la hidrome-tría s u b t e r r á n e a (volúmenes extraídos por los p o z o s ) , prue-bas de bombeo y estudios anteriores.
El análisis de toda la información r e c o p i l a d a se hizo con el fin de c o n o c e r el c o m p o r t a m i e n t o del a c u í f e r o , sus caracte-rísticas h i d r o d i n á m i c a s , el órden de la recarga vertical y el volúmen de agua extraído anualmente p o r p o z o s . De la re-visión de estos estudios se concluyó lo s i g u i e n t e :
En el e s t u d i o d e s a r r o l l a d o por Icatec (1970) se tiene el in-conveniente que p a r a resolver la ecuación de balance de las,, aguas subterráneas se tuvo que hacer la hipótesis que el vo-lúmen de a g u a extraído por bombeo (B) y el infiltado (I) se les d e n o m i n ó (X=B-I) y se trabajó como si (X) fuera c o n s t a n t e , resolviéndose las e c u a c i o n e s por simultáneas cada dos meses. Esto se hizo además p a r a un período corto (Septiembre 1968-Agosto 1969) por lo que hay que tomar el estudio con cier-tas reservas.
El estudio d e s a r r o l l a d o por la CPNH (1978) se h i z o p a r a el p e r í o d o 1970-1976, p e r o los resultados que o b t u v o , tales como un c o e f i c i e n t e de almacenamiento de S= -0.003 absurdo y sin s e n t i d o físico, el coeficiente de c o r r e l a c i ó n = -0..09
lo cual indica que las ecuaciones p l a n t e a d a s n o son correla-cionables. Ante esta situación con la información del estu-dio de la CPNH (1978) p a r a el p e r í o d o de 1970-1976, se vol-vieron a p l a n t e a r las ecuaciones de b a l a n c e , m o d i f i c a n d o sólo el término cambio en el a l m a c e n a m i e n t o , ya que éste fue calculado ahora a partir de la c o n f i g u r a c i ó n de los niveles estáticos p a r a cada a ñ o , arrojando los resultados siguientes:
Coeficiente de correlación = 0.85 Coeficiente de almacenamiento - 0.07
Recarga vertical media = 253 x 10^ m3/ a ñ o
Como se puede apreciar el coeficiente de correlación es bueno y la recarga vertical media anual concuerda con la estimación hecha por la CPNH (1978), para el cálculo del coeficiente de almacenamiento y de la recarga media anual, ver la sección 3.5.
Se contó con los planos de configuración del nivel es-tático de 1970 a 1976 desarrollados por la CPNH (1978), en ellos se puede observar que la dirección de flujo es de NE a S W , un domo entre la intersección del arroyo Cocoraque con los canales p r i n c i p a l e s Alto y Bajo y un cono en la intersección de las calles 800 y 18, el cual se ha ido formando por la explotación concentrada e in-tensiva de agua subterránea realizada por las industrias allí ubicadas.
Es todos estos planos n o se observa en la cercanía del m a r n i n g u n a inversión de flujo que pueda indicar intrusión
sa-lina, pero en las c o n f i g u r a c i o n e s h e c h a s en este estudio con la información p i e z o m é t r i c a de Octubre de 1977 y Mar-zo de 1979, p r e s e n t a n Mar-zonas con e l e v a c i o n e s del nivel es-tático por abajo del n i v e l del m a r (láminas 5 y 6).
3.3. C o n f i g u r a c i ó n de curvas de igual transmisi-bilidad!
La lámina 7 presenta la configuración de los valores de igual transmisibilidad obtenida de los valores p u n t u a l e s de t r a n s m i s i b i l i d a d , d e t e r m i n a d o s mediante 139 p r u e b a s de bombeo realizadas en pozos de una profundidad de 50 a
150 m, lo que representa la cuarta parte superior del es-pesor total del d e p ó s i t o aluvial. La condición de pene-tración parcial que p r e s e n t a n los pozos ocasiona abati-mientos m a y o r e s dentro del p o z o , que los que presenta el. a c u í f e r o , aumentando así las p é r d i d a s h i d r á u l i c a s , lo cual ocasiona una disminución en la eficiencia de la captación.
En estas pruebas sólo seis fueron e f e c t u a d a s con pozo de observación teniendo una duración de b o m b e o superior a 6 h o r a s , el tiempo de bombeo de las otras pruebas no ex-cedía de 2 horas. La falta de una mayor cantidad de prue-bas de bombeo con pozo de observación nos impide obtener suficientes valores de c o e f i c i e n t e de a l m a c e n a m i e n t o para valorizarlo e s p a c i a l m e n t e , por lo cual constituye una i n -cógnita en la ecuación de balanee de las aguas subterráneas.
La interpretación de estos ensayos fue realizada a partir de la ecuación de Theis o de lafórmula simplificada de Ja-cob .
altas se e n c u e n t r a n a lo largo del canal principal B a j o , entre el pueblo de Cocorit y la calle 1, 300 y a ambos lados del río Yaqui entre Cocorit y San José y varían
La subdirección de G e o h i d r o l o g í a y de Zonas A r i d a s pro-p o r c i o n ó un pro-p l a n o de la región con el último c e n s o de pro- po-zos, así como datos del volúmen de agua e x t r a í d a por pozo anualmente de 1970 a 1976. La tabla siguiente m u e s t r a los valores totales de agua subterránea extraída dentro de cada ciclo agrícola.
entre .001 y .1 m ^ / s e g .
3.4
V
V o l ú m e n e s de extracción de agua subterrá-n e a
Ciclo V o l ú m e n de agua subterránea
extraído. (Millones de m ^ )
70-71 71-72 72-73 73-74 74-75 75-76
230 245 137 271 309 378
ac-tuales de agua subterránea p a r a riego se c o n s t r u y e r o n durante 1978, 50 pozos con los cuales se piensa incre-m e n t a r las e x t r a c c i o n e s de agua subterránea a 500 incre- millo-nes de m3.
3.5 Cálculo del c o e f i c i e n t e de a l m a c e n a m i e n t o regional y de recarga media anual del aculfero
Para realizar el cálculo del coeficiente de almacenamien-to regional y de la recarga m e d i a anual del aculfero se usó la fórmula g e n e r a l ;
Entradas - Salidas • Cambio en el a l m a c e n a m i e n t o
Eh + Rv - B - Sh • t áfl • S (3.5.1]
£h • Entradas por flujo horizontal Rv • Recarga vertical del a c u l f e r o
B • V o l ú m e n de agua subterránea e x t r a í d o Sh • Salidas por flujo h o r i z o n t a l
¿n • S • Cambio en el a l m a c e n a m i e n t o del a e u f f e r e S * Coeficiente dt a l m a c e n a m i e n t o
En esta ecuación son incógnitas:
S = Coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o Rv = R e c a r g a vertical del acuífero
La recarga vertical es p r o d u c t o p r i n c i p a l m e n t e de infiltra-ciones en los canales p r i n c i p a l e s y arroyo C o c o r a q u e .
