Apuntes Física y Química 1ºBAT -58-
TEMA 6: CINEMÁTICA
6.1 Concepto de movimiento
6.2 Velocidad media y velocidad instantánea 6.3 Concepto de aceleración
6.4 Clasificación de los movimientos 6.5 Estudio de movimientos rectilíneos 6.6 Estudio del movimiento circular uniforme
6.7 Estudio del movimiento en dos dimensiones (Movimiento parabólico)
6.1
CONCEPTO DE MOVIMIENTO
6.1.1 ¿Cuándo se mueve un cuerpo?
Cuando viajamos en un avión, sentados en nuestra plaza, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento. Pero, ¿Estamos realmente en reposo, o nos movemos junto con el avión? ¿Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitiva, la pregunta que nos planteamos es: ¿cuándo podemos afirmar que un objeto se mueve?
Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo.
Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el observador que estudia el movimiento) mediremos un movimiento u otro, o no mediremos movimiento alguno.
Los movimientos, entonces, son siempre relativos, pues para un observador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio tendrá un movimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia.
El sistema de referencia (punto O, ejes coordenados, criterio de signos) es elegido por el observador, la persona que estudia el movimiento. Una vez elegido, debe mantenerse. No puede cambiarse durante la resolución del problema.
6.1.2 Trayectoria, posición y desplazamiento
La figura representa el movimiento de un cuerpo desde el punto P al punto P'.
La trayectoria se define como la línea (en este caso curva) que une los distintos puntos por los que pasa el cuerpo en su movimiento.
Si consideramos el origen de coordenadas como nuestro sistema de referencia, el lugar que ocupa un móvil en cada instante vendrá determinado por el vector
. Este vector recibe el nombre de vector de posición y se representa: . .
A lo largo del tiempo, el móvil ocupa diferentes posiciones. La ecuación que describe la posición del cuerpo a lo largo del tiempo recibe el nombre de ecuación del movimiento:
Al unir mediante un vector los puntos P y P' de la trayectoria recorrida por el móvil, se obtiene el vector desplazamiento: .
O
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La distancia recorrida por el móvil se mide sobre la trayectoria y se representa s.
La distancia recorrida y el módulo del vector desplazamiento sólo coincidirán cuando la trayectoria recorrida sea una recta. En cualquier otro caso, la distancia recorrida por el cuerpo s será siempre mayor que el módulo del vector desplazamiento r.
6.2
VELOCIDAD MEDIA Y VELOCIDAD INSTANTÁNEA
Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir, la velocidad mide cómo cambia la posición de un móvil con el tiempo.
6.2.1 Velocidad media
La velocidad media se define como el cociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido por el móvil en cambiar de posición:
El cociente entre la distancia recorrida sobre la trayectoria, s, y el intervalo de tiempo transcurrido, t, se denomina rapidez media. Si se trata de un movimiento rectilíneo el módulo del vector velocidad media coincide con el valor de la rapidez media. Su unidad en el SI es el metro por segundo (m/s).
Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto. Para eso debemos definir la velocidad instantánea.
6.2.2 Velocidad instantánea
Hemos visto que la velocidad media no nos da información sobre cómo se mueve la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto de tiempo, la información del movimiento resulta más precisa. Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la velocidad media a la velocidad que lleva el móvil en el instante que estamos estudiando (velocidad instantánea).
Matemáticamente se define la velocidad instantánea a partir del límite:
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6.3 CONCEPTO DE ACELERACIÓN
Cuando el conductor de un automóvil toma una curva, el vector velocidad cambia su dirección en cada instante. Y cuando este conductor pisa el acelerador o el freno, cambia el módulo del vector velocidad.
Siempre que exista una variación de la velocidad, ya sea en módulo o en dirección, existirá una aceleración. Por tanto, es importante tener en cuenta que el concepto de aceleración no tiene por qué significar que el movimiento sea más rápido. Puede ser también un frenado, o puede que la rapidez sea constante y cambie la dirección.
De forma similar que con la velocidad se puede definir la aceleración media como el cociente entre la variación del vector velocidad con el tiempo, y la aceleración instantánea como el límite de ese cociente cuando el intervalo de tiempo se hace muy pequeño (tiende a 0):
La unidad de la aceleración en el SI es el m/s
2.
Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se mueve la partícula ni hacia dónde se mueve. Eso lo hace la velocidad. La aceleración nos informa de si la velocidad cambia, de qué modo y hacia dónde está cambiando.
Componentes intrínsecas de la aceleración
Como ya hemos comentado, la aceleración es la magnitud que estudia el cambio de la velocidad. Al tratarse de un vector, ésta, puede cambiar tanto en módulo como en dirección. Por este motivo se definen dos componentes para la aceleración: una que tiene en cuenta el cambio en el módulo de la velocidad: aceleración tangencial; y otra que tiene en cuenta el cambio en su dirección: aceleración normal (o centrípeta).
La aceleración tangencial, at, expresa la variación del módulo de la velocidad y se calcula mediante
la expresión:
cuando t0
La aceleración normal, an, expresa la variación de la dirección de la velocidad y se calcula mediante
la expresión:
Para entender el concepto de radio de curvatura, imagina un automóvil que toma una curva. Podemos dibujar una circunferencia que pase por el punto donde se encuentra el vehículo y que tenga el máximo contacto posible con la curva. El radio de esta circunferencia es el radio de curvatura de la trayectoria en ese punto. Cuando la trayectoria es una circunferencia (movimiento circular), su radio de curvatura coincide, lógicamente, con el radio de la circunferencia. En curvas muy
cerradas el radio de curvatura es pequeño, y, por tanto, la aceleración normal grande, y en curvas muy abiertas, al contrario. Para movimientos rectilíneos, el radio de curvatura tendería a infinito y, por tanto, la aceleración normal vale 0.
Atendiendo a sus componentes intrínsecas, el módulo de la aceleración se calcula:
La componente tangencial, at, será positiva si el módulo de la velocidad aumenta con el tiempo, y
negativa si éste disminuye. En cambio, la componente normal, an, siempre es positiva. v= módulo de la velocidad
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6.4 CLASIFICACIÓN DEL LOS MOVIMIENTOS
Existen múltiples clasificaciones para los movimientos. Vamos a ver dos de ellas: Según los valores de y
- Estado de reposo
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
- Movimiento uniformemente acelerado (MUA)
Si van en la misma dirección: Trayectoria recta (MRUA)
Si tienen direcciones distintas: Trayectoria curva (Movimiento parabólico)
- Movimiento variado
Según los valores de at y an
- at = 0 Rapidez constante. Movimiento uniforme (No tiene porque ser rectilíneo)
- an = 0 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
- an = cte Movimiento circular uniforme (MCU)
- an = 0 Trayectoria recta (No tiene porque ser uniforme)
- at y an variables Movimiento variado
6.5 ESTUDIO DE MOVIMIENTOS RECTILÍNEOS
Son aquellos en que la trayectoria es recta. Por tanto la an vale 0. Estudiaremos el movimiento
rectilíneo uniforme (MRU) y el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
6.5.1 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
Este tipo de movimiento se caracteriza por una velocidad constante en módulo y dirección, ya que tanto at como an valen 0. Su rapidez es constante (recorre la misma distancia cada segundo).
La ecuación del movimiento, atendiendo a que es en una sola dirección:
x = x
0+ v·t
6.5.2 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
Este tipo de movimiento se caracteriza porque la trayectoria es rectilínea: an = 0 y la at es constante,
lo que hace que la aceleración aumente o disminuya de forma uniforme. Es el caso, por ejemplo, de un automóvil que se desplaza en línea recta y pisa el acelerador, o el freno.
Al tratarse de movimientos en una sola dirección trabajaremos con x o con y dependiendo que sean movimientos horizontales o movimiento vertical (caída libre).
Las ecuaciones para este movimiento son las siguientes:
Ecuación del movimiento:
x = x
0+ v
0·t + ½·a·t
2Ecuación de la velocidad:
v = v
0+ a·t
Ecuación de la velocidad en función de la posición:
x = posición (m) v = velocidad (m/s)
x0 = posición inicial (m) t = tiempo (s)
x = posición (m) v 0 = velocidad incial (m/s)
x0 = posición inicial (m) t = tiempo (s)
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En el caso del movimiento vertical, cambiaremos la posición por la letra y, y tendremos en cuenta que la aceleración es la de la gravedad: - 9,8 m/s2.
Hay que tener mucho cuidado con el criterio de signos en este movimiento:
- La aceleración de la gravedad la consideraremos siempre negativa, independientemente de que el cuerpo esté subiendo o bajando.
