Técnicas de control para robots manipuladores con flexibilidad en la articulación

FACULTAD DE INGENIERIA MECÁNICA Y ELECTRICA

T E C N I C A S D E C O N T R O L PARA R O B O T S

MANIPULADORES C O N FLEXIBILIDAD

E N LA ARTICULACION

T E S I S

Q U E PARA O B T E N E R EL GRADO D E

D O C T O R EN INGENIERIA ELECTRICA

P R E S E N T A ^

JOSE GUADALUPE A L V A R E Z LEAL

1 0 2 0 1 2 6 3 8 2

«

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEO^

FACULTAD DE INGENIERÍA MECANICA Y ELECTRICA

T E C N I C A S D E C O N T R O L PARA ROBOTS

MANIPULADORES CON FLEXIBILIDAD

EN LA ARTICULACION

T E S I S

Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E

B C C T O i l E N I N G E N I E R I A E L B C X i É C Â

P R E S E N T A :

J O S E G U A D A L U P E A L V A R E Z L E A L

^ <9/3/ -<p$46>0

m

M

U N I V E R S I D A D A U T O N O M A D E N U E V O L E O N

F A C U L T A D D E I N G E N I E R I A M E C A N I C A Y E L E C T R I C A

T E C N I C A S D E C O N T R O L P A R A R O B O T S M A N I P U L A D O R E S C O N F L E X I B I L I D A D E N L A A R T I C U L A C I O N

T E S I S

Q U E P A R A O B T E N E R E L G R A D O D E D O C T O R E N I N G E N I E R I A E L E C T R I C A

P R E S E N T A :

J O S E G U A D A L U P E A L V A R E Z L E A L

T E C N I C A S D E C O N T R O L P A R A R O B O T S M A N I P U L A D O R E S C O N F L E X I B I L I D A D E N L A A R T I C U L A C I O N

Los miembros del Comité aprueban la Tesis Doctoral de José Guadalupe Alvarez Leal

Dr. Jesús De León Morales

Asesor p P

à i

Dr. Krishna Kumar B usa won

Dr. Mikhail V. Basin

Dr. José Antonio de la O Serna

©

Copyright 1999 por José Guadalupe Alvarez Leal

ESTE T R A B A J O DE TESIS ESTA D E D I C A D O A LA M E M O R I A DE

MIS P R O G E N I T O R E S

ISAURO A L V A R E Z R A M I R E Z (-)

JUANITA LEAL A L A N I S (-)

Q U I E N E S EN SU P E R I O D O DE EXISTENCIA, SE P R E O C U P A R O N

P O R D A R M E L I B E R T A D DE P E N S A M I E N T O . S U S T E N T O Y

A G R A D E Z C O T A M B I E N , DE M A N E R A M U Y ESPECIAL A MI

FAMILIA:

ESPOSA

María de Jesús Lopez Alvarez

HIJO

José .Michael Alvarez Lopez

HIJO

Christopher Gabriel Alvarez Lopez

HIJA

Gema Natalie Alvarez Lopez

Q U I E N E S CON G R A N D E S SACRIFICIOS. ME P E R M I T I E R O N

C O N C L U I R MIS ESTUDIOS D O C T O R A L E S , LOS C U A L E S SIN

I M P O R T A R LA DISTANCIA, P E R M A N E C I M O S J U N T O S Y ME

D I E R O N A L I E N T O S PARA SEGUIR A D E L A N T E

RECONOCIMIENTOS

Especial reconocimiento para el

Dr. Jesús De León Morales,

Director de mi tésis, persona que se ha distinguido por sus

trabajos de investigación, y quien me apoyo en todo momento

con mis dudas académicas.

A los profesores del Programa Doctoral, que influyeron en mi

formación como investigador:

1 .-Dr. Joaquín Collado Moctezuma

2.-Dr. Krishna Busawon

3.- Dr. Salvador Acha Daza

4.- Dr. José Antonio de la O Serna

Reconocimiento especial, al Dr. Rafael Martínez Guerra,

miembro externo del Jurado en mi examén de grado, por su

constante esfuerzo en la investigación del Control de Robots

manipuladores.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología:

C O N A C Y T

RESUMEN

T E C N I C A S D E C O N T R O L R A R A R O B O T S M A N I P U L A D O R E S C O N

F L E X I B I L I D A D E N L A A R T I C U L A C I O N

P u b l i c a c i ó n No.

J o s é G u a d a l u p e Alvarez Leal. Dr. en Ingeniería E l é c t r i c a

U n i v e r s i d a d A u t ó n o m a d e N u e v o León

P r o f e s o r Asesor: D r . J e s ú s De León Morales

E n e s t a tesis se p r e s e n t a n a l g o r i t m o s d e control p a r a el s e g u i m i e n t o de la t r a y e c t o r i a

d e u n r o b o t m a n i p u l a d o r de u n s i m p l e eslabón, el cual t i e n e flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n .

E s t o s a l g o r i t m o s se b a s a n en la utilización d e o b s e r v a d o r e s d e e s t a d o p a r a e s t i m a r las

variables n o m e d i b l e s de las e s t r u c t u r a s m e c á n i c a s . A d e m a s , se h a c e u n e s t u d i o d e la

e s t a b i l i d a d en lazo c e r r a d o del s i s t e m a , el cual e s t á c o n s t i t u i d o p o r el s i s t e m a a c o n t r o l a r

y el o b s e r v a d o r .

Los m é t o d o s d e s a r r o l l a d o s p e r m i t e n o b t e n e r u n a d e c u a d o d e s e m p e ñ o en el s e g u i m i e n t o

de la t r a y e c t o r i a del r o b o t flexible en su t a r c a a realizar. C o n s i d e r a n d o q u e p o r r a z o n e s

físicas o e c o n ó m i c a s 110 es posible d i s p o n e r de la medición c o m p l e t a del vector d e e s t a d o ,

so p r o p o n e o b s e r v a d o r e s de e s t a d o q u e nos p e r m i t a n e s t i m a r la p a r t e del vector d e

es-t a d o n o m e d i b l e . d e es-t a l m a n e r a q u e se p u e d a ues-tilizar e s es-t a i n f o r m a c i ó n p a r a el c o n es-t r o l del

s i s t e m a .

T a m b i é n se p r e s e n t a en e s t e t r a b a j o d e tesis u n e s t u d i o c o m p a r a t i v o d e las d i s t i n t o s

a l g o r i t m o s d e control p r o p u e s t o s , p r e s e n t a n d o r e s u l t a d o s en s i m u l a c i ó n a u n m o d e l o d e

u n r o b o t con a r t i c u l a c i ó n flexible. Sin e m b a r g o e s t a s técnicas se p u d e n utilizar p a r a o t r a s

aplicaciones i n d u s t r i a l e s t a l e s c o m o g e n e r a d o r e s síncronos o p r o c e s o s q u í m i c o s .

U n a c o m p a r a c i ó n e n simulación d e las técnicas d e control d e s a r r o l l a d a s , a n t e la

Notación

R C a m p o d e los n ú m e r o s reales

Rn E s p a c i o vectorial de d i m e n s i ó n n con e l e m e n t o s reales

t-M*) ( i ) ' /

L)h (x) L f L r ••Ljh con L°fh (x) = h {x)

k VC'C l"»

[/•<?] (*) f ? / - §70 P a r é n t e s i s de Lie d e / y g . c a m p o s vectoriales s

^k fg ( x ) ]/- [/•••• {f-g}}\

A' M i I >

C,y~ C o n j u n t o de funciones con d e r i v a d a s parciales d e c u a l q u i e r o r d e

{•*•'• y) xTy P r o d u c t o escalar de dos v e c t o r e s x. y € R"

U ' J ( a - j . a - o . x ^ . . . . )

<*>/ (xo) flujo solución de x = / (*) con .r (0) = j-0. i.e. x (t) = <!>/ (.r0)

C / O f f ) (-r) f(g{*))

o .4' T r a n s p u e s t a de la M a t r i z .4

- 4- 1 Inversa d e la M a t r i z .4.

<í>-1 (.r) M a p e o

inverso

E D O E c u a c i o n e s Diferenciales O r d i n a r i a s

/

a(A)

A i(A)

Amin(^)

P I I

^ m a x ( ^ )

1-41

,4 < O

.4 < O

dh

V(x) > O

r ( , - ) < o

\-(.r) < o

M a t r i z i d e n t i d a d d e o r d e n rixn

{A;(.4) : |A,1 - <4| = 0} A alores c a r a c t e r í s t i c o s d e la m a t r i z .4

i-ésimo valor c a r a c t e r í s t i c o d e la m a t r i z .4

max {Re[Xi(A))} .i = 1 . 2 . n

m i n {/?e ( A , ( / l ) ) } . i = 1 . 2 . - - - . n

N o r m a d e la m a t r i z .4

M á x i m o valor s i n g u l a r d e la m a t r i z A

M í n i m o valor s i n g u l a r de la m a t r i z .4

D e t e r m i n a n t e d e la m a t r i z .4

M a t r i z definida negativa, es decir .4 es H e r m í t i c a y A,(.4) < 0

M a t r i z negativa w?midefinida. A,(.4) < 0 V ? = 1 . 2 . • • • . /?

dh = dh Oh El g r a d i e n t e de h. es u n vector fila

F o r m a c u a d r á t i c a positiva definida

F o r m a c u a d r á t i c a n e g a t i v a definida

F o r m a cudr ática n e g a t i v a s e m i d c f i n i d a

I N D I C E

R e s u m e n vi

N o t a c i ó n vii

Indice de Figuras xi

C A P I T U L O 1

I N T R O D U C C I O N

1.01 Automatización Industrial 1

1.02 Robots flexibles 2 1.03 Robots con flexibilidad en las articulaciones 3

1.04 Aportaciones de la investigación 4 1.05 Organización del trabajo de tesis 4

C A P I T U L O 2

M O D E L O M A T E M A T I C O DEL R O B O T C O N F L E X I B I L I D A D EN LA A R T I C U L A C I O N

2.06 Manipuladores con Articulaciones Elásticas 6

2.07 Propiedades del Modelo 10 2.08 Modelos simplificados 12 2.09 Modelo del brazo robot con Articulación Flexible 13

2.1 Modelo Matemático 14

C A P I T U L O 3

M E T O D O G E O M E T R I C O D I F E R E N C I A L

3.01 Introducción 16 3.1 Estabilización de una clase de sistemas N o Lineales 17

3.2 Análisis de estabilidad en lazo cerrado 19 3.3 Aplicación al modelo matemático del robot flexible 23

3.3.1 Resultados de simulación 26

3.3.2 Conclusiones 29 C A P I T U L O 4

M E T O D O A L G E B R A I C O D I F E R E N C I A L

4.1 Introducción 30 4.2 Formas canónicas de controlabilidad y observabilidad

asintótica y seguimiento de salida 34 4.4 C o n t r o l a d o r dinámico b a s a d o en el observ ador para

M a n i p u l a d o r e s con articulación flexible 40 4.4.1 Resultados de simulación 45

4.5 Conclusiones 4 7

C A P I T U L O 5

M E T O D O M E D I A N T E P E R T U R B A C I O N E S S I N G U L A R E S

5.1 Introducción 48 5.2 M o d e l o del Brazo Robot Manipulador 51

5.3 Control m o d o deslizante en escala de dos tiempos 52

deslizante 54

5.3.1 Diseño del control en m o d o deslizante 62 5.4 Un observador No-Lineal

5.5 Estabilidad en Lazo Cerrado 67 5.6 Aplicación para el Modelo del Manipulador 75

5.61 Diseño de la ley de Control 76 5.62 Estimación de las velocidades del motor y del eslabón 79

5.63 Estabilidad en lazo cerrado 81 5.6.4 Resultados de simulación 82

5.7 Conclusiones 86

C A P I T U L O 6

ESTUDIO C O M P A R A T I V O DE LAS DISTINTAS T E C N I C A S DE C O N T R O L EMPLEADAS

6.01 Introducción 87 6.02 Comparación entre las técnicas de control e m p l e a d a s

Resultados en simulación 88 6.1 Análisis ante perturbaciones o ruido 92

C A P I T U L O 7

C O N C U S I O N E S

BIBLIOGRAFIA

APENDICE

96

98

Indice de Figuras

F i g u r a 1.1 R o b o t I n d u s t r i a l 2

F i g u r a 2.1 A r t i c u l a c i ó n F l e x i b l e 7

F i g u r a 2.2 M o d e l o del R o b o t M a n i p u l a d o r 15

F i g u r a 3 . 2 E l e s t a d o xiy la señal d e referencia xref 27

F i g u r a 3 . 3 El e s t a d o x2v la s e ñ a l d e xrej 28

F i g u r a 3.4 C o n t r o l u 28

F i g u r a 3.5 E s t a d o .t-jy su e s t i m a d o x} 29

F i g u r a 3.C E s t a d o x-2 y su e s t i m a d o x2 29

F i g u r a 4.1 G r á f i c a del cstado.i'i.y la señal d e r e f e r e n c i a tjn 4G

F i g u r a 4.2 G r á f i c a del e s t a d o x-2.y d e yn 40

F i g u r a 4 . 3 Gráfica del c o n t r o l u 47

F i g u r a 5.1 Gráfica del e s t a d o x^y la señal d e referencia xrc¡ 53

F i g u r a 5.2 Gráfica del e s t a d o x-2 y la s e ñ a l JVe/ £>4

F i g u r a 5.3 G r á f i c a del e s t a d o .?•].>' mi e s t i m a d o 34

F i g u r a 5.4 G r á f i c a del e s t a d o x¿.\ su e s t i m a d o »4

F i g u r a 5.5 G r á f i c a del c o n t r o l u 55

F i g u r a 0.1 G r á f i c a del e s t a d o ,r¡ y la s e ñ a l d e referencia xrcf 90

F i g u r a 6.2 G r á f i c a del e s t a d o x-2.y la señal d e referencia xTe¡ 90

F i g u r a G.3 G r á f i c a del e s t a d o x2.y rr, - / 91

F i g u r a 6.4 G r á f i c a d e los c o n t r o l a d o r e s 91

F i g u r a 6.5 E s t a d o x\.xT($ y la señal d e r u i d o 92

F i g u r a 6.6 E s t a d o x2 y la s e ñ a l con r u i d o . G e o m é t r i c o Diferencial 93

F i g u r a 6.7 E s t a d o .Tí y la señal d e r u i d o . Algebraico Diferencial 9 3

F i g u r a 6.8 E s t a d o x{ y la s e ñ a l d e r u i d o . P e r t u r b a c i o n e s S i n g u l a r e s 94

C a p í t u l o 1

I n t r o d u c c i ó n

1.0.1 A u t o m a t i z a c i ó n Industrial

E n la a c t u a l i d a d la i n d u s t r i a m a n u f a c t u r e r a , y en p a r t i c u l a r la i n d u s t r i a r e l a c i o n a d a r o n

la m e t a l - m e c á n i c a , se e n c u e n t r a a n t e la n e c e s i d a d d e a d a p t a r los p r o c e s o s d e p r o d u c c i ó n

en f u n c i ó n d e la d e m a n d a , y d e b e s a t i s f a c e r los criterios d e c a l i d a d , q u e le p e r m i t a n ser

m á s c o m p e t i t i v a y m a n t e n e r s e en el m e r c a d o .

E n e s t o s p r o n t o s d e m a n u f a c t u r a se ha d e s t a c a d o u n g r a n interés p o r el uso d e

ro-b o t s . E s t o es d e ro-b i d o a q u e son c a p a c e s d e d e s e m p e ñ a r u n a g r a n v a r i e d a d d e f u n c i o n e s d e

m a n u f a c t u r a , p u e d e n t r a b a j a r en a m b i e n t e s hostiles p a r a el h o m b r e y p r e s e n t a n u n a

ven-t a j a q u e 110 ven-t i e n e n las m á q u i n a s e s p e c i a l i z a d a s : son m u l ven-t i f u n c i o n a l e s y r e p r o g r a m a b l e s .

U n a consecuencia del u s o d e los r o b o t s , es q u e se h a o b t e n i d o r e d u c c i ó n en los costos d e

p r o d u c c i ó n v d e m a t e r i a s p r i m a s , a d e m á s , el t i e m p o p a r a llevar a c a b o las t a r e a s q u e

e j e c u t a el b r a z o r o b o t m a n i p u l a d o r se h a m i n i m i z a d o de m a n e r a i m p o r t a n t e .

D e a c u e r d o con la asociación m u n d i a l d e r o b ó t i c a , u n r o b o t i n d u s t r i a l es u n m a n i p

-u l a d o r reprogramablc muU ¡funcional d i s e ñ a d o p a r a mover m a t e r i a l e s , p a r t e s , h e r r a m i e n

-t a s , o d i s p o s i -t i v o s especiales, a -t r a v é s de m o v i m i e n -t o s p r o g r a m a d o s p a r a el d e s e m p e ñ o d e

u n a v a r i e d a d d e t a r e a s . U n r o b o t d e e s t a s c a r a c t e r í s t i c a s , se dice q u e p o s e e

m e d i c i ó n y / o visión.

T í p i c a m e n t e , u n r o b o t i n d u s t r i a l c o n s i s t e d e varios e s l a b o n e s rígidos c o n e c t a d o s en

serie p o r a r t i c u l a c i o n e s , las cuales p u e d e n ser r e v o l u t a s y / o p r i s m á t i c a s . A d e m á s , el

ro-b o t p o s e e u n e l e m e n t o i m p o r t a n t e c o n o c i d o c o m o el efector final o h e r r a m i e n t a . la cual

es d e t e r m i n a n t e , d a d o q u e p e r m i t e definir la t a r e a q u e p u e d e d e s a r r o l l a r , p o r e j e m p l o ,

m a n i p u l a r o b j e t o s con p r o p o s i t o s d e e n s a m b l e , s o l d a r , p i n t a r , o b i e n a l g u n a s o t r a s t a r

-eas q u e se le a s i g n a n al m a n i p u l a d o r . P o r o t r o lado, e n el o t r o e x t r e m o d e la c a d e n a

c i n e m á t i c a , s e e n c u e n t r a u n a b a s e fija s u j e t a al piso, t a l c o m o se m u e s t r a en la s i g u i e n t e

figura:

d e los r o b o t s i n d u s t r i a l e s . E s t a flexibilidad se p r e s e n t a c u a n d o s e u t i l i z a n e l e m e n t o ?

p a r a la t r a n s m i s i ó n del m o v i m i e n t o , t a l e s c o m o los i m p u l s o r e s a r m ó n i c o s , b a n d a s de

t r a n s m i s i ó n , o bien en el caso d e g r a n d e s flechas d e t r a n s m i s i ó n , d o n d e u n d e s p l a z a m i e n t o

d i n á m i c o es i n t r o d u c i d o e n t r e la posición d e los a c t u a d o r e s y la p o s i c i ó n d e los eslabones.

M u c h a s veces, e s t a p e q u e ñ a deflexión intrínseca es la c a u s a d e m u c h o s p r o b l e m a s ,

e s p e c i a l m e n t e c u a n d o se desea c o n t r o l a r con m u c h a precisión el s e g u i m i e n t o d e la

trayec-t o r i a . o bien c u a n d o se quiere trayec-t e n e r u n a a l trayec-t a sensibilidad p a r a f u e r z a s c a r trayec-t e s i a n a s en

a l g u n a t a r e a específica a e f e c t u a r p o r el b r a z o m a n i p u l a d o r . C o m o es d e o b s e r v a r s e en el

Herramienta

F i g u r a Xo. 1.1 R o b o t i n d u s t r i a l

1.0.2 R o b o t s flexibles

m o v i m i e n t o d e los b r a z o s r o b o t s , e x i s t e u n a p e q u e ñ a v i b r a c i ó n la c u a l n o p o d e m o s

de-s p r e c i a r . E de-s t a de-s v i b r a c i o n e de-s de-son de p e q u e ñ a m a g n i t u d y d e u n a frecuencia r e l a t i v a m e n t e

a l t a , las cuales p e r m a n e c e n d e n t r o d e c i e r t o a n c h o d e b a n d a d e i n t e r é s p a r a el control.

1.0.3 R o b o t s con flexibilidad e n las articulaciones

E n el m o d e l a d o d e b r a z o s r o b o t s m a n i p u l a d o r e s , la d e f o r m a c i ó n p u e d e ser c a r a c t e r i z a d a

c o m o si é s t a e s t u v i e r a c o n c e n t r a d a en las a r t i c u l a c i o n e s del r o b o t . É s t a es la p r i n c i p a l

c a r a c t e r í s t i c a q u e se reconoce, la c u a l r e p e r c u t e en la derivación del m o d e l o y la síntesis

del control.

Sin e m b a r g o , existo u n a diferencia con r e s p e c t o aquellos b r a z o s r o b o t s con e s l a b o n e s

largos y ligeros, en los q u e la flexibilidad involucra c u e r p o s d e g r a n d e s m a s a s s o m e t i d o s

a d e f o r m a c i o n e s d i s t r i b u i d a s s o b r e largos s e g m e n t o s , en tal caso la flexibilidad n o p u e d e

ser c o n s i d e r a d a m i n o >i ésta e s t u v i e r a c o n c e n t r a d a en las a r t i c u l a c i o n e s , sino q u e m á s

bien la flexibilidad d e b e r á ser c o n s i d e r a d a en los e s l a b o n e s .

P o r o t r o lado, » u p o n e r q u e los r o b o t s t i e n e rigidez p e r f e c t a es u n a h i p ó t e s i s q u e

difí-c i l m e n t e se p u e d e difí-c u m p l i r . Sin e m b a r g o , lo m á s i m p o r t a n t e es difí-c ó m o o b t e n e r u n m o d e l o

m a t e m á t i c o q u e incluya t o d a clase d e flexibilidades, con el fin d e e v a l u a r c u a n t i t i v a m e n t e

s u s e f e c t o s relativ<».

C u a n d o se h a c e u n a c o m p a r a c i ó n e n t r e los r o b o t s flexibles en las a r t i c u l a c i o n e s v

los r o b o t s c o n e s l a b o n e s rígidos, se observa q u e el m o d e l o d i n á m i c o r e q u i e r e dos veces

el n ú m e r o d e c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s p a r a p o d e r c a r a c t e r i z a r c o m p l e t a m e n t e la

con-figuración d e t o d o s los c u e r p o s rígidos q u e lo c o n f o r m a n , t a l e s c o m o los m o t o r e s y los

e s l a b o n e s . E s d e o b s e r v a r s e t a m b i é n q u e a c t u a l m e n t e las d e f o r m a c i o n e s d e las a r t i c u

-laciones s o n b a s t a n t e p e q u e ñ a s , y las f u e r z a s e l á s t i c a s e s t á n t í p i c a m e n t e l i m i t a d a s a el

d o m i n i o d e la linealidad.

E n el c a s o d e b r a z o s r o b o t s con a r t i c u l a c i o n e s elásticas, el n ú m e r o d e e n t r a d a s d e

c o n t r o l n o es igual ai n ú m e r o d e g r a d o s d e l i b e r t a d del r o b o t . P o r consecuencia, las

rígidos. A d e m a s , e n los b r a z o s r o b o t s c o n flexibilidad e n las a r t i c u l a c i o n e s , s e o b s e r v a

q u e p a r a l a i m p l e m e n t ación d e u n a ley d e c o n t r o l se r e q u i e r e d e d o s veces el n u m e r o d e

sensores, así c o m o d e la m e d i c i ó n d e v a r i a b l e s q u e se e n c u e n t r a n a n t e s y d e s p u e s d e la

d e f o r m a c i ó n .

E l o b j e t i v o p r i n c i p a l del d i s e ñ o d e c o n t r o l a d o r e s p a r a r o b o t s flexibles en 1& a r t i c u

-lación es m a n e j a r a p r o p i a d a m e n t e las v i b r a c i o n e s p r o d u c i d a s p o r la e l a s t i c i d a d e n

lar-a r t i c u l lar-a c i o n e s , y lar-asi e f e c t u lar-a r u n p o s i c i o n lar-a m i e n t o r á p i d o y u n s e g u i m i e n t o p r e c i s o d e llar-a

h e r r a m i e n t a del r o b o t . E n e s t e t r a b a j o se s u p o n e q u e se t i e n e rigidez en el e s l a b ó n .

1.0.4 A p o r t a c i o n e s de La Investigación

E n el p r e s e n t e t r a b a j o so p r e s e n t a n varias t é c n i c a s d e c o n t r o l p a r a el s e g u i m i e n t o de la

t r a y e c t o r i a d e r o b o t s m a n i p u l a d o r e s con flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n . L a s a p o r t a c i o n e s

p r i n c i p a l e s se e n c u e n t r a n en los c a p í t u l o s 3. 4.5 y 6 d e la tesis, y en c a d a u n o d e e s t o s

c a p í t u l o s se p r e s e n t a n los r e s u l t a d o s o b t e n i d o s p a r a c a d a u n a d e las t é c n i c a s d e c o n t r o l

p r o p u e s t a s .

1.0.5 Organización del trabajo de tesis

El t r a b a j o d e tesis está o r g a n i z a d o c o m o sigue: E n el C a p í t u l o 2. se p r e s e n t a el m o d

-elo m a t e m á t i c o d e u n b r a z o r o b o t c o n flexibilidad en ia a r t i c u l a c i ó n , v se e n u n c i a n las

p r i n c i p a l e s h i p ó t e s i s q u e se c o n s i d e r a n p a r a la o b t e n c i ó n del m o d e l o d e ios r o b o t s c o n

flexibilidad e n la a r t i c u l a c i ó n , así c o m o t a m b i é n se p r e s e n t a el m o d e l o del b r a z o r o b o t d e

u n s i m p l e e s l a b ó n con a r t i c u l a c i ó n r o t a t o r i a flexible q u e será c o n s i d e r a d o a lo l a r g o d e

e s t e t r a b a j o , y q u e p e r m i t i r á el d i s e ñ o d e los d i s t i n t o s a l g o r i t m o s d e c o n t r o l p r o p u e s t o s

en e s t e t r a b a j o .

B a s a d o en técnic as de la g e o m e t r í a diferencial se p r o p o n e , en el C a p í t u l o 3. u n c o n t r o

-l a d o r b a s a d o en u n o b s e r v a d o r p a r a u n a c-lase d e s i s t e m a s no--linea-les q u e s o n -linea-lizab-les

p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n d e e s t a d o . A d e m a s , u n o b s e r v a d o r d e a l t a g a n a n c i a es d i s e ñ a d o

s i s t e m a e n lazo c e r r a d o es p r e s e n t a d o . R e s u l t a d o s en simulación son m o s t r a d o s c u a n d o

e s t e e s q u e m a d e c o n t r o l se aplica al m o d e l o del r o b o t .

E n el C a p í t u l o 4. se diseña u n c o n t r o l a d o r c o n s i d e r a n d o el m é t o d o a l g e b r a i c o

difer-e n c i a l p a r a rdifer-esolvdifer-er los p r o b l difer-e m a s ddifer-e difer-estabilización y s difer-e g u i m i difer-e n t o d difer-e salida d difer-e s i s t difer-e m a s

no-lineales, u t i l i z a n d o p a r a ello, la e s t r a t e g i a d e linealización e x a c t a d e la d i n á m i c a del

e r r o r d e s e g u i m i e n t o , en e s t a técnica se p r o p o n e u n o b s e r v a d o r d e a l t a g a n a n c i a p a r a

e s t i m a r el e r r o r d e s e g u i m i e n t o . F i n a l m e n t e , se p r e s e n t a n los r e s u l t a d o s d e s i m u l a c i ó n

d e e s t e e s q u e m a d e control.

M e d i a n t e la t e o r í a b a s a d a en p e r t u r b a c i o n e s singulares, en el C a p í t u l o 5. se p r e s e n t a

u n c o n t r o l a d o r b a s a d o en u n o b s e r v a d o r p a r a u n a clase de s i s t e m a s no-lineales

singular-m e n t e p e r t u r b a d o s . B a j o e s t e e s q u e singular-m a se clan las condiciones suficientes p a r a g a r a n t i z a r

la e s t a b i l i d a d del s i s t e m a en lazo c e r r a d o . R e s u l t a d o s son p r e s e n t a d o s p a r a m o s t r a r el

d e s e m p e ñ o d e e s t a t é c n i c a de c o n t r o l .

E n el C a p i t u l o 6. se p r e s e n t a un e s t u d i o c o m p a r a t i v o d e las t é c n i c a s de control p r o p

-u e s t a s . d o n d e e x p e r i m e n t o s s o b r e la r o b -u s t e z d e e s t a s técnicas es e f e c t -u a d o , t o m a n d o en

c o n s i d e r a c i ó n la presencia d e p e r t u r b a c i o n e s o r u i d o en el s i s t e m a , y la i n t r o d u c c i ó n de

v a r i a c i o n e s e n los p a r á m e t r o s del r o b o t

F i n a l m e n t e , en el C a p í t u l o 7 se d a n las conclusiones generales y r e c o m e n d a c i o n e s p a r a

t r a b a j o s f u t u r o s .

E n el p r e s e n t e t r a b a j o d e investigación, se p r e s e n t a a d e m á s u n a p é n d i c e , en el c u a l

se clan a l g u n o s c o n c e p t o s y definiciones necesarias p a r a la c o m p r e n s i ó n de e s t a tesis, e m

-p e z a n d o con a l g u n a s definiciones s o b r e la teoría d e la observación d e s i s t e m a s no-lineales

en t i e m p o c o n t i n u o , a l g u n o s r e s u l t a d o s s o b r e o b s e r v a d o r e s y su síntesis, definiciones y

r e s u l t a d o s útiles s o b r e e s t a b i l i d a d y estabilización de s i s t e m a s d e c o n t r o l . F i n a l m e n t e

se a n e x a n a l g u n o s r e s u l t a d o s p r e s e n t a d o s en e s t e t r a b a j o d e investigación, q u e f u e r o n

C a p í t u l o 2

M o d e l o m a t e m á t i c o del r o b o t c o n

flexibilidad e n la a r t i c u l a c i ó n

2.0.6 M a n i p u l a d o r e s con Articulaciones Elásticas

E n e s t e c a p í t u l o se c o n s i d e r a la m o d e l a c i ó n cle r o b o t s con e l a s t i c i d a d en las a r t i c u l a c i o n e s .

C o m o se m e n c i o n ó en la i n t r o d u c c i ó n , la presencia d e flexibilidad en las a r t i c u l a c i o n e s

d e los r o b o t s , son p r o b l e m a s m u y c o m u n e s en m u c h o s d e lo r o b o t s i n d u s t r i a l e s .

P a r a la m o d e l a c i ó n d e r o b o t s flexibles en la a r t i c u l a c i ó n , d e b e n t o m a r s e on c u e n t a

a l g u n a s h i p ó t e s i s generales acerca de su e s t r u c t u r a m e c á n i c a , las cuales se enuncia como

sigue:

H i p ó t e s i s

1.- L a s d e f o r m a c i o n e s elásticas d e b e n d e ser p e q u e ñ a s , d e t a l m a n e r a q u e s u s e f e c t o s

s o n c o n o c i d o s , ya q u e d e n o ser así t e n d r í a m o s m o d e l o s d e m a s i a d o c o m p l e j o s , q u e n o son

t r a t a b l e s p o r el d i s e ñ o del control.

2.- P a r a la m o d e l i z a c i ó n del efecto de la flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n , se c o n s i d e r a

e s t e c o m o si f u e r a u n r e s o r t e torsional, t a l c o m o se m u e s t r a e n la F i g u r a 2.1

3.- Los r o t o r e s d e los a c t u a d o r e s son m o d e l a d o s c o m o si e s t o s f u e r a n c u e r p o s u n i f o r m e s

Eslab

Rotor del motor

F i g u r a Xo.2.1 A r t i c u l a c i ó n flexible

E s i m p o r t a n t e h a c e r n o t a r q u e la suposición d e la s i m e t r í a g e o m é t r i c a de los rotores,

implica q u e t a n t o la m a t r i z d e inercia c o m o el t é r m i n o g r a v i t a t o r i o en el m o d e l o d i n á m i c o

son i n d e p e n d i e n t e s d e la posición i n t e r n a d e los m o t o r e s .

E n b a s e a la f o r m u l a c i ó n L a g r a n g i a n a . un c o n j u n t o d e c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s

t i e n e q u e ser u t i l i z a d a p a r a c a r a c t c r i z a r d e m a n e r a única la c o n f i g u r a c i ó n del s i s t e m a .

D a d o q u e el b r a z o r o b o t e s t a c o m p u e s t o por 2n c u e r p o s rígidos ( los e s l a b o n e s y los

a c t u a d o r e s ele la e s t r u c t u r a del b r a z o r o b o t ) , e n t o n c e s s e r á n n e c e s a r i a s 2n c o o r d e n a d a s .

Sea (]\ el vector (n x 1) de posición d e los e s l a b o n e s y q2 el vector n x l q u e r e p r e s e n t a

las posiciones del a c t u a d o r n o r m a l m e n t e r e f l e j a d o a t r a v é s d e la relación d e e n g r a n e s .

De a c u e r d o con esta selección, la diferencia qLl - q2j r e p r e s e n t a r á la d e f o r m a c i ó n d e la

i-ésima a r t i c u l a c i ó n . P o r o t r o lado, la c i n e m á t i c a d i r e c t a de t o d o el e s l a b ó n ( y t a m b i é n

d e c a d a e x t r e m o del e s l a b ó n ) d e b e r á ser u n a f u n c i ó n ú n i c a m e n t e d e las variables del

e s l a b ó n q¡.

A h o r a , d e f i n i e n d o la energía cinética del r o b o t la cual esta d a d a p o r :

d o n d e q = {qi.q-2) € R2n y H(q) r e p r e s e n t a la m a t r i z d e inercia d e (2r? x 2n ) . la cual es

s i m é t r i c a y d e f i n i d a positiva p a r a t o d a q. A d e m a s , p a r a a r t i c u l a c i o n e s r o t a t o r i a s t o d o s

los e l e m e n t o s d e H{q) son a c o t a d o s . D e a c u e r d o a las suposiciones a n t e r i o r e s . H{q) t i e n e

la s i g u i e n t e e s t r u c t u r a i n t e r n a :

E n la e c u a c i ó n a n t e r i o r t o d o s las s u b n i a t r i c e s son m a t r i c e s d e d i m e n s i ó n (/?x n ) .

d o n d e H\ c o n t i e n e t o d a s las p r o p i e d a d e s inerciales. H2 t o m a en c o n s i d e r a c i ó n los

a c o p l a m i e n t o s inerciales e n t r e los giros d e los a c t u a d o r e s y los e s l a b o n e s previos, m i e n t r a s

q u e H3 es u n a m a t r i z d i a g o n a l c o n s t a n t e q u e d e p e n d e d e las inercias d e los r o t o r e s d e

los m o t o r e s y d e la relación de e n g r a n e s .

La energía potencial e s t á d a d a c o m o la s u m a de dos t é r m i n o s , los t é r m i n o s g r a v i t a

-t o r i o s d e los a c -t u a d o r e s y los d e los eslabones.

S u p o n i e n d o q u e las m a s a s de los r o t o r e s son s i m é t r i c a s , la energía p o t e n c i a l U,r esta

e x p r e s a d a p o r

El s e g u n d o t é r m i n o tic la e c u a c i ó n a n t e r i o r se refiere a la e l a s t i c i d a d d e la a r t i c u l a c i ó n ,

la c u a l p u e d e ser escrita como:

l'g = l',,{<¡l) - i'e ( 2 . 3 )

tí = o^/i - <I2)TK(<]1 ~ q-2)

1

( 2 . 4 )

d o n d e K = d/ag {k} k„}. k, > 0 . k, r e p r e s e n t a la c o n s t a n t e elástica de la a r t i c u l a c i ó n

la e n e r g í a elástica (2.5) p u e d e ser reescrita c o m o

Ue = -q KEq (2.6)

P o r o t r a p a r t e , las e c u a c i o n e s d i n á m i c a s del m o v i m i e n t o del r o b o t se o b t i e n e n a p a r t i r

d e

d ( dL\ DL

d i m J ~ d ¡ r U t 1 = 1 2 n

(2.7)

d o n d e L{q.q) = K{q.q) - U(q.q) es la f u n c i ó n L a g r a n g i a n a y u, r e p r e s e n t a la f u e r z a

g e n e r a l i z a d a q u e d e s e m p e ñ a u n t r a b a j o s o b r e la c o o r d e n a d a s q,. P u e s t o q u e ú n i c a m e n t e

las c o o r d e n a d a s del m o t o r q2 son a c t u a d a s d i r e c t a m e n t e , se p u e d e n r e p r e s e n t a r t o d a s las

f u e r z a s e n el l a d o d e r e c h o de la e c u a c i ó n (2.7) por

u = [ 0 . . . 0 Ü J . . . U , / en2" _:2.b)

E n f o r m a explícita la ecuación (2.7) da lugar a 2» e c u a c i o n e s diferenciales d e s e g u n d o

o r d e n d e la f o r m a

H{qi) q —C{q. q) q -rI<Eq ^ <j(qi) = u

en la c u a l los t é r m i n o s d e Coriolis v c e n t r í f u g o s son

C(q.q)q=

H{q{)q--y el \-cctor d e g r a v e d a d es

(2.9)

( 2 . 1 0 )

g{q\) - d U9{ q i ): dq

g{qi)

o

( 2 . 1 1 )

con

-t r a n a los l a d o s d e las a r -t i c u l a c i ó n e l á s -t i c a y p u e d e n ser f á c i l m e n -t e i n c l u i d o s e n el m o d e l o

d i n á m i c o .

2 . 0 . 7 P r o p i e d a d e s del m o d e l o

A l c o n s i d e r a r el m o d e l o g e n e r a l (2.9). las s i g u i e n t e s p r o p i e d a d e s p u e d e n ser d e r i v a d a s ,

a l g u n a s d e ellas se e n c u e n t r a n t a m b i é n p r e s e n t e s en el c a s o del m o d e l o del r o b o t rígido.

l . - L o s e l e m e n t o s d e C(q.Q) p u e d e n s i e m p r e definirse, d e t a l f o r m a q u e la m a t r i z H

- 2C r e s u l t e anti-simétrica. E n p a r t i c u l a r , t a l selección es p r o p o r c i o n a d a p o r los s í m b o l o s

d e C l i r i s t o f f e l

2.-Si C{q. q) e s t a d e f i n i d a c o m o e n (2.12). e n t o n c e s e s t a p u e d e ser d e s c o m p u e s t a c o m o ( 2 . 1 2 )

p a r a i.j = 1 2 n . d o n d e q, d e n o t a el i-esimo e l e m e n t o del v e c t o r q.

C(q.Q) =CA(ql.q2) + CB{q1.ql) (2.13)

c o n

(2.14)

(2.15)

d o n d e los e l e m e n t o s d e las m a t r i c e s (/? x N) CAI-CD\.CB2 y CBZ s o n

( 2 . 1 6 )

CB2aM = ^

CB3.,j{q I.?i) = i

; <?i + <7i

dq\ dqi.,

dH2jl • d{Hly • "

J

9i +

'

(2.18)

(2.19)

dqi

dq

c o n A1 d e n o t a n d o la i-ésima fila d e u n a m a t r i z A . E s t a s e x p r e s i o n e s r e s u l t a n a p a r

til-d e til-d e p e n til-d e n c i a til-d e la m a t r i z til-de inercia (2.2) y til-d e la p r o p i e til-d a til-d n ú m e r o 1.

3.- La m a t r i z H2{qx) t i e n e la s i g u i e n t e e s t r u c t u r a t r i a n g u l a r

^ 0 7/2.12(^1.1) #2.13(91.1-91.2) ••• #2.1n(<?l,l 9i.».-i) ^

#2.23(91.2) • • • #2.2ii (91.2 ? l . » - l )

#2. n — 1. n (91. 'i — 1

0

Los e l e m e n t o s d e la m a t r i z H2 p u e d e n ser o b t e n i d o s m e d i a n t e la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n

d-T

0Qi,0q2_,

(2.20)

d o n d e la e n e r g í a cinética T r e p r e s e n t a la s u m a d e la energía cinética d e c a d a e s l a b ó n

i n c l u y e n d o la del e s t a t o r del m o t o r sucesivo y la d e c a d a r o t o r d e los m o t o r e s . E11 v i r t u d

d e q u e la e n e r g í a cinética es u n a f o r m a c u a d r á t i c a de q. y t o m a n d o en c u e n t a la selección

d e v a r i a b l e s m e n c i o n a d a s a n t e r i o r m e n t e , las c o n t r i b u c i o n e s de fí2 se d e b e n s o l a m e n t e a

la p a r t e d e la energía cinética c o r r e s p o n d i e n t e a los rotores, d e t a l m a n e r a q u e p a r a el

i-esimo r o t o r e s t a e n e r g í a viene d a d a p o r

1 T

1

ir.1 = ^mr.,1'2lV2_x + -ff.2¡lrAW2., (2.21)

d o n d e r2]J y w2¡¡ son la velocidad lineal a b s o l u t a y la velocidad a n g u l a r del r o t o r ,

respec-t i v a m e n respec-t e . e x p r e s a d a s en u n m a r c o d e referencia colocado en el c o r r e s p o n d i e n respec-t e e s respec-t a respec-t o r .

c e n t r o d e m a s a s d e l r o t o r p e r m a n e c e e n el e j e d e r o t a c i ó n , s o l a m e n t e e l s e g u n d o t é r m i n o

d e l l a d o d e r e c h o d e la e c u a c i ó n a n t e r i o r c o n t r i b u y e a H2JJ. La v e l o c i d a d a n g u l a r u'2.¿

p u e d e ser c a l c u l a d a p a r a a r t i c u l a c i o n e s r o t a c i o n a l e s p o r la s i g u i e n t e f ó r m u l a r e c u r s i v a :

ít'2.1 = Rr.1 U.'1.,-_1 + b-u 92.«

u.'i.f = RM\.i) 1 T bi.} 9i _.i

(2.22)

e n la c u a l w \t l es la v e l o c i d a d a b s o l u t a a n g u l a r del e s l a b ó n i e n u n m a r c o d e r e f e r e n c i a

s u j e t o al p r o p i o e s l a b ó n . blA es el v e c t o r u n i t a r i o a s o c i a d o a el e j e d e la i e s i m a a r t i c u

-l a c i ó n . b2A es el v e c t o r u n i t a r i o c o n s t a n t e d e la v e l o c i d a d a n g u l a r d e l r o t o r i r e l a t i v o al

e s l a b ó n 2 - 1 . Rt es la m a t r i z d e t r a n s f o r m a c i ó n d e (3 x 3) d e s d e el m a r c o d e l e s l a b ó n

/ - 1 al m a r c o d e r e f e r e n c i a del e s l a b ó n i. Rr , es la m a t r i z d e t r a n s f o r m a c i ó n d e (3 x 3)

d e s d e el m a r c o del e s l a b ó n i - 1 al m a r c o d e r e f e r e n c i a del r o t o r i.

4.- E x i s t e u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a a t a l q u e

2.0.8 M o d e l o s simplificados

E n m u c h o s a r r e g l o s c i n e m á t i c o s c o m u n e s , el b l o q u e H-, e n la m a t r i z d e i n e r c i a d e l m o d e l o

d e l r o b o t c o n a r t i c u l a c i ó n e l á s t i c a es constante, d e t a l m a n e r a q u e s e p u e d e n e f e c t u a r

s i m p l i f i c a c i o n e s e n la m o d e l a c i ó n , es d e c i r

e s t o s i g n i f i c a q u e los t é r m i n o s d e Coriolis y c e n t r í f u g o , los c u a l e s s o n s i e m p r e i n d e p e n d i

-e n t -e s d -e q2. r e s u l t a n t a m b i é n ser i n d e p e n d i e n t e s d e q2. C o m o c o n s e c u e n c i a d e lo a n t e r i o r .

7!

(2.23)

el m o d e l o (2.9) p u e d e ser r e e s c r i t o d e la f o r m a

Hi(qi) 91 +H2 q2 +C[qi.qi) +I<{qi - q2) + gi{qi) = 0

(2.24) Hj qx -f-Hz q2 +A'(<?2 - <?i) = u

d o n d e C i = C.

E n a l g u n a s e s t r u c t u r a s c i n e m á t i c a s especiales de r o b o t s se e n c u e n t r a cine H2 = 0

. y s i m p l i f i c a c i o n e s a d i c i o n a l e s son i n d u c i d a s . E n c o n s e c u e n c i a , n o h a y a c o p l a m i e n t o s

inerciales e n t r e el e s l a b ó n y las d i n á m i c a s del m o t o r

H\{q\) +C(ql.q1) qx - A ' (9 l - q,) + (?1) = 0

(2.25) H.í q2 -rh (q2 — qx) = u

P a r a m o d e l o s d e r o b o t s g e n e r a l e s con arriculacionos elásticas, u n modelo reducido de

la f o r m a a n t e r i o r p u e d e ser o b t e n i d o al d e s p r e c i a r a l g u n a s c o n t r i b u c i o n e s e n la energía

del s i s t e m a . E n p a r t i c u l a r . H . p u e d o ser igual a cero, si la p a r t e a n g u l a r d e la energía

cinética d e c a d a r o t o r se d e b e ú n i c a m e n t e a su p r o p i a r o t a c i ó n , e s t o es i c2, fír , q , , .

o b i e n

-r 1 t lr 2

Tr, = - - Im. , <?_>., (2.26)

con el e s c a l a r p o s i t i v o / , „ , = b L R j j r . ^ r . A i , - C u a n d o la r e l a c i ó n d e la r e d u c c i ó n d e

oí igra nos es m u y g r a n d e , esta a p r o x i m a c i ó n es b a s t a n t e r a z o n a b l e d a d o q u e el giro r á p i d o

d e c a d a r o t o r d o m i n a e n la v e l o c i d a d a n g u l a r d e los e s l a b o n e s previos d e la c a d e n a

c i n e m á t i c a .

2.0.9 M o d e l o del robot con articulación flexible de u n grado de

libertad

E n e s t a tesis, se p r o p o n d r á n d i s t i n t a s t é c n i c a s d e control p a r a t r a t a r con los p r o b l e m a s

d e e s t a b i l i z a c i ó n y s e g u i m i e n t o d e salida, d e un r o b o t de u n s i m p l e e s l a b ó n y con a r t i c

m a t e m á t i c o .

2.1 Modelo Matemático

E n b a s e a la f o r m u l a c i ó n L a g r a n g i a n a . el s i s t e m a d i n á m i c o q u e d e s c r i b e el c o m p o r

-t a m i e n -t o d e u n r o b o -t d e u n s i m p l e e s l a b ó n con a r -t i c u l a c i ó n r o -t a -t o r i a flexible en u n

m o v i m i e n t o p l a n a r será d e r i v a d a .

El s i s t e m a d i n á m i c o ( S u) q u e d e s c r i b e el m o v i m i e n t o del r o b o t ( ver S p o n g [31]) e s t a

d a d o p o r el s i g u i e n t e m o d e l o m a t e m á t i c o

d o n d e q d e n o t a la posición a n g u l a r del e s l a b ó n de l o n g i t u d 1/2 y m a s a m . q,„ d e n o t a la

posición a n g u l a r del r o t o r del m o t o r . I r e p r e s e n t a la inercia del e s l a b ó n . J es la inercia

del m o t o r , k os el coeficiente de rigidez de la a r t i c u l a c i ó n flexible. D es la fricción viscosa

del m o t o r . Dt r e p r e s e n t a la fricción viscosa del e s l a b ó n , g es la aceleración g r a v i t a c i o n a l :

y finalmente u es el vector de t o r q u e s d e los a c t u a d o r e s .

El m o d e l o r e p r e s e n t a d o p o r la ecuación ( 2.27). n o t o m a en c u e n t a el efecto d e la

iner-cia del a c t u a d o r a l r e d e d o r d e los t r e s ejes i n d e p e n d i e n t e s . Sin e m b a r g o , se ha d e m o s t r a d o

en [31] q u e la e c u a c i ó n (2.27) r e p r e s e n t a d e m a n e r a a p r o p i a d a , d e n t r o d e u n d o m i n i o de

E l e s q u e m a del m o d e l o d e r o b o t d e s c r i t o p o r (2.27) se i l u s t r a en la F i g u r a 2.2.

F i g u r a Xo. 2.2 M o d e l o del r o b o t m a n i p u l a d o r

• q. qm son las c o o r d e n a d a s g e n e r a l i z a d a s d e posición

• J = 3.003 n r K g . . B = 300.3 X m K g . . k - 100 X r a d / m

• e = y / ^ a ; 1 0 "1. o = 7.13 - 10"&

C a p í t u l o 3

M é t o d o G e o m é t r i c o Diferencial

3.0.1 Introducción

E n e s t u d i o s r e c i e n t e s s o b r e el p r o b l e m a de e s t a b i l i d a d p a r a s i s t e m a s n o lineales a f i n e s e n

el c o n t r o l , y q u e e s t á n b a s a d o s en la g e o m e t r í a diferencial, son t e m a s d e Í n t e r e s p o r p a r t e

d e los i n v e s t i g a d o r e s e n la m a t e r i a (ver p o r e j e m p l o [ G j . [ l l ] . [ 2 9 ] ) . E s t a m e t o d o l o g í a está

b a s a d a e n los e l e m e n t o s f u n d a m e n t a l e s de la g e o m e t r í a diferencial, la c u a l lia p e r m i t i d o

el a n á l i s i s d e e s t a b i l i d a d y diseño de c o n t r o l a d o r e s m u c h o m a s eficientes q u e los m é t o d o s

t r a d i c i o n a l e s d e c o n t r o l clásico. La diferencia f u n d a m e n t a l e n t r e las t é c n i c a s d e c o n t r o l

clásico y las q u e se b a s a n e n m é t o d o s de g e o m e t r í a diferencial, r a d i c a e n el h e c h o q u e

p e r m i t o o b t e n e r r e s u l t a d o s m á s p o d e r o s o s , a d e m á s d e c o a d y u v a r a c o m p r e n d e r m e j o r los

folíenmenos q u e a n t e s e r a n d e s p r e c i a d o s o q u e l i m i t a b a n su aplicación a solo p e q u e ñ a s

regiones d e f u n c i o n a m i e n t o .

El o b j e t i v o del p r e s e n t e c a p í t u l o es p r e s e n t a r u n a l g o r i t m o d e c o n t r o l b a s a d o en

u n o b s e r v a d o r p a r a u n a clase d e s i s t e m a s n o lineales, los cuales s o n l i n e a l i z a b l e s p o r

r e t r o a l i m e n t a c i ó n d e e s t a d o . A d e m á s , s e p r o p o n e u n o b s e r v a d o r o s e n s o r c o m p u t a c i o n a l .

el cual p e r m i t e e s t i m a r las variables d e e s t a d o , q u e p o r r a z o n e s físicas o e c o n ó m i c a s , no

es p o s i b l e m e d i r .

o b s e r v a b l e p a r a t o d a e n t r a d a , es decir la p r o p i e d a d d e o b s e r v a b i l i d a d del s i s t e m a 110 se

ve a f e c t a d a p o r las e n t r a d a s a p l i c a d a s al s i s t e m a [ver T e o r e m a 0.13 A p é n d i c e ] .

M e d i a n t e u n c a m b i o d e c o o r d e n a d a s a p r o p i a d o es posible, b a j o c i e r t a s condiciones

e s t r u c t u r a l e s , t r a n s f o r m a r u n s i s t e m a n o lineal en o t r o s i s t e m a el c u a l es c o n t r o l a b l e y

q u e es linealizable p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n d e e s t a d o .

3.1 Estabilización de una Clase de Sistemas N o

Lin-eales

C o n s i d e r e m o s la s i g u i e n t e clase d e s i s t e m a s n o lineales con u n a e n t r a d a y u n a salida,

o b s e r v a b l e s p a r a c u a l q u i e r e n t r a d a y con la s i g u i e n t e e s t r u c t u r a :

S.VL

y - Cx =

d o n d e x G Rn. u € 7?. y e R. v

' o 1 ... o

.4 =

0 0 . . . 1

o o . . . o

B =

<

\

"'

' /

: í =

/ 0 ^

V t-(.r) )

c= 1 o ... o

A d e m á s , s e a s u m e q u e las f u n c i o n e s ; V L ' son f u n c i o n e s g l o b a l m e n t e s Lipsliitz.

U11 o b s e r v a d o r p a r a e s t a clase d e s i s t e m a s e s t a d a d o p o r

A . A

x= = /I X + - S;, A , _ , A lCT{C i ~y)

(3.1)

d o n d e S0 es u n a m a t r i z s i m é t r i c a definida positiva, solución de la e c u a c i ó n d e L v

a p u n o v

9Se + ATSe + Se ,4 = CTC _(3.2)

Los coeficientes d e (Sg)^ son d a d o s por la s i g u i e n t e e x p r e s i ó n

= (3.3)

í

n! \

d o n d e ( C% = — ) .que se o b t i e n e a p a r t i r d e la solución d e la e c u a c i ó n (3.2). es

V i"-p)WJ '

u n a m a t r i z s i m é t r i c a definida positiva ( ver [6.8.10]).

C o m o se p u e d e o b s e r v a r el s i s t e m a se e n c u e n t r a en la f o r m a n o r m a l q u e se ha e s t a b l e

-cido en [5]. T a m b i é n se p u e d e s e ñ a l a r que si u e s t á a c o t a d a , e n t o n c e s la e c u a c i ó n (3.0)

es u n o b s e r v a d o r e x p o n e n c i a l p a r a el s i s t e m a d a d o .

E s t o es. si se define =r =x {t) - x(t). e n t o n c e s la d i n á m i c a del error d e e s t i m a c i ó n e s t a

d a d a p o r

f= {A - SQ1CTC) £ T- (*(*) - $(,-)) + ^ ( x ) - u

se p u e d e d e m o s t r a r q u e converge e x p o n e n c i a l m e n t e a cero c u a n d o el t i e m p o t i e n d e hacia

r l i n f i n i t o (ver [8]). M a s p r e c i s a m e n t e . Vu e LX{R~). existe k > 0 t a l q u e ||r|| < .

A d e m á s l-(j-) ^ 0: V.r 6 /?".

U n c o n t r o l a d o r q u e linealice y estabilize al s i s t e m a E . v i está d a d o por

, .

« U ) = — r (3.4)

donde los coeficientes

a

se seleccionan de modo que la matriz

{A - BK)

sea Hurwitz.

O b s e r v a c i ó n 1: Resultados más generales, tanto para sisternas no lineales en forma

triangular, como para sistemas mult i variables, existen y pueden ser considerados como

una extensión de estos (ver [10] para el caso de una simple salida, y en [17] para el caso

3.2 Análisis de Estabilidad en Lazo Cerrado

Se d i s c u t i r á e n s e g u i d a el p r i n c i p i o d e s e p a r a c i ó n , el cual consiste en el e s t u d i o d e la

e s t a b i l i d a d del s i g u i e n t e s i s t e m a en lazo c e r r a d o (ver F i g u r a 3.1).

Entrada u

— O 1 > Sistema Brazo Robot

Salida y

Observador Estimado x

u(x) _{Algoritmo ^}

de Control

F i g u r a 3.1 E s q u e m a de c o n t r o l en lazo c e r r a d o

E n o t r a s p a l a b r a s , se considera el p r o b l e m a d e la e s t a b i l i d a d del s i s t e m a a u m e n t a d o ,

c o n s i s t e n t e en el s i s t e m a c o n t r o l a d o y el o b s e r v a d o r , c u a n d o la r e t r o a l i m e n t a c i ó n es u n a

f u n c i ó n del e s t a d o e s t i m a d o , el cual es p r o p o r c i o n a d o p o r el o b s e r v a d o r .

P a r a resolver e s t e p r o b l e m a , se considera el siguiente s i s t e m a a u m e n t a d o

.1-= .4 .r T ^ ( X ) u ( J : ) - SglCT(C .r - y )

- <l>(x - r ) (x

a p l i c a n d o el c o n t r o l u d e la ecuación (3.3). y e s c r i b i e n d o en t é r m i n o s d e la d i n á m i c a del

e r r o r v del e s t a d o e s t i m a d o , o b t e n e m o s

Ì=ÀÌ -SglCTC-:.

d o n d e

A=

0 0

- G0 - a i _{— fln-l}

A c o n t i n u a c i ó n se p r e s e n t a el r e s u l t a d o principal d e e s t e c a p í t u l o , y el c u a l se e x p r e s a en

el s i g u i e n t e

T e o r e m a 1. Sea u(x) ¡a retroalimentación de estado dada por (3.3). Asumiendo que

s u p | | u ( x ) | | < oc . Entonces, el sistema ( E ) es global y asintóticamente estable. T ~ I in

P r u e b a d e l T e o r e m a 1.

C o n s i d e r e r ( i \ = ) = \ \ (r) - r > ( . r ) . c o m o u n a f u n c i ó n c a n d i d a t a d e L y a p u n o v . d o n d e

* = y = xtPj ' - s i e n d o P u n a m a t r i z s i m é t r i c a definida positiva tal que

.4 P + P . 4 = - / • d o n d e I es la m a t r i z i d e n t i d a d y .4 la t r a n s p u e s t a d e la m a t r i z A •

A h o r a se d e m o s t r a r á que el s i s t e m a ( £ ) es g l o b a l m e n t e estable,

i) P r i m e r o , d e r i v a n d o \ \ ( - ) con r e s p e c t o al t i e m p o la f u n c i ó n a lo largo d e las

travec-t o r i a s d e £ . s e travec-t i e n e

= '2zTSoAz - 2{ C e )2 -r 2EtSb - <I>(.r

= -0-:rS0z - {Ce)2 + 2EtS0

-D e n o t a n d o p o r ||£||5fl la n o r m a ( xrSf li ) * y u t i l i z a n d o la d e s i g u a l d a d d e Schwarz. se

o b t i e n e :

d t Vv - M l s J " ) < - « ( [ l = i l s » )2+ 2 | £ | |s >

d o n d e

5» + 2 Urli, 'o

A h o r a , a p r o v e c h a n d o la f o r m a p a r t i c u l a r d e Se. $ v el h e c h o d e q u e $ y $ s o n

glob-a l m e n t e L i p s c h i t z . se o b t i e n e :

- - c )

_{< Ai ||c| s}

< Xi II-II5» •

p a r a a l g u n a s c o n s t a n t e s A! y A2 las c u a l e s n o d e p e n d e n d e 6. 9 > 1. E n t o n c e s .

d , M #

J 11 -115« < " 2 il^l's. - A1IU- \s, ^ A-> ll=ILs

'0-S e l e c c i o n a n d o 6 t a l q u e - - - X,RQ = > 0. R e s u l t a q u e

d

~J¡ ll-ILs« - ~~9 II-I S„

v e n c o n s e c u e n c i a

I K U < , - - " > ' | | 5 ( 0 ) |5 H

(ii) A h o r a . d e r i v a n d o la f u n c i ó n U U ) a lo l a r g o d e las t r a y e c t o r i a s del s i s t e m a , r e s u l t a

([iie

AT , 7 - AT - / T , T A A T

=x PAx + x A P X - 2 x PSglCTCr = - x x-2 x PSDLCTC•

< - A F P Î -2 ? PSq1CTCs = -aV2 - 2 x T PS^CTCe

U t i l i z a n d o la d e s i g u a l d a d d e Schwarz se o b t i e n e

Tt(V2)<~aV2 + 2pB

\\4s^4-S e l e c c i o n a n d o 6 t a l que ~!9 > ^ se c o m p l e t a y finaliza la p r u e b a . •

Se h a d e m o s t r a d o la e s t a b i l i d a d del s i s t e m a en lazo c e r r a d o p a r a la clase d e s i s t e m a s

c o n s i d e r a d a , en el caso d o n d e la e n t r a d a u e s t á a c o t a d a y d o n d e las f u n c i o n e s ^ y v son

f u n c i o n e s g l o b a l m e n t e Lipschitz.

C u a n d o la e n t r a d a u n o e s t e a c o t a d a , e n t o n c e s se tiene

C o r o l a r i o 1. Asumiendo que u es una constante diferente de cero y y~ globalmente

Lipschitz. Entonces. (Y.) es global y asintóticamente estable.

N o t e q u e p a r a la p r u e b a del T e o r e m a 1. el a c o t a m i e n t o d e u(.r) t i e n e q u e ser u s a d o en

el t é r m i n o - - - - ) ) u . el cual d e s a p a r e c e , y p o r lo t a n t o , el s i s t e m a ( £ )

t o m a la f o r m a siguiente

¿'=4^ -SGLCTC£.

S= ( A - S ^ C T C ) - * ( * - , ) .

O b s e r v a c i ó n 2 : El c o n t r o l u. d a d o en la e c u a c i ó n (3.3) . estabiliza el s i s t e m a en x = 0

. D a d o q u e el s i s t e m a c o n s i d e r a d o es c o m p l e t a m e n t e Iinealizable p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n

d e e s t a d o , e n t o n c e s se p u e d e d i s e ñ a r u n a ley d e c o n t r o l que siga u n a señal d e referencia

ijre/ d e s a l i d a d a d a ( ver [8]). E s t a ley de c o n t r o l e s t á d a d a p o r :

= «fe (-*<*>

^ í - l S - i

B a j o h i p ó t e s i s similares d e a c o t a m i e n t o , c o m o antes, el p r i n c i p i o d e s e p a r a c i ó n se

3.3 Aplicación al modelo matemático del robot con

articulación flexible

La t é c n i c a m e d i a n t e e s t e e n f o q u e g e o m é t r i c o diferencial se aplica al caso d e u n r o b o t

d e u n s i m p l e e s l a b ó n el c u a l t i e n e flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n , v p a r a t a l p r o p ó s i t o se

c o n s i d e r a el s i g u i e n t e m o d e l o m a t e m á t i c o d e s c r i t o por las siguientes e c u a c i o n e s d i n á m i c a s

d o n d e q r e p r e s e n t a la posición a n g u l a r del e s l a b ó n de l o n g i t u d 1/2. y m a s a w . q,„ la

posición a n g u l a r del r o t o r del m o t o r . 7 r e p r e s e n t a la inercia del e s l a b ó n . J es la inercia

del m o t o r , k es el coeficiente d e rigidez de la a r t i c u l a c i ó n flexible. D es la fricción viscosa

del m o t o r . B¡ r e p r e s e n t a el fricción viscosa del e s l a b ó n , g es la aceleración g r a v i t a c i o n a l :

y finalmente, u es el vector de t o r q u e s del a c t u a d o r .

P a r t i e n d o d e las e x p r e s i o n e s q u e d e s c r i b e n al s i s t e m a ( £u) . se define el s i g u i e n t e

c a m b i o d e c o o r d e n a d a s :

•''i = <7m la posición a n g u l a r del r o t o r del m o t o r

~(l„, la velocidad a n g u l a r del m o t o r

•i':í - k(q - qm) r e p r e s e n t a la fuerza elástica

•i'-1 = ' <?s la variación d e la velocidad elástica.

E n t o n c e s , se o b t i e n e el s i g u i e n t e m o d e l o d i n á m i c o del r o b o t •7 Qm -rB qm +k{qm - q) = u

I Q +B¡q -L-mgl sin(g) - k{qm - q) = 0

r

Xi~ X-2

x.2- {-BIX2 - mgl sinixx) + k(x3 - arj)} j l

• r4= {— BXA - k(.r3 - xx) + u}/.J

—2 i

s i e n d o p o r n o s o t r o s definida la c o n s t a n t e 3 = - . la cual n o d e b e r á c o n f u n d i r s e con la K

A h o r a , e f e c t u a n d o u n c a m b i o d e variable d e la f o r m a c = <J> ( . r ) . se o b i e n e

=

q2 — x2 = LfXi

í3 - -{Blx2-i-mglsm(x1)-k{x3-x1)}/í = L2fx1

U = ~ { A x2 +mgl{xl) cosixt) - k{x3 -.*i)}/7 - L3fx:

P u e d e ser f á c i l m e n t e verificado q u e la m a t r i z J a c o b i a n a d e <í> (.t) con r e s p e c t o a <;. es

i n v e r t i b l e p a r a t o d a <; e R4.

E n t o n c e s , el s i s t e m a ( Su) se t r a n s f o r m a en el s i g u i e n t e s i s t e m a n o lineal linealizable

p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n . el cual está d a d o por

<. 1 = S 2

S_> - <T:s *3 = U

S"4 = Ü ( í ) T J ( Í ) I Í

d o n d e

n ( s ) = -I~'2B { - r l B (i?,) - mglx2cosf.rO + k(x, - x2)} +

-rl-'mglx^ sillín) - I-'-rnglR, cosfrj) - I~ik{rlR1 + J~lBmxA + k {x3 - Xl)}

y

J Í O - / "

^

con

C o n s t r u y e n d o u n o b s e r v a d o r d e a l t a g a n a n c i a p a r a el s i s t e m a a n t e r i o r , se t i e n e el

s i g u i e n t e s i s t e m a ( ver [18] )

í i = £2 - 4 0 ( ? i ~y)

A

A A r n > lh \

?2 = C3 -y)

A

= u —3^-(ci - y )

A o /A

í4 = Q Í ^ + ^ Ü - ^ - ^ )

C o n el o b s e r v a d o r de e s t a d o a n t e r i o r se p u e d e o b t e n e r la e s t i m a c i ó n d e las v a r i a b l e s

n o m e d i b l e s . E n t o n c e s , la expresión del control a p l i c a d o es de la f o r m a :

s e l e c c i o n a n d o los polos . so o b t i e n e n lo> siguientes valores p a r a las o,.: Oí = 25G o> =

2 Ó G . Í 73 = 9 G A3 = 9 6 . Y a4 = 1 6

3.3.1 R e s u l t a d o s de Simulación

E11 esta sección, se p r e s e n t a los r e s u l t a d o s en simulación de u n a l g o r i t m o d e c o n t r o l

b a s a d o en u n o b s e r v a d o r .

P a r a llevar a c a b o esta aplicación, se c o n s i d e r a r o n los siguientes valores d e las

condi-ciones iniciales.

L a s c o n d i c i o n e s iniciales p a r a el s i s t e m a f u e r o n seleccionadas como: xx (0) = 0.5. X>(0) =

0.5. £3(0) = 0. x4( 0 ) = 0.5. P a r a el observador, las condiciones a r b i t r a r i a s ^ (0) = 0.02.

C2 (0) = 0.01. £3 (0) = 0.002. £4 (0) = 0.003. El p a r á m e t r o d e s i n t o n i z a c i ó n del o b s e r v a d o r

f u e s e l e c c i o n a d o c o m o 0 = 3.

La señal d e referencia p a r a la t r a y e c t o r i a d e s e a d a yR{t) en la posición del m o t o r , s e

u

e s t a b l e c i ó c o m o : yji{t) = sin(¿).

Se p u e d e a p r e c i a r e n la F i g u r a (3.2) q u e p a r a el c o n t r o l a d o r p r o p u e s t o b a s a d o en

el o b s e r v a d o r , el e s t a d o x\ sigue a la t r a y e c t o r i a de referencia yn(t) con u n e x c e l e n t e

d e s e m p e ñ o , a p a r t i r d e 6 segundos, m i e n t r a s que en la F i g u r a (3.3) s e m u e s t r a la

conver-gencia del e s t a d o x2 hacia d{yR{t))¡dt. E n la F i g u r a (3.-4). se ilustra el c o m p o r t a m i e n t o

del c o n t r o l a d o r p r o p u e s t o u. m i e n t r a s q u e en las F i g u r a s (3.5) y (3.6). s e m u e s t r a las

v a r i a b l e s d e e s t a d o xx y x2 con su respectivo e s t i m a d o p r o p o r c i o n a d o p o r el o b s e r v a d o r .

/

/

/

U s e g j

tí 4> iff M

F i g u r a 3.3 El e s t a d o x2 y la señal xref

ti IW

F i g u r a 3.5 E s t a d o xi y su e s t i m a d o

*l*t>

F i g u r a 3.6 E s t a d o x2 y su e s t i m a d o x2

3.3.2 C o n c l u s i o n e s

E n e s t e c a p í t u l o , se p r o p u s o u n c o n t r o l a d o r b a s a d o e n u n o b s e r v a d o r d e a l t a g a n a n c i a

p a r a u n a clase d e s i s t e m a s n o lineales, el cual es linealizable p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n de

C a p í t u l o 4

M é t o d o A l g e b r a i c o Diferencial

4.1 Introducción

V a r i a s t é c n i c a s en el d i s e ñ o de control a dores lian sido p r o p u e s t a s , d e s d e d i f e r e n t e s

per-s p e c t i v a per-s . p a r a la eper-stabilización d e per-s i per-s t e m a per-s no-linealeper-s. R e c i e n t e m e n t e , u n n ú m e r o

con-s i d e r a b l e d e t r a b a j o con-s lian e con-s t u d i a d o el p r o b l e m a del control de r o b o t con-s m a n i p u l a d o r e con-s con

flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n . E s t e p r o b l e m a t i e n e u n interés t a n t o p r á c t i c o c o m o téorico.

P o r q u e , d e s d e el p u n t o d e vista práctico, se d e b e c o n s i d e r a r el e f e c t o d e la e l a s t i c i d a d en

el r o b o t p a r a d i s e ñ a r las leyes d e control: y desde el p u n t o d e vista téorico. el n ú m e r o

d e g r a d o s d e l i b e r t a d es dos veces el n ú m e r o d e acciones d e control, y las p r o p i e d a d e s d e

i g u a l a m i e n t o e n t r e las no-linealidades y las e n t r a d a s se p i e r d e (ver [6]. [29]).

E n la l i t e r a t u r a , se p u e d e e n c o n t r a r d i f e r e n t e s e s q u e m a s d e c o n t r o l p a r a s i s t e m a s

no-lineales. M u c h o s d e estos e s q u e m a s utilizan c o n t r o l a d o r e s p o r r e t r o a l i m e n t a c i ó n e s t á t i c a .

Su d i s e ñ o e s t á b a s a d o en t é c n i c a s d e control a d a p t i v o . p e r t u r b a c i o n e s s i n g u l a r e s , teoría

d e c o n t r o l no-lineal, y e s q u e m a s d e control d e L y a p u n o v b a s a d o s en la energía, o m a s

r e c i e n t e m e n t e en e s q u e m a s b a s a d o s en d e s a c o p l a m i e n t o , b a c k s t e p p i n g . o p a s i v i d a d ( ver

[ 6 ] . [ 2 9 ] ) .

P o r o t r o l a d o , u n n ú m e r o c o n s i d e r a b l e d e investigadores h a n e s t u d i a d o los p r o b l e m a s

c o m ú n d e las h e r r a m i e n t a s m a t e m á t i c a s en la t e o r í a d e c o n t r o l d e s i s t e m a s no-lineales:

Geometría Diferencial. Sin e m b a r g o , si las n o linealidades i n v o l u c r a d a s e n el s i s t e m a

son t o d a s p o l i n o m i a l e s . e n t o n c e s e x i s t e n m é t o d o s del algebra diferencial q u e p u e d e n ser

u t i l i z a d o s e n su l u g a r . H a s i d o m o s t r a d o por M. Fliess. q u e el a l g e b r a diferencial es u n a

h e r r a m i e n t a n a t u r a l p a r a t r a t a r con s i s t e m a s polinomiales.

E n e s t a t é c n i c a d e c o n t r o l t r a t a m o s los p r o b l e m a s de e s t a b i l i d a d y s e g u i m i e n t o d e

s a l i d a p a r a s i s t e m a s no-lineales, d e s d e la e s t r a t e g i a de linealización del e r r o r p o r

rotroal-i rotroal-i n e n t a c rotroal-i ó n d rotroal-i n á m rotroal-i c a . E s t e e n f o q u e está b a s a d o en la f o r m a c a n ó n rotroal-i c a de o b s e r v a b rotroal-i l rotroal-i d a d

g e n e r a l i z a d a ( F C O G ) y la f o r m a canónica d e c o n t r o l a b i l i d a d g e n e r a l i z a d a ( F C C G ) d e

Fliess. las cuales son fáciles c o n s e c u e n c i a s del t e o r e m a del e l e m e n t o p r i m i t i v o diferencial

( ver ref. [15. 1G. 28] ). R e c o r d a n d o que. desde el c o m p o r t a m i e n t o e x t e r n o del s i s t e m a , la

f o r m a ( F C O G ) d e Fliess es u n a descripción generalizada d e los e s t a d o s del s i s t e m a d o n d e

en general, las e c u a c i o n e s de e s t a d o d i n á m i c a s son d e p e n d i e n t e s del control, i n c l u y e n d o

u n n ú m e r o finito d e d e r i v a d a s del c o n t r o l con r e s p e c t o al t i e m p o .

El c o n t r o l a d o r q u e se p r o p o n e en e s t a tesis es o b t e n i d o p o r m e d i o d e linealización

e x a c t a fie la d i n á m i c a del error d e s e g u i m i e n t o . E s t e c o n t r o l a d o r es u n a f u n c i ó n del

v e c t o r del e r r o r de s e g u i m i e n t o el cual es. en general, p a r c i a l m e n t e m e d i b l e . p o r lo q u e

es n e c e s a r i o e s t i m a r l o . U n o b s e r v a d o r d e alta g a n a n c i a es u t i l i z a d o p a r a e s t i m a r el error

d e s e g u i m i e n t o p a r a i m p l e m e n t a r n u e s t r o c o n t r o l a d o r . F i n a l m e n t e , p a r a g a r a n t i z a r la

e s t a b i l i d a d del s i s t e m a en lazo cerrado, se p r e s e n t a u n análisis d e e s t a b i l i d a d .

E s t e c a p í t u l o e s t á o r g a n i z a d o como sigue: La sección 4.2. i n t r o d u c e a l g u n a s

defini-ciones y n o t a c i o n e s . Los p r o b l e m a s d e estabilización y s e g u i m i e n t o d e s a l i d a p o r m e d i o

d e u n o b s e r v a d o r e x p o n e n c i a l , u t i l i z a n d o el e n f o q u e algebraico diferencial, son t r a t a d o s

en la sección 4.3. E n la sección 4.4. se i n t r o d u c e u n m o d e l o m a t e m á t i c o , p a r a describir

el c o m p o r t a m i e n t o d e u n b r a z o m a n i p u l a d o r c o n flexibilidad en la a r t i c u l a c i ó n . E n la

sección 4.5 los r e s u l t a d o s d e las simulaciones u s a n d o n u e s t r o e s q u e m a d e c o n t r o l son