Los v a l o r e s de Eh y Sh se calcularon a partir de las redes de flujo trazadas en los planos de c o n f i g u r a c i ó n de n i v e l e s e s t á t i c o s m e d i a n t e la fórmula:
li
Eh
Ce Cs t
Gradiente medio en el canal de flujo i
Cs
Qit; Sh = I Qit; ... (3.5.2) Ce
l
i = 1
N ú m e r o de canales de entrada Número de canales de salida
Tiempo considerado para el a n á l i s i s , el cual es generalmente de un año (31.5 x 10° seg).
Ciclo Eh
( 1 06 m3)
Rv
CIO6 m3)
Sh
(106 m3)
B
(106 m3)
AV • S
CIO6 m3)
1970-1971 33 Rv 4 0 2 2 1 + 2 3'' 6 4 S
1971-1972 35 Rv 47 258 - 11.82 S
1972-1973 43 Rv 45 231 +183.21 S
1973-1974 48 Rv 46 265 - 6 7 1 . 7 7 S
1974-1975 50 Rv 47 305 -153.66 S
197S-1976 45 Rv 38 372 -1479,47 S
V
2M.
Í
•
II
ai hi ... (3.5. • 3)
= Area con h; de elevación del nivel e s t á t i c o = E l e v a c i ó n al nivel estático
N' = Número de elevaciones al nivel e s t á t i c o diferen-tes
Aft = = D i f e r e n c i a de volúmen entre dos años c o n s e c u t i v o s .
Las e c u a c i o n e s para cada ciclo y para un área de balance de 1970 Km^ q u e d a n de la siguiente m a n e r a :
70- 71 Rv - 23.64 S = = 228
71 -72 Rv + 1 1 .82 S = 8 270
72- 73 Rv - 183.21S = s 233
73- 74 Rv + 671.77S = = 263
74- 75 Rv + 153.66S = : 302
75- 76 Rv +1479.47S » = 365
-tuvieron los siguientes resultados:
Ecuación de la recta de regresión: Y - 0.07X + 253.0
Coeficiente de correlación = 0.85
C o e f i c i e n t e de a l m a c e n a m i e n t o = 0.07
R e c a r g a vertical m e d i a • 253 x 10^ m^
Se tiene un 68% de p r o b a b i l i d a d de que la recarga v e r t i c a l
media tenga un error de t 30.50 y de 95% con error de- 61.00
En la lámina 8 se hace la comparación entre la e v o l u c i ó n del v o l ú m e n total e x t r a í d o de agua subterránea y la e l e v a c i ó n me-dia del n i v e l estático para el p e r í o d o de 1970 a 1979. En ella se aprecia que a e x t r a c c i o n e s superiores a 250 m i l l o n e s de m3 c o r r e s p o n d e un descenso en la e l e v a c i ó n m e d i a del n i v e l e s t á t i c o del acuífero.
3.6 Comentarios
En r e s ü m e n , la información empleada para llegar al p l a n t e a -m i e n t o del -modelo es la p i e z o -m e t r í a de 1970 a 1976, volú-me- volúme-nes de agua subterránea extraída por p o z o de 1970 a 1976, c o n f i g u r a c i ó n de igual t r a n s m i s i b i l i d a d , c o e f i c i e n t e de al-m a c e n a al-m i e n t o regional y volúal-men de la recarga al-m e d i a anual del a c u í f e r o . Toda esta información se toma en forma indi-vidual para cada celda.
C A P I T U L O 4. D E S A R R O L L O DEL M O D E L O
4.1 Ecuación de flujo en un a c u i f e r o c o n f i n a d o
La ecuación que define el flujo n o e s t a b l e c i d o en un acui-fero c o n f i n a d o es obtenida a partir de la ley de Darcy y el p r i n c i p i o de c o n s e r v a c i ó n de masa o ecuación de conti-n u i d a d .
La ecuación de continuidad p a r a un m e d i o e l á s t i c o , p o r o s o y c o m p l e t a m e n t e saturado es obtenida de un v o l ú m e n de control p e q u e ñ o (AÍ2) , con centroide en P (x,y,z) y de dimensiones figura A.
FtftUHA A
3V «y 9 V
v = v + X'Y'Z ¿ X + * r / >z (AX/2) +
x + A x / 2 , y, z x, y, z 3 X 2 9Xj> 2,
3nV (AX/2)n
+ ...+ (4.1.1) 3X n!
9V A Y 3V2 , A Y /, o
x- x / 2 , y , z x,y,z 9 X 2 2 ¡
+ C - 1 )n9nV x , y , z ( ¿ X / 2 )n
3Xn n!
El cambio de m a s a en la d i r e c c i ó n x en un intervalo de t i e m p o es;
0V„ + ix/ 2. y , z i Y ¿ Z " PVx-i x/ 2,V )z i Y i Z <4 •1 •
donde p (densidad) es igual a m a s a e n t r e v o l ú m e n , d e s p r e c i a n do en 4,1,1 y 4.1,2 los t é r m i n o s de órden igual o m a y o r a
(AX/2)2 y s u s t i t u y é n d o l o en 4 . 1 . 3 , t e n e m o s :
( p V + P9 V* > r .z ^ L ) A Y A Z - (p V - P9 V x' y »z ^ L ) AYAZ
x,y,z 3 X 2 x»y>* 3 X 2
p 3 Vx z
- 1_L ¿XAYAZ •••(4.1.4)
ax
Para el eje de las Y y de las Z se p r o c e d e igual. Q u e d a n d o la e c u a c i ó n de c o n t i n u i d a d de la forma s i g u i e n t e :
3pV 3pV 3 pV a
( * I Y iz + x* y »z + * » Y iz )AXAYAZ + ( ^ ) A X A Y A Z - 0 3X 3Y 3Z 3t
(4.1.5) esto es:
donde e (porosidad e f e c t i v a ) es igual al v o l ú m e n de los h u e c o s i n t e r c o n e c t a d o s entre el v o l ú m e n t o t a l , y t es el t i e m p o , e n t o n c e s 8pe/3t es el cambio en el a l m a c e n a j e .
La ley de Darcy se define por:
V = -K 5 h (4.1.7)
Î í,j 9X.
i = 1 , 2
1,2
donde V , es la c o m p o n e n t e de la v e l o c i d a d en la d i r e c c i ó n i con u n i ¿ a d e s (L/T), h es la carga h i d r á u l i c a , en un m e d i o ho-m o g é n e o e i s ó t r o p o , la e c u a c i ó n 4 . 1 . 7 se t r a n s f o r ho-m a a:
y V = -Kgrad h (4.1.8)
Se tiene que: h « P/y + Z (4.1.9)
Y - P g (4.1.10)
Z • P o t e n c i a de p o s i c i ó n P • P r e s i ó n
g * G r a v e d a d
C o n s i d e r a n d o la h i p ó t e s i s que el suelo y el agua son e l á s t i c o s , tenemos :
p = p0{ 1 + 1 / Ew( p - Po) } (4.1.11)
1 / Es( P - Po) (4.1.12)
d o n d e :
E = m ó d u l o de e l a s t i c i d a d del agua Ew = módulo de e l a s t i c i d a d del suelo Ps = P r e s i ó n inicial
e - p o r o s i d a d inicial Po = densidad inicial
Si d e f i n i m o s :
t e n e m o s :
p = p0 + poB ( P - P © ) ( 4 . 1 . 1 4 )
w
e = e0+ B ( P - P0) ( 4 . 1 . 1 5 )
5
m u l t i p l i c a n d o ( 4 . 1 . 1 4 ) p o r ( 4 , 1 . 1 5 )
P *e = e0p0 + e<>PoB ( P - P0) + e0B ( P - P0) + p0B B ( P - P0)Z
W S W S
( 4 . 1 . 1 6 )
y d e s p r e c i a n d o los t é r m i n o s c u a d r á t i c o s p o r ser p e q u e ñ o s
P'e = P g í e $ + ( Bs+ e0Bw) ( P - P0) } ( 4 . 1 . 1 7 )
B * Bs+ Bwe0 ( 4 . 1 . 1 8 )
Pe = Pq {eo + B ( P - P0) ) ( 4 . 1 . 1 9 )
y c o n s i d e r a n d o q u e :
P * Po ( 4 . 1 . 2 0 )
pe * p { ee+ B ( P - P0) } (4.1.21
y c o m o :
h " P / p g + Z ( 4 . 1 . 2 2 )
t e n e m o s q u e :
p g 2 R ^ ( 4 . 1 . 2 3 )
31 3t 9t
C 4 . 1 . 2 4 )
d i v ( p V ) - pdiv V + V grad p (4.1.25)
tenemos:
3V 8V 3V
d i v (p V ) . p( - j l ^ i . • + ) + vx > y i| | +
+ Vx , y , z | y + Vx , y , 2
-»
n ^ h «II )> •
VX , Y , * I f + VX , V , 2 f f + H C 4 . 1 . 2 6 )
donde: h = h ( x , y , z , t )
K = K ( x , y , z )
d e t e r m i n a n d o los términos siguientes
l e . - n-a 3 P - 2 o 3 h c p w9x = p «Bw a x
3p _ « 3P 2 _ Sh Sy " P w9y - P 8B„ 3 y
I f " p Bw l T = p ^ V H " 1 ) ... (4.1.27)
y sustituyendo (4.1.7), (4.1.27) en ( 4 . 1 . 2 6 ) t e n e m o s :
- { K C ^aPag Bw • K P2g Bw + K P2g Bw( | 4 ) ( | | - 1)}
- + h + h C K ^ > ( 4 . 1 - 2 8 )
P*B I R - ÍFE TK § ) + F ^ (K ^ + ( K
V í B J C { (§£}'• (§£)'• (f¿)>- (||)} - O ....(4.1.29)
Despreciando los términos c u a d r á t i c o s , en el c a s o de u n mo-v i m i e n t o casi horizontal el término 3h/3z es muy p e q u e ñ o y c o n s i d e r a n d o que el acuífero no sufre c a m b i o s muy b r u s c o s de carga h , se implica que:
3p 3p _ 3p ' 3y 3Z
A s í la ecuación p a r a un acuífero confinado queda:
fe ''fy ( * ! £ > + t i ( K fl^ = PgB ^ ....(4.1.30)
donde :
PgB • pg (B + e0B ) = S « coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o es-pecífico. s w s
Para un m e d i o h o m o g é n e o e i s ó t r o p o , la ecuación (4,1.30) queda:
¿h
3x 3y2
^ h K
3h
at
(4.1.31)pero como:
h ( x , y , t ) - /b h(x,y,z,t) dz (4.1.32)
donde :
S u s t i t u y e n d o h por h , tenemos:
( hdz ) + ^ ( F ^ h d 2 ) + ^ dz
e f e c t u a m o s las integraciones:
32íi ^ 32íi x , 3ÍÍ i 3h Ss -b 3h f Á «
como la v e l o c i d a d en las fronteras superior e inferior -del acuífero es n u l a , entonces la ecuación (4.1.31), n o s queda de la forma siguiente:
32h 32h = S 3h (4.1.35)
3X7" Sy7" T 3t
donde:
S « Sg ' b - coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o T = K • b • c o e f i c i e n t e de transmisibilidad
Para el caso de un acuífero no homogéneo e isótropo, al se-guir el m i s m o p r o c e d i m i e n t o , la ecuación (4.1.30) es de la siguiente forma:
h (
T>
+ h ( T"
sIr f
4-
1-
3 6)
sistema de ecuaciones algebráicas para toda la zona de estudio y el cual puede ser resuelto por métodos d i r e c t o s o iterativos.
El m é t o d o de diferencias finitas se basa en el d e s a r r o l l o por series de Taylor (figura B), de la forma siguiente:
Y
FttüH A •
f f x + A x ) = f(x) + d f ( x ) Ax + d2f ( x ) ÍAxl^..+ dnf ( x ) (Ax)n
r x + axj t(.xj d x ^ d xz 21 d xn n!
(4.2.1) n , n
ffx-Ax)« f íx) - d f C x ) á* + d2f ( x ) (¿x) ( - 1 ) " d " f ( x ) .
H.x tl.xj d x + 2! dx"
. (Ax)n (4.2,2)
n !
Si la ecuación (4.2.1) la resolvemos para df/dx tenemos:
d f f x ) „ ffx + dx
Ax) - f(x)
Ax 0(Ax) (4.2.3)
D e s p r e c i a n d o el t é r m i n o 0 ( A x ) de (4.2.3) o b t e n e m o s la aproxi-m a c i ó n de la d e r i v a d a de £ p o r d i f e r e n c i a s h a c i a a d e l a n t e :
d f ( x ) a f ( x + A x ) - f ( x )
dx Ax (4.2.3')
R e s o l v i e n d o la e c u a c i ó n (4.2.2) p a r a d f / d x y d e s p r e c i a n d o el t é r m i n o 0 (Ax) o b t e n e m o s la a p r o x i m a c i ó n de la d e r i v a d a de f p o r d i f e r e n c i a s h a c i a a t r á s , esto es:
d f ( * ) s f(x) - f(x - A x ) f 4 .
dx Ax * ' '
El e r r o r que t e n e m o s en ambas a p r o x i m a c i o n e s es el t é r m i n o que d e s p r e c i a m o s de la serie de T a y l o r , éste es de 0 ( A x ) .
Para o b t e n e r la a p r o x i m a c i ó n a la p r i m e r a d e r i v a d a p o r di-f e r e n c i a s c e n t r a d a s a (4.2.1) le r e s t a m o s (4.2.2), d a n d o la e c u a c i ó n s i g u i e n t e :
d f [ x l = f (x + A x ) - f(x - A x ) + 0 U ¿ X ) 2 } (4.2.5) Cl X ¿i X
donde el t é r m i n o 0 { ( A x )2} es el término que f a l t a de la s e r i e , d e s p r e c i á n d o l o t e n e m o s :
d f ( x ) „ f(x + A x ) - f(x - A x ) f4 2 S'l
dx Ax y )
el e r r o r que tenemos en esta a p r o x i m a c i ó n es de 0 { ( A x )2} Para la a p r o x i m a c i ó n a la s e g u n d a d e r i v a d a se suma (4.2.1 a 4 . 2 . 2 ) , d á n d o :
d ^ ü l . f(«+ A x ) - 2f(x) + f(x- A x ) + 0{ (Ax) 2} (4.2.6) dx (Ax)*
d e s p r e c i a n d o el término 0 { ( A x )2} t e n e m o s :
d2f (x) _ f(x + A x ) - 2 f ( x ) + f(x - A x ) ,. 7 * ,,
d x2 (A x)* J
h (x , y , t ) = h (í , j , k )
h {x + Ax, y + Ay, t + A t ) - h(í + l,j + J,k + 1)
donde i,j,k (figura C) son los índices de x , y» y t (tiempo) r e s p e c t i v a m e n t e , y A x , Ay, At, son los incrementos en x, y , y t, r e s p e c t i v a m e n t e .
o O o
O o O 1-1,i 1,1 141,j
o e • i-í.i« i,Jn
FIGURA C
Entonces de (4.2.5') y ( 4 . 2 . 6!) se tiene: 3h. . , h. , . , h... . .
1 . J >k .. i - 1 . j ,k - i + 1 , j ,k ;
3x n 2Ax
3h. . . h. . , . - h. . , .
1 »J t .3y 2Ayk s 1 .-l"1 >k 1 .J^' «k (a 2 71
/ J
32h . . , h . , . .. - 2 h . . . + h . , . .
' > J > k _ i +1 , j,k i _ , J , k i -1 , j , k
3 h . . , h . . . . - 2 h . . . + h . . , .
„ ,.j+1.k í ^ l ^ u I A , ....(4.2.8)
y de (4.2.4) tenemos que .*
h, . . . J »k a 1 >J.k
31 At 3h. . . h , - ,. . . ,
E x p r e s a n d o la e c u a c i ó n (4.1.36) de la forma s i g u i e n t e :
Txx 92h . 3Txx 3h . Tyy 32h 3Tyy 3h = 3h . . ( 4 . 2 . 1 0 )
9T2 3x 3x 3y 3y 3t
Para o b t e n e r una expresión p a r a la t r a n s m i s i b i l i d a d en el p u n t o m e d i o entre dos v é r t i c e s , d e s a r r o l l a m o s la serie de T a y l o r e n t r e los v é r t i c e s (i,j) e (i-1,j). C o n s i d e r a n d o por s i m p l i c i d a d , la e c u a c i ó n de una dimensión s o l a m e n t e ,
tenemos que la t r a n s m i s i b i l i d a d entre (i,j) e (i-1, j ) , se gün (4.2.2) e s :
3T .. .»
Txx (i- 1/2, j) - Txx (¡,j) - - J S | l L a l _ - ¿ x +...
+ 3 2 T x;(i ^) ( ¿; {2 ) Z - + (4.2.11)
o x Z .
d o n d e :
3T . v . 3 2T . \
T = T + x x * ' , J ' A x X X ( 1 , J )
x x ( i , j ) x x ( í - 1 / 2 , j ) 3x 2 S x2
(¿x /2) 2 + (4.2.12)
2!
y de (4.2.1) tenemos:
3T .. . 3 2T ..
t = T + x x( ' £ x + xx (i , j )
x x ( i + 1 / 2 , j ) xx(í , j) 3x 2 3x
_ ( W 2 ) 1 _ + (4.2.13)
donde:
3T , . . » . 32T . . . »
-p _ j xx ( i , j ) Ax xx 1 i . j ) x x ( ¡ , j ) x x (í +1 j ) " 3x 2 3x
. I M Ü
" TI - i . i i . ( 4 , 2 . 1 4 )
T ¿ i * + 3 Tx x ( ! ,j) ah _ 'xx(¡,j) " 3x 3x
3 X
despreciando los términos cuadráticos o de órden mayor en (4.2.12) y (4.2.14), sustituyéndolas luego en (4.2.15), tenemos:
T* x (¡,j) 0 + B T x x d . J ) | | = Tx x ( [,1 / 2 t j ) .
h, , , , - hi -1 , j ,k i.jk y t .
(Ax)¿ >
+ Tx x ( í + 1 / 2 , j ) ( J 'k ) (4.2.16)
para el eje de las "y" se procede igual. Finalmente para la aproximación por diferencias finitas de (4.1.36) usamos
(4.2.9) y (4.2.16) , dando:
h. , . . - h , . ,
xx(i -1/2 , j ) ( (Ax) > +
T , ( h'+ 1 > hk ? k ) +
xx ( i + 1 /2 , j ) * ( A r p
+ Ty y (¡, j -1 / 2 ) ( h't t j~ \ ik y )l h ? f J f k ) +
h . . k - h . .
TAVT
+ Tv y ( í , j + i/2) ( "T'> + 1| L w " ' 'J , k)
-= S ( h' 'k ¿t h' , k"1 ) ' Q (4.2.17)
Los métodos de solución que inicialmente se usaron fueron d o s , ambos de diferencias finitas, lino es el DAS desarrollado por Cruickshank y Chávez Guillén (1969), consta de dos p r o g r a m a s :
U n o define la geometría del acuífero (GEOMETRI) y el otro
pdice las cargas hidráulicas a futuro CACUI). Este último re-suelve el sistema de ecuaciones resultante que constituye un esquema implícito p o r el m é t o d o iterativo de Gauss-Seidel con coeficiente de sobTerrelajación hasta que la solución quede dentro de la tolerancia fijada.
El otro método es el usado por Illinois State Water S u r v e r y , d e s a r r o l l a d o por Prickett y Lonnquist (1971), este m é t o d o es una variedad del IADI (Iterative Alternating Direction Im-plicit P r o c e d u r e ) y resuelve el problema p l a n t e a d o que re-sulta ser una matriz tridiagonal con una combinación del mé-todo implícito de dirección alternante de Peaceman y Rachford
(1955), el m é t o d o Gauss esto se hace p r i m e r o para las columnas y después p a r a los renglones completando así una iteración y se hacen tantas iteraciones como sea n e c e s a r i o para que que-de que-dentro que-de la tolerancia el error. El método en c o n j u n t o es r á p i d o , p r e c i s o y tiene aplicación a muchos p r o b l e m a s de agua subterránea.
D e s p u é s de m a n e j a r inicialmente estos dos m é t o d o s en forma c o n j u n t a , se decidió la aplicación de solo u n o , ya que la p r i n c i p a l diferencia entre ambos es la forma de resolver el sistema de e c u a c i o n e s , para lo cual el método usado por Illinois State Water Survery resulta más rápido; además de p r e s e n t a r ventajas en cuanto al manejo de datos de e n t r a d a .
4.4 M é t o d o iterativo implícito en d i r e c c i ó n al-ternante (IADI)
Este método consiste en reducir el sistema de e c u a c i o n e s de la forma (4.2.17) a un sistema t r i d i a g o n a l , p r o c e d i e n d o s e en p r i m e r lugar por columnas c o n s i d e r a n d o cada una de ellas se-p a r a d a m e n t e . En u n a columna se considera el sistema de ecua-ciones c o r r e s p o n d i e n t e s a sus v é r t i c e s , tomándose como varia-b l e s las alturas p i e z o m é t r i c a s de los vértices de la c o l u m n a que se está p r o c e s a n d o , en tanto que se m a n t i e n e n c o n s t a n t e s los c o r r e s p o n d i e n t e s a las columnas a d y a c e n t e s . El s i s t e m a de e c u a c i o n e s resultante p a r a cada c o l u m n a se resuelve por el m é t o d o de e l i m i n a c i ó n de G a u s s , tal como lo u t i l i z a r o n Peace-man y Rachford (1955), el c o n j u n t o de e c u a c i o n e s a lo largo de u n a c o l u m n a así o b t e n i d o , es un s i s t e m a implícito en la di-r e c c i ó n de las columnas y e x p l í c i t o en la didi-rección de los
r e n g l o n e s se h a c o m p l e t a d o u n a i t e r a c i ó n . El p r o c e s o des-c r i t o se r e p i t e el n ú m e r o de v e des-c e s n e des-c e s a r i o p a r a des-c o n s e g u i r la c o n v e r g e n c i a de los r e s u l t a d o s , la cual una v e z a l c a n -zada c o n c l u y e los c á l c u l o s p a r a un i n c r e m e n t o de t i e m p o . Las a l t u r a s p i e z o m é t r i c a s así c a l c u l a d a s se u t i l i z a n c o m o n i v e l e s i n i c i a l e s p a r a el s i g u i e n t e i n c r e m e n t o del t i e m p o , c o m e n z a n d o de n u e v o el m i s m o p r o c e s o . P e a c e m a n y R a c h f o r d
(1955) i n d i c a n que e s t a t é c n i c a es i n c o n d i c i o n a l m e n t e es-t a b l e , con i n d e p e n d e n c i a del v a l o r a s i g n a d o al i n c r e m e n es-t o de t i e m p o .
M o d i f i c a n d o y r e o r d e n a n d o la e c u a c i ó n ( 4 . 2 . 1 7 ) , se faci-lita la r e s o l u c i ó n de las e c u a c i o n e s p o r c o l u m n a s y ren-g l o n e s . En p r i m e r l u ren-g a r si se s u p o n e q u e la m a l l a e s t á f o r m a d a por c u a d r a d o s , de m o d o que Ay = A x , la e c u a c i ó n
( 4 . 2 . 1 7 ) se m o d i f i c a m u l t i p l i c a n d o a m b o s m i e m b r o s por A x2,
d a n d o :
T¡ - l . j , 2 < Y l . j " hi , j > + T | , J , 2 < Y , . j " Y j > + "
TI . J . < " Y J > + Y j - U ' Y j - , - Y j > •
( S ( A x )2/ A t ) ( h. . - h# ) - Q ( 4 . 4 . 1 )
d o n d e :
T
i - 1 , j > 2 XX ( 1 - 1 / 2 . J )
T
I , j ,2 = T f * XX ( 1 + 1 / 2 , j )
T
• . j - 1 .1 = T fyy (» . J - 1 / 2 ) •
T
J » 1 = T t yy ( ¡ .J + 1/2 )
h . . = h
" i J i . j , k
<t> ' . J
h . . . « ,J,k- 1
D e s a r r o l l a n d o la e c u a c i ó n (4.4.1), c a m b i a n d o los s i g n o s y a g r u p a n d o los t é r m i n o s en h. . se llega a:
i * J
h. . (T. , . , + T. . + T. . . + T. . . S (Ax)2 /A t)
T¡ -3,j,2h¡-1,J " T¡ , j , 2 hi + 1 , j " T¡ , j , 1h¡ , j + 1
- T. . , . h . . « (S (Ax)2/At)h, . .- Q (4.4.2)
• »J-1 ,1 i , J - 1 v ^ <í> " ü » »J
Se p u e d e escribir la ecuación (4.4.2) de dos m a n e r a s , una para resolver las ecuaciones por columnas y otra para la resolución por renglones.
Para el cálculo por columnas la ecuación (4.4.2) se puede e s c r i b i r :
- T. . . «h. .
i , j -1 ,1 i ,J-1 i.J «- 1»J i , j , 2 i , j , 1 . + h. .(T. . . . + T. . ,, + T. . , +
+ T. . . . + S( ¿ x )2/ A t ) - T. . t h.
» ( S ( A x )2/ A t ) h , . . - Q. . + T. t . , h. , .
* » . J ' , J i-I,J,2 I-1,J +
+ T¡ , j , 2 h i + 1, j C4 ' 4 ^
la ecuación (4.4.3) es de la forma:
A A . h . . , + BB.h, . + CC.h. = DD (4.4.3')
J ' , J - 1 J ¡ , J J i ,J + 1 j v 1
donde las c o n s t a n t e s son:
AA. * - T. . , ,
J i . J - 1 , í
BB. = T. , . , + T. . ,+ T. . + T. . , + S( A x )2/ A t
J '-I ,J ,2 i ,j ,2 i ,j , 1 > , j-1 v J
CC. « - T. . .
J ' , J » 1
DD. = ( S ( A x )2/ A t ) h . . - Q. . + T. f . , h. , .+ T. . ii.^,
J <J> i »J i - t , j , 2 i - I , J +
Para el cálculo por renglones se tendría una ecuación de la forma siguiente:
A A . h . , . + BB.h. . + CC.h... . = DD (4.4.4)
i i -1 , j < i , j i i+) , j i v -1
AA
BB
CC
DD
T¡ - 1 , j , 2
* T. . . , + T. . , * T. . .+ T. . . . + S (Ax)2 /A t
' -1 ,J »2 i ,2 i ,j , 1 i f j-1 , 1 v
* - T
¡ , j . 2
* ( S ( A x )2/ A t ) h . . . - Q. . + T. . , .h.
+ T. . . h.
•, j . y » , J + 1
En notación matricial un sistema de e c u a c i o n e s de la forma
( 4 . 4 . 31) ó (4.4.4) es lo que se llama una matriz
tridiago-nal ya que presenta cuando mucho tres niveles p i e z o m é t r i c o s incógnita en cada una de las ecuaciones escritos por vér-tice, ya sea de columnas (ecuación (4.4.3')) o de renglones
(ecuación (4.4.4)). La solución de un sistema de e c u a c i o n e s de columnas o renglones se obtiene por el método de elimi-n a c i ó elimi-n de G a u s s , ielimi-ncorporaelimi-ndo lo que Peacemaelimi-n y Rachford
(1955) llaman vectores G y B, aplicados a matrices tridia-gonales como se explica a continuación.
En el primer vértice del renglón i= 1,j, de la ecuación (4.4.4) se tiene:
AA 1 h o».i + B B ^ I . j + C C ^ . j = D D1 (4.4.5)
Como n o existe n i n g ú n vértice de coordenadas 0, -j h a c e m o s AA.j _ 0, con lo que se o b t i e n e :
B B ^ K j + CC i h2 , .1 - D D1 ( 4 > 4 > 6 )
de d ó n d e ;
h1,j = D D1/ B B1 - (CCi/BB^) h2,i (4.4.7)
d e f i n i m o s :
G1 = D V B B 1 (4.4.8)
B1 - C C1/ B B1 (4.4.9)
sustituyendo las ecuaciones (4.4.8) y (4.4.9) en (4.4.7) tenemos:
h 1 , j = - Bn h2,j
q u e d a n d o el n i v e l en el vértice 1,j como función de los pá rámetros G- y B . , que son conocidos y del nivel en el vér-tice hi + 1,j ó h 2 , j , ú n i c a m e n t e .
P r o c e d i e n d o de la misma forma para el siguiente vértice del renglón nos q u e d a :
A A2h 1 , j + B B2h 2 , j + C C2h 3 , j - DD^ (4.4.11)
s u s t i t u y e n d o la ecuación (4.4.10) en (4.4.11) tenemos:
BB2h2,.i = D D2 - C C2h 3 , j - A A2 (G1 - B ^ ^ ) (4.4.1
r e a g r u p a n d o los términos y despejando h2,i q u e d a : h2,j = (DD2 - A A2 G ) / (BB2 - A A2B1)
- C C2/ ( B B2 - A A ^ ) h3,j (4.4.13)
los factores conocidos de esta ecuación se d e f i n e n :
G2 = (DD2 - A A2 G p / (BB2 - A A2B1) (4.4.14)
B 2 = C C2/ (BB2 - A A2 B1) (4.4,15)
S u s t i t u y e n d o las ecuaciones (4.4.14) y (4.4.15) en (4.4.13) nos queda:
h2,j - G2 - B2 h3,j (4.4.16)
para el siguiente vértice n o s quedaría de la m i s m a forma, o sea:
hi,j = Gi - Bihi + 1,j (4.4.17)
y para las columnas sería:
hi , j = Gj - Bjhi,j + 1 (4.4.18 para el ú l t i m o vértice del renglón i - n , tenemos CCn+ 1=0
AAnhn -1,j + BBnhn.j = DDn (4.4.19) r e o r d e n a n d o los términos de esta ecuación nos queda:
BBnhn,j * DDn - AAn (Gn-1 - B n - I h n , j ) . . . . ( 4 . 4 . 2 1 ) d e s p e j a n d o hn,j, tenemos:
hn , j = (DDn - AAn Gn -1) (BBn -AAn Bn - 1) . (4 . 4 . 2 1 1) Pero dado que el nivel p i e z o m é t r i c o hn,j es función úni-camente de valores c o n o c i d o , se puede definir:
Gn = (DDn - AAn G n - 1 ) / (BBn - AAnBn - 1). (4.4.22) cuya sustitución en la ecuación (4.4.21) nos lleva a:
hn , j = Gn (4.4.23)
U n a vez conocido el nivel p i e z o m é t r i c o hn,j la sustitución de su valor en la ecuación (4.4.17) permite conocer el nivel en el vértice hn-1,j. Después sustituímos el nivel hn-l,j en la ecuación (4.4.17) p a r a el cálculo de h n - 2 , j y así sucesivamente hasta e n c o n t r a r el nivel de h l , j , de-terminándose de este modo los niveles de todos los vérti-ces del renglón j.
De las ecuaciones desarroladas anteriormente (4.4.8, 4.4.9, 4.4.14, 4.4.15, 4 . 4 . 2 2 ) tenemos que la forma ge-neral de los términos G y B es:
GN = C D DN - ^ GN "1 ) 7 C B BN - A ANBN- 1 ) . ( 4 . 4 . 2 4 )
BN = C CN/ ( B BN ~ A AnBn- 1 ) (4.4:25)
en los cuales N = i para cálculos por renglones y por si-m i l i t u d N = j p a r a cálculos por colusi-mnas. Adesi-más se hace AAv, igual a cero p a r a el primer vértice de un renglón o coTumna y del mismo modo CCj, p a r a el ú l t i m o vértice de una fila o columna.
En resúmen, el p r o c e s o de cálculo de los n i v e l e s piezomé-tricos p o r renglones o por columnas en un modelo digital comienza con el cálculo de los vectores G y B (ecuaciones 4.4.24 y 4.4.25) p a r a los vértices de una columna o de un renglón, p r o c e d i e n d o en sentido creciente de i, j. Du-rante este cálculo se halla el nivel en el último vértice de la columna o renglón y p o s t e r i o r m e n t e , u t i l i z a n d o las ecuaciones (4.4.17 y 4.4.18), se calculan los demás nive-les p i e z o m é t r i c o s de la columna o renglón siguiendo un
consi-derablemerite las n e c e s i d a d e s de a l m a c e n a m i e n t o en la com-p u t a d o r a y el tiemcom-po de cálculo.