- La velocidad será positiva cuando el cuerpo suba y negativa cuando baje.
- Pondremos el origen en el suelo, de modo que la posición del cuerpo coincidirá siempre con la altura a la que se encuentre.
- En la altura máxima la velocidad vale 0, ya que es el punto en el que deja de subir y empieza a bajar.
6.6 ESTUDIO DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)
El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento acelerado (la dirección de la velocidad cambia), dotado únicamente de aceleración normal. La trayectoria que describe es una curva de radio constante: una circunferencia.
Un movimiento circular es más sencillo de estudiar si usamos coordenadas angulares en lugar de coordenadas x e y. Usaremos el radio y el ángulo ϕ que forma con uno de los ejes, normalmente el semieje x +). Como el radio de la circunferencia que describe se mantiene constante (R), para indicar la posición del móvil en la circunferencia solo tendremos que dar el valor del ángulo ϕ que se denomina posición angular y se mide en radianes (rad). (Hay que recordar que 2π rad = 360º).
Para medir la velocidad con la que está girando se utiliza la velocidad angular: ω que se mide en rad/s.
Ecuación del MCU:
ϕ = ϕ
0+ ω·t
Magnitudes asociadas al M.C.U
Al tratarse de un movimiento periódico, que se repite cada cierto tiempo, se definen dos magnitudes:
- Período (T):Tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa (o repetir su posición). En el S.I. se mide en segundos.
- Frecuencia (f): Es la magnitud inversa del periodo. Indica el número de vueltas (o número de veces que se repite una posición) por unidad de tiempo. En el SI se mide en Hz.
Relación entre magnitudes angulares y lineales
El hecho de que sea más cómodo estudiar el movimiento circular desde magnitudes angulares, no quiere decir que no puedan estudiarse el MCU teniendo en cuenta que el cuerpo, describiendo este movimiento no recorra cierta distancia y no lleve una determinada velocidad. Existe una relación entre las magnitudes lineales y angulares que están asociadas al radio de la circunferencia:
s = ϕ · R
v = ω · R
ϕ = ángulo (rad) ω = velocidad angular (rad/s)
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6.7 ESTUDIO DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES (MOVIMIENTO PARABÓLICO)
Si observamos la trayectoria que sigue un balón de fútbol al ser lanzado hacia la portería, podemos entender que su movimiento lo podemos entender como un movimiento con trayectoria parabólica, que podemos descomponer como suma de dos movimientos rectilíneos:
- Un MRU horizontal de velocidad vx constante.
- Un MRUA vertical con velocidad voy hacia arriba sobre el que
actúa la aceleración de la gravedad.
Ecuación de la velocidad
La velocidad inicial v0 se descompone en sus dos
componentes, horizontal, v0x, y vertical, voy. Dichos
valores los calcularemos a partir del ángulo que forma la velocidad inicial:
v
0x= v
0·cosα
v
0y= v
0·senα
La velocidad según la dirección horizontal es siempre constante, ya que no se ve sometida a ninguna aceleración, y es igual a la inicial v0x.
v
x= v
0x= cte
La velocidad según la dirección vertical es la debida a un MRUA con la aceleración de la gravedad. Por tanto se calculará con la expresión:
v
y= v
0y+ a·t
Ecuación de la posición
El movimiento según la componente horizontal es un MRU. Por tanto su ecuación será la de este movimiento:
x = x
0+ v
x·t
Y según la dirección vertical es un MRUA. Por tanto su ecuación será la de este movimiento:
y = y
0+ v
0y·t + ½·a·t
2En la resolución de problemas de este movimiento tendremos en cuenta las siguientes consideraciones:
- El origen que se pondrá siempre en el suelo. Por tanto x0 valdrá 0 e y0 será la altura desde la que
se lanza el objeto.
- Para calcular el tiempo que estará el objeto en el aire, su posición vertical final: y=0.
- Para calcular la altura máxima: verticalmente la vy valdrá 0, aunque no estará el cuerpo parado.
- Se define el alcance como la distancia horizontal que recorre el móvil hasta llegar al suelo. - Para calcular la velocidad del móvil en cualquier instante hay que tener en cuenta que ésta tiene
dos componentes: vx y vy. Por tanto para calcularla utilizaremos la expresión:
