INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA 2012 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR PROFESOR: Eusebio Molina Rodríguez

(1)

INSTITUTO TÉCNICO MARÍA INMACULADA

2012 FORMANDO LÍDERES ESTUDIANTILES PARA UN FUTURO MEJOR

PROFESOR: Eusebio Molina Rodríguez

DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Consideraremos los siguientes casos:

A)

División de polinomios entre monomios.

Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio,

esto se realiza convirtiéndolos en fracciones.

Pasos:



Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.



Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno

dividido por el monomio.



Se realizan las respectivas divisiones entre monomios.



Se realizan las sumas y restas necesarias.

Ejemplo:

Encontrar el cociente

3 2

48

30

18

6 y

y







=

3 2

48

30

18

6

6 y

y



_

_

=



8 y

2



5 y



3 B)

División entre Polinomios.

En este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a

seguir son los siguientes.



Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido

(en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan

los espacios de los términos que faltan.



El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo

entre el primer miembro del divisor.



Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo.



El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo

parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor.



Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se

coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial.



Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo

primer término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.

Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.

Ejemplo

Dividir

5 3

2 x



5 x



9 x



8 entre x - 3

1. El polinomio se encuentra ordenado, pero faltan los términos x

4

y x

2

, por lo tanto dejamos los espacios

Correspondientes.

2.

2 x

5



5 x

3



9 x



8 x - 3 hemos efectuado

5

4

2

2 x

x



2x

2

3.

5 3

2 x



5 x



9 x



8 x - 3 hemos efectuado

5

4

2

2 x

x



-2x

5

_+6x

4

_2x

2

(2)

4. Repetimos el procedimiento anterior hasta obtener una cantidad cuyo grado sea menor que el grado del

divisor anterior.

5.

5 3

2 x



5 x



9 x



8 x - 3

-2x

5

_+6x

4

_2x

4

_+6x

3

_+13x

2

_+39x+126

0 + 6x

4

-5x

3

+9x - 8

-6x

4

+18x

3

0 +13x

3

+9x - 8

- 13x

3

+39x

2

0 +39x

2

+9x - 8

-39x

2

+117x

0 +126x - 8

- 126x + 378

0 + 370

Observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=_Kjaj9XEb6E

Taller 1

Encontrar el cociente y comprobar los resultados.

1.

3 2 2

16

24

4 x

x



2.

6 3 2

2

10

50

5 x y

x y



3.

3 2

48

30

18

6 y

y







4.

4 6 2

16

64

4

n n n

z



5.

3

7

6

2 x

x





6.

2

5

8

2 x

x



7.

6 a

3



13 a

2



4 a



15 

3 a



5

8.

6 a

2



5 a



1 

2 a



3

9.

3

2

3

3 x



x



 

x

10.

3

27

3 x



 

x

DIVISIÓN SINTÉTICA

Observe y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=3Qi3nuEm02o

Taller 2

Efectúa las siguientes divisiones por el método de Ruffini

1.

3

7

6

2 x

x





2.

2

5

8

2 x

x



3.

3

2

3

3 x



x



 

x

4.

3

27

3 x



 

x

5. x

3



3 x

2



2 x



1  

x

3 COCIENTES NOTABLES

Son resultados de ciertas divisiones que por sus características especiales se pueden escribir directamente sin

efectuar la división.



2 2

a

b

a b



_{ }





2 2

a

b

a b



_{ }





3 3 2 2

a

b

a

ab b

a b



_

_





3 3 2 2

a

b

a

ab b

a b



_

_

_





,

n n

a

b

siempre es divisible

a b





,

n n

a

b

es divisible si n es impar

a b





,

n n

a

b

es divisible si n es par

a b







,

n n

a

b

nunca es divisible

a b

(3)

Ejemplos:

Resolver

11

10 9 8 7 6 5 4 3 2

1

1 x

x



_

_

_{ }



8 8

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7

n

m

n

n m n m

n m

nm

m

n m



_

_

_

_

_

_

_

_



3 5 5

4 3 2 2 3 4

4 3 2

32

2

4

8

16 y

y























TALLER 3

Hallar, por simple inspección, el cociente de:

1.

7 7

a

b

a b



2.

5

243

3 a

a



3.

6

729

3 a

a



4.

4

625

5 x

x





5.

9 9

a

b

a b



6.

6 6

64

729

2

3 n

m

n

m





FACTORIZACIÓN

ESTANDAR

Desarrollo técnicas para factorizar polinomios

INTRODUCCIÓN

Si un polinomio puede escribirse como el producto de otros polinomios, entonces cada uno de estos polinomios es un FACTOR del polinomio dado.

RECORDEMOS QUE:

Factorizar un polinomio en un determinado conjunto numérico es obtener otros polinomios cuyos

coeficientes pertenezcan al conjunto al conjunto numérico indicado y cuyo producto sea igual al polinomio dado.

La propiedad distributiva de los números reales, en la forma: ab + ac = a(b+c) es importante,

porque justifica todo el proceso. Observe que la factorización es la operación inversa de la multiplicación..

PRIMER CASO

FACTOR COMUN

Observe los videos

http://www.youtube.com/watch?v=5gb2sPuPPDc http://www.youtube.com/watch?v=VtktG_DfC5E

 EL FACTOR COMÚN de un polinomio es el MAXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D) del los términos del

polinomio.

 Para obtener el otro factor del polinomio DIVIDIMOS cada término del polinomio dado por el factor

común

Ejemplos:

Factoriza 2 3 2 2 3 4

16

8

4 x

y



x

y



x

y

Solución:

El M.C.D de es: 4 8 16 2 m. c. d = 2.2 = 4

2 4 8 2

(4)

El M:C:D de la parte literal es

2 2

y

x

ya que se toman los factores comunes

Con el menor exponente,

Por lo tanto, el factor común del polinomio es 4x2_y2

Luego: 2 3 2 2 3 4

16

8

4 x

y



x

y



x

y

=

4 x

2

y

2

(

y



2 

4 xy

2

)

Factoricemos 2 2 2

5

2

3 x

y



xy



x

y

Solución: 2 2 2

5

2

3 x

y



xy



x

y

=

xy

(

3 x



2 

5 xy

)

Taller 4.

Descomponer en dos factores

1.

93 a

3

x

2

y



62 a

2

x

3

y

2



124 a

2

x

2.

10 a

2



5 a

2



15 a

3

3.

9 a

2



12 a

b



15 a

3

b

2



24 ab

3

4.

14 x

2

y

2



28 x

3



56 ax

4

5.

x

15



x

12



2 x

9



3 x

6

6.

a

3



2 a

2



8 a

7. 7w – 14 8.

15 t

2

w



5 w

9. 5x -15z 10. 7ª + 56b 11. 12m + 28n 12. 15r – 21 p 13.

15 t

3



30

14.



28 x

4



63

15.

18 a

2

b



9 ab

16.

4 t

2

w



8 wt

17.

13 y

2



39 yz

18.

24 x

3



30 x

2



18 x

19. x(m+n)+y(m+n)

SEGUNDO CASO

FACTORIZACIÓN POR AGRUPAMIENTO:

Observe el vide y analice el video: http://www.youtube.com/watch?v=_6SZnJjusx4

Algunas veces , aunque los términos de un polinomio un monomio factor común, es posible agrupar los términos de tal manera que cada grupo tenga un factor común.

Ejemplo:

Factorizar el polinomio

3 x

2



7 x



6 xy



14 y

Solución:

Se agrupan, por ejemplo, los dos primeros términos y los dos últimos términos y se tiene,

y

xy

x

7

6

14

3

2





=

(

3 x

2



7 x

)



(



6 xy



14 y

)

Los dos primeros términos tienen un factor

común x y los dos últimos tienen un factor común -2y

Luego, el polinomio se puede escribir

y

xy

x

7

6

14

3

2





=

x

(

3 x



7 )



2 y

(

3 x



7 )

Y ahora hay un binomio factor común 3x + 7

Luego:

y

xy

x

7

6

14

3

2





=



3 x



7 

x



2 y



Taller 5

Factorizar las expresiones

1. 20ax – 5bx – 2by + 8ay 2. 6m – 9n +21nx -14mx 3. 21 – 7m + 3n –mn 4. 54 + 12a + 45b + 10ab 5. 56 35x + 24y + 15xy 6.

a

2



ab



ac



bc

7. 3xy –yx + 3xw - zw

8.

m

2



2 m

2



10 m



20

9. am+bn-bm-an

10.max+mby+mbx+may

11. x(a+2) - a- 2 + 3(a+2)

CUARTO CASO IV

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=t5YXmKl0T9g

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS

Una diferencia de cuadrados es igual a la suma de las raíces cuadradas de los términos, multiplicada por la diferencia de las mismas

)

)(

(

2 2

b

a

b

a

b

(5)

Ejemplos:

Factorizar:

1.

9 x

2



49 v

2





3 x



7 v



3 x



7 v



2.













_













_





6

10

6

10

36

100

2 2

t

r

t

r

t

r

TALLER 6 Factorizar:

1. m2_{– n}2 2. 4x2_{– 9y}2 3. 16x2_{– 4} 4. 64y2_{– 25z}2

5.

1

2 2

4 x



y

6.

2 2

36

9 a

_

y

7. 2

1

4

9

n

x



8. 2 2

100

16 a

_

y

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

TERCER CASO: 3

http://www.youtube.com/watch?v=Zkc0V7qB-YA

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

Al aplicar los productos especiales

2 2 2 2 2 2

2 )

(

2 )

(

y

xy

x

y

x

y

xy

x

y

x















La propiedad simétrica de la igualdad, se obtiene las fórmulas

2 2 2 2 2 2

)

(

2 )

(

2 y

x

y

xy

x

y

x

y

xy

x















Ejemplos:

Factorizar:

16 a

2



40 a



25

Sol. El trinomio

16 a

2



40 a



25

tiene dos cuadrados perfectos,

 

16 a

2



 

4 a

2 y

25 

 

5

2; además el otro término 40a = 2.(4a)(5), Luego es un trinomio cuadrado perfecto y se aplica la fórmula, así:

25

40

16 a

2



a



=



4 a



5 

2

Factorizar: 2 2

16

24

9 x



xy



y

3x 4y

2(3x)(4y)

Luego; 2 2

16

24

9 x



xy



y

=



3 x



4 y



2

Taller 7.

Factorizar:

1.

a

2



2 ab b



2 2.

x

2



2 x



1

3.

1 2



a

3



a

6 4.

400 x

10



40 x

5



1

5. 2 2

4 a

ab b





6. 4 4 2 2

4 b

a



a b



(6)

CASO 5

http://www.youtube.com/watch?v=NHMJtDU9e28

Taller 7

Factorizar:

1.

4 2

1 a



a



2.

4 2

2

9 a



a



3. x

8



4 x y

2 4



16 y

8

4. 144 23



n

6



9 n

2

CASO 6

TRINOMIO DE LA FORMA

x

2



mx



n

Observe y analice el video:

http://www.youtube.com/watch?v=dGHShMzydW8

Para factorizar trinomios de la forma

x

2



mx



n

en los enteros, se necesita encontrar dos números enteros, a y b, cuya suma sea el coeficiente del término intermedio, es decir a+b y m, y cuyo producto sea el último término, es decir a.b = n

Ejemplo: Factorizar

x

2



8 x



12

El trinomio

x

2



8 x



12

es de la forma

x

2



mx



n

. Entonces se deben encontrar dos enteros con producto 12 y suma 8

12

8

2

_

x

=



x



2 

x



6 

Factorizar

x

2



10 x



21

, este trinomio es de la forma

x

2



mx



n

. Se deben encontrar dos enteros con producto 21 y suma -10

Luego

x

2



10 x



21

=



x



3 

(

x



7 )

Factorizar

y

2



5 y



14

, Se deben encontrar dos enteros con producto negativo (-14), así los dos enteros deben tener signos opuestos. Como sus suma 5 es positiva, el factor positivo de 14 debe ser el mayor de los factores, en valor absoluto.