4.5 Programa básico de simulación de acuíferos El listado del p r o g r a m a básico de simulación de acuíferos está codificado en Fortran IV para resolver los sistemas de ecuaciones p o r columnas y por renglones (ecuaciones 4.4.3' y 4.4.4, respectivanente) y es el que se muestra anexo al final del texto.
El diagrama de flujo (lámina 9) describe la lógica del p r o g r a m a h a s t a llegar a la predicción de la carga piezomé-trica para un cierto período de tiempo (t + delta t ) , par-tiendo de la elevación que se tiene en el tiempo t y para las condiciones de explotación y recarga que tenga lugar durante el incremento de tiempo. Para o b t e n e r este tipo de predicciones es necesario conocer la distribución de la transmisibilidad y del coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o en el acuífero y el tipo de fronteras, si son impermeables su transmisibilidad es cero y si son de carga constante se asigna un coeficiente de almacenamiento muy grande. La información n e c e s a r i a para el desarrollo del modelo es la descrita a n t e r i o r m e n t e , ésta e s , a cada vértice se le
asigna una t r a n s m i s i b i l i d a d , coeficiente de a l m a c e n a m i e n t o , nivel p i e z o m é t r i c o , extracción de agua subterránea y re-carga. Otros datos n e c e s a r i o s son el n ú m e r o de columnas y renglones, el tamaño de las celdas, el incremento de
t i e m p o , el n ú m e r o de incrementos de tiempo y la tolerancia de error.
El p r o g r a m a b á s i c o tiene tres partes p r i n c i p a l e s . La pri-m e r a , p r e p a r a a la copri-mputadora para el problepri-ma y se en-carga de la e n t r a d a de d a t o s , la segunda es la simulación p r o p i a m e n t e dicha y por último la impresión de resultados.
En la primera p a r t e se dimensionan los p a r á m e t r o s que lo n e c e s i t a n , u t i l i z á n d o s e la subrutina E R R S E T para evitar
los p r o b l e m a s que se presentan cuando los descensos del n i v e l p i e z o m é t r i c o son muy p e q u e ñ o s , entonces los anula. Se llenan los vectores y matrices a n t e r i o r m e n t e definidos con los valores comunes que darían lugar al modelo de un acuífero de p r o p i e d a d e s uniformes y en el cual cada vértice tuviera los mismos niveles iniciales y los mismos caudales de bombeo. Con el segundo READ se cambia c u a l q u i e r a de
los valores que intervienen como datos en los vértices de-seados .
J
0 I M R A M ¿ OE F L W O OCL PR09RAMA BAtiCO DE SIMULACION(lAOl)
lcctuha et las
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CALCULO DE LOS vectores i r «
PARA UNA COLUMNA CALCULO DE LOS vectores i r «
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( STOP )
salida y enseguida se hace una predicción de niveles pie-zométricos p a r a el siguiente intervalo de tiempo; esta parte del p r o g r a m a p r e d i c e el c o m p o r t a m i e n t o p i e z o m é t r i c o del acuífero en el futuro de acuerdo con su c o m p o r t a m i e n t o en los intervalos de tiempo anteriores y cuya inclusión au-m e n t a s i g n i f i c a t i v a au-m e n t e la convergencia de la s o l u c i ó n , b a j o la hipótesis de que la relación entre las diferencias de nivel p i e z o m é t r i c o presentes y a n t e r i o r e s , F, será
igual a la relación entre diferencias de nivel p i e z o m é t r i c o futuras y p r e s e n t e s . Puesta en forma de e c u a c i ó n , la re-lación de predicción es:
F = D/DLiJ (4.5.1) donde:
D = hi,j - h¿i,j; DLi,j = D anterior (4.5.2) entonces h a c e m o s la p r e d i c c i ó n :
h i , j = hi,j + D*F (4.5.3)
Cuando F n o está d e f i n i d a , como sucede por ejemplo en los dos primeros intervalos de tiempo, se hace igual a 1.0 y también se previene el error de división p o r cero, al res-tringir el valor de F a cifras razonables, h a c i é n d o s e en-seguida el cálculo de las ecuaciones por columnas de la forma dada p o r la ecuación (4.4.3'). Durante las iteracio-nes impares se p r o c e s a n las columnas siguiendo el órden de n ú m e r o s de columna crecientes y en los pares los n ú m e r o s de columna decrecientes. Este método de cálculo es mucho más eficiente que el cálculo por columbas siguiendo siempre el m i s m o órden.
Después de los cálculos de los vectores G y B , se hallan los niveles p i e z o m é t r i c o s de los vértices de cada columna si-guiendo un órden contrario al llevado por el cálculo de G y B. Se añaden al término E los n i v e l e s , m a n t e n i e n d o en E
la suma de dichos c a m b i o s , al final del cálculo de todas las columnas p o r el p r o c e d i m i e n t o a n t e r i o r , el programa calcula por renglones los n i v e l e s de los vértices de la misma forma u s a n d o la ecuación (4.4.4).
CAPITULO 5. INFORMACION REQUERIDA POR EL M O D E L O
5.1 Geometría
Para d e t e r m i n a r el área que abarca el modelo se a n a l i z a r o n las características geológicas e h i d r o g e o l ó g i c a s del acuífe ro del v a l l e del Y a q u i , definiéndose las fronteras siguien-tes, (lámina 10).
a) Al sur se encuentra la c o s t a , definiéndose ésta como frontera de carga constante de elevación del nivel es-tático igual a cero.
b ) Al n o r t e y n o r e s t e , fronteras impermeables con transmi-sibilidad cero definidas por los afloramientos de rocas ígneas.
c) Al o e s t e , frontera de carga constante porque dentro del período considerado no p r e s e n t a variación en la eleva-ción del nivel estático y además la zona de explotaeleva-ción del agua subterránea está distante.
d) Al este, frontera de carga constante por estar distante de la zona de explotación y no contar con información p i e z o m é t r i c a .
El área que abarca el modelo es de 3,408 Km^ y el tamaño de las celdas es de 4 Km x 4 K m . , lo cual nos dá un total de 213 celdas.
5. 2 Período seleccionado p a r a la calibración
El período seleccionado para la calibración del modelo es de 6 años siendo éstos de Octubre de 1970 a Octubre de 1976, dentro de los cuales se tiene la información más c o n f i a b l e , aún cuando la más antigua es la que utilizó Icatec (1970) en su e s t u d i o , corresponde a los años 1968-1969, la más reciente son las configuraciones de elevación del nivel estático desa-rrolladas en el presente e s t u d i o , siendo éstas las de Octubre de 1977, M a r z o y Octubre de 1979 (Láminas 5, 6 y 11, respecti-v a m e n t e ) , de 1978 no se tiene información.
5.3 C a r a c t e r í s t i c a s h i d r o d i n á m i c a s , v o l ú m e n e s de e x t r a c c i ó n y de recarga asignados a cada celda A cada celda se le asignó una carga h i d r á u l i c a inicial, una
CAPITULO 6. C A L I B R A C I O N DEL MODELO
6.1 C o n s i d e r a c i o n e s Generales
La calibración de los m o d e l o s matemáticos que simulan el com-p o r t a m i e n t o de un a c u í f e r o consiste en variar dentro de un cierto rango las c a r a c t e r í s t i c a s supuestas inicialmente (coe-ficiente de a l m a c e n a m i e n t o , t r a n s m i s i b i l i d a d e s , recarga ver-tical del acuífero por c e l d a , etc.)» de m a n e r a que la evolu-ción o b t e n i d a se fuera ajustando a la histori p i e z o m é t r i c a ob-servada .
Para el acuífero del valle de Yaqui la calibración del m o d e l o consistió en la p r e d i c c i ó n de la elevación del nivel estático de 1976 p a r t i e n d o de la elevación del nivel e s t á t i c o observada en Octurbe de 1970. Para obtener lo anterior se m o d i f i c ó prin-cipalmente la recarga media anual por c e l d a , ya que se o b s e r v ó que ésta se presenta en la zona de los canales p r i n c i p a l e s y del arroyo C o c o r a q u e , teniendose que su magnitud es de 277 x
1()6 m ^ la cual es un 10% mayor que la calculada a n t e r i o r m e n t e . Otro dato que se v a r i ó p a r a la calibración del modelo es la t r a n s m i s i b i l i d a d , aunque en menor grado. El c o e f i c i e n t e de al-m a c e n a al-m i e n t o se c o n s i d e r ó el al-m i s al-m o en casi todo el a c u í f e r o a excepción del norte del área considerada dónde a ocho celdas se les asignó un c o e f i c i e n t e de almacenamiento m e n o r , para po-der r e p r o d u c i r la evolución p i e z o m é t r i c a que se p r e s e n t a en ellas esta c o n s i d e r a c i ó n concuerda con las c a r a c t e r í s t i c a s hi-d r o hi-d i n á m i c a s hi-de la zona, ya que se p r e s e n t a n a f l o r a m i e n t o s hi-de rocas ígneas y menor c o e f i c i e n t e de a l m a c e n a m i e n t o en sus proxi-m i d a d e s .
6.2 C a l i b r a c i ó n y error
La calibración del m o d e l o se logró con la d i s t r i b u c i ó n de la re-carga que se presenta en la lámina 20, y tal como se m e n c i o n ó a n t e r i o r m e n t e , se aprecia que ésta se p r e s e n t a en la zona de los canales p r i n c i p a l e s , arroyo C o c o r a q u e , canal 4 prol. y el río Yaqui. El grado de calibración del m o d e l o se puede apre-ciar al comparar la configuración del nivel e s t á t i c o c a l c u l a d a para 1976 p o r el modelo (lámina 13) con la observada para ese año, (lámina 14).
Otra h e r r a m i e n t a para v i s u a l i z a r el grado de ajuste del m o d e l o son las configuraciones de la evolución de la elevación del ni-vel estático correspondiente a las celdas que se muestran en
ä
s " ¿ ' " ï ï " s i " « "
El p r i n c i p a l p r o b l e m a que p r e s e n t a la calibración de un mo-d e l o es la c o n f i a b i l i mo-d a mo-d y cantimo-damo-d mo-de información con que se c u e n t e , é s t o va a d e t e r m i n a r la c o n f i a b i l i d a d del m o d e l o .
6 . 3 P o t e n c i a l del modelo
Una vez c a l i b r a d o el m o d e l o se p u e d e n hacer p r e d i c c i o n e s de la e v o l u c i ó n p i e z o m é t r i c a para d i f e r e n t e s p o l í t i c a s de explo-t a c i ó n de agua s u b explo-t e r r á n e a .
En el p r e s e n t e estudio sólo se h i z o la p r e d i c c i ó n de la ele-v a c i ó n del niele-vel e s t á t i c o de 1985, (lámina 19), con la supo-sición de que la d i s t r i b u c i ó n y magnitud de las extracciones de agua subterránea p e r m a n e c e constante desde el ciclo de
C A P I T U L O 7. C O N C L U S I O N E S Y R E C O M E N D A C I O N E S
7.1 C o n c l u s i o n e s
1. Las principales fuentes de recarga del a c u í f e r o del va-lle del Yaqui son: Los canales p r i n c i p a l e s , el arroyo Cocoraque y el río Yaqui en menor grado. La m a g n i t u d de la recarga inedia anual del acuífero es de 275 m i l l o -nes de m*.
2. El incremento en la explotación del agua subterránea ha o c a s i o n a d o un descenso continuo en la piezometría del acuífero y en algunas zonas, el nivel e s t á t i c o se en-cuentra p o r abajo del nivel del mar.
3. El cono de a b a t i m i e n t o que se presenta en el canal prin-cipal A l t o se debe a los grandes volúmenes de agua sub-terránea que extraen y a las bajas t r a n s m i s i b i l i d a d e s de esa zona, teniéndose que desde Octubre de 1977 p r e s e n t a n i v e l e s estáticos por abajo del nivel del mar.
4. De c o n t i n u a r la sobreexplotación de este a c u í f e r o , el fenómeno de la intrusión salina se p r e s e n t a r á en 61.
7.2 R e c o m e n d a c i o n e s
1. C o n t i n u a r con la toma p e r i ó d i c a de n i v e l e s p i e z o m é t r i c o s y de los volúmenes de e x t r a c c i ó n , insistir en la insta-lación de m e d i d o r e s en todos los equipos de b o m b e o y re-p a r a r los que actualmente n o funcionan.
2. D i s m i n u i r las extracciones de agua subterránea en el área donde se forma el cono de abatimiento.
3. U s a r las técnicas de trazadores para v e r i f i c a r si efecti-vamente la principal recarga del acuífero es p o r infil-tración del agua de los canales p r i n c i p a l e s y arroyo Co-coraque. Calcular la magnitud de estas pérdidas y las
zonas donde se presentan.
5. R e a l i z a T el uso c o n j u n t o de los recursos h i d r á u l i c o s s u p e r f i c i a l e s y subterráneos contemplándolos como fuentes a l t e r n a t i v a s uno del otro y distribuir espacialmente las e x t r a c c i o n e s e v i t a n d o la c o n c e n t r a c i ó n de p o z o s , cuyas e x t r a c c i o n e s son las que producen los conos de abatimien-to locales.
B I B L I O G R A F I A
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a n e x o
Listado del p r o g r a m a básico de simulación de aculferos