1 EXAMEN DE SELECTIVIDAD JUNIO 2012
OPCIÓN A
Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones S:
1 2 1 1 5 2 2 2 z y x z y x z x
, donde
es un parámetro real. Obtener razonadamente:
a) La solución del sistema S cuando
= 0. (3 puntos)
4 / 3 1 4 / 3 2 / 5 4 / 3 2 / 5 1 2 1 2 2 / 5 2 / 5 1 2 1 5 2 1 2 1 1 5 2 2 2 z z y y y x y x z y x x z y x z y x z x
4 3 , 4 3 , 2 5 z y, x, Soluciónb) Todas las soluciones del sistema S cuando
= -1 .(4 puntos)2 c) El valor de
para el que el sistema S es incompatible. (3 puntos)Por el teorema de Rouché-Frobenius.
rg
A
SI
A
rg
A
rg
* * *
A
rg
Si
SCI
incógnitas
de
nº
A
rg
Si
SCD
incógnitas
de
nº
A
rg
Si
2 2
2 1
1 1
1 0 2
A
1 1 5
2 1
1 1
1 0 2
2 2 *
A
1
2
1
4
2
2
2
4
3
4
2
0
1
2
2
1
1
1
1
0
1
2
1
1
2
2
1
1
1
1
0
2
2 3 3
2 2 3 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
A
1 . 2 RUFINI
POR 0
4 3 2 3
sdoble1
A
2
rg
0
10
2
10
0
2
0
1
1
2
1
1
2
5
1
0
0
1
2
5
1
5
2
1
1
1
1
1
1
5
1
2
0
0
4
10
0
10
4
1
2
1
1
2
1
5
0
2
1
1
5
1
2
1
1
2
1
1
0
2
1
*
A
A 2 rg
A* nºincognitas SCI
Infinitassoluciones
3
2
A
2
rg
SistemaIncompatible 39 1 8 0 4 5 0 10 2 1 2 1
1 1 1
5 0 2
1 1 5
4 2 1
1 1 1
4 0 2 2
* *
*
A rg A rg
A rg
A
A 2 rg
A* nºincognitas SCI
Infinitassoluciones
4 Problema A.2. Se dan las rectas r1:
2 2 1
z y x
y r2:
2 1 11
z y
x
siendo
y
parámetrosreales.
Calcular razonadamente:
a) Las coordenadas del punto de corete de r1 y r2. (3 puntos)
3 1 2
1
1 1
2 1
z y
,
,
1
,
1
,
3
Solución
x
y
z
b) La ecuación del plano que contiene esas dos rectas. (4 puntos)
1 2
1 2
2 1 1
, ,
y
1 , 1 , 1
2 , 1 , 0
2 , 0 , 1
1 , 1 , 2
2 1 2 1
r r
r r
r r r
P d
d r r
P d r
P d r
2 2
2 1 :
z y x
0 3 2 4 2
1 0
1 1 2
2 1
:
z y x z
y x
c) La distancia del punto (0,0,1) a la recta r2. (3 puntos)
Dado A = (0,0,1)
1
5
5
,
2 2 2
2
r r r
d
d
x
A
P
r
A
d
0
,
0
,
1
1
,
1
,
1
1
,
1
,
2
2
A
P
r
0
,
1
,
2
2
r
5
2
5
1
0
5
1
2
0
2
0
2
1
0
2
1
1
2 2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
r
r r r
r
d
d
x
A
P
k
j
i
k
j
i
6 Problema A.3. Con el símbolo lnx se representa el logaritmo de un número positivo x cunado la base del logaritmo el número e. Sea f la función que para un número positivo x está definida por la igualdad
x
x
x
f
4
ln
Obtener razonadamente:
a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo. ( 4 puntos)
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
1
1
ln
0
1
ln
0
1
ln
4
1
4
ln
4
'
ln
4
1
1/e
x
f
'
f’(0,10)=-5,21 f’(1)=4
x
f
e e e
e e e e e
f
4
1 4 ln 4 1 ln 1 4 1
En x = 1/e hay un mínimo que es
e e e y
x, 1,4
mínimo un
hay 1 0
1 4 1 ' '
4 1 4 ' '
e x e
e f
x x x
f
b) La ecuación de la recta tangente a la curva y4xlnx en el punto ( 1, 0). (3 puntos)
1 4
ln1 1
4 '1 ln 4 '
f
x x
f
1
4
0
'
0 0
x
y
x
x
x
f
y
y
o7 c) El área limitada entre las rectas y=0, x= e, x= e2 y la curva y4xlnx. (3 puntos)
2 2
2 2 2 2
2 2
2
4 2
4 2
2 2 2 2
2
2
4
4
4
1
ln
1
ln
2
ln
2
2
2
ln
1
2
2
ln
ln
4
1
1
1
2
1
ln
1
ln
1
ln
ln
4
2 2
x
x
xdx
v
x
dv
dx
x
du
x
u
x
x
x
x
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
x
xd
x
e
e
e
e
e
e
e
x
x
xdx
x
ee e
e
8 OPCIÓN B
Problema B.1. Obtener razonadamente:
a) Todas las soluciones :
z y x
de la ecuación
1
3 1
1 1 1
3 1 1
2 0 1
z y x
(4 puntos)
2 1 2z
x SCI
F2 -3 eliminada
F3
2 2 1 2
1 3
1 2 1 3 3
1 2
z y F
z y
z y
z x
F F
F F z
y x
z y x
z x
Solución
,
2
2
1
z
y
x
b) El determinante de una matriz cuadrada B de dos filas, que tiene matriz inversa y que verifica la ecuación
B
2
B
. (3 puntos)
A A
B A B A
I B B
Sabiendo
B B
B B B
B B B B B B Entonces
B B B B B B B B B B B B B B
B
B x
1
0 sí , 0 1
0 -,
sí , 1 1
, /
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2 1
10
1
-
d
2a
d
d
cb
rentes
b,c indife
Por ejemplo d=3 a=-2 y cb332 396 elige por ejemplo c=1 b=-6 y sale
3
1
6
2
3
1
6
2
3
1
6
2
0
6
6
3
1
6
2
3
1
6
2
B
c) El determinante de una matriz cuadrada A que tiene cuatro filas y que verifica la ecuación:
A A
B k B k
I A A
A A
A A A A A A A
A A
A A A I A A A I A A I A I
A A
n
1
B matriz la de dimensión la
n siendo , Sabiendo
81 9
9 9
9 1 9 9
9
9 9
9 9
0 9
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1 9
1 1
2 4
2 4
4 4
1 4 1
1 1
1 2
2 2
11 Problema B.2. Se da la recta r de ecuación r:
0
5
1
2
2
z
y
x
z
y
x
Y el plano
de ecuaciónp nz y x 2
:
, donde n y p son dos parámetros reales.Obtener razonadamente:
a) Todos los valores de n para los que la intersección de la recta r y el plano
es un punto. (4 puntos)
3
Rectay elplanocortan en un punto 723 Para
3 7
23 Para
0 5 1
2 -1 porque ,
2 7
23 Para
7 23 0
23 7 1
2
1 5 1
2 2 1
?
1 2
0 1 5 1
1 2 2 1
1
2
1 5 1
2 2 1 2 :
0 5
1 2 2 :
* *
M rg M
rg n
CONCLUSIÓN M rg n
M rg n
n n
n M rg
p n M
n M
p nz y x
z y x
z y x r
b) El valor de n y el valor de p para los que la recta r está contenida en el plano
. (3 puntos).
2 Rectaestácontenidaen elplano 79 p 7
23 Para
7 9 0
9 7 1
2
0 5 1
1 2 1
7 23 1
2
0 1 5
1
1 2 2 1 7
23 7
23 Para
* *
M rg M rg y
n
CONCLUSIÓN
p p
p p
12 c) El valor de n y todos los valores de p para los que la recta r no corta al plano
. ( 3puntos)
3 Rectay elplanoson paralelos 27 9 p 7
23 Para
7 9 0
9 7 1
2
0 5 1
1 2 1
7 23 1
2
0 1 5
1
1 2 2 1 7
23 7
23 Para
* *
M rg M rg y
n
CONCLUSIÓN
p p
p p
13 Problema B.3. Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A = (0,12), B=(-x,x2) y C=(x,x2), siendo x2<12.
Obtener razonadamente:
a) El área del triángulo T en función de la abcisa x del vértice C. (2puntos).
x
x
x
x
x
x
h
b
A
T12
12
2
12
2
2
3 2
2
b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima. (3 puntos).
)
4
,
2
(
)
4
,
2
(
16
24
8
2
12
-2
y(2)
máximo
un
hay
2
12
2
6
)
2
(
''
6
''
2
4
0
12
3
'
12
3 2
2 3
B
A
x
y
x
y
x
x
x
y
x
x
y
C=(x,x2) C=(-x,x2)
A=(0,12)
x2
12 h=12-x2
14 Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima las superficie S limitada entre la recta y=4 y el arco de parábola y=x2, cuando
2
x
2
.c) El área de la superficie S. (3 puntos)
23 2
0 2
0 2
3
32
3
16
2
3
8
24
2
3
8
8
2
3
2
2
4
2
3
2
4
2
S
3
4
u
dx
x
Área
x
x
d) EL área total del escudo. (2 puntos)
2 3 80 3
48 32 16 3 32 2
8 4 3 32 T Área S Área
Escudo u
